Ứng dụng phép biến đổi Wavelet trong phân tích tín hiệu điện tim

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI CÔNG NGHỆ






Phạm Thị Quỳnh Trang
ổng quát về cơ sở toán học của phép biến đổi Wavelet khi phân tích tín hiệu liên tục
cũng như phân tích tín hiệu rời rạc. Tổng quát về tín hiệu điện tim đồ, các tham số
đặc trưng của tín hiệu điện tim đồ. Sử dụng phép biến đổi Wavelet vào phân tích
một tín hiệu điện tim đồ. Trình bày các thuật toán để phân tích tín hiệu điện tim:
thuật toán xác định phức bộ QRS, thuật toán xác định sóng T và thuật toán phát hiện
sóng P. Mô phỏng thuật toán phân tích tín hiệu ECG bằng Matlab
Luận văn ThS Kỹ thuật điện tử - viễn thông: 2.07.00

Nghd. : TS. Trịnh Anh Vũ


ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





Hà Nội – 2007

1
MỤC LỤC

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1. Lịch sử phát triển 3
1.2. Phép biến đổi Fourier 3
1.3. Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt 4
1.4. Phép biến đổi Wavelet (WT) 5
1.4.1. Phép biến đổi Wavelet liên tục 6
1.4.2. Một số hàm Wavelet cơ sở 9
1.4.3. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) 13
Chƣơng 2: Tín hiệu điện tim đồ(ECG : electrocariogram)
2.1. Khái niệm 29
2.2. Các chuyển đạo thông dụng 29
2.2.1. Các chuyển đạo mẫu 29
2.2.2. Các chuyển đạo đơn cực các chi 29
2.2.3. Các chuyển đạo trước tim 30
2.3. Dạng hình học của tín hiệu điện tim 30
2.4. Các tham số đặc trưng của tín hiệu ECG 31
2.4.3. Sóng P 31
2.4.4. Khoảng PQ 32
2.4.5. Phức bộ QRS 32
2.4.6. Đoạn ST 32
2.4.7. Sóng T 33
2.4.8. Khoảng PQ 33
2.4.9. Sóng U 33
Chƣơng 3: phân tích tín hiệu điện tim sử dụng phép biến đổi wavelet
3.1. Giới thiệu 34
3.2. Một số phương pháp tích tín hiệu ECG 34
3.2.1. Phương pháp phân tích tín hiệu ECG trong miền thời gian 35

3.2.2. Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng mạng nơron 35
3.2.3. Phương pháp phân tích tín hiệu ECG sử dụng biến đổi thời gian - tần số 35
3.3. Phương pháp phân tích ECG sử dụng biến đổi Wavelet 35
3.3.1. Cơ sở toán học 36
3.3.2. Lựa chọn hàm wavelet 37


2
3.3.3. Bộ lọc wavelet 38
3.3.4. Mối quan hệ giữa các tín hiệu bất thường với biến đổi Wavelet của chúng 40
3.3.5. Phân tích, xác định các điểm đặc trưng của tín hiệu ECG 41
3.3.6. Xác định khoảng cách QT 47
3.3.7. Xác định độ lệch ST 50
3.3.8. Loại bỏ nhiễu 51
Chƣơng 4: Các thuật toán phân tích tín hiệu điện tim đồ
4.1. Tổng quan 52
4.2. Phương pháp xác định 54
4.2.1. Thuật toán xác định phức bộ QRS 55
4.2.2. Thuật toán xác định sóng T 56
4.2.3. Thuật toán phát hiện sóng P 57


3
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1. Lịch sử phát triển
Wavelet là một công cụ toán học mới và được phát triển rất mạnh từ những năm 1997
trở lại đây. Cơ sở toán học của nó có từ Joseph Fourier trong thế kỷ thứ 19 với nền tảng là
các giả thiết của ông về phân tích tần số. Tuy nhiên, sự tiến triển đầu tiên của wavelet
hiện nay bắt đầu từ năm 1909 trong luận văn của Alfred Haar. Khái niệm về wavelet ở
dạng lý thuyết hiện nay là từ Jean Morlet và nhóm cộng sự của ông ở trung tâm vật lý lý

