Các kỹ thuật phân cụm trong khai phá dữ liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





Nguyễn Thị Thu Hiền








Các kỹ thuật phân cụm trong khai phá dữ liệu









LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội - 2009




ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





Nguyễn Thị Thu Hiền

Các kỹ thuật phân cụm trong khai phá dữ liệu



Ngành: Công Nghệ Thông tin
Mã số: 60.48.05


LUẬN VĂN THẠC SĨ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. Vũ Đức Thi






Hà Nội - 2009



- 1 -

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn “Các kỹ thuật phân cụm trong khai phá dữ liệu”
là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn được

sử dụng trung thực. Những kết luận của luận văn chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác.

Học viên thực hiện


Nguyễn Thị Thu Hiền



- 2 -

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo của
PGS.TS Vũ Đức Thi. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy cùng sự
giúp đỡ nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô giáo và các Cán bộ trong trường Đại học Công
nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội đã truyền thụ kiến thức, kinh nghiệm học tập,
nghiên cứu khoa học cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Khoa
Toán, Tổ Tin học và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện tốt kế hoạch
học tập của mình.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình tôi đã luôn bên cạnh động
viên, ủng hộ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này.

Học viên thực hiện


Nguyễn Thị Thu Hiền

- 3 -
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN 1
LỜI CẢM ƠN 2
MỤC LỤC 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5
DANH MỤC BẢNG BIỂU 6
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 7
LỜI MỞ ĐẦU 9
CHƢƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ KHAI PHÁ DỮ LIỆU 11
1.1. Quá trình khám phá tri thức trong cơ sở dữ liệu 11
1.2. Tính liên ngành của khai phá dữ liệu 13
1.3. Các bài toán khai phá dữ liệu điển hình 14
1.4. Các dạng dữ liệu có thể khai phá dữ liệu 16
1.5. Hướng tiếp cận và kỹ thuật chính trong khai phá dữ liệu 16
1.6. Ứng dụng của khai phá dữ liệu 18
1.7. Các thách thức trong KPTT và KPDL 18
CHƢƠNG 2 - PHÂN CỤM DỮ LIỆU 19
2.1. Bài toán phân cụm dữ liệu 19
2.2. Các giai đoạn của quá trình phân cụm dữ liệu 20
2.3. Ứng dụng của phân cụm dữ liệu 21
2.4. Các kiểu dữ liệu và độ đo tương tự 21
2.5. Các kỹ thuật tiếp cận phân cụm dữ liệu 25
2.6. Yêu cầu đối với các thuật toán phân cụm dữ liệu 29
CHƢƠNG 3 - CÁC THUẬT TOÁN PHÂN CỤM DỮ LIỆU ĐIỂN HÌNH 30
3.1. Các thuật toán phân cụm phân hoạch 30
3.1.1. Thuật toán k-means 30
3.1.2. Thuật toán PAM 33
3.1.3. Thuật toán CLARA 35

3.1.4. Thuật toán CLARANS 37


- 4 -
3.2. Các thuật toán phân cụm phân cấp 39
3.2.1. Thuật toán BIRCH 39
3.2.2. Thuật toán CURE 42
3.3. Các thuật toán phân cụm dựa trên mật độ 44
3.3.1. Thuật toán DBSCAN 44
3.3.2. Thuật toán OPTICS 48
3.3.3. Thuật toán DENCLUE 49
3.4. Các thuật toán phân cụm dựa trên lưới 51
3.4.1. Thuật toán STING 51
3.4.2. Thuật toán CLIQUE 53
3.4.3. Thuật toán WaveCluster 53
3.5. Phân cụm dựa trên mô hình 54
3.5.1. Thuật toán EM 54
3.6. Các thuật toán phân cụm dữ liệu kiểu hạng mục 57
3.6.1. Thuật toán k-modes 58
3.6.2. Thuật toán ROCK 61
3.6.3. Thuật toán STIRR 64
3.6.4. Thuật toán CACTUS 66
3.7. Phân cụm dữ liệu hỗn hợp 70
3.7.1. Cơ sở toán học 70
3.7.2. Thuật toán k-prototypes 73
CHƢƠNG 4 - PHÂN CỤM DỮ LIỆU MỜ 76
4.1. Giới thiệu 76
4.2. Thuật toán FCM 77
4.2.1. Hàm mục tiêu 77
4.2.2. Thuật toán FCM 78

4.3. Thuật toán FCM 80
4.3.1. Hàm mục tiêu 80
4.3.2. Thuật toán FCM 85
4.4. Một số kết quả thử nghiệm 85
4.4.1. Thí nghiệm dữ liệu có ngoại lai 85
4.4.2. Phân cụm dữ liệu các nhóm có ngoại lai và xếp chồng dữ liệu 88
KẾT LUẬN 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92
PHỤ LỤC 94
CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM THUẬT TOÁN K-MEANS 94


- 5 -
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT


Từ hoặc cụm từ
Từ viết tắt
Từ tiếng Anh
Cơ sở dữ liệu
CSDL
Database
Công nghệ thông tin
CNTT
Information Technology
Khám phá tri thức
KPTT
Knowledge Discovery

KDD

Knowledge Discovery in Database
Khai phá dữ liệu
KPDL
Data mining
Phân cụm dữ liệu
PCDL
Data Clustering
















- 6 -
DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1. Bảng giá trị tham số 22
Bảng 2.2. Các kiểu thuộc tính với các độ đo thích hợp tương ứng 25
Bảng 3.1. Bảng tổng kết các thuộc tính của các thuật toán PCDL kiểu số 55
Bảng 3.2. Bảng tổng kết các thuộc tính của các thuật toán PCDL hạng mục 69

Bảng 4.1. Số lỗi tâm cụm lớn nhất của FCM và FCM theo số phần tử ngoại lai 87
Bảng 4.2. Chuẩn Frobenius của các lỗi tâm các cụm 88
Bảng 4.3. Cực đại các lỗi tâm cụm với dữ liệu có ngoại lai 89
Bảng 4.4. Frobenius của các lỗi tâm cụm cho dữ liệu có ngoại lai 89








