Sửa lỗi mạng sử dụng mã hóa không gian con

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


ĐỖ TIẾN DŨNG


SỬA LỖI MẠNG SỬ DỤNG MÃ HÓA
KHÔNG GIAN CON




LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG





Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


ĐỖ TIẾN DŨNG


SỬA LỖI MẠNG SỬ DỤNG MÃ HÓA
KHÔNG GIAN CON

Ngành: Công Nghệ Điện Tử - Viễn Thông

Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử
Mã số: 60 52 70


LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG




Hà Nội - 2012
ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
MỤC LỤC ii
DANH SÁCH THUẬT NGỮ VIẾT TẮT iv
DANH SÁCH HÌNH VẼ v
LỜI CẢM ƠN vi
TÓM TẮT vii
CHƢƠNG I: GIỚI THIỆU 1
CHƢƠNG II: TỔNG QUAN KỸ THUẬT MÃ MẠNG 6
2.1 Giới thiệu. 6
2.2 Kỹ thuật mã mạng 6
2.2.1 Định lý cơ bản của kỹ thuật mã mạng 6
2.2.2 Ưu điểm của kỹ thuật mã mạng 7
2.3 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính 10
2.4 Kỹ thuật mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên 12
CHƢƠNG III: MÃ SỬA LỖI MẠNG 14
3.1 Operator channel. 14

3.2 Mã hóa cho kênh operator. 16
3.2.1 Khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong  16
3.2.2 Mã 17
3.2.3 Điều kiện để khôi phục mã. 18
3.2.4 Mã có kích thước không đổi. 19
3.3 Các giới hạn về tốc độ mã hóa. 19
3.3.1 Giới hạn Hamming. 20
3.3.2 Giới hạn quả cầu Hilbert. 21
3.3.2 Giới hạn mã Singleton. 22
3.4 Phương pháp xây dựng mã sửa lỗi mạng. 24
3.4.1 Bộ tạo mã. 24
3.4.2 Bộ giải mã. 25
3.5 Tổng kết 27

iii

CHƢƠNG IV: MÔ PHỎNG 28
4.1 Giới thiệu phần mềm. 28
4.1.1 Cài đặt và sử dụng phần mềm. 28
4.1.2 Cấu trúc phần mềm. 28
4.1.3 Giao diện phần mềm. 30
4.2 Mô phỏng. 31
4.2.1 Cấu trúc gói tin. 34
4.2.2 Hoạt động của nút nguồn. 34
4.2.2 Hoạt động của nút trung gian. 35
4.2.3 Hoạt động của nút đích. 36
CHƢƠNG V: KẾT LUẬN 39
5.1 Kết luận. 39
5.2 Hướng nghiên cứu trong tương lai. 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

PHỤ LỤC 41














iv

DANH SÁCH THUẬT NGỮ VIẾT TẮT


Ký hiệu
Tiếng Anh
Tiếng Việt
NC
Network Coding
Kỹ thuật mã mạng
LNC
Linear Network Coding
Kỹ thuật mã mạng tuyến tính
RLNC

Random Linear Network Coding
Kỹ thuật mã mạng tuyến tính
ngẫu nhiên
NECO
Network Coding Simulator
Phẩn mềm mô phỏng NECO
UML
Unifield Modelling Language
Ngôn ngữ mô hình hóa thống
nhất
















v

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1: Mô hình mạng cánh bướm 1
Hình 2.1: Mạng cánh bướm 8
Hình 2.2: Kỹ thuật mã mạng trong mô hình mạng không dây 9
Hình 2.3: Bảo mật thông tin trong kỹ thuật mã mạng 10
Hình 3.1: Minh họa khôi phục mã 18
Hình 3.2: Minh họa giới hạn mã Hamming 21
Hình 3.3: Minh họa mã Hilbert 22
Hình 3.4: Minh họa mã Singleton 23
Hình 3.5: Giới hạn tốc độ mã hóa cho một một mã trong đồ thị Grassmann 23
Hình 4.1: Sơ đồ UML cho module core 29
Hình 4.3: Giao diện phần mềm NECO. 30
Hình 4.4: Sơ đồ mạng 32
Hình 4.5: Tùy chọn đường truyền trong mô phỏng 32
Hình 4.6: Tùy chọn Protocol 33
Hình 4.8: Xác suất mất mát đường truyền 0.2 38
Hình 4.9: Xác suất mất mát đường truyền 0.9 38










