Phân tích ứng xử động học của dầm nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của lực di động

đại học quốc gia hà nội Viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ Viện cơ học




Lờ Th H









PHN TCH NG X NG HC CA DM
NM TRấN NN N HI DI TC DNG
CA LC DI NG








Luận văn thạc sĩ

Hà nội 2010

đại học quốc gia hà nội Viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ Viện cơ học




Lờ Th H







PHN TCH NG X NG HC CA DM
NM TRấN NN N HI DI TC DNG
CA LC DI NG

Ngnh : C hc
Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn

Mã số: 60 44 21




Luận văn thạc sĩ




Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyn ỡnh Kiờn




Hà nội 2010
MỤC LỤC

Mở đầu…………… 1
1. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 1
2. Nội dung chính luận văn 2
3. Bố cục của luận văn… 3
Chương 1 4
1.1Tổng quan về bài toán di động 5
1.2 Bài toán tải di động cơ bản 7
Chương 2 11
Mở đầu 11

2.1 Đặt bài toán 12
2.2 Mô hình dầm Bernoulli 13
2.3 Mô hình nền Pasternak 13
2.4 Năng lượng biến dạng màng 14
2.5 Động năng 15
2.6 Nguyên lý Hamilton và phương trình chuyển động 16
2.7 Phương trình phần tử hữu hạn 18
2.8 Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng 21
2.9 Vectơ lực nút phần tử 22
Kết luận chương 2 23
Chương 3 24
Mở đầu 24
3.1 Vectơ lực nút của kết cấu 24
3.2 Trường hợp một tải trọng tác dụng lên dầm 24
3.3 Trường hợp đa tải trọng tác dụng lên dầm 25
3.4 Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark 26
3.5 Chương trình số 31
Kết luận chương 3 41
Chương 4 42
Mở đầu 42
4.1 Các tham số hình học và vật liệu 40
4.2 Các tham số không thứ nguyên 42
4.3 Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số 45
4.4 Dầm tựa giản đơn 47
4.5 Dầm công- xôn 53
4.6 Trường hợp đa tải trọng di động 56
Kết luận chương 4 61
Kết luận 62
Danh mục công trình công bố của tác giả 64
Tài liệu tham khảo 65

1

MỞ ĐẦU

1. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Kết cấu chịu tải trọng di động là bài toán có ý nghĩa khoa học, được ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật dân dụng. Trong thực tiễn có nhiều kết
cấu chịu tác dụng của tải trọng di động, điển hình trong số đó là các các kết cấu
trong lĩnh vực giao thông vận tải như đường ray xe lửa, cầu, đường băng sân
bay Trong lĩnh vực thiết kế, chế tạo cơ khí nhiều chi tiết máy cũng chịu tác
động của tải trọng di động và việc xác định chuyển dịch, ứng suất, biến dạng
động đóng vai trò quan trọng tới độ chính xác trong hoạt động của máy móc
cũng như độ bền của chi tiết.
So với các bài toán động lực học kết cấu thông thường, bài toán kết cấu
chịu tải trọng di động có các đặc trưng riêng. Vị trí của tải trọng trong các bài
toán này thay đổi theo thời gian và vì thế việc phân tích các bài toán loại này cần
các kỹ thuật riêng. Cần lưu ý rằng, sự thay đổi vị trí của tải trọng là nguồn động
học duy nhất gây ra dao động của kết cấu.
Phương pháp giải tích, chủ yếu dựa trên phép biến đổi Fourier và biến đổi
Laplace cho phép thu được nghiệm của một số bài toán cơ bản. Nội dung của
phương pháp giải tích và các kết quả chính được Fryba trình bày chi tiết trong
tài liệu chuyên khảo [1]. Bên cạnh phương pháp dựa trên biến đổi Fourier và
biến đổi Laplace, phương pháp chồng chất mode (mode superposition method)
cũng được Timoshenk và các đồng nghiệp sử dụng để xây dựng biểu thức độ
võng động học cho dầm chịu tác động tải trọng di động [2].
Trong những năm gần đây, các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp
phần tử hữu hạn được sử dụng như là giải pháp thay thế để giải quyết các bài
toán khoa học kỹ thuật mà phương pháp giải tích truyền thống bị hạn chế. Đề

tài phân tích kết cấu chịu tải trọng di động cũng không nằm ngoài xu hướng này.
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho phép người phân tích đánh giá ảnh
hưởng của nhiều yếu tố khác nhau tới ứng xử phức tạp của kết cấu. Phương
pháp phần tử hữu hạn là công cụ hữu hiệu nhất trong việc phân tích kết cấu có
ứng xử phi tuyến nói chung và kết cấu phi tuyến chịu tải trọng di động nói riêng.
Luận văn này nhằm phân tích ứng xử động học của kết cấu dầm nằm trên
nền đàn hồi chịu tác động của tải trọng di dộng điều hòa bằng phương pháp phần
tử hữu hạn. Như đã biết, nhiều kết cấu trên thực tế chẳng hạn kết cấu cầu, đường
2

băng có thể được mô phỏng như là dầm chịu tải trọng di động, và vì thế luận
văn có ý nghĩa trực tiếp trong lĩnh vực giao thông vận tải.
Trong luận văn chỉ giới hạn nghiên cứu ứng xử động học của dầm nằm
trên nền đàn hồi dưới tác dụng của lực di động ( mô hình này là một phần của
mô hình xây dựng công trình giao thông). Để làm điều này, cần xây dựng ma
trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm tính tới các ảnh hưởng nêu trên.
Đặc biệt cần nghiên cứu giải pháp xây dựng vec-tơ lực nút cho trường hợp lực di
động có các đặc tính khác nhau. Trên cơ sở công thức phần tử hữu hạn xây
dựng được, thiết lập chương trình tính toán trên cơ sở phương pháp tích phân
trực tiếp Newmark. Ảnh hưởng của nền đàn hồi, tần số, vận tốc và gia tốc của
lực tới các đặc trưng động học của dầm được nghiên cứu dựa trên chương trình
số phát triển.