- 7 -
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Quá trình khám phá tri thức trong CSDL 12
Hình 1.2. Tính đa/liên ngành của khai phá dữ liệu 13
Hình 1.3. Sơ đồ biểu diễn mô hình học máy: cần học đường nét rời 17
Hình 2.1. Quá trình phân cụm dữ liệu 20
Hình 2.2. Các khoảng cách Euclidean và Manhattan giữa hai đối tượng 23
Hình 2.3. Phương pháp xây dựng cây phân cụm phân cấp 26
Hình 2.4. Mô tả phân cụm phân hoạch và phân cụm phân cấp 27
Hình 3.1. Ý tưởng thuật toán k-means 30
Hình 3.2. Các bước cơ bản của thuật toán k-means 31
Hình 3.3. Chi tiết thuật toán k-means 32
Hình 3.4. Các bước thực hiện thuật toán PAM 35
Hình 3.5. Các bước thực hiện thuật toán CLARA 36
Hình 3.6. Thuật toán CLARANS 38
Hình 3.7. Thuật toán BIRCH sử dụng cây CF 40
Hình 3.8. Các bước cơ bản của thuật toán BIRCH 42

Hình 3.9. Một số cụm dữ liệu được khám phá bởi thuật toán CURE 43
Hình 3.10. Các bước cơ bản của thuật toán CURE 43
Hình 3.11. Hình dạng một số cụm được khám phá bởi thuật toán DBSCAN 45
Hình 3.12. Liên thông mật độ và liên kết mật độ trong PCDL dựa trên mật độ 46
Hình 3.13. Thuật toán DBSCAN 48
Hình 3.14. Thứ tự các cụm được tăng dần trong OPTICS 49
Hình 3.15. Biểu diễn hàm ảnh hưởng sóng ngang và Gaussian 50
Hình 3.16. Mô hình lưới được sử dụng bởi thuật toán STING 51

- 8 -
Hình 3.17. Các bước thực hiện thuật toán STING 52
Hình 3.18. Ứng dụng của thuật toán WaveCluster 54
Hình 3.19. Các bước thực hiện thuật toán EM 54
Hình 3.20. Mảng hạng mục của tập dữ liệu 60
Hình 3.21. Số các đối tượng lân cận chung của hai đối tượng dữ liệu i, j 62
Hình 3.22. Tổng quan về ROCK 63
Hình 3.23. Các bước cơ bản của thuật toán ROCK 64
Hình 3.24. Trình bày dữ liệu trong thuật toán STIRR 65
Hình 3.25. Một ví dụ sử dụng CACTUS 68
Hình 3.26: Ảnh hưởng của
l

trong phân cụm 72
Hình 3.27: Thủ tục phân phối ban đầu trong thuật toán k-prototypes 74
Hình 3.28: Thủ tục phân phối lại(re-allocation) trong k-prototypes 75
Hình 3.29: Quá trình hội tụ của thuật toán k-prototypes 75
Hình 4.1. Thuật toán FCM 78
Hình 4.2. Mô phỏng kết quả các cụm được khám phá bởi thuật toán FCM 79
Hình 4.3. Thuật toán FCM 85
Hình 4.4. Thực nghiệm phương pháp FCM 86

Hình 4.5. Thực nghiệm phương pháp FCM với  = 2 86
Hình 4.6. Thực nghiệm FCM,  = 2 với các cụm có dữ liệu xếp chồng và ngoại lai 90
Hình 4.7. Thực nghiệm FCM với các cụm có dữ liệu xếp chồng và ngoại lai 90








- 9 -

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin và
ngành công nghiệp phần cứng đã làm cho khả năng thu thập và lưu trữ thông tin của
các hệ thống thông tin tăng nhanh một cách chóng mặt. Bên cạnh đó, việc tin học
hóa một cách ồ ạt và nhanh chóng của các hoạt động sản xuất, kinh doanh cũng như
nhiều lĩnh vực hoạt động khác đã tạo ra một lượng dữ liệu lưu trữ khổng lồ. Hàng
triệu CSDL đã được sử dụng trong các hoạt động sản xuất, kinh doanh, quản lí ,
trong đó có nhiều CSDL cực lớn. Sự bùng nổ này đã dẫn tới một yêu cầu cấp thiết
là cần có những kĩ thuật và công cụ mới để tự động chuyển đổi lượng dữ liệu khổng
lồ kia thành các tri thức có ích. Từ đó, các kĩ thuật khám phá hay còn gọi là phát
hiện tri thức trong CSDL (Knowledge Discovery in Databases) đã trở thành một
lĩnh vực thời sự của ngành công nghệ thông tin trên thế giới hiện nay.
Khai phá dữ liệu (Data Mining) là một bước trong quá trình khám phá tri thức
và được định nghĩa: là quá trình trích xuất các thông tin có giá trị tiềm ẩn bên trong
lượng lớn dữ liệu được lưu trữ trong các CSDL, kho dữ liệu… Hiện nay, ngoài thuật
ngữ khai phá dữ liệu, người ta còn dùng một số thuật ngữ khác có ý nghĩa tương tự

như: khai phá tri thức từ CSDL (knowlegde mining from databases), trích lọc dữ
liệu (knowlegde extraction), phân tích dữ liệu/mẫu (data/pattern analysis), khảo cổ
dữ liệu (data archaeology), nạo vét dữ liệu (data dredging).
Vớ i hai mụ c đí ch chính củ a khai phá dữ liệu là Dự đoá n (Prediction) và Mô tả
(Description), người ta thường sử dụng các phương pháp: phân lớ p (Classification),
dự đoá n (Prediction), tìm luật liên kết (Association Rule) và các kỹ thuật phân cụm
(Clustering) cho khai phá dữ liệu.
Phân cụm dữ liệu là quá trình nhóm các đối tượng dữ liệu tương đồng với
nhau thành các cụm. Một cụm là tập hợp các đối tượng dữ liệu tương đồng với nhau
và các đối tượng dữ liệu thuộc các cụm khác nhau không tương đồng với nhau.
Phân cụ m dữ liệ u nhằ m mụ c đí ch chí nh là tì m kiế m và phá t hiệ n cá c cụ m hoặ c cá c
mẫ u dữ liệ u tự nhiên trong cơ sở dữ liệ u lớ n , theo đó , cho phé p ngườ i ta đi sâu và o
phân tích và nghiên cứ u ch o từ ng cụ m dữ liệ u nà y nhằ m khá m phá cá c thông tin
tiề m ẩ n, hữ u í ch, phục vụ cho việc ra quyết định . Các kỹ thuật chính được áp dụng
trong phân cụ m dữ liệ u thườ ng phầ n lớ n đượ c kế thừ a từ lĩnh vự c thố ng kê , học
máy, nhậ n dạ ng,… Đế n nay, phân cụ m dữ liệ u đã đượ c ứ ng dụ ng rộ ng rã i cho việ c