thuyết Marseille, Pháp do Alex Grossmann chỉ đạo. Sau này các phương pháp phân tích
wavelet được phát triển chủ yếu bởi Y.Meyer và các đồng nghiệp và từ đây phương pháp
phân tích này được phổ biến.
Thuật toán của wavelet bắt nguồn từ Stephane Mallat năm 1988, sau đó nghiên cứu
về wavelet đã mang tính quốc tế hoá. Các nghiên cứu này đặc biệt phát triển ở Mỹ. Ngày
nay lĩnh vực này đang được phát triển một cách nhanh chóng với nhiều ứng dụng trong
xử lý tín hiệu.
Phép biến đổi Wavelet nổi lên trong một vài năm gần đây như một công cụ toán học
rất có ích cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực phân tích, xử lý tín hiệu được áp dụng
cho nhiều ngành khoa học như chế tạo và trong y học. Phương pháp này thực sự có ích vì
nó có khả năng làm nổi bật các đặc tính cục bộ hoặc mang tính tức thời của tín hiệu một
cách mềm dẻo hơn phương pháp Fourier cửa sổ trượt bởi kích thước của cửa sổ có thể
thay đổi được. Phương pháp này phân tích tín hiệu đồng thời trong miền thời gian và
miền tần số. Và tính mềm dẻo của nó thể hiện một cách rõ ràng trong việc tham số tỷ lệ là
một biến số, biến số này thay đổi theo mỗi đặc tính khác nhau của tín hiệu.
Cũng giống như phép biến đổi Fourier (FT) và Fourier nhanh (FFT) phép biến đổi
Wavelet đã được đóng gói trong các phần mềm dùng cho xử lý ảnh hay nén ảnh.
1.2. Phép biến đổi Fourier
Từ trước đến nay đã có nhiều công cụ toán học được dùng trong xử lý tín hiệu; trong
đó được biết đến nhiều nhất là phép biến đổi Fourier. Có thể hiểu một cách chung nhất về
phép biến đổi Fourier đó là phương pháp biến đổi tín hiệu từ miền thời gian về miền tần
số dựa trên cơ sở phân chia một tín hiệu thành tổng của các hàm sin với các tần số khác
nhau.
Xét một tín hiệu f(t) biến đổi Fourier của nó là một hàm theo tần số F() được biểu
diễn dưới dạng toán học như sau:




 dtetfF

tj


).()(
(1.1)


4
Trong đó e
-jt
là hàm phức có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm sin hoặc cosin.
Như vậy, một tín hiệu phức tạp được chuyển về dạng tổng của các hàm sin, là hàm có
đặc điểm có trung bình bằng 0 về mặt thời gian, và việc phân tích tín hiệu trở nên dễ
dàng hơn. Sau khi xử lý, tín hiệu gốc được khôi phục lại bằng biểu thức:




deFtf
tj



 )(
2
1
)(
(1.2)
Trong một thời gian dài, phép biến đổi Fourier có khả năng đưa ra các câu trả lời một
cách đơn giản cho hầu hết các câu hỏi về xử lý tín hiệu thời gian biến đổi tuyến tính. Đây

thực sự là một công cụ toán học có ích trong xử lý tín hiệu dừng.
Vấn đề đặt ra là, trong biểu thức (1.1) khi biến đổi tín hiệu f(t) sang miền tần số thì
khái niệm về mặt thời gian hoàn toàn biến mất. Nhìn vào F() không thể biết được thời
gian diễn ra sự kiện. Đối với nhiều lĩnh vực việc xác định thời gian của tín hiệu là không
quan trọng ví dụ như tín hiệu âm thanh trong truyền thanh, điện thoại, tín hiệu trong
internet, xử lý ảnh… Tuy nhiên trong một số ứng dụng việc chỉ xét các đặc tính của tín
hiệu về tần số là chưa đủ. Ví dụ như xét các biến đổi đột ngột của tín hiệu thì phép biến
đổi Fourier không kiểm soát được.
Để khắc phục được điều này Dennis Gabor đề xuất phương pháp biến đổi Fourier cửa
sổ trượt.
1.3. Phép biến đổi Fourier cửa sổ trƣợt
Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt được đề xuất vào năm 1946 bởi Dennis Gabor thực
chất là phép biến đổi Fourier trong một đoạn ngắn tín hiệu.
Biến đổi Fourier cửa sổ trượt là phép biến đổi Fourier trong một đoạn ngắn tín hiệu,
mỗi đoạn ngắn tín hiệu này gọi là cửa sổ. Gọi g là cửa sổ thời gian, khi đó:
g
u,
= g(t-u).e
jt
(1.3)
Năng lượng của g
u,
tập chung tại các vùng lân cận của u trong khoảng 
t
được xác
định bởi | g|
2
.Biến đổi Fourier của mỗi cửa sổ g sẽ là:
G
u, 