2. Nội dung chính luận văn
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu ứng xử động học của dầm dự
ứng lực nằm trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng di động điều hòa.
Trường hợp tải trọng tập trung được nghiên cứu trong luận văn như là trường
hợp riêng của tải trọng di động điều hòa khi giá trị của tần số kích động nhận
giá trị riêng nào đó để thành phần điều hòa trở thành hằng số. Một trong các
điểm mới của luận văn so với các công việc trong [15, 16] là nghiên cứu ứng xử

của dầm có các điều kiện biên khác nhau. Thêm vào đó, luận văn cũng sẽ cố
gắng mở rộng cho trường hợp nhiều tải trọng.
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp phần tử
hữu hạn Galerkin. Trong phương pháp này, công thức phần tử hữu hạn được xây
dựng từ phương trình chuyển động của bài toán. Tác giả nhận thấy rằng sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin, mối liên hệ giữa phương pháp giải tích
truyền thống và phương pháp số trở lên gần gũi hơn vì cả hai phương pháp đều
xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ kết cấu. Mặc dù luận văn liên
quan tới dầm Bernoulli nhưng phương pháp trình bày trong luận văn hoàn toàn
có thể phát triển cho trường hợp dầm Timoshenko, trong đó độ võng và góc
quay là các biến độc lập.

3. Bố cục của luận văn
Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản của bài toán tải trọng di động, tổng
quan của đề tài.
3

Chương 2: Xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho bài toán trên cơ sở
phương pháp Galerkin. Xuất phát từ phương trình chuyển động viết cho hệ dầm
trên nền đàn hồi có tính tới ảnh hưởng của lực dọc trục, phương trình phần tử
hữu hạn được xây dựng trên cơ sở các hàm xấp xỉ của độ võng.
Chương 3: Trình bày thuật toán giải phương trình chuyển động theo ngôn
ngữ phần tử hữu hạn. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở
thuật toán gia tốc trung bình, sử dụng trong luận án, được mô tả chi tiết. Các
chương trình tính toán cụ thể cũng được liệt kê trong chương 3.
Chương 4: Trình bày các kết quả số, trong đó ảnh hưởng của các tham số
lực ngoài, độ cứng nền và lực dọc trục tới ứng xử động học của dầm được khảo
sát chi tiết. Cuối cùng, một số vấn đề chính rút ra từ luận văn được trình bày
trong phần kết luận.

4

Chương 1
DẦM CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

1.1 Tổng quan về bài toán dầm chịu tải trọng di động
Bài toán dầm chịu tải trọng di động được quan tâm rất sớm, đặc biệt trong
lĩnh vực cầu đường. Nhiều kết quả nghiên cứu đã được công bố, tuy nhiên chỉ
các kết quả chính hoặc ít nhiều liên quan tới luận văn này được tóm lược ở đây.
Các công trình nghiên cứu trong [1] của Fryba là tài liệu có giá trị nhất trong
lĩnh vực kết cấu chịu tải trọng di động nói chung và kết cấu dầm nói riêng. Trên
cơ sở các phép biến đổi Fourier và Laplace, Fryba đã xây dựng một cách hệ

thống biểu thức độ võng và mô men động cho một loạt bài toán cơ bản của dầm
chịu các loại tải trọng di dộng khác nhau. Sử dụng phép biến đổi Fourier, trong
thời gian gần đây nhiều tác giả đã mở rộng việc phân tích sang các bài toán dầm
nằm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động [3,4]. Ảnh hưởng của lực dọc trục
tới ứng xử động học và ổn định của dầm nằm trên nền đàn hồi cũng được Kim
và cộng sự nghiên cứu bằng phép biến đổi Fourier [5-7]. Cũng theo hướng này,
Chonan xây dựng biểu thức độ võng và mô men động của dầm Timoshenko tựa
giản đơn nằm trên nền đàn hồi Pasternak dưới tác động của lực di động có vận
tốc không đổi [8]. Ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc của tải di động tới ứng xử
của dầm dưới tác động của lực tập trung và lực di động điều hòa lần đầu tiên
được Abu-Hilal và các cộng sự quan tâm nghiên cứu [9,10].
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích bài toán tải trọng di
động của kết cấu nói chung và của dầm nói riêng được bắt đầu quan tâm nghiên
cứu từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hino và các cộng sự sử dụng phương
pháp Galerkin, một dạng của phương pháp gia trọng dư (weight residual
method) để phân tích ứng xử động học của cầu và dầm dưới tác động của lực di
động có tính tới yếu tố chuyển vị lớn [11, 12]. Phương trình chuyển động trong
[11, 12] được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark trên cơ sở
tuyến tính hóa tại mỗi bước thời gian. Sử dụng phần tử Bernoulli 2 nút truyền
thống, Lin và Trethewey nghiên cứu bài toán dầm Bernouli dưới tác động của hệ
lò xo-tải trọng di động trên dầm với vận tốc không đổi. Độ võng động học của
dầm được Lin và Trethewey thu nhận bằng phương pháp Runge-Kutta. Cũng
trên cơ sở phần tử dầm Bernoulli 2 nút, Thambiratnam và Zhuge tính toán sự
phụ thuộc của độ võng và ứng suất cực đại trong dầm thay vào các tham số lực
ngoài và độ cứng nền của dầm nằm trên nền Winkler chịu tác động của tải trọng
5