- 10 -
giải quyết các vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau như tài chính , thông tin đị a lý ,
sinh họ c, nhậ n dạ ng ả nh,…
Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề “Các kỹ thuật phân cụm
trong khai phá dữ liệu” làm đề tài nghiên cứu của mình.
Luận văn sẽ trình bày một số vấn đề về khám phá tri thức trong CSDL và tập
trung nghiên cứu, trình bày về các kỹ thuật phân cụm trong KPDL. Trong luận văn,
ngoài phần mở đầu nêu lên các lý do chính lựa chọn đề tài, phần kết luận nhằm tóm
tắt các vấn đề đã tìm hiểu được, đồng thời xác định hướng nghiên cứu tiếp theo, nội
dung luận văn được trình bày trong 4 chương và phần phụ lục:
Chương 1: Trình bày tổng quan về khám phá tri thức và khai phá dữ liệu: các
khái niệm liên quan, các giai đoạn trong quá trình khám phá tri thức, các kỹ thuật
tiếp cận chính trong khai phá dữ liệu, …

Chương 2: Giới thiệu về phân cụm dữ liệu, trong đó đi sâu phân tích chi tiết
các vấn đề cơ bản trong PCDL và ý nghĩa của PCDL. Đồng thời, trình bày tóm tắt
về các đặc trưng của các phương pháp PCDL như: phân cụm phân hoạch, phân cụm
phân cấp, phân cụm dựa trên mật độ,… và nêu các kỹ thuật đánh giá kết quả PCDL.
Chương 3: Trình bày các phân tích, đánh giá đối với các thuật toán PCDL điển
hình và chỉ ra ưu, nhược điểm của chúng.
Chương 4: Trình bày về kỹ thuật phân cụm mờ trong PCDL, cụ thể là trình
bày hai thuật toán FCM (Fuzzy C-means) và FCM. Nêu lên một số kết quả thực
nghiệm cho các thuật toán phân cụm mờ.
Phụ lục: Cài đặt chương trình thử nghiệm cho thuật toán k-means.

- 11 -
CHƢƠNG 1.
TỔNG QUAN VỀ KHAI PHÁ DỮ LIỆU

1.1. Quá trình khám phá tri thức trong cơ sở dữ liệu
Cuộc cách mạng của khoa học kỹ thuật đã cho phép số hóa thông tin dễ dàng,
nhanh chóng với chi phí lưu trữ thấp. Đồng thời, cùng với sự phát triển, trang bị
hiện đại của hệ thống phần mềm, phần cứng máy tính, một số lượng dữ liệu khổng
lồ đã được tích lũy, lưu trữ. Mục đích của việc thu thập và lưu trữ các kho dữ liệu
khổng lồ như vậy không ngoài mục tiêu khai phá dữ liệu nhằm phát hiện các tri thức
mới có ích cho hoạt động của con người. Chính vì vậy, kỹ thuật thống kê và các
công cụ quản trị dữ liệu cũ không thể đáp ứng được nhu cầu phân tích đầy đủ dữ
liệu rộng lớn được nữa và một khuynh hướng mới đã được ra đời, phát triển, đó là
lĩnh vực khám phá tri thức và khai phá dữ liệu.
Theo Fayyad, Piatetsky-Shapiro, Smyth, việc nghiên cứu phát triển lĩnh vực
khám phá tri thức trong CSDL (Knowledge Discovery in Databases: KDD) nhằm
giải quyết tình trạng “ngập tràn thông tin mà vẫn thiếu thốn tri thức”. [22]
Khám phá tri thức trong cơ sở dữ liệu là lĩnh vực đã, đang và sẽ được quan
tâm triển khai nghiên cứu, phát triển một cách nhanh chóng và rộng rãi. Đã có rất

nhiều các thuật ngữ khác nhau mà được coi là cùng mang nghĩa của KDD như
knowledge extraction (chiết lọc tri thức), information discovery (phát hiện thông
tin), information harvesting (thu hoạch thông tin), data archaeology (khai quật dữ
liệu) và data pattern processing (xử lý mẫu dữ liệu). Năm 1989, Fayyad, Smyth và
Piatestsky-Shapiro đã định nghĩa một cách đầy đủ về khái niệm Khám phá tri thức
trong cơ sở dữ liệu (Knowledge Discovery in Database - KDD) như sau: [12]-[22]
Khám phá tri thức trong cơ sở dữ liệu (đôi khi còn được gọi là khai phá dữ
liệu) là một quá trình không tầm thường nhận ra những mẫu có giá trị, mới, hữu ích
tiềm năng và hiểu được trong dữ liệu.
Quá trình khám phá tri thức trong CSDL được chia thành các bước như trong
hình 1.1 dưới đây:



- 12 -

Hình 1.1. Quá trình khám phá tri thức trong CSDL

- Trích lọc dữ liệu (Data Selection)
Là bước trích chọn những tập dữ liệu cần được khai thác từ các tập dữ liệu lớn
(databases, datawarehouses) ban đầu theo một số tiêu chí nhất định.
- Tiền xử lý dữ liệu (Data preprocessing)
Giai đoạn này hay bị sao lãng, nhưng thực tế nó là một bước rất quan trọng
trong quá trình khai phá dữ liệu. Tiền xử lý dữ liệu là bước làm sạch dữ liệu (xử lý
dữ liệu không đầy đủ, dữ liệu nhiễu, dữ liệu không nhất quán,…), rút gọn dữ liệu
(sử dụng các phương pháp nén dữ liệu, histograms, entropy,…), rời rạc hóa dữ liệu
(dựa vào histograms, dựa vào phân khoảng,…). Sau bước này, dữ liệu sẽ nhất quán,
đầy đủ, được rút gọn và được rời rạc hóa. Có thể nói, đây là một bước rất quan
trọng vì dữ liệu này nếu không được “làm sạch - tiền xử lý - chuẩn bị trước” thì sẽ
gây nên những kết quả sai lệch nghiêm trọng.

