phương pháp chọn điểm rơi

www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 1


KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” là kĩ thuật rất quan
trọng, chọn điểm rơi nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi nào để ta có những đánh giá từ đó
đưa ra phương pháp hợp lí. Với lưu ý rằng trong bất kì phép chứng minh bất đẳng thức nào, nếu
không “bảo toàn” được dấu đẳng thức thì phép chứng minh của bạn bị phủ nhận hoàn toàn.
Kĩ thuật chọn “điểm rơi” là một kĩ thuật cực kì sơ đẳng đối với những bạn đã “siêu” về bất
đẳng thức, nhưng nó lại là một kĩ thuật cơ bản nhất đối với những bạn mới bắt đầu tiếp cận với bất
đẳng thức. Nên tôi hy vọng tài liệu này vẫn có ích với những ai cần nó.
Chúc cộng đồng yêu Toán sức khỏe và hạnh phúc!
Các bạn có thể tìm đọc các tài liệu được đăng lên mạng của cùng tác giả, bao gồm:
Một số cách sáng tạo hệ phương trình
Dùng đạo hàm giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
…
Chúc các bạn sức khỏe và hạnh phúc!

§1. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho
3a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
Sa
a

.
Giải.
◊ Sai lầm thường gặp:
11
2 . 2   S a a
aa

◊ Nguyên nhân sai lầm:
1
21   MinS a
a
mâu thuẫn với giả thiết
3a
.
◊ Phân tích và tìm tòi lời giải: Nhận thấy khi a tăng thì
S
càng lớn (bằng cách thử trực tiếp) và từ
đó dẫn đến dự đoán khi
3a
thì
S
nhận giá trị nhỏ nhất.
Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau,
nên tại “điểm rơi:
3a
” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho hai số
a
và
1
a

vì
1
3
3

. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số
1
,




a
a
sao cho tại “điểm rơi:
3a
” thì
1

a
a
. Với
1
3
9

  a

◊ Lời giải đúng:
1 1 8 1 8.3 10

2. .
9 9 9 9 3

       


a a a
Sa
a a a

Với
3a
thì
10
3
MinS
.
Ví dụ 2. Cho
1x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
3
2
yx
x
.
Giải.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 2

◊ Sai lầm thường gặp: Ta có:
11
3 2 3 . 6
22
   y x x
xx
.
◊ Nguyên nhân sai lầm: Đẳng thức xảy ra khi
11
31
2
6
   xx
x
.
Như vậy lời giải trên không dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại đâu, hay nói cách khác là chọn
sai “điểm rơi”.
◊ Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu bằng xảy ra tại
1x
, khi đó ta phải chọn số
a
sao cho
1
2
ax
x
.

Cho
1x
ta được
1
2
a
. Từ đó ta có lời giải đúng là
1 5 1 5 1 5 5 7
3 2 . 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
           
xx
y x x x x
x x x
.
Vậy
7
min
2
y
khi
1x
.

Ví dụ 3. Cho
,xy
là các số thực dương thỏa mãn
6xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10 8

53   P x y
xy
.
Giải.
Ta thấy vai trò của
,xy
trong giả thiết
6xy
là bình đẳng nhưng vai trò của
,xy
trong biểu thức
10 8
53   P x y
xy
là không bình đẳng, do đó dấu bằng sẽ không xảy ra khi
3xy
, mà dấu
bằng sẽ xảy ra tại các điểm “biên” là
1, 5xy
hoặc
2, 4xy
. Từ đó cho ta cách biến đổi như
sau:
Ta có
10 8 5 5 10 8
5 3 ( )
2 2 2


         





xy
P x y x y
x y x y

Áp dụng bất đẳng thức giữa TBC-TBN ta có:
5 10 5 10
2 . 10
22
  
xx
xx

Và
88
2 . 4
22
  
yy
yy

Suy ra
5
.6 10 4 29
2
    PP

Vậy P đạt GTNN là 29 khi
2, 4xy


Ví dụ 4. Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
2 3 20  a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 9 4
2
     P a b c
a b c
.
Giải.
Do
2 3 20  a b c
nên ta dự đoán
min P
đạt được tại
2, 3, 4  a b c
.
Từ đó phân tích
P
như sau:
3 9 4
2
     P a b c
a b c

1 1 3 3 3 9 4
4 2 4 4 2 2 4
     
        
     
     
bc
a b c a
a b c

 
11
2 3 3 3 2 .20 8 13
44
        a b c

Dấu “=” xảy ra khi
2, 3, 4  a b c
.

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 3

Ví dụ 5. Cho
;xy
là các số thực dương thỏa mãn
1xy

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11
11


  




A
xy
.
Giải.
Do
A
là một đa thức đối xứng với điều kiện
1xy
nên ta dự đoán
A
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
2
xy
. Và khi
1
2
xy
thì

9A
. Vậy bây giờ ta chỉ cần chứng minh dự đoán là đúng, tức là
chứng minh
22
11
1 1 9


  




xy
.
Thật vậy
  
2 2 2 2
22
11
1 1 9 1 1 9


      




x y x y
xy

2 2 2 2
1   x y x y
.
Do
 
2
1xy
, nên chỉ cần chứng minh
 
2
2 2 2 2
    x y x y x y
 
2 1 4 0  xy xy
.
BĐT này đúng do
 
2
1
0
44

  
xy
xy
.
Vậy
min 9A
khi
1

2
xy
.