di động [14]. Kết quả số nhận được trong [14] cho thấy sự phụ thuộc phức tạp
của độ võng và ứng suất động học vào độ cứng nền và sự phụ thuộc này bị chi
phối đáng kể bởi vận tốc tải trọng. Thambiratnam và Zhuge mở rộng phương

pháp nghiên cứu và các kết quả nhận được vào việc phân tích ứng xử động học
của đường ray chịu tải di động của đoàn tàu. Sử dụng phương pháp năng lượng,
các tác giả trong [15, 16] đã xây dựng công thức phần tử dầm Bernoulli cho
phân tích động học có tính tới ảnh hưởng của nền đàn hồi và lực dọc trục. Sự
phụ thuộc của độ võng động của dầm chịu tải trọng di động điều hòa vào các
tham số tải trọng, độ cứng nền và lực dọc trục được nghiên cứu chi tiết trong [15,
16] trên cơ sở thuật toán gia tốc trung bình của phương pháp tích phân trực tiếp
Newmark.
Trong thời gian gần đây hướng nghiên cứu ứng xử của dầm dưới tác động
của tải trọng di dộng trên cơ sở phương pháp nhân tử Lagrange trong đó phương
trình chuyển động của dầm được giải trên cơ sở xấp xỉ độ võng bằng các đa thức
thu được các kết quả đáng ghi nhận [17, 18]. Phương pháp đề nghị bởi Kocaturk
và Simsek trong [17, 18] tương đối đơn giản và hiệu quả, có thể tính tới ảnh
hưởng của các yếu tố khác nhau như lực dọc trục, tính nhớt của dầm. Phương
pháp cũng được các tác giả mở rộng cho phân tích ứng xử phi tuyến động học
của dầm dưới tác động của tải trọng di động điều hòa [19].
Trong các nghiên cứu trên, ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc của tải trọng
di động tới ứng xử của dầm còn ít được quan tâm nghiên cứu. Theo hiểu biết của
tác giả, ngoại trừ các công trình của Abu-Hilal và các cộng sự trong [9, 10],
trong đó ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc tới độ võng dầm được nghiên cứu
trên cơ sở biến đổi Fourier. Tuy nhiên, ảnh hưởng của vận tốc thay đổi tới hệ số
động lực độ võng và mô men dầm chưa được khảo sát chi tiết và đây sẽ là một
trong các mục đích của luận văn.

1.2 Bài toán tải trọng di động cơ bản

Hình 1.1: Bài toán tải trọng di dộng cơ bản của dầm
6

Để định hướng cho việc nghiên cứu đề tài của luận văn và hiểu được các

yếu tố ảnh hưởng tới các đặc trưng động học của dầm khi chịu tải di động, mục
này xem xét bài toán tải trọng di dộng cơ bản. Bài toán liên quan tới dầm tựa
giản đơn có chiều dài
L
, độ cứng chống uốn
EI
chịu tải trọng di động tập trung
f như minh họa trên Hình 1.1, trong đó

,A tương ứng là diện tích thiết diện
ngang và mật độ khối lượng của vật liệu dầm .
Phương trình chuyển động cho dầm dễ dàng thiết lập bằng cách xét cân
bằng cho một phân tố dầm [20] và có dạng:
)(
),(),(
2
2
4
4
vtxf
t
txw
m
x
txw
EI 







(1.1)
trong đó Am


(đơn vị là kg/m) là khối lượng trên một đơn vị chiều dài dầm;

là hàm Delta Dirac và
v
là vận tốc của tải trọng f . Tại thời điểm
0

t
khi
lực f bắt đầu tác động lên nút trái của dầm.
Để giải được phương trình (1.1) ta cần đưa vào điều kiện biên và điều kiện
ban đầu
0),(

txw và 0
2
2



x
w
tại Lx ,0


(1.2)
0),(

txw và
0


t
w
với
0

t
(1.3)
Phương trình (1.2) yêu cầu chuyển vị và mô men tại hai đầu dầm luôn phải
bằng không, trong khi phương trình (1.3) yêu cầu chuyển vị và vận tốc của dầm
tại thời điểm ban đầu bằng 0. Tất nhiên, chuyển vị và vận tốc ban đầu có thể
khác 0, nhưng thuật toán và phương pháp giải có thể dễ dàng mở rộng cho
trường hợp này và vì thế luận văn giả định điều kiện ban đầu được cho bởi
phương trình (1.3).
Cần lưu ý rằng bài toán cơ bản mô tả bởi các phương trình (1.1)-(1.3) được
xây dựng trên một loạt các giả thiết: dầm ban đầu thẳng lý tưởng với diện tích
thiết diện ngang
A
không đổi, vật liệu dầm là đàn hồi tuyến tính, chuyển vị của
dầm là nhỏ, bỏ qua ảnh hưởng của nhớt. Ảnh hưởng của biến dạng trượt và
quán tính quay được bỏ qua trong phương trình (1.1), điều này có nghĩa rằng tỷ
số giữa chiều cao thiết diện ngang của dầm và chiều dài dầm nhỏ. Thêm vào đó,
ảnh hưởng tương tác giữa tải trọng và biến dạng của dầm cũng được bỏ qua
trong bài toán cho bởi các phương trình (1.1)-(1.3).