- Biến đổi dữ liệu (Data transformation)
Là bước chuẩn hóa và làm mịn dữ liệu để đưa dữ liệu về dạng thuận lợi nhất
nhằm phục vụ cho mục đích khai thác ở bước sau.
- Khai phá dữ liệu (Data mining)
Đây là bước quan trọng và tốn nhiều thời gian nhất của quá trình khám phá tri
thức, áp dụng các kỹ thuật phân tích (phần lớn là các kỹ thuật của học máy) nhằm
khai thác, trích chọn được các mẫu thông tin, các mối liên hệ đặc biệt trong dữ liệu.

Dữ liệu
Dữ liệu đích
Dữ liệu đã
tiền xử lý
Dữ liệu
chuyển dạng
Mẫu
Tri thức
Đánh giá và biểu
diễn tri thức
Trích
chọn dữ
liệu
Tiền xử lý
dữ liệu
Biến đổi
dữ liệu
Khai phá
dữ liệu

- 13 -
- Đánh giá và biểu diễn tri thức (Knowledge representation & evaluation)

Dùng các kỹ thuật hiển thị dữ liệu để trình bày các mẫu thông tin (tri thức) và
mối liên hệ đặc biệt trong dữ liệu đã được khai thác ở bước trên theo dạng gần gũi
với người sử dụng như đồ thị, cây, bảng biểu, luật,… Đồng thời, bước này cũng
đánh giá những tri thức khám phá được theo các tiêu chí nhất định.
Trong quá trình phát hiện tri thức trong các CSDL đưọc mô tả ở trên, chúng ta
nhận thấy có sự tham gia của các kho dữ liệu. Theo W.H. Inmon [12] "kho dữ liệu
là tập hợp các dữ liệu định hướng theo chủ đề, được tích hợp từ, có tính phiên bản
theo thời gian và kiên định được dùng để hỗ trợ việc tạo quyết định cho người quản
trị".
1.2. Tính liên ngành của khai phá dữ liệu
Khai phá dữ liệu là một khái niệm ra đời vào cuối những năm 1980. Nó được
xem là giai đoạn quan trọng nhất trong tiến trình khai phá tri thức từ cơ sở dữ liệu,
các tri thức này hỗ trợ trong việc ra quyết định trong khoa học và kinh doanh.
KPDL nhận được sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực
học máy, thu nhận mẫu, CSDL, thống kê, trí tuệ nhân tạo, thu nhận tri thức đối với
hệ chuyên gia (Hình 1.2). Hệ thống KDD lôi cuốn các phương pháp, thuật toán và
kỹ thuật từ các lĩnh vực rời rạc nhau này. Mục tiêu thống nhất là trích lọc tri thức từ
dữ liệu trong ngữ cảnh các CSDL lớn. [6]-[12]-[15]

Hình 1.2. Tính đa/liên ngành của khai phá dữ liệu

Đối với các lĩnh vực học máy và thu nhận mẫu, sự đan xen với KDD trải theo
các nghiên cứu về lý thuyết và thuật toán đối với các hệ thống trích lọc mẫu và mô
hình dữ liệu (chủ yếu đối với các phương pháp khai phá dữ liệu). Trọng tâm của
KDD đối với việc mở rộng các lý thuyết và thuật toán này hướng tới bài toán tìm ra



- 14 -
các mẫu đặc biệt (những mẫu mà trong một số ngữ cảnh còn được gọi là tri thức

hữu dụng hoặc hấp dẫn) trong các tập hợp dữ liệu lớn của thế giới thực.
Phát hiện máy với mục tiêu là phát hiện các luật kinh nghiệm từ quan sát và
thử nghiệm và mô hình nhân quả phát hiện các kết luận của mô hình nhân quả từ dữ
liệu là những lĩnh vực nghiên cứu có mối liên hệ với nhau.
Một lĩnh vực nghiên cứu và triển khai có liên quan (trong nhiều trường hợp
được coi là một bộ phận của lĩnh vực khai phá dữ liệu và phát hiện tri thức trong
CSDL) là lĩnh vực kho dữ liệu (data warehouse) chỉ dẫn tới các khuynh hướng hệ
thống thông tin quản lý (MIS: Managment Information Systems) phổ biến hiện tại
đối với việc thu thập và làm sạch dữ liệu giao dịch và tạo cho chúng sự biến động
khi tìm kiếm trực tuyến. Một tiệm cận phổ biến đối với việc phân tích kho dữ liệu
gọi là OLAP (On-Line Analytical Processing), qua một tập các nguyên lý được
Codd đề xuất vào năm 1993 [19].
1.3. Các bài toán khai phá dữ liệu điển hình
Bước khai phá dữ liệu trong quá trình KDD thường áp dụng một phương pháp
khai phá dữ liệu cụ thể, liên quan đến các khái niệm mẫu và mô hình. Mẫu là một
biểu thức trong một ngôn ngữ mô tả L được chọn. Mô hình được coi là một biểu
thức tổng quát trong ngôn ngữ mô tả L nói trên mà tính tổng quát được thể hiện
thông qua các tham số (được gọi là tham số mô hình), trong trường hợp đó, mẫu là
một thể hiện của mô hình.
Nhiệm vụ của bài toán khai phá dữ liệu là từ dữ liệu (tập các sự kiện) quan sát
đã có thì hoặc cần phải xác định mô hình phù hợp với dữ liệu quan sát, hoặc cần tìm
ra các mẫu từ dữ liệu đó.
Ở mức cao - tổng quát, hai mục tiêu chủ yếu của khai phá dữ liệu là dự đoán
và mô tả. Dự đoán dùng một số biến hoặc trường trong CSDL để dự đoán hoặc về
giá trị chưa biết hoặc về giá trị sẽ có trong tương lai của các biến. Mô tả hướng tới
việc tìm ra các mẫu mô tả dữ liệu. Dự đoán và mô tả có tầm quan trọng khác nhau
đối với các thuật toán khai phá dữ liệu riêng.
Ở mức chi tiết - cụ thể, dự đoán và mô tả được thể hiện thông qua các bài toán
cụ thể như mô tả khái niệm, quan hệ kết hợp, phân cụm, phân lớp, hồi quy, mô hình
phụ thuộc, phát hiện biến đổi và độ lệch và một số bài toán cụ thể khác.