Ví dụ 6. Cho
,0ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



a b ab
P
ab
ab
.
Giải.
Sai lầm thường gặp :
2 . 2

   

a b ab a b ab
P
a b a b
ab ab
.
Vậy
min 2P
khi
 

2

   

a b ab
a b ab
ab
ab
22
0   a ab b
0  ab
Vô lí.
Lời giải đúng :
Do
P
là biểu thức đối xứng theo
,ab
nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
ab
.
Nên ta tìm hệ số
m
sao cho
4











a b ab
m
ab
m ab
ab

Ta có



a b ab
P
ab
ab
 
3
44


  

ab
a b ab
ab
ab ab
3.2 5

2.
2
44

  

a b ab ab
ab
ab ab
.
Dấu “=” xảy ra khi
ab


Ví dụ 7. Cho
,0
1





ab
ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11


P

a b ab

Giải.
Ta có:
22
1 1 1
22
  

P
a b ab ab

 
2
2 2 2
4 1 4 2
4 2 6
2 2 ( )
      
  

a ab b ab a b
ab

Dấu “=” xảy ra
22
2
1
2
1




    




a b ab
a b a b
ab

1
Min 6 khi
2
   P a b


www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 4

Ví dụ 8. Cho
,0
1






ab
ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11
12


P
a b ab

Giải.
Lời giải 1. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
1 2 2 1 ( ) 1 2
     
      
P
a b ab a ab b a b

Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
11

     



   

a b ab a b
a b a b
. Vô nghiệm
Vậy không tồn tại
Min ? ?P


Lời giải 2. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
1 6 3 6 1 3 ( ) 1 4 3
      
       
P
a b ab ab a ab b ab a b ab ab

Mặt khác
2
1
24





ab

ab
. Vậy
22
4 1 8
3
23
22
  

   

   
   
P
a b a b

Dấu “=” xảy ra
22
16
1
2
1

  

    





a b ab
a b a b
ab
.

Ví dụ 9. Cho
,0
1





ab
ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11
4  

P ab
a b ab
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2 ( ) 2


         

   

P ab ab ab
a b ab ab a b ab ab a b ab
.
Mặt khác
11
4 2 .4 2 2
22
  ab ab
ab ab
. Vậy
4 2 2P
nên
2(2 2)MinP

Sai lầm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 ( ) 2 4 4 4

           



P ab ab
a b ab ab ab a b ab ab ab ab

Dấu
bằng xảy ra
22
22
2
11
16 2
1




    





a b ab
a b a b
ab
. Thay
1
2
ab
vào ta được
7P

7MinP
khi

1
2
ab
.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1
22

ab ab ab
là do thói quen để
làm xuất hiện
2 2 2
2 ( )   a b ab a b
.
1
4 2 2 4
2
1




    





ab

MinP ab VN
ab
ab
. Dấu “=” bất đẳng
thức không xảy ra

không kết luận được
4 2 2MinP

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 5

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
ab
nên đã tách
các số hạng và
7MinP
khi
1
2
ab
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
2
(1 )  x x x
, dấu bằng xảy ra khi

1x
2
( 1) 1??

   

Min x x
.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,ab
, ta dự đoán
MinP
đạt tại
1
2
ab
, ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 ( ) 2
4
2

        








P ab ab
a b ab ab ab a b ab
ab

Dấu bằng xảy ra
22
22
2
11
16 2
1




    





a b ab
a b a b
ab
.
Ví dụ 10. Cho
,0

1





ab
ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
1 1 1
  

S
a b a b ab
.
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
3 3 3 3 3 3 3

       

   

S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab

 

32
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
33
3.
2

     








ab a b a b
ab
ab

Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
()
3
1




  




a b a b
MinS a b vn
ab

Lời giải đúng
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab
, và ta thấy
 
3
3 3 2 2
33    a b a b ab a b
vì thế ta muốn
xuất hiện
 
3
ab
; ta áp dụng bất đẳng thức
3 3 2 2
1 1 1
22

a b a b ab

và nếu vậy:
3 3 2 2 3
1 1 1 9
2 2 ( ) ( )
  
   a b a b ab a b ab a b
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng
bất đẳng thức cho 5 số:
3 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
    

S
a b a b ab a b ab
 
 
3
3
3
25 25
20
( ) ( )
4
  
  


a b ab a b
ab

ab

Dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab
.

Ví dụ 11. Cho
2 2 2
, , 0
1



  

abc
abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
   P a b c
abc
.
Sai lầm thường gặp:
1
   P a b c
abc
4
11

4 . 4     a b c abc
abc abc

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 6

Nguyên nhân sai lầm:
Dấu “=” xảy ra khi
1  abc
là không đúng với giả thiết.
Lời giải đúng:
Do biểu thức
P
đối xứng với
,,abc
và
2 2 2
1  abc
nên ta dự đoán dấu „=” xảy ra khi
1
3
  abc
, khi đó
1
33
abc
.

