Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng kể đến hiệu ứng P-∆ bằng phương pháp tích phân trực tiếp dạng sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC



TRẦN THANH HẢI








PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG PHẲNG
KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG P-

BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP DẠNG SAI PHÂN







LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội – 2008
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC



TRẦN THANH HẢI






PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG PHẲNG
KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG P-

BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP DẠNG SAI PHÂN

Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SĨ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đào Như Mai






Hà Nội – 2008

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
i
MỤC LỤC
MỤC LỤC i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii
DANH MỤC CÁC BẢNG v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vi
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TỔNG QUAN 3
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học 3
1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục 4
1.3 Hiệu ứng P-Delta 5
Kết luận chương 1: 7
Chương 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ 8
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 8
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ 8
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) 10
2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0) 13

2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của
biến dạng trượt 13
2.1.5 Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ
địa phương và hệ tọa độ tổng thể 15
2.2. Ma trận khối lượng 18
Kết luận chương 2 19
Chương 3. THUẬT TOÁN NEWMARK DẠNG SAI PHÂN SỬ DỤNG
TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC 20
3.1 Phương pháp Newmark 20
3.1.1. Giới thiệu chung về phương pháp Newmark họ  20
3.1.2. Phương pháp Newmark dạng sai phân (gia số tăng) 21

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
ii
3.1.3. Sơ đồ thuật toán Newmark ( = 1/4 và  = 1/2) và bỏ qua
hệ số cản 22
3.1.4 Lựa chọn bước tích phân 23
3.2 Phương pháp lặp Newton-Raphson 24
3.2.1. Cơ sở chung 25
3.2.2. Trường hợp không có cản, lực ngoài không phụ thuộc vào
chuyển vị 27
3.2.3. Nhận xét chung 28
3.2.4. Tiêu chuẩn hội tụ 30
3.3 Qui trình và chương trình tính toán 30
3.3.1. Phương pháp sai phân 30
3.3.2. Phương pháp lặp 31
Kết luận chương 3 33
Chương 4 - KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 34
4.1 Ví dụ cột thẳng 34
4.2. Ví dụ phân tích động chân đế của giàn tự nâng 43

4.2.1. Mô hình kết cấu 43
4.2.2. Tải trọng sóng 44
4.2.3. Kết quả phân tích 45
Kết luận chương 4 49
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50
Danh mục công trình của tác giả 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
PHỤ LỤC 56
PL1. Một số hàm của Matlab 56
PL2. Một số hàm của Maple 7 – tính biểu thức ở dạng chữ symbolic 57
PL3 Kết quả tính toán cho giàn tự nâng 61
PL4. Chương trình viết trên Matlab cho ví dụ cột 64

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
A – Diện tích mặt cắt ngang của phần tử.
A
1
, A
2
, A
3
, A
4
– Các hằng số tích phân.
B
– Ma trận chuyển đổi.
c
1

, c
2
– Các hệ số uốn dầm-cột.
c
b
– Tham số bowing.
E – Mô đun đàn hồi.
F,
F
– Véc tơ lực nút của phần tử lần lượt trong hệ tọa độ tổng thể và địa
phương.
G – Ma trận độ cứng kể đến ảnh hưởng của M
1
, M
2
, Q.
G
1
, G
2
– Hàm được xác định theo công thức (2.50) và (2.51)
g
(1)
, g
(2)
, g
(3)
– Ma trận xác định.
H – Độ cứng mở rộng.
I – Mô men quán tính hình học bậc 2.

i, j – Kí hiệu nút i, nút j.
 – Khối lượng riêng của vật liệu phần tử.
k
t
, K
t
– Lần lượt là ma trận độ cứng địa phương, tổng thể.
L
0
– Chiều dài ban đầu của phần tử dầm-cột.
L – Chiều dài của phần tử dầm cột lúc biến dạng.
M
c
, M
L
– Ma trận khối lượng của phần tử.
m, n – Kí hiệu các cosin, sin chỉ phương.
M
1
, M
2
– Mômen uốn tại các nút.

1
, 
2
– Góc quay tương đối tại nút.
R – Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang tổng thể.
Q – Lực dọc trục trong phần tử dầm cột.
Q

E
– Tải Euler buckling.
q = Q/Q
E
– Tỉ số giữa tải dọc trục và tải Euler.

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
iv
X, Y – Hệ tọa độ tổng thể.
x, y – Hệ tọa độ địa phương.
,v

v
– Lần lượt là véc tơ chuyển vị tổng thể, địa phương.
 = u/L
0
– Tỉ số biến dạng.
u – Biến dạng dọc trục (chịu nén).