 Mô tả khái niệm
Bài toán mô tả khái niệm là tìm các đặc trưng và tính chất của các khái niệm.
Điển hình nhất là các bài toán như tổng quát hóa, tóm tắt, các đặc trưng dữ liệu ràng
buộc,…Bài toán tóm tắt là một bài toán điển hình, áp dụng các phương pháp tìm

- 15 -
một mô tả cô đọng đối với một tập con dữ liệu. Một ví dụ điển hình về tóm tắt là kỳ
vọng và độ lệch chuẩn. Kỹ thuật tóm tắt thường được áp dụng trong phân tích dữ
liệu tham dò có tương quan và tự động hóa sinh thông báo.
 Quan hệ kết hợp
Phát hiện mối quan hệ kết hợp là một bài toán quan trọng trong khai phá dữ
liệu, trong đó khai phá luật kết hợp là một đại diện điển hình.
 Phân lớp
Phân lớp (Classification) thực hiện việc xây dựng các mô hình (hàm) dự báo
nhằm mô tả hoặc phát hiện các lớp hoặc khái niệm cho các dự báo tiếp theo. Một số
phương pháp điển hình là cây quyết định, luật phân lớp, mạng nơron. Nội dung của
phân lớp chính là học một hàm ánh xạ các dữ liệu vào một trong một số lớp đã biết.
Ví dụ, phân lớp khuynh hướng trong thị trường tài chính, phát hiện tự động hóa các
đối tượng đáng quan tâm trong CSDL ảnh lớn…
 Phân cụm
Phân cụm (Clustering) thực hiện việc nhóm dữ liệu thành các lớp mới để có
thể phát hiện các mẫu phân bố. Các cụm có thể rời nhau và toàn phần (tạo nên phân
hoạch) hoặc có thể chồng chéo lên nhau. Ví dụ như phát hiện các nhóm người tiêu
dùng trong CSDL tiếp thị, Định hướng thường là cực đại tính tương đồng trong
mỗi cụm và cực tiểu tính tương đồng giữa các phần tử thuộc các cụm khác nhau.
Có một số ứng dụng yêu cầu cần giải quyết bài toán phân đoạn
(segmentation). Về bản chất, phân đoạn là tổ hợp của phân cụm và phân lớp, trong
đó phân cụm được tiến hành trước và sau đó là phân lớp.
 Hồi quy
Hồi quy là học một hàm ánh xạ dữ liệu nhằm xác định giá trị thực của một

biến. Tình huống ứng dụng hồi quy rất đa dạng, chẳng hạn như dự báo nhu cầu
người tiêu dùng đối với một sản phẩm mới, dự đoán số lượng sinh vật phát quang
trong khu rừng nhờ đo vi sóng các sensor từ xa, hoặc ước lượng xác suất người
bệnh có thể chết theo kết quả test triệu chứng,…
 Mô hình phụ thuộc
Bài toán xây dựng mô hình phụ thuộc hướng tới việc tìm ra một mô hình mô
tả sự phụ thuộc có ý nghĩa giữa các biến. Mô hình phụ thuộc gồm hai mức: mức cấu
trúc của mô hình mô tả (thường dưới dạng đồ thị) và mức định lượng. Trong đó, ở
mức cấu trúc của mô hình các biến là phụ thuộc bộ phận vào các biến khác, còn ở
mức định lượng của mô hình mô tả sức mạnh của tính phụ thuộc khi sử dụng đo
theo số.

- 16 -
 Phát hiện biến đổi và độ lệch
Tập trung vào việc phát hiện hầu hết sự thay đổi có ý nghĩa dưới dạng độ đo
đã biết trước hoặc giá trị chuẩn.
 Ngoài ra có thể kể tới phân tích định hướng mẫu và thống kế khác.
1.4. Các dạng dữ liệu có thể khai phá dữ liệu
Nguồn dữ liệu được sử dụng để tiến hành khai phá dữ liệu nhằm phát hiện tri
thức rất phong phú.
 Cơ sở dữ liệu quan hệ (relational databases) : là các dữ liệu được tổ chức theo
mô hình dữ liệu quan hệ.
 Cơ sở dữ liệu đa chiều (multidimention structures, data warehouses, data
mart): là các kho dữ liệu được tập hợp và chọn lọc từ nhiều nguồn dữ liệu
khác nhau. Dạng dữ liệu này chủ yếu phục vụ cho quá trình phân tích cũng
như khai phá tri thức và hỗ trợ quá trình ra quyết định.
 Cơ sở dữ liệu giao tác (transactonal databases)
 Cơ sở dữ liệu quan hệ - hướng đối tượng (object relational databases): là dạng
lai giữa hai mô hình quan hệ và hướng đối tượng.
 Dữ liệu không gian và thời gian (spatial, temporal, and time-series data)

 Cơ sở dữ liệu đa phương tiện (multimedia databases): là dạng dữ liệu âm
thanh, hình ảnh, text, www,…
1.5. Hƣớng tiếp cận và kỹ thuật chính trong khai phá dữ liệu
Theo quan điểm học máy (Machine Learning) thì các kỹ thuật trong khai
phá dữ liệu bao gồm:
 Học có giám sát (Supervised learning): là quá trình gán nhãn lớp cho các phần
tử trong CSDL dựa trên một tập các ví dụ huấn luyện và các thông tin về nhãn
lớp đã biết.
 Học không có giám sát (Unsupervised learning): là quá trình phân chia một
tập dữ liệu thành các lớp hay cụm dữ liệu tương tự nhau mà chưa biết trước
các thông tin về lớp hay tập ví dụ huấn luyện.
 Học bán giám sát (Semi - Supervised learning): là quá trình phân chia một tập
dữ liệu thành các lớp dựa trên một tập nhỏ các ví dụ huấn luyện và một số các
thông tin về một số nhãn lớp đã biết trước.
Một số hƣớng tiếp cận chính của khai phá dữ liệu đƣợc phân chia theo
chức năng hay lớp các bài toán khác nhau, bao gồm các kỹ thuật:

- 17 -
 Phân lớp và dự đoán (classification & prediction): xếp đối tượng vào một
trong các lớp đã biết trước. Ví dụ: phân lớp học sinh dựa trên sổ điểm,… Phân lớp
là một lĩnh vực rất quan trọng trong khai phá dữ liệu. Phân lớp còn được gọi là học
có giám sát. Hướng tiếp cận này thường sử dụng một số kỹ thuật của học máy như
cây quyết định (decision tree), mạng nơron nhân tạo (neural network),…
 Luật kết hợp (association rules): là dạng luật biểu diễn tri thức ở dạng tương
đối đơn giản. Ví dụ: “70% sinh viên học chuyên ngành hệ thống thông tin thì có tới
90% trong số đó đăng ký học Data mining”. Luật kết hợp được ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực kinh doanh, y học, tài chính, thị trường chứng khoán,…
 Khai thác mẫu tuần tự (sequential/temporal patterns): tương tự như khai thác
luật kết hợp nhưng có thêm tính thứ tự và tính thời gian. Một luật mô tả mẫu tuần tự
có dạng tiêu biểu X  Y phản ánh sự xuất hiện của biến cố X sẽ dẫn đến việc xuất

hiện kế tiếp biến cố Y. Hướng tiếp cận này có tính dự báo.
 Phân cụm (clustering/segmentation): Sắp xếp các đối tượng theo từng cụm
(số lượng và tên của cụm chưa được biết trước). Các đối tượng được gom cụm sao
cho mức độ tương tự giữa các đối tượng trong cùng một cụm là lớn nhất và mức độ
tương tự giữa các đối tượng nằm trong các cụm khác nhau là nhỏ nhất. Phân cụm
còn được gọi là học không có giám sát (unsupervised learning).
Mô hình học máy (có giám sát và không giám sát) được trình bày như hình 1.4
dưới đây:


Hình 1.3. Sơ đồ biểu diễn mô hình học máy: cần học đƣờng nét rời

Trong đó, học máy không giám sát (phân cụm) không có giá trị mục tiêu cho
ví dụ học (không có hai đường liền nét hướng tới giá trị mục tiêu)


- 18 -
1.6. Ứng dụng của khai phá dữ liệu
KPDL được vận dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm khai thác nguồn
dữ liệu phong phú được lưu trữ trong các hệ thống thông tin. Tuỳ theo bản chất của
từng lĩnh vực, việc vận dụng KPDL có những cách tiếp cận khác nhau.
Ứng dụng của KPDL có thể được chia thành hai lớp chính bao gồm ứng dụng
phân tích dữ liệu - hỗ trợ quyết định và một số lĩnh vực ứng dụng khác.
Các ứng dụng trong phân tích dữ liệu và hỗ trợ quyết định bao gồm các ứng
dụng trong phân tích và quản lý thị trường, phân tích và quản lý rủi ro, khám phá
ngoại lai và các mẫu không hữu ích. Dữ liệu trong các ứng dụng này là khá phong
phú từ các giao dịch thẻ tín dụng, nghiên cứu đời sống công đồng Các kỹ thuật
KPDL đã được áp dụng thành công trong việc dự đoán lưu lượng viễn thông cho
các công ty điện thoại, mức độ tiêu thụ sản phẩm cho các nhà sản xuất, giá trị của
sản phẩm trên thị trường cho các công ty tài chính hay phân nhóm các khách hàng

tài năng. Phân tích kiểu khách hàng theo từng loại sản phẩm, phân tích nhu cầu
khách hàng, định danh loại sản phẩm thích hợp cho từng lớp khác hàng để đưa ra
chiến lược kinh doanh đối với nhóm khách hàng mới. Ngoài ra, ứng dụng trong lập
kế hoạch và phân tích tình hình tài chính, đánh giá lưu lượng tiền tệ, dự báo giá của
các loại cổ phiếu trong thị trường chứng khoán, dữ liệu thẻ tín dụng, phát hiện gian
lận,… trong lĩnh vực tài chính – ngân hàng cũng được phát triển.
Các lĩnh vực ứng dụng điển hình khác được kể đến là khai phá Text, khai phá
Web, khai phá dữ liệu dòng, khai phá dữ liệu sinh học (tìm kiếm, so sánh các hệ gen
và thông tin di truyền, mối liên hệ gen và một số bệnh di truyền),…
1.7. Các thách thức trong KPTT và KPDL
- Thách thức đầu tiên trong KPTT và KPDL phải kể đến đó là trong tập dữ
liệu thường có chứa các dữ liệu “nhiễu” (noise) do quá trình thu thập thiếu chính
xác, không đầy đủ; và chứa phần tử ngoại lai (outlier) – những đối tượng dữ liệu
“khác thường” (không tuân theo hành vi hoặc mô hình dữ liệu,…).
- Vấn đề thứ hai, kích thước, số chiều của các tập dữ liệu cần xử lý trong
KPTT và KPDL thường rất lớn, do đó thời gian xử lý thường rất dài.
- Quan hệ giữa các trường phức tạp.
- Giao tiếp với người sử dụng và kết hợp với các tri thức đã có.
- Tích hợp với các hệ thống khác.
- Thay đổi dữ liệu và tri thức có thể làm cho các mẫu đã phát hiện không còn
phù hợp cũng là những thách thức cần quan tâm trong KPTT và KPDL.

- 19 -
CHƢƠNG 2.
PHÂN CỤM DỮ LIỆU

2.1. Bài toán phân cụm dữ liệu
Phân cụm dữ liệu là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lĩnh vực khai
phá dữ liệu, nhằm tìm kiếm, phát hiện các cụm, các mẫu dữ liệu tiềm ẩn trong các
tập dữ liệu lớn, từ đó cung cấp thông tin, tri thức hữu ích để đưa ra các quyết định.

