Nghiên cứu phương pháp bảo vệ thông tin dùng trên thiết bị cầm tay

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ






LÊ THỊ THU









NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP BẢO VỆ THÔNG TIN
DÙNG TRÊN THIẾT BỊ CẦM TAY










LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ






LÊ THỊ THU

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP BẢO VỆ THÔNG TIN
DÙNG TRÊN THIẾT BỊ CẦM TAY


Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã số: 604805





LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRỊNH NHẬT TIẾN











Hà Nội – 2011
MỤC LỤC
BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 6
LỜI MỞ ĐẦU 7
Chƣơng 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 8
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG SỐ HỌC 8
1.1.1. Số nguyên tố 8
1.1.1.1. Khái niệm số nguyên tố 8
1.1.1.2. Phƣơng pháp kiểm tra số nguyên tố 9
1.1.2 Các tính toán trong Z
n
*
18
1.1.2.1 Tập hợp Zn và Zn * 18
1.1.2.2 Tính phần tử nghịch đảo trong Zn * 19
1.1.2.3 Tính luỹ thừa trong Zn 20
1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ 22
1.2.1. Khái niệm: Nhóm, Vành, Trƣờng 22
1.2.1.1 Nhóm 22
1.2.1.2 Vành 23
1.2.1.3 Trƣờng 23
1.2.2. Không gian Vector 25
1.2.3. Không gian chiếu 26
1.3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN 27
1.3.1. Khái niệm thuật toán 27
1.3.2. Độ phức tạp của thuật toán 27
1.3.3. Một số lớp bài toán 30
1.4. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG MẬT MÃ 32
1.4.1. Mã hóa 32
1.4.1.1 Khái niệm hệ mã hóa 32
1.4.1.2 Phân loại mã hóa 33

1.4.2. Chữ ký số 36
1.4.2.1 Sơ đồ chữ ký số 36
1.4.2.2 Chữ ký số RSA 36
1.4.2.3 Chữ kỹ số Elgamal 37
Chƣơng 2. HỆ MẬT MÃ TRÊN ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC 39
2.1. ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC 39
2.1.1. Khái niệm đƣờng cong Elliptic 39
2.1.1.1 Đƣờng cong Elliptic theo công thức Weierstrass 39
2.1.1.2. Đƣờng cong Elliptic trên trƣờng Galois 40
2.1.1.3. Đƣờng cong Elliptic trên trƣờng hữu hạn 42
2.1.2. Các phép toán trên đƣờng cong ELLIPTIC 44
2.1.2.1 Phép cộng 44
2.1.2.2 Phép nhân 47
2.1.2.3. Số điểm trên đƣờng cong ELLIPTIC với trƣờng FQ 50
2.1.4. Chọn đƣờng cong ELLIPTIC phù hợp 51
2.1.4.1. Trƣờng K 51
2.1.4.2. Dạng của đƣờng cong elliptic 51
2.1.4.3. Phƣơng pháp lựa chọn 52
2.1.4.4. Bài toán LOGARIT rời rạc trên đƣờng cong ELLIPTIC 53
2.2 MỘT SỐ HỆ MẬT TRÊN ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC 54
2.2.1. Hệ mã hoá 54
2.2.1.1. Nhúng bản rõ vào đƣờng cong Elliptic 54
2.2.1.2. Hệ mã hóa “tựa” Ellgamal 55
2.2.1.3. Hệ mã tƣơng tự mã mũ (Dạng tƣơng tự của Massey –Omura) 56
2.2.1.4. Hệ mã hóa trên đƣờng cong Elliptic của Menezes – Vanstore 58
2.2.1.5. Kết hợp ECES với thuật toán Rijndael và các thuật toán mở rộng 59
2.2.1.6. Một số chuẩn sử dụng hệ mật ECC 59

2.2.1.7. So sánh RSA và ECC 62
2.2.2. Chữ ký số 65

2.2.2.1. Sơ đồ chữ ký ECDSA 65
2.2.2.2 Sơ đồ chữ ký Nyberg – Rueppel 66
2.2.2.3 Sơ đồ chữ ký mù Harn trên EC 67
2.2.2.4 Sơ đồ đa chữ ký mù Harn trên EC 70
2.2.3. Phƣơng pháp thoả thuận khoá 72
2.2.3.1. Phƣơng pháp thỏa thuận khóa Diffie - Hellman 72
2.2.3.2. Phƣơng pháp thỏa thuận khóa Elliptic Curve Diffie – Hellman 73
2.3 ĐỘ AN TOÀN CỦA HỆ MẬT TRÊN ĐƢỜNG CONG ELLIPTIC 74
2.4. KHẢ NĂNG TẤN CÔNG HỆ MẬT TRÊN THIẾT BỊ CẦM TAY 75
2.4.1. Phƣơng pháp tấn công “baby-step giant - step” 75
2.4.2. Phƣơng pháp tấn công MOV 76
2.4.3. Các thuật toán tấn công khác 78
Chƣơng 3. SỬ DỤNG MỘT SỐ HỆ MẬT MÃ KHÁC TRÊN THIẾT BỊ CẦM TAY 79
3.1 Hệ mã mật RC4 (40 bit/ 128 bit) 79
3.1.1.Mô tả hệ mật RC4 79
3.1.2.Khởi tạo khối S 80
3.1.3.Mã hóa và Giải mã 80
3.1.4.Những ƣu điểm chính của hệ mã hoá RC4 81
3.2 Hệ mã mật DES (56 bit) 81
3.2.1 Các thành phần của DES 81
3.2.2 Giải thuật mã hóa DES 83
3.2.3 Giải thuật giải mã DES 86
3.3 Hệ mã mật 3DES (112bit/ 168 bit) 87
3.3.1. Tổng quan mã hóa 3DES 87
3.3.2. Chuẩn mã hóa dữ liệu 3DES 88
Chƣơng 4: THỬ NGHIỆM CHƢƠNG TRÌNH 91
4.1 GIỚI THIỆU CHƢƠNG TRÌNH 91

