Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nghiêm Thị Thu Hà
Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến
sự truyền nhiệt
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngành: Cơ học vật thể rắn
Người hướng dẫn: PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức
Hà Nội - 2011
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời mở đầu 4
Chương 1. Các hệ thức cơ bản 6
1.1. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng 19
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt . . . . . . 19
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Mặt giữa không b iến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng 30
3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng . . . . . . . 30
3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kết luận chung 43
Những kết quả nghiên cứu của luận văn đã được công bố 45
Tài liệu tham khảo 46
Phụ lục 48
Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng 48
Phụ lục 2: Độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng 50
Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằ ng phương pháp chia đôi 54
Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng 55
Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s 58
Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa 61
3
Lời mở đầu
Vật liệu composite là vật liệu đ ược chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu thành
phần khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những vật
liệu thành phần ban đầu, khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ. Vì vậy, n ó có nhiều
tính năng ưu việt nổi trội như nhẹ, bền, đáp ứng được những đòi hỏi khắt khe của kĩ
thuật và công nghệ hiện đại Và nhờ những ưu điểm nổi bật đó mà chúng ngày càng
được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại như ngành chế tạo máy,
hàng khôn g , vũ trụ, tên lửa, xây dựng, ô tô, chế tạo tàu thuyền, và trong đời sống. Ví
dụ tấm composite được ứng dụn g trong làm bảng biển, pano trong ngành quảng cáo,
trang trí nội thất, ngoại thất trong các công trình xây dựng, ốp mặt nền nhà, làm trần
nhà, mái vòm, hay ốp nội thất cho ô tô, tàu thuyền,
Trong những nă m gần đây, ứng xử của tấm dưới tác dụng c ủa tải nhiệt được nhiều
tác giả nghiên cứu. Shariyat M. [14] đã ng hiên cứu giải tích uốn nhiệt của tấm nhiều
lớp composite hình chữ nhật c ó tính chất của vật liệu biến đổi với nhiệt độ dưới sự
tăng nhiệt độ đều nhưng sử dụng lý thuyết tấm lớp lớn, xác định được nhiệt độ uốn,
từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tính chất hình học và cơ học của tấm
composite vào nhiệt độ uốn. Shiau, Kuo và Chen [15] đã sử dụng phươn g pháp phần
tử hữu hạn nghiên cứu chi tiết ứng xử uốn nhiệt c ủa tấm composite nhiều lớp. Wu

Lanhe [10] dựa trên lý thuyết biến dạng trượt cấ p một suy ra phương tr ình cân bằng
và ổn định của tấm dày vừa phải hình chữ nhật tựa bản lề được làm từ FGM dưới ảnh
hưởng của hai loại tải nhiệt là sự tăng nhiệt đều và gradient nhiệt thông qua bề dày
của tấm, suy ra nhiệt độ uốn, thảo luận ảnh hưởng của tỉ số hướn g, sự dày tương đối
và chỉ số gradient và trượt ngang vào nhiệt độ uốn. Trong [11, 13], các tác giả tr ình
bày giải tích uốn nhiệt của tấm chức năng hình chữ nhật nhưng trong [11], các tác giả
nghiên cứu tấm dưới tác dụng của nhiệt riêng trong mặt phẳng và sự tăng nhiệt đều
thông qua bề dày của tấm, đánh giá ảnh hưởng của tính không đồng nhất vật liệu, tỉ
số hướng và kho ảng nhiệt vào nhiệt độ uốn tới hạn, còn trong [13], với lý thuyết tấm
cổ điển suy ra các phương trình cân bằng, ổn định, tương thích của tấm FGM không
hoàn hảo dưới tác dụng của ba loại tải nhiệt như sự tăng nhiệt đều, sự tăng nhiệt phi
tuyến thông qua bề dày của tấm, và sự tăng nhiệt dọc trục, thu được các nghiệm hoàn
toàn cho sự biến đổi nhiệt độ uốn tới hạn.
Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có
độn các hạt hình c ầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá tr ình truyền
nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm
khi có tru yền nhiệt dừng và không dừng. Trên cơ sở nghiệm giải tích tìm được, tác
giả tính toán số để nghiên cứu ứng x ử uốn của tấm được làm từ vật liệu composite
nền PVC cốt hạt Titan, qua đó làm rõ vai trò các h ạt. Hiện nay, Vật liệu composite
polyme độn các hạt Titan được ứng dụng rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới.
Ở Việt Nam, composite polyme hạt Titan được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp
đóng tàu, trong ố ng dẫn dầu khí, hóa chất và gần đây là các chíp sinh học cũng như
sử dụng trong các vật liệu phát quang OLED. Các hạt Titan có vai trò cải thiện đáng
kể tính năng cơ lý của vật liệu. Lưu ý là bài toán truyền nhiệt k hông dừng cho các ống
kỹ thuật bằng composite độn các hạ t Titan đã được nghiên cứu trong [3].
Luận văn gồm:
Chương 1: Các hệ thức cơ bản.
Chương 2: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng.
Chương 3: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt khô ng dừng.
Kết luận chung.

Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng chắc
chắn luận văn không thể tránh k hỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được
sự nhận xét, đán h giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện.
5
Chương 1
Các hệ thức cơ bản
1.1. Phương trình truyền nhiệt
Tính tru yền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định luật truyền
nhiệt Fourier [1]:
c
j
= −kT
, j
(1.1)
trong đó, c
j
( j = 1,2,3) là các thành phần của vectơ dòng nhiệt, k là hệ số truyền nhiệt
của môi trường, nó phải dương để bảo toàn tốc độ sả n entropi dương. Quá trình nhiệt
đàn hồi là quá trình thuận nghịch, nên phương trình năng lượng có d ạng:
du =
1
ρ
σ
ij
d
ε
ij
+ dq, (1.2)
và định luật thứ hai nhiệt động lực học có dạng

dq = Tds, (1.3)
ở đây tốc độ dòng nhiệt trên một đơn vị khối lượng môi trường bằng
dq
dt
= −
1
ρ
c
j, j
. (1.4)
Kết hợp (1.2) và (1.3), ta thu được:
du =
1
ρ
σ
ij
d
ε
ij
+ Tds, (1.5)
Đưa vào hàm năng lượng tự do Helmholz f(
ε
ij
,T) xác định bởi hệ thức f = u−sT
với sự biến đổi trạng thái vô cùng nhỏ của môi trường, d f là vi phân toàn phần:
d f = du−sdT −Tds, (1.6)
Thay (1.5) vào (1.6) ta có:
d f =
1
ρ

σ
ij
d
ε
ij
−sdT, (1.7)
mặt khác:
d f =
∂
f
∂ε
ij
+
∂
f
∂
T
dT (1.8)
So sánh hai hệ thức của d f, suy ra
σ
ij
=
ρ
∂
f
∂ε
ij
, s = −
∂
f

∂
T
Gọi F =
ρ
f,S =
ρ
s là hàm năng lượng tự do và entropi trên một đơn vị thể tích, các
hệ thức tên có thể viết dưới dạ ng
σ
ij
=
∂
F
∂ε
ij
, S = −
∂
F
∂
T
. (1.9)
Định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng [1]:
ε
ij
=
1+
ν
E
σ
ij

−
ν
E
σ
kk
δ
ij
+
α
∆T
δ
ij
, (1.10)
trong đó,
∆T = T −T
0
, (1.11)
với T
0
là nhiệt độ tuyệt đối của tấm ở trạng thái tự n hiên.
từ đây, ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng:
σ
ij
=
λε
kk
δ
ij
+ 2
µε

ij
−(3
λ
+ 2
µ
)
α
∆T
δ
ij
. (1.12)
Từ hệ thức đầu c ủa (1.9) và (1.12) ta tính biểu thức của hàm năng lượng tự do
F =
λ
2
(
ε
kk
)
2
+
µε
ij
ε
ij
−(3
λ
+ 2
µ
)

α
∆T
ε
kk
+ F
0
,
F
0
chỉ là hàm của T. Thay F vào hệ thức thứ h ai của (1.9) ta tính entropi
S = (3
λ
+ 2
µ
)
αε
kk
−
dF
0
dT
. (1.13)
Đặt i = j = k trong (1.10) ta được
ε
kk
=
σ
kk
(3
λ

+ 2
µ
)
+ 3
α
∆T ,
7
rồi đem thay vào (1.13), kết quả nhận được biểu thức khác của entropi
S =
ασ
kk
+ 3(3
λ
+ 2
µ
)
α
2
∆T −
dF
0
dT
. (1.14)
Nhờ biểu thức (1.12) và (1.13) của entropi có thể tính tỉ nhiệt C
v
khi biến dạng
không đổi và tỉ nhiệt C
p
khi ứng suất không đổi.
Kết hợp (1.3) và (1.4) ta được

−
1
ρ
c
j, j
= T
ds
dt
,
mặt khác
ds
dt
=
∂
s
∂ε
ij
d
ε
ij
dt
+
∂
s
∂
T
dT
dt
,
suy ra

−c
j, j
= T

∂
S
∂ε
ij
d
ε
ij
dt
+
∂
S
∂
T
dT
dt

(1.15)
từ đây suy ra khi biến dạng không đổi d
ε
ij
= 0 thì T
∂
S
∂
t
xác định tỉ nhiệt C

v
.
Vậy,
C
v
= T
∂
S(
ε
ij
,T)
∂
T
= −T
d
2
F
0
dT
2
và tương tự
C
p
= T
∂
S(
σ
ij
,T)
∂

T
= 3(3
λ
+ 2
µ
)
α
2
T −T
d
2
F
0
dT
2
.
Xem rằng C
v
,C
p
,
α
cũng như
λ
,
µ
là hằng số của vật liệu không phụ thuộc nhiệt dộ,
từ hệ thức của C
v
tìm được biểu thức của F

0
F
0
=
T

T
0
T

T
0
C
v
T
dTdT
Đặt kết quả này vào (1.13) ta nhậ n được biểu thức của entropi
S = (3
λ
+ 2
µ
)
αε
kk
+C
v
ln
T
T
0

. (1.16)
Dùng các biểu thức của c
j
theo (1.1) và của S, ta đưa phương trình (1.15) về dạng
kT
, j j
= C
v
∂
T
∂
t
+ (3
λ
+ 2
µ
)
α
∂ε
kk
∂
t
T .
8
hay
k∇
2
T = C
v
∂