() = G
u, 
(-).e
-ju(-)
(1.4)
Năng lượng của G
u, 
tập trung xung quanh tần số  trong khoảng 

.Trong mặt
phẳng thời gian – tần số (t, ) các phần năng lượng của g
u,
được biểu diễn trong của sổ
Heisenberg (hình 1); tâm của cửa sổ có toạ độ (u, ) và độ rộng theo trục thời gian là 
t
,
độ rộng theo trục tần số là 

trong đó:

t
. 

 1/2 (1.5)


5
Cửa sổ trên nhỏ nhất khi g là hàm Gaussian, khi đó hàm nguyên tử g
u,
được gọi là

hàm Gabor.
Phép biến đổi Fourier cửa sổ trượt cho tín hiệu f với hàm nguyên tử g
u,
được biểu
diễn bằng biểu thức:






 dteutgtfdttgtfuSf
tj
u



).().()().(),(
*
,
(1.6)
Biến đổi Fourier cửa sổ ngược :










dgFuSf
u
)().(
2
1
),(
*
,
(1.7)
Trong đó Sf(u,) biểu diễn cho f(t) và F() trong miền thời gian và miền tần số lân
cận nơi tập chung năng lượng g
u,
và G
u, 

So sánh các phép biến đổi:
Giới hạn của phép biến đổi Fourier đó là phép biến đổi lấy trung bình về mặt thời
gian. Do tính trung bình về thời gian này mà phép biến đổi Fourier có thể làm mất đi các
đặc tính mang tính tức thời của tín hiệu. Giới hạn này của biến đổi Fourier trong một
chừng mực nào đó có thể khắc phục được bằng phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt
(STFT). Vấn đề đặt ra đối với phương pháp này đó là kích thước của cửa sổ sẽ là bao
nhiêu? Về mặt lý thuyết kích thước cửa sổ càng nhỏ thì các đặc tính mang tính chất cục
bộ của tín hiệu càng dễ được phát hiện. Nhưng nếu tín hiệu trong một khoảng thời gian
lớn không hề có đột biến hoặc trong một dải tần số nào đó thì có các tính chất đặc biệt còn
trong dải tần số khác lại ổn định thì việc chọn kích thước nhỏ cho cửa sổ có thể gây lãng
phí nhưng nhiều khi vẫn không thu được kết quả mong muốn. Nghĩa là điều chúng ta
muốn ở đây là kích thước cửa sổ trượt là thay đổi được. Một giải pháp cho vấn đề này
chính là phép biến đổi Wavelet.
1.4. Phép biến đổi Wavelet (WT)

Phân tích tín hiệu trong miền thời gian – tần số là phương pháp giải thích tín hiệu
theo cả hai tham số là tham số về thời gian và tần số; nó cho phép phân tích các thành
phần tín hiệu mang tính nhất thời, cục bộ, không liên tục của tín hiệu. Những thành phần
này thường biến mất khi sử dụng các phương pháp phân tích có tính chất trung bình như
FT, FFT…Cũng tồn tại một số phương pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian – tần
số như phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt (STFT), phương pháp Wigner –
Ville(WVT), phương pháp phân tích Choi-William (CWD), phép biến đổi Wavelet liên
tục. Trong đó phương pháp biến đổi Wavelet liên tục được sử dụng nhiều hơn cả vì nó
không làm mờ đi những phần tín hiệu đột biến cũng như nó có khả năng phân tích tín hiệu
một cách hiệu quả trong vùng tần số cao.