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
v
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Tổng quan các thuật toán họ Newmark- 21
Bảng 3.2. Sơ đồ khối tính toán dựa trên mô hình Newmark 31
Bảng 4.1. Số liệu hình học và vật liệu của cột 34
Bảng 4.2. Bảng giá trị tần số riêng 35
Bảng 4.3. Tải trọng động cho các trường hợp sóng khác nhau 45
Bảng 4.5. Tần số của các dạng dao động riêng đầu 46
Bảng 4.5. Kết quả phân tích động cho 5 trường hợp tải trọng sóng 46
Bảng PL.1. Chuyển vị ngang trên mặt sàn chân đế giàn tự nâng 61

Bảng PL.2. Moment nội lực tại chân đế giàn tự nâng 62


Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng 6
Hình 2.1. Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ. 8
Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa
phương. 9
Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng. 9
Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai
đầu, (b) Chuyển vị theo các trục tọa độ. 11
Hình 3.1. Các kỹ thuật tính toán chung. 25
Hình 3.2. Phương pháp Newtow – Raphson. 26
Hình 3.3. Phương pháp ứng suất ban đầu. 29
Hình 3.4. Phương pháp Newton – Raphson cải tiến. 29
Hình 3.5. Sơ đồ khối chương trình phân tích động phi tuyến bằng phương
pháp tích phân trực tiếp 32
Hình 4.1.Mô hình tính toán. 35
a) Mô hình cột. 35
b) Mô hình tính cột được chia làm 04 phần tử. 35
Hình 4.2. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian 36
F
13
= 200sin(2t)(N), F
14
= -2000sin(2t)(N), bước thời gian t = 0.01s. 36
a) không kể đến ảnh hưởng P-Delta. 36
b) kể đến ảnh hưởng P-Delta. 36

Hình 4.3. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -5000sin(2t)(N), t
= 0.005s. 36
Hình 4.4. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -10000sin(2t)(N),
t = 0.0005s. 37

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
vii
Hình 4.5. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -10000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 37
Hình 4.6. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -20000sin(2t)(N),

t = 0.0005s. 38
Hình 4.7. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -20000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 38
Hình 4.8. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.
F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s. Tol
= 1e-09. 39
Hình 4.9. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -30000sin(2t)(N),
t=0.00005s. 39
Hình 4.10. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -30000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 40
Hình 4.11. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.F

13
= -
200sin(2t)(N), F
14
= -30000sin(2t)(N), t = 0.00005s. Tol =
1e-09. 40
Hình 4.12. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể
đến ảnh hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -
40000sin(2t)(N). 41
Hình 4.13. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -40000sin(2t)(N),
t = 5e-6s. 41
Hình 4.14. Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh
hưởng P-Delta. F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -40000sin(2t)(N),
theo Sap 2000. 42
Hình 4.15. Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian. 42
F
13

= -200sin(2t)(N), F
14
= -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s. Tol = 1e-09. 42

Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
viii
Hình 4.16.Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể
đến ảnh hưởng P-Delta, F
13
= -200sin(2t)(N), F
14
= -
40000sin(2t)(N), theo Sap 2000. 43
Hình 4. 17. Mô hình tính toán 44
Hình 4.18. Biểu đồ chuyển vị ngang tại mặt sàn 47
Hình 4.19. Mômen uốn ngang lớn nhất (tại mắt cắt sát chân cột trước) 48
Hình 4.20. Ứng suất lớn nhất (tại mép ngoài mắt cắt sát chân cột trước) 48
Mở đầu
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
1
MỞ ĐẦU
Trong thực tế phân tích động lực học của kết cấu có nhiều trường hợp
không thể dùng các mô hình tuyến tính được. Ngay cả khi kết cấu còn làm việc
trong miền đàn hồi vẫn có thể có phi tuyến hình học. Kết cấu dạng dầm - cột là
một trường hợp như vậy. Khi kết cấu dạng dầm - cột chịu uốn và chịu lực dọc
trục sẽ có các hiệu ứng sau các hiệu ứng.
 Hiệu ứng Euler, khi lực dọc trục làm giảm độ cứng chống uốn của dầm.
 Hiệu ứng P- khi ta kể đến sự thay đổi độ dài của dầm khi chịu uốn.
 Hiệu ứng của lực cắt, khi lực cắt làm tăng đáng kể góc xoay.
Mô hình phần tử dầm-cột có kể đến các hiệu ứng trên sẽ đưa đến bài toán