4.2. CÀI ĐẶT CHƢƠNG TRÌNH VÀ HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG 95
KẾT LUẬN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT


Từ viết tắt
Từ gốc
Nghĩa tiếng Việt
GCD
Greatest Common Divisor
Tìm ƣớc chung lớn nhất
MOV
Menezes, Okamoto, và Vanstone

EDLP
Elliptic Curve Discrete Logarithm
Problem
Vấn đề logarit rời rạc trên
đƣờng cong Elliptic
DLP
Discrete Logarithm Problem
Vấn đề logarit rời rạc
ECC
Elliptic Curve Cryptography
Hệ mật trên đƣờng cong
Elliptic
ECDSA
Elliptic Curve Digital Signature
Algorithm
Thuật toán ký trên đƣờng cong
Elliptic
ECKA

Elliptic Curve Key Agreement
Thỏa thuận khóa trên đƣờng
Elliptic
FSTC
Financial Services Technology
Consortium
Hệ thống thanh toán điện tử và
các dịch vụ tài chính
IETF
Internet Engineering Task Force
Giao thức thỏa thuận khóa
NIST
National Institue of Standards
Viện nghiên cứu chuẩn quốc tế
SET
Secure Electronic Transaction

WAP
Wireless Application Protocol

ECDLP
Elliptic Curve Discrete Logarithm
Problem

ECDH
Elliptic curve Diffie-Hellman


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình vẽ
Tên hình vẽ
Hình 2.1
Một ví dụ về đƣờng cong Elliptic
Hình 2.2
Điểm ở vô cực
Hình 2.3
Phép nhân đôi trên đƣờng cong Elliptic
Hình 3.1
Sơ đồ tạo chuỗi gama trong hệ mật RC4
Hình 3.2
Một vòng của DES
Hình 3.3
Mô hình hàm f(A,J) của DES
Hình 3.4
Mô hình sinh khóa con của DES
Hình 4.1
Sơ đồ quá trình tạo khóa mã hóa ECC
Hình 4.2
Kiến trúc tổng thể phần mềm mã hóa tin nhắn
Hình 4.3
Chức năng bảo mật tin nhắn
Hình 4.4
Chức năng quản lý tin nhắn
Hình 4.5
Chức năng quản lý danh bạ
Hình 4.6
Quá trình bảo mật SMS
Hình 4.7
Giao diện chính của chƣơng trình

Hình 4.8
Giao diện chức năng quản lý tin nhắn SMS
Hình 4.9
Giao diện chức năng quản lý danh bạ


LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các thiết bị cầm tay với ƣu điểm
tiện lợi, linh hoạt thì nhu cầu xây dựng những ứng dụng trên các thiết bị này ngày càng
lớn đặc biệt là các ứng dụng thƣơng mại điện tử. Do đó nhu cầu bảo mật thông tin
trong các giao dịch sử dụng thiết bị cầm tay càng lớn. Một trong những đặc điểm của
các thiết bị cầm tay là bộ nhớ nhỏ với tốc độ tính toán thấp.
Xuất phát từ thực tế đó, các thuật toán mã hóa trên đƣờng cong Elliptic với ƣu
điểm là tốc độ xử lý nhanh, không cần nhiều tài nguyên đã ra đời và rất thích hợp với
các thiết bị cầm tay này vì nó vừa đảm bảo độ an toàn và không yêu cầu nhiều tài
nguyên. Chính vì vậy em đã chọn đề tài:"Nghiên cứu phƣơng pháp bảo vệ thông tin
dùng trên thiết bị cầm tay" làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình.
Nội dung của đề tài:
Chương 1: Các khái niệm cơ bản
Nêu lên một số khái niệm cơ bản về đại số, số học, các khái niệm về mã hóa,
chữ ký số cũng nhƣ độ phức tạp thuật toán.
Chương 2: Hệ mật mã trên đường cong Elliptic
Tìm hiểu về đƣờng cong Elliptic, một số hệ mật trên đƣờng cong Elliptic và các
tình huống xuất hiện khi sử dụng các hệ mật trên.
Chương 3: Sử dụng một số hệ mật mã khác trên thiết bị cầm tay
Nghiên cứu một số hệ mã khác dùng trên thiết bị cầm tay nhƣ: RC4, DES, 3DES.
Chương 4: Thử nghiệm chương trình:
Thử nghiệm chƣơng trình bảo mật tin nhắn trên điện thoại di động.
Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS Trịnh Nhật Tiến đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt quá trình viết luận văn này.