6
Đã có nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet và chúng tồn tại trong một khoảng thời gian
dài. Tuy nhiên phân tích Wavelet mới chỉ thực sự được biết đến từ giữa những năm 1980
và được phát triển với mục đích phân tích các tín hiệu địa chấn. Ứng dụng của phân tích
Wavelet trong khoa học, kỹ thuật thực sự bắt đầu từ những năm 1990 với sự phát triển
một cách nhanh chóng về số lượng các nghiên cứu về phân tích Wavelet trên hệ toạ độ đề
các. Phép biến đổi Wavelet được sử dụng rộng rãi hiện nay gồm hai loại đó là biến đổi
Wavelet liên tục và biến đổi Wavelet rời rạc.
Phép biến đổi wavelet liên tục thực hiện trên tín hiệu một chiều, và đưa ra một hàm
hai chiều trong đó các đặc tính của tín hiệu được phân tích trên cả hai trục thời gian và tần
số.
Nếu như xét tín hiệu wavelet trong cả miền thời gian và miền tần số thì tín hiệu này
giống như một bản nhạc trong đó thời gian được biểu diễn trên trục nằm ngang và tần số
được biểu diễn trên trục thẳng đứng. Đặc điểm này giúp cho biến đổi wavelet có nhiều
ứng dụng hơn so với biến đổi Fourier (FT). Phân tích một bản nhạc, biến đổi Fourier cho
biết tổng năng lượng mỗi nốt được chơi còn biến đổi wavelet cho biết khi nào thì nốt đó
được chơi.
Có một dạng khác của biến đổi wavelet đó là đa phân tích tín hiệu, thực chất của

phương pháp này là tạo ra một tín hiệu một chiều nhưng tín hiệu đó được cắt thành từng
đoạn ngắn (các đoạn ngắn này không đều nhau mà có độ dài tính theo trục loga). Công
việc cắt ngắn này có mục đích là chia tín hiệu thành hai phần: một phần mang tính trung
bình, một phần chi tiết.
1.4.1. Phép biến đổi Wavelet liên tục
Phép biến đổi Wavelet liên tục là phương pháp phân tích tín hiệu trong miền thời gian
– tần số. Điểm khác biệt so với phương pháp biến đổi Fourier cửa sổ trượt đó là phương
pháp này cho phép xác định các đặc tính của tín hiệu trong vùng tần số cao với độ phân
giải lớn. Thực hiện được điều này là do độ rộng cửa sổ của phép biến đổi có thể thay đổi
được bằng cách thay đổi hệ số tỷ lệ. Một điểm khác biệt quan trọng nữa đó là phép biến
đổi Fourier sử dụng các hàm sin làm hàm cơ sở còn biến đổi Wavelet sử dụng các hàm
toán học được định nghĩa trước không nhất thiết là hàm sin, gọi là các hàm Wavelet cơ sở
(hay còn gọi là các hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet), có tài liệu gọi là hàm Wavelet cha
(father Wavelet)). Có nhiều hàm Wavelet cơ sở khác nhau, tuỳ thuộc vào từng loại tín
hiệu cần phân tích mà một hàm cơ sở nhất định được chọn.
Nói một cách “dân dã” thì biến đổi wavelet được xem như một kính hiển vi có độ
phóng đại điều khiển bởi tham số tỷ lệ. Khi tham số tỷ lệ lớn những đặc tính cơ bản (đặc


7
tính thô) của tín hiệu được phát hiện, tham số này càng nhỏ các đặc điểm tinh của tín hiệu
càng được bộc lộ rõ.
Một tín hiệu x(t) qua biến đổi Wavelet liên tục được biểu diễn như sau:












 dt
a
bt
tx
a
baT
*
).(
1
),(

(1.8)
Trong đó 
*
(t) là liên hợp phức của hàm (t)
(t) là hàm Wavelet cơ sở
a là tham số tỷ lệ
b là tham số dịch mức
Một hàm Wavelet cơ sở phải thoả mãn những điều kiện sau:
1. Có năng lượng hữu hạn
 




dttE

2

(1.9)
2. Nếu (f) là biến đổi Fourier của (t), nghĩa là
   
dtetf
ftj


2
.