Từ đó ta tìm được hệ số của điểm rơi như sau:
1
  abc
mabc
. Cho
1
3
  abc

Ta được
9m
.
Vậy
1 1 8
99
        P a b c a b c
abc abc abc
4
2 2 2
18
4.
9
9
3


abc
abc
abc

48
43
33
  
.
Vậy
min 4 3P
khi
1
3
  abc
.

Ví dụ 12. Cho
, , 0
1 1 1
4




  


x y z
x y z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
111
2 2 2
  

     
P
x y z x y z x y z
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
       
            
       
       
P
x y z x y z x y z x y z

10
9
MaxP

Sai lầm 2:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
     
            
     
     
P
x y z x y z x y z

xyz x yz xy z
N
guyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.
2
2
10
()
2
9
1 1 1
4











  


x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z

, tức là không tồn tại
10
( , , ) :
9
x y z D P

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
MaxP
đạt được tại
3
4
  x y z
nên tách các số
2 x x x
ra cho dấu bằng xảy ra.
Ta có
1 1 1 1 1 1 1
2 16

    

    

x y z x x y z x x y z
, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16

     

         

     
     

P
x y z x y z x y z
.
Dấu “=” xảy ra khi
3
4
  x y z
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 7

Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
1 1 1
4




  



x y z
x y z
. Tìm GTLN của
111
        
  
     
P
x y z x y z x y z
.
Với
,,
  

 N
: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
soá
,


   x x x x
. Nếu
,,
  

 R
, thì
bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn
điểm rơi trong BCS”

Ví dụ 13. Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1  abc
.
Chứng minh rằng
6     a b b c c a
.
Giải
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
1
3


   

  

abc
abc
abc

Khi đó
2
3
     a b b c c a
.
Từ đó bài toán được viết lại thành:

     
2 2 2
2
3 3 3
     a b b c c a
.
Áp dụng BĐT AM – GM ta được:

 
2
2
3
32


ab
ab
,
 
2
2
3
32


bc
bc
,
 
2

2
3
32


ca
ca
.
Cộng ba BĐT lại vế theo vế với
1  abc
ta được đpcm.

Ví dụ 14. Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1  abc
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3
     P a b b c c a
.
Giải.
Sai lầm thường gặp:
3
11
3
  

ab
ab

,
3
11
3
  

bc
bc
,
3
11
3
  

ca
ca

Suy ra
 
26
8
33
  

abc
P
.
Dấu “=” xảy ra khi
 
1

1 2 3 2 3
1



       




ab
b c a b c
ca
Vô lí
Phân tích lời giải.
Do
P
là biểu thức đối xứng theo
,,abc
nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
abc
, đồng thời
1
1
3
      a b c a b c
.
Suy ra
2
3

ab
,
2
3
bc
,
2
3
ca
.
Từ đó cho ta lời giải đúng như sau:
 
3
33
3
22
9 2 2 9
33
. . .
4 3 3 4 3
  
   
ab
a b a b

 
3
33
3
22

9 2 2 9
33
. . .
4 3 3 4 3
  
   
bc
b c b c

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 8

 
3
33
3
22
9 2 2 9
33
. . .
4 3 3 4 3
  
   
ca
c a c a

Suy ra

 
3
3
24
9
18
43
  

abc
P
.
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
  abc
.

Ví dụ 15. Cho
, , 0
3



  

abc
abc
. Chứng minh rằng
3 3 3 3

2 2 2 3 3     a b b c c a
.
Sai lầm thương gặp:
Ta có:
 
 
3
1 1 2
22
1.1. 2
33
  

  
ab
ab
ab
, tương tự ta có
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 5
3 3 3
     
        
a b b c c a
a b b c c a
,
mà
3
5 3 3 ñeà ra sai ? ?

21
21
5 ( )
21
3










  

ab
bc
MaxP vn
ca
abc
, vậy
5P

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi
3




  

abc
abc

1   abc
23  ab

Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số
2 ,3,3ab
ta có:
 
 
3
3
3 3 3
3 3 2
1 1 6 2
2 3.3. 2 .
3
9 9 3 9
  

    
ab
ab
a b a b
, tương tự ta có
3

3 3 3
6 2 6 2 6 2
33
3 9 3 9 3 9
     
   
a b b c c a
P
, dấu bằng xảy ra khi
1  abc


Ví dụ 16. Cho
, , , 0
1



   

a b c d
a b c d
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3 3
2 2 2 2       P a b b c c d d a
.
Sai lầm thương gặp:
Ta có:
 

 
3
3
2 1 1
22
2 2 .1.1
33
  

    
ab
ab
a b a b
, tương tự ta có:
 
3 3 3 3
38
11
2 2 2 2
33
   
        
a b c d
a b b c c d d a

 
21
21
11
3 4 3.1 4

21
3
21





        






ab
bc
MaxP a b c d
cd
da
Vô lý
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi
1
4
   a b c d
.
3
2
4
  ab

. Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số
33
2 , ,
44
ab
ta có:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 9


 
3
3
33
33
2
16 3 3 16
44
2 . 2 . . .
9 4 4 9 3
  
   
ab
a b a b
, tương tự ta có
3
3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2
16
4 4 4 4 4 4 4 4
9 3 3 3 3

           

   



a b b c c d d a
P

 
3
3
36
16
26
93
   

a b c d

Dấu bằng xảy ra khi
1
4
   a b c d
.