phi tuyến về mặt hình học.
Khi đó bài toán phân tích động lực học kết cấu

)()()()( tPtKUtUCtUM 


trở thành bài toán phi tuyến. Để giải bài toán này cần áp dụng những thuật toán
thích hợp.
Trong nhiều năm gần đây, ứng xử động lực học phi tuyến của kết cấu
khung phẳng đã được quan tâm bởi nhiều tác giả. Phân tích đáp ứng động lực
học phi tuyến tốn nhiều thời gian tính toán hơn phân tích tĩnh. Do ma trận độ
cứng tiếp tuyến không phải là hằng số mà phụ thuộc vào các chuyển vị và góc
quay của nút nên để tìm nghiệm của phương trình động lực học phi tuyến phải
sử dụng phương pháp sai phân kết hợp lặp Newton- Raphson.
Việc tìm hiểu cũng như giải bài toán khung phẳng cũng đã được sự quan
tâm của Phòng Mô phỏng và Tính toán kết cấu, đặc biệt trong các nghiên cứu
đến giàn tự nâng ngoài biển.
Khi tiến hành phân tích động các giàn tự nâng người ta thường đưa chân đế
giàn tự nâng về mô hình dầm tương đương. Khi đó các dầm tương đương này sẽ
làm việc như một cột cao “mảnh” có chịu lực dọc trục và chịu uốn dưới tác động
của lực sóng. Để mô phỏng mô hình kết cấu này nhiều tác giả (Cassidy M.J.,
Taylor R.E. & Houlsby G.T. (2001) [9], Williams M. S., Thompson R.S. G.,
Houlsby G. T. (1998) [27]) đã sử dụng mô hình dầm- cột có kể đến các hiệu ứng
phi tuyến như đã nêu. Do vậy việc nghiên cứu phân tích động lực học kết cấu kể
đến các phi tuyến hình học là một nhu cầu cần thiết.
Mở đầu
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
2
Chính vì vậy đề tài của luận văn này là một trong những nội dung nghiên
cứu về phương pháp số và mô phỏng kết cấu để đáp ứng những đòi hỏi thực tế

đặt ra cho Phòng mô phòng và tính toán kết cấu nói riêng và Viện Cơ học nói
chung.
Mục tiêu của đề tài: Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng dạng dầm - cột
có ứng xử phi tuyến hình học khi kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục. Áp dụng
thuật toán Newmark dạng sai phân để giải phương trình động lực phi tuyến.
Bố cục luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Tổng quan – Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về bài toán phi tuyến
nói chung và chú ý đến các nghiên cứu về phi tuyến hình học. Ngoài ra các
phương pháp giải bài toán phi tuyến cũng được tổng hợp ở đây.
Chương 2. Xây dựng mô hình phần tử dầm cột. Trong chương này sử dụng cách
tiếp cận của Oran và Kassmilli để xây dựng ma trận độ cứng, xây dựng ma trận
định vị và ma trận độ cứng tiếp tuyến cho phần tử dầm cột có kể đến ảnh hưởng
của lực dọc trục.
Chương 3. Thuật toán Newmark. Trình bày thuật toán tích phân trực tiếp dạng
sai phân với gia số tăng cường để giải phương trình dao động của hệ phi tuyến
không kể đến ma trận cản. Ở đây còn trình bày cụ thể thuật toán lặp Newton
Raphson để giải phương trình cân bằng.
Chương 4. Kết quả và bàn luận. Trình bày các kết quả tính số cho hai ví dụ. Thứ
nhất là dầm đứng chịu lực ngang và lực dọc trục. Thứ hai là chân đế của giàn tự
nâng tải trọng ngang là sóng và tải trọng đứng là tải trọng của phần thượng tầng.
Cuối cùng là kết luận và một số phụ lục.

Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
3
Chương 1. TỔNG QUAN
Phi tuyến là hiện tượng tự nhiên trong các bài toán vật lý. Trong thực tế các
giả thiết tuyến tính chúng ta chỉ làm trong các trường hợp đặc biệt và thường
xuyên liên quan đến một số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ,
góc quay nhỏ, sự thay đổi nhỏ của nhiệt độ, vv…