Phân cụm dữ liệu là quá trình phân chia một tập dữ liệu ban đầu thành các
cụm dữ liệu sao cho các phần tử trong một cụm thì “tương tự” nhau và các phần tử
trong các cụm khác nhau thì “phi tương tự” với nhau. Số các cụm dữ liệu được
phân ở đây có thể được xác định trước theo kinh nghiệm hoặc có thể được tự động
xác định.
Sau khi xác định các đặc tính của dữ liệu, người ta đi tìm cách thích hợp để
xác định "khoảng cách" giữa các đối tượng, hay là phép đo tương tự dữ liệu. Đây
chính là các hàm để đo sự giống nhau giữa các cặp đối tượng dữ liệu, thông thường
các hàm này hoặc là để tính độ tương tự (Similar) hoặc là tính độ phi tương tự
(Dissimilar) giữa các đối tượng dữ liệu. Giá trị của hàm tính độ đo tương tự càng
lớn thì sự giống nhau giữa đối tượng càng lớn và ngược lại; còn hàm tính độ phi
tương tự tỉ lệ nghịch với hàm tính độ tương tự.
Trong học máy, phân cụm dữ liệu được xem là vấn đề học không có giám sát
(unsupervised learning), vì nó giải quyết vấn đề tìm một cấu trúc trong tập hợp các
dữ liệu chưa biết trước các thông tin về lớp hay các thông tin về tập ví dụ huấn
luyện. Trong nhiều trường hợp, khi phân lớp được xem là vấn đề học có giám sát thì
phân cụm dữ liệu là một bước trong phân lớp dữ liệu, trong đó phân cụm dữ liệu sẽ
khởi tạo các lớp cho phân lớp bằng cách xác định các nhãn cho các nhóm dữ liệu.
Một vấn đề thường gặp trong PCDL đó là hầu hết các dữ liệu cần cho phân
cụm đều có chứa dữ liệu “nhiễu” (noise) do quá trình thu thập thiếu chính xác hoặc
không đầy đủ. Vì vậy, cần phải xây dựng chiến lược cho bước tiền xử lý dữ liệu
nhằm khắc phục hoặc loại bỏ “nhiễu” trước khi bước vào giai đoạn phân tích phân
cụm dữ liệu.
Ngoài ra, dò tìm phần tử ngoại lai (outlier) cũng là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng trong KPDL, chức năng của nó là xác định một nhóm nhỏ

- 20 -
các đối tượng dữ liệu “khác thường”, dị biệt so với các dữ liệu khác - tức là các đối
tượng dữ liệu không tuân theo các hành vi hoặc mô hình dữ liệu - nhằm tránh ảnh
hưởng của chúng tới quá trình và kết quả PCDL. Khám phá các phần tử ngoại lai đã

được ứng dụng trong các lĩnh vực như viễn thông, dò tìm gian lận thương mại,…
2.2. Các giai đoạn của quá trình phân cụm dữ liệu
Quá trình phân cụm có thể được mô tả như trong hình 2.1 dưới đây [8]:

Hình 2.1. Quá trình phân cụm dữ liệu

Quá trình này bao gồm bốn bước cơ bản như sau:
 Trích chọn hay lựa chọn đặc tính (Feature selection or extraction): bao gồm
việc trích chọn ra các đối tượng dữ liệu thích hợp, hữu ích từ dữ liệu cơ sở. Việc
trích chọn tốt các đặc tính có thể làm giảm rất lớn các dữ liệu nhiễu và đơn giản hoá
quá trình thiết kế và xử lý tiếp theo.
 Lựa chọn hoặc thiết kế thuật toán phân cụm (Clustering algorithm design or
selection): liên quan tới việc kiểm tra xem nên phân cụm theo xu hướng nào và
chọn thuật toán hoặc thiết kế một thuật toán phân cụm với các tham số phù hợp.
 Đánh giá (Cluster Validation): việc kiểm định thường dựa trên các kiểm tra
thông thường và các kĩ thuật trực quan. Tuy nhiên, số lượng dữ liệu lớn và số chiều
của chúng tăng sẽ khiến quá trình đánh giá gặp khó khăn.
 Biểu diễn các kết quả (Results Interpretation): Mục đích cuối cùng của phân
cụm là cung cấp cho người sử dụng những hiểu biết tri thức đầy đủ, ý nghĩa từ dữ
liệu cơ sở, bởi vậy, cần giải quyết hiệu quả vấn đề kết hợp các kết quả phân cụm
với các nghiên cứu khác để đưa ra kết luận tin cậy về tri thức thu được và đề xuất
những phân tích xa hơn.
Trích chọn
dữ liệu
Lựa chọn
thuật toán
phân cụm
Biểu diễn các
kết quả
Đánh giá các

Cluster

Dữ liệu
Clusters
Tri thức

- 21 -
2.3. Ứng dụng của phân cụm dữ liệu
Phân cụm dữ liệu thực hiện phân chia dữ liệu thành các cụm dữ liệu. Quá trình
phân cụm dữ liệu có nhiều ý nghĩa trong các hoạt động của con người và đã được áp
dụng rất rộng rãi trong nhiều ứng dụng, bao gồm nhận dạng mẫu, phân tích dữ liệu,
xử l‎ý ảnh, lập kế hoạch marketing Cụ thể:
Trong thương mại phân cụm dữ liệu có thể giúp các công ty khám phá ra các
nhóm khách hàng quan trọng có các đặc trưng tương đồng nhau và đặc tả khách
hàng từ các mẫu mua bán trong cơ sở dữ liệu khách hàng để từ đó đưa ra các chiến
lược kinh doanh hợp lý.
Trong sinh học phân cụm dữ liệu được sử dụng để xác định các loại sinh vật,
phân loại các gen với chức năng tương đồng và thu được các cấu trúc trong các mẫu.
Phân tích dữ liệu không gian tạo ra các cụm từ cơ sở dữ liệu đồ sộ của dữ liệu
không gian như dữ liệu thu được từ các hình ảnh chụp từ vệ tinh các thiết bị y học
hoặc hệ thống thông tin địa lý (GIS), …trợ giúp con người tự động phân tích và xử
lý các dữ liêu không gian như nhận dạng và chiết xuất các đặc tính hoặc các mẫu dữ
liệu quan tâm có thể tồn tại trong cơ sở dữ liệu không gian.
Trong lĩnh vực Web Mining, phân cụm dữ liệu có thể khám phá các nhóm tài
liệu quan trọng, có nhiều ý nghĩa trong môi trường Web. Các lớp tài liệu này trợ
giúp cho việc khám phá tri thức từ dữ liệu, …
2.4. Các kiểu dữ liệu và độ đo tƣơng tự
Trong phân cụm dữ liệu, các đối tượng dữ liệu cần phân tích được cho dưới rất
nhiều dạng thức. Mỗi đối tượng được mô tả thông qua các thuộc tính của nó. Cho
một tập dữ liệu X chứa n đối tượng trong không gian k chiều; x

