Áp dụng phương pháp Wavelet để chuẩn đoán vết nứt của cầu dạng dầm dưới tác động của tải trọng di động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC







NGUYỄN ĐÌNH DŨNG








ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP WAVELET ĐỂ CHẨN ĐOÁN
VẾT NỨT CỦA CẦU DẠNG DẦM DƯỚI TÁC ĐỘNG
CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ














Hà Nội – 2010



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG






ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP WAVELET ĐỂ CHẨN ĐOÁN
VẾT NỨT CỦA CẦU DẠNG DẦM DƯỚI TÁC ĐỘNG
CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG





Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn
Mã số: 60 44 21


LUẬN VĂN THẠC SĨ






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIỆT KHOA

Hà Nội – 2010


1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Luận văn: “Áp dụng phƣơng pháp wavelet để chẩn đoán vết
nứt của cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động” là công trình nghiên
cứu của riêng tôi.
Các số liệu nêu ra và trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu
đƣợc trình bày trong luận văn này chƣa từng đƣợc công bố tại bất kỳ công trình nào
khác.
Hà nội, ngày 15 tháng 09 năm 2010
Tác giả luận văn


Nguyễn Đình Dũng

2
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Việt Khoa – cán
bộ hƣớng dẫn. Thầy đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình
làm luận văn. Nhờ đó, tôi đã học tập đƣợc rất nhiều kiến thức bổ ích. Thầy đã
truyền cho tôi lòng say mê cũng nhƣ phƣơng pháp nghiên cứu khoa học và những
kinh nghiệm vô cùng quý giá. Tác giả xin chân thành cảm ơn các cán bộ của Khoa
Cơ học kỹ thuật và Tự động hoá – Viện Cơ học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và ngƣời thân về sự động viên, khích lệ
tinh thần trong suốt quá trình học tập cũng nhƣ thực hiện đề tài này.
Hà nội, ngày 15 tháng 09 năm 2010

Tác giả luận văn


Nguyễn Đình Dũng



3
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 6
CHƢƠNG 1: Cơ sở lý thuyết dao động của hệ xe-cầu dƣới tác động của xe di
chuyển 9
1.1. Dầm nguyên vẹn 9
1.2. Kết cấu dầm có vết nứt 11
1.3. Ví dụ minh hoạ cho việc xác định ma trận tổng thể 14
CHƢƠNG 2: Biến đổi wavelet 16
2.1. Biến đổi wavelet 16
2.1.1. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngƣợc của nó 18
2.1.2. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và biến đổi ngƣợc của nó 19
2.2. Áp dụng wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín hiệu 21
CHƢƠNG 3: Mô phỏng số dao động của hệ xe-cầu với các vận tốc của xe và độ

sâu vết nứt của cầu khác nhau 26
3.1. Trƣờng hợp vận tốc của xe bằng 1m/s 26
3.2. Trƣờng hợp vận tốc của xe bằng 2m/s 33
3.3. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 10m/s 40
3.4. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 30m/s 45
3.5. Trƣờng hợp vận tốc của xe là 40m/s 50
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 59
PHỤ LỤC I 70










4
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động 9
Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt 11
Hình 1.3. Mô hình dầm ba phần tử có vết nứt tại giữa dầm 14
Hình 2.1. Hàm wavelet, vị trí wavelet 17
Hình 2.2. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết 20
Hình 2.3. Đồ thị của tín hiệu f(t): sóng hình sin tần số thấp đƣợc thay thế 21
Hình 2.4. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t) 22
Hình 2.5. Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu f(t) 22

Hình 2.6. Tín hiệu f(t) với một xung nhỏ ẩn ở điểm 150 ms 23
Hình 2.7. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t) 24
Hình 2.8. Biến đổi rời rạc của tín hiệu f(t) 24
Hình 3.1. Phản ứng của thân xe khi vận tốc v = 1m/s, với các vết nứt khác nhau 26
Hình 3.2. Phản ứng của thân xe khi xe chạy với vận tốc v = 1m/s, vết nứt 0% 27
Hình 3.3. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 0% 28
Hình 3.4. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 10% 28
Hình 3.5. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 10% 29
Hình 3.6. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 20% 29
Hình 3.7. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 20% 30
Hình 3.8. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 30% 30
Hình 3.9. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 30% 31
Hình 3.10. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 40% 31
Hình 3.11. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 40% 32
Hình 3.12. Phản ứng của thân xe khi v = 1m/s, vết nứt 50% 32
Hình 3.13. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 50% 32
Hình 3.14. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau 33
Hình 3.15. Phản ứng xử của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 0% 34
Hình 3.16. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 0% 35
Hình 3.17. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 10% 35
Hình 3.18. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 1m/s, vết nứt 10% 36
Hình 3.19. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 20% 36
Hình 3.20. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 20% 37
Hình 3.21. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 30% 37
Hình 3.22. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 30% 38
Hình 3.23. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 40% 38