T
∂
t
+ (3
λ
+ 2
µ
)
α
∂ε
kk
∂
t
T . (1.17)
Phương trình (1.17) được gọi là phương trình truyền nhiệt và là phương trình cơ bản
tham gia trong bài toán biên của lý thuyết đàn hồi nhiệt.
Nếu trong phương trình (1.17), ta b ỏ qua số hạng
∂ε
kk
∂
t
, thì khi đó phương trình có
dạng
k∇
2
T = C
v
∂
T
∂

t
.
Phương trình trên có thể thu được nhờ điều kiện cân bằng nhiệt. Lượng nhiệt hấp
thụ trên đơn vị thể tích của vật thể trong một đơn vị thời gian là bằng C
ρ
∂
T
∂
t
trong đó
C là nhiệt dung riêng của vật liệu,
ρ
là mật độ khối.
Mặt khác, lượng nhiệt mất trên một đơn v ị thể tích vật thể trong một đơn vị thời
gian là div c, trong đó c là vectơ dòng nhiệt.
Giả thiết nguồn nhiệt trong vật thể sinh ra nhiệt c
0
trên một đơn vị thể tích và đơn
vị thời gian , và tính đến phương trình (1.1), điều kiện cân bằng nhiệt cung cấp phương
trình truyền nhiệt
div(k gradT) + c
0
= C
ρ
∂
T
∂
t
(1.18)
Khi hệ số dẫn nhiệt k là hằng số, (1.18) dẫn tới

∇
2
T +
c
0
k
=
1
a
1
∂
T
∂
t
(1.19)
trong đó, a
1
= k/(C
ρ
) là độ khuếch tán nhiệt. Nếu không có nguồn nhiệt (c
0
= 0),
phương trình (1.19) trở thành
∇
2
T =
1
a
1
∂

T
∂
t
(1.20)
Nghiệm của (1.20) xác định trường nhiệt độ không dừng. Với trường nhiệt độ dừng,
phương trình (1.20) đưa về phương trình Laplace
∇
2
T = 0 , (1.21)
Để nghiệm của phương trình (1.19) là duy nhất, các điều k iện biên và đầu cần
được đưa vào. Các điều kiện biên thường được kết hợp với sự trao đổi nhiệt phức trên
9
bề mặt của vật thể n ơ i cả b a loại truyền nhiệt (dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ) có thể xảy
ra đồng thời.
Trong lý thuyết dẫn nhiệt ta s ử dụng các điều kiện biên sau [9, 19]:
1. Nhiệt độ bề mặt xác định
T (x
k
,t) = f (x
k
,t) , (1.22)
trong đó x
k
là một điểm trên bề mặt của vật thể và f (x
k
,t) là hàm đã cho.
Ví dụ: Hình 1.1, điều kiện biên là
T(0,t) = 150
0
C,

T(L,t) = 70
0
C.
2. Dòng nhiệt qua mặt vật thể xác định
c(x
k
,t) = −k
∂
T (x
k
,t)
∂
n
, (1.23)
trong đó n là pháp tuyến ngoài từ bề mặt ngoài của vật thể tại điểm x
k
.
Ví dụ: Như hình 1.2, với tấm có bề
dày L, dòng nhiệt đều là 50K/m
2
từ hai
phía của tấm, khi đó ta có
−
∂
T (0,t)
∂
x
= 50, −k
∂
T (L,t)

∂
x
= 50
Trong trường hợp cụ thể c = 0, ta có điều kiện biên đoạn nhiệt cho vật thể mà được
cách ly trao đổi nhiệt bên ngoài
∂
T (x
k
,t)
∂
n
= 0, (1.24)
Ví dụ: Hình 1.3, điều kiện biên sẽ là
∂
T (0,t)
∂
x
= 0, T(L,t) = 60
0
C
10
3. Nhiệt độ môi trường xác định
ϑ
và luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa bề mặt và
môi trường xung quanh
−k
∂
T (x
k
,t)

∂
n
=
β
[T (x
k
,t) −
ϑ
] (1.25)
trong đó
β
là h ệ số truyền nhiệt bề mặt
(hay độ d ẫn biên). Hệ số truyền nhiệt bề
mặt
β
phụ thuộc vào các đặc trưng nhiệt
dộ và vật lý của bề mặt và môi trường
xung quanh.
Ví dụ: Hình 1.4
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị
Giả thiết Kirchhoff [1, 16]:
1. Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ trở thành pháp tuyến của mặt
giữa sau khi biến dạng (giả thiết về pháp tuyến thẳng).
2. Ứng suất pháp theo hướng trực giao với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng
suất khác, nên có thể bỏ qua.
Ta gọi bản hay tấm mỏng là một vật thể có chiều cao h nhỏ s o với các kích thước
của mặt đáy. Mặt phẳ ng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của bản gọi là mặt
11
giữa. Chọn hệ trục tọa đ ộ như sau: trục Ox, Oy nằ m trong mặt giữa, còn trục z thẳng
góc với mặt giữa.

Đối với tấm mỏng, ta có trạng thá i ứng suất phẳng su y rộng nên
σ
zz
= 0 tại mọi
nơi còn
σ
xz
=
σ
yz
= 0 tại z = ±h

2 và các thành phần khác theo (1.12) ta có:
σ
xx
=
λ
(
ε
xx
+
ε
yy
+
ε
zz
) + 2
µε
xx
−(3

λ
+ 2
µ
)
α
∆T
σ
yy
=
λ
(
ε
xx
+
ε
yy
+
ε
zz
) + 2
µε
yy
−(3
λ
+ 2
µ
)
α
∆T
σ

zz
=
λ
(
ε
xx
+
ε
yy
+
ε
zz
) + 2
µε
zz
−(3
λ
+ 2
µ
)
α
∆T
σ
xy
= 2
µε
xy
Vì
σ
zz

= 0 nên ta có
λ
(
ε
xx
+
ε
yy
+
ε
zz
) + 2
µε
zz
−(3
λ
+ 2
µ
)
α
∆T = 0
suy ra:
ε
zz
= −
λ
λ
+ 2
µ
ε

xx
−
λ
λ
+ 2
µ
ε
yy
+
3
λ
+ 2
µ
λ
+ 2
µ
α
∆T
thay vào các hệ thức của
σ
xx
,
σ
yy
ta được:
σ
xx
=
4
µ