(1.10)
thì:

 





df
f
f
C
g

0
2
(1.11)
Điều này có nghĩa là hàm Wavelet cơ sở không có thành phần tần số bằng 0. Hay
(0) =0
Biểu thức (4) gọi là “điều kiện khả thi” và C
g
gọi là hằng số “khả thi”. Giá trị của C
g

phụ thuộc vào hàm Wavelet được chọn.
3. Để Wavelet có thể phân tích và tổng hợp được thì biến đổi Fourier của nó
phải là thực và tiến đến 0 trong miền tần số âm.
Năng lượng của tín hiệu tại toạ độ (a,b) được xác định bằng hàm mật độ năng lượng:
E(a,b) = |T(a,b)|
2
(1.12)
Năng lượng tổng cộng của tín hiệu tính theo hằng số C
g
:

 
  






0

2
2
2
)(,
1
dttxdb
a
da
baT
C
E
g
(1.13)


8
Tổng năng lượng tín hiệu phụ thuộc tỷ lệ a được tính như sau:




 dbbaT
C
aE
g
2
),(
1
)(
(1.14)

Có thể chuyển đổi phổ năng lượng Wavelet theo tham số tỷ lệ E(a) thành phổ năng
lượng theo tần số E
w
(f) để so sánh một cách trực tiếp với phổ năng lượng của tín hiệu khi
thực hiện biến đổi Fourier E
F
(f). Để thực hiện điều này phải chuyển đổi tham số tỷ lệ a về
tham số tần số thông qua tần số đặc trưng của Wavelet theo công thức sau:

a
f
f
c

(1.15)
Trong đó f
c
gọi là tần số đặc trưng của Wavelet ( là tần số của hàm Wavelet cơ sở tại
toạ độ a =1 và b =0)
Cũng giống như phép biến đổi Fourier, tín hiệu ban đầu được khôi phục lại nhờ phép
biến đổi Wavelet ngược:






0
2
,

.
)(),(
1
)(
a
dbda
tbaT
C
tx
ba
g

(1.16)
Biểu thức (1) là phương trình biểu diễn biến đổi Wavelet một tín hiệu dựa trên hàm
Wavelet cơ sở. Thực tế cũng có thể thực hiện biến đổi Wavelet dựa trên biểu thức biến
đổi Fourier:

Trong đó:

bj
ba
eaa


).()(
**
,

(1.18)


*
a,b
() là phổ Fourier của hàm Wavelet cơ sở với tỷ lệ a và độ dịch b. Bằng phương
pháp này với thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) sẽ làm tăng tốc độ tính toán của
phân tích Wavelet.
Phân tích Wavelet được tính toán trên một lưới (hệ toạ độ rời rạc) một chiều là thời
gian và một chiều là tần số, như vậy kết quả tính toán sẽ là giá trị xấp xỉ do tính rời rạc
của lưới. Nói một cách khác, biến đổi Wavelet có tính xấp xỉ, mỗi một khoảng thời gian
sẽ tương ứng với một giá trị của tham số tỷ lệ a do vậy thời gian tính toán khá lớn và biên
   






dXbaT
ba
*
,
2
1
),(
(1.17)


9
độ của tín hiệu sau biến đổi sẽ tăng lên hai hoặc nhiều lần so với tín hiệu ban đầu. Như
vậy tồn tại một lượng lớn các thông tin lặp lại chứa trong biểu thức biến đổi tạo ra dư
thừa. Tránh điều này người ta chỉ xét các đỉnh lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức trong

một đoạn nhỏ. Hai tham số lớn nhất và nhỏ nhất gọi chung là các đỉnh được xác định bởi
phương trình:

0
)/),((
2

da
abaTd
(1.19)
Phương trình trên được sử dụng cho việc xác định tần số và biên độ tức thời của một
thành phần tín hiệu.
Ngoài ra phương trình:

0
),(
2

db
baTd
(1.20)
dùng để xác định vị trí các điểm đặc biệt (những đặc tính bất thường) của tín hiệu.
Phương trình này cũng dùng để xác định các điểm uốn có gradient bằng 0.
1.4.2. Một số hàm Wavelet cơ sở
1.4.2.1.Hàm Wavelet dạng e mũ
Hàm Wavelet dạng e mũ là đạo hàm bậc hai của hàm Gauss được biểu diễn bởi:

   
2
2

1
t
ett



(1.21)
Đồ thị hàm này được biểu diễn trên hình 1b, nó được dùng cho việc phân tích các dữ
liệu nhằm tìm ra các đặc tính hình học trên các bề mặt, tổ chức bên trong của laze cảm
ứng, đo đạc các hệ số cố định trong các vật liệu composite đàn hồi… Hàm này được sử
dụng khá rộng rãi trong nghiên cứu các yêu cầu tính toán các khối cực đại, các đường cực
đại


10
Tất cả các đạo hàm của hàm Gauss đều thoả mãn để trở thành một hàm Wavelet cơ
sở. Tuy vậy, thực tế chỉ sử dụng các đạo hàm bậc nhất và bậc hai
Hình 1: Biểu diễn tín hiệu gốc và biến đổi wavelet của tín hiệu. Hình 1a: đồ thị đạo
hàm bậc nhất của hàm Gauss; hình 1b: Hàm wavelet dạng e mũ (đạo hàm bậc hai của hàm
Gauss) hình 1c: biến đổi wavelet của tín hiệu sử dụng hàm cơ sở là hàm wavelet dạng e
mũ (Tỉ lệ a nhỏ tương ứng với thành phần tần số cao, tỉ lệ a lớn tương ứng với thành phần
tần số thấp).
Tỉ lệ a
lớn
Tỉ lệ a
nhỏ
Hình 1


11

1.4.2.2. Hàm Morlet
Hàm Morlet là một hàm wavelet cơ sở được sử dụng phổ biến nhất. Biểu thức toán
học của hàm Morlet như sau:

 
22
4
2
2
0
0
1
t
tj
eeet














(1.22)

Trong đó 
0
là tần số trung tâm của hàm wavelet cơ sở; số hạng thứ hai trong dấu
ngoặc được coi là đại lượng hiệu chỉnh sao cho biểu thức không thể nhận giá trị bằng 0.
Giá trị của 
0
được chọn > 5. Trước đây, các nhà nghiên cứu chọn giá trị của 
0
nằm
trong khoảng từ 5 – 6 bởi khoảng giá trị này nhỏ nên có thể bỏ qua số hạng hiệu chỉnh;
trong trường hợp này hàm Morlet trở thành:

2
4
2
0
1
)(
t
tj
eet





(1.23)
Hàm Morlet ngắn gọn biểu diễn bởi biểu thức 1.23 được gọi là hàm wavelet Morlet
đơn giản gọi tắt là hàm Morlet. Biểu thức 1.22 gọi là hàm morlet chuẩn hay hàm Morlet
hoàn chỉnh. Nếu 

0
< 5 thì khả năng phân tích tín hiệu về mặt thời gian sẽ tốt hơn về khía
cạnh tần số, nó rất có ích cho một số nhiệm vụ phân tích dữ liệu.
Hình 2: Biểu diễn đồ thị của hai hàm wavelet Morlet. Hình 2a: hàm Morlet với tần số
trung tâm 
0
= 2.0 (f
0
= 0.138Hz); hình 2b: hàm Morlet với tần số trung tâm 
0
= 12 (f
0

=1.909)
a
b
Hình 2:


12
Hình 3 biểu diễn một tín hiệu nhỏ biển đổi wavelet sử dụng hàm Morlet là hàm cơ sở
với tần số trung tâm 
0
=5.33rad/s (f
0
=0.849Hz). Phần thực của tín hiệu sau biến đổi
được biểu diễn trên hình 3b có dạng tương tự như biến đổi sử dụng hàm dạng e mũ (hình
1c). Tính gián đoạn (không liên tục) tại điểm đầu và điểm cuối của tín hiệu gốc được phát
hiện trên đồ thị về pha của tín hiệu sau biến đổi trên hình 3c; những điểm gián đoạn được
chỉ rõ tại các đỉnh của đồ thị về pha. Tần số tức thời kết hợp tín hiệu tăng thì đồ thị tín

hiệu qua biến đổi wavelet sáng hơn - đồ thị modul (hình 3d). Tần số tức thời của một
thành phần tín hiệu được xác định bởi các đỉnh của wavelet; đó là các giá trị cực đại tìm
ra trên đồ thị tỷ lệ. Các đỉnh của tín hiệu được biểu diễn trên đồ thị hình 3e, hệ số tỷ lệ tức

Hình 3:
đỉnh


13
thời a
R
tại thời điểm b
R
là cơ sở để tìm ra tần số tức thời f
R
=f
0
/a
R
. Pha và biên độ tức thời
cũng có thể xác định được từ các đỉnh này.
Hàm Morlet chuẩn được sử dụng cho việc phân tích tương tự như biến đổi Fourier
thời gian ngắn (Fourier cửa sổ trượt) với cửa sổ Gauss (một số tài liệu còn gọi là biến đổi
Gabor). Điểm khác biệt ở đây là, trong biến đổi wavelet dùng hàm cơ sở Morlet các cửa
sổ hay các hàm sin có tỷ lệ khác nhau trong khi biến đổi Fourier cửa sổ trượt có độ rộng
cửa sổ là một hằng số. Biến đổi wavelet có thể tự giới hạn một khoảng thời gian ngắn
tương ứng với giá trị tần số lớn.
1.4.3. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT)
Biến đổi DWT sử dụng một lưới gồm hai thành phần a và b đặt vuông góc nhau và
các hàm wavelet cơ sở (thực chất của biến đổi wavelet rời rạc là biến đổi wavelet liên tục

nhưng các giá trị chỉ lấy tại các vị trí là mắt lưới a,b – a là tham số tỷ lệ, b là tham số dịch
mức). Các tín hiệu vào được xử lý như biến đổi wavelet xấp xỉ sử dụng thuật toán đa
phân giải; do vậy tuy tín hiệu vào là tín hiệu liên tục được biến đổi wavelet rời rạc nhưng
tín hiệu thu được sau biến đổi wavelet ngược có thể được tính toán một cách nhanh
chóng mà không bị mất mát thông tin.
Cách lấy mẫu tham số a và b được thực hiện như sau: sử dụng trục loga rời rạc cho
việc lấy mẫy tham số tỷ lệ a, từ đó tạo ra các bước nhảy cho b, dịch chuyển các bước nhảy
tương ứng với mỗi giá trị của b. Biểu thức tổng quát cho biến đổi wavelet rời rạc có dạng
như sau:











0
00
0
,
1
)(
a
anbt
a
t

m
m
nm

(1.24)
Trong đó m, n là các số nguyên biểu diễn cho độ co, giãn và độ dịch mức. a
0
là tham
số tỷ lệ cố định ban đầu thường đặt lớn hơn 1, b
0
là tham số dịch chuyển ban đầu phải
chọn giá trị lớn hơn 0. Thông thường trong biến đổi wavelet rời rạc hai tham số này được
chọn là a
0
= 2; b
0
=1. Luỹ thừa hai của thang loga với cả hai tham số a và b gọi là lưới
dyadic. Lưới dyadic là cách đơn giản và hiệu quả nhất cho các ứng dụng thực tế và cấu
trúc lên các hàm wavelet cơ sở. Khi đặt a
0
=2 và b
0
= 1 phương trình (1.24) trên trở thành:

)2(2)(
2/
,
ntt
mm
nm




(1.25)
Các lưới dyadic wavelet được chọn phải có tính trực giao và có năng lượng bằng một
đơn vị có nghĩa là:


14
Như vậy các thông tin được lưu trong các hệ số T
m,n
chứa trong các phép biến đổi
wavelet không bị lặp lại mà vẫn cho phép khôi phục lại tín hiệu gốc (không bị dư thừa
thông tin).
Sử dụng lưới wavelet dyadic như phương trình 1.25 biến đổi wavelet rời rạc có thể
được viết lại như sau:




 dtttxT
nmnm
)()(
,,

(1.27)
Trong đó T
m,n
là hệ số wavelet tại toạ độ m,n
Xét yếu tố quan trọng tạo ra sự khác biệt rõ rệt giữa biến đổi wavelet rời rạc và rời rạc

hoá biến đổi wavelet liên tục. Sự rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục yêu cầu một lưới
dùng cho việc xác định các điểm đã được rời rạc và xấp xỉ hoá. Và việc thực hiện biến
đổi ngược dựa trên các điểm này. Độ chính xác của tín hiệu gốc thu được sau biến đổi
ngược phụ thuộc vào độ phân giải của phép rời rạc. Mặt khác, đối với biến đổi wavelet rời
rạc tín hiệu sau khi thực hiện biến đổi chỉ nằm trên các mắt lưới. Tín hiệu gốc có thể thu
được một cách chính xác bằng cách cộng các hệ số DWT với m,n hữu hạn.
Các wavelet trực giao rời rạc được kết hợp với các hàm tỷ lệ. Các hàm tỷ lệ được kết
hợp với làm trơn tín hiệu sẽ có cùng một dạng như tín hiệu wavelet:

)2(2)(
2/
,
ntt
mm
nm


(1.28)
Với đặc điểm:



 1)(
0,0
dtt
(1.29)
Trong đó 
0,0
(t) = (t) là hàm wavelet cơ sở (hàm wavelet mẹ). Hàm tỷ lệ là hàm tự
trực giao nhưng không tự giãn nở, chúng có thể kết hợp với tín hiệu tạo ra các hệ số xấp

xỉ:




 dtttxS
nmnm
)()(
,,
(1.30)
Từ biểu thức trên cho thấy các hệ số xấp xỉ được tạo ra bởi việc lấy trung bình của tín
hiệu liên tục có trọng số = 2
m./2
. Các hệ số xấp xỉ tại các điểm có tỷ lệ m được coi là sự









hoptruong
nnvàmmnêú
dttt
nmnm
0
''1
)()(

',',

(1.26)


15
xấp xỉ rời rạc của tín hiệu tương ứng với tỷ lệ m. Tín hiệu gốc thu được cũng là một tín
hiệu xấp xỉ bằng cách lấy tổng các hàm tỷ lệ:





n
nmnmm
tStx )()(
,,
(1.31)
ở đây x
m
(t) là tín hiệu đã được làm trơn, hàm tỷ lệ phụ thuộc vào mỗi dạng tín hiệu
x(t) và chỉ số tỷ lệ m. Tín hiệu x
m
(t) sẽ tiến đến x(t) khi m -. Như vậy, x(t) có thể
được khôi phục bởi biểu thức:

  








n m n
nmnmnmnm
tTtStx )()()(
,,,0,0

(1.32)
Đặt d
m
(t) là thành phần tín hiệu tại tỷ lệ m, d
m
(t) được xác định bởi:





n
nmnmm
tTtd )()(
,,

(1.33)
Phương trình 1.32 có thể viết gọn lại như sau:






m
mm
tdtxtx )()()(
0
(1.34)
Từ đó suy ra: x
m-1
(t) = x
m
(t) + d
m
(t)
Phương trình trên gọi là phương trình biểu diễn đa phân tích.
1.4.3.1. Đa phân tích và biến đổi wavelet nhanh
Đa phân tích là xử lý, phân tích tín hiệu ở các mức độ chi tiết khác nhau. Phương
pháp này chia tín hiệu thành hai phần: một phần mang tính chất trung bình và một phần
mang tính chi tiết. Thành phần trung bình được tạo ra bằng cách cho tín hiệu gốc qua một
bộ lọc thông thấp; thành phần chi tiết là các thành phần có tần số cao nó thu được nhờ vào
việc đưa tín hiệu gốc qua bộ lọc thông cao. Thông thường, có rất ít thông tin trong thành
phần chi tiết và hầu hết các hệ số của nó bằng 0. Đặc điểm này cho thấy đa phân tích rất
có lợi cho việc nén dữ liệu, hầu hết các thành phần chi tiết có thể bỏ đi và tín hiệu gốc
khôi phục lại chỉ mất rất ít thông tin. Còn thành phần chi tiết có nhiệm vụ làm rõ những
vùng biến đổi nhanh và những đặc điểm không đoán trước được của tín hiệu thành phần
này lại rất có ích cho việc loại bỏ nhiễu.
Để hoàn thành thuật toán đa phân tích, tín hiệu trung bình được đưa vào xử lý lại
tức là lại tạo ra hai phần trung bình hơn và chi tiết hơn trên 1/4 độ dài tín hiệu gốc. Việc
này được thực hiện liên tục cho đến khi các đặc tính cần thiết của tín hiệu đã được xác
định hoặc tổng số các thành phần chi tiết là không đáng kể.

16
* Thuật toán:
Hệ số xấp xỉ tại tỉ lệ (m + 1) có thể được tạo ra bởi các hệ số tỉ lệ trước đó:




k
kmnk
k
knmknm
ScScS
,22,,1
2
1
2
1
(1.35)
Tương tự như trên hệ số wavelet cũng có thể được xác định nhờ các hệ số trước đó:




k
kmnk
k
knmknm
SbSbT

,22,,1
2
1
2
1
(1.36)
Trong đó b
k
là hệ số tỉ lệ.
Từ hai phương trình trên có thể đưa ra kết luận tín hiệu xấp xỉ và tