Mã lưới cho kênh Fading Rayleigh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ




TRƯƠNG MINH CHÍNH






MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH



LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội, 2010
i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
TRƯƠNG MINH CHÍNH
MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH
Lattice coding for Rayleigh fading channels
Ngành: Công nghệ Điện tử - Viễn thông
Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử
Mã số: 60.52.70
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN LINH TRUNG
Hà Nội, 10/2010
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS. Nguyễn Linh Trung, người đã
hướng dẫn tôi tận tình, chu đáo trong quá trình thực hiện luận văn. Sự chỉ bảo tận tâm
của thầy đã mang lại cho tôi hệ thống các phương pháp, kiến thức cũng như kỹ năng hết
sức quý báu để có thể hoàn thiện đề tài một cách tốt nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, quí thầy giáo, cô giáo ở
phòng Đào tạo Sau đại học và thầy giáo, cô giáo khoa Điện tử viễn thông, trường đại học
Công nghệ, đặc biệt là các thầy giáo Bộ môn Xử lý thông tin, khoa Điện tử viễn thông -
những người mà trong thời gian qua đã dạy dỗ, truyền thụ kiến thức khoa học, giúp tôi
từng bước trưởng thành.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, khoa Vật lý, khoa Sư phạm

Kỹ thuật và phòng Kế hoạch Tài chính trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế đã hỗ trợ
tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn những người thân, gia đình và bạn bè - những người đã hỗ
trợ tôi rất nhiều về cả vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể học tập đạt kết quả tốt và thực
hiện thành công luận văn này.
Luận văn này nằm trong khuôn khổ và được hỗ trợ bởi đề tài nghiên cứu khoa học
số QG.10.44 cấp ĐHQG Hà Nội.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010
Trương Minh Chính
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn do tôi thực hiện. Những kết quả từ những tác giả trước
mà tôi sử dụng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng, cụ thể. Không có bất kỳ sự
không trung thực nào trong các kết quả tính toán.
Nếu có gì sai trái, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010
Học viên
Trương Minh Chính
iv
TÓM TẮT
Nhiệm vụ chính của luận văn là tìm hiểu về mã lưới cho kênh fading Rayleigh, cụ
thể là tìm hiểu về các chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới (lattice constellation) cho kênh
fading Rayleigh đơn antenna và mã Space - Time Blocks Code (STBC) hoàn hảo cho
kênh fading Rayleigh MIMO.
Luận văn đi vào tìm hiểu mô hình kênh fading Rayleigh đơn antenna và fading
Rayleigh MIMO, các tiêu chí trong thiết kế mã lưới, cơ sở toán học của thiết kế mã lưới
(Algebraic Number Theory và Cyclic Division Algebras) và xây dựng mã lưới cho kênh
fading Rayleigh đơn antenna, mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO. Đối với những chòm
sao tín hiệu cấu trúc lưới, giải mã hình cầu trên cơ sở giải mã hợp lẽ cực đại (Maximum

Likelihood) là một phương thức giải mã tốt. Luận văn đã thực hiện mô phỏng mã Golden
(là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO 2 ×2) và mô phỏng so sánh giải
mã hình cầu và giải mã hợp lẽ cực đại.
Bên cạnh, luận văn còn thực hiện một mục tiêu phụ là bước đầu tìm hiểu về tiền
mã hóa tuyến tính (linear precoding) với hy vọng tìm thấy mối quan hệ giữa kỹ thuật tiền
mã hóa tuyến tính và kỹ thuật STBC để từ đó có thể có những hướng phát triển mới.
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ii
LỜI CAM ĐOAN iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT 4
DANH SÁCH HÌNH VẼ 5
GIỚI THIỆU 6
1 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH 8
1.1 Mô hình hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
1.4.2 Thuật toán giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH MIMO 23
2.1 Mô hình kênh MIMO fading Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Các tiêu chí thiết kế mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO . . . . . . . . . 24

2.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Các tiêu chí khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Xây dựng mã STBC hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Cách xây dựng mã STBC hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Mã Golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 3 ×3 antenna . . . . . . . . . . . 30
2.3.4 Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 4 ×4 antenna . . . . . . . . . . . 32
2.4 Giải mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Tính toán mô phỏng mã golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Tính toán các tham số mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Mô phỏng mã Golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO 40
3.1 Cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Cấu trúc của bộ lập mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Cấu trúc thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Thiết kế tiền mã hóa tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Một số vấn đề cần bàn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
PHỤ LỤC A. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI 48
PHỤ LỤC B. GIẢI MÃ HÌNH CẦU BẰNG MATLAB 61
3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
N Tập hợp số tự nhiên
Z Tập hợp số nguyên
Q Tập hợp số hữu tỉ
R Tập hợp số thực
C Tập hợp số phức
O

