Một số kiểu dữ liệu trừu tượng ứng dụng trong hình học tính toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





NGUYỄN THỊ HOA



MỘT SỐ KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƯỢNG
ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC TÍNH TOÁN




LUẬN VĂN THẠC SĨ





Hà Nội – 2011



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THỊ HOA


MỘT SỐ KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƯỢNG
ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC TÍNH TOÁN

Ngành : Công nghệ Thông tin
Chuyên ngành : Hệ thống Thông tin
Mã số : 60 48 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ MINH HOÀNG




Hà Nội – 2011




1
MỤC LỤC
DANH SÁCH THUẬT NGỮ VÀ GIẢI THÍCH 2
DANH SÁCH HÌNH VẼ 3
MỞ ĐẦU 5

Chương 1 - TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC TÍNH TOÁN 6
1.1 Các bài toán của hình học tính toán 6
1.2 Các đối tượng hình học 8
1.3 Một số bài toán hình học và thuật toán 8
1.3.1 Bài toán xác định cặp đoạn thẳng bất kỳ cắt nhau 8
1.3.2 Bài toán tìm bao lồi 11
1.3.3 Bài toán tìm cặp điểm gần nhất 14
1.4 Kết luận 17
Chương 2 - KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƯỢNG TRONG HÌNH HỌC TÍNH TOÁN 18
2.1 Tìm kiếm phạm vi trực giao 18
2.1.1 Mô hình quản lí đối tượng một chiều 19
2.1.2 Mô hình quản lí đối tượng hai chiều 22
2.1.3 Mô hình quản lí đối tượng nhiều chiều 30
2.2 Cấu trúc dữ liệu hình học 35
2.2.1 Interval trees 36
2.2.2 Priority search trees 41
2.2.3 Segment trees 45
2.3 Biến thể của các cấu trúc dữ liệu hình học 51
2.3.1 Partition trees 52
2.3.2 Multi-level partition trees 57
2.3.3 Cutting trees 60
2.4 Kết luận 66
Chương 3 - CÀI ĐẶT VÀ ĐÁNH GIÁ 68
3.1 Cài đặt Kd-trees 68
3.2 Cài đặt Range trees 70
3.3 Cài đặt Interval trees 72
3.4 Cài đặt Segment trees 74
3.5 Kết luận 76
KẾT LUẬN 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

2
DANH SÁCH THUẬT NGỮ VÀ GIẢI THÍCH
Số
Thuật ngữ
Giải thích
1
Canonical subset
Tập con chính qui
2
-Dimensional Kd-trees
Kd-trees chiều
3
-Dimensional Range trees
Range trees chiều
4
Interval trees
Cây quản lí khoảng
5
Multi-level partition trees
Cây phân vùng nhiều mức
6
Partition trees
Cây phân vùng
7
Priority search trees
Cây tìm kiếm ưu tiên

8
Range queries
Truy vấn phạm vi
9
Range trees
Cây phạm vi
10
Segment trees
Cây quản lí đoạn thẳng
11
Stabbing queries
Truy vấn stabbing
12
Windowing queries
Truy vấn cửa sổ






3
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Số
Tên hình
Trang
Hình 1.1
Thứ tự giữacácđoạnthẳng với đườngthẳngquétdọc
9
Hình 1.2

Tập hợp gồm các điểm và bao lồi
12
Hình 1.3
Thuật toán chỉ cần kiểm tra7 điểm trong mảng
16
Hình 2.1
Giải thíchtruy vấncơ sở dữ liệu một cách hình
18
Hình 2.2
Truy vấn phạm vi một chiều trong cây nhị phân tìm kiếm
20
Hình 2.3
Kd-trees: mặt phẳng được chia và cây nhị phân
23
Hình 2.4
Các nútcủa kd-trees vàvùngmặt phẳng
24
Hình 2.5
Truy vấn trên kd-trees hai chiều
25
Hình 2.6
Range trees hai chiều
27
Hình 2.7
Tăng tốc độ tìm kiếm bằng cách thêm các con trỏ
33
Hình 2.8
Cây chínhcủarange trees phântầng
34
Hình 2.9

Các mảngliên kếtvớicác núttrongcây chính
34
Hình 2.10
Truy vấn cửa sổ trong bản đồ của U.S.
36
Hình 2.11
Phân loại các đoạn thẳng liên quan với
38
Hình 2.12
Interval trees
39
Hình 2.13
Các đoạn thẳngcắt bởi qcóđiểm đầu mút trái
40
Hình 2.14
Heap của tập hợp {1,3,4,8,11,15,21,22,36}
42
Hình 2.15
Một tập hợp các điểm và cây tìm kiếm ưu tiên tương ứng
43
Hình 2.16
Truy vấn của cây tìm kiếm ưu tiên
43
Hình 2.17
Đoạn thẳng lưu tại v thay vì lưu trữ tại và
47
Hình 2.18
Segment trees: mũi têntừcácnúttrỏtới tập con chính qui
48
Hình 2.19

Tập con chính qui chứacác đoạnthẳng màbao
trùmsàncủamột nút, nhưng không phải làsàncủacha nó
49
Hình 2.20
Mật độ dân số của Hà Lan
51
Hình 2.21
Trả lời truy vấn nửa đường thẳng với cây nhị phân
53
Hình 2.22
Một phân vùng đơn hình tốt
54
Hình 2.23
Phân vùng mặt phẳng đơn hình và cây tương ứng
54




4
Số
Tên hình
Trang
Hình 2.24
Trả lời truy vấn phạm vi nửa mặt phẳng với partition trees
56
Hình 2.25
Đếm phạm vi nửa mặt phẳngtrongmặt phẳng đối ngẫu
60
Hình 2.26