Nghiệm giải tích của các phương trình (1.1)-(1.3) có thể nhận được bằng
các phương pháp khác nhau như trình bày trong [1]. Một phương pháp khác khá
đơn giản trên cơ sở tách biến do Olsson đề nghị trong [21]
7





1
)/sin()(),(
n
n
Lxntztxw

(1.4)
trong đó
)(tz
n
chỉ phụ thuộc vào
t
là các modal chuyển vị (modal displacements)
và )/sin( Lxn

chỉ phụ thuộc vào
x
là các hàm riêng (eigen functions). Đặt
phương trình (1.4) vào (1.1) ta nhận được phương trình để xác định )(tz
n

)sin(
2
)(
)(
2
2
2
t
AL
f
tz
t
tz
nn






(1.5)
với


2,1n ,
vLt /0


và
2

22
2
AL
EIn
n




,
Lvn
n
/


(1.6)
là bình phương các tần số dao động riêng và tần số lực kích động. Với điều kiện
ban đầu cho bởi phương trình (1.3), nghiệm của phương trình (1.6) có dạng:
)sin(sin
1
12
)(
22
tt
AL
f
tz
nn
n
n






với 1
n

(1.7a)
)cos(sin)(
2
ttt
AL
f
tz
nnn



với 1
n

(1.7b)
trong đó
n

là tỷ số của các tần số,
n
n
n


/ . Từ các phương trình (1.4),
(1.7a) và (1.7b) ta nhận được nghiệm giải tích của bài toán giá trị ban đầu (1.1)-
(1.3) như sau [21]:






















L
xn
T
tn

nT
tn
nn
wtxw
n




sinsinsin
)(
196
),(
2
222
1
0
4
,
n


(1.8a)








































L
x
T
t
T
t
T
t
w
L
xn
T
tn
nT
tn
nn
wtxw
n
n







sincossin
2
196

sinsinsin
)(
196
),(
4
0
4
2
222
1
0
4
,
n


(1.8b)
trong đó:
EI
fL
w
48
3
0

là độ võng tại điểm chất tải tĩnh f tại giữa dầm;
vLT /



là tổng thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài dầm;

là tham số không
thứ nguyên đặc trưng cho vận tốc của tải di động, định nghĩa bởi
T
T
L
v
n
n


2
1
1



(1.9)
với
1

là tần số dao động cơ bản và
1
T
là chu kỳ mode dao động thấp nhất của
dầm.
8

Từ các phương trình (1.8a), (1.8b) ta thấy rằng độ võng động học trực

chuẩn
0
/),( wtxw chỉ phụ thuộc vào 3 tham số không thứ nguyên là ,/Lx
Tt

/
và

. Các tham số này đặc trưng cho vị trí của điểm tại đó độ võng được xem xét,
thời gian hiện tại tải đã di chuyển và vận tốc của tải trọng. Trong 3 tham số này

đóng vai trò quan trọng tới các đặc trưng động học của dầm. Với
1


,
phương trình (1.9) cho


1
L
v
cr

(1.10)
Vận tốc
cr
v định nghĩa bởi phương trình (1.10) được gọi là vận tốc tới hạn
[1], phụ thuộc vào tần số cơ bản (fundamental frequency) của dầm. Như vậy, tùy
theo độ cứng của dầm mà vận tốc tới hạn nằm trong khoảng 1500400 

cr
v
km/h, [1, 21]. Với giá trị này của vận tốc tới hạn, chỉ với các giá trị
10



là
có ý nghĩa thực tế, và vì thế các đặc trưng động học của kết cấu chỉ được khảo
sát trong miền
10



. Với (1.9) và (1.10), tham số vận tốc

được định nghĩa
là tỷ số của vận tốc tải di động và vận tốc tới hạn,
cr
vv/

.
Để hiểu rõ ảnh hưởng của tải trọng di động tới ứng xử động học của dầm
người ta đưa vào khái niệm "hệ số động học". Hệ số động học cho độ võng
D
f

được định nghĩa bởi [1]
0
),2/(

w
tLw
f
D
 (1.11)
Tương tự ta cũng có các khái niệm cho hệ số động học cho mô-men của dầm
0
),2/(
M
tLM
f
M
 (1.12)
Trong đó
4/
2
0
fLM 
là mô-men tĩnh tại giữa dầm. Từ các phương trình
(1.8a) và (1.8b) ta có thể xây dựng đường cong sự phụ thuộc của
D
f
vào tham
số thời gian với các giá trị khác nhau của tham số vận tốc

. Kết quả được minh
họa trên Hình 1.2 trong đó đường cong ứng với
0



chính là đường ảnh hưởng
của dầm trong trường hợp tĩnh.
9


Hình 1.2: Hệ số
D
f
của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của


Từ Hình 1.2 ta có thể rút ra một số nhận xét quan trọng liên quan tới ứng
xử động học của dầm:
Với
1


,
0

D
f
với
1

T
t
. Nói cách khác, độ võng tại giữa dầm bằng 0
tại thời điểm tải trọng ra khỏi dầm.
Với

1


, hệ số động học cho độ võng đạt giá trị cực đại trong khoảng
thời gian tải trọng ở trên dầm. Với
1