5
Hình 3.24. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 40% 39

Hình 3.25. Phản ứng của thân xe khi v = 2m/s, vết nứt 50% 39
Hình 3.26. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 2m/s, vết nứt 50% 39
Hình 3.27. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau 40
Hình 3.28. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 0% 41
Hình 3.29. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 0% 41
Hình 3.30. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 30% 42
Hình 3.31. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 30% 42
Hình 3.32. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 40% 43
Hình 3.33. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 40% 44
Hình 3.34. Phản ứng của thân xe khi v = 10m/s, vết nứt 50% 44
Hình 3.35. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 10m/s, vết nứt 50% 44
Hình 3.36. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau 45
Hình 3.37. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 0% 46
Hình 3.38. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 0% 47
Hình 3.39. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 30% 47
Hình 3.40. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 30% 48
Hình 3.41. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 40% 48
Hình 3.42. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 40% 49
Hình 3.43. Phản ứng của thân xe khi v = 30m/s, vết nứt 50% 49
Hình 3.44. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 30m/s, vết nứt 50% 49
Hình 3.45. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, với các độ sâu vết nứt khác nhau 50
Hình 3.46. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 0% 51
Hình 3.47. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 0% 52
Hình 3.48. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 40% 52
Hình 3.49. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 40% 53
Hình 3.50. Phản ứng của thân xe khi v = 40m/s, vết nứt 50% 53
Hình 3.51. Phản ứng của thân xe và biến đổi wavelet khi v = 40m/s, vết nứt 50% 53

6
MỞ ĐẦU
Hƣ hỏng trong các kết cấu có thể gây ra do sự tác động của môi trƣờng ví dụ nhƣ
tải trọng gió, tải trọng sóng, sự ăn mòn, sự suy giảm các điều kiện biên, hoặc sự tập
trung ứng suất nhƣ sự nứt vỡ, sự phá hủy các khớp… Sự phát triển của những hƣ
hỏng nhƣ vết nứt chịu tải trọng tác dụng kéo dài có thể dẫn tới sự phá hủy kết cấu,
gây nên thiệt hại to lớn về ngƣời và của. Do đó, việc phát hiện ra những vết nứt
trong kết cấu là một vấn đề rất quan trọng.
Việc chẩn đoán các vết nứt trong các hệ cơ khí và các công trình xây dựng dân
dụng đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu trong hơn hai thập kỷ qua nhƣ đã chỉ ra trong
báo cáo tổng quan của Salawu [25], Doebling và đồng nghiệp [7]. Hiện trên thế
giới đã có một số lƣợng lớn các phƣơng pháp không phá hủy để phát hiện ra các vết
nứt dựa trên những thay đổi của các tính chất động lực học của kết cấu (tần số,
dạng riêng, hàm truyền). Pandey và đồng nghiệp [19] đã đề xuất phƣơng pháp ứng
dụng độ cong của dạng riêng để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Sự suy giảm mặt
cắt ngang gây ra bởi hƣ hỏng có xu hƣớng làm tăng độ cong của các dạng riêng
trong lân cận vùng bị hƣ hỏng. Pandey và Biswas [18] đã giới thiệu một phƣơng
pháp phát hiện vết nứt dựa trên sự khác nhau giữa các ma trận độ mềm của các kết
cấu bị và không bị hƣ hỏng. Nghiên cứu này đã chỉ ra rằng phƣơng pháp trên làm
việc hiệu quả nhất khi hƣ hỏng nằm tại nơi có mô men uốn lớn. Verboven và đồng
nghiệp [27, 28] đã giới thiệu phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng một cách tự động dựa
trên các tham số modal. Những thay đổi của dạng riêng của kết cấu do hƣ hỏng gây
ra đƣợc tự động nhận dạng bằng phƣơng pháp ƣớc lƣợng khả năng xảy ra cực đại
(maximum likelihood estimator) trong miền tần số. Khoo và đồng ngiệp [10] đã
giới thiệu một kỹ thuật phân tích modal để theo dõi kết cấu của một bức tƣờng
bằng gỗ. Những thay đổi đáng chú ý trong tần số riêng đã đƣợc sử dụng để phát

hiện sự tồn tại của vết nứt và để xác định các dạng riêng nhạy cảm với vết nứt. Vị
trí của vết nứt đƣợc xác định bằng cách so sánh sự biến dạng của dạng riêng trƣớc
và sau hƣ hỏng.
Trong thập kỷ trƣớc, biến đổi wavelet đã nổi lên nhƣ một công cụ hữu hiệu cho
việc xử lý tín hiệu do tính chính xác và linh hoạt trong việc phân tích tín hiệu theo
miền thời gian - tần số. Lu và Hsu [14] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa trên phân
tích wavelet để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Những hƣ hỏng nhỏ của kết cấu có
thể gây ra những thay đổi lớn đối của các hệ số wavelet tại vị trí hƣ hỏng. Hong và
đồng nghiệp [9] đã nghiên cứu tính hiệu quả của phƣơng pháp biến đổi wavelet liên