(1/2) - cutting kích thước 10 cho tập hợp 6 đường thẳng
61
Hình 2.27
Cáctập con chính quivàtập conđiquatam giác
62
Hình 2.28
Tìm kiếm phạm vi tam giác
63
Hình 3.1
Sơ đồ các lớp trong thực hiện Kd-trees
68
Hình 3.2
Sơ đồ các lớp trong thực hiện Range trees
70
Hình 3.3
Sơ đồ các lớp trong thực hiện Interval trees
72
Hình 3.4
Sơ đồ các lớp trong thực hiện Segment trees
74






5
MỞ ĐẦU
Hình học tính toán xuất hiện từ lĩnh vực phân tích và thiết kế thuật toán
trong cuối những năm 1970 và lớn mạnh trở thành một môn học với tạp chí

riêng, hội nghị riêng và có một cộng đồng lớn các nhà nghiên cứu hoạt động.
Hình học tính toán là một chuyên ngành khoa học máy tính nghiên cứu các thuật
toán giải quyết các bài toán hình học. Hình học tính toán có ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, hệ thống thông tin địa lí, người
máy, thống kê và những lĩnh vực khác mà trong đó các thuật toán hình học đóng
vai trò cơ bản. Vấn đề hình học tính toán với đầu vào là mô tả kiểu của tập hợp
các đối tượng hình học, ví dụ như tập hợp các điểm, tập hợp các đoạn thẳng,
hoặc tập hợp các đỉnh của một đa giác theo thứ tự ngược chiều kim đồng. Đầu ra
là đáp ứng với truy vấn về các đối tượng như các đường thẳng cắt nhau, hoặc có
thể là một đối tượng hình học mới, ví dụ như bao lồi của tập hợp các điểm.
Các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng và đa giác là cơ sở của
một loạt các ứng dụng quan trọng và làm tăng tính thú vị của tập hợp các vấn đề
về thuật toán. Ngày nay, máy tính được sử dụng ngày càng nhiều hơn để giải
quyết các bài toán hình học với quy mô lớn hơn. Lời giải tốt cho các bài toán
thuật toán có tính chất hình học chủ yếu dựa trên hai thành phần. Một là sự hiểu
biết thấu đáo các tính chất hình học của bài toán, hai là ứng dụng các kỹ thuật
thuật toán và cấu trúc dữ liệu thích hợp.
Trong luận văn sẽ trình bày một số kiểu dữ liệu trừu tượng và cấu trúc dữ
liệu trong hình học tính toán. Những ứng dụng của các cấu trúc dữ liệu này
không chỉ giới hạn trong các đối tượng hình học mà còn cho phép thiết kế những
thuật toán hiệu quả, có thể xử lí các loại dữ liệu khác nhau của nhiều bài toán
khác nhau.
Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau:
Chương 1 – Trình bày tổng quan về hình học tính toán như các đối tượng
của hình học, một số bài toán hình học và thuật toán.
Chương 2 – Mô tả kiểu dữ liệu trừu tượng trong hình học tính toán như
mô hình quản lí đối tượng một chiều, hai chiều và nhiều chiều.
Chương 3 – Cài đặt các cấu trúc dữ liệu, kết quả cài đặt thử nghiệm, đánh
giá hiệu suất của thuật toán và chương trình.

6
Chương 1 - TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC TÍNH TOÁN
1.1 Các bài toán của hình học tính toán
Hình họctính toánlà mộtchuyên ngành củakhoa họcmáy tínhnghiên
cứucácthuật toáncó nội dung hình học. Một sốbài toánhình họcphát sinh hoàn
toàntừviệc nghiên cứu cácthuật toánhình học tính toánvà cácbài toánnàycũng
đượcxemlà một phần củahình học tính toán. Hình học tính toán nghiên cứusự
phức tạpcủa cácbài toánhình học, xây dựngcấu trúc dữ liệuđểlưu trữcác loại dữ
liệuhình học, thiết kếthuật toáncho cácbài toánhình học và khám phácác tính
chấthình học. Những vấn đề cốt lõi trong hình học tính toán có thể được chia với
nhiều cách khác nhau, theo nhiều tiêu chí khác nhau. Ở đây, có thể phân loại các
bài toántrong hình học tính toán thành các lớp bài toán như dưới đây[1].
1.1.1 Bài toán tĩnh
Trong cácbài toántĩnhcho trướcđầu vàovàđầu ratương ứngcần phải
đượcxây dựng hoặcđược tìm thấy.Một sốbài toáncơ bảncủa loại nàylà:
Convex Hull: Cho tập hợp các điểm và yêu cầu tìm đa giác lồi nhỏ nhất
chứa tất cả các điểm đó.
Line segment intersection: Cho tập hợp các đoạn thẳng và yêu cầu tìm
điểm cắt nhau giữa các đoạn thẳng trongtập hợp cho trước.
Polygon cutting: Chia đa giác thành các dạng hình học khác với tổng
chiều dài được chia là nhỏ nhất.
Delaunay triangulation.
Voronoi diagram: Cho tập hợp các điểm và yêu cầu tìm phân vùng không
gian theo các điểm đóng.
Linear programming.
Closest pair of points: Cho tập hợp các điểm và yêu cầutìm cặp điểm có
khoảng cách nhỏ nhất.

Euclidean shortest path: Nối hai điểm trong không gian Euclide bởi một
đường đi ngắn nhất.
Polygon triangulation: Cho trước một đa giác và yêu cầuphân chia phần
trong của đa giác thành các tam giác.
Độ phức tạptính toáncholớp cácbài toánnày làước tính về thời gian