Ví dụ 17. Cho
, , 0
1





x y z
xyz
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
  
  
x y z
y z x

Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1:
P
2 2 2 2
3
()
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
  
     

x y z xyz
y z x y z x
, mặt khác
12
12
12










yy
zz
xx
, suy ra:
(1 )(1 )(1 ) 8 8    y z x xyz
. Vậy
3
2
P
, dấu “=” xảy ra khi
1  x y z

Sai lầm 2: ta có:
2

2
2
(1 ) 2
1
(1 ) 2 2( ) ( ) 3 3
1
(1 ) 2
1

  





              




  




x
yx
y
y
z y P x y z x y z x y z

z
z
xz
x
,
mặt khác
3
3 3 0     x y z xyz P

Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
11
0   ab
ab

Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 , 1 , 1 ( )
1 1 1
1




      

  





x y z
x y z
y z x vn
y z x
xyz

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1  x y z
. Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
2
1
x
y

và
1

 y
:
2
1 1 2
4
12



    

xy

y

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 10

Ta có:
2
2
2
1
14
1 1 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
1 4 4 4 4 4 2
1
14









              











xy
x
y
yz
y P x y z x y z x y z
z
zx
z
x

Dấu “=” xảy ra khi
1  x y z
.

Ví dụ 18. Cho
, , 0
3
2





  


abc
abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2
2 2 2
1 1 1
     S a b c
b c a

Sai lầm thường gặp:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
     S a b c
b c a
2 2 2
3
2 2 2
1 1 1
3 . .   a b c
b c a
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1

3 2 . .2 . .2 . 3 2a b c
b c a

Nguyên nhân sai lầm:
Dấu “=” xảy ra khi
1 1 1
    abc
abc
3
3
2
    abc

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1
2
  abc
. Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
2
2
1

a
a
. Cho
1
16
2

  a

.
Nên
2 2 2
2 2 2
1 1 1
     S a b c
b c a

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16
           a b c
b b c c a a

2 2 2
17 17 17
16 32 16 32 16 32
1 1 1
17 . 17 . 17 .
16 16 16
  a b c
b c a

17 17 17
8 16 8 16 8 16
17
16 16 16


  


a b c
b c a
17
8 5 5 5
1
3 17
16

abc
 
5
17
3 17
2 2 .2 .2

abc
15
17
3 17 3 17
2
2 2 2
2
3






abc
.
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
  abc
.
Cách khác: Ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
     S a b c
b c a
 
2
2
1 1 1

     


abc
abc

 
 
2
3
3

2
1
3abc
abc
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 11

Đặt
 
2
3
t abc
. Ta có
 
2
2
3
1
34


  


abc
t abc

.
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
  abc
.
Khi đó
 
 
2
3
3
2
11
33   S abc t
t
abc
1 15
3
16 16
  t
tt
1 15
3 2 .
16 16
t
tt
1 15
3
2 16


t

1 15 3 17
3 .4
2 16 2
  
.
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
  abc
.



B. Bài tập và hướng dẫn
Bài 1. Cho
2a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
Sa
a
.
Giải.
Do có
a
và
2

1
a
nên ta sẽ áp dụng Côsi cho ba số dạng
2
1

aa
a
.
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi
2a
và
2
11
8

  a
a

Khi đó
3
2 2 2
1 1 6 1 6.2 9
3 . .
8 8 8 8 8 8 4

        


a a a a a

Sa
a a a

Với
2a
thì
9
4
MinS

Bài 2. Cho
1
0
2
a
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
2Sa
a
.
Giải.
Do có
a
và
2
1
a
nên ta sẽ áp dụng Côsi cho ba số dạng
2

1

aa
a
.
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1
2
a
và
2
1
8

  a
a

Khi đó
3
2 2 2
1 1 1 1
2 8 8 14 3 8 .8 . 14. 5
2

        


S a a a a a a
a a a

Vậy với
1
2
a
thì
5MinS
.

Bài 3. Cho
10; 100; 1000  a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1 1
     y a b c
a b c
.
Giải.
Xét riêng biểu thức
1
Pa
a
với điều kiện
10a
, ta dự đoán
P
đạt giá trị nhỏ nhất khi
10a
.
Từ đó ta cần tìm số


sao cho
1


a
a
, với
10a
ta được
100


, từ đó ta phân tích
P
như sau:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 12

99 1 99 1 99 1 99 1 101
2 .10
100 100 100 100 100 5 100 5 10
         
aa
P a a a
aa
. (làm tương tự cho hai biểu
thức còn lại.)

Bài 4. Cho
,,abc
là ba số thực dương thoả mãn
1  abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
     P a b c
abc
.
Giải.
Vì vai trò của
,,abc
là bình đẳng và
1  abc
nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
3
  abc
.
Nên ta phải biến đổi biểu thức
P
một cách khéo léo để đảm bảo dấu bằng xảy ra tại
1
3
  abc
.
Ta có
 
1 1 1

9 9 9 8
     
        
     
     
P a b c a b c
a b c
1 1 1
9 9 9 8 10
     
       
     
     
a b c
a b c
.
Dấu bằng xảy ra khi
1
3
  abc
.