K
Vành O của trường số K
R Phần thực của một số phức
J Phần ảo của một số phức
4
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Danh mục các cụm từ viết tắt
STT
Cụm từ
Cụm từ đầy đủ Nghĩa tiếng Việt
viết tắt
1 BER Bit Error Rate Tỷ lệ lỗi bit
2 CSI Channel State Information Thông tin về tình trạng kênh
3 CSIT Channel State Information
at the Transmitter
Thông tin về tình trạng kênh được biết
tại phía phát
4 ML Maximum Likelihood Hợp lẽ cực đại
5 MIMO Mutilple input - multiple
output
Nhiều đầu vào - nhiều đầu ra
6 QAM Quadrature Amplitude
Modulation
Điều chế biên độ vuông góc
7 SNR Signal to Noise Ratio Tỷ số tín hiệu trên nhiễu
8 ST Space - Time Không gian - thời gian
9 STBC Space - Time Blocks Code Mã khối không gian - thời gian
5
DANH SÁCH HÌNH VẼ
1.1 Mô hình kênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Mô hình hệ thống truyền dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Hình cầu bao gồm những điểm phải đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Hình cầu chuyển thành hình elipsoid trong miền lưới nguyên . . . . . . . . 20
1.5 Hình elipsoid với tọa độ nguyên có thể đếm được . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Lưu đồ thuật toán giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Mô phỏng mã Golden cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2 ×2 . . . . . 38
2.2 So sánh giải mã hình cầu và giải mã ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Cấu trúc hệ thống khai thác CSIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Cấu trúc mã hóa hợp kênh không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Cấu trúc STBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6
GIỚI THIỆU
Các chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới nhiều chiều với độ phân tập điều chế (modulation
diversity) cao đã được nghiên cứu nhiều và được đánh giá là phù hợp cho quá trình truyền
thông tin qua hệ thống đơn antenna fading Rayleigh. Những công trình nghiên cứu đầu
tiên về chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới (sau đây gọi tắt là chòm sao lưới) cho kênh fading
[1, 2] được xây dựng trên trường số đại số khai thác độ phân tập điều chế với giả thiết
thông tin về tình trạng kênh (CSI - Channel State Information) là được biết ở phía thu.
Tuy nhiên, những chòm sao lưới này, với đánh giá là tốt trong môi trường fading, lại có
nhược điểm là thủ tục gán nhãn bit phức tạp. Để tránh vấn đề này, những công trình
tiếp sau tập trung vào việc tìm ra những chòm sao lưới đảm bảo độ phân tập điều chế và
là phiên bản quay của lưới Z
n
[3, 4]. Như vậy là cùng với sự ra đời của các kiểu thiết kế
chòm sao lưới đối với kênh fading Rayleigh trong hệ thống không dây, các tiêu chí thiết
kế và các công cụ thiết kế dần được nâng cấp và hoàn thiện.
Trong những năm gần đây, nhu cầu truyền dẫn tốc độ cao qua hệ thống không dây
đã thành động lực cho việc nghiên cứu các hệ thống truyền thông không dây sử dụng
nhiều antenna ở cả phía phát và phía thu (MIMO). Với mong muốn nâng cao hiệu suất

của hệ thống MIMO, những chiến lược mã hóa và tiền mã hóa cho các kênh MIMO đã
được nghiên cứu nhiều, và hiện nay MIMO vẫn là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn đối với
những người nghiên cứu về kỹ thuật không dây. Các chòm sao lưới cũng được nghiên cứu
để phát triển và áp dụng cho hệ thống MIMO.
Mục tiêu chính của đề tài là tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna
và fading Rayleigh MIMO.
Bên cạnh, đề tài còn có một nhiệm vụ có tính chất mở là tìm hiểu về tiền mã hóa
tuyến tính (linear precoding) cho kênh MIMO. Đây cũng là một kỹ thuật nhằm khai thác
7
CSI, mục đích và tiêu chí thực hiện tiền mã hóa tuyến tính có những điểm tương đồng
với kỹ thuật mã hóa STBC.
Luận văn gồm 3 chương, nội dung cụ thể như sau:
Chương 1 trình bày chi tiết mô hình kênh, các tiêu chí trong thiết kế mã lưới và
thiết kế mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna. Một phần rất quan trọng của
chương 1 là trình bày về giải mã hình cầu (sphere decoder), là một hình thức giải mã trên
cơ sở Maximum Likelihood (ML), một đặc trưng và là ưu điểm của mã lưới.
Chương 2 mở rộng chương 1 về mã lưới cho kênh fading Rayleigh MIMO và trình
bày về Space - Time Blocks Code (STBC) hoàn hảo cho kênh MIMO fading Rayleigh.
Kết cấu của chương 2 tương tự như chương 1 bao gồm: mô hình hệ thống, các tiêu chí
cho việc thiết kế STBC hoàn hảo và việc thiết kế STBC hoàn hảo từ công cụ đại số vòng
chia được (Cyclic Division Algebras). Phần giải mã trình bày cách biến đổi STBC về cấu
trúc lưới để có thể sử dụng giải mã hình cầu như đã trình bày ở chương 1. Phần cuối
của chương 2 trình bày việc tính toán các tham số mô phỏng và kết quả mô phỏng mã
Golden, là mã STBC hoàn hảo cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2 ×2.
Chương 3 trình bày tổng quan về kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính. Đây là một kỹ
thuật nhằm khai thác CSI, tác động vào tín hiệu đã mã hóa trước khi phát sao cho phù
hợp với CSI có được ở phía phát. Kỹ thuật tiền mã hóa nói chung và tiền mã hóa cho
STBC nói riêng cũng đã được nghiên cứu nhiều [5, 6]. Tuy nhiên các công trình nghiên
cứu tiền mã hóa tuyến tính đã thực hiện với giả thiết sau khi đã có mã STBC, xem chúng
là hai quá trình độc lập. Phần cuối của chương gợi ra một số hướng cho sự phát triển của