7
vàkhông gian cần thiết để giải quyếtmột trường hợp bài toánnhất định.
1.1.2Bài toán động
Thêm một lớpchínhlà các bài toánđộng,vớimục tiêu là đểtìmthuật
toánhiệu quảcho việc tìm lời giảinhiều lầnsau mỗi lầnsửa đổigia tăng dữ liệu đầu
vào. Các thuật toáncho bài toánthuộc loại nàythườngliên quan đếncấu trúcdữ
liệu động. Bất kỳcác bài toánhình họctính toáncó thể đượcchuyển đổi thành
mộtbài toán động.Bài toántìm kiếmphạm vicó thểđược chuyển đổi thànhbài
toántìm kiếmphạm vi động,bằng cách cung cấpbổ sunghoặcxóacác điểm.Cácbài
toánbao lồi độnglà đểlưu vết cácbaolồi,chẳng hạn như đối với tập hợp các
điểmthay đổi động, khicác điểmđầu vàođược chènhoặcxóa.
1.1.3Bài toán truy vấn hình học
Bài toán truy vấn hình họcthường gọi làbài toántìm kiếmhình học,đầu
vàobao gồm hai phần: không gian tìm kiếmvà truy vấn với thay đổitrongcác
trường hợpbài toán.Không giantìm kiếmthườngphải đượcxử lí trước, trong cùng
một cách mànhiều truy vấn có thể đượctrả lờimột cách hiệu quả.Một sốbài
toántruy vấnhình họccơ bảnlà:
Range Searching: Xử lí trướctập hợp các điểm và yêu cầuđếm số lượng
cácđiểmnằm trong vùngtruy vấn một cách hiệu quả.
Points Location: Cho phân vùngcủa không gianthành các ô và yêu cầu tạo
racấu trúcdữ liệuhiệu quảchoô nơi điểmtruy vấnđược định vị.

Nearest neighbor:Cho tập hợp các điểm và yêu cầutìmđiểm nằm gần nhất
vớiđiểmtruy vấn một cách hiệu quả.
Raytracing: Cho tập hợp các đối tượngtrong không gian và yêu cầu tạo
racấu trúcdữ liệuhiệu quảchođối tượngcó tiatruy vấncắtđầu tiên.
Nếu không gian tìm kiếm là cố định, độ phức tạp tính toán cho bài toán
truy vấn hình họcđược ước tính bởi thời gian và không gian cần thiết để xây
dựng các cấu trúc dữ liệu tìm kiếm và thời gian trả lời các truy vấn.
1.1.4Các biến thể
Một số bài toáncó thểđược xem làthuộcmột trong cácloại trên,tùy
thuộcvào bối cảnh.Chẳng hạn xét bài toán: Point in polygon – Xác định một
điểm nằm trong hay nằm ngoài đa giác cho trước.Trong một vài tình huống của
bài toán truy vấn có thể kỳ vọng hợp lí vào thứ tự các truy vấn, hoặc có thể được




8
khai thác với cấu trúc dữ liệu hiệu quả hoặc ước tính độ phức tạp chặt chẽ hơn.
1.2 Các đối tượng hình học
Máy tính ngày càng được sử dụng nhiều hơn để giải quyết các bài toán có
quy mô lớn về hình học. Các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đoạn thẳng
và đa giác là nguồn gốc của tập đáng kể các bài toán và thuật toán.
1.2.1 Điểm
Trong không gian hai chiều, đối tượng cơ sở là điểm được biểu diễn bởi
một cặp số nguyên – tọa độ của điểm đó trong hệ trục tọa độ Descart. Một điểm
trong mặt phẳng có tọa độ và tọa độ , kí hiệu [13].
1.2.2 Đoạn thẳng
Một tổ hợp lồi của hai điểm phân biệt và là
một điểm bất kỳ sao cho và
với . Hay viết dưới dạng khác .

Đoạn thẳng là tập hợp mọi tổ hợp lồi của và , kí hiệu , với
và các điểm đầu mút của đoạn thẳng . Đoạn thẳng có hướng là
đoạn thẳng được định hướng từ đến , kí hiệu [13].
1.2.3 Vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối ,
được kí hiệu . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối ta kí hiệu [13].
Tọa độ của vectơ là = với ; .
1.3 Một số bài toán hình học và thuật toán
1.3.1 Bài toán xác định cặp đoạn thẳng bất kỳ cắt nhau
Thuật toánxác định cặp đoạn thẳng bất kỳtrong tập hợp các đoạn thẳng cắt
nhau sử dụng “kỹ thuật quét”. Trongkỹ thuật quét, đường thẳngquétdọcđiquatập
hợp các đối tượng hình họctừtráisangphải vàxem xét tất cảcácđiểm đầu mút
củađoạn thẳng theo thứ tự từtráisangphải vàkiểm trasự cắt nhau mỗi
khichạmmộtđiểm đầu mút.
1.3.1.1 Phát biểu bài toán
Cho tập hợp các đoạn thẳng trong mặt phẳng và yêu cầu xác định có tồn
tại cặp đoạn thẳng nào cắt nhau hay không. Giả sử rằng không có các đoạn thẳng




9
dọc và không có ba đoạn thẳng nào giao nhau tại một điểm.
1.3.1.2 Thuật toán
Một thứ tự hoàn toàn (total order) trên các đoạn thẳng cắt nhau bởi đường
thẳng quét dọc được định nghĩa như sau[13].
- Hai đoạn thẳng và là có thể so sánh được tại nếu đường thẳng quét
dọc tại ví trí cắt cả hai đoạn thẳng đó.
- Nếu và là có thể so sánh tại và giao điểm của với đường thẳng
quét tại ở cao hơn với giao điểm của với cùng đường thẳng quét đó thì ta nói

rằng ở trên tại , kí hiệu .