Bài 5. Cho
,,abc
là ba số thực dương thoả mãn
1abc  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3
P ab bc ca  
.

Giải.
Vì vai trò của
,,abc
là bình đẳng và
1  abc
nên ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
3
  abc
.
Ta có
3 3 3
3
1
1
3
3. . 3
33
ab
ab ab



Tương tự
3 3 3
3
1
1
3
3. . 3

33
bc
bc bc




3 3 3
3
1
1
3
3. . 3
33
ca
ca ca



Cộng vế theo vế ta được

 
3 3 3 3 3
11
33
23
P ab bc ca a b c

       



.
Vậy GTLN của
15
2
P 
khi
1
3
abc  
.

Bài 6. Cho
,,abc
là ba số thực dương thoả mãn
3
2
  abc
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
     P a b c
abc
.
Giải.
Cách 1. Ta có
 
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3              S a b c a b c a b c
a b c a b c

3 15
4 4 4 3.
22
    
Vậy
15
2
MinS
khi
1
2
  abc
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 13

Cách 2. Ta có
1 1 1
     S a b c
abc
1 1 1 3 1 1 1
4 4 4 4

        


a b c

a b c a b c

1 1 1 3 9
2 2 2
4 4 4 4
   

a b c
a b c a b c
3 9 15
111
3
42
2
    

Vậy
15
2
MinS
khi
1
2
  abc
.

Bài 7. Cho
,,abc
là ba số thực dương thoả mãn
1  abc

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
2

     


P a b c
abc
.
Giải.
Ta có
 
1 1 1 2 2 2
18 18 18 17              S a b c a b c a b c
a b c a b c

12 12 12 17.1 19    
.
Vậy
19MinS
khi
1
3
  abc
.

Bài 8. Cho
,,abc

là ba số thực dương thoả mãn
1  abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
     
3 3 3
2 2 2
1 1 1
  
  
abc
P
abc
.
Giải.
Ta có
 
3
2
1 1 3
8 8 4
1

  

a a a
a
a

 
3

2
1 1 3
8 8 4
1

  

b b b
b
b

 
3
2
1 1 3
8 8 4
1

  

c c c
c
c

Suy ra
   
1 3 1
3
4 4 4
        



P a b c a b c P

Vậy
1
4
MinP
khi
1
3
  abc
.

Bài 9. Cho
,,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
5xy yz zx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
33  P x y z
.
Giải.
Ta có
22
2x y xy
,
22
1

22
2
x z xz
,
22
1
22
2
y z yz
.
Cộng vế theo vế ta được
 
2 2 2
3 3 2 2.5 10      x y z xy yz zx
.
Dấu „=‟ xảy ra khi
1, 2  x y z
.

Bài 10. Cho
;xy
là các số thực dương thỏa mãn
8  x y xy
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
P x y
.
Giải.
www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 14

Ta có
 
2
8
4

     
xy
x y xy x y
, từ đây ta tìm được
8  xy
hoặc
4xy
suy ra
 
2
16xy
.
Mà ta lại có
 
2
22
8
2


   
xy
P x y
.
Đẳng thức xảy ra khi
4
2
8



   


  

xy
x y x y
x y xy

Vậy
min 8P
khi
2xy
.

Bài 11. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa mãn
1ab

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
S ab
ab
.
Giải.

Ta có
1
S ab
ab
1 15
16 16
  ab
ab ab
 
2
1 15 4
2.
16 16


ab
ab
ab
1 15 4 17
.
2 16 1 4
  

Hoặc ta có thể giải như sau:
Đặt
2
1
24


   




ab
t t abab

Khi đó bài toán trở thành : Cho
1
4
t
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
St
t
.
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
4
t
và

1
16

  t
t

11
16 15    S t t t
tt
1 1 17
2 16 . 15.
44
  t
t

Vậy với
1
4
t
hay
1
2
ab
thì
17
4
MinS
.

Bài 12. Cho

,ab
là các số thực dương thỏa mãn
1ab
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
11
   P a b
ab
.
Giải.
Ta có
22
11
   P a b
ab
 
22
11
8 8 8 8 15       a a b b a b
ab

 
33
22
11
3 8 .8 . 3 8 .8 . 15   a a b b a b
ab
3.4 3.4 15.1 9   

Hoặc ta có thể giải như sau:
Ta có
2
2P ab
ab
(Dấu “=” xảy ra khi a = b)
Đặt
t ab
, khi đó
1
0
22

   
ab
t ab
. Khi đó ta thu được
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 15

22
3
2
22
2 16 16 30
2 30
3 16 .16 . 9

2
     
  
P t t t t
tt
tt
t

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
11
22
   t a b


Bài 13. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa mãn
3
2
  abc
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
     P a b c
abc
.
Giải.
Ta có
2 2 2

1 1 1
     P a b c
abc
 
2 2 2
1 1 1
8 8 8 8 8 8 15           a a b b c c a b c
a b c

 
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 8 .8 . 3 8 .8 . 3 8 .8 . 15     a a b b c c a b c
a b c
3 27
3.4 3.4 3.4 15.
22
    

Hoặc ta có thể giải như sau:
Ta có
 
3
2
3
3
3P abc
abc
(Dấu “=” xảy ra khi

abc
)
Đặt
3
t abc
, khi đó
3
1
0
32

   
abc
t abc
. Lúc này ta thu được
22
3
33
3 24 24 45
1 27
3 24.24.3 45.
22
     
  
P t t t t
tt

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
11
22

    t a b c


Bài 14. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa mãn
3
2
  abc
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
     P a b c
abc
.
Giải.
Do
P
là biểu thức đối xứng theo
,,abc
nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1
2
  abc
nên ta biến
đổi
P
như sau:
2 2 2

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
8 8 8 8 8 8 4

           


P a b c
a a b b c c a b c

2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 9
3 . . 3 . . 3 . . .
8 8 8 8 8 8 4
   

a b c
a a b b c c a b c
9 3 2 27
.9.
4 4 3 4
  
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
  abc


Bài 15. Cho

;ab
là các số thực thỏa mãn
03a
,
8 11b
và
11ab
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P ab
.
Giải.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 16

Từ giả thiết
03a
,
8 11b
và
11ab
, ta dự đoán
P
đạt giá trị lớn nhất khi
3; 8ab
, khi đó
83ab

, nên ta biến đổi
P
như sau:

 
 
2
2
35
83
11
.8 .3
24 24 4 96




  
a b a
ab
P a b
   
22
33 5 33 5.3
24
96 96

  
a
.

Vậy
max 24P
khi
3, 8ab
.

Bài 16. Cho
0, 0, 3  abc
là các số thực thỏa mãn
6  abc
. Chứng minh rằng
27
4
abc
.
Giải.
Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi
3
,3
2
  a b c
khi đó
a b c
.
Ta có
 
 
 
 
22

9
. . .
4 4 4 4 4
  

     
a b c a b c
a b a b
abc c a b a b
. Mặt khác theo giả thiết
6  abc
và
3c
suy ra
3ab
nên
9 27
.3
44
abc
(đpcm).

Bài 17. Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
6  abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

        
3 3 3

2 2 2
  
     
a b c
P
a b b c b c c a c a a b
.
Giải.
Ta có
  
3
21
2 12 18 2

  

a a b b c
a
a b b c


  
3
21
2 12 18 2

  

b b c c a
b

b c c a


  
3
21
2 12 18 2

  

c c a a b
c
c a a b

Cộng vế theo vế ta được
   
 
23
1
12 18 2
   
    
a b c a b c
P a b c

 
11
.6 1
66
     P a b c

.
Dấu “=” xảy ra khi
2  abc
.

Bài 18. Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn đẳng thức
   
3 4 3     ab bc ca a b c
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
16 1 1 1
1
29


    


abc
P
abc

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
3 3 3
3. .


  a b ab


3 3 3
3. .

  b c bc


3 3 3
3. .

  c a ca
với

là số thực dương.
Khi đó ta được:
3 3 3 3
2( ) 3 3. ( )

     a b c ab bc ca

Bất đẳng thức tương đương với
 
 
3 3 3 2
2
1
3



     a b c ab bc ca

Mặt khác
2 2 2
1 1 1 6
   
     
     
     
     
a b c
abc
(Áp dụng bất đẳng thức AM-GM)
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 17


 
2
1 1 1 6 1

      abc
abc
   
2
1 1 1

62


      


abc
abc

Từ (1) và (2) ta được
3 3 3 2
2 1 1 1 4
( ) 1 6
33



       


abc
abc

Ta chọn

sao cho đẳng thức xảy ra, tức là

  abc

Chọn

4
3


là nghiệm của phương trình
2
9 9 4



Vì vậy
 
3 3 3
16 1 1 1 28
1
2 9 3


     


abc
P
abc

Giá trị nhỏ nhất của P là
28
3
khi
4

3
  abc


Bài 19. (ĐH – K.B – 2007) Cho
,,x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 1 1
2 2 2
   

     
   


   
x y z
P x y z
yz zx xy

Giải.
Do vai trò của
,,x y z
là bình đẳng nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
x y z
.
Khi đó
2
1 1 1

2 2 . 2


    




x x x
xx
yz x x x
, nên biểu thức
P
trở thành
2 2 2
1 1 1
2 2 2
     
x y z
P
x y z
. Ta nghĩ ngay đến hàm đặc trưng có dạng
 
2
1
2

t
ft
t

.
Từ đó cho ta các biến đổi
P
như sau:
2 2 2
2 2 2
     
x y z x y z
P
yz zx xy
2 2 2 2 2 2
2 2 2

   
x y z x y z
xyz
2 2 2
2 2 2

   
x y z xy yz zx
xyz

2 2 2
1 1 1
2 2 2
     
x y z
x y z
.

Xét hàm số
 
2
1
,0
2
  
t
f t t
t
. Ta có
   
3
1 , 0
2
   f t f t

Nên
39
3.
22
P
.
Vậy
9
min
2
P
khi
1  x y z

.