,
D
f
đạt cực đại ngay tại thời điểm tải
trọng ra khỏi dầm, tức là
Tt


.
Các đường cong ứng với 125,0


và với 25,0


dao động quanh đường
ảnh hưởng của dầm trong trường hợp tải trọng tĩnh. Trong các trường hợp này,
như ta thấy từ phương trình (1.9), thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài
dầm tương ứng bằng 4 và 2 lần chu kỳ dao động thấp nhất
1
T
. Như ta thấy từ

hình 1.2, tương ứng với các giá trị này của

, mode dao động thấp nhất có đủ
thời gian để thực hiện 4 và 2 chu trình dao động.
Giá trị cực đại cho hệ số động học
D
f
tương ứng với các giá trị của tham số
vận tốc ;125,0


0,25; 0,5; 1 là 1,1209; 1,2575; 1,7054 và 1,5487. Như vậy,
với một hệ kết cấu tồn tại một giá trị vận tốc của tải trọng ngoài với nó đáp ứng
động học là cực đại. Để đánh giá ứng xử động học và độ an toàn của kết cấu cần
xác định giá trị vận tốc này cho mỗi kết cấu.
Một số nhận xét tương tự trên cơ sở xây dựng các đường cong cho hệ số
động học mô-men, định nghĩa bởi phương trình (1.12). Sự phụ thuộc của hệ số
động học
M
f
vào các tham số tải trọng không phải khi nào cũng đồng nhất như
10

D
f
[1, 21]. Thêm vào đó, như Olsson nhấn mạnh trong [21], các code thiết kế
cầu dựa trên cơ sở mô-men cực đại và vì thế việc đánh giá mô-men động là cần
thiết, không thể bỏ qua trong việc phân tích bài toán tải trọng di động. Từ các
phân tích và kết quả về ứng xử động học của bài toán tải trọng di động trình bày
trên ta có thể rút ra một số nhận xét để định hướng trong việc nghiên cứu bài

toán ứng xử động học của kết cấu chịu tải trọng di động:
 Cần xác định giá trị vận tốc tới hạn
cr
v
cho kết cấu trên cơ sở tần số dao
động cơ bản của kết cấu
1

. Trên cơ sở giá trị
cr
v nhận được đánh giá các hệ
số động học cho chuyển vị
D
f
và hệ số động học cho moment
M
f
.
 Việc đánh giá ứng xử động học tốt nhất được thực hiện qua các tham số
không thứ nguyên.
 Cần đánh giá ứng xử cực đại cho các hệ số
D
f
và
M
f
. Trong trường hợp
tổng quát, giá trị cực đại của các đại lượng này không chỉ phụ thuộc vào
vận tốc mà còn phụ thuộc vào các tham số khác. Cần khảo sát ảnh hưởng
tương hỗ của các tham số tới ứng xử cực đại của kết cấu.

11

Chương 2
CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN

Mở đầu
Như đã trình bày trong chương 1, luận văn này nhằm nghiên cứu ứng xử
động học của dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng
di động. Lý thuyết dầm sử dụng trong luận văn là lý thuyết dầm Bernoulli, tức
là thỏa mãn các giả thiết Kirchhoff. Như vậy, độ võng và góc quay của dầm là
các hàm phụ thuộc lẫn nhau. Dự ứng lực trong dầm được tạo ta bởi lực dọc trục,
trong quá trình chế tạo dầm nhằm làm tăng khả năng sử dụng hữu hiệu vật liệu.
Trong lĩnh vực cơ học kết cấu, có nhiều mô hình khác nhau có thể sử dụng
để mô phỏng ảnh hưởng của nền đất tới kết cấu dầm. Chi tiết của các mô hình
cùng với các ưu, nhược điểm được Dutta và Roy trình bày kỹ lưỡng trong [22].

Mô hình toán học cho hệ dầm-nền trình bày trong nghiên cứu này dựa trên giả
thiết liên kết giữa dầm và nền là lý tưởng và như vậy nền không bị tách ta khỏi
dầm ngay cả khi nó bị kéo. Luận văn này sử dụng mô hình nền Pasternak, một
mô hình có độ chính xác cao hơn mô hình truyền thống Winkler và được sử
dụng trong các tài liệu [8, 15, 16] trong nghiên cứu ứng xử động học của dầm
trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, công
thức phần tử hữu hạn trong [15, 16] được xây dựng trên cơ sở phương pháp
năng lượng, khác với phương pháp Galerkin trình bày dưới đây.

2.1 Đặt bài toán
Xét bài toán dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động điều hòa
tftf  cos)(
0
như minh họa trên Hình 2.1 cho trường hợp dầm tựa giản đơn. Ký
hiệu

,,, EIAL lần lượt là tổng chiều dài, diện tích thiết diện ngang, độ cứng
chống uốn và mật độ khối lượng.

Hình 2.1: Mô hình dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi Pasternak
12

Vận tốc của lực
)(tf
được giả định thay đổi theo thời gian. Hàm
)(ts
mô tả vị trí
hiện tại của lực )(tf tính từ đầu trái dầm, được tính bởi công thức

22

2
1
2
1
)( t
T
vv
vatvts
LR
LL



(2.1)
trong đó
RL
vv ,
tương ứng là vận tốc của lực )(tf tại đầu trái và đầu phải của
dầm;
a
là gia tốc của lực di động, được giả thiết là không đổi;
T

là tổng thời
gian cần thiết để lực
)(tf
đi hết chiều dài dầm;
t
là thời gian hiện tại, tính từ khi
tải bắt đầu vào dầm.