Hình 1.1 -Thứ tự giữa cácđoạnthẳng vớiđườngthẳngquétdọc
Với bất kỳ cho trước, mối quan hệ là một thứ tự hoàn toàn của
đoạn thẳng cắt đường thẳng quét tại . Những mối quan hệ , ,
, và ; Đoạn thẳng không so sánh được với các đoạn thẳng
khác, hình 1.1a. Khi đoạn thẳng và giao nhau, nhưng ; mọi
đường thẳng quét đi qua vùng bóng mờ đều có và nằm liên tiếp nhau trong
quan hệ thứ tự , hình 1.1b.
Khi di chuyển đường thẳng quét, thuật toán thường phải quản lí hai tập
hợp dữ liệu sau:
- Tình trạng đường thẳng quét cho biết thứ tự giữa các đoạn thẳng được cắt
bởi đường thẳng quét.
- Lịch các điểm biến cố là một dãy các tọa độ của các điểm đầu mút được
sắp thứ tự từ trái sang phải để xác định vị trí dừng của đường thẳng quét.
Gọi mỗi vị trí dừng như một điểm biến cố. Tình trạng của đường thẳng
quét thay đổi tại các vị trí dừng của đường thẳng quét.
v
r
t
u
a
b
c
d

e
g
h
f
i
z
w






10
Các thao tác của trình trạng đường thẳng quét để duy trì truy vấn.
- INSERT( ): chèn đoạn thẳng vào .
- DELETE( ): xóa đoạn thẳng khỏi .
- ABOVE( ): trả về đoạn thẳng ở ngay trên trong .
- BELOW( ): trả về đoạn thẳng ở ngay dưới s trong .
Cấu trúc dữ liệu cho lịch điểm biến cố (event-point schedule)
- Mỗi điểm đầu mút của các đoạn thẳng trong là một điểm biến cố, là vị
trí đường thẳng quét nơi thứ tự thay đổi.
- Lịch điểm biến cố là tĩnh và được xây dựng bằng cách sắp xếp các điểm
đầu mút của các đoạn thẳng theo thứ tự từ trái sang phải.
Nếu khi sắp xếp các điểm đầu mút của các đoạn thẳng trong từ trái sang
phải nếu có nhiều điểm có cùng tọa độ thì phân giải trùng hợp như sau:
-
Các điểm đầu mút trái được sắp xếp trước các điểm đầu mút phải.
-
Tiếp theo, các điểm đầu mút có tọa độ

y
nhỏ hơn được xếp trước.
Sắp xếp các điểm đầu mút (x, y) theo thứ tự (x, e, y) trong đó xvàylàtọa
độvới e = 0 cho điểm đầu mút trái và e = 1 cho điểm đầu mút phải.
Thuật toán xác định cặp đoạn thẳng bất kỳ cắt nhaunhư sau[13].

Algorithm ANY-SEGMENTS-INTERSECT
Input. Tập hợp gồm đoạn thẳng.
Output. Cặp các đoạn thẳng trong cắt nhau thì giá trị True, ngược lại là False.
1.
2. Sắp xếp các điểm đầu mút của các đoạn thẳng trong từ trái sang phải, phân
giải trùng hợp bằng cách đặt các điểm đầu mút trái trước các điểm đầu mút
phải và kế đến phân giải trùng hợp bằng cách đặt các điểm đầu mút có tọa
độ nhỏ hơn được sắp xếp trước.
3. for mỗi điểm trong danh sách được sắp xếp của các điểm đầu mút do
4. if là điểm đầu mút trái của đoạn thẳng then
5. INSERT
6. if (ABOVE tồn tại và cắt ) hoặc
(BELOW tồn tại và cắt s) then
7. return TRUE




11
8. if là điểm đầu mút phải của đoạn thẳng then
9. if (ABOVE và BELOW đều tồn tại)
và (ABOVE cắt BELOW ) then
10. return TRUE
11. DELETE

12. return FALSE
1.3.1.3 Phân tích độ phức tạp
Định lí 1.1 Gọi là tậphợp gồm đoạn thẳng, thuật toán ANY-SEGMENTS-
INTERSECT thực hiện trong thời gian [13].
Thật vậy, dòng1thực hiện mấtthời gian là . Dòng2thực hiện mất thời
gian là , bằng cách sử dụngsắp xếp trộn (merge sort) hoặcheapsort.
Khicó điểm biến cố, vòng lặp forcủadòng3-11thực hiện nhiều nhất là .
Mỗilần lặpmất thời gian , vìmỗihoạt động cây đỏđen mấtthời
gian vàbằng cách sử dụngcácphương phápkiểm tra mỗigiao điểmcần
thời gian . Vì vậy, thời gianthực hiện thuật toán là .
1.3.2 Bài toán tìm bao lồi
Một tập hợp trong mặt phẳng được gọi là lồi nếu cho trước bất kỳ
tổ hợp lồi của và nằm trong , hoặc tương đương với đoạn thẳng
được chứa hoàn toàn trong [26].





Bao lồi của tập hợp bất kỳ là giao của tất cả các tập lồi chứa , hay
bằng trực quan hơn, tập lồi nhỏ nhất chứa , kí hiệu [26].
1.3.2.1 Phát biểu bài toán
Cho là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và yêu cầu tìm bao lồi
của nó, tức là tìm đa giác lồi nhỏ nhất mà mỗi điểm của hoặc nằm trên biên
của hoặc nằm trong phần trong của .


p
lồi

p
q
không lồi




12


Hình 1.2 -Tập hợp gồm các điểm và bao lồi
1.3.2.2 Thuật toán
Thuật toán quét Graham và thuật toán bước Jarvis tìm bao lồi của tập hợp
gồm điểm trong mặt phẳng. Cả hai thuật toán quét Graham và bước Jarvis đều
sử dụng kỹ thuật “quét quay tròn”, các đỉnh được xử lí theo thứ tự của các góc
giữa tạo với một đỉnh tham chiếu.
Thuật toán quét GRAHAM [13, 17]
Thuật toán quét Grahamgiải quyết bài toántìm bao lồibằng cách khởi
tạongăn xếp gồm cácđiểm ứng viên. Mỗiđiểmcủatập hợp đầu vàotrong được
đẩylênđầu ngăn xếpvàcác điểmkhông phải làđỉnhcủa được loại bỏ khỏi
ngăn xếpsau cùng. Khithuật toánkết thúc, ngăn xếp chứachính
xáccácđỉnhcủa theo thứ tự ngược chiều kimđồng hồ vớisự xuất hiệncủa
các điểm trên biên.Thuật toángọihàmTOP( ) - trả vềđiểmtrên cùng củangăn xếp
mà không thay đổithứ tự Svàhàm NEXT-TO-TOP( ) - trả vềđiểmtiếp theo
trong các điểmdướicùng củangăn xếp mà khôngthay đổithứ tự của .
Algorithm GRAHAM-SCAN( )
Input. Tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng với .
Output. Bao lồi của là
1. Gọi là điểm nằm trong có tọa độ nhỏ nhất hoặc điểm ngoài cùng bên
trái trong trường hợp đồng hạng.