vii

TÓM TẮT

Kỹ thuật mã mạng là một kỹ thuật truyền tin mới được đưa ra cho mô hình
phát đa điểm (multicast) bằng cách cho phép các nút mạng trung gian mã hóa
thông tin nó nhận được trước khi gửi đi, được đề xuất bởi Ahlswede và đồng
nghiệp năm 2000 [1]. Tuy nhiên, trong mạng không dây, do kênh truyền bị ảnh
hưởng bởi pha đinh, thông tin được mã hóa tại các nút mạng có thể bị lỗi và lỗi
này sẽ tiếp tục tích lũy từ nút mạng này đến nút mạng khác, gây nên lỗi tin của
toàn mạng tại các nút đích. Giải pháp thường dùng là áp dụng phương pháp mã
kênh tại từng nút mạng để làm giảm thiểu lỗi mạng. Thay vì vậy, một hướng mới
đang được nhiều người quan tâm đến là mã hóa trên không gian chiếu (còn gọi là
KK codes), được đề xuất bởi Koetter và Kschischang năm 2008, trên nền kỹ thuật
mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên. KK codes mở rộng kỹ thuật channel-error
correction thành network-error correction, trong đó thay vì gửi một véc-tơ thì
người ta gửi một không gian véc-tơ. Ở đầu nhận, sau khi nhận được một không
gian véc-tơ khác, có bị tác động của nhiễu, ta cần tìm lại không gian véc-tơ đã
được gửi.
Có rất nhiều công cụ phục vụ cho việc mô phỏng mạng như NS-2, OPNET,
GLOMOSIM, Matlab với các ngôn ngữ lập trình khác nhau: C++, JAVA, Python
… Luận văn này sử dụng phần mềm mô phỏng NECO dựa trên ngôn ngữ lập trình
Python để mô phỏng sửa lỗi mạng dùng mã KK. Đây là một công cụ mô phỏng
mới và được sử dụng ngày càng phổ biến bời các nhà nghiên cứu kỹ thuật mã
mạng.





1

CHƢƠNG I
GIỚI THIỆU

Xét một mô hình mạng truyền thông như hình vẽ:

Hình 1.1: Mô hình mạng cánh bướm
Giả sử rằng nút trên cùng muốn gửi 2 bit dữ liệu x và y đến cả hai nút
phía dưới (multicasting) trong thời gian nhanh nhất. Dễ thấy rằng phương pháp
truyền trong hình là tối ưu, với giả sử rằng tốc độ truyền trên các cạnh của đồ
thị là như nhau. Ví dụ này dẫn đến ý tưởng sau:
Nếu ta cho phép các nút trung gian (như các router trên Internet) tham gia
thay đổi các gói dữ liệu, thì có khả năng sẽ tiết kiệm được thông lượng, độ trễ
và các tài nguyên khác trong mạng.[6]
Từ ý tưởng trên, kỹ thuật mã mạng (NC: Network Coding) được đề xuất
trong lĩnh vực lý thuyết thông tin bởi Ahlswede (2000). Thay vì chỉ đơn thuần
chuyển tiếp thông tin, các nút mạng trung gian có thể tổ hợp lại một vài gói tin
đầu vào và biến thành một hoặc nhiều gói tin đầu ra. Như vậy, NC chính là một
hình thức hợp tác ở tầng mạng. Với hình thức này, NC cho phép các nút trung
2

gian sinh ra các gói tin mới, và có thể được xem là một cách tổng quát hóa của
phương thức định tuyến trong mạng truyền thống.
Những ưu điểm của NC so với định tuyến truyền thống:
 Sử dụng hiệu quả hơn tài nguyên mạng(tăng băng thông và công suất).
 Hiệu quả tính toán.
 Tăng tính bền vững (robustness) giúp chống lại những thay đôỉ về cấu
hình của mạng.
 Tăng tính bảo mật thông tin.
Để hiểu rõ hơn, ta định nghĩa một bài toán cụ thể như sau:
Mô hình mạng dưới dạng một đồ thị trực tiếp , để đơn giản ta
giả sử  là một đồ thị acyclic. Trong  có 1 đỉnh  là nguồn (source) và một số
đỉnh 


 gọi là đích (sink). Ta muốn truyền dữ liệu từ source đến tất
cả các sink trong thời gian ngắn nhất, với giả sử dung năng mỗi cạnh bằng 1
(một đơn vị dữ liệu truyền trên một đơn vị thời gian).
Khi đó, với việc sử dụng kỹ thuật mã mạng, các nút trung gian có thể kết
hợp các gói tin đến nó để tạo ra một gói tin mới. Giả sử tất cả các gói tin đến
đều có kích thước là k (tức là thuộc trường 