7
tục (CWT) để đánh giá số mũ Lipschitz. Trong nghiên cứu của họ, độ lớn của số
mũ Lipschitz đƣợc sử dụng nhƣ một chỉ số về mức độ hƣ hỏng khi nghiên cứu dạng
riêng uốn của một dầm có vết nứt. Dầm có hai vết nứt đã đƣợc Loutridis và đồng
nghiệp nghiên cứu [13]. Dạng dao động riêng cơ bản của một dầm cantilever đã
đƣợc phân tích bằng phƣơng pháp CWT. Vị trí của các vết nứt đƣợc phát hiện
thông qua những thay đổi đột ngột của các hệ số wavelet của phản ứng động của
kết cấu. Poudel và Ye [22], Rucka và Wilde [24] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa
trên biến đổi wavelet để xác định vị trí của hƣ hỏng trong dầm cantilever và dầm có
gối tựa đơn giản sử dụng độ võng tĩnh. Trong thí nghiệm của họ, độ võng tĩnh thu
đƣợc nhờ việc xử lý ảnh số của dầm. Vị trí vết nứt đƣợc xác định rất hiệu quả nhờ
phƣơng pháp đã đề xuất. Gần đây, Castro và đồng nghiệp [4, 5], Nguyen và
Olatubosun [17] đã giới thiệu phƣơng pháp dựa trên biến đổi wavelet để xác định
các khuyết tật trong các dầm chịu dao động tự do và cƣỡng bức. Sự tồn tại và vị trí
của khuyết tật do những thay đổi cục bộ trong tỷ trọng hoặc độ cứng của thanh đã
đƣợc phát hiện nhờ việc áp dụng biến đổi wavelet.
Việc phân tích các hệ đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng di động là một chủ đề
đƣợc quan tâm trong hơn một thế kỉ qua. Đặc biệt trong kỹ nghệ cầu đƣờng, nhiều
ứng dụng đã đƣợc phát triển từ chủ đề này. Dƣới tác dụng của tải trọng động, phản

ứng của kết cấu thƣờng đƣợc sử dụng cho việc phát hiện hƣ hỏng. Parhi và Behera
[20] đã giới thiệu phƣơng pháp giải tích cùng với sự kiểm chứng bằng thực nghiệm
để nghiên cứu phản ứng của một dầm bị nứt dƣới tác dụng của một khối lƣợng di
động. Phƣơng pháp Runge-Kutta đã đƣợc sử dụng để giải các phƣơng trình vi phân
liên quan tới việc phân tích độ võng động của dầm cantilever. Piombo và đồng
nghiệp [21] đã tính toán hệ tƣơng tác xe-cầu bằng cách xem nó nhƣ mặt thẳng đứng
ba nhịp chịu tác dụng của một hệ vật bẩy bậc tự do với hệ giảm xóc tuyến tính và
lốp xe là không cứng tuyệt đối. Trong các bài báo này, các tham số modal đƣợc
trích ra từ phân tích wavelet. Lee và đồng nghiệp [11] đã đề xuất một quy trình bao
gồm việc nhận dạng các tham số modal và đánh giá vị trí và mức độ hƣ hỏng. Các
tham số modal đƣợc xác định từ tín hiệu tắt dần, đƣợc tính bằng cách sử dụng
phƣơng pháp suy giảm ngẫu nhiên. Việc đánh giá hƣ hỏng đƣợc thực hiện dựa trên
các tham số modal nhờ phƣơng pháp trí tuệ nhân tạo. Bilello và Bergman [2] đã
nghiên cứu dầm bị hƣ hỏng dƣới tác dụng của tải trọng động. Hƣ hỏng đƣợc mô
hình hóa bằng lò xo xoay và góc xoay của nó đƣợc đánh giá bằng cơ học phá hủy
đàn hồi tuyến tính. Zhu và Law [30] đã sử dụng biến đổi wavelet liên tục để phân


8
tích độ võng theo thời gian của cầu chịu tải trọng là xe di động. Trong tất cả những
nghiên cứu trên, các cảm biến đều đƣợc gắn trên cầu. Tuy nhiên, những phản ứng
từ cầu ở những vị trí khác nhau thì khác nhau. Vì vậy, để có những dữ liệu phù hợp
cho việc phát hiện hƣ hỏng, vị trí của các cảm biến trên cầu cần phải đƣợc xem xét.
Từ việc điểm lại những nghiên cứu kể trên, một ý tƣởng về sử dụng biến đổi
wavelet để phân tích dữ liệu dao động đo trực tiếp trên phƣơng tiện đang di chuyển
để phát hiện vết nứt đã đƣợc đề xuất. Đây sẽ là phƣơng pháp đơn giản do việc thiết
lập hệ thống cảm biến trên cầu là không cần thiết. Cùng với đó, phƣơng pháp này
cũng sẽ không cần quan tâm tới vị trí của các cảm biến trên cầu.
Mục đích của nghiên cứu này là để mở rộng các phƣơng pháp phát hiện vết nứt
bằng cách giới thiệu một kỹ thuật dựa trên biến đổi wavelet để nghiên cứu phản

ứng động của kết cấu đƣợc đo trực tiếp trên phƣơng tiện đang di chuyển. Trong
luận văn này, mô hình lý thuyết của hệ xe-cầu và biến đổi wavelet sẽ đƣợc giới
thiệu. Một ví dụ mô phỏng số cũng đã đƣợc thực hiện để nghiên cứu tính hiệu quả
của kỹ thuật đƣợc đề xuất này. Bố cục của luận văn bao gồm ba chƣơng và một phụ
lục.
Chƣơng thứ nhất xây dựng mô hình phần tử hữu hạn của hệ xe-cầu, trong đó xe
đƣợc mô hình hoá nhƣ hệ một bậc tự do, cầu đƣợc mô hình hoá nhƣ một dầm Euler
– Bernoulli. Từ đó, hệ phƣơng trình tƣơng tác xe-cầu đƣợc thiết lập.
Chƣơng thứ hai giới thiệu cơ sở toán học của phép biến đổi wavelet. Phép biến đổi
wavelet liên tục và rời rạc cũng đƣợc giới thiệu. Một số ví dụ minh họa cho khả
năng phân tích wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh giá sự thay đổi đột ngột trong
tín hiệu.
Chƣơng cuối cùng mô phỏng số dao động của một hệ xe-cầu đã đƣợc nêu ở chƣơng
đầu. Phản ứng của xe với các vận tốc và độ sâu vết nứt của cầu khác nhau đƣợc
dùng để phân tích wavelet nhằm phát hiện sự thay đổi đột ngột trong các đáp ứng
này. Từ đó dẫn đến kết luận tại vị trí thay đổi đột ngột của tín hiệu chính là vị trí
của vết nứt tƣơng ứng ở trên cầu.
Phụ lục là chƣơng trình máy tính để giải hệ phƣơng trình tƣơng tác xe-cầu đã đƣợc
thiết lập ở chƣơng đầu tiên bằng ngôn ngữ Matlab chạy trên hệ điều hành
Windows.



9
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ XE-CẦU
DƢỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN
1.1. Dầm nguyên vẹn
Mô hình của xe, cầu và xe–cầu sử dụng trong các bài toán tải trọng di động trên cầu
đã đƣợc thảo luận bởi Yua và Chan [29]. Hệ xe–cầu là một hệ rất phức tạp và sự

tƣơng tác giữa cầu và xe cũng là một vấn đề phức tạp bị ảnh hƣởng bởi rất nhiều
tham số khác nhau. Tuy nhiên, trong một số trƣờng hợp mô hình có thể đƣợc đơn
giản hoá và nó lại có hiệu quả hơn mô hình phức tạp trong việc thiết lập sự liên
quan giữa các tham số chính và đáp ứng của cầu. Với mục đích đó, chúng ta sẽ xem
xét nghiên cứu một mô hình đơn giản là hệ xe–cầu một chân.
Chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét hệ xe–cầu một chân nhƣ trong hình 1.1. Trong
đó xe di chuyển đều với vận tốc v, lốp xe cứng tuyệt đối. Xe đƣợc mô hình hoá nhƣ
hệ một bậc tự do với thân xe và lốp xe là những vật thể rắn. Để đơn giản hoá, vết
nứt đƣợc giả định là vết nứt mở. Cầu đƣợc mô hình hoá nhƣ một dầm Euler –
Bernoulli. Độ gồ ghề của bề mặt cầu đƣợc bỏ qua và bánh xe luôn tiếp xúc với mặt
cầu. Theo các giả định này và áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phƣơng trình
chuyển động của hệ xe–cầu đƣợc thể hiện nhƣ sau [12]:

0)()(
1

oo
uykuycym

(1.1)

0
T
fNfKddCdM 

(1.2)

 
ymumgmmf
oo


1221

(1.3)
X
Y
L
x
y
m
v
u
m
k
c
0
2
1

Hình 1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động


10
Trong đó m
1
, m
2
, k, c là các tham số nhƣ hình 1. y là chuyển vị theo phƣơng thẳng
đứng của xe. u
0

là chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng của khối lƣợng m
2
và bằng
với chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng của cầu tại vị trí tiếp xúc. M, C và K là ma
trận khối lƣợng, ma trận cản và ma trận độ cứng của kết cấu. N
T
là ma trận chuyển
của hàm dạng tại vị trí x của lực. f
0
là độ lớn của lực tác dụng lên dầm. d là véc tơ
chuyển vị nút của từng phần tử dầm. Chuyển vị u của dầm tại vị trí x có thể đƣợc
tính từ hàm dạng và chuyển vị nút d:
Ndu
(1.4)
Hàm dạng của các phần tử là:
N = [N
1
N
2
N
3
N
4
] (1.5)
Trong đó:






















































l
x
l
x
xN
l
x
l
x
N
l
x
xN

l
x
l
x
N
2
4
32
3
2
2
32
1
;23
;1;231
(1.6)
Với l là chiều dài của phần tử.
Các đạo hàm theo thời gian của u
0
là:

t
u
x
x
u
txu
o








),(
(1.7)

2
22
2
2
2
2),(
t
u
x
x
u
x
tx
u
x
x
u
txu
o














(1.8)
Theo giả thiết xe chuyển động đều ta có:
0x


Vậy phƣơng trình (1.8) đƣợc viết lại nhƣ sau:

2
22
2
2
2
2),(
t
u
x
tx
u
x
x

u
txu
o










(1.9)
Vế bên phải của phƣơng trình (1.9) chính là gia tốc Coriolis do m
2
di chuyển dọc
theo dầm đang dao động. Bởi vì N là hàm của biến x trong khi d độc lập với thời
gian, từ (1.4) chúng ta có:
;;;;;
2
22
2
2
dN dN dN dNdN

















t
u
t
u
tx
u
x
u
x
u
xxxx
(1.10)