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG SỐ HỌC
1.1.1. Số nguyên tố
1.1.1.1. Khái niệm số nguyên tố
Định nghĩa 1.1
Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Số nguyên
lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố gọi là hợp số.
Định lý 1.1 (Định lý cơ bản của số học)
Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các
số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm.
n=p
1
m1
. p
2
m2
…p
k
mk
Chứng minh
Xét tập F gồm tất cả các số nguyên lớn hơn 1 không biểu diễn đƣợc thành tích
một số hữu hạn thừa số nguyên tố. Ta chỉ cần chỉ ra F=

. Thật vậy, giả sử F


. Khi
đó có số nguyên dƣơng nhỏ nhất m thuộc F. Vì m


F nên m phải là hợp số. Khi đó có
hai số nguyên dƣơng q
1
, q
2
>1 để m = q
1
q
2
. Vì q
1
,q
2
< m nên q
1
,q
2


F. Nhƣ vậy ta có
phân tích: q
1
= t
1
t
2
t
h
và q

2
= u
1
u
2
u
k

Ở đó các t
i
, u
i
, đều là các số nguyên tố. Khi đó:
m = q
1
q
2
= t
1
t
2
t
h
u
1
u
2
u
k
.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết m

F. Nhƣ vậy F phải là tập rỗng. Do đó mọi
số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích thành tích của hữu hạn thừa số nguyên tố.
Bây giờ giả sử một số đƣợc phân tích thành hai tích dạng A và B các thừa số
nguyên tố. Khi đó A = B. Bằng cách lƣợc bỏ tất cả các thừa số nguyên tố xuất hiện
trong cả A và B, ta nhận đƣợc đẳng thức tƣơng đƣơng C=D. Ta cần phải chứng minh
C=D=1.
Giả sử trái lại, C = D

1. Gọi p là thừa số nguyên tố xuất hiện trong C. Khi đó
p không thể là thừa số xuất hiện trong biểu thức tích của D. Có nghĩa là D không phải
là bội của p, và do đó C cũng không là bội của p (mâu thuẫn!). Vậy C = D = 1. Điều
này chứng tỏ rằng sự phân tích ra các thừa số nguyên tố của một số nguyên >1 là duy
nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số.

Định lý 1.2
Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhỏ hơn
n

Chứng minh
Vì n là một hợp số nên ta có thể viết n = ab, trong đó a và b là các số nguyên
với 1<a, b

n. Rõ ràng ta phải có a hoặc b không vƣớt quá
n
, giả sử đó là a. Ƣớc
nguyên tố của a cũng đồng thời là ƣớc nguyên tố của n.
1.1.1.2. Phương pháp kiểm tra số nguyên tố
1/. Thuật toán Fermat

Thuật toán Fermat là kiểm tra xác suất dựa trên định lý Fermat nhỏ (Fermat’s
Little Theorem). Định lý đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Định lý 1.3 (Fermat’s Little Theorem)
Nếu p là số nguyên tố và a là số không chia hết cho p thì: a
p-1
= 1 (mod p)
Hệ quả
Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên dương thì: a
p
= a (mod p)
Ví dụ: a = 2,
2
3-1
= 4 = 1 mod 3
2
4-1
= 8 = 0 mod 4
2
5-1
= 16 = 1 mod 5
2
6-1
= 32 = 2 mod 6
2
7-1
= 64 = 1 mod 7
2
8-1
= 128 = 0 mod 8
2

9-1
= 256 = 4 mod 9
Kết quả trên xác nhận khi p là số nguyên tố, thì 2
p-1
= 1 mod p, và cũng cho một
phỏng đoán rằng p không phải là số nguyên tố, thì 2
p-1


1 mod p. Tuy nhiên phỏng
đoán này lại không đúng, chẳng hạn nhƣ: n = 341 = 11 x 31 không phải là số nguyên
tố, nhƣng nó vẫn thoả mãn 2
341-1
= 1 mod 341. Do vậy định lý Fermat với a = 2 có thể
đƣợc sử dụng kiểm tra một số là hợp số nhƣng không thể dùng để kiểm tra một số chắc
chắn là số nguyên tố. Các số mà thoả mãn định lý Fermat mà không phải là số nguyên
tố gọi là số giả nguyên tố và đƣợc định nghĩa một cách nhƣ sau:

Định nghĩa 1.2
Một số giả nguyên tố cơ sở a là một hợp số nguyên n thoả mãn công thức a
n-1
= 1 mod n.