Phi tuyến hình học liên quan đến phi tuyến trong thành phần động học
chẳng hạn quan hệ biến dạng - chuyển vị trong vật rắn. Loại phi tuyến này có
thể xảy ra do các chuyển vị lớn, biến dạng lớn, góc quay lớn, v.v Biến dạng
nhỏ, nhưng chuyển vị lớn hoặc các góc quay lớn.
Phi tuyến các điều kiện biên liên quan đến các bài toán tiếp xúc cũng có thể
được phân loại như là phi tuyến hình học bởi vì diện tích tiếp xúc là một hàm
của chuyển vị. Trong bài toán này vị trí tiếp xúc không định trước trên bề mặt tự
do. Các tải trọng, hướng tải trọng và áp suất thuỷ tĩnh trên bề mặt đều thay đổi
nên được định nghĩa trong hệ tọa độ đồng hành.
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học
Bài báo sớm nhất về các phần tử hữu hạn phi tuyến được công bố bởi
Tuner và đồng nghiệp đã có từ năm 1960 và chủ yếu bắt nguồn từ công nghiệp
máy bay.
Hầu hết những nghiên cứu ban đầu liên quan đến phi tuyến hình học là bài
toán buckling tuyến tính (Gallagher, R.H. và đồng nghiệp (1963)[18]). Bài toán
phi tuyến hình học thực sự về các quy trình giải với gia số tăng được công bố
bởi Argyris và đồng nghiệp (1982, [6]) sử dụng ma trận độ cứng hình học liên
hợp với sự hiệu chỉnh của các tọa độ và với một ma trận chuyển vị ban đầu. Đặc
biệt đối với bài toán dẻo, ma trận độ cứng tiếp tuyến cấu trúc liên hệ giữa gia số
tăng của lực với gia số tăng của chuyển vị hợp thành một ma trận mô đun tiếp
tuyến là quan hệ giữa gia số tăng của ứng suất với gia số tăng của biến dạng.
Sự quan tâm đến phân tích phi tuyến của hệ khung tăng lên một cách đáng
kể trong những năm gần đây. Tổng quan các tài liệu có thể thấy có hai dạng
thuật toán phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu khung không gian phi tuyến với
biến dạng lớn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu. Đó là cách
tiếp cận theo phương pháp Lagrange tổng cộng và Lagrange điều chỉnh (Bath
K J, 1996 [8]) dựa trên các nguyên lý của cơ học môi trường liên tục, biến dạng
và gia số góc quay của cố thể giả thiết là nhỏ nhưng chuyển dịch thẳng có thể
Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải

4
lớn tùy ý. Phi tuyến vật liệu cũng được kể đến bằng cách xem xét các quan hệ
vật liệu tương ứng. Cách tiếp cận của Argyris (Argyris và đồng nghiệp, 1982
[5]) dựa trên các dạng dao động riêng và khái niệm góc xoay tựa tiếp tuyến để
tránh khó khăn do từ sự không tích lũy của các góc xoay lớn trong không gian.
Cả hai cách thiết lập bài toán theo Bathe và Argyris đều đòi hỏi phải chia phẩn
tử của kết cấu (như dầm, cột, v.v) làm những phần tử nhỏ để đạt được kết quả
mong muốn. Gần đây, Shi và Atluri (1989) [25] đã sử dụng trường ứng suất giả
định để thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến dưới dạng hiển. Ma trận độ cứng
này có thể sử dụng để mô hình hóa các phần tử của kết cấu khung không gian
mà không cần chia nhỏ các phần tử. Trong cách thiết lập này chuyển vị nút cho
phép lớn tùy ý, tuy nhiên góc xoay giả thiết từ nhỏ đến lớn vừa phải. Chandra và
đồng nghiệp, 1990 [10] đã đề nghị thuật toán cho dạng phần tử dầm cột, sử dụng
hàm ổn định để thiết lập quan hệ giữa lực phần tử và biến dạng. Ở đây vẫn chấp
nhận giả thiết về góc xoay từ nhỏ đến lớn vừa phải.
Gần đây Kassimali, 1983 [19] và Abbasnia và Kassimali, 1991 [4] đã trình
bày phương pháp phần tử dầm cột cho biến dạng lớn và phân tích ổn định của
khung không gian đàn hồi. Dựa trên công thức Euler tổng quát được Oran, 1973
[21] phát triển, phương pháp này tách biệt phần đóng góp của dịch chuyển như
một cố thể, chúng có thể lớn tùy ý, với biến dạng tương đối của phần tử nhận
được từ lý thuyết dầm cột. Bản chất không tích lũy của góc xoay của nút được
giải quyết bằng cách sử dụng khái niệm về ma trận định vị của nút. Thông qua
một loạt nghiên cứu số trên các lớp bài toán kết cấu đàn hồi chỉ ra rằng phương
pháp này khá chính xác ngay cả khi biến dạng ở dạng tích lũy.
Chính vì những ưu điểm cách tiếp cận này mà luân văn đã chọn công thức
Euler và các hàm ổn định để xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến.
1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục
Một trong những ứng dụng của phần tử dạng dầm-cột là trong phân tích
chân đế của giàn tự nâng. Giàn tự nâng được sử dụng phục vụ mục đích khai
thác như một giàn cố định nên thời gian làm việc ở ngoài khơi cũng kéo dài hơn.