11
Thay (1.10) vào phƣơng trình (1.7) và (1.9) ta đƣợc:

dNdN




xo
xtxu ),(
(1.11)

dNdNdN
xxxo
xxtxu
2
2),(






(1.12)
Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình (1.2) ta đƣợc:

     
T
21
T2
2
T
2
T
1
T

2
)(2 NdNNKdNNCNdNNM gmmxmxmymm
xxx





(1.13)
Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc:

0)(
1
 kykxcyccym
x
dNNdN



(1.14)
Kết hợp (1.13) và (1.14) ta đƣợc phƣơng trình sau:

 



































































0
21

T
*
*
1
1
T*
gmm
y
kkxc
y
cc
y
m
m
x
N
d
NN
0KK
d
N
0CC
d
0
NMM






(1.15)
Trong đó:

xxx
xmxmm NNK NNC NNM
TTT 2
2
*
2
*
2
*
;2;


(1.16)
1.2. Kết cấu dầm có vết nứt
Lc
i
x
i
X
Y
a
i
P
i
M
i



i
u
i


i+1
u
i+1
P
i+1
M
i+1

Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt
Hình 1.2 thể hiện một mô hình dầm đƣợc chia thành Q phần tử, vết nứt nằm ở phần
tử thứ i. Giả định rằng vết nứt chỉ ảnh hƣởng đến độ cứng, không ảnh hƣởng đến
khối lƣợng và hệ số cản của dầm. Theo nguyên lý Saint-Venant thì trƣờng ứng suất
chỉ bị ảnh hƣởng ở khu vực lân cận với vết nứt. Do đó, ma trận độ cứng phần tử
của phần tử nguyên vẹn có thể coi là không thay đổi. Một ma trận độ cứng của


12
phần tử có vết nứt có thể đƣợc xác định nhƣ sau [23]: Bỏ qua biến dạng trƣợt,
năng lƣợng biến dạng của một phần tử không có vết nứt có dạng:











32
1
32
22)(
lP
MPllM
EI
W
o
(1.17)
Trong đó P và M là lực cắt và mô men uốn nội ở nút bên phải của phần tử (hình
1.2). Năng lƣợng biến dạng bổ sung do vết nứt đã đƣợc tính trong cơ học phá huỷ.
Các hệ số độ mềm đƣợc tính thong qua hệ số cƣờng độ ứng suất trong giới hạn đàn
hồi tuyến tính, sử dụng định lý Castigliano. Với dầm chữ nhật có chiều cao h, chiều
rộng b, thì năng lƣợng bổ sung do vết nứt có thể đƣợc viết dƣới dạng:

 
 















a
IIIIII
da
E
K
E
KK
bW
0
222
)1(
1

(1.18)
Trong đó E’=E là ứng suất phẳng và
2
1




E
E

là biến dạng phẳng và a là độ sâu
vết nứt, K
I
, K
II
, K
III
là hệ số cƣờng độ ứng suất cho kiểu mở, kiểu trƣợt, kiểu rách
tƣơng ứng.
Chỉ tính đến lực uốn thì phƣơng trình (1.18) dẫn đến:

 




a
IIPIPIM
da
E
KKK
bW
0
2
2
)1(
(1.19)
Trong đó:

bh

sFaP
K
bh
sFaPl
K
bh
sFaM
K
II
IIP
I
IP
I
IM
)(
;
)(3
;
)(6
22


(1.20)




























2
cos
2
sin1199.0923.0
2
2
)(
4
s
s

s
tg
s
sF
I




(1.21)

 
s
sss
sssF
II



1
18.0085.0561.0122.1
23)(
32
2
(1.22)
Trong đó s = a/h; a là độ sâu vết nứt.
Các thành phần của ma trận độ mềm của phần tử nguyên vẹn có thể đƣợc tính nhƣ
sau:

13

MPPPji
PP
W
c
ji
o
o
ij




21
)(2
)(
;;2,1,;
~
(1.23)
Từ (1.23) và (1.17) các hệ số
)(
~
o
ij
c
đƣợc tính nhƣ sau:

EI
l

c
3
~
3
)0(
11

;
EI
l
c
2
~
2
)0(
12

;
EI
l
c
2
~
2
)0(
21

;
EI
l

c 
)0(
22
~
(1.24)
Hệ số độ mềm bổ sung là:

MPPPji
PP
W
c
ji
ij




21
)1(2
)1(
;;2,1,;
~
(1.25)
Từ (1.25) và (1.18) các hệ số
)1(
~
ij
c
đƣợc tính nhƣ sau:

da
hb
saF
hb
sFal
E
b
c
a
III








0
22
2
42
22
)1(
11
)(2)(18
'
~

;

da
hb
salF
E
b
c
a
I


0
42
2
)1(
12
)(36
'
~



da
hb
salF
E
b
c
a
I



0
42
2
)1(
21
)(36
'
~

;
da
hb
saF
E
b
c
a
I


0
42
2
)1(
22
)(72
'
~


(1.26)
Do đó, hệ số độ mềm tổng thể là:

)1()(
~~~
ij
o
ijij
ccc 
(1.27)
Từ điều kiện cân bằng, phƣơng trình sau có thể nhận đƣợc:

   
T
ii
T
iiii
MPMPMP
1111 
 T
(1.28)
Trong đó:

T
L












1
0
0
1
10
1
T
(1.29)
Theo nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt có thể đƣợc tính
nhƣ sau:

TCTK
1T
c
~


(1.30)
Ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng của phần tử không có vết nứt đƣợc biểu
diễn nhƣ sau:


14


















22
22
3
e
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l

EI
K
(1.31)


















22
22
e
422313
221561354
313422
135422156
420
llll

ll
llll
ll
ml
M
(1.32)
Trong đó I - mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm; E - mô đun đàn hồi; l - độ
dài của phần tử; m- khối lƣợng trên một đơn vị dài của phần tử.
Các ma trận khối lƣợng của phần tử đƣợc ghép nối thành ma trận khối lƣợng tổng
thể, trong khi đó các ma trận K
e
và K
c
đƣợc ghép nối thành ma trận độ cứng tổng
thể của dầm có vết nứt. Ma trận cản Rayleigh có dạng
KMC


đƣợc sử dụng
cho dầm. Trong đó

và

đƣợc tính nhƣ sau [27]:

   
2
1
2
2

1122
2
1
2
2
122121
2
;
2












(1.33)
Trong đó ω
1
và ω
2
là tần số riêng thứ nhất và thứ hai của dầm,

1
,


2
là hệ số cản
modal tƣơng ứng với hai tần số trên.
1.3. Ví dụ minh hoạ cho việc xác định ma trận tổng thể
Dƣới đây trình bày một ví dụ minh hoạ cho việc tính ma trận độ cứng tổng thể của
một dầm có vết nứt tại chính giữa của dầm. Dầm đƣợc chia làm ba phần tử, mỗi
phần tử có độ dài l. E - mô đun đàn hồi của dầm. I - mô men quán tính mặt cắt
ngang của dầm (hình 1.3).
X
Y
1 2 3

Hình 1.3. Mô hình dầm ba phần tử có vết nứt tại giữa dầm


15
Theo công thức (1.31) ma trận độ cứng của phần tử 1 và 3 nhƣ sau:



















22
22
3
31
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
KK
(1.34)
Ta giả sử ma trận độ cứng phần tử 2 là phần tử có vết nứt nhƣ sau:















44434241
34333231
24232221
14131211
3
2
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
l
EI
K
(1.35)
Ghép nối các ma trận K
1
, K
2
, K
3
ta đƣợc ma trận độ cứng K tổng thể của dầm nhƣ
sau:





































22
22
44434241
34333231
242322
2
21
2
14131211
22
3
46260000
6126120000
264600
61261200
004626
00612612
00002646
0000612612
llll
ll
lllklkkk
llkkkk
kkklklll
kkklkl
llll

ll
l
EI
K
(1.36)
Sau khi đã có các ma trận tổng thể M, C, và K của dầm có vết nứt, thay các ma trận
này vào hệ phƣơng trình (1.15) và giải hệ phƣơng trình này bằng phƣơng pháp
Newmark ta sẽ thu đƣợc phản ứng động của xe và dầm.
Khi có vết nứt thì phản ứng của hệ xe-cầu sẽ có thay đổi so với khi không có vết
nứt. Tuy nhiên, những thay đổi này có thể là rất nhỏ và khó phát hiện bằng cách
quan sát trực tiếp. Vì thế, việc áp dụng các phƣơng pháp xử lý tín hiệu nhằm
khuếch đại sự thay đổi của phản ứng của hệ xe-cầu để phát hiện vết nứt là rất cần
thiết. Chƣơng tiếp theo sẽ trình bày khái quát cơ sở lý thuyết của một trong các
phƣơng pháp xử lý tín hiệu đó là: biến đổi wavelet.


16
CHƢƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET
Nhƣ đã trình bày trong phần tổng quan, khi có vết nứt thì sẽ có sự không liên tục
hoặc sự thay đổi đột ngột trong phản ứng động của kết cấu. Sự thay đổi này sẽ
đƣợc khuếch đại và phát hiện nếu lựa chọn đƣợc kỹ thuật xử lý dữ liệu một cách
phù hợp. Gần đây, biến đổi wavelet đã thể hiện nhƣ một công cụ nhanh và chính
xác cho việc phân tích tín hiệu trong miền thời gian-tần số. Đặc biệt, biến đổi
wavelet có tính địa phƣơng nên nó có khả năng phân tích những sự thay đổi đột
ngột trong tín hiệu. Vì vậy, biến đổi wavelet đƣợc đề xuất để sử dụng cho luận văn
này. Trong chƣơng này sẽ trình bày cơ sở và một số đặc tính quan trọng của các
biến đổi wavelet có thể đƣợc áp dụng hiệu quả cho việc phát hiện sự thay đổi đột
ngột trong các tín hiệu.
Chƣơng này bao gồm hai phần chính. Phần thứ nhất trình bày một giới thiệu ngắn