đề tài.
Phần phụ lục A trình bày cơ sở toán học của mã lưới và mã STBC hoàn hảo, cụ
thể là lý thuyết số đại số (Algebraic Number Theory) và đại số vòng chia được (Cyclic
Division Algebras).
Phần phụ lục B là đoạn chương trình Matlab thực hiện giải mã hình cầu.
8
Chương 1
MÃ LƯỚI
CHO KÊNH FADING RAYLEIGH
Chương này trình bày việc xây dựng mã lưới cho hệ thống truyền thông tin qua
kênh fading Rayleigh, 1 antenna phát và 1 antenna thu. Phần 1.1 trình bày về mô hình
kênh fading Rayleigh. Phần 1.2 trình bày các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới. Phần 1.3
trình bày thiết kế mã lưới từ trường vòng và phần cuối cùng trình bày về giải mã hình
cầu (sphere decoder), đây là một đặc trưng và là lợi thế của mã lưới. Các khái niệm toán
học liên quan được trích dẫn trong phần phụ lục A.
1.1 Mô hình hệ thống
Giả sử mô hình kênh không dây là một kênh fading phẳng Rayleigh độc lập [1, 2, 7].
Giả thiết rằng thông tin về tình trạng kênh (Channel State Information) được biết tại
phía thu và không có sự xuất hiện của nhiễu xuyên ký hiệu. Mô hình rời rạc theo thời
gian của kênh như sau:
r

= α

x + n

, (1.1)
trong đó x là một ký hiệu (symbol) từ tập hợp tín hiệu phức, n

là nhiễu Gauss trắng

phức và α

là hệ số fading phức theo phân bố Gauss trung bình 0 (hình 1.1). Các hệ số
fading đối với một ký hiệu được giả thiết là độc lập đối với các ký hiệu tiếp theo.
Vì phía thu biết được CSI nên các pha ϕ của các hệ số fading α

= |α|e
iϕ
có thể
được loại bỏ, do đó ta có:
r = αx + n, (1.2)
9


Receiver

Channel

Transmitter
x r

α

, n

α

1
Hình 1.1: Mô hình kênh [7]
trong đó α =



α



là hệ số fading thực theo phân bố Rayleigh và n = n

e
−jϕ
vẫn là nhiễu
Gauss trắng phức. Với mô hình (1.2), ta có thể giả sử rằng x ∈ R và n là biến ngẫu nhiên
thực và các hệ số fading là độc lập giữa một ký hiệu thực được phát và ký hiệu tiếp theo.
Khi xem xét quá trình truyền dẫn mã, mỗi từ mã là một vector thực n chiều
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) được lấy ra từ chòm sao tín hiệu hữa hạn S ⊆ R
n
. Mỗi thành phần
vector bị ảnh hưởng bởi một hệ số fading thực độc lập.
Xét hệ thống truyền dẫn như hình vẽ (1.2): Bộ ánh xạ (mapper) kết hợp một bộ


Information
bits

Lattice
Encoder
*
+

ML
Detection

Bit mapper
u
M
x
α
n
r
α
ˆx, ˆu
Hình 1.2: Mô hình hệ thống truyền dẫn [7]
các bit đầu vào với một điểm u ∈ Z
n
. Tiếp theo đó u được ánh xạ đến một điểm x sử
dụng mã hóa lưới.
Như vậy, x thuộc chòm sao tín hiệu n chiều S lấy ra từ tập hợp các điểm lưới
10
Λ = {x = uM}, trong đó u là một vector nguyên, M là ma trận sinh của lưới.
Các điểm chòm sao được phát qua kênh fading Rayleigh độc lập như đã mô tả ở
phần trước:
r = xH + n, (1.3)
trong đó r = (r
1

, r
2
, , r
n
) là điểm thu được; n = (n
1
, n
2
, , n
n
) là vector nhiễu, có các
thành phần thực n
i
là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss với trung bình 0 và
phương sai bằng N
0
, H là ma trận fading kênh có dạng đường chéo H = diag (α
1
, α
2
, , α
n
),
với α
i
giá trị thực là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Rayleigh với moment bậc hai
bằng 1.
Với giả thiết CSI được biết tại phía thu, giải mã trên cơ sở hợp lẽ tối đa (Maximum
Likelihood - ML) yêu cầu tối thiểu hóa độ đo sau:
m (x |r, α) =

n

1
|r
i
− α
i
x
i
|
2
(1.4)
Nói cách khác, điểm giải mã
ˆ
x phải thỏa mãn:
ˆ
x = arg min
x∈S
r −xH
2
= arg min
x