Nền đàn hồi được mô hình bởi nền Pasternak, đặc trưng bởi hai tham số
1
k
và
2
k
, trong đó
1
k
đặc trưng cho khả năng chịu nén được mô tả bởi các lò xo
Winkler còn
2
k
đặc trưng cho sự trượt [22]. Việc đưa vào tham số
2
k
nhằm tính
tới ảnh hưởng tương tác giữa các lò xo Winkler mà mô hình nền Winkler thiếu
vắng.
Dầm dự ứng lực được đặc trưng bởi lực dọc trục
N
, đặt chính tâm tại hai
đầu dầm. Lực
N
thường được đưa vào trong quá trình chế tạo dầm, vì thế là giá
trị của lực dọc trục
N
không thay đổi trong suốt quá trình làm việc của dầm.
Với sự có mặt của lực dọc trục các đặc trưng động học của dầm, kể cả tần số dao
động riêng, biên độ dao động thay đổi. Vì vậy, các hệ số động học cho độ võng,

mô-men của dầm khi chịu tải trọng di động cũng thay đổi theo. Mục đích chính
của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tải trọng, lực dọc trục và
độ cứng nền tới các đặc trưng động học của dầm.
2.2 Mô hình dầm Bernoulli
Dầm xem xét trong luận án được giả định tuân theo lý thuyết dầm
Bernoulli, tức là thỏa mãn các giả thiết cơ bản Kirchhoff [23]:
 Thiết diện ngang của dầm không biến dạng
 Chuyển dịch ngang trên thiết diện ngang đồng nhất, và để đơn giản các
chuyển dịch này được giới hạn trong mặt phẳng (oxz)
 Một thiết diện trước biến dạng thẳng và vuông góc với đường trung hoà thì
sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với đường trung hoà của dầm.
13


Hình 2.2: Giả thiết Kirchhoff và lý thuyết dầm Bernoulli
Từ các giả thiết Kirchhoff và với lý thuyết chuyển vị nhỏ từ Hình 2.2 ta có
thể xác định các thành phần chuyển vị tại một điểm nằm cách trục trung hòa một
khoảng
z
như sau:
x
w
zzzxu




),(
;
0


v
; )(xww

(2.2)
trong đó

là góc quay của thiết diện ngang của dầm. Độ cong của dầm được
định nghĩa là sự thay đổi của góc quay theo chiều dài dầm
2
2
x
w
x 







(2.3)
Từ phương trình (2.2), biến dạng dọc trục của dầm Bernoulli được tính bởi

z
x
w
z
x
u

x







2
2
(2.4)
Trong đó
2
2
x
w




là độ cong của dầm. Với giả thiết ứng xử đàn hồi tuyến tính,
năng lượng biến dạng sinh ra do uốn dầm Bernoulli được tính bởi
 












A
LL
V
xB
dx
x
w
EIdAEzdxdxEU
0
2
2
2
0
22
2
1
2
1
2
1

(2.5)
Trong đó
E
là mô-đun đàn hồi vật liệu dầm;
I

là mô-men quán tính bậc hai của
thiết diện ngang dầm.
2.3 Mô hình nền Pasternak
Như đã trình bày trên, mô hình nền Pasternak được đặc trưng bởi hai tham
số là
1
k
và
2
k
. Tham số
1
k
là độ cứng của mô hình nền Winkler, trong đó nền
được lý tưởng hóa bằng các lò xo tuyến tính, độc lập với nhau. Hình 2.3 minh
14

họa mô hình vật lý của nền Winkler trong đó biến dạng của nền dưới tác động
của tải ngoài chỉ giới hạn trong miền đặt lực. Mối liên hệ giữa áp lực
p
và
chuyển vị nền
w
tại điểm bất kỳ cho bởi:
wkp
1

(2.6)
trong đó,
1

k
là tham số đặc trưng cho độ cứng của nền, thường được biết đến với
tên "độ cứng của lò xo Winkler".


Hình 2.3: Mô hình nền Winkler
Từ mối liên hệ (2.6), năng lượng biến dạng tích lũy khi nền Winkler biến dạng
do tác động trên miền có chiều dài
L
cho bởi:


L
dxwkU
0
2
11
2
1
(2.7)
Tuy nhiên, trên thực tế ngoài đặc tính chịu nén các lớp của nền đất còn
trượt tương đối với nhau và mô hình nền Winkler không xét tới ảnh hưởng trượt
này. Nói cách khác, hạn chế của mô hình nền Winkler là không tính tới ảnh
hưởng tương tác giữa các lò xo Winkler. Để khắc phục hạn chế này, nhiều mô
hình nền khác nhau đã được đưa ra [22], trong số đó mô hình nền Pasternak hiện
được sử dụng rộng rãi hơn cả. Trong mô hình nền Pasternak, lớp trượt với độ
cứng
2
k
được đưa vào để đặc trưng cho sự tương tác của các lò xo Winkler. Lực

trượt
x
w
k


2
tạo ra năng lượng đàn hồi trong quá trình nền biến dạng cho bởi [24]










L
dx
x
w
kU
0
2
22
2
1
(2.8)

2.4 Năng lượng biến dạng màng
Công của lực dọc trục
N
được tích lũy dưới dạng năng lượng biến dạng
màng
N
U
[24]. Công của lực dọc trục
N
được tính trên cơ sở xác định biến
dạng màng của dầm khi có lực dọc trục tác dụng lên dầm.
15


Hình 2.4: Mối liên hệ hình học cho phân tố vi phân
dx

Xét phân tố vi phân có độ dài
dx
như trên Hình 2.4. Độ dài mới của phân tố
sau biến dạng có thể xấp xỉ bởi
2
1
2
1


















x
w
dxds
(2.9)
Như vậy, biến dạng màng được tính bởi
2
2
1












x
w
dx
dxds
m

(2.10)
Như đã nói ở trên, trong quá trình biến dạng tạo ra độ võng nhỏ )(xw lực
dọc trục
N
không đổi. Mỗi phân tố
dx
bị co lại một khoảng dx
m

, và như vậy
lực dọc trục sinh ra một công có độ lớn dxN
m

. Từ (2.10), năng lượng biến dạng
màng tích lũy trong dầm do lực dọc trục
N
gây ra là











L
N
dx
x
w
NU
0
2
2
1
(2.11)
trong đó
N
nhận giá trị dương khi nó là lực kéo và nhận giá trị âm khi nén.