Để có thể sử dụng trong điều kiện khắc nghiệt như vậy, cần sử dụng các phương
pháp phân tích giàn tự nâng chính xác hơn, các mô hình của giàn tự nâng cần
được mô tả sát với thực tế hơn. Giàn tự nâng thường có 3 chân được đưa đến sử
dụng ở những vùng nước sâu đến 120m. Khi đó để tính toán kiểm tra độ bền của
kết cấu chân đế người ta đưa về mô hình giàn với ba cột dầm tương đương có
thân giàn ở trên. Mô hình này đảm bảo tính hiệu quả và được sử dụng rộng rãi
Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
5
thay vì mô hình cả hệ khung giằng của chân đế. Lúc này các cột khá cao và chịu
lục dọc trục khá lớn từ toàn bộ các công trình và thiết bị đặt trên sàn công tác.
Khi đó việc áp dụng phần tử dầm cột kể đến các hiệu ứng phi tuyến là cần thiết
và thích hợp. Đó là các hiệu ứng
 Tăng độ mềm do độ dài của các chân đế - giảm độ cứng chống uốn, tăng
tần số riêng và tăng hiệu ứng động khi chịu uốn.
 Giả thiết về chuyển dịch nhỏ không còn đúng nữa và phi tuyến hình học
xuất hiện khi tải trọng của thân giàn gây nên lực dọc trục lớn ở chân đế.
Khi các lực tác động dọc trục lên các phần tử của khung tương đối đáng kể,
có hai ảnh hưởng quan trọng xảy ra:
 Sự thay đổi hình học: Lực dọc trục gây ra sự thay đổi chiều dài của phần tử
và do đó ảnh hưởng đến chuyển vị nút (ảnh hưởng mô men bậc 2).
 Sự ảnh hưởng thứ 2 là thay đổi độ cứng của phần tử do uốn gây ra bởi lực
dọc trục. Các lực này gây ra một góc xoay hoặc chuyển vị đơn vị theo
hướng ngang tại một nút phần tử giảm nếu chịu lực nén dọc trục, và ngược
lại nếu chịu kéo dọc trục. Ảnh hưởng này của lực dọc trục là đáng kể chỉ
xảy ra trong các phần tử mảnh, và được gọi là ảnh hưởng dầm-cột.
1.3 Hiệu ứng P-Delta
P-Delta là hiệu ứng phi tuyến bậc hai xảy ra trong mọi kết cấu khi các phần
tử chịu tải dọc trục. Hiệu ứng có nghĩa là sự kết hợp giữa độ lớn của tải dọc trục
(P) và chuyển dịch (delta).

Độ lớn của hiệu ứng P-delta liên quan tới:
 độ lớn của tải dọc trục P,
 độ cứng/độ mảnh của kết cấu cũng như của toàn bộ kết cấu,
 độ mảnh của từng phần tử riêng lẻ.
Bằng cách điều khiển độ mảnh, độ lớn của hiệu ứng P-delta thường được
hạn chế sao cho có thể xem như là nhỏ và sau đó “bỏ qua” trong thiết kế; chẳng
hạn tại vị trí phần tử làm tăng kích thước…
Trong khung phẳng P-Delta được hiểu như sau:
 Khung dịch chuyển; Delta.
 Tải P được đặt lệch khung đưa gây ra thêm mômen hoặc “hiệu ứng bậc 2”.
Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
6
Tuy nhiên, ở đây chỉ minh họa hiệu ứng P-Delta (P-)(P-“BIG” delta) chỉ
là một phần của hiệu ứng bậc 2.
Ở đây chúng ta hiểu hiệu ứng của cả P-“BIG” delta (P-) và P- “little” P-
như hình 1.1 sau:

Hình 1.1. Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng
Công thức tọa độ đồng hành của phần tử và phương pháp số cho phân tích
phi tuyến của khung phẳng. Dựa trên lý thuyết dầm-cột, phương trình phần tử
được xây dựng trong hệ tọa độ của phần tử (góc quay và dịch chuyển), sau đó
được chuyển sang hệ tọa độ tổng thể để ghép nối.
Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không
phụ thuộc vào các chuyển vị, còn ma trận độ cứng tiếp tuyến là hàm của chuyển
vị. Do đó tìm nghiệm của phương trình cân bằng động lực học phi tuyến ta sử
dụng thuật toán tích phân số trực tiếp Newmark dạng sai phân. Hoặc phương
pháp sai phân - lặp dựa trên tích phân trực tiếp Newmark và phương pháp
Newton – Raphson.
Ý tưởng của phương pháp lặp Newton-Raphson là tìm một nghiệm tiếp

tuyến từ đường cong quan hệ phi tuyến lực - chuyển vị tại một đoạn bất kỳ. Để
tìm một nghiệm tiếp tuyến, ma trận độ cứng được tính lại trong mỗi bước lặp có
kể đến sự thay đổi hình học cho đến khi xuất hiện tổng ứng suất nội lực, do đó
còn được gọi là ma trận độ cứng tiếp tuyến (tức thời).
Thật không may, các tiếp cận sai phân này có thể dẫn đến sự không đảm
bảo đủ điều kiện kiểm soát sai số của bài toán. Zienkienwicz, 2005 [28] đã đề
nghị một quy trình Newton-Raphson cải biên. Ngược lại với phương pháp
Newton-Raphson đầy đủ, trong đó ma trận độ cứng không phải hiểu chỉnh liên
tục. Một dạng đặc biệt của phương pháp này sử dụng chính ma trận đàn hồi ban
đầu còn được gọi là phương pháp ứng suất ban đầu và được sử dụng nhiều trong
phi tuyến vật liệu.