(
λ
+
µ
)
λ
+ 2
µ
ε
xx
+
2
µλ
λ
+ 2
µ
ε
yy
−
2
µ
(3
λ
+ 2
µ
)
λ
+ 2
µ
α

∆T,
σ
yy
=
4
µ
(
λ
+
µ
)
λ
+ 2
µ
ε
yy
+
2
µλ
λ
+ 2
µ
ε
xx
−
2
µ
(3
λ
+ 2

µ
)
λ
+ 2
µ
α
∆T,
σ
xy
= 2
µε
xy
.
(1.26)
12
với
µ
=
E
2(1+
ν
)
,
λ
=
E
ν
(1+
ν
)(1−2

ν
)
, (1.26) có thể viết lại như s au:
σ
xx
=
E
1−
ν
2
(
ε
xx
+
νε
yy
−(1+
ν
)
α
∆T) ,
σ
yy
=
E
1−
ν
2
(
ε

yy
+
νε
xx
−(1+
ν
)
α
∆T) ,
σ
xy
=
E
1+
ν
ε
xy
.
(1.27)
Theo công thức Cauchy, tính biến dạng của tấm [8, 9]:
ε
xx
=
∂
u
∂
x
−z
∂
2

w
∂
x
2
,
ε
yy
=
∂
v
∂
y
−z
∂
2
w
∂
y
2
,
ε
xy
=
1
2

∂
u
∂
y

+
∂
v
∂
x

−z
∂
2
w
∂
x
∂
y
.
(1.28)
trong đó, u,v,w các chuyển vị của các điểm tại mặt giữa theo trục x,y,z tương ứng.
Thay (1.28) vào (1.27), ta được liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị:
σ
xx
=
E
1−
ν
2

∂
u
∂
x

+
ν
∂
v
∂
y
−z

∂
2
w
∂
x
2
+
ν
∂
2
w
∂
y
2

−(1+
ν
)
α
∆T

,

σ
yy
=
E
1−
ν
2

∂
v
∂
y
+
ν
∂
u
∂
x
−z

∂
2
w
∂
y
2
+
ν
∂
2

w
∂
x
2

−(1+
ν
)
α
∆T

,
σ
xy
=
E
2(1+
ν
)

∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
−2z

∂
2
w
∂
x
∂
y

.
(1.29)
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn
Ta có
N
x
=
h/2

−h/2
σ
xx
dz, N
y
=
h/2

−h/2
σ
yy
dz, N
xy

=
h/2

−h/2
σ
xy
dz (1.30)
Thay (1.29) vào (1.30), tích phân, ta được biểu thức xác định các lực
N
x
=
Eh
1−
ν
2

∂
u
∂
x
+
ν
∂
v
∂
y

−
N
T

1−
ν
,
N
y
=
Eh
1−
ν
2

∂
v
∂
y
+
ν
∂
u
∂
x

−
N
T
1−
ν
,
N
xy

=
Eh
2(1+
ν
)

∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x

.
(1.31)
13
Các lực N
x
,N
y
biểu thị lực dãn, còn N
xy
= N
yx
biểu thị lực tiếp trên một đơn vị dài.
Tương tự, thay (1.29) vào các b iểu thức s au
M

x
=
h/2

−h/2
σ
xx
zdz, M
y
=
h/2

−h/2
σ
yy
zdz, M
xy
=
h/2

−h/2
σ
xy
zdz (1.32)
rồi thực hiện tích phân, ta được các biểu thức xác định mômen
M
x
= −D

∂

2
w
∂
x
2
+
ν
∂
2
w
∂
y
2

−
M
T
1−
ν
,
M
y
= −D

∂
2
w
∂
y
2

+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
T
1−
ν
,
M
xy
= −D(1−
ν
)
∂
2
w
∂
x
∂
y
.
(1.33)
trong đó,

N
T
=
α
E
h
/
2

−h
/
2
∆Tdz , M
T
=
α
E
h
/
2

−h
/
2
z∆Tdz , D =
Eh
3
12(1−
ν
2

)
. (1.34)
Các mômen M
x
,M
y
gọi là mômen uốn, còn M
xy
= −M
yx
là mômen xoắn trên một đơn
vị dài. D gọi là độ cứng trụ khi uốn.
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm
Ta thiết lập phương tr ình cân bằng c ủa phân tố tấm dưới tác dụng của lực cắt ngoài
q(x,y) và các lực trong [1, 7].
Tổng hình chiếu các lực lên trục x:

N
x
+
∂
N
x
∂
x
dx

dy−N
x
dy+


N
xy
+
∂
N
xy
∂
y
dy

dx−N
xy
dx = 0,
suy ra
∂
N
x
∂
x
+
∂
N
xy
∂
y
= 0. (1.35)
tương tự theo trục y ta có
∂
N

xy
∂
x
+
∂
N
y
∂
y
= 0. (1.36)
14
Phương trình các mômen theo đường nằm trong mặt phẳng bên phía trái và song song
với trục y:

M
x
+
∂
M
x
∂
x
dx

dy−M
x
dy+

M
xy

+
∂
M
xy
∂
y
dy

dx−
−M
xy
dx−qdxdy
dx
2
−
∂
Q
y
∂
y
dydx
dx
2
−

Q
x
+
∂
Q

x
∂
x
dx

dxdy = 0
Bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được
∂
M
x
∂
x
+
∂
M
xy
∂
y
−Q
x
= 0. (1.37)
Tương tự, theo chiều song song với trục x
∂
M
xy
∂
x
+
∂
M

y
∂
y
−Q
y
= 0. (1.38)
Khi chiếu các lực lên trục z ta cần chú ý đến đ ộ võng của tấm. Xét u ốn bản trong
mặt phẳng xz, hình chiếu của lực N
x
lên trục z có giá trị khác không; với chú ý sin
α
≈
tg
α
=
∂
w
∂
x
, cos
α
≈ 1, thàn h phần lực này lên trục z bằng
−N
x
dy
∂
w
∂
x
+


N
x
+
∂
N
x
∂
x
dx

∂
w
∂
x
+
∂
2
w
∂
x
2
dx

dy
bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao dẫn đến
N
x
∂
2

w
∂
x
2
dxdy+
∂
N
x
∂
x
∂
w
∂
x
dxdy .
Lập luận tương tự, ta nhận được hình chiếu của lực N
y
N
y
∂
2
w
∂
y
2
dxdy+
∂
N
y
∂

y
∂
w
∂
y
dxdy .
15
và của lực tiếp N
xy
= N
yx
2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
dxdy+

∂
N
xy
∂
x
∂
w
∂

y
+
∂
N
xy
∂
y
∂
w
∂
x

dxdy.
Lực cắt trên mặt trực giao với trục x chiếu lên trục z với chú ý về góc n hư trên sẽ
bằng
−Q
x
dy+

Q
x
+
∂
Q
x
∂
x
dx

dy =

∂
Q
x
∂
x
dxdy.
Tương tự, lực cắt Q
y
chiếu lên trục z sẽ là
∂
Q
y
∂
x
dxdy
và lực cắt ngoài qdxdy. Vậy, tổng các lực chiếu lên trục z
N
x
∂
2
w
∂
x
2
+
∂
N
x
∂
x

∂
w
∂
x
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
+
∂
N
y
∂
y
∂
w
∂
y
+ 2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂

y
+
+
∂
N
xy
∂
x
∂
w
∂
y
+
∂
N
xy
∂
y
∂
w
∂
x
+
∂
Q
x
∂
x
+
∂

Q
y
∂
y
+ q = 0,
hay
∂
Q
x
∂
x
+
∂
Q
y
∂
y
+

∂
N
x
∂
x
+
∂
N
xy
∂
y


∂
w
∂
x
+

∂
N
y
∂
y
+
∂
N
xy
∂
x

∂
w
∂
y
+
+N
x
∂
2
w
∂

x
2
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
+ 2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
+ q = 0, (1.39)
Với chú ý (1.35) và (1.36), kh i đó (1.39) trở thành
∂
Q
x
∂
x
+
∂
Q
y

∂
y
+ N
x
∂
2
w
∂
x
2
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
+ 2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
+ q = 0, (1.40)
Rút Q
x

,Q
y
từ (1.37) và (1.38) và thay vào (1.40) dẫn đến phương trình sau:
∂
2
M
x
∂
x
2
+
∂
2
M
xy
∂
x
∂
y
+
∂
2
M
y
∂
y
2
+ N
x
∂

2
w
∂
x
2
+ 2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
+ q = 0. (1.41)
Phương trình (1.41) chính là p hương trình cơ bản đ ể nghiên cứu bài toán cân bằng
bản và ổn định của tấm.
Trong trường hợp không c ó cắt ngoài q, phương trình (1.41) có dạng
∂
2
M
x

∂
x
2
+ 2
∂
2
M
xy
∂
x
∂
y
+
∂
2
M
y
∂
y
2
+ N
x
∂
2
w
∂
x
2
+ 2N
xy

∂
2
w
∂
x
∂
y
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
= 0 . (1.42)
16
Thế (1.33) vào (1.42), ta được
∂
2
∂
x
2

−D

∂
2
w
∂

x
2
+
ν
∂
2
w
∂
y
2

−
M
T
1−
ν

−2D(1−
ν
)
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
+

+
∂
2
∂
y
2

−D

∂
2
w
∂
y
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
T
1−
ν


+ N
x
∂
2
w
∂
x
2
+ 2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
+ N
y
∂
2
w
∂
y
2
= 0 .
hay
D

∂

4
w
∂
x
4
+ 2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
+
∂
4
w
∂
y
4

+
1
1−
ν

∂
2

M
T
∂
x
2
+
∂
2
M
T
∂
y
2

−
−N
x
∂
2
w
∂
x
2
−2N
xy
∂
2
w
∂
x

∂
y
−N
y
∂
2
w
∂
y
2
= 0. (1.43)
phương trình (1.43) có thể viết lại như sau:
D∇
2
∇
2
w+
1
1−
ν
∇
2
M
T
−N
x
∂
2
w
∂

x
2
−2N
xy
∂
2
w
∂
x
∂
y
−N
y
∂
2
w
∂
y
2
= 0. (1.44)
trong đó ∇
2
là toán tử Laplace
∇
2
=
∂
2
∂
x

2
+
∂
2
∂
y
2
.
1.5. Điều kiện biên
Xét một số trường hợp đơn giản về đ iều kiện biên thường gặp trong các b ài toán
đối với tấm hình chữ nhậ t
1. Biên tựa bản lề: (Hình 1.8) chẳng hạn cạnh y = 0 tựa tự do, khi đó điều kiện
biên là
(w)
y=0
= 0,
(M
y
)
y=0
= 0.
(1.45)
hay
(w)
y=0
= 0,