Nếu số giả nguyên tố cơ sở a không tồn tại, thì định lý Fermat cho một cách rất
đơn giản để kiểm tra số nguyên tố: một số n là số nguyên tố nếu và chỉ nếu
a
n-1
=1 mod n. Đáng tiếc số giả nguyên tố cơ sở a lại tồn tại với mọi cơ sở, vì
vậy định lý Fermat chỉ cho một cách kiểm tra thiên về hợp số. Thuật toán nhƣ sau:

Nếu một số vƣợt qua kiểm tra số giả nguyên tố với vài cơ sở thì khả năng nó là
số nguyên tố khá chắc chắn (vẫn có một xác suất nào đó).
Thuật toán Fermat đƣợc xây dựng trên cơ sở thuật toán kiểm tra thiên về hợp số
ở trên. Nó sẽ kiểm tra một số n là giả nguyên tố với k cơ sở đƣợc chọn một cách ngẫu
nhiên và kết luận là một số nguyên tố với xác suất nào đó nếu và chỉ nếu nó vƣợt qua k
kiểm tra. Thuật toán nhƣ sau:

Thuật toán pseudoprime có độ phức tạp thời gian là O(logn). Thuật toán kiểm
tra Fermat thực hiện thuật toán pseudoprime k lần vì vậy độ phức tạp thời gian O(k .
logn) hay O(k . s). Do vậy nó là thuật toán xác suất kiểm tra số nguyên tố rất hiệu quả.

2/. Thuật tốn Soloway – Strassen
Định nghĩa 1.3
Thặng dư bậc hai (quadratic residue) mod n là số ngun a thoả mãn phương trình
x
2
= a mod n có nghiệm x. Ngược lại a là bất thăng dư bậc hai mod n.
Ví dụ: 4 là thặng dƣ bậc hai mod 5 vì 3
2
= 9 = 4 mod 5.
Trong trƣờng hợp khác, 3 là bất thặng dƣ vì khơng có số ngun nào trong tập
hợp {0, 1, 2, 3, 4} bình phƣơng bằng 3 mod 5.
Định nghĩa 1.4 (Ký hiệu Legendre)
Nếu p là số ngun tố khác 2. Với a

0 ta định nghĩa ký hiệu Legendre
a
p




như sau:
Định nghĩa 1.5 (Ký hiệu Jacobi)
Với n

1 lẻ và số ngun a

0. Giả sử n có triển khai chính tắc thành thừa số
ngun tố là n = p
1
x1
p
2
x2
p
k
xk
, thì ký hiệu Jacobi được định nghĩa như sau:









p
a
=

1
1
x
p
a








2
2
x
p
a









xk
k
p

a









Khi n = p là số ngun tố, thì giá trị của ký hiệu Legendre và Jacobi là nhƣ nhau.
Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Euler)
Nếu n là số ngun tố khác 2, thì:






n
a
= a
(n-1)/2
mod n với a thoả mãn 1

a

n-1.
Định nghĩa 1.6
Với n là một hợp số ngun lẻ. Nếu gcd(a,n)>1hoặc a

(n-1)/2








n
a
mod n, thì a là
bằng chứng Euler (Euler witness) và n là hợp số.
Mặt khác, nếu gcd(a, n) =1 và a
(n-1)/2
=






n
a
mod n, thì a là giả mạo Euler (Euler
liar) của n.
0 p a
a
1
p

1










Nếu
Nếu a là một thặng dư bậc 2 modp
Trường hợp khác

Sau đây là thuật toán xác định a là bằng chứng Euler(Euler witness) của n là
hợp số:

Bƣớc đầu tiên của thuật toán là tính r = a
(n-1)/2
mod n, giống nhƣ với thuật toán
Fermat. Nếu r =

1 mod n, thì r
2
= a
n-1
=1mod n, nên n là hợp số bằng thuật toán
Fermat. Bƣớc tiếp theo là tính Jacobi
a

n



và so sánh với r. Nếu không bằng nhau thì n
là một hợp số theo tiêu chuẩn Euler. Ngƣợc lại, thì n là số nguyên tố với xác suất nào đó.
Chú ý có một vấn đề xuất hiện ở đây là việc tính Jacobi






n
a
.
Giống nhƣ thuật toán Fermat, thuật toán Solovay-Strassen kiểm tra một số
nguyên n là hợp số bằng cách thực hiện thuật toán euler-witness với vài giá trị ngẫu
nhiên của a. Nếu có k giá trị a cho trả lời đúng thì n là hợp số. Ngƣợc lại thì k là số
nguyên tố với xác suất nào đó, thuật toán đƣợc trình bày nhƣ sau:

Nó không hiệu quả để kiểm tra tất cả các giá trị có thể của a, nên chúng ta
muốn biết sự giống nhau giữa cách chọn lựa của a nhƣ thế nào, nếu n là hợp số, một
giá trị a ngẫu nhiên là bằng chứng Euler (Euler witness) cho n là hợp số. Trong kiểm
tra Fermat, chúng ta tìm thấy một tập chắc chắn các số là số Carmichael, có rất ít bằng
chứng. Định lý dƣới đây sẽ đảm bảo rằng tiêu chuẩn Euler không giống số Carmichael.
Định lý sử dụng phi hàm Euler:

Định lý 1.5
Nếu n là hợp số nguyên lẻ, thì có nhiều nhất


(n)/2 giả mạo Euler (Euler liar)
cho n trong đoạn [2, n-1].
Chúng ta biết rằng

(n)<n, nên với mỗi hợp số n lẻ, ít hơn n/2 sự chọn lựa là
giả mạo Euler (Euler liars), và do đó có ít nhất n/2 chọn lựa là bằng chứng (Euler
witness). Điều này ngụ ý rằng nếu n là hợp số, thì có ít nhật 50% cơ hội cho mỗi giá trị
ngẫu nhiên của a trong thuật toán Solovay-Strassen sẽ là bằng chứng (witness). Nếu
kiểm tra phân loại một số là hợp số thì không có một sai sót nào. Nếu kiểm tra phân
loại một số là số nguyên tố thì có thể là không chính xác. Xác suất sai đƣợc cho bởi
một hệ quả sau đây:
Hệ quả
Nếu thuật toán Solovay-Strassen với tham số n và k phân loại n là số nguyên tố,
thì xác suất sai nhiều nhất là (1/2)
k
.
Vì vậy, chúng ta có thể đạt đƣợc xác suất n là số nguyên tố cao hơn đơn giản
bằng cách tăng k lên một giá trị cần thiết. Hơn nữa, thuật toán Solovay-Strassen bảo
đảo xác suất giống nhau của phân loại đúng bất chấp độ lớn của n. Điều này rất hữu
ích vì chúng ta muốn tìm kiếm số nguyên tố lớn.
Cách tính Jacobi:
Định lý 1.7: Với m, n >1 là số nguyên lẻ và với a, b là số nguyên bất kỳ. Thì ký
hiệu Jacobi có các tính chất sau:
(i)







n
a
=0, 1, hoặc -1. Hơn nữa,






n
a
=0 nếu và chỉ nếu gcd(a, n)

1
(ii)






n
ab
=







n
a






n
b

(iii)






mn
a
=






m
a







n
a

(iv) Nếu a=b mod n thì






n
a
=






n
b

(v)







n
1
=1
(vi)
( 1)/2
1 if 1mod4
1
( 1)
1if 3mod4
n
n
n
n





  






(vii)
2
( 1)/8
1 if 1mod8
2
( 1)
1if 3mod8
n
n
n
n




  


  



(viii)
( 1)( 1)/4
if 3mod4
( 1)
if 1mod4 or 1mod4
mn
n

mn
m
mn
n
nm
mn
m






  





  





Các tính chất này cho phép chúng ta định nghĩa đệ quy ký hiệu Jacobi. Nếu n là
số lẻ, và a=2
k
a
1

, và a
1
cũng là số lẻ, thì:
 
  
1
1 1 /4
11
1
mod
22
1
kk
an
a n a
a
n n n n a


   


  

   




   



Định nghĩa đệ quy này đƣợc diễn giải bởi thuật toán sau, thuật toán hiệu quả để
tính






n
a
mà không cần phải phân tích n thành thừa số nguyên tố:

Thời gian chạy của thuật toán tính Jacobi là O(log
2
n). Thuật toán Euler-witness
thực hiện với hai phép tính chính: a
(n-1)/2
mod n và






n
a
. Sử dụng phƣơng pháp bình
phƣơng liên tiếp, phép tính thứ nhất thực hiện trong thời gian O(log n), và phép tính

thứ hai đƣợc xác định thực hiện trong thời gian là O(log
2
n). Các toán tử so sánh có
thời gian chạy coi nhƣ không đáng kể, vì vậy độ phức tạp thời gian của thuật toán
euler-witness là O(log
2
n). Kiểm tra Solovay-Strassen thực hiện thuật toán k lần nên có
thời gian thực hiện là O(k. log
2
n).

Với thuật toán Solovay-Strassen, chúng ta có (1/2)
k
khả năng phân loại sai cho
thời gian thực hiện O(k. log
2
n). Nhƣ vậy là chậm hơn thuật toán Fermat O(k.log n),
nhƣng thuật toán Fermat không đƣa ra một giá trị cụ thể nào đảm bảo sự chặc chắn của
mình kể cả sự tồn tại của số Carmichael.
3/. Thuật toán Miller-Rabin
Thuật toán Miller Rabin là phiên bản sửa đổi của thuật toán Fermat sử dụng ý
tƣởng đơn giản trình bày dƣới đây để tạo ra kiểm tra thiên về hợp số rất mạnh. Nó thay
thế thuật toán Solovay-Strassen nhƣ là một chọn lựa đầu tiên để kiểm tra xác suất vì
hiệu quả cao hơn và xác suất chính xác cũng cao hơn.
Định lý 1.8: Nếu x
2
= 1 mod n có nghiệm không tầm thường, thì n là hợp số.

Giống nhƣ giả nguyên tố, thuật toán kiểm tra a
n-1

= 1 mod n và phân loại là số
giả nguyên tố nếu đƣợc. Cũng nhƣ vậy, tuy nhiên, nó cũng kiểm tra bất thặng dƣ bậc
hai (nontrivial square root) của 1 mod n bằng cách tính a
n-1
theo một cách riêng. Đầu
tiên, nó biểu diễn n-1 = u.2
t
, u là số lẻ. Sau đó viết a
n-1
= a
u.2t
= (a
u
)
2t
đƣợc tính bằng
cách bình phƣơng liên tiến a
u
tổng cộng t lần. Thuật toán đầu tiên tính a
u
sử dụng bình
phƣơng liên tiếp (ordinary binary exponentiation), sau đó bình phƣơng nó t lần, giữ lại
giá trị hiện tại(cur) và giá trị cuối cùng (last) ở mỗi bƣớc. Nếu cur = 1, thì last là thặng
dƣ bậc hai (square root) của 1 mod n. Nếu last khác 1, hoặc -1, thì nó là bất thặng dƣ
bậc hai (nontrivial square root) của 1 mod n, và do đó n là hợp số. Nếu mr-witness(a,
n) trả về đúng (true), thì a là cơ sở cho n là hợp số.