Bài 20. (ĐH – K.B – 2009) Cho
,xy
là các số thực dương thay đổi thỏa mãn
 
3
42  x y xy
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
   
4 4 2 2 2 2
3 2 1     A x y x y x y

Giải.
Do vai trò của
,xy
là bình đẳng nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
xy
.
Thay vào giả thiết
 
3
42  x y xy
ta được
1
2
xy
.
Mặt khác nếu kết hợp giữa giả thiết và biểu thức

A
thì ta được hệ bất PT đối xứng với
,xy
. Nên ta
định hướng là biến đổi giả thiết và biểu thức
A
về có dạng tổng
xy
và
xy
.
Ta có
     
2 2 2
11
44

     

xy x y x y x y


     
2 2 2
22
11
22

      


x y x y x y x y

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 18

Ta có
 
3
42  x y xy
     
3 2 2
2      x y x y x y

   
32
2    x y x y
   
32
20     x y x y
     
2
1 2 2 0

       

x y x y x y

10   xy
1  xy
.
Khi đó
     
2 2 2
22
1 1 1
2 2 2

       

x y x y x y x y

Khi đó
   
2
2 2 2 2 2 2
3 2 1

     


A x y x y x y
     


 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

1
3 2 1
4

        


x y x y x y x y

     
22
2 2 2 2 2 2
93
21
44
      x y x y x y
   
2
2 2 2 2
9
21
4
    x y x y

Đặt
22
1
2
  t x y
. Xét hàm số

 
2
9
21
4
  f t t
với
1
2
t

Ta có
 
1 9 1
,
2 16 2

   


f t f t
.
Vậy
9
min
16
A
khi
1
2

xy
.

Bài 21. Cho
;;x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
2  x y z
.
Chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2     x y y z z x xy yz zx
.
Giải.
Nhận xét rằng dấu bằng xảy ra khi (chẳng hạn)
1, 0  x y z
, khi đó ta có
3 3 3 3 3 3
    x y y z z x xy yz zx
, nên ta hoàn toàn có thể sử dụng BĐT
 
2  a b a b
để
loại bỏ căn thức mà vẫn bảo toàn dấu “=” của bài toán. Khi đó bài toán trên tương đương

3 3 3 3 3 3
2     x y y z z x xy yz zx

     
2 2 2 2 2 2
2      xy x y yz y z zx z x

Mặt khác ta lại có
           
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
             xy x y yz y z zx z x xy x y z yz y z x zx z x y


 
 
2 2 2
    xy yz zx x y z

Do vậy ta chỉ cần chứng minh:
 
 
2 2 2
2    xy yz zx x y z

Áp dụng BĐT AM – GM dạng
 
2
4


ab
ab
, ta được
 
 
 

 
2 2 2 2 2 2
1
.2.
2
        xy yz zx x y z xy yz zx x y z
 
 
 
2
2 2 2
4
4
2
12
.2
2 4 8 8

    


   
xy yz zx x y z
x y z
.
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
1, 0  x y z
và các hoán vị của nó.

Bài 22. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

33
sin sin sin
2
  A B C

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 19

Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
3

  A B C
.
Vì

  A B C
ta giảm bớt số biến bằng
sin sin cos sin cosC A B B A

sin sin sin sin sin sin cos sin cos      P A B C A B A B B A
, ta nghĩ đến:
22
22
sin cos 1
sin cos 1








AA
BB
;
,AB
không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện
22
sin ,cosAA
, ta
nghĩ ngay đến bất đẳng thức
22
2


ab
ab
,
31
sin sin ,cos cos
22
   A B A B
, Ta áp dụng Cauchy:
22
22
sin sin 3 sin sin
cos cos 3 cos cos

23
3 3 3

   

    

   


   

A B A B
B A B A

Ta có:
22
1 3 3
sin sin sin sin
44
3

   
    
   

   

A B A B
. Vậy:

22
2 2 2 2
3 sin sin 1 3 3 3 3
cos cos sin sin
2 3 3 4 4 2
3

   

   
        

   
   

   

   

AB
VT B A A B


www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 20

§2. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKSKY


A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho
,,x y z
là ba số dương và
1  x y z
. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82     x y z
x y z

Giải
◊ Sai lầm :
Nhận xét: Chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
 
2
2 2 2 2
22
1 1 1 1 1 1
11
2
     
         
     
     

x x x x x
x x x x x

Tương tự ta có:
   
1 1 1 1 2 1 1 1
32
22

   
           

   
   

P x y z x y z
x y z x y z

Vậy
3 2 ?P

◊ Nguyên nhân sai lầm:
1 1 1
,,
1 1 1
3 2 ( )
1

  





  

x y z
x y z
P vn
x y z

◊ Lời giải đúng. Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi
1
3
  x y z
, và biểu thức trong căn gợi cho
ta sử dụng BCS:
 
2
2 2 2
2
1

  


   





xx
xy
với
,

là những số thỏa mãn:
2
1
11
9

   
    
x
x
x
x
, chọn
1, 9



Ta có
 
2
2 2 2 2
22
1 9 1 1 9
19
82

     
       
     
     
x x x x
x x x x

Tương tự ta có
 
1 1 1 1
99
82


     




P x y z
x y z

Do
1 1 1
1, 9x y z
x y z
     
nên ta tách
   
1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9

82
9 9 3 9
x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
     
              
     

     

Vậy
82P
, dấu “=” xảy ra khi
1
3
  x y z
.