−D

∂

2
w
∂
y
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
T
1−
ν

y=0
= 0
(1.46)
17
Hệ thức (1.45) có thể viết lại như sau

−D
∂
2
w

∂
y
2
−
M
T
1−
ν

y=0
= 0 (1.47)
2. Biên bị ngàm: (Hình 1.9) ví dụ cạnh y = 0 bị ngàm, thì điều kiện biên sẽ là
(w)
y=0
= 0,

∂
w
∂
y

y=0
= 0. (1.48)
3. Biên tự do: giả sử cạnh y = 0 tự do. Theo Poisson, điều kiện biên sẽ là
(M
y
)
y=0
= 0, (M
xy

)
y=0
= 0, (Q
y
)
y=0
= 0. (1.49)
Nhưng theo Kirchhoff, tại cạnh đó điều
kiện biên sẽ là
(M
y
)
y=0
= 0,

Q
y
+
∂
M
xy
∂
x

y=0
= 0.
(1.50)
Thay (1.33) vào (1.37) và (1.38), ta
được biểu thức xác định lực cắt như sau
Q

x
= −D

∂
3
w
∂
x
3
+
∂
3
w
∂
x
∂
y
2

−
1
1−
ν
∂
M
T
∂
x
,
(1.51)

Q
y
= −D

∂
3
w
∂
y
3
+
∂
3
w
∂
x
2
∂
y

−
1
1−
ν
∂
M
T
∂
y
.

(1.52)
Khi đó,(1.50) trở thành

−D

∂
2
w
∂
y
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
T
1−
ν

y=0
= 0,

−D


∂
3
w
∂
y
3
+ (2−
ν
)
∂
3
w
∂
x
2
∂
y

−
1
1−
ν
∂
M
T
∂
y

y=0

= 0.
(1.53)
18
Chương 2
Uốn tấm composite mỏng kh i có truyền
nhiệt dừng
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt
Giả thiết tấm composite có độn các hạ t hình cầu có độ dài h ai cạnh là a,b, chiều
dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp tấm có sự trao đổi nhiệt đối lưu
ổn định trên b ề mặt z = ±h

2, và khi có sự khác nhau lớn về nhiệt độ giữa các mặt
z = ±h

2, thì có gradient nhiệt độ cao thông qua bề dày của tấm gây ra uốn nhiệt. Bài
toán đặt ra là hãy xác định độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng.
Để giải được bài toán đó cần xác định được môdun đàn hồi cho composite. Giả
thiết nền và hạt đều là vật liệu đàn hồi đ ồng nhất đẳng hướng, có tính đến tương tác
giữa nền và hạt. Khi đó, ta có [18]:
K = K
m
+
(K
c
−K
m
)
ξ
1+(K
c

−K
m
)


K
m
+
4
3
G
m

,
G = G
m
−
15(1−
ν
m
)(G
m
−G
c
)
ξ
7−5
ν
m
+ (8−10

ν
m
)
G
c
G
m
.
(2.1)
trong đó,
ξ
=
N
∑
i=1
V
i
V
là tỷ lệ thể tích các hạ t độn. G
m
,G
c
tương ứng là môdun trượt của
pha nền và pha hạt; K
m
,K
c
tương ứng là môdun kéo nén thể tích của pha nền, pha hạt;
ν
m

,
ν
c
tương ứng là hệ số Poisson của pha nền và pha hạt.
Với
α
m
,
α
c
là hệ số dã n nở nhiệt của pha nền, pha hạt tương ứng, khi đó hệ số dã n
nở nhiệt của composite cốt hạt được xác định như công thức sau [4]:
α
=
α
m
+ (
α
c
−
α
m
)
K
c
(3K
m
+ 4G
m
)

ξ
K
m
(3K
c
+ 4G
m
) + 4(K
c
−K
m
)G
m
ξ
. (2.2)
.
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm
Do có sự trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt tấm, và gradient nhiệt theo bề dày của
tấm, nên phương trình truyền nhiệt dừng (1.21) có dạng [12]:
d
2
T
dz
2
= 0 (2.3)
Với điều kiện biên (1.25) sẽ là








k
∂
T
∂
z
=
β
1
(T −T
1
) tại z = −
h
2
,
−k
∂
T
∂
z
=
β
2
(T −T
2
) tại z =
h
2

,
(2.4)
trong đó , T
1
,
β
1
tương ứng là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt
z = −h

2; T
2
,
β
2
là nhiệt độ môi trường, hệ số tr uyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h

2
tương ứng; k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu, và giả thiết được xác định theo công thức
[3]
k = (1−
ξ
)k
m
+
ξ
k
c
. (2.5)
Đặt :

γ
1
=
β
1
k
,
γ
2
=
β
2
k
(2.6)
Khi đó, điều kiện biên (2.4) trở thàn h:







∂
T
∂
z
=
γ
1
(T −T

1
) tại z = −
h
2
,
−
∂
T
∂
z
=
γ
2
(T −T
2
) tại z =
h
2
,
(2.7)
Tích phân phương trình (2.3) ta được nghiệm T có dạng
T = C
0
+C
1
z,
trong đó, C
0
,C
1

là các hằng số được xác định từ điều kiện biên. Thay biểu thức nghiệm
T này vào điều kiện biên (2.7), ta được hệ gồm hai phương trình hai ẩn C
0
,C
1