Kiểm tra Miller-Rabin chỉ đơn giản chạy thuật toán mr-witness với k lần ngẫu
nhiên chọn gia trị a. Nếu bất kỳ giá trị nào chứng tỏ n là hợp số thì n là hợp số, ngƣợc
lại n là số nguyên tố với xác suất nào đó:

Thuật toán thể hiện mạnh hơn kiểm tra Fermat, bởi vì nó sử dụng định lý ở trên
để tăng cƣờng kiểm tra hợp số. Định lý tiếp theo trình bày bằng chứng là những thay
đổi tạo ra dấu hiệu cho thấy kiểm tra xác suất số nguyên tố tốt hơn.
Định lý 1.9:
Nếu n là hợp số lẻ, thì số bằng chứng chứng tỏ n là hợp số ít nhất bằng 3/4 (n-1)
Theo định lý này nều n là hợp số thì ít nhất 75% khẳ năng chứng tỏ là hợp số
với bất kỳ giá trị ngẫu nhiên của cơ sở. Kiểm tra Miller – Rabin sẽ chỉ có lỗi nếu nó
chọn k cở sở kiểm tra từ tập hợp bằng chứng sai. Xác suất sai đƣợc phát biểu bởi hệ
quả của định lý dƣới đây:
Hệ quả: Nếu thuật toán Miller – Rabin với tham số n và k phân loại n là
nguyên tố, thì xác suất sai nhiều nhất là (1/4)
k
.
Cũng nhƣ thuật toán Solovay–Strassen, xác suất sai độc lập với n. Ví dụ, nếu
chọn k = 25, thì Miller – Rabin rất có khả nẳng tìm ra một bằng chứng cho n là hợp số,
dù chỉ là một. Nếu nó không tìm đƣợc bằng chứng, thì xác suất n là nguyên tố với xác
suất sai là (1/4)
25
= 10
-15
.
Thuât toán mr-witness thực hiện với độ phức tạp thời gian O(log n), về bản chất
nó tính a
n-1
mod n bằng phƣơng pháp bình phƣơng liên tiếp. Nghĩa là độ phức tạp của
nó tƣơng đƣơng với thuật toán giả nguyên tố của kiểm tra Fermat, nhƣng kiêm tra
thiên về hợp số mạnh hơn. Thuật toán Miller–Rabin thực hiện mr-witness k lần, nên độ
phƣc tạp thời gian là O(k . logn). Kiểm tra Miller–Rabin cho khả năng phân loại sai là
(1/4)

k
với độ phức tạp O(k. log n).
Vì đây là thuật toán xác suất tìm số nguyên tố tốt nhất hiện này, nên trong luận
văn này xin trình bày một số ví dụ mình hoạ

Ví dụ 1: Lấy n = 91 = 7.13, n-1=90=2
1
.45, nên s=1. Chú ý 91 là hợp số
(a). Chọn ngẫu nhiên cơ sở a=10. Bắt đầu với b=10
45
mod 91 = 90. Do đó thuật
toán kết luận là số nguyên tố. Tuy nhiên , chúng ta biết rằng 91 không phải là số
nguyên tố, vậy 10 là một cơ sở cho kết luận sai.
(b). Chọn ngẫu nhiên cơ sở a=29. Bắt đầu với b=29
45
mod 91 = 1. Do đó thuật
toán lại trả về kết quả đúng (true), và 29 cũng là một cơ sở cho kết luận sai.
(c). Cuối cùng, chọn a=2 bắt đầu với b=2
45
mod 91 = 57. Ở đây thuật toán
không thể vào vòng lặp ( bởi vì s-1=0), thuật toán đến dòng 14, và từ đây cho kết quả
sai (false).
Vậy 91 đƣợc xác định là hợp số.
Ví dụ 2: Lấy n=101, n-1=100=2
2
.25, nên s=2. Chú ý 101 là số nguyên tố
(a). Giả sử a=17, có b=100, và thuật toán kết luận là số nguyên tố.
(b). Giả sử a=19, có b=1, và thuật toán kết luận là số nguyên tố.
(c). Giả sử a=29. Có b=91, nên vào vòng lặp. Tính b=91
2

mod 101, kết quả là
100, thuật toán kết luận là số nguyên tố.
(d). Giả sử a=3. Có b=10, nên vào vòng lặp. Tính b=10
2
mod 101, kết quả là
100, thuật toán kết luận là số nguyên tố.
Ở đây, 4 lần kiểm tra đều cho kết quả là số nguyên tố (với xác suất nào đó). Xác
suất sai cho cho kết quả là <= 1/4
4
= 1/256.
Vậy theo thuật toán thì 101 là số nguyên tố với xác suất là 1-1/256 = 0.9961.