2. Gọi là các điểm còn lại trong , sắp xếp theo góc nhọn
(polar angle) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ quanh (nếu có nhiều
hơn một điểm có cùng góc thì loại bỏ tất cả nhưng lấy điểm xa nhất từ ).
p
10

p
12

p
0

p
1

p
3

p
5

p
4

p
2

p
11

p
6

p
9

p
8

p
7

p
0
p
12
p
3
p
10
p
1
p
11
p
2
p
9
p
8

p
7
p
6
p
5
p
4




13
3. PUSH
4. PUSH
5. PUSH
6. for to do
7. while góc tạobởi các điểm NEXT-TO-TOP , TOP
và là góc không quay trái do
8. POP
9. PUSH
10. return
Thuật toán bước Jarvis [12, 13, 19]
Thuật toán bước Jarvis tính toán bao lồi của tập hợp các điểm bởi một
kỹ thuật được biết như bọcgói. Trước hết chọn một điểm chắc chắn thuộc bao
lồi, giả sử chọn điểm có tọa độ nhỏ nhấttrong . Điểm này là một đỉnh của
bao lồi.Sau đótừ kéo cao hơnsang phải cho đến khi chạm vàomột điểm, điểm
nàycũng là mộtđỉnhcủabaolồi.Cứ thực hiệntiếp tụcnhư thếtrên tập hợp
cácđỉnhcho đến khigặp lạiđỉnhban đầu .
Algorithm JARVIS'S MARCH

Input. Tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng.
Output. Bao lồi của .
1. Chọn là một điểm trong tập hợp có tọa độ nhỏ nhất.
2. Chọn là một điểm trong tập hợp mà góc giữa đoạn thẳng với trục
hoànhlà nhỏ nhất.
3. Return
4.
5. while do
6. Chọn là điểm trong tập hợp mà góc giữa là lớn nhất.
7.
8. Return
1.3.2.3 Phân tích độ phức tạp
Định lí 1.2 Cho tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng. Thời gianthực hiện
thuật toán quétGrahamlà , trong đó n là số điểm trong [13].
Thật vậy, dòng1chi phíthời gian . Dòng2chi phíthời gian là




14
, bằng cách sử dụngmegersort hoặcheapsortđểsắp xếpcác góc giữa
vàphương pháptích có hướng để so sánh các góc. Dòng3-5chi phí thời gian
là . Vì , vòng lặp forcủa dòng6-9được thực hiệnnhiều nhất
lần. Khi đó thao tác PUSHchi phí thời gian , mỗi lần lặpchi phíthời
gian độc lập vớimất thời gian cho vòng lặpwhile của dòng7-8vàvì thếtoàn
bộ vònglặp for mấtthời gian chỉ có mộtvòng lặp while lồng nhau.
Với mỗiđiểm được đẩyvàongăn xếp đúng một lần, cónhiều
nhất một toán tử POPứng vớimỗitoán tử PUSH. Có ít nhấtbađiểm và -là
không bao giờlấy rakhỏi ngăn xếp, trongthực tế nhiều nhất toán tử
POPđược thực hiệntrong tổng số. Mỗilần lặpwhilemộtPOPthực hiệnvàdo

đócónhiều nhất lần lặpwhile. Khithực hiệndòng7với chi phí thời gian
, mỗilần gọiPOPvới chi phíthời gian là vàkhi tổng thời
gianđược thực hiện bởivòng lặpwhile là . Như vậy, thời gianthực hiệnthuật
toán là .
Định lí 1.3 Cho là tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng. Thời gian thực hiện
thuật toán bước Jarvis là , trong đó là số đỉnh của bao lồi [13].
Thật vậy, với đỉnh của , tìm đỉnhvớigócgiữa nhỏ nhất.Mỗilần so
sánhcác góc giữavới chi phí thời gian là . Ta có thểtính toánít nhất giá
trịtrong thời gian nếumỗi lần so sánhchi phí thời gian là .Như
vậy,thuật toán bướcJarvisđược thực hiện với chi phí thời gianlà .
1.3.3 Bài toán tìm cặp điểm gần nhất
Bài toán cặp điểm gần nhất tìm hai điểm gần nhất trong tập hợp điểm cho
trước.Khoảng cách giữa các điểm thường được xét trong các bài toán hình học -
khoảng cáchEuclide:khoảng cáchgiữa các điểm và
là .Mộtthuật toánđơn giản tìm cặpđiểm gần nhấtlàxem
xéttất cả cặpđiểm với chi phí về thời gian là .Trongphần
nàysẽmô tảthuật toán chia để trị với chi phí vềthời gian là .
1.3.3.1 Phát biểu bài toán
Cho trước tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng với và yêu cầu
đưa ra cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
1.3.3.2 Thuật toán




15
Mỗilời gọiđệ quycủa thuật toáncóđầu vàonhư là tập con và các
mảng và ,mỗi mảng có chứatất cả các điểmcủa tập conđầu vào .Các điểm
trongmảng được sắp xếptăng dần theo tọa độ , mảng được sắp xếp tăng
dầntheotọa độ .