1+
γ
1
h
2

C
1
−
γ
1
C
0
= −
γ

1
T
1
−

1+
γ
2
h
2

C
1
−
γ
2
C
0
= −
γ
2
T
2
(2.8)
20
Giải hệ (2.8), ta được
C
0
=
1

γ
1
+
γ
2
+
γ
1
γ
2
h

T
1
γ
1

1+
γ
2
h
2

+ T
2
γ
2

1+
γ

1
h
2

,
C
1
=
γ
1
γ
2
(T
2
−T
1
)
γ
1
+
γ
2
+
γ
1
γ
2
h
,
(2.9)

Với C
0
,C
1
xác định theo (2.9), thay vào biểu thức nghiệm của T, ta thu được
T =
1
γ
1
+
γ
2
+
γ
1
γ
2
h

T
1
γ
1

1+
γ
2
h
2


+ T
2
γ
2

1+
γ
1
h
2

+
γ
1
γ
2
(T
2
−T
1
)z

(2.10)
Khi đó, thế (2.10) vào biểu thức (1.11), dẫn tới
∆T = −T
0
+
1
γ
1

+
γ
2
+
γ
1
γ
2
h

T
1
γ
1

1+
γ
2
h
2

+ T
2
γ
2

1+
γ
1
h

2

+
+
γ
1
γ
2
(T
2
−T
1
)
γ
1
+
γ
2
+
γ
1
γ
2
h
z. (2.11)
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng
2.3.1. Mặt giữa không biến dạng
Thay (1.31) vào (1.35) và (1.36), tương ứng ta được hệ sau










Eh
1−
ν
2

∂
2
u
∂
x
2
+
ν
∂
2
v
∂
x
∂
y

−
1

1−
ν
∂
N
T
∂
x
+
Eh
2(1+
ν
)

∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
v
∂
x
∂
y

= 0
Eh

1−
ν
2

∂
2
v
∂
y
2
+
ν
∂
2
u
∂
x
∂
y

−
1
1−
ν
∂
N
T
∂
y
+

Eh
2(1+
ν
)

∂
2
u
∂
x
∂
y
+
∂
2
v
∂
x
2

= 0
hay hệ trên có thể viết lại như s au










Eh
1−
ν
2
∂
2
u
∂
x
2
+
Eh
2(1+
ν
)
∂
2
u
∂
y
2
+
Eh
2(1−
ν
)
∂
2
v

∂
x
∂
y
−
1
1−
ν
∂
N
T
∂
x
= 0
Eh
1−
ν
2
∂
2
v
∂
y
2
+
Eh
2(1+
ν
)
∂

2
v
∂
x
2
+
Eh
2(1−
ν
)
∂
2
u
∂
x
∂
y
−
1
1−
ν
∂
N
T
∂
y
= 0
(2.12)
thay biểu thức ∆T ở (2.11) vào biểu thức N
T

ở (1.34), tích phân ta được
N
T
= N
1
= const (2.13)
khi đó, hệ (2.12) trở thành









1
1−
ν
2
∂
2
u
∂
x
2
+
1
2(1+
ν

)
∂
2
u
∂
y
2
+
1
2(1−
ν
)
∂
2
v
∂
x
∂
y
= 0
1
1−
ν
2
∂
2
v
∂
y
2

+
1
2(1+
ν
)
∂
2
v
∂
x
2
+
1
2(1−
ν
)
∂
2
u
∂
x
∂
y
= 0
(2.14)
21
Do tấm tựa bản lề tại các cạnh nên điều kiện biên có dạng
w = v = 0; M
x
= 0, tại x = 0, x = a

w = u = 0; M
y
= 0, tại y = 0, y = b
Nghiệm u,v thỏa mãn điều kiện biên trên có dạng
u =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
u
mn
cos
m
π
x
a
sin
n
π
y
b
v =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1

v
mn
sin
m
π
x
a
cos
n
π
y
b
trong đó m,n là các số tự nhiên.
Thay biểu thức nghiệm của u,v vào hệ (2.14), ta có:











∞
∑
m=1
∞
∑

n=1

u
mn
1
1+
ν

m
2
(1−
ν
)a
2
+
n
2
2b
2

+ v
mn
mn
2ab(1−
ν
)

cos
m
π

x
a
sin
n
π
y
b
=0
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1

v
mn
1
1+
ν

n
2
(1−
ν
)b
2
+
m
2

2a
2

+ u
mn
mn
2ab(1−
ν
)

sin
m
π
x
a
cos
n
π
y
b
= 0
Do hệ đúng với mọi x,y nên ta có










u
mn
1
1+
ν

1
1−
ν
m
2
a
2
+
1
2
n
2
b
2

+ v
mn
1
2(1−
ν
)
mn
ab

= 0
v
mn
1
1+
ν

1
1−
ν
n
2
b
2
+
1
2
m
2
a
2

+ u
mn
1
2(1−
ν
)
mn
ab

= 0
(2.15)
hay hệ (2.15) có thể viết lại như sa u









u
mn
2b
2
m
2
+ a
2
n
2
(1−
ν
)
ab(1+
ν
)
+ v
mn

mn = 0
u
mn
mn+v
mn
2a
2
n
2
+ b
2
m
2
(1−
ν
)
ab(1+
ν
)
= 0
(2.16)
Từ phương trình đầu của hệ (2.16) suy ra:
v
mn
= −u
mn
2b
2
m
2

+ a
2
n
2
(1−
ν
)
abmn(1+
ν
)
thay vào phương trình thứ hai của hệ đó, ta có
u
mn

mn−

2b
2
m
2
+ a
2
n
2
(1−
ν
)