∈S




r −x





2
(1.5)
trong đó S

= HS.
Việc tối thiểu hóa (1.5) là một phép toán có độ phức tạp cao đối với một chòm sao
tín hiệu bất kỳ, với số lượng nhiều điểm. Trong trường hợp của chúng ta là mã lưới, một
thuật toán giải mã dựa trên ML hiệu quả hơn đó là giải mã hình cầu mà chúng ta sẽ bàn
tiếp trong phần cuối của chương này.
1.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới
Việc xây dựng các tiêu chí cho thiết kế mã lưới được xem xét trên cơ sở xác suất lỗi
cặp và hình dạng của chòm sao tín hiệu.
1.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp
Để đưa ra các tiêu chí cho việc thiết kế mã cho hệ thống như đã đề cập ở phần
trước, trước hết chúng ta ước lượng xác suất lỗi của nó [1, 8].
11
Ký hiệu P
e
(S) là xác suất lỗi khi phát một điểm của chòm sao tín hiệu hữu hạn S,
và P (x →
ˆ
x) là xác suất lỗi cặp, đây là xác suất mà khi x được phát, điểm nhận được
gần với
ˆ
x hơn so với x theo độ đo đã xác định trong công thức (1.4).
Đối với một chòm sao tín hiệu S bất kỳ, với |S| là số phần tử của chòm sao, ta có:
P

e
(S) =
1
|S|

x∈S
P
e
(S|x)
Công thức này có thể đơn giản hơn nhiều trong trường hợp mã lưới. Vì một lưới vô
hạn là đồng dạng hình học, chúng ta có thể viết một cách đơn giản xác suất lỗi khi phát
một điểm thuộc lưới P
e
(Λ) = P
e
(Λ|x) cho bất kỳ điểm x ∈ Λ được phát. Giả sử rằng S
là một chòm sao hữu hạn lấy ra từ Λ, ta có:
P
e
(S) ≤ P
e
(Λ) =

ˆ
x=x
P (x →
ˆ
x) ≤

ˆ

x=x
P (x →
ˆ
x)
Tức là, xác suất của hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc bằng tổng các xác suất của các biến
cố thành phần.
Trước hết, chúng ta đưa ra biên trên của xác suất lỗi có điều kiện P (x →
ˆ
x|α). Một
lỗi xuất hiện, trong khi giải mã với quy tắc ML, nếu điểm nhận được r gần với
ˆ
x hơn x.
Có nghĩa là, m (
ˆ
x|r, α) ≤ m (x|r, α). Xác suất lỗi cặp có điều kiện là:
P (x →
ˆ
x|α) = P

n

i=1
|r
i
− α
i
ˆx
i
|
2

≤
n

i=1
|r
i
− α
i
ˆx
i
|
2
|x

= P

n

i=1
|α
i
(x
i
− ˆx
i
) + n
i
|
2
≤

n

i=1
|n
i
|
2

= P

n

i=1
α
2
i
(x
i
− ˆx
i
)
2
+ 2
n

i=1
α
i
(x
i

− ˆx
i
) n
i
≤ 0

Đặt χ =
n

i=1
α
i
(x
i
− ˆx
i
) n
i
là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gauss n
i
.
Ta có χ là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình bằng 0 và phương sai bằng:
σ
2
χ
= N
0
n

i=1

α
i
(x
i
− ˆx
i
)
2
.
Cho A =
1
2
n

i=1
α
i
(x
i
− ˆx
i
)
2
là hằng số. Chúng ta có thể viết xác suất lỗi cặp có điều
kiện theo χ và A.
P (x →
ˆ
x|α) = P (χ ≥ A) = Q (A/σ
χ
) ,

12
trong đó hàm Q (x) được định nghĩa bởi Q (x) = (2π)
−1

∞
x
exp

−t
2
/2

dt. Vì Q (x) bị
chặn trên với
1
2
exp

−x
2
/2

, xác suất lỗi cặp có điều kiện trở thành:
P (x →
ˆ
x|α) ≤
1
2
exp


−
A
2
2σ
2
χ

=
1
2
exp

−
1
8N
0
n

i=1
α
i
(x
i
− ˆx
i
)
2

Xác suất lỗi cặp được tính bằng trung bình P (x →
ˆ

x|α) qua hệ số fading α:
P (x →
ˆ
x) =

∞
0
P (x →
ˆ
x|α) P (α) dα ≤
1
2

∞
0
exp

−
1
8N
0
n

i=1
α
i
(x
i
− ˆx
i

)
2

P (α) dα,
Thay P (α) dα = P (α
1
) . . . P (α
n
) dα
1
. . . dα
n
, trong đó P (α
i
) = 2α
i
e
−α
2
i
là phân
bố Rayleigh chuẩn, vào biểu thức cuối cùng chúng ta thu được:
P (x →
ˆ
x) ≤
1
2
n