Divide:Chiatập hợp các điểm thành hai tập con và với điểm giữa của
tọa độ trong ( , bởi đường thẳng dọc tất cả
các điểmtrong nằm trênhoặcbên trái củađường thẳng và tất cả các điểm
trong nằm trênhoặc bên phải của .Mảng được chia thànhcác
mảng và ,chứacác điểm của và tương ứng,sắp xếp tăng dần theo tọa độ
. Tương tự,mảng được chia thànhcác mảng và , chứa
cácđiểmcủa và tương ứng,sắp xếp tăng dần theotọa độ .
Conquer:Tập hợp các điểm được chia thànhhai tập con và ,tạo ra
hai lời gọiđệ quymột lời gọi đệ quy tìm cặpđiểmgần nhấttrong vàlời gọi đệ quy
khác tìmcặpđiểmgần nhấttrong .Cácđầu vào củalời gọi đầu tiênlà tập con ,
mảng và ; lời gọi thứ hainhận các đầu vào , và . Gọicác khoảng
cáchcặp điểm gần nhấttrả lạicủa và tương ứng là và ;gọi
.
Combine:Cặp điểmgần nhất hoặc làhaicặpkhoảng cách tìm thấybởimột
trong các lời gọi đệ quy,hoặc cặp điểm gần nhất là cặpđiểm vớimột điểm nằm
trong và một điểm khácnằm trong .Thuật toánxác địnhkhi cócặpđiểm
màkhoảng cáchnhỏ hơn . Nếu có cặpđiểm vớikhoảng cáchnhỏ hơn , cả hai
điểmcủa cặpđiểm đó phải đượcnằm trong đơn vị củađường thẳng .
- Tạo ra mảng , đó là mảng với tất cả các điểm không nằm trong dải
dọc rộng được loại bỏ. Mảng được sắp xếp theo tọa độ , cũng như .
- Với mỗi điểm trong mảng , tìm các điểm trong được nằm trong đơn
vị của . Chỉ có 7 điểm trong sau cần được xem xét. Thuật toán tính
khoảng cách từ đến mỗi điểm trong 7 điểm đó và theo dõi những khoảng cách
cặp điểm gần nhất đã tìm trên các cặp điểm trong mảng .
- Nếu thì dải dọc thực tế không có một cặp điểm gần hơn đã được
tìm thấy bởi các lời gọi đệ quy. Cặp điểm này và khoảng cách của nó được trả
về. Ngược lại, cặp gần nhất và khoảng cách của nó được tìm bởi các lời gọi đệ
quy được trả về.

16


Hình1.3 - Thuật toán chỉ cần kiểm tra điểm trong mảng
Algorithm CLOSEST_PAIR( )
Input. Tập hợp gồm các điểm trong mặt phẳng.
Output. Cặp điểm gần nhất (cặp điểm có khoảng cách Eulide nhỏ nhất).
1. Chia thành hai tập con và với điểm giữa tọa độ trong bởi đường
thẳng dọc ; chia thành và ; chia thành và .
2. Tìm = CLOSEST_PAIR( ) và = CLOSEST_PAIR( ).
3. .
4. Tính khoảng cách giữa các điểm mà một điểm nằm trong ( )và một
điểm nằm trong thực hiện như sau:
4.1 Mảng - các điểm của nằm trong dải dọc , sắp xếp theo tọa độ .
4.2 Với mỗi điểm trong , chỉ có điểm trong được so sánh, khoảng cách
cặp điểm gần nhất .
4.3 Nếu thì dải dọc thực tế không có một cặp điểm gần hơn đã được tìm
thấy bởi các lời gọi đệ quy. Cặp điểm này và khoảng cách của nó được
trả về. Ngược lại, cặp điểm gần nhất và khoảng cách của nó được tìm bởi
các lời gọi đệ quy được trả về.
5. Return
1.3.3.3 Phân tích độ phức tạp
Định lí 1.4Cho tập hợp gồm điểm trong mặt phẳng. Thời gian thực hiện thuật
toán tìm cặp điểm gần nhất là [13].
Thời gianthực hiện là . Khó khănchính ở việc
bảo đảmcác mảng và được truyền chocác lời gọiđệ quyđược sắp xếp
theocáctọa độthích hợp vàcũnglàmảng được sắp xếp theo tọa độ .

p
L
p
R

P
L
P
R

P
L
P
R



các điểm trùng
nhau, một trong
P
L
, một trong P
R

các điểm trùng
nhau, một trong
P
L
, một trong P

R





17
Trình bàychínhở trongmỗi lời gọi,cầntạo thành mộttập conthứ tựcủa
mộtmảng được sắp xếp. Tập hợp được chia thành và ,hình thànhcácmảng
và được sắp xếp theo tọa độ . Phương phápnày có thể xem như làđối
lậpvới thủ tụcMERGEtừthuật toán sắp xếp trộn (merge sort):chia mảng được sắp
xếpthành haimảngđược sắp xếp.Để đơn giản kiểm tra các điểm trongmảng theo
thứ tự.Nếumột điểm nằm trong , thêmđiểm này vàocuốimảng ;ngược lại,
thêm điểm này vàocuốimảng [13].
1.
2. for to do
3. if then
4.
5.
6. else
7.
Bằng cách nàocó được cácđiểmsắp xếpở vị trí đầu tiên, mộtcách đơn giản
làsắp xếp trước chúng.Vì vậy, nếugọi là thời gianthực hiệncủa mỗi bướcđệ
quyvà làthời gianthực hiện của toàn bộ thuật toán thì nhận được
và
Do đó và [13].
1.4 Kết luận
Trong chương này giới thiệu về các vấn đề của hình học tính toán, các đối
tượng cơ bản của hình học và các thuật toán kinh điển của hình học tính toán
trong không gian hai chiều. Thuật toán xác định cặp đoạn thẳng bất kỳ cắt nhau

được đưa ra bởi Shamos và Hoey [28] với độ phức tạp về thời gian là .
Thuật toán tìm bao lồi của tập hợp các điểm trong mặt phẳng sử dụng phương
pháp quét là thuật toán quét Graham [17] với chi phí thời gian là và
thuật toán bước Jarvis [19] với chi phí thời gian là . Có nhiều phương
pháp để giải quyết bài toán tìm cặp điểm gần nhất với độ phức tạp khác nhau, sử
dụng thuật toán chia để trị tìm cặp điểm gần nhất thì thời gian thực hiện là
được đưa ra bởi Shamos và xuất hiện trong Preparata và Shamos
[27].