2a
2

n
2
+ b
2
m
2
(1−
ν
)

a
2
b
2
mn(1+
ν
)
2

= 0
22
hay
u
mn
I
mn
= 0, (2.17)
trong đó,
I
mn

= mn−

2b
2
m
2
+ a
2
n
2
(1−
ν
)

2a
2
n
2
+ b
2
m
2
(1−
ν
)

a
2
b
2

mn(1+
ν
)
2
Biến đổi biểu thức I
mn
, ta được
I
mn
=
a
2
b
2
m
2
n
2
(1+
ν
)
2
−

2b
2
m
2
+ a
2

n
2
(1−
ν
)

2a
2
n
2
+ b
2
m
2
(1−
ν
)

a
2
b
2
mn(1+
ν
)
2
=
−2(1−
ν
)


a
2
n
2
+ m
2
b
2

2
a
2
b
2
mn(1+
ν
)
2
Do: −1 
ν

1
2
nên I
mn
< 0. Do đó, từ (2.17) suy ra: u
mn
= 0
suy ra v

mn
= 0
Vậy u = 0,v = 0
Như vậy, khi nhiệt độ được truyền theo bề dày của tấm theo quy luật (2.10), (2.11)
thì nó không gây ra chuyển vị tại các điểm ở mặt giữa theo p h ương x,y nên không có
biến dạng nhiệt tại mặt giữa.
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm
Mặt giữa của tấm khôn g bị biến d ạng, khi đó, (1.31) trở thành:
N
x
= −
N
T
1−
ν
,
N
y
= −
N
T
1−
ν
,
N
xy
= 0,
(2.18)
Thay biểu thức N
T

ở (2.13) vào (2.18), ta được
N
x
= N
y
= −
N
1
1−
ν
= N
0
,
N
xy
= 0,
(2.19)
tương tự, thay ∆T từ (2.11) vào biểu thức của M
T
ở (1.34), thực hiện tích phân, ta thu
được
M
T
= M
0
= const (2.20)
23
Thay (2.20) vào biểu thức xác định mômen (1.33), ta được
M
x

= −D

∂
2
w
∂
x
2
+
ν
∂
2
w
∂
y
2

−
M
0
1−
ν
,
M
y
= −D

∂
2
w

∂
y
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
0
1−
ν
,
M
xy
= −D(1−
ν
)
∂
2
w
∂
x
∂
y

.
(2.21)
trong đó, D được xác định như trong (1.34).
Thế (2.19) và (2.21) vào (1.43), ta được phương tr ình xác định uốn tấm trong
trường hợp có sự truyền nhiệt dừng là
D

∂
4
w
∂
x
4
+ 2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
+
∂
4
w
∂
y
4


−N
0

∂
2
w
∂
x
2
+
∂
2
w
∂
y
2

= 0 . (2.22)
hay
∇
2

∇
2
w−
N
0
D
w


=0 . (2.23)
Do tấm tựa bản lề tại các cạnh, nên điều kiện biên có dạng
w = 0, M
x
= −D

∂
2
w
∂
x
2
+
ν
∂
2
w
∂
y
2

−
M
0
1−
ν
= 0, tại x = 0,x = a.
w = 0, M
y

= −D

∂
2
w
∂
y
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2

−
M
0
1−
ν
= 0, tại y = 0,y = b.
(2.24)
Phương trình (2.23) có thể được đưa về hệ gồm hai phươn g tr ình sau:






∇
2
f = 0,
∇
2
w−
N
0
D
w = f .
(2.25)
hay cụ thể là










∂
2
∂
x
2
+
∂
2

∂
y
2

f = 0

∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2

w−
N
0
D
w = f
(2.26)
Mặt khác, ta có thể xem các điều kiện biên củ a tựa bản lề như sau:
w = 0,
∂
2
w
∂

y
2
= 0, tại x = 0,x = a,
w = 0,
∂
2
w
∂
x
2
= 0, tại y = 0,y = b.
(2.27)
24
Do đ ó, sử dụng các điều kiện biên (2.27), ta thu được các điều kiện b iên cho hàm ẩn
f:
f +
M
0
D(1−
ν
)
= 0, tại x = 0,x = a
f +
M
0
D(1−
ν
)
= 0, tại y = 0,y = b
Suy ra, hàm ẩn f trong phương trình đầu tiên của hệ (2.26):

f = −
M
0
D(1−
ν
)
,
Khi đó, phương trình thứ hai của hệ (2.26) thành:

∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2

w−
N
0
D
w = −
M
0
D(1−
ν

)
, (2.28)
đây chính là phương trình c ơ bản xác định độ võng w của tấm.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện biên w = 0 được thỏa mãn, nếu w biểu thị qua chuỗi
Fourier [1]:
w =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
w
mn
sin
m
π
x
a
sin
n
π
y
b
, (2.29)
trong đó, m,n là các số tự nhiên. Ta cũng biểu diễn M
0
dưới dạng chuỗi Fourier:
M
0

=
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
a
mn
sin
m
π
x
a
sin
n
π
y
b
, (2.30)
trong đó,
a
mn
=





16M

0
π
2
mn
, m,n = 1,3,5,
0 m,n = 2,4,6,
(2.31)
Thay (2.29) và (2.30) vào phương tr ình (2.28), và do phương trình đúng với mọi x,y,
và mặt giữa kh i uốn phải đối xứng, các số hạng m,n chẵn tương ứng với độ võng
không đối xứng do đó chúng bằng 0, nên suy ra:
w
mn
=







a
mn
D(1−
ν
)
.
1
m
2
π

2
a
2
+
n
2
π
2
b
2
+
N
0
D
m,n = 1,3,5,
0 m,n = 2,4,6,
25