2.5 Động năng
Động năng T của dầm được tính theo công thức:
dV
t
w
t
v
t
u
T
V






































222
2
1

(1.12)
Trong đó V là thể tích của dầm.
Từ phương trình (2.2) và (2.12) ta có:
=
∫ ∫







+









 (2.13)
Hay
dx
t
w
A
t
IT
L




























0
22
2
1



(2.14)
16

Trong phương trình (2.14) số hạng thứ nhất mô tả động năng quay của thiết
diện ngang của dầm, số hạng thứ hai là động năng cho chuyển vị theo phương z.
Trong lý thuyết dầm Bernoulli ảnh hưởng của quán tính quay thường được bỏ
qua [17,20] tức là bỏ qua số hạng thứ nhất trong vế phải của phương trình (2.14).
Vì vậy, biểu thức động năng cho dầm Bernoulli đưa về dạng giản đơn:
dx
t
w
AT
L
2
0
2

1











(2.15)

2.6 Nguyên lý Hamilton và phương trình chuyển động
Nguyên lý Hamilton cho một cơ hệ cơ học được viết dưới dạng


2
1
0
t
t
Ldt

(2.16)
với các ràng buộc:
w(t
1
) = w(t

2
) = 0 (2.17)
Trong phương trình (2.16), L là hàm Lagrange của hệ, đư
ợc định nghĩa bởi
L = T -  = T – (U+V) (2.18)
Trong đó  = U+V, với U là năng lượng biến dạng đàn hồi, V là thế của lực
ngoài. Với hệ dầm và nền mô tả trong mục 2.2, năng lượng biến dạng đàn hồi U
có dạng
U = U
1
+U
2
+ U
B
+U
N
(2.19)
với U
B
, U
1
, U
2
, U
N
tương ứng cho bởi các phương trình (2.5), (2.7), (2.8) và
(2.11). Thế của lực ngoài f(t) được tính bởi
V = -f(t)w(x,t)

(x – s(t)) (2.20)

Trong đó:  là hàm Delta Dirac, x là hoành độ, tính từ nút trái của dầm.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:
17

dxwdt
t
w
Aw
t
w
Awdxd
t
w
A
dtdx
t
w
t
w
Adtdx
t
w
ATdt
L
t
t
t
t
L
t

t
L
t
t
t
t
L
t
t
 
 

































































0
2
2
0
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2

1
2
1
)(
2
1



(2.21)
với ràng buộc (2.17), phương trình (2.21) trở thành


2
1
t
t
Tdt

-
wdxdt
t
w
A
t
t
L





2
1
0
2
2
(2.22)
x
w
d
x
w
EIdx
x
w
EI
LL
B




























0
2
2
2
2
2
0
2
1



=EI
wd
x

w
EI
x
w
x
w
L
L










0
3
3
0
2
2


wdx
x
w
EIw

x
w
EI
x
w
x
w
EI
L
LL
B















0
4
4
0

3
3
0
2
2

(2.23)

wdxwkdxwk
LL



0
1
0
2
1
1
2
1

(2.24)
wd
x
w
kdx
x
w
k

LL




















0
2
2
0
2
2
2
1


= k
2
wdx
x
w
kw
x
w
L
L













0
2
2
20

(2.25)

wd
x
w
Ndx
x
w
N
LL
N




















0

2
0
2
1

= N
wdt
x
w
Nw
x
w
L
L













0
2
2

0
(2.26)
Phương trình (2.20) cho
))(()( tsxwtfV







(2.27)
với các kết quả từ (2.22) đến (2.27) và với lưu ý rằng  =
x
w


phương trình (2.16)
trở thành
18

 


 
  






























































2
1
2
1

2
1
0
0 0
2
2
0
2
2
2021
0 0 0
4
4
4
4
0
3
3
0
2
2
2
2
)(()(
)(
t
t
L
L L
LL

L L L
LL
t
t
t
t
tsxwtf
wdx
x
w
Nw
x
w
Nwdx
x
w
kw
x
w
kwdxwk
wdx
x
w
EIwdx
x
w
EIw
x
w
EI

x
w
EIwdx
t
w
A
dtVUTLdt




dt
(2.28)
Vì w là tuỳ ý nên từ (2.28) ta nhận được phương trình chuyển động cho hệ dầm
- nền như sau:












2
2
2

2
21
4
4
2
2
x
w
N
x
w
kwk
x
w
EI
t
w
A

))(()( tsxtf


(2.29)
Phương trình (2.28) cũng cho các điều kiện biên không cơ bản:

P
M
x
w
EI 



2
2
khi x = 0 và x = L (2.30a)
P
VNK
x
w
EI 



2
3
3
khi x = 0 và x = L (2.30b)
Trong đó M
p
và V
p
là các giá trị cho trước của momen và lực cắt tại các
đầu dầm.

