Tính toán tham số TMD theo phương pháp biến đổi laplace

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC



PHAN THỊ TRÀ MY




TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE





LUẬN VĂN THẠC SĨ








Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC


PHAN THỊ TRÀ MY



TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE


Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21


LUẬN VĂN THẠC SĨ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh



Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC



PHAN THỊ TRÀ MY




TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE





LUẬN VĂN THẠC SĨ








Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC


PHAN THỊ TRÀ MY



TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE


Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21


LUẬN VĂN THẠC SĨ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh



Hà Nội - 2011
MỤC LỤC

Mở đầu 1
Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng dạng TMD 3
1.1. Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng 3
1.2. Ứng dụng của thiết bị TMD 5
1.2.1. TMD dạng chuyển động theo 2 hướng trực giao 5
1.2.2. TMD dạng con lắc đơn 6
1.2.3. TMD dạng con lắc nhiều tầng 7
1.2.4. TMD dạng con lắc cho các kết cấu mảnh 8
1.2.5. TMD giảm dao động của cầu 8
1.2.6. Một số nghiên cứu về thiết bị TTNL TMD tại Việt Nam 9
1.3. Giới thiệu phương pháp Laplace 11
1.4. Kết luận chương 1 14
Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến
đổi Laplace 15
2.1. Chuyển động của hệ chính khi chưa có TMD 15
2.2. Tính toán tham số tối ưu của TMD bằng phương pháp biến đổi
Laplace 17
2.2.1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ 17
2.2.2. Tính toán tham số tối ưu của TMD 19
2.2.3. Giải tìm nghiệm của hệ phương trình 27
2.3. Kết luận chương 2 31
Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD 33
3.1. Mô phỏng dao động của hệ 33
3.1.1. Chuyển động của hệ khi chưa lắp TMD 34
3.1.2. Chuyển động của hệ khi lắp thêm TMD 35
3.2. So sánh với một số phương pháp khác 37
3.3. Kết luận chương 3 41
Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 45
Phụ lục 46






















CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT


BĐL: Biến đổi Laplace
HMD: Hybrid mass damper
MATLAB: Matrix laboratory

TBTTNL: Thiết bị tiêu tán năng lượng
TTNL: Tiêu tán năng lượng
TMD: Tuned mass damper


1
MỞ ĐẦU

Trong quá trình làm việc dưới tác động của ngoại lực, trong máy móc
thiết bị, kết cấu sẽ phát sinh những dao động không mong muốn. Những dao
động này ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc và làm giảm độ bền của các chi
tiết cũng như bộ phận của máy, kết cấu. Thông thường để giảm dao động có hại,
người ta có thể tăng độ cứng vững của kết cấu hoặc khử nguyên nhân gây ra dao
động. Tuy nhiên không phải khi nào người ta cũng sử dụng được các phương
pháp trên vì, hoặc phải chi phí tốn kém để tăng độ cứng vững của kết cấu, hoặc
không thể khử hết được nguyên nhân gây ra dao động.
Trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ sử
dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động. TBTTNL là
thiết bị được lắp vào hệ kỹ thuật với mục đích hấp thụ và chuyển một phần năng
lượng dao động của hệ thành dạng năng lượng khác, từ đó làm giảm dao động
và va chạm có hại của hệ kỹ thuật. Phương pháp này trong một chừng mực nhất
định có thể bổ xung cho hai phương án trên.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu và ứng dụng các TBTTNL vào các công trình đòi hỏi có rất
nhiều giai đoạn. Trong đó có thể phân thành hai giai đoạn chính:
- Nghiên cứu dao động của công trình
- Nghiên cứu dao động của TBTTNL
Từ đó đối với từng công trình, ta có thể áp dụng từng dạng TBTTNL một
cách phù hợp. Vì kiến trúc của các kết cấu rất đa dạng nên hình dáng cấu trúc

của thiết bị cũng không kém phần phong phú.
Trong luận văn này ta sẽ xét đến sự dao động của cơ hệ một bậc tự do có
gắn thiết bị TTNL dạng TMD.

Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phép biến đổi Laplace xây dựng phương trình chuyển động, từ
đó tìm ra 2 tham số tối ưu là tỷ số cản và tỷ số tần số tối ưu.
2
Sử dụng phần mềm Matlab tính toán số cho cơ hệ. So sánh với 2 phương
pháp điểm cố định và phương pháp cực tiểu moment bậc 2 để đánh giá độ tin
cậy của phương pháp trong luận văn.

Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là xây dựng 1 phương pháp tính toán mới, xác
định các tham số đặc trưng của cơ hệ. Chứng minh tính đúng đắn của phương
pháp giải tìm nghiệm.

Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận.
- Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng TMD và
phương pháp biến đổi Laplace.
- Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến đổi
Laplace.
- Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD.
3
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU THIẾT BỊ TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG
DẠNG KHỐI LƯỢNG TMD VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1.1. Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng

Dao động là một hiện tượng rất phổ biến trong tự nhiên cũng như trong kỹ
thuật. Các phương tiện giao thông vận tải, nhà cao tầng, cầu giao thông… là các
hệ dao động trong kỹ thuật. Dao động có thể có ích hoặc có hại tuỳ thuộc vào
từng trường hợp cụ thể. Đối với các hệ kỹ thuật, rất nhiều dạng dao động là có
hại, không mong muốn xảy ra: phương tiện giao thông chịu kích động mặt
đường, tàu thuỷ và các công trình ngoài khơi chịu tác động sóng gió, các tháp vô
tuyến, các cao ốc chịu tác động của gió và động đất, các cầu giao thông nhịp lớn
chịu tác động của phương tiện vận tải, cầu treo chịu tải trọng của gió bão, các
thiết bị tuốc bin hoạt động với tốc độ cao…
Các loại dao động có hại này ngày càng nguy hiểm và có ảnh hưởng xấu
đến điều kiện làm việc, làm giảm độ bền của các máy móc, thiết bị, công trình.
Đồng thời, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, do sự tăng lên về quy
mô kết cấu, về tốc độ máy móc và cường độ kích động ngoài; sự cấp thiết về
việc giảm giá thành các công trình lớn; yêu cầu cao về an toàn cho các công
trình quan trọng mà công nghệ giảm dao động đã và đang là một trong những
quan tâm hàng đầu của rất nhiều cơ quan nghiên cứu và ứng dụng.
Trước đây, phương pháp phổ biến giảm dao động là tăng độ cứng vững
của công trình hoặc khử nguyên nhân gây ra dao động. Tuy nhiên, trong nhiều
trường hợp, chi phí để tăng độ cứng vững của kết cấu sẽ rất tốn kém hoặc các
kết cấu của công trình được thiết kế, xây dựng theo quan điểm cổ điển dựa vào
sự vững chắc của bản thân, của tải tĩnh đặt trong kết cấu, không có khả năng
thích ứng với sự thay đổi luôn luôn của các lực tác dụng từ ngoài môi trường. Vì
vậy vấn đề đặt ra là phải thiết kế các bộ phận như thế nào để có thể lắp vào kết
cấu, làm giảm những dao động có hại một cách tốt nhất và làm tăng độ an toàn,
hiệu quả cũng như tuổi thọ của các công trình.
Vì thế trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ
sử dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động. Các
phương pháp giảm dao động và va chạm thường dựa trên cơ sở làm giảm hoặc
cách ly lực kích động, thay đổi tần số riêng để tránh cộng hưởng, tăng cản cho
4

cơ hệ. Về cơ bản chúng ta có thể coi các kích động tác động vào cơ hệ như là sự
truyền một năng lượng vào cơ hệ, sự điều tiết năng lượng từ hệ chính tới hệ phụ
được gắn vào cơ hệ được coi như sự hấp thụ hoặc tiêu tán năng lượng. Sử dụng
TBTTNL trong một chừng mực nhất định có thể bổ sung cho hai phương án trên
với những ưu điểm: kinh tế, hiệu quả, tăng tuổi thọ công trình, cài đặt, bảo
dưỡng và thay thế đơn giản.
Đi theo hướng giảm dao động bằng các bộ hấp thụ và tiêu tán năng lượng
(TTNL) ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp:
- hấp thụ dao động thụ động
- hấp thụ dao động tích cực
- hấp thụ dao động nửa tích cực (kết hợp cả hai phương pháp đầu)
Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được
gắn thêm vào hệ máy hay kết cấu. Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao
động thụ động là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính. Sự hấp thụ được
thực hiện bằng cách truyền một phần năng lượng dao động có hại từ hệ chính tới
bộ hấp thụ dao động thụ động. Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng
gọi tắt là TMD (Tuned Mass Damper) có thể mô tả như là một khối lượng được
gắn với hệ chính thông qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt. Thiết bị TMD sử
dụng khối lượng của bản thân để tạo ra chuyển động tương đối nên ưu điểm của
nó là không cần thay đổi hay bổ sung những yếu tố bên trong hệ chính.

Hình 1.1. Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909)

Hình 1.1 là mô hình cho thấy sự lắp đặt của bộ hấp thụ động lực khối
lượng
d
m
nhằm làm giảm dao động cho hệ chính khối lượng
m
. Mô hình này đã

được Frahm (1909) đưa ra lần đầu tiên. Bằng cách điều chỉnh độ cứng
d
k
và
khối lượng
d
m
sao cho tần số riêng của bộ hấp thụ bằng đúng tần số kích động
điều hoà
(
)
f t
, người ta có thể làm tắt dao động của khối lượng
m
. Sau đó Den
(
)
f t

m

k

d
k

d
m

5

Hartog (1956) đã phát triển lý thuyết bộ hấp thụ động lực có cản trong trường
hợp kích động điều hoà và hệ chính không cản. Áp dụng quy trình tính toán của
Den Hartog, các tác giả khác đã đưa ra lời giải cho nhiều trường hợp khác nhau
về mục tiêu điều khiển và dạng kích động [6], [8], [9]. Warburton (1982) là
người đã tiến hành thống kê và lập bảng các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động
lực cho nhiều trường hợp.
Trong lĩnh vực điều khiển kết cấu, vì hệ kết cấu thường có nhiều bậc tự
do và có cản nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do không cản chỉ là lời giải
gần đúng ban đầu. Những nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích
động ngẫu nhiên đã được phát triển theo hướng sử dụng các phương pháp số [7],
[10]. Ngoài ra một số nghiên cứu về TMD phi tuyến [11], TMD va chạm cũng
đáng chú ý. Để tăng hiệu quả của TMD, những công nghệ hiện đại còn sử dụng
các bộ điều khiển tích cực lắp đặt vào TMD. Kỹ thuật này được sử dụng tương
đối phổ biến ở Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid Mass Damper).
Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên cứu.
Khi lắp đặt vào kết cấu, thường thiết bị TMD cũng có biên độ dao động lớn hơn
nhiều lần dao động của kết cấu. Vấn đề nghiên cứu đặt ra là thiết kế hình dạng
của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian một cách tối ưu. Vì kiến trúc của
kết cấu rất đa dạng nên hình dạng cấu trúc của TMD cũng không kém phần
phong phú.
TMD được sử dụng phổ biến để giảm dao động do gió, sóng biển. Do yêu
cầu kĩ thuật, khối lượng TMD không được ảnh hưởng nhiều đến hệ chính
(thường không quá 3%-5% khối lượng hệ chính). Thông thường, kết cấu công
trình là những hệ có khối lượng rất lớn nên đòi hỏi TMD cũng có khối lượng
đáng kể, làm phát sinh một số yếu tố kỹ thuật cần tính đến trong thực tế.

1.2. Ứng dụng của thiết bị TMD
Sau khi đã có những phân tích thích hợp, kết hợp với những thí nghiệm
trên mô hình kết cấu thu nhỏ, thiết bị TMD đã chứng tỏ hiệu quả trong giảm dao
động có các kích động gây ra. Vì thế, các thiết bị này cũng được sử dụng rộng

rãi để giảm dao động. Chúng ta sẽ điểm qua một số ứng dụng của nó như sau.

1.2.1. TMD dạng chuyển động theo 2 hướng trực giao
Những TMD đầu tiên được lắp đặt là TMD chuyển động tịnh tiến trên các
rãnh chỉ có thể chuyển động theo 1 hướng nhất định. Chiba Port Tower là toà
6
nhà đầu tiên tại Nhật Bản lắp đặt thiết bị TMD. Thiết bị này có dạng chuyển
động tịnh tiến nhưng được thiết kế để có thể chuyển động theo 2 hướng trực
giao với nhau.


Hình 1.1. Chiba Port Tower

Kết quả trước khi điều khiển và sau khi điều khiển với những điều kiện
gió tương tự nhau cho thấy có thể giảm được chuyển dịch khoảng 30% và 40%
theo các phương.

1.2.2. TMD dạng con lắc đơn
TMD dạng con lắc đơn nổi tiếng nhất cho đến thời điểm này là TMD lắp
vào Taipei 101, Đài Loan - là toà nhà cao nhất thế giới năm 2004 với độ cao
508m được xây trên vùng có khả năng xảy ra động đất và gió lớn. Do chiều cao
quá lớn nên theo tính toán gia tốc của tầng cao nhất có thể vượt 30%-40% so với
gia tốc mong muốn.

Hình 1.2. Taipei 101,
Đ
ài Loan và qu
ả
c
ầ

u n
ặ
ng 660 t
ấ
n c
ủ
a TMD
7
Phương pháp giảm giao động là dùng một quả cầu nặng 660 tấn đặt tại
tầng 88 được treo bởi hệ thống cáp thép với 16 dây cáp dài 42m từ tầng 92 đến
tầng 88, xung quanh TMD có các hệ thống cản (Hình 1.2). Đây là TMD đầu tiên
trên thế giới mà các du khách có thể được quan sát không hạn chế. Với các hình
dáng điêu khắc đẹp trên quả cầu, TMD cũng mang lại lợi ích không nhỏ về du
lịch.

1.2.3. TMD dạng con lắc nhiều tầng
Một trong những ứng dụng đầu tiên của con lắc nhiều tầng là tại
Yokohama Landmark Tower (Yamazaki vcs 1992) trên hình 1.3.

Hình 1.3. Yokohama Landmark Tower và TMD d
ạ
ng con l
ắ
c nhi
ề
u t
ầ
ng

Con lắc nhiều tầng do Mitsubishi Heavy Industries chế tạo có cấu tạo như

hình 1.4 với nguyên tắc hoạt động như hình 1.5.

Hình 1.4. S
ơ

đồ
c
ấ
u t
ạ
o con l
ắ
c nhi
ề
u t
ầ
ng
V
ị

trí l
ắ
p
đặt TMD
Dây cáp
treo

Khối
lượng
Khung

thép
8

Hình 1.5. Nguyên t
ắ
c ho
ạ
t
độ
ng c
ủ
a con l
ắ
c
đơ
n (bên trái)
và con l
ắ
c 3 t
ầ
ng (bên ph
ả
i)

Thiết bị TMD trong trường hợp này là con lắc 3 tầng nên chiều dài cần
thiết chỉ còn là 3m thay vì 9m khi sử dụng con lắc đơn

1.2.4. TMD dạng con lắc cho các kết cấu mảnh
Đối với các kết cấu mảnh, một trong những giải pháp cho dạng kết cấu
này là lắp đặt các TMD dạng vòng đai. Ví dụ như TMD lắp vào ống khói thép

tại Rayong, Thái Lan (Hình 1.6).


Hình 1.6.
Ố
ng khói t
ạ
i Rayong, Thái Lan và TMD con l
ắ
c d
ạ
ng
đ
ai

1.2.5. TMD giảm dao động của cầu
Các kết cấu cầu chịu tải trọng phương tiện và con người có thể bị dao
động thẳng đứng. Các TMD thường được lắp đặt dưới đáy của gầm cầu để giảm
dao động thẳng đứng này. Ta có thể thấy một số ví dụ về các TMD của hãng
Gerb lắp đặt vào cầu như trên hình 1.7.
9

Hình 1.7. TMD l
ắ
p d
ướ
i g
ầ
m c
ầ

u
để
gi
ả
m dao
độ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng

Nói chung, những trường hợp như trên trên hình 1.7 là các TMD loại nhỏ
(khối lượng khoảng 1 tấn) lắp vào các cầu loại nhỏ, tần số cao nên không gặp trở
ngại lớn nào về mặt kỹ thuật.

Hình 1.8. C
ầ
u Trans-Tokyo Bay Crossing, Nh
ậ
t B
ả
n

1.2.6. Một số nghiên cứu về thiết bị TTNL TMD tại Việt Nam
Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông-Hải Đảo của Nhà
nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển (CTB) dạng DKI.

Hình 1.9. Công trình bi
ể

n d
ạ
ng DKI
10
Các công trình này đã và đang góp phần vào sự phát triển, khai thác tiềm
năng biển vô cùng phong phú. Về mặt khoa học công trình biển, ta đã có một
bước tiến bộ vượt bậc cả về số liệu khoa học, kinh nghiệm cũng như sự lớn
mạnh của đội ngũ cán bộ khoa học. Tuy nhiên, cùng với sự phát triển của khoa
học và công nghệ thì sự phát triển và hoàn thiện các công trình biển là một nhu
cầu tất yếu. Do việc giảm ma sát giữa các cọc trụ của công trình và nền san hô
cũng như do sóng, gió, dòng chảy lớn mà các công trình biển phải chịu nhiều
dao động có hại khiến cho chất lượng và tuổi thọ các công trình ngày càng giảm.
Đặc biệt, sự dính bám giữa cọc và nền san hô (lực ma sát) bị suy giảm khi công
trình dao động rung lắc nhiều (chiều sâu đóng cọc, số lượng cọc cho một công
trình; trọng lực gia tải của công trình không tương xứng với sóng gió thực tế lớn
hơn). Do liên kết yếu giữa công trình và nền san hô nên khi công trình bị rung
lắc mạnh sẽ tạo ra các lực động tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân công
trình, làm cho khu vực này bị biến dạng dẫn đến ma sát giữa các cọc và nền
giảm đi, khe hở tiếp xúc rộng ra. Sự phát triển của khe hở tiếp xúc này sẽ làm
cho ma sát tiếp xúc giảm, dao động của công trình tăng lên kéo theo lực động
tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân cọc cũng tăng theo. Kết quả là khe hở
tiếp xúc lại càng rộng ra. Quá trình này nếu không được ngăn cản sẽ tiếp tục cho
đến khi lực liên kết không còn thắng được các ngoại lực, dẫn tới hiện tượng cọc
bị nhổ.

Hình 1.10. Mô hình k
ế
t c
ấ
u

Các nhà khoa học đã nghiên cứu lắp thiết bị TTNL dạng con lắc lò xo vào
công trình thông qua hệ thống khớp cầu và cáp treo nhằm giảm dao động theo
nhiều phương phù hợp với dao động rung lắc không gian của công trình DKI.
Ngoài ra việc lắp thêm thiết bị cũng góp phần tăng trọng lực nhằm giảm bớt lực
nhổ cọc.
11
1.3. Giới thiệu phương pháp Laplace
Khi nghiên cứu các vấn đề cơ học, thông thường người ta phải tiến hành
lập mô hình, viết phương trình chuyển động, thiết lập điều kiện đầu và điều kiện
biên… Các phương trình thu được này thường là các phương trình vi phân
thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân hay phương trình
dạng hỗn hợp vi tích phân…
Phép biến đổi Laplace thay việc lấy đạo hàm và tích phân phức tạp bằng
các phép toán đại số, hay nói khác đi, đưa phương trình vi phân và tích phân về
phương trình đại số dễ giải hơn. Phép biến đổi Laplace có thể được xếp vào lớp
các phương pháp nhằm đưa bài toán n chiều về bài toán (n - 1) chiều.
Đị
nh ngh
ĩ
a
:

Cho
(
)
f t
là hàm của
0
t

≥
, phép biến đổi Laplace (BĐL) được định nghĩa:
(
)
(
)
( ) ( )
0
:
st
L f t F s
F s e f t dt
∞
−
→
=
∫
(1.1)
Trong đó
(
)
f t
là hàm gốc,
(
)
F s
là hàm ảnh hưởng. Tính
(
)
F s

biết
(
)
f t
được
gọi là tìm BĐL thuận. Ngược lại, biết
(
)
F s
tính
(
)
f t
gọi là tìm BĐL ngược.
Người ta còn dùng ký hiệu:
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
1
,
F s L f t f t L F s

−
= =
(1.2)
Điều kiện để tồn tại BĐL là tích phân (1.1) tồn tại:
Nếu:

(
)
(
)
{
}
, Re
s a t
st
e f t Ce s a
− −
−
< >

Thì:

(
)
{
}
L f t
∃

Nhận xét về phép BĐL:

- BĐL được xây dựng từ phép tích phân và hàm
x
e
. Hàm này có tính ch
ất
là không đổi đối với phép đạo hàm và tích phân:
x x x
x
d
e e dx e
dx
= =
∫
(1.3)
12
- Phép tích phân xét đến mọi giá trị của hàm
(
)
f t
, ở đây đã được xử lý
bằng cách nhân với
(
)
0
1, 0
st
e e e
− −∞
= =
cho thấy vai trò của

(
)
f t
không
như nhau với
t
∀
. Khi t càng lớn thì giá trị của
(
)
f t
càng có ít vai trò hơn.
Để việc BĐL trở nên dễ dàng hơn, người ta sử dụng bảng một số hàm
điển hình và tính chất quan trọng như sau. Những bảng này được lấy từ [2].

STT
(
)
f t

(
)
F s

1
(
)
t
δ

1
2
(
)
1
s
u t
≡

1
s

3 t
2
1
s

4
n
t

1
!
n
n
s
+

5
at

e
−

1
s a
+

6
at
te
−

( )
2
1
s a
+

7
( )
1
1
1 !
n at
t e
n
− −
−

( )

1
n
s a
+

8
1
at
e
−
−

( )
a
s s a
+

9
at bt
e e
− −
−

( )( )
b a
s a s b
−
+ +

10

bt at
be ae
− −
−

(
)
( )( )
b a s
s a s b
−
+ +

11
sin
at

2 2
a
s a
+

12
cos
at

2 2
s
s a
+

13
STT
(
)
f t

(
)
F s

13
cos
at
e bt
−

( )
2
2
s a
s a b
+
+ +

14
sin
at
e bt
−

( )
2
2
b
s a b
+ +

15
1 cos sin
at
a
e bt bt
b
−
 
− +
 
 

( )
2 2
2
2
a b
s s a b
+
 
+ +
 

16
cosh
at

2 2
s
s a
−

17
sinh
at

2 2
a
s a
−

B
ả
ng 1.1. M
ộ
t s
ố
hàm
đ
i
ể
n hình c

ủ
a phép bi
ế
n
đổ
i Laplace

STT Hàm theo bi
ế
n th
ờ
i gian

Bi
ế
n
đổ
i Laplace Tính ch
ấ
t
1
(
)
(
)
1 2
f t f t
α + β

(

)
(
)
1 2
F s F s
α + β

Ch
ồ
ng ch
ấ
t
2
(
)
(
)
s
f t T u t T
− −

(
)
; 0
sT
F s e T
−
≥

Th

ờ
i gian tr
ễ

3
(
)
f at

1
; 0
s
F a
a a
 
>
 
 

T
ỷ
l
ệ
th
ờ
i gian
4
(
)
at

e f t
−

(
)
F s a
+

T
ầ
n s
ố
d
ị
ch
chuy
ể
n
5
(
)
df t
dt

(
)
(
)
0
sF s f

−
−
Vi phân c
ấ
p 1
6
(
)
2
2
d f t
dt

(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
0 0
s F s sf f
− −
− −

Vi phân c
ấ

p 2
7
(
)
n
n
d f t
dt

(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
1
1 1
2
0
0 0
n n
n
n
s F s s f
s f f
− −
−
−

− −
− −

Vi phân cấp n
8
( )
0
t
f d
−
ς ς
∫

( )
1
F s
s

Tích phân
9
(
)
0
f
+

(
)
lim
s

sF s
→∞

Định lý giá trị
14
STT Hàm theo biến thời gian

Biến đổi Laplace Tính chất
đ
ầ
u dương

10
(
)
lim
t
f t
→∞

(
)
0
lim
s
sF s
→

Định lý giới hạn
cuối

11
(
)
tf t

(
)
dF s
ds
−

Nhân với thời
gian
Bảng 1.2. Một số tính chất của phép biến đổi Laplace

1.4. Kết luận chương 1
Chương 1 đã nêu tổng quan về giảm dao động bằng TBTTNL. Phần đầu
của chương giới thiệu ngắn gọn về nguyên lý hấp thụ dao động thụ động. Phần
này cũng đưa ra một số ứng dụng trong thực tế về các dạng bộ hấp thụ dao động
thụ động TMD. Cuối chương cũng đưa ra một số tính chất đặc biệt của phép
biến đổi Laplace. Việc nghiên cứu lý thuyết, tính toán các thông số của TMD lắp
vào hệ chính sử dụng các tính chất của phép biến đổi này, sẽ được giới thiệu
trong chương 2.
15
CHƯƠNG 2
TÍNH TOÁN THAM SỐ TỐI ƯU CỦA TMD
THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Từ phân tích ở chương 1, ta thấy rằng mặc dù các nghiên cứu về hệ dao
động một bậc tự do đã được nghiên cứu rất nhiều, trong thực tế ta thấy tồn tại vô

số loại cơ cấu chuyển động. Mỗi loại cơ cấu chuyển động lại có những đặc thù
riêng của nó. Để đảm bảo tính ứng dụng cao của các bộ hấp thụ dao động thụ
động vào thực tế, ta cần nghiên cứu các bộ hấp thụ dao động đặc thù để giảm
dao động cho các cơ cấu.
Trong giới hạn của một luận văn cao học, học viên nghiên cứu bộ hấp thụ
dạng TMD (tuned mass damper) cho hệ 1 bậc tự do được lắp thêm bộ TMD gồm
một vật có khối lượng, liên kết với hệ chính bởi lò xo và bộ cản nhớt tuyến tính.
Tuy nhiên, khác với các phương pháp trước đây, ta thường sử dụng các phương
pháp thông dụng như phương pháp điểm cố định, phương pháp cực tiểu moment
bậc 2 hay phương pháp cực đại độ cản tương đương, ở luận văn này, học viên
nghiên cứu sử dụng 1 phương pháp hoàn toàn mới. Đó là dùng các phép biến đổi
Laplace, tính toán các thông số của TMD nhằm giảm dao động có hại một cách
tối ưu.
Các bước nghiên cứu có thể tóm tắt như sau:
- Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động và tìm nghiệm tổng quát
của hệ khi chưa lắp TMD.
- Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp thêm TMD.
- Sử dụng các phép biến đổi Laplace, đưa hệ vi phân trở thành hệ các
phương trình đại số.
- Trên cơ sở hệ đại số, ta sẽ phân tích, tính toán để tìm các thông số tối ưu
và tìm nghiệm của hệ vi phân ban đầu.

2.1. Chuyển động của hệ chính khi chưa có TMD
Để có cái nhìn tổng quan về hiệu quả của bộ hấp thụ dao động trong việc
giảm dao động cho hệ chính, trước khi nghiên cứu và tính toán các thông số tối
ưu của TMD, ta khảo sát chuyển động của hệ chính khi chưa lắp đặt TMD.
16
Xét một vật nặng khối lượng m được gắn vào 1 lò xo có hệ số độ cứng k.
Bỏ qua khối lượng lò xo (Hình 2.1).

Hình 2.1. Hệ chính không có TMD

Động năng và thế năng của hệ có dạng:
2
1
2
T mx
=

(2.1)
2
1
2
cx
Π =
(2.2)
Thế các biểu thức động năng (2.1) và thế năng (2.2) trên vào phương trình
Lagrange loại hai:
d T T
dt x x x
∂ ∂ ∂Π
 
− = −
 
∂ ∂ ∂
 

(2.3)
Ta nhận được phương trình dao động của hệ:
0

mx kx
+ =

(2.4)
Hay:

2
0
x x
ω
+ =

(2.5)
Trong
đó
k
m
ω
=
là tần số dao động của cơ hệ.
Từ lý thuyết phương trình vi phân, nghiệm của phương trình (2.5) có dạng như
sau:
1 2
cos sin
x C t C t
ω ω
= +
(2.6)

m

k

x

17
Trong đó
1 2
,
C C
là các hằng số tuỳ ý. Các hằng số này xác định từ các điều kiện
đầu:
(
)
(
)
0 0
0 0
x x x x
= =
 
(2.7)
Để
xác
đị
nh các h
ằ

ng s
ố

1 2
,
C C
, ta
đạ
o hàm bi
ể
u th
ứ
c (2.6) theo th
ờ
i gian:
1 2
sin cos
x C t C t
ω ω ω ω
= − +

(2.8)
th
ế
các
đ
i
ề
u ki
ệ

n
đầ
u (2.7) vào 2 bi
ể
u th
ứ
c (2.6) và (2.8), ta xác
đị
nh
đượ
c:
0
1 0 2
x
C x C
ω
= =

(2.9)
Nghi
ệ
m (2.6) còn có th
ể

đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d

ạ
ng:
(
)
0
sin
x A t
ω θ
= +
(2.10)
Trong
đ
ó:
2
2 2 2
0
1 2 0
x
A C C x
ω
 
= + = +
 
 


1 0
0
2 0
C x

tg
C x
θ ω
= =

(2.11)
Vi
ệ
c mô ph
ỏ
ng dao
độ
ng c
ủ
a c
ơ
h
ệ
v
ớ
i các s
ố
li
ệ
u c
ụ
th
ể
s
ẽ

đượ
c trình
bày trong ch
ươ
ng ti
ế
p theo. Ph
ầ
n ti
ế
p theo, ta s
ẽ
ti
ế
p t
ụ
c nghiên c
ứ
u lý thuy
ế
t
khi c
ơ
h
ệ

đượ
c l
ắ

p thêm b
ộ
gi
ả
m ch
ấ
n TMD.

2.2.

Tính toán tham số tối ưu của TMD bằng phương pháp biến đổi
Laplace
2.2.1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ
Xét h
ệ
chính có kh
ố
i l
ượ
ng
1
m
, lò xo có
độ
c
ứ
ng
1
k
, c

ả
n nh
ớ
t
1
c

đượ
c l
ắ
p
thêm vào 1 b
ộ
gi
ả
m ch
ấ
n TMD có kh
ố
i l
ượ
ng
2
m
, lò xo có
độ
c
ứ
ng
2

k
và c
ả
n
nh
ớ
t
2
c
nh
ư
hình 2.2. H
ệ
ch
ị
u tác
độ
ng 1 l
ự
c kích
độ
ng
(
)
f t
vào h
ệ
chính.
1
x

là to
ạ

độ
chuy
ể
n d
ị
ch tuy
ệ
t
đố
i c
ủ
a h
ệ
chính và
2
x
là chuy
ể
n d
ị
ch t
ươ
ng
đố
i
c
ủ

a TMD so v
ớ
i h
ệ
chính.
18

Hình 2.2. H
ệ
chính có TMD

Độ
ng n
ă
ng, th
ế
n
ă
ng và hàm hao tán c
ủ
a h
ệ
l
ầ
n l
ượ
t có d
ạ
ng nh
ư

d
ướ
i
đ
ây:
( )
2
2
1 1 2 1 2
1 1
2 2
T m x m x x
= + +
  

2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
k x k x
Π = +
(2.12)
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
c x c x
Φ = +
 

Th
ế
các bi
ể
u th
ứ
c trên vào ph
ươ
ng trình Lagrange lo
ạ
i 2:
( )
1 1 1 1
d T T
f t
dt x x x x
 
∂ ∂ ∂Π ∂Φ
− = − − +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
 

2 2 2 2
d T T
dt x x x x
 
∂ ∂ ∂Π ∂Φ
− = − −

 
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
(2.13)
Ta thu
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình vi phân chuy
ể
n
độ
ng nh
ư
sau:
1 1 1 1 1 1 2 1 2 2
m x c x k x m x m x f
+ + = + +
   
(2.14)
2 1 2 2 2 2 2 2
0
m x m x c x k x
+ + + =
  
(2.15)
Th

ế
(2.15) vào (2.14), ta có h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 2 2 2 2 2 2
0
m x c x k x c x k x f
m x m x c x k x
+ + = − − +


+ + + =

  
  
(2.16)