1.1.2 Các tính toán trong Z
n
*
1.1.2.1 Tập hợp Zn và Zn *
Định nghĩa 1.7 (Khái niệm đồng dư)
Nếu a và b là các số nguyên thì a đƣợc gọi là đồng dƣ với b theo modulo (ký
hiệu là
nmodba 
) nếu
 
ban 
.
Số nguyên n đƣợc gọi là modulo đồng dƣ.
Ví dụ:
5mod924 
vì
5.3924 

7mod1711 
vì
7.41711 

Các tính chất:
Đối với
c,b,b,a,a
11
ta có:
(1)
 
nmodba 
nếu và chỉ nếu a và b cũng có phần dƣ khi chia cho n.
(2) Tính phản xạ :
 
nmodaa 
.
(3) Tính đối xứng : Nếu
 
nmodba 
thì
 
nmodab 

(4) Tính bắc cầu : Nếu
 
nmodba 
và

 
nmodcb 
thì

 
nmodca 

(5) Nếu
 
nmodaa
1

và
 
nmodbb
1

thì

 
nmodbaba
11

và
 
nmodb.ab.a
11


Lớp tƣơng đƣơng của một số nguyên a là tập các số nguyên đồng dƣ với a

modulo n. Từ các tính chất (2), (3) và (5) ở trên ta có thể thấy rằng đối với n cố định,
quan hệ đồng dƣ theo modulo n sẽ phân hoạch Z thành các lớp tƣơng đƣơng.
Nếu
rqna 
với
nr0 
thì
 
nmodra 
.
Bởi vậy mỗi số nguyên a là đồng dƣ theo modulo n với một số nguyên duy nhất
nằm trong khoảng từ 0 tới
1n
, số này đƣợc gọi là thặng dƣ tối thiểu của
nmoda
.
Nhƣ vậy a và r có thể đƣợc dùng để biểu thị cho lớp tƣơng đƣơng này.
Định nghĩa 1.8
Không gian Z
n
(các số nguyên theo modulo n) là tập hợp các số nguyên
{0,1,2,…,n-1}. Các phép toán trong Z
n
nhƣ cộng, trừ, nhân, chia đều đƣợc thực hiện
theo module n.
Ví dụ:
Z
11
= {0,1,2,3,…,10}
Trong Z

11
: 6 + 7 = 2, bởi vì 6 + 7 = 13 2 (mod 11).


Định nghĩa 1.9

Không gian Z
n
*

là tập hợp các số nguyên pZ
n
, nguyên tố cùng n.
Tức là: Z
n
*

= { p

Z
n
| gcd (n,p) =1}
)(n
là số phần tử của Z
n
*
.
Nếu n là một số nguyên tố thì: Z
n
*

= { p

Z
n
|1<= p <= n - 1}
Ví dụ:
Z
2
= {0,1} thì Z
2
*
= {1} vì gcd(1,2)=1.

1.1.2.2 Tính phần tử nghịch đảo trong Zn *
Thuật toán tính phần tử nghịch đảo trong Z
n
*

Vào :
n
Za

Ra :
nmoda
1
(nếu tồn tại).
(1) Dùng thuật toán Euclide mở rộng để tìm các số nguyên x và y sao cho
dnyax 
trong đó

 
n,ad 
.
(2) Nếu
1d 
thì
nmoda
1
không tồn tại. Ngƣợc lại
 
xreturn
.
Phép luỹ thừa theo modulo có thể đƣợc thực hiện có hiệu quả bằng thuật toán nhân và
bình phƣơng có lặp. Đây là một thuật toán rất quan trọng trong nhiều thủ tục mật mã.
Cho biểu diễn nhị phân của k là:


t
0i
i
i
2k
trong đó mỗi
 
1,0k
i

khi đó
     
t

t
i
kkk
t
i
i
k
k
aaaaa
222
0
2
1
1
0
0





1.1.2.3 Tính luỹ thừa trong Zn
Thuật toán nhân và bình phương có lặp để tính luỹ thừa trong Z
n
.
Vào :
n
Za
và số nguyên
 

nk0,k 
có biểu diễn nhị phân:



t
0i
i
i
2kk

Ra :
nmoda
k

(1) Đặt
1b 
. Nếu
0k 
thì
 
breturn

(2) Đặt
aA 
.
(3) Nếu
1k
0


thì đặt
ab 
.
(4)
dotto1fromiFor

4.1. Đặt
nmodAA
2

.
4.2. Nếu
1k
i

thì đặt
nmodb.Ab 

(5) Return (b)
Ví dụ: Bảng 2.2.1 sau chỉ ra các bƣớc tính toán
10131234mod5
596


i
0
1
2
3
4

5
6
7
8
9
i
k

0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
A
5
25
625
681
1011
369
421
779
947
925
b