Ví dụ 2. Cho
, , 0
1 1 1
1
x y z
x y z




  



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
111
2 2 2
  
     
P
x y z x y z x y z

Giải
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 21

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có
 
2
2
2
11
22
yz
x x y z



  


Ta chọn

sao cho
3  x y z
và
11
12
22


     
yz
x

Vậy ta có
 
 
 
 
 
2
2
2
2
22
2 1 1
22
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2
22
22
1 1 1
22



  







       


  






  





yz
x x y z
P
x z x y z
y x y z
xy
z x y z

Dấu bằng xảy ra khi
1
3 khi 3
22
       

x y z MaxP x y z


Ví dụ 3. Cho
, , 0
6



  

abc
abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2
2 2 2
1 1 1
     S a b c
b c a

Giải
◊ Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét dạng đặc biệt với
2n
.

 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2

   

a a b b a b a b
. Dấu bằng xảy ra
12
12
0  
aa
bb

Ý nghĩa: Chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài căn. Xét đánh giá
giả định với các số α, β
 



























b
a
b
a
b

a





22
22
2
2
22
2
2
1111
(1)
 
 
2
2 2 2 2
22
2 2 2 2
1 1 1 1
2b b b
c c a

  
   

   
     


   
   




 
 
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
3c c c
a a a

  
   

   
     
   

   



0
22
1 1 1 1

()




       





S a b c S
abc

Do
S
là một biểu thức đối xứng với
,,abc
nên dự đoán
0
SS
tại điểm rơi
2  abc
, khi đó tất
cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 22

Sơ đồ:
2  abc
1
1
1















a
b
b
c
c
a
4
1 1 1
1



    
a b c
b c a
4
1









◊ Giải
















b
a
b
a
b
a
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2

















c
b
c
b
c
b
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2


 
2 2 2 2

22
1 1 1 1 1
4 1 4
17 17
c c c
a a a
   
     
   
   

1 1 1 1 1 15 1 1 1
4 4 4 ( )
4 4 4 4
17 17

   
               
   

   

a b c
S a b c a b c
a b c a b c


6
1 15 1 1 1 1 3 17
66

45
4 4 4 4 2
17
17 3
2

         







a b c
abc

Với
2  abc
thì
3 17
2
MinS



Ví dụ 4. Cho
, , 0
6




  

abc
abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
1 1 1
    
  
S a b c
b c c a a b

◊ Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét đánh giá giả định với các số
,



 
cb
a
cb
a























22
2
2
1
(1)

 
2
2 2 2
1

  



   






bb
c a c a
(2)

 
2
2 2 2
1

  


   






cc
a b a b
(3)
















accbba
cbaS
111
)(.
22



 
22
1 1 1 1
o
S a b c S
a b b c c a





       


  




Do
S
là một biểu thức đối xứng với
,,abc
nên dự đoán
0
SS
tại điểm rơi
2  abc
, khi đó tất
cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
◊ Sơ đồ điểm rơi
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 23

Sơ đồ:

2  abc
1
1
1















a
b
b
c
c
a
4
1 1 1
1



    
a b c
b c a
4
1









Từ đó ta có lời giải sau đây
◊ Giải

cb
a
cb
a





















1
4)14(
1
22
2
2


 
2
2 2 2
11
4 1 4


   







bb
c a c a


 
2
2 2 2
11
4 1 4


   






cb
a b a b



 
1 1 1
17. 4


     

  

S a b c
a b b c c a

accbba
cba
accbba
cba




9
)(4

3
)(4
3

 
 
     
 
 
222
3
99

44
6
111
a b c a b c
abc
a b b c c a
       

      



)(62
9
)(62
9
8
)(
8
31
cbacba
cba
cba







   
3
31 9 9 93 9 51
6 3 .
8 8 4 4 2
2 6 2 6

      
   
abc
a b c a b c

51 3.17 3.17
.
2.17 2
2 17
   S

Vậy
2  abc
thì
3 17
2
MinS
.

Ví dụ 5. Cho
, , 0abc
thoả mãn
2 10   a b c abc

. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
8 9 8 9 8 9
66
2 4 2 4 2 4
         
b c a c a b a b c
S
abc

Giải
◊ Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
2  abc

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski ta có:

2 2 2
2
8 9 4
2 18 4. 9
24
      
b c a
b ca
aa


2 2 2

2
8 9 4
2 18 4. 9
24
      
c a b
c ab
bb

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu này được biên soạn bởi Phạm Bình Nguyên – GV trường THPT Kon Tum 24


2 2 2
2
8 9 4
2 18 4. 9
24
      
a b c
a bc
cc

 
9
1 1 1
24. 4


   


     aS
a
b c ab b
c
c
b
ca

       
4 4 4
2 2 2 6
     
              
     
     
a b c a bc b ca c ab a b c
a b c

 
4 4 4
2 2 2 2 2 2 6           a b c abc abc abc a b c
a b c

 
12 6 2 12 6.10 72       a b c abc

72
66
24
  S




Cảm ơn bạn vì đã sử dụng tài liệu này!

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com