18
Chương 2 - KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƯỢNG TRONG
HÌNH HỌC TÍNH TOÁN
2.1 Tìm kiếm phạm vi trực giao
Ngay từ đầu có vẻ nhưcơ sở dữ liệuítlàmviệc vớihình học. Tuy
nhiên,nhiềuloại câu hỏi – được gọi là các truy vấn –về dữ liệu trongcơ sở dữ
liệucó thểđượcgiải thíchmột cách hình học. Bằng cách chuyển các bản
ghitrongcơ sở dữ liệuthành cácđiểmtrongkhông giannhiềuchiềuvàchuyểncác truy
vấntrên bản ghithànhcác truy vấntrêntập hợp điểm.
Xétmộtcơ sở dữ liệuquản lí nhân sự, mỗi nhân viên được lưu trữ các
thông tin như họ tên,địa chỉ, tuổi,lương.Mộttruy vấntạobáo cáotìm tất cả các
nhân viêncó tuổi từ 30 đến 50 và thu nhập hàng tháng từ 4000000đến 6000000.
Vấn đềhình họcbiểu diễn mỗinhân viênlàmột điểmtrong mặt phẳng.Tọa độ thứ
nhất của điểm là tuổivàtọa độ thứ haibiểu diễn lương. Truy vấncơ sở dữ liệuyêu
cầu hiển thị tấtcảnhân viêncó tuổi từ 30 đến 50 và thu nhập hàng tháng từ
4000000đến 6000000 được chuyển thành truy vấnhình học: báo cáotất cả
cácđiểmvới tọa độthứ nhấttừ 30 đến 50vàtọa độ thứ hai từ 4000000đến 6000000,
nghĩa làbáo cáotất cảcácđiểm nằm trongtruy vấnhình chữ nhật song songtrục tọa

độ.











Hình 2.1- Giải thíchtruy vấncơ sở dữ liệu một cách hình
Nếucó thêm thông tinvềsố concủamỗi nhân viênvà yêu cầu tạo truy
vấn“báo cáo tất cả nhân viêncó tuổi từ 30 đến 50, thu nhậphàng tháng từ
4000000 đến 6000000 và cótừ 2 đến 4 con”.Trong trường hợpnày,mỗinhân viên
30
50
Lương
Tuổi
Nguyễn Thị Lan, 35 tuổi,
lương 5000000
6000000
4000000




19
được mô tả bởimộtđiểmtrongkhông gianba chiều vớitọa độthứ nhất, tọa độ thứ

hai,tọa độthứ babiểu diễntuổi,lương và sốcon tương ứng. Để trả lờitruy vấn, cần
phảibáo cáotất cảcác điểmnằm trong hìnhhộpsong songtrục tọa độ [30 : 50]
×[4000000: 6000000] ×[2: 4]. Nếu taquan tâmcác truy vấntrả lờitrên thuộc
tính củacác bản ghi trongcơ sở dữ liệu thì các bản ghiđược chuyển thành các
điểmtrongkhông gian chiều. Mộttruy vấnyêu cầubáo cáotất cảcác bản ghicó các
thuộc tínhnằmgiữa cácgiá trịcố địnhthì chuyểnthành mộttruy vấnđưa ra tất cảcác
điểmnằm trongmộthình hộpsong songtrục tọa độ chiều. Như vậy,truy vấnnày
được gọilà truy vấn phạm vi hình chữ nhậthoặc truyvấnphạm vi trực giaotrong
hình học tính toán [5].







2.1.1 Mô hình quản lí đối tượng một chiều
2.1.1.1 Truy vấn phạm vi một chiều
Cho tập hợp gồm điểm trênđường thẳng thực là và
yêu cầu báo cáo tất cả các điểm nằm trong phạm vi truy vấn .
2.1.1.2 Thuật toán và cấu trúc dữ liệu
Cấu trúc dữ liệu được sử dụng để giải quyết bài toán truy vấn phạm vi
một chiều hiệu quả là cây nhị phân tìm kiếm cân bằng [26]. Các lá của lưu
trữ các điểm của và các nút trong của lưu trữ các giá trị chia hỗ trợ việc tìm
kiếm, nút lưu trữ giá trị chia . Giả sử cây con trái nút chứa tất cả các điểm
nhỏ hơn hoặc bằng và cây con phải chứa tất cả các điểm lớn hơn .
Gọi và là hai lá nơi mà tìm kiếm kết thúc tương ứng với và .
Trước tiên tìm theo và trong . Các điểm trong phạm vi là những
điểm được lưu trữ tại các lá ở giữa và bao gồm và , có thể chứa điểm
lưu trữ tại và lưu trữ tại . Để tìm các lá giữa và , trước tiên cần phải tìm

6000000
4000000
2
4
30
50




20
các nút chia các đường đi tìm kiếm với và [5]. Trong hình 2.2, truy
vấn một chiều với phạm vi [18 :77], báo cáo tất cả các điểm lưu trữ tại các lá
màu xám đen và điểm lưu trữ tại lá . Các điểm nằm trong phạm vi là các lá của
các cây con ở giữa và ; các cây con có màu xám đen, còn các nút trên đường
đi tìm kiếm có màu xám sáng.









Hình 2.2 - Truy vấn phạm vi một chiều trong cây nhị phân tìm kiếm
Từ ý tưởng trên xây dựng chương trình con tìm nút chia như sau[5]. Gọi
và là con trái và con phải tương ứng của nút
FINDSPLITNODE( )
Input. Cây T và hai giá trị và với .

Output. Nút nơi chia các đường đi đến điểm và , hoặc lá nơi mà cả hai
đường đi kết thúc.
1.
2. while không là lá và( hoặc ) do
3. if then
4.
5. else
6. return
Bắt đầutừ theo đường đitìm kiếmvới , tại mỗinútvới đường đi bên
trái vàbáo cáotất cảcáclátrongcây conphải. Tương tự, theođường đi tìm kiếm
với vàbáo cáocác látrongcây contráicủacác nút. Cuối cùng,phảikiểm
tracácđiểmlưu trữtạicáclánơicác đường đi kết thúc, các điểm này có thể nằm
trong hoặckhôngnằmtrong khoảng .