1
, x
2
, x
3
là các đối
tượng thuộc X: x
1
= (t
1
, t
2
,… ,t
k
), x
2
= (u
1
, u
2
,… ,u
k
), x
3
= (v
1
, v
2
,… ,v
k

). Trong đó t
i
,
u
i
, v
i
(
1,ik
) là các đặc trưng của thuộc tính tương ứng với các đối tượng x
1
, x
2
, x
3
.
Khi đó, khái niệm “các kiểu dữ liệu” và “các kiểu thuộc tính dữ liệu” được xem là
tương đương nhau.
Khi các giá trị của thuộc tính đã được xác định người ta tìm cách thích hợp để
xác định “khoảng cách” giữa các đối tượng, hay chính là phép đo tương tự dữ liệu.
Đây là các hàm đo sự giống nhau giữa các cặp đối tượng dữ liệu. Thông thường,
chúng ta tính độ tương tự (Similarity) hoặc độ phi tương tự (Dissimilarity). Giá trị
của hàm tính độ tương tự càng lớn thì sự giống nhau giữa các đối tượng càng lớn và
ngược lại. Hàm tính độ phi tương tự và hàm tính độ tương tự là tỉ lệ nghịch với nhau.

- 22 -
Tất cả độ đo sau đây được xác định trong không gian metric. Bất kỳ một
metric nào cũng là một độ đo nhưng điều ngược lại không đúng. Độ đo ở đây có thể
là độ tương tự hoặc phi tương tự. Một tập dữ liệu X là một không gian metric nếu:
 Với mỗi cặp đối tượng x, y thuộc X đều xác định một số thực d(x, y) theo một

quy tắc nào đó được gọi là khoảng cách giữa x và y.
 Quy tắc đó phải thỏa mãn các tính chất sau:
a) d(x, y)  0 nếu x ≠ y
b) d(x, y) = 0 nếu x = y
c) d(x, y) = d(y, x): quy tắc giao hoán
d) d(x, y)  d(x, z) + d(z, x): quy tắc tam giác
Sau đây ta sẽ xem xét một số kiểu thuộc tính dữ liệu và độ đo tương ứng. [17]
2.4.1. Kiểu thuộc tính nhị phân (Binary)
Thuộc tính nhị phân chỉ có hai giá trị là 0 và 1. Trong đó 0 có nghĩa là sai và 1
có nghĩa là đúng. Để tìm độ đo, trước hết người ta xây dựng bảng sau:

Bảng 2.1. Bảng giá trị tham số







Đặt  =  +  +  + . Với các đối tượng x, y có tất cả thuộc tính đều ở dạng
nhị phân. Bảng 2.1 cho ta thông tin sau đây:
 là tổng số các thuộc tính có giá trị là 1 trong cả hai đối tượng x, y
 là tổng số các thuộc tính có giá trị 1 trong x và 0 trong y
 là tổng số các thuộc tính có giá trị 0 trong x và 1 trong y
 là tổng số các thuộc tính có giá trị là 0 trong cả hai đối tượng x, y
Khi đó độ tương tự được cho như sau:
Hệ số đối sánh đơn giản (Simple Matching Coefficient):
( , )d x y





,
ở đây x và y có vai trò như nhau, tức là chúng đối xứng và cùng trọng số.

y : 1
y : 0

x : 1


 + 
x : 0


 + 

 + 
 + 


- 23 -
Hệ số Jacard (Jaccard Coefficient):
( , )d x y

  


, công thức này được
áp dụng trong trường hợp mà trọng số của các thuộc tính có giá trị 1 lớn hơn rất

nhiều các thuộc tính có giá trị 0, như vậy các thuộc tính nhị phân ở đây không đối xứng.
2.4.2. Kiểu thuộc tính khoảng (Interval)
Để đo các giá trị theo xấp xỉ tuyến tính. Với thuộc tính khoảng, ta có thể xác
định một thuộc tính là đứng trước hoặc đứng sau một thuộc tính khác với một
khoảng là bao nhiêu. Nếu x
i
> y
i
thì ta có x cách y một khoảng x
i
- y
i
tương ứng với
thuộc tính thứ i. Độ đo phi tương tự của x và y được tính bằng các metric khoảng cách:
 Khoảng cách Minkowski:
1/ *
1
( , ) ( ) ,
n
q
q
ii
i
d x y x y q N

  


 Khoảng cách Euclidean:
2

1/ 2
1
( , ) ( )
n
ii
i
d x y x y



, nó là trường hợp của
khoảng cách Minkowski với q = 2.
 Khoảng cách Mahattan:
1
( , ) ( )
n
ii
i
d x y x y



, nó là trường hợp của khoảng
cách Minkowski với q = 1.
 Khoảng cách cực đại:
( , )
n
i=1 i i
d x y max x y
, chú ý rằng đây là trường hợp

của khoảng cách Minkowski với q  .


Hình 2.2. Các khoảng cách Euclidean và Manhattan giữa hai đối tƣợng

2.4.3. Kiểu thuộc tính định danh (nominal)
Đây là dạng tổng quát hóa của thuộc tính nhị phân, trong đó miền giá trị là rời
rạc không phân biệt thứ tự. Nếu x và y là hai thuộc tính định danh thì ta có thể xác
định x = y hoặc x ≠ y.