1
1
625
625
67
67
1059
1059
1059
1013
Bảng 2.2.1: Tính
1234mod5
596


Số các phép toán bit đối với phép toán cơ bản trong
n
Z
đƣợc tóm lƣợc trong
bảng 2.2.2.
Phép toán
Độ phức tạp bit
Cộng module
ba 

 
nlg0

Trừ modulo
ba 

 
nlg0

Nhân modulo
b.a

 
 
2
nlg0

Nghịch đảo modulo
nmoda
1

 
 
2
nlg0

Luỹ thừa modulo
nk,nmoda
k


 
 
3
nlg0

Bảng 2.2.2: Độ phức tạp bit của các phép toán cơ bản trong
n
Z


1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ
1.2.1. Khái niệm: Nhóm, Vành, Trƣờng
1.2.1.1 Nhóm
Nhóm là cấu trúc bao gồm tập G và toán tử hai ngôi * trên G.
Với a, b

G, a * b

G đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(1) Tính chất kết hợp: a * (b * c) = (a * b) * c với mọi a, b, c

G
(2) Tồn tại phần tử trung hòa e

G thỏa mãn e * a = a * e = a với mọi a

G.
(3) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a

G, tồn tại duy nhất phần tử b

G thỏa mãn
b * a = a * b = e
Ký hiệu

,*G
là nhóm nhân và
,G
là nhóm cộng. Trong nhóm cộng, phần tử
trung hòa là 0 và phần tử nghịch đảo của a là –a. Trong nhóm nhân, phần tử trung hòa
là 1 và phần tử nghịch đảo của a là a
-1
.
,*G
đƣợc gọi là nhóm Abel nếu a * b = b * a với mọi a, b thuộc G.
Giả
,*G
là nhóm và H là tập con của G. Cấu trúc
,H
đƣợc gọi là nhóm con
của
,*G
nếu

là một thu hẹp của * tới H x H và
,H
là một nhóm.
Nếu
,*G
là nhóm hữu hạn thì số các phần tử của
,*G
đƣợc gọi là bậc của G
và ký hiệu là |G|. Nếu
,*G
là nhóm nhân hữu hạn, bậc của một phần tử a


G là số
nguyên dƣơng nhỏ nhất m thỏa mãn a
m
= 1. Trong nhóm nhân, với mọi phần tử thuộc
nhóm, m luôn tồn tại.
Định lý 1.10
,*G
là nhóm nhân hữu hạn bậc n. Nếu bậc của phần tử a

G là m thì
a
k


1 khi và chỉ khi m|k
Chứng minh
Nếu k = mq, thì a
k
= (a
m
)
q
=1. Ngƣợc lại, k = mq + r,
mr 0
.
Khi đó a
r
= a
k

. (a
-1
)
mq
= 1. Vì vậy, r phải bằng 0.
Hệ quả
Nếu
,*G
là nhóm nhân hữu hạn bậc n, thì:
(1) Với mọi a

G, a
n
= 1.
(2) Bậc của mọi phần tử a

G chia hết cho |G|.
Nếu a

G có bậc m thì H = {a
k
| k

Z }là nhóm con của G và có bậc m. Nếu
G có một phần tử a có bậc n = |G| thì G = {a
k
| k

Z} và G đƣợc gọi là một nhóm
cylic, a đƣợc gọi là phần tử sinh của G.

Ví dụ, tập hợp Z
n
= {0, 1, 2,…, n – 1} là một nhóm cylic bậc n với toán tử cộng
modulo n.
Định lý 1.11 (Euler)
Với a, m

Z thỏa mãn gcd(a, m) = 1,
1
)(

 m
a
mod m
Chứng minh
Theo định lý 1.1 G
m
= {a

Z
m
| gcd(a, m) = 1} tạo thành nhóm nhân bậc ф(m).
Định lý 1.12 (Fermat)
Cho p là số nguyên tố và a

Z. Khi đó, ta có:
(1) a
p-1


1 mod p, nếu p a.
(2) a
p


a mod p
Chứng minh
(1) Vì ф(p) = p – 1 nên đây là trƣờng hợp đặc biệt của định lý Euler.
(2) Dễ dàng thấy nếu a

0 mod p là hiển nhiên, ngƣợc lại theo (1).
1.2.1.2 Vành
Vành là tập R với phép tính cộng (+) và nhân (.) thỏa mãn các điều kiện sau:
1.
,R
là nhóm Abel.
2. a . (b . c) = (a . b) . c với mọi a, b, c

R.
3. a . (b + c) = a . b + a . c và (a + b) . c = a . c + b . c với mọi a, b, c

R.
1.2.1.3 Trường
Trƣờng F là vành với phần tử đơn vị e

0 và F* = {a

F | a


0 } là một nhóm nhân.
Định lý 1.13
Vành Z
p
là một trƣờng khi và chỉ khi p là số nguyên tố.
Chứng minh
Với a, b

Z, ta có: p là số nguyên tố

p|ab tức là p|a hoặc p|b
Nếu Z
p
là trƣờng thì
*
p
Z
tạo thành nhóm nhân. Nếu p a thì a

0 mod p.
Điều này nghĩa là a
*
p
Z
và tồn tại a
-1
. Do đó nếu p|ab và p a thì p|(ab)
-1
= b.
Vậy p là số nguyên tố.