49
23
19
80
70
100
89
59
30
62
37
10
3
10
3
23

19
37
30
49
62
59
80
70
100
89
105





21










Thuật toántruy vấn sử dụngchương trình conREPORTSUBTREE,
duyệtcây concó gốc lànút cho trướcvàbáo cáonhững điểmđược lưu trữtại lá.
Khisố núttrongbất kỳcủacâynhị phânlà íthơnsố lá, chương trình connàychi phí

thời gianlàtuyến tínhvới số điểmbáo cáo[5].

Algorithm 1DRANGEQUERY( )
Input. Cây nhị phân tìm kiếm và phạm vi
Output. Tất cả các điểm lưu trữ trong nằm trong phạm vi.
1. ← FINDSPLITNODE( )
2. if là một lá then
3. Kiểm tra nếu điểm lưu trữ tại thì phải được báo cáo.
4. else (∗ Theo đường đi đến và báo cáo các điểm trong cây con phải của
đường đi.∗)
5.
6.whileν không là lá do
7. if then
8. REPORTSUBTREE( )
9.
10. else
11. Kiểm tra điểm lưu trữ tại lá phải được báo cáo.
12. Tương tự, theo đường đi đến báo cáo các điểm trong các cây con trái
của đường đi và kiểm tra nếu điểm lưu trữ tại lá nơi đường đi kết thúc
phải được báo cáo.


các cây con được chọn

root(T)




22

2.1.1.3 Phân tích độ phức tạp
Định lí2.1Chotập hợp gồm điểmtrong không gianmột chiều. Tập hợp
đượclưu trữ trongcây nhị phân tìm kiếmcân bằngsử dụnglưu trữ và có thời
gian xây dựng , như vậycác điểmtrong phạm vi truy vấncó thểbáo
cáotrongthời gian , với làcácđiểmbáo cáo [5].
Thật vậy, cấu trúc dữ liệu sử dụng trong tìm kiếm phạm vi một chiều
làcây nhị phân tìm kiếmcân bằngsử dụnglưu trữ và có thểđược xây dựng
trongthời gian Trongtrường hợpxấu nhấttất cảcác điểmcó thểnằm
trongphạm vitruy vấn thì thời giantruy vấnlàΘ(n). Thời gian chi phí một lời gọi
REPORTSUBTREElàtuyến tínhvới sốđiểmbáo cáo. Do đó, tổng thời gianchi phí
trongtất cảcác lời gọilà .Các nútcòn lạiđượcthămlà các núttrênđường đitìm
kiếmcủa hoặc . Vì làcân bằng, các đường đicóchiều dài .Thời gianchi
phí trongmỗi nút là , tổng thời gianchi phícho các nút là [5].Như
vậy thời giantruy vấnlà .
2.1.2 Mô hình quản lí đối tượng hai chiều
2.1.2.1 Truy vấn phạm vi hai chiều
Gọi làtập hợp gồm điểmtrongmặt phẳng và yêu cầu báo cáo tất cả các
điểm nằm trong phạm vi hình chữ nhật .Trongbài toántìm kiếm
phạm vi hai chiều,mỗi điểmtrong mặt phẳng được biểu diễn bởi haigiá trị là tọa
độ vàtọa độ . Giả sửrằngkhông cóhaiđiểmtrong cùngtọa độ vàtọa độ
.Mộtđiểm nằmtrong hình chữ nhậtkhi và chỉ khi
và [5].



2.1.2.2 Thuật toán và cấu trúc dữ liệu
2.1.2.2.1 Kd-trees 2 chiều (2-dimensional Kd-trees)
Ta cần xây dựng cấu trúc dữ liệu cho truy vấn phạm vi hai chiều. Trong
trường hợp hai chiều mỗi điểm có hai giá trị quan trọng là tọa độ và tọa độ .
p

y
y’
y
x’
p
x
x
p
x
y




23
Trước tiênta chia theotọa độ rồi đến tọa độ và thực hiện luân phiên với quá
trình như sau:Tạigốc, chia bởi đường thẳng dọc thànhhaitập con và
có kích thướcgầnbằng nhau.Đường thẳngchiađượclưu trữtạigốc.Tập hợp
gồm các điểmở bên tráihoặc ở trênđường thẳng chia, đượclưu trữtrongcây
contrái và tập hợp gồm các điểm ở bên phải đường thẳng chia, được lưu
trữ trong cây con phải. Cứ thực hiện quá trình trên cho đến khi chỉ còn một
điểm. Một cây như thế gọi làkd-trees, cây mà trong hình 2.3 là 2d-trees hay còn
gọi là kd-trees hai chiều [5].


Hình 2.3 - Kd-trees: mặt phẳng được chia và cây nhị phân tương ứng
Thuật toán xây dựng kd-treesvới thủ tụcđệ quymô tảdưới đây[5].Thủ
tụcnàysử dụng haitham số: tập hợpcácđiểmvàmột số nguyên. Tham số thứ
nhấtlàtập hợpcác điểm dùng để xây dựng kd-trees; khởi tạolà tập hợp .Tham
sốthứ hailàchiều sâucủagốccây con. Tham sốchiều sâu bằng khôngtạilời gọiđầu

tiên. Chiều sâulàquan trọngvìnóxác địnhxemphảichia bởi đườngthẳng
dọchoặcđường thẳng ngang. Thủ tụctrả vềgốc của kd-trees.
Algorithm BUILDKDTREE( )
Input. Tập hợp các điểm và chiều sâu hiện tại .
Output. Gốc của kd-trees được lưu trữ .
1. if chỉ chứa một điểm then
2. return lá lưu trữ điểm này
3. else if là chẵn then
4. Chia thành hai tập con bởi đường thẳng dọc đi qua điểm giữa
tọa độ của các điểm trong Gọi là tập hợp các điểm bên trái
hoặc nằm trên và là tập hợp các điểm bên phải .