 ). Việc kết hợp các gói tin có
thể coi như một hàm số.
Một bộ các hàm số như vậy được gọi là mã mạng (network code). Nếu
tất cả các mã mạng cho phép giải mã ở đích thì ta gọi là một network coding
solution. Nếu tất cả các hàm là tuyến tính, tức là gói tin lối ra là tổ hợp tuyến
tính của các gói tin lối vào thì ta có một mã mạng tuyến tính.
Quay lại bài toán mã mạng, định lý của Ahlswede có thể được hiểu như
sau: bằng cách trộn dữ liệu tại các nút trung gian của mạng, thông tin được
truyền từ nút nguồn tới nút đích với tốc độ tối đa bằng giá trị min-cut giữa
chúng.
3

Định lý và chứng minh của Ahlswede cho biết luôn tồn tại một network
coding solution nhưng không chỉ ra phương pháp kết hợp các gói tin để đạt
được tốc độ truyền tin lớn nhất.
Tuy nhiên, vào năm 2003 Li và các đồng nghiệp [3] đã chỉ ra phương
pháp mã tuyến tính (linear coding) tại các nút trung gian để đạt được tốc độ
truyền tin lớn nhất từ nguồn tới đích. Trong [3], khái niệm mã mạng tuyến tính
và cách xây dựng mã trong truyền tin đa điểm của mạng tuần hoàn và không
tuần hoàn được chỉ ra.
Một phương pháp mã hóa được đề xuất [5] là các nút trung gian lựa
chọn các hệ số mã hóa tuyến tính một cách ngẫu nhiên. Phương pháp này được

gọi là mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên (random linear NC). Không giống như
phương pháp mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên quyết định (deterministic linear
NC), mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên không thể đạt đến dung năng đa điểm với
xác suất đơn vị nhưng vấn đề truyền thông đa điểm có thể thực hiện với xác
suất hàm mũ khi chiều dài mã 

. Bài báo chỉ ra rằng, xác suất mã
mạng ngẫu nhiên được tìm ra sẽ giảm khi số đường liên kết lớn, và ngược lại sẽ
tăng khi kích thước trường hữu hạn càng lớn 

.
Ngày nay, NC là hướng nghiên cứu được rất nhiều người quan tâm vì
những ưu điểm cũng như tiềm năng của nó trong lĩnh vực mạng và truyền
thông.
Tuy nhiên, truyền thông trên thực tế đối mặt nhiều với vấn đề nhiễu,
nhiễu có nhiễu đường truyền hoặc các gói tin độc được đưa vào với mục đích
phá hoại. Lúc này bắt đầu xuất hiện khái niệm sửa lỗi mạng, mục đích chính
của nó là thiết kế một mã mạng có thể sửa được lỗi gây ra trong quá trình
truyền tin. Năm 2003, Kotter và Kschischang đã đề xuất một phương pháp thiết
kế mã mạng sửa lỗi cho mã mạng ngãu nhiên tuyến tính. Ý tưởng này đã khởi
nguồn cho một lĩnh vực nghiên cứu mới được biết đến với cái tên mã không
gian con hay mã sửa lỗi trong không gian chiếu (error-correction code design
in projective spaces).Một mô hình truyền tin ứng dụng kỹ thuật mã mạng được
4

đề xuất, thay vì là các véc-tơ, đầu vào và đầu ra của mô hình là các không gian
con của một không gian nào đó. Những khái niệm mới từ đó cũng phải được
định nghĩa để phục vụ cho mục đích mã hóa và giải mã như khoảng cách giữa
hai không gian véc-tơ, các loại mã không gian con cùng với những giới hạn của
các loại mã đó.

Luận văn này sẽ mô phỏng lại một mã sửa lỗi cho mã mạng tuyến
tínhngẫu nhiên trên thực tế dựa trên thuật toán mã hóa và giải mã được đề xuất
bởi Kotter và Kschischang.
Công cụ mô phỏng được sử dụng trong luận văn là NECO, một công cụ
mô phỏng mới được giới thiệu năm 2009 và được sử dụng rộng rãi trong lĩnh
vực nghiên cứu mã mạng (network coding) trong những năm gần đây. Phần
mềm mô phỏng này được viết trên ngôn ngữ lập trình bậc cao Python.Đây là
ngôn ngữ rõ ràng, dễ đọc nên giảm thời gian phát triển và nâng cao hiệu suất
cũng như dễ bảo trì và mở rộng chương trình. Python cũng được sử dụng rộng
rãi cho các ứng dụng khoa học, và đặc biệt có hai thư viện toán học và kỹ thuật
tuyệt vời là SAGE và Pylab có sẵn và miễn phí. Tất cả các thư viện sử dụng để
phát triển mô phỏng được cho phép bởi GPL (GNU General Public License) và
là mã nguồn mở.
Về cơ bản NECO được chia thành các mô-đun lõi và mô-đun mở rộng.
Các mô-đun lõi cung cấp các tính năng thiết lập tối thiểu như các giao thức
định tuyến cơ bản, tạo đồ thị, lập lịch, giao diện người dùng đồ họa và dòng
lệnh. Mô-đun mở rộng để phát triển các chức năng cơ bản, tính toán các giao
thức phức tạp hơn. Đặc điểm chính của phần mềm NECO bao gồm:
 Xác định các mô hình mạng.
 Các giao thức của kỹ thuật mã mạng.
 Quan sát hoạt động của mạng cũng như các tham số thống kê
khác.
 Mô phỏng được viết toàn bộ bằng Python và dễ dàng mở rộng
các module
5

Luận văn được tổ chức thành các phần:
Chương 2: Tổng quankỹ thuật mã mạng.
Chương 3: Mã sửa lỗi mạng.
Chương 4: Mô phỏng.

Chương 5: Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo.











6

CHƢƠNG II
TỔNG QUAN KỸ THUẬT MÃ MẠNG

2.1 Giới thiệu
Trong các hệ thống mạng truyền thống, thông tin có thể được ghép
kênh, đóng gói, định tuyến… nhưng vẫn tồn tại trong mạng như những thực thể
độc lập, các nút mạng không làm thay đổi thông tin, bản tin đi ra một nút là bản
sao của bản tin lối vào. Năm 2000, Ahlswede và các đồng nghiệp đã đề xuất
một kỹ thuật mới đầy triển vọng trong mạng truyền thông, đó là kỹ thuật mã
mạng (network coding). Với kỹ thuật này các nút mạng không chỉ chuyển tiếp
mà còn xử lý thông tin mà nó có được bằng cách kết hợp chúng lại và truyền
đi, để rồi sau đó nơi nhận vẫn tách ra được thông tin nó cần nhận. Kỹ thuật này
đã chững minh được những ưu điểm của nó về tiết kiệm tài nguyên mạng cũng
như tăng tính bảo mật thông tin.
Ngày nay, kỹ thuật mã mạng đã trở thành một hướng nghiên cứu được
rất nhiều nhà khoa học hướng đến bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong xử

lý thông tin, xử lý ảnh và truyền thông.
2.2 Kỹ thuật mã mạng
2.2.1 Định lý cơ bản của kỹ thuật mã mạng
Định lý 1 : Xét một đồ thị có hướng không tuần hoàn , với 
là tập hợp các đỉnh,  là tập các cạnh của đồ thị. Giả sử rằng từng cạnh có dung
năng đơn vị, có  nguồn phát đơn vị nằm trên cùng một đỉnh của đồ thị và phát
dữ liệu đến  bộ thu. Giá trị lát cắt nhỏ nhất (min-cut) đến từng bộ thu là  thì
sẽ tồn tại một giản đồ truyền đa điểm trên một trường hữu hạn đủ lớn 

, trong
7

đó các nút mạng trung gian sẽ kết hợp tuyến tính những ký hiệu đi đến nó trên


, phân phát thông tin từ đỉnh phát đồng thời tới tất cả các đỉnh thu ở tốc độ .
Định lý này có thể được xem như là định lý Max-flow Min-cut cho lý
thuyết thông tin mạng:
Định nghĩa 1: Xét một mạng được biểu diễn bởi đồ thị . Gọi  và
  lần lượt là tập các đỉnh và cạnh có dung năng đơn vị.  là nút
nguồn của mạng và muốn truyền thông tin đến nút đích 
 Một lát cắt giữa  và  là phép phân hoạch các nút của đồ thị thành các
tập rời nhau.
 Lát cắt nhỏ nhất là lát cắt có giá trị nhỏ nhất.
 Giá trị của một lát cắt bằng tổng dung năng của các cạnh trong lát cắt.
Định lý 2: Xét một mạng được biểu diễn bằng đồ thị như được định nghĩa ở
trên. Nếu lát cắt nhỏ nhất giữa  và  bằng  thì thông tin được truyền từ  đến
 với tốc độ lớn nhất bằng . Tương đương, tồn tại chính xác  đường dẫn
phân biệt từ nút nguồn tới nút đích.
Từ định lý trên, ta biết rằng tồn tại  đường dẫn phân biệt từ nút nguồn

tới nút đích. Do nhiều nút đích cùng sử dụng mạng đồng thời, tập hợp những
đường dẫn này sẽ có thể chồng lên nhau. Dễ thấy là chúng phải chia sẻ tài
nguyên với nhau và do vậy làm giảm tốc độ truyền. Tuy nhiên, định lý một đã
nói rằng nếu ta cho phép nút trung gian không chỉ truyền mà còn kết hợp thông
tin thì các nút đích sẽ thu được cùng một tốc độ giống như là chỉ có duy nhất
nó sử dụng tài nguyên mạng. Kỹ thuật mã mạng giúp tađạt được điều này.
2.2.2 Ƣu điểm của kỹ thuật mã mạng
Thông lƣợng
Hình 2.1 mô tả một mạng truyền thông như là một đồ thị có hướng trong
đó các đỉnh là các thiết bị đầu cuối và cạnh tương ứng với kênh truyền. Giả sử
2 nguồn  cẩn truyền thông tin 

và 

tới 2 bộ thu,.
8


Hình 2.1: Mạng cánh bướm [10]
Theo truyền thống, bit thông tin 

và 

được xử lý độc lập với nhau vì
vậy cạnh  sẽ truyền hoặc 

hoặc 

. Nếu ta truyền 


thì bộ thu  sẽ chỉ
nhận được 

, trong khi  nhận được cả 

và 

. Ngược lại nếu  quyết
định truyền đi bit 

. Sử dụng ý tưởng của kỹ thuật mã mạng, ta có thể cho
phép các nút trung gian xử lý thông tin nó có thay vì chỉ chuyển tiếp chúng. Cụ
thể, nút  có thể làm phép “xor” hai thông tin 

và 

tạo ra 





và
truyền đi qua cạnh .  nhận được









, từ đó giải các phương trình
khôi phục lại được 



. Tương tự như vậy đối với .
Ví dụ này chỉ ra rằng nếu ta cho phép các nút trung gian trong mạng kết
hợp chuỗi thông tin và tách thông tin tại nơi nhận thì chúng ta có thể tăng được
thông lượng của hệ thống.
Tiết kiệm tài nguyên mạng không dây
Với thông tin vô tuyến, kỹ thuật mã mạng mang lại nhiều lợi ích đối với
tuổi thọ pin, băng thông không dây và độ trễ. Xét một mạng không dây ad-hoc,
trong đó hai thiết bị  và  muốn trao đổi hai tập tin nhị phân 



sử dụng 
như là thiết bị chuyển tiếp.
9


Hình 2.2: Kỹ thuật mã mạng trong mô hình mạng không dây [10]
Với kỹ thuật mã mạng được áp dụng, ta có những ưu điểm về mặt dung
lượng của kênh vô tuyến: nút  nhận được cả hai tập tin 



và thực hiện

phép “xor” chúng để tạo ra tập tin mới, tập tin này sau đó được quảng bá tới cả
hai bộ thu. Nút  đã có 

và từ đó giải mã được 

. Nút  có 

và giải mã
được 

. Phương pháp này có những ưu điểm về mặt sử dụng năng lượng (nút
 tiết kiệm được năng lượng vì chỉ cần truyền một lần thay vì hai như trước),
thời gian trễ ( quá trình truyền hoàn tất chỉ trong 3 lần truyền thay vì 4), băng
thông vô tuyến (sử dụng kênh vô tuyến trong thời gian ngắn hơn).
Bảo mật
Việc gửi đi kết hợp tuyến tính các gói tin thay vì truyền dữ liệu chưa mã
hóa giúp nâng cao tính bảo mật một cách tự nhiên, tránh những trường hợp
nghe trộm. Như vậy, với những hệ thống muốn tránh những xâm nhập đơn
giản, ta sẽ không cần thêm cơ chế bảo mật nào nữa. Ví dụ trong hình 2.3, nút 
gửi thông tin tới nút  thông qua hai đường  và . Thông tin được kết
hợp và gửi đi, nếu một đối tượng tại nút trung gian nào đó lấy cắp dữ liệu thì
cũng không thể giải mã được, chỉ nơi thu khi nhận đủ thông tin cần thiết từ các
nguồn khác nhau mới có thể khôi phục lại thông tin ban đầu.
10


Hình 2.3: Bảo mật thông tin trong kỹ thuật mã mạng [10]

2.3 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính (LNC)
Đình lý về kỹ thuật mã mạng được nêu ở phần trên chỉ ra rằng bằng việc

kết hợp dữ liêu tại các nút trung gian của mạng, thông tin từ nguồn tới đích có
thể được truyền qua mạng với tốc độ lớn nhất bằng giá trị lát cắt nhỏ nhất giữa
chúng. Tuy nhiên, định lý không chỉ ra làm cách nào để đạt được tốc độ lớn
nhất đó. Năm 2003, Li và đồng nghiệp [3] đã chứng minh được có một phương
pháp có thể đạt được điều đó, đó chính là mã mạng tuyến tính.
Một vấn đề quan trọng của mã mạng tuyến tính là cách xây dựng mã
mạng (network code), hay nói cách khác là tim các hệ số của các hàm mã hóa
tại các nút trung gian để nơi thu có thể khôi phục lại bản tin nguồn từ các gói
tin nhận được. Tập các hệ số thỏa mãn điều kiện có thể khôi phục lại được gọi
là network coding solution. Câu trả lời đơn giản và có hệ thống được Koetter
và Medard đưa ra vào năm 2003 dựa trên các phép toán đại số[9]. Có sự liên hệ
giữa network code solution với phương pháp giải các phương trình tuyến tính.
Một vài kết quả quan trọng được các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này sử
dụng một cách rộng rãi. Trước khi chỉ ra những kết quả đó, ta sẽ bắt đầu với
một vài ký hiệu và định nghĩa.
Một mạng được biểu diễn là một đồ thị có hướng 



, với  là
tập các nút mạng (các đỉnh của đồ thị) và   là tập các đường truyền
trong mạng (các cạnh của đồ thị). Giả sử rằng thông tin được truyền từ nút  tới
nút  với mọi




11

Định nghĩa 2: Với một đường truyền nói chung , nút  và 

được gọi là điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Với một đường truyền , điểm
bắt đầu và kết thúc được ký hiệu là 







 Sử dụng kỹ thuật mã mạng,
thông tin truyền trên đường truyền  là hàm mã hóa các gói tin nhận được
tại điểm bắt đầu 




Định nghĩa 3: Gọi  lần lượt là số bản tin nguồn cần phát và số bộ
thu.











,









là tập các nút nguồn và nút đích. Dữ
liệu nguồn cũng như dữ liệu được truyền trên đường truyền là chuỗi các bít
véc-tơ là các phần tử của trường hữu hạn 

với 

 Dữ liệu đầu ra thứ 
của nút đích  là tổ hợp tuyến tính của các dữ liệu đi trên đường truyền của nó:












(2.1)
trong đó 


là thông tin truyền trên đường truyền , có được bằng kết hợp tuyến
tính trong 

:  các dữ liệu nguồn (nếu có) 



 hoặc  các dữ liệu
ngẫu nhiên đã được tạo ra trước đó 



:























(2.2)
Tập các hệ số








được chọn từ trường 

là bài toán cho kỹ thuật
mã mạng.
Từ hai định nghĩa trên, ta có hai kết quả quan trọng sau:
Định lý 3: Coi các hệ số




được lấy trong ma trận kích thước





,




được lấy từ ma trận  kích thước 



, và




được lấy từ
ma trận  kích thước







. Bộ 









 được gọi là một mã
mạng tuyến tính (linear network code).
Việc ánh xạ các bản tin nguồn 









tới các dữ liệu nhận được
















tại một đích nào đó được biểu diễn:








 (2.3)
12

Với  

,  là ma trận đơn vị.
Định lý 4: Bộ mã mạng tuyến tính 








 trên trường 


có thể giải được nếu ma trận truyền 







có bậc đầy đủ hạn  đối với
từng bộ thu 

với . Khi đó, bài toán kết nối đa điểm có thể được
giải quyết.
Một vấn đề quan trọng đằng sau việc xây dựng mã mạng tuyến tính cho
kỹ thuật mã mạng là biết được kích thước phù hợp của trường hữu hạn 

để có
thể giải quyết được bài toán truyền đa điểm. Kích thước trường càng lớn, độ
phức tạp tính toán trong mạng càng lớn. Thực tế, các biểu thức đại số trong kỹ
thuật mã mạng được thực hiện trên các từ mã có độ dài 

.
Định lý 5 : Đối với bài toán truyền đa điểm với nguồn độc lập và có 
bộ thu. Trong cả trường hợp mạng không tuần hoàn có lỗi hoặc không có lỗi
xảy ra, tồn tại mã mạng tuyến tính 









 trong trường 

nếu
.
2.4 Kỹ thuật mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên (RLNC)
Các định lý cơ bản nói trên dựa trên việc tính toán cho mã mạng tuyến
tính quyết định (deterministic linear network code) trong truyền tin đa điểm.
Nói cách khác các hệ số








được chọn để thông tin nguồn được tái
tạo lại từ các bộ thu với xác suất bằng một. Tức là mạng lúc này là mạng có cấu
trúc tập trung, các hệ số được tạo ra và phân phát bởi một trung tâm nào đó.
Một phương pháp được đề xuất đó là mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên, các nút
mạng sẽ lựa chọn các hệ số mã hóa một cách tuyến tính. Không giống như
phương pháp mã mạng tuyến tính quyết định, phương pháp này không thể đạt
được xác suất đơn vị, nhưng có thể đạt được xác suất hàm mũ với chiều dài mã



Định lý 6 : Xét bài toán truyền đa điểm với các thông tin nguồn độc lập,
 bộ thu, các hệ số mã hóa









được chọn ngẫu nhiên, đồng đều
13

trên trường 

với . Xác suất để bộ mã mạng có thể được giải ít nhất sẽ
bằng   


với  là số đường truyền liên quan các hệ số mã hóa.
Như vậy, định lý này đã chỉ ra rằng, số đường truyền liên quan đến các
hệ số mã hóa càng lớn thì xác suất giải bộ mã mạng càng nhỏ, kích thước
trường hữu hạn càng lớn thì xác suất giải bộ mã mạng càng lớn.

14

CHƢƠNG III
MÃ SỬA LỖI MẠNG

Kỹ thuật mã mạng là một kỹ thuật hiệu quả trong truyền thông mạng.
Tuy nhiên nó khá nhạy cảm với lỗi, do nút trung gian trộn các gói tin đầu vào
để tạo ra một gói tin đầu ra nên chỉ cần một gói tin có lỗi (cố ý hoặc không) thì
lỗi đó sẽ tiếp tục tích lũy đến nơi nhận, việc khả năng khôi phục gói tin gốc sẽ
trở nên khó khăn hơn. Trường hợp mất gói tin do đứt đường liên kết làm nơi
nhận không nhận đủ gói tin cần thiết cho việc giải mã gói tin cũng gây ra tình
trạng tương tự.
Chương này sẽ bàn đến một phương pháp mã hóa trong mô hình truyền
tin sử dụng mã hóa tuyến tínhngẫu nhiên mà có thể đối phó tốt với cả hai
trường hợp lỗi và mất mát gói tin. Thông tin gửi đi không phải là một véc-tơ
mà là một không gian véc-tơ. Khái niệm kênh operator để định nghĩa mô hình
kênh mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên có lỗi và khoảng cách giữa các không gian
véc-tơ (metric) dùng cho thuật toán giải mã cũng được đưa ra trong chương
này. Cuối chương là một phương pháp mã hóa và giải mã cụ thể.
3.1 Kênh operator.
Xét









là tập các gói tin nguồn. Trong trường hợp không
có lỗi, đích sẽ nhận được các gói tin 

 với :














(3.1)
Trong trường hợp xảy ra lỗi, 

 là các gói tin lỗi. Chỉ với một gói
tin lỗi cũng có thể ảnh hưởng đến khôi phục gói tin gốc.



















(3.2)
Ở dạng ma trận, mô hình truyền có thể được viết :
15

   (3.3)
Trong đó H,G là các ma trận ngẫu nhiên với kích thước    , p là
ma trận  với các hàng là các véc-tơ truyền đi, y là ma trận   với các
hàng là các véc-tơ nhận được, e là ma trận  với các hàng là các véc-tơ lỗi.
Gọi W là không gian véc-tơ kích thước N trong trường 

. Tất cả các gói
tin truyền và nhận đều thuộc W, ta sẽ mô tả mô hình truyền tin của các không
gian con được mở rộng bởi các gói tin này.
 là tập các không gian con của W, thường được gọi là các phép

chiếu hình học (projective geometry) của W.
Kích thước của một không gian  được ký hiệu là  .
Tổng của hai không gian con  là  



.
Nếu  



thì tổng  là tổng trực tiếp, ký hiệu . Lúc
này 



 . Với hai không gian bất kỳ U,V ta có
 

với 

tương đương với không gian thương .
Trong trường hợp này 


 

 





.
Với , ta định nghĩa bộ tạo kênh ngẫu nhiên 

trên các không gian
con của W. Nếu 



 thì 




sẽ trả lại một không gian con ngẫu
nhiên kích thước k của không gian V.
Khái niệm kênh operator (operator channel) cho mô hình truyền tin của
kỹ thuật mã mạng được định nghĩa như sau [2]:
Một kênh operator C cùng với không gian W là một kênh với đầu vào và đầu ra
là các không gian con thuộc . Đầu vào V và đẩu ra U được liên hệ với
nhau bàng biểu thức:





 
Với 




và E là không gian lỗi. Qua kênh, V biến thành U, ta nói
rằng kênh tạo ra 



  bộ xóa và  lỗi.
16

Tóm lại, kênh operator lấy đầu vào là một không gian véc-tơ và đưa ra
lối ra một không gian véc-tơ khác, có thể bị mất mát (xóa một vài véc-tơ trong
không gian véc-tơ truyền) hoặc lỗi (thêm vào một vài véc-tơ).
Định nghĩa này khiến cho lý thuyết thông tin và kỹ thuật mã mạng gần
nhau hơn. Kênh operator được xem như là kênh không nhớ rời rạc với đầu vào,
đầu ra là các không gian con thuộc . Những phần tiếp theo là chỉ ra cách
xây dựng một loại mã tốt trong  mà có thể chống chọi tốt với nhiễu và
mất mát.
3.2 Mã hóa cho kênh operator.
Trong truyền tin thông thường, để so sánh sự thay đổi giữa hai gói tin,
khái niệm khoảng cách Hamming được sử dụng. Với phương pháp mã hóa
không gian véc-tơ được đề xuất, một không gian véc-tơ được truyền đi, ta cần
một định nghĩa tương tự như khoảng cách Hamming nhưng đối với 2 không
gian véc-tơ để có thể khôi phục lại không gian được truyền từ không gian nhận
được. Trước khi chỉ ra làm thế nào để xây dựng loại mã tốt cho kênh operator
mà ta đã định nghĩa, ta cần phải định nghĩa khoảng cách giữa hai không gian
véc-tơ.
3.2.1 Khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong 





Hàm   






 

  

  (3.4)
Do 

 





 



 , nên









 



 

  



  

 



 




Hàm:





 

 

 

 


là khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong 




17

W là không gian véc-tơ kích thước N thuộc trường 

. U là không gian con của
W, không gian con trực giao của U là một không gian kích thước N-k:












Với không gian con bất kì  thì 



.




 



 




 

(3.5)
Suy ra:












 


 



 








 






















 









Khoảng cách giữa hai không gian con U và V bằng khoảng cách giữa hai
không gian trực giao tương ứng 



.
3.2.2 Mã

Gọi W là không gian véc-tơ kích thước N trong trường 

. Một loại mã
 cho kênh operator với không gian W là tập con của 




Kích thước của mã  được ký hiệu



. Khoảng cách nhỏ nhất của 
được định nghĩa:




 




Kích thước lớn nhất của các từ mã của C:




 





Nếu kích thước của từng từ mã của  là bằng nhau thì  được gọi là mã
có kích thước không đổi.
Trong mà sửa lỗi tuyến tính truyền thống thì một loại mã thường được
biểu diễn dưới dạng



trong đó  là độ dài của mã,  là kích thước và
18

là khoảng cách Hamming. Với loại mã không gian véc-tơ đối với kênh
operator được định nghĩa ở trên thì được biểu diễn dưới dạng












.
Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu đinh nghĩa về tốc độ mã của một mã nào đó.
Gọi  là một loại mã có kiểu









. Để truyền một không
gian , nơi phát cần phát  véc-tơ của V vào trong mạng, tương ứng
với truyền  ký tự.
Gọi  là một mã được biểu diễn dưới dang








. Trọng số chuẩn
hóa (weight) , tốc độ  và khoảng cách nhỏ nhất chuẩn hóa  của C được
định nghĩa như sau:















3.2.3 Điều kiện để khôi phục mã
Bộ giải mã dựa vào lối ra U của kênh operator sẽ trả lại từ mã  có
khoảng cách tới U là nhỏ nhất.













Hình 3.1: Minh họa khôi phục mã [2]