Chương 1. Tổng quan
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
7
Tiểu sử N.Newmark
Nathan Newmark (N. Newmark) (1910-1981) là một kỹ sư người Mỹ và là
Giáo sư của Khoa xây dựng tại Trường Đại học Illinois tại Champaign–Urbana.
Ông nghiên cứu trong lĩnh vực các công trình chịu động đất và động lực học kết
cấu. Phương pháp số nổi tiếng này được giới thiệu vào năm 1959 cho tính toán
đáp ứng động lực học của hệ tuyến tính và phi tuyến (Newmark - ).
Phương pháp Newmark là một công thức tích phân bước đơn (single-step).
Biến véc tơ trạng thái của hệ tại một thời gian t
n+1
= t
n
+t được suy ra từ các véc
tơ trạng thái đã biết tại thời gian t
n
Abbasnia, R (1991) [4].

Như vậy tùy thuộc vào hệ số lựa chọn phương pháp Newmark sẽ là phương
pháp tích phân trực tiếp hiển hoặc ẩn.
Ở trong luận văn này sử dụng Maple để xây dựng các biểu thức cho ma
trận độ cứng tiếp tuyến. Dựa trên toolbox Cafem cho bài toán tuyến tính ở trong
Matlab đã xây dựng và phát triển một số hàm để tạo một toolbox phi tuyến.
Kết luận chương 1:
Nêu tổng quan về tính chất phi tuyến của kết cấu khung phẳng, sự phát
triển của phân tích phi tuyến kể đến hiệu ứng P-delta và phương pháp số dùng
để giải phương trình động lực học phi tuyến.
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
8
Chương 2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ
Trong khuôn khổ nghiên cứu này phi tuyến hình học được xem xét. Cụ thể
xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ nhưng dịch chuyển
lớn. Như đã trình bày trong phần tổng quan ở đây sử dụng công thức Euler và
các hàm ổn định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng của lực dọc trục.
Các phi tuyến hình học ở đây gồm ảnh hưởng của lực dọc trục đến độ cứng
chống uốn và hiệu ứng P- được kể đến.
Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình của
kết cấu được rời rạc và tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn. Do vậy
chúng ta cần phải thiết lập được véc tơ nội lực của từng phần tử (là hàm của các
chuyển vị nút) từ đó tính được các ma trận độ cứng tiếp tuyến cũng là hàm của
các chuyển vị này. Ma trận khối lượng sử dụng ma trận khối lượng tập trung
như ở phần tử dầm thông thường.
2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến
2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
Một phần tử trụ với mặt cắt ngang không đổi, trong mặt phẳng X0Y. Xét
hai trạng thái tải và chuyển vị là “ban đầu” và “biến dạng”. Mỗi trạng thái này
có một hệ trục tọa độ riêng. Trong trạng thái “ban đầu” phần tử thẳng, chiều dài

L
0
và không tải dọc trục, không lực hoặc không mô men tại nút (i, j). Trong
trạng thái “biến dạng”, phần tử chịu lực đặt tại nút i và j, không chịu tải ngoài
tác dụng dọc trục (ảnh hưởng của tải ngoài được xét sau). Kí hiệu véc tơ
 
F
và
 
v
lần lượt là véc tơ lực nút
   
T
FFFFFFF
654321
,,,,,
và chuyển vị nút
   
T
vvvvvvv
654321
,,,,,
trong hệ tọa độ tổng thể XOY (Hình 2.1).

Hình 2.1. Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ.
v
1

F
2

F
1

F
3

F
4

F
5


F
6


v
2

v
4

v

5

v
6

v
3

Ban đầu
Biến dạng
Y
X
O
x
y






i
j
L
0

L
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
9

Hệ tọa độ đồng hành Oxy trên hình 2.1 được miêu tả như sau: trục Ox được
nối thông qua nút i và nút j ở vị trí hiện thời. Trục Oy được đặt vuông góc với
trục Ox. Công thức hệ tọa độ đồng hành được phát triển dựa trên các tham số
trên hình 2.1. Trong hệ tọa độ tổng thể nút i và nút j của phần tử được biểu diễn
lần lượt là (X
i
, Y
i
) và (X
j
, Y
j
).

a) b)
Hình 2.2. a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa phương.

Hình 2.3. Quan hệ lực và biến dạng.
Dưới dạng hình học ta có các quan hệ sau:

;



















































6
54
54
3
21
21
6
5
4
3
2
1
F
mFnF
nFmF
F
mFnF
nFmF
F
F

F
F
F
F
(2.1)
hay viết gọn lại dưới dạng ma trận như sau:

 
 
 
;FRF 
(2.2)
ma trận
R
gọi là ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ
trong đó

 
;







[r][0]
[0][r]
R













100
0
0
mn
nm
r][
(2.3)
Q
M
1

Q
L=L
0
- u = L
0
(1+ )
M

2

y
x
u

1


2

F
2

F
1

F
3

F
4

F
5

F
6

L

2
F

1
F

3
F
F
3

4
F

5
F

6
F

L
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
10

 sin;cos nm
(2.4)

,
)(

)(
)cos(



1
0
14
L
vvXX
ij
)(
)(
)sin(



1
0
25
L
vvYY
ij
(2.5)

.)()()(
2
25
2
140

1 vvYYvvXXLL
ijij

(2.6)
Tương tự theo hình 2.1, hình 2.2 a và hình 2.2b ta có,

 
 
 
;SBF 
 
 
 
,vRv
T

vBu
T

(2.7)

 






























010
0
1
1
1
1
100
001
0

1
1
1
1
100
00
00
)()(
)()(
LL
LL
B
(2.8)
với

,
0
L
u


 












Q
M
M
S
2
1
,
 
.













u
u
2
1
(2.9)

Chú ý rằng
)1(
0

L
biểu diễn chiều dài trong cấu hình biến dạng (chịu nén).
2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0)
Phương trình vi phân tổng quát dịch chuyển theo hướng y của phần tử AB
chịu một lực nén Q và chịu ràng buộc bất kỳ tại hai đầu là (Ghali A. vad Neville
A. M. (1989) [17]:

0
2
2
4
4

dx
yd
EI
Q
dx
yd
(2.10)

4321
AxA
L
x
A

L
x
Ay  cossin
(2.11)
A
1
, A
2
, A
3
và A
4
là các hằng số tích phân được xác định các từ điều kiện biên.
trong đó

EI
Q
L
hay
2
2
L
EI
Q 
(2.12)
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
11
Phương trình (2.10) được sử dụng để đưa ra ma trận độ cứng của một phần
tử chịu nén tương ứng với các tọa độ 1, 2, 3 và 4 trong (Hình 2.4b) (chuyển vị và

góc xoay tại các đầu nút). Các chuyển vị
 
*u
tại nút:

01
)(


x
yu
,
,
0
12








x
dx
dy
u

Lx
yu


 )(
3
,
Lx
dx
dy
u








24

(2.13)
và được viết lại dưới dạng ma trận như sau:






















































4
3
2
1
4
3
2
1
01
1
010
1010
A
A
A
A
LL
L

L
u
u
u
u
sincos
cossin
(2.14)

Hình 2.4. (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai đầu,
(b) Chuyển vị theo các trục tọa độ.
Phương trình (2.14) có thể được viết lại như sau:

 
 
 
ABu *
(2.15)
trong đó

 
























01
1
010
1010
sincos
cossin
LL
L
L
B

 
.
















4
3
2
1
A
A
A
A
A
(2.16)
Các lực
 
S
tại nút A và B là lực cắt và mô men uốn tại
0x
và
Lx 

A
Q
Q
L
y
2
B
Q
Q
L, EI
A
1
3
4
(a)
(b)
x
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
12

.
)(
)(
)(
)(











































































































Lx
Lx
x
x
Lx
Lx
x
x
dx
yd
dx
dy
Ldx
yd
dx
yd
dx
dy
Ldx
yd
EI

M
V
M
V
S
S
S
S
2
2
2
2
3
3
0
2
2
0
2
2
3
3
0
0
4
3
2
1
(2.17)
Lấy vi phân phương trình (2.11) và thay vào phương trình (2.17) ta được

 
 
 
ACS 
(2.18)
trong đó ma trận
 
C
và véc tơ
 
A
được xác định như sau:

 

































00
000
000
000
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
cossin
LL
L
L
L
EIC
,
 















4
3
2
1
A
A

A
A
A
(2.19)
từ (2.15) véc tơ
 
A
được xác định như sau:

 
 
 
*uBA
1

(2.20)
và thay vào phương trình (2.18) ta được:

 
  
 
*uBCS
1

(2.21)
đặt
    
1
 BCD
(2.22)

Phương trình (2.21) được viết dưới dạng

 
 
 
*uDS 
(2.23)
trong đó
 
D
ma trận độ cứng của phần tử và được xác định như sau:

 































































)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(

)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
scL
cs
scL
c
scL
s
scL
c
scL
c
scL
s
scL
c
scL
s
scL
s
scL
c

scL
cs
scL
c
scL
c
scL
s
scL
c
scL
s
EID
22
22
1
22
22
1
22
1
2222
1
22
22
22
1
22
22
1

22
1
2222
1
22
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
(2.24)

Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
13
với
 cosc
,
 sins

Đặt
L
EI
sc
cs
s
p
)(
)(



22
,
L
EI
c
s
t
)(
)(




22
, (2.25)
Ma trận
 
D
được viết lại như sau

 











































p
pp
pppp
p
p
p
pppp
s

L
ts
t
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
t
L
ts
s
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L

ts
L
Q
L
ts
D
22
22
22
22
)()(
)()(
(2.26)
2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0)
Tương tự như trên nghiệm của phương trình (1.9) có dạng

4321
AxA
L
x
A
L
x
Ay  coshsinh
(2.27)
ta thu được ma trận độ cứng
 
S
của phần tử là:

 











































p
pp
pppp
p
p
p
pppp
s
L
ts
t
L
ts
L
ts
L
Q

L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
t
L
ts
s
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
L
ts
L
Q
L
ts
S
22
22
22

22
)()(
)()(
(2.28)
với
L
EI
ψ)φψ(
ψ)ψψ(φ
s
p
sinhcosh
sinhcosh



22
,
,
sinhcosh
sinh
L
EI
ψ)φψ(
ψ)ψψ(
t



22

2
2
L
EI
Q 
(2.29)
2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt.
 Khi bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và chỉ kể đến ảnh hưởng hiệu
ứng P-delta. Do đó các lực tổng quát trong phương trình (1.18) được viết
lại cho cả hai trường hợp chịu kéo và chịu nén như sau (Bath K J, 1996
[8]):
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải
14

)(
221111
 cc
L
EI
MS
(2.30)

)(
211222
 cc
L
EI

MS
(2.31)

)(
b
c
L
u
EAQS 
3
(2.32)
 Đối với phần tử chịu nén (q > 0):

φφφ)(
φ)φφφ(
c
sincos
cossin



12
1
(2.33)

φφφ)(
φ)φφ(
c
sincos
sin




12
2
(2.34)

e
Q
Q
q 
,
q
22

(2.35)
 Đối với phần tử chịu kéo (q < 0):

,
sinhcosh
sinhcosh
ψψψ)(
ψ)ψψ(ψ
c



12
1
(2.36)

,
sinhcosh
sinh
ψψψ)(
ψ)ψψ(
c



12
2
(2.37)

q
22

(2.38)
với c
1
, c
2
– là hàm ổn định.
 Đối với trường hợp không có lực dọc trục (q = 0)
c
1
= 4; (2.39)
c
2
= 2; (2.40)

Tham số bowing
b
c
 ảnh hưởng của lực nén đến biến dạng dọc trục:









L
b
dx
dx
dy
c
0
2
2
1
(2.41)

2
212
2
211
)()(  bbc

b
(2.42)

,
))((
2
21
2
221
1
48
2








cc
q
ccc
b
2
21
21
2
2
4

8







cc
cc
c
b
)(
(2.43)

),(
21
2
1
2 bbc 

)(
21
2
2
2 bbc 

(2.44)
Chương 2. Xây dựng Mô hình phần tử
Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải

15
e
Q
– tải Euler buckling cho cột khớp ở hai đầu được xác định như sau:

2
2
L
EI
Q
e


,
)(
b
c
L
u
q 



2
2
(2.45)
2.1.5 Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ địa phương
và hệ tọa độ tổng thể
Các giá trị sai phân của lực
S

và
u
được định nghĩa bởi

ukS
t

(2.46)
Thành phần ma trận độ cứng tiếp tuyến
 
t
k
trong hệ tọa độ địa phương
được xác định bằng công thức:

,.
j
i
j
i
ij
t
u
q
q
S
u
S
k










3,2,1, ji
(2.47)
trong đó






























HL
L
EI
LH
G
L
EI
LH
G
L
EI
LH
G
L
EI
H
G
L
EI
c

L
EI
H
GG
L
EI
c
L
EI
LH
G
L
EI
H
GG
L
EI
c
L
EI
H
G
L
EI
c
L
EI
k
t
2

2
21
2
2
2
2
1
2
2
21
2
1
2
21
2
2
2
1
1
(2.48)
với:

)(
)(
11
2
2
1
2
2

1
2
2
1
2
2
1



























 q
q
ccc
u
cu
q
bbbb


 
1
2
212
2
211212211
1
2
2
22













q
bbbb
q
)()()()(


)()()()(
212211
1
2
212
2
211
2
2
22 


















bb
q
bb


221
2
121
2
1
2
212
2
211
2
2
2
22 


















 )()()()( bbbb
q
bb






















2
212
2
211
2
2
2
1
1
)()( bb
G
q


;
H
G
q
2
1
1





;
H
G
q
2
2
2




;
LHu
q 1



;
2
2
3
L
EI
q
S





(2.49)