i=1


∞
0
exp

−
1
8N
0
n

i=1
α
i
(x
i
− x
i
)
2

P (α
i
) dα
i
=
=
1
2
n


i=1

∞
0
2α
i
exp

−C
i
α
2
i

dα
i
trong đó C
i
= 1 +
(x
i
− ˆx
i
)
2
8N
0
Tính tích phân ta được:
P (x →

ˆ
x) ≤
1
2
n

i=1
1
1 +
(x
i
− ˆx
i
)
2
8N
0
(1.6)
Đối với trường hợp tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SNR) lớn thì:
P (x →
ˆ
x) ≤
1
2
n

x
i
=ˆx
i

1
(x
i
− ˆx
i
)
2
8N
0
=
1
2
(8N
0
)

d

p
(x, ˆx)
2
(1.7)
trong đó d

p
(x,
ˆ
x) =

x

i
=ˆx
i
|x
i
− ˆx
i
| là khoảng cách (− product distance) giữa x và
ˆ
x khi
hai điểm khác nhau  thành phần
P
e
(S) ≤
n

=L
1
2
(8N
0
)

d

p
(x, ˆx)
2
. (1.8)
Trong (1.8), L là số thành phần khác nhau nhỏ nhất của hai điểm bất kỳ thuộc chòm sao

và được gọi là độ phân tập điều chế (modulation diversity) hay bậc phân tập (diversity
order) của chòm sao lưới.
Để hạn chế biên trên của bất đẳng thức (1.8), các tiêu chí của chúng ta là tối đa
hóa L và và d
p,min
(với d
p,min
= min d
(L)
p
).
13
1.2.2 Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới
Để thiết kế chòm sao lưới, hai hoạt động quan trọng là tạo nhãn bit (bit labelling)
và tạo hình dạng chòm sao (constellation shaping). Hai vấn đề này có quan hệ chặt chẽ
với nhau và có sử thỏa hiệp giữa độ phức tạp và hiệu suất thực hiện.
Quá trình gán nhãn bit bao gồm quá trình ánh xạ các bit đầu vào với một điểm
thuộc chòm sao tín hiệu. Nếu chúng ta muốn tránh sử dụng một bảng tìm kiếm (look-up
table) lớn để thực hiện gán nhãn bit thì chúng ta cần một thuật toán đơn giản hơn để
kết hợp các bit với các điểm tín hiệu.
Trong quá trình thiết kế chòm sao lưới cho kênh fading, các chòm sao có hình khối
là một lựa chọn tối ưu trong nghĩa là lưới thiết kế là một phiên bản quay của lưới Z
n
[3, 7].
1.3 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh
1.3.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh
Trong phần trước, chúng ta đã xét các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới, cụ thể như
sau:
1. Tối đa hóa bậc phân tập L.
2. Tối đa hóa giá trị d

p,min
= min

d
(L)
p
(x,
ˆ
x)

3. Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Z
n
.
Ta xây dựng lưới thỏa mãn các tiêu chí trên thông qua trường số đại số. Điều này
xuất phát từ những cơ sở và phương thức thực hiện như sau:
1. Tối đa hóa bậc phân tập L: Xây dựng lưới đại số thực trên vành O
K
, do lưới đại
số xây dựng trên trường số thực có bậc phân tập lớn nhất L = n, với n là bậc của
trường số K. (xem Định lý 9 phần Phụ lục A). Từ cơ sở nguyên thuộc O
K
, nhúng
vào R
n
qua phép nhúng chính tắc để nhận được một lưới đại số. (xem Định nghĩa
27, Phụ lục A).
14
2. Tối đa hóa d
p,min
: Để đánh giá tiêu chí về d

p,min
, ta xây dựng lưới từ một ideal thuộc
vành O
K
, vì ideal của vành O
K
cũng có cơ sở nguyên n thành phần (xem Định lý
10, Phục lục A). Đặc biệt trong trường hợp lưới sinh ra từ cơ sở nguyên của một
ideal chính (ideal được sinh ra từ một phần tử) của vành O
K
thì d
p,min
của lưới có
thể được tính một cách tường minh và chỉ phụ thuộc vào d
K
. (Xem Định nghĩa và
Tính chất của ideal chính của một vành, Phụ lục A). Do đó ta phải tối thiểu hóa
biệt thức của trường số d
K
. (xem Định nghĩa 25, Phụ lục A).
3. Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Z
n
: Với một giá trị n cho trước, chúng
ta phải xác định một trường số K bậc n và một ideal I ⊆ O
K
sao cho lưới Λ = (I, q
β
)
là tương đương với Z
n

. (xem Định nghĩa 31, Phụ lục A). Một phiên bản tỷ lệ của
Z
n
có dạng: (
√
cZ)
n
, c ∈ Z, do đó định thức của lưới này là det (G) = c
n
.
Ta lại có: (Công thức (8), Phụ lục A)
det (Λ) = N (β) N (I)
2
|d
K
|
Do đó:
N (β) N (I)
2
|d
K
| = c
n
(1.9)
Như vậy, ta phải xác định β thỏa mãn (1.9).
1.3.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng
Phần này trình bày tổng quát việc xây dựng mã lưới từ trường vòng (xem [7]) Q (ζ
p
),
trong đó ζ = ζ

p
= e
−2iπ/p
là căn bậc p của đơn vị, và quan tâm đến trường hợp p ≥ 5
[7, 8]. Bậc của Q (ζ
p
) trên Q là (p −1). Trường K = Q

ζ
p
+ ζ
−1
p

là một trường con của
Q (ζ
p
), được sinh ra bởi phần tử ζ
p
+ ζ
−1
p
= 2 cos (2π/p). Đây là trường thực và có bậc
trên Q là n = (p −1) /2 và biệt thức của nó được xác định bằng:
d
K
= p
(p−3)/2
(1.10)
Trường K có vành nguyên là O

K
= Z

ζ
p
+ ζ
−1
p

.
Một cơ sở nguyên của K được xác định như sau:

e
j
= ζ
j
p
+ ζ
−j
p

n
j=1
. Có n phép
nhúng của K vào C được xác định là:
σ
k
(e
j
) = ζ

kj
p
+ ζ
−kj
p
(1.11)
15
Điều kiện cần để có được một lưới ideal Z
n
là tìm một phần tử β thỏa mãn:
N (β) p
(p−3)
2
= c
n
= p
(p−1)
2
(1.12)
Phần tử β = (1 −ζ
p
)

1 −ζ
−1
p

có N (β) = p.
Định lý sau chỉ ra rằng, với việc sử dụng thành phần này, chúng ta hoàn toàn có
thể xây dựng lưới Z

n
.
Định lý 1.1.
Cho K = Q

ζ
p
+ ζ
−1
p

và β = (1 −ζ
p
)

1 −ζ
−1
p

thì Λ =

O
K
,
1
p
q
β

tương đương

với Z
n
, trong đó q
β
= Tr (βxy)
Ta chứng minh định lý này bằng cách tính trực tiếp:
Ta có:
β = (1 −ζ
p
)

1 −ζ
−1
p

= 2 −

ζ
p
+ ζ
−1
p

(1.13)
σ
j
(ζ
p
) và σ
j

= σ
j
(β) với j = 1, . . . , n là các liên hiệp của ζ
p
và β.
Tr

ζ
k
p
+ ζ
−k
p

=
n

j=1
σ
j

ζ
k
p
+ ζ
−k
p

= −1, ∀k = 1, . . . , n (1.14)
Sử dụng (1.14) ta có:


n
j=1
β
j
σ
j

ζ
k
p
+ ζ
−k
p

=

n
j=1

2 −σ
j

ζ
p
+ ζ
−1
p

σ

j

ζ
k
p
+ ζ
−k
p

= −2 −

n
j=1
σ
j

ζ
k+1
p
+ ζ
−k−1
p
+ ζ
−k+1
p
+ ζ
k−1
p

=




−p nếu k = ±1
0 khác
(1.15)
Chúng ta tính tiếp q
β
(e
i
e
j
) với i = j và i = j sử dụng (1.14) và (1.15):
q
β
(e
i
e
i
) =

n
j=1
β
j
σ
j

ζ
2i

p
+ ζ
−2i
p
+ 2

=

n
j=1
β
j
σ
j

ζ
2i
p
+ ζ
−2i
p

+ 2

n
j=1

2 −σ
j


ζ
p
+ ζ
−1
p

=



p nếu i = n
2p khác
q
β
(e
i
e
j
) =

n
k=1
β
k
σ
k

ζ
i+j
p

+ ζ
−(i+j)
p

+

n
k=1
β
k
σ
k

ζ
i−j
p
+ ζ
−(i−j)
p

=



−p nếu |i −j| = 1
0 khác
16
Với kết quả trong phần chứng minh trên, ta suy ra ma trận của q
β
trong cơ sở {e

1
, . . . , e
n
}
là:














2 −1 0 . . . 0
−1 2 −1
.
.
.
0 −1 2
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−1 0
.
.
.
.
.
.
−1 2 −1
0 . . . 0 −1 1















(1.16)
Ma trận này mà một đồng hình của ma trận đơn vị, ta có thể kiểm tra điều này bằng
cách chọn cơ sở mới {e

1
, . . . , e

n
} mà e

n
= e
n
và e

j
= e
j
+ e

j+1
, j = 1, . . . , n, ma trận trên
trở thành ma trận Gram của lưới Z
n
.
Ma trận chuyển đổi cơ sở từ e
j

sang e

j
là:
T =











1 1 . . . 1 1
0 1 1 . . . 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 1 1
0 0 . . . 0 1












(1.17)
Như vậy, lưới Z
n
tương ứng thu được như sau:
Lưới sinh ra bởi vành nguyên có ma trận sinh n × n, trong đó n là số phép nhúng
trường K:
M
k,j
= σ
k
(e
j
) = ζ
kj
p
+ ζ
−kj
p
= 2 cos


2πkj
p

Thành phần β biểu diễn dưới dạng ma trận đường chéo:
A = diag


σ
k
(β)

Kết quả cuối cùng, ma trận sinh của lưới Z
n
quay là:
R =
1
√
p
T MA
Ta có: d
p,min
= p
−
n−1
2
.
17
1.4 Giải mã hình cầu
1.4.1 Tổng quan
Giải mã hình cầu [7, 9, 10] là phương thức giải điều chế trên cơ sở ML cho các chòm

sao tín hiệu lưới bất kỳ. Nó giải quyết vấn đề điểm lưới gần nhất: tức là tìm các điểm lưới
gần nhất với một điểm nhận được.
Vấn đề có tính chất chìa khóa tạo nên tính hiệu quả của giải mã hình cầu là số
lượng các điểm lưới tìm thấy trong một hình cầu nhỏ hơn rất nhiều so với số lượng điểm
trong hình lập phương chứa hình cầu này.
Để tránh liệt kê tất cả các điểm của chòm sao tín hiệu, thuật toán giải mã lưới tìm
trong các điểm thuộc lưới Λ những điểm nằm trong hình cầu với bán kính
√
C cho trước,
tâm tại mỗi điểm nhận được. Sau đó, chỉ tính độ đo đối với những điểm thuộc hình cầu
này.
Những bước chủ yếu của thuật toán này là:
1. Thiết lập điểm gốc tại điểm nhận được r.
2. Xét lưới Λ = {x = uM|u ∈ Z
n
}.
3. Định nghĩa hàm Q (u) = x
2
= xx
T
= uGu
T
trong đó G = MM
T
là ma trận
Gram của lưới.
4. Tìm tất cả các điểm trong hình cầu bán kính
√
C bằng cách giải bất đẳng thức:
Q (u) ≤ C

5. Chọn x thỏa mãn min r −x
2
1.4.2 Thuật toán giải mã hình cầu
Chúng ta xem lưới Λ như là kết quả của phép biến đổi tuyến tính. Vấn đề đặt ra là
phải giải phương trình:
min
x∈Λ
r −x
2
= min
w∈r−Λ
w
2
(1.18)
Điều này có nghĩa là: Vì lưới Λ là kết quả của biến đổi tuyến tính nên r −Λ cũng là một
lưới và chúng ta phải xác định vector w ngắn nhất thuộc lưới này.
18
Ta có: x = uM với u ∈ Z
n
.
Đặt: r = ρM với ρ = (ρ
1
, . . . , ρ
n
) ∈ R
n
w = ξM với ξ = (ξ
1
, . . . , ξ
n

) ∈ R
n
Ta có w =

n
i=1
ξ
i
v
i
trong đó v
i
là các vector cơ sở của lưới và ξ
i
= ρ
i
− u
i
, i =
1, . . . , n là sự dịch chuyển các trục tọa độ.
Hình cầu bán kính
√
C, tâm tại điểm nhận được được biến đổi thành hình ellipsoid
với tâm lại gốc của hệ tọa độ mới được xác định bằng ξ:
w
2
= Q(ξ) = ξMM
T
ξ
T

= ξGξ
T
=
n

i=1
n

j=1
g
ij
ξ
i
ξ
j
≤ C. (1.19)
.
Phân tích Cholesky ma trận Gram G = MM
T
đưa ra G = R
T
R, trong đó R là ma
trận tam giác trên, đo đó:
Q(ξ) = ξR
T
Rξ
T
= Rξ
T


2
=
n

i=1
(r
ii
ξ
i
+
n

j=i+1
r
ij
ξ
j
)
2
≤ C. (1.20)
Thế q
ii
= r
2
ii
với i = 1, . . . , n và q
ij
= r
ij
/r

ii
với i = 1, . . . , n, j = i + 1, . . . , n, ta có
thể viết lại như sau:
Q(ξ) =
n

i=1
q
ii
(ξ
i
+
n

j=i+1
r
ij
ξ
j
)
2
=
n

i=1
q
ii
U
2
i

≤ C, (1.21)
trong đó, hệ tọa độ mới được định nghĩa là:
U
i
= ξ
i
+
n

j=i+1
r
ij
ξ
j
, i = 1, . . . , n, (1.22)
xác định một elipsoid với hình dạng chính tắc. Bắt đầu từ U
n
và tính lùi, chúng ta thu
được các công thức xác định biên của elipsoid như sau:
−

C
q
nn
≤ U
n
≤

C
q

nn
−

C − q
nn
U
n
q
n−1,n−1
≤ U
n−1
≤

C − q
nn
U
n
q
n−1,n−1
(1.23)
.
.
.
Các khoảng tương ứng của thành phần nguyên u
n
và u
n−1
xác định bằng cách thay
19
ξ

i
= ρ
i
− u
i
trong (1.22) và (1.23):

−

C
q
nn
+ ρ
n

≤ u
n
≤


C
q
nn
+ ρ
n


−

C − q

nn
ξ
2
n
q
n−1,n−1
+ ρ
n−1
+ q
n−1, nξn

≤ u
n−1
≤


C − q
nn
ξ
2
n
q
n−1,n−1
+ ρ
n−1
+ q
n−1, nξn

trong đó x là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn x và x là giá trị nguyên lớn nhất nhỏ
hơn x. Đối với thành phần nguyên thứ i ta có:





−




1
q
ii
(C −
n

l=i+1
q
ll
(ξ
l
+
n

j=l+1
q
lj
ξ
j
)
2

) + ρ
i
+
n

j=i+1
q
ij
ξ
j




≤ u
i
≤








1
q
ii
(C −
n


l=i+1
q
ll
(ξ
l
+
n

j=l+1
q
lj
ξ
j
)
2
) + ρ
i
+
n

j=i+1
q
ij
ξ
j





(1.24)
Để đơn giản, ta thiết lập gốc của tọa độ r = 0 (có nghĩa là ρ
i
= 0, i = 1, . . . , n), lúc đó
thuật toán giải mã hình cầu trở thành thuật toán đếm điểm Finke-Pohst [9].
Minh họa hình học của phương pháp được thể hiện như hình 1.3, 1.4 và 1.5.
362 The Sphere Decoder
inside the ellipse in Fig. 4.4 are visited from the bottom to
the top and from left to right.
v
v
1
2
P
Fig. 4.2 The sphere is centered at the origin and includes the lattice points to be enumer-
ated.
The search algorithm proceeds very much like a mixed radix counter
on the digits u
i
, with the addition that the bounds change whenever
there is a carry operation from one digit to the next. In practice, the
bounds can be updated recursively by using the following equations
S
i
= S
i
(ξ
i+1
, ,ξ
n

)=ρ
i
+
n

l=i+1
q
il
ξ
l
T
i−1
= T
i−1
(ξ
i
, ,ξ
n
)=C −
n

l=i
q
ll
⎛
⎝
ξ
l
+
n


j=l+1
q
lj
ξ
j
⎞
⎠
2
= T
i
− q
ii
(S
i
− u
i
)
2
When a vector inside the sphere is found, its square distance from
the center (the received point) is given by
ˆ
d
2
= C − T
1
+ q
11
(S
1

− u
1
)
2
.
Hình 1.3: Hình cầu bao gồm những điểm phải đếm [7]
20
4.1. The Sphere Decoder Algorithm 363
u
u
2
1
U
U
2
1
Fig. 4.3 The sphere is transformed into an ellipsoid in the integer lattice domain.
This value is compared to the minimum square distance d
2
(initially
set equal to C) found so far in the search. If it is smaller then we have
a new candidate closest point and the search can go on using a new
sphere with smaller radius.
The advantage of this method is that we never test vectors with a
norm greater than the given radius. Every tested vector requires the
computation of its norm, which entails n multiplications and n − 1
additions. The increase in the number of operations needed to update
the bounds (4.7) is largely compensated for by the enormous reduction
in the number of vectors tested especially when the dimension increases.
In order to be sure to always find a lattice point inside the sphere we

must select
√
C equal to the covering radius of the lattice. Otherwise,
we do bounded distance decoding and the decoder can signal an erasure
whenever no point is found inside the sphere. A judicious choice of C
can greatly speed up the decoder. In practice the choice of C can be
adjusted according to the noise variance N
0
so that the probability of
Hình 1.4: Hình cầu chuyển thành hình elipsoid trong miền lưới nguyên [7]
364 The Sphere Decoder
68
13
7
10 11
912
5234
1
U
U
2
1
Fig. 4.4 The coordinate rotation enables to enumerate the Z
n
–lattice points.
a decoding failure is negligible. If a decoding failure is detected, the
operation can either be repeated with a greater radius or an erasure
can be declared.
The kernel of the Sphere Decoder (the enumeration of lattice points
inside a sphere of radius

√
C) requires the greatest number of opera-
tions. The complexity is obviously independent of the constellation size,
i.e. the number of operations does not depend on the spectral efficiency
of the signal constellation.
The complexity analysis presented in [27] shows that if d
−1
is a lower
bound for the eigenvalues of the Gram matrix G, then the number of
arithmetical operations is
O

n
2
×

1+
n − 1
4dC

4dC

. (4.8)
For a fixed radius and a given lattice (which fixes d), the complexity
of the decoding algorithm is polynomial. We would like to notice that
this does not mean that the general lattice decoding problem is not
NP-hard. In fact, it is possible to construct a sequence of lattices of
Hình 1.5: Hình elipsoid với tọa độ nguyên có thể đếm được [7]