gọn cơ sở của các biến đổi wavelet bao gồm biến đổi wavelet liên tục, biến đổi
wavelet rời rạc và biến đổi ngƣợc của chúng. Phần thứ hai sẽ trình bày một số ví dụ
minh hoạ cho khả năng phân tích wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh giá sự thay
đổi đột ngột trong tín hiệu.
2.1. Biến đổi wavelet
Nhƣ tên đã gợi ý, biến đổi wavelet sử dụng các hàm sóng nhỏ đƣợc gọi là wavelets.
Mô tả chính xác hơn thì wavelet là một hàm mà có chứa các sóng nhỏ địa phƣơng.
Wavelets đƣợc sử dụng để chuyển đổi một tín hiệu sang một dạng biểu diễn khác,
trong đó các thông tin của tín hiệu đƣợc trình bày ở dạng hữu ích hơn. Cách chuyển
đổi tín hiệu này là biến đổi wavelet. Về mặt toán học, các biến đổi wavelet là phép
nhân cuộn của hàm wavelet với tín hiệu. Nói chung, biến đổi wavelet chuyển đổi
tín hiệu từ miền thời gian (hoặc không gian) sang miền thời gian (hoặc không gian)
- tần số. Điều này có nghĩa rằng, thông qua biến đổi wavelet, tín hiệu đƣợc trình
bày trong miền tần số trong khi các thông tin trong miền thời gian (hoặc không
gian) vẫn đƣợc giữ lại. Điều này là rất hữu ích cho việc phân tích các sự kiện xảy ra
trong thời gian ngắn hoặc các kỳ dị có trong tín hiệu.
Hàm wavelet có thể đƣợc thực hiện theo hai cách:
1) Đó là “dịch chuyển theo trục thời gian”: Wavelet có thể đƣợc dịch chuyển
đến các địa điểm khác nhau của tín hiệu.


17
2) Nó có thể kéo hoặc nén lại.
Một lợi thế lớn của wavelet là khả năng phân tích các tín hiệu một cách địa
phƣơng. Nếu hàm wavelet có sự tƣơng quan với tín hiệu tại một vị trí và độ co giãn
nhất định thì hệ số wavelet sẽ lớn. Ngƣợc lại, nếu hàm wavelet không tƣơng quan
với tín hiệu thì giá trị của các hệ số wavelet là nhỏ. Tính chất đặc biệt này của biến
đổi wavelet sẽ rất hữu ích cho việc xử lý nhiều loại tín hiệu khác nhau. Hình 2.1
trình bày một ví dụ về hàm wavelet, sự co giãn và vị trí của nó.
Hình 2.1. a) Hàm wavelet. b) Vị trí wavelet – hàm wavelet có thể đƣợc dịch

chuyển đến các vị trí khác nhau. c) Sự co giãn - hàm wavelet có thể đƣợc kéo giãn
hoặc nén lại.
Biến đổi wavelet có những ứng dụng khác nhau trong nhiều lĩnh vực. Các ứng
dụng chủ yếu của biến đổi wavelet nhƣ sau:
1) Phát hiện điểm gẫy và điểm thay đổi đột ngột trong tín hiệu
a
b
c


18
2) Phát hiện sự tƣơng tự trong tín hiệu
3) Xác định các tần số của tín hiệu thành phần
4) Nén các tín hiệu
5) Khử các tín hiệu nhiễu
6) Khử các hình ảnh nhiễu
7) Nén các hình ảnh
8) Nhân nhanh các ma trận lớn
Trong các ứng dụng trên của biến đổi wavelet, phát hiện sự thay đổi đột ngột trong
các tín hiệu là mối quan tâm chính của luận văn này để phục vụ cho việc phát hiện
các vết nứt của kết cấu.
2.1.1. Biến đổi Wavelet liên tục và biến đổi ngƣợc của nó
Các biến đổi wavelet liên tục (CWT) đƣợc định nghĩa nhƣ sau [6, 15]:












 dt
a
bt
tf
a
baWf
*
)(
1
),(

(2.1)
Trong đó:
Số thực a thể hiện hệ số co giãn
Số thực b thể hiện vị trí
Wf(a,b) là hệ số wavelet với độ co giãn a và vị trí b
f(t) là tín hiệu đầu vào








a

bt

là hàm wavelet







a
bt
*

là liên hợp phức của







a
bt


Để đơn giản biểu thức của phép biến đổi wavelet, đặt









a
bt
a
1
)t(
*
b,a

, phép
biến đổi wavelet (2.1) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:




 dttfba
ba,
)(),(Wf

(2.2)


19
Một wavelet phải có những tính chất sau:
1) Một wavelet phải có năng lƣợng hữu hạn

 




dttE
2

(2.3)
2) Nếu
 

ˆ
là biến đổi Fourier của
 
t

, nghĩa là:

   




 dtet
ti


ˆ
(2.4)

Khi đó các điều kiện sau đây phải đƣợc thoả mãn:

 



0
2
ˆ



dC
g
(2.5)
Điều đó có nghĩa là wavelet không có thành phần tần số bằng không:
0)0(
ˆ


,





 0)( dtet
tj



khi ω = 0 (2.6)
Hay nói cách khác các wavelet phải có giá trị trung bình bằng không, nghĩa là:




 0dt)t(

(2.7)
3) Một điều kiện khác cho các wavelet phức là biến đổi Fourier phải là thực và
bằng không đối với các tân số âm.