2.7 Phương trình phần tử hữu hạn
Giả sử dầm được chia thành NE phần tử có độ dài mỗi phần tử là l. Theo
phương pháp Galerkin [25,26] thay cho trường chính xác w(x,t) ta tìm trường
xấp xỉ =(x,t). Mỗi phần tử trường (x,t) cho bởi:

 =





 )()( tdxHdH
ii
(2.31)
Trong đó H
i
(x) (i = 1,2,3,4) là các hàm trọng số (weighted function); d
i
là
các tọa độ tổng quát phụ thuộc vào thời gian, cần xác định. Khi thay phương
trình (2.31) vào phương trình chuyển động (2.29) ta được dư số  tức là độ
chênh lệch giữa lời giải xấp xỉ và lời giải chính xác. Phương pháp Galerkin yêu
cầu:



V
i
dVH 0

, i = 1,….,4 (2.32)
Trong đó V là thể tích của dầm. Phương trình (2.32) được biết như một
hàm dư số Galerkin. Từ phương trình (2.29), ta có thể viết phương trình dư số
Galerkin cho mỗi phần tử với độ dài là l như sau:
19

∫
[

]








+







−





+

−







−

(

)

−
(

)

= 0


(2.33)
Trong đó [H] = [H
1
(x), H
2
(x), H
3
(x), H
4
(x)] là ma trận các hàm trọng số.

Sử dụng tích phân từng phần ta có thể viết:
∫
[

]







=



[

]









0
-

∫















=
[

]









0

−












0
+ 



















=
∫














+
[

]








−













0



(2.34 )
Và
−
∫


[

]







= −
∫


[

]







=
∫









−


[

]









0

(3.35)
−
∫

[

]






=
∫








−
[

]









0
(2.36)

Từ các phương trình (2.31), (2.34)-(2.36) ta có thể viết phương trình (2.33)
dưới dạng:
∫
[

]



[

]









+
∫















{


}
+
∫
[

]



[

]

{

}




+
∫












{

}
+
∫









{

}




−
∫
[

]


()
(
−


())
{

}
+
[

]









0
−













0
−
[

]







0
−
[

]







0
= 0 (2.37)
Trong đó
[

]
=
{


,

,

,


}

là vectơ các tọa độ tổng quát. Ta có thể viết
lại phương trình (2.37) dưới dạng.

[

]

̈
+
([



]
+
[


]
+
[


]
+
[


]){

}
+

=
{

}
(2.37)
Trong đó: 
̈
=







và
20

[

]
=
∫
[

]


[

]



(2.38)
là ma trận khối lượng phần tử
[


]

=
∫

















(2.39)
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ uốn dầm

[


]
=
∫



[

]

[

]



(2.40)
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng độ cứng của nền đàn hồi
Winkler

[


]
=
∫














(2.41)
là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ lớp trượt trong mô hình nề
n Pasternak
[


]
=
∫











(2.42)
là ma trận độ cứng hình học phần tử sinh ra từ dự ứng lực

{

}
=

∫
[

]

()
(
− ()
)



(2.43)
là vectơ lực ngoài phần tử


=
[

]









0

−












0
−
[

]







0
−
[

]







0

(2.44)

Sử dụng cách ghép nối thông thường trong phương pháp phần tử hữu hạn
với lưu ý rằng các thừa số cho bởi (2.44) sẽ triệt tiêu lẫn nhau ở các phần tử liền
kề, ngoại trừ tại các đầu nút dầm, ta có thể viết phương trình chuyển động của
bài toán dưới dạng ngôn ngữ phần tử hữu hạn.
[

]

̈
+ []
{

}
=
{

}
(2.45)
với
[


]
=
∑ [

]


;
[

]
=
∑
(
[


]
+
[


]
+
[


]
+

[


]
)


;
{

}
=
∑ {

}




(2.46)
Là các ma trận khối lượng, độ cứng và vectơ lực ngoài của toàn hệ. Lưu ý
rằng trong các phương trình (2.46) ta giả thiết mômen và lực cắt ở hai đầu của
dầm bằng không.


21

2.8 Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng
Trong luận văn này sử dụng các đa thức Hermite bậc ba là các hàm trọng
số.



(

)
= 1 −3




+ 2







(

)
= −2



+







(

)
= 3




−2







(

)
= −



+





(2.47)
Trong (2.47) hoành độ x được tính từ nút trái của phần tử dầm. Với phần tử
dầm vectơ tọa độ tổng quát cho bởi:
= 

,

,

,



(2.48)
Trong đó: 

,

,

,

là độ võng và góc quay tại các nút i và j của phần
tử.
Với (2.47) ta có thể tính được các ma trận độ cứng trong phương trình
(2.37) như sau:

[



]
=
∫

















=













          
         
          







































l
l
xl
l
xlxl
l
xlxl
l
xlxl
l
xlxl
l
xl
l
xlxl

l
xl
l
xlxl
l
xlxl
l
xl
l
xlxl
l
xlxl
l
xl
l
xlxl
l
xl
EI
0
4
2
545
56
2
56
2
454
2
5

56
2
56
2
3
4
32
12
332
4
32
12
32
12
2
36
232
12
2
36
332
4
232
12
32
4
232
12
32
12

2
36
232
12
2
36


















22
2
3
4626
12612
46

12
1
llll
l
ll
EI
l
k
B
(2.49)
Vế phải của phương trình (2.49) chính là ma trận độ cứng của phần tử dầm
Bernoulli hai chiều truyền thống [20,25]. (2.49) là ma trận đối xứng.
Tương tự như trên ta tính được:
[


]
= 

[

]

[

]