Biến đổi ngược của wavelet liên tục
 






2
,
1
),()(
a
da
dbbawfCtf
ba


(2.8)

Trong đó:










d
)(
ˆ
2C
2
(2.9)
2.1.2. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và biến đổi ngƣợc của nó
Có thể hoàn toàn khôi phục lại tín hiệu ban đầu bằng cách sử dụng tổng vô hạn của
các hệ số wavelet rời rạc thay vì tích phân liên tục nhƣ đòi hỏi của CWT. Điều này


20
dẫn đến phép biến đổi wavelet nhanh (tƣơng tự nhƣ biến đổi Fourier nhanh) nhằm
tăng tốc độ của phép biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngƣợc của nó.
Biến đổi wavelet liên tục đƣợc trình bày ở mục 2.1.1 nhƣ sau:





 dttfbaWf
ba,
)(),(

(2.10)
Nếu sử dụng tất cả các giá trị của a, b để xây dựng hệ số wavelet sẽ lãng phí thời
gian và rƣờm rà, do đó ngƣời ta thƣờng sử dụng các số nguyên a=2
j
, b=k2
j
, các
DWT trở thành:

 





 dtttfdtkttfWf
kj
jj
kj
)()()2()(2
,
*2/
,

(2.11)
Trong đó:

)2(2)(
*2/
,
ktt
jj
kj



.
Biến đổi ngƣợc của DWT sẽ đƣợc biểu diễn nhƣ sau [1]:

 





j k
kjkj
tWftf )()(
,,

(2.12)
Xấp xỉ và chi tiết của biến đổi wavelet rời rạc:
Sử dụng biến đổi wavelet rời rạc có thể phân tích một tín hiệu thành hai thành
phần: xấp xỉ và chi tiết. Một tín hiệu đƣợc coi là một tổng của hai tín hiệu, một với
tần số thấp (xấp xỉ), một với tần số cao (chi tiết). Xấp xỉ giữ nguyên dạng chính của
tín hiệu, trong khi các chi tiết mô tả các tín hiệu khác thêm vào tín hiệu chính nhƣ:
thay đổi nhỏ, nhiễu, tín hiệu không dừng…

Hình 2.2. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết
Quá trình phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết có thể đƣợc lặp lại bằng cách
coi xấp xỉ ở mức trƣớc là tín hiệu và tiếp tục phân tích thành xấp xỉ và chi tiết ở


21
mức cao hơn. Do đó một tín hiệu gốc có thể đƣợc phân tích thành nhiều thành phần
với độ phân giải thấp dần. Cách thức phân tích tín hiệu nhƣ thế đƣợc gọi là cây
phân tích nhƣ mô tả ở hình 2.2. Ở hình này S là tín hiệu gốc, đƣợc phân tích thành
xấp xỉ cA
1
ở mức 1 và chi tiết cD
1
ở mức 1. Tiếp theo, cA
1
lại đƣợc phân tích thành
xấp xỉ cA
2
ở mức 2 và chi tiết cD
2
ở mức 2…
2.2. Áp dụng wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín hiệu
Sự thay đổi đột ngột của các tín hiệu có thể nhìn thấy một cách trực quan trong một
số trƣờng hợp nhƣng trong một số trƣờng hợp thì không nhìn thấy đƣợc. Tuy nhiên,
bằng cách sử dụng phép biến đổi wavelet thì sự thay đổi đột ngột của tín hiệu có
thể đƣợc phát hiện. Hai ví dụ sau sẽ cho ta một hình ảnh khái quát của ứng dụng
wavelet trong việc phát hiện sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu.
Hình 2.3 trình bày một ví dụ phát hiện thời điểm của sự thay đổi đột ngột trong tín
hiệu. Tín hiệu không liên tục bao gồm hai sóng hình sin: sóng hình sin tần số thấp

sẽ đột ngột đƣợc thay thế bởi sóng hình sin tần số trung bình.

 




,sin
,sin
2
1
t
t
tf


(2.13)
Ta có thể thấy trong hình 2.3 tín hiệu gẫy ở điểm 150 ms.

Hình 2.3. Đồ thị của tín hiệu f(t): sóng hình sin tần số thấp đƣợc thay thế
bằng sóng hình sin tần số trung bình ở điểm 150 ms
ω
1
=100 nếu 1≤ t <150 (ms)
ω
2
=200 nếu 150≤ t <300 (ms)


22

Hình 2.4. Biến đổi wavelet liên tục của tín hiệu f(t)

Hình 2.5. Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu f(t)


23
Các gián đoạn đƣợc phát hiện rõ ràng bởi biến đổi wavelet liên tục cũng nhƣ biến
đổi wavelet rời rạc (hình 2.4 và 2.5). Vị trí điểm gẫy tại một vùng rất chính xác: chỉ
có một miền nhỏ xung quanh thời gian 150 ms chứa các hệ số wavelet có giá trị
lớn.
Ví dụ thứ hai là để phát hiện các thay đổi đột ngột ẩn trong tín hiệu mà không thể
đƣợc nhìn thấy trực tiếp từ mắt thƣờng. Tín hiệu này là một hàm điều hoà cộng với
một xung nhỏ.

   
 







0
01.0
0
50,)(sin
t
tttf




(2.14)


Hình 2.6. Tín hiệu f(t) với một xung nhỏ ẩn ở điểm 150 ms
nếu 0≤ t<150(ms)
nếu t = 150 (ms)
nếu 150 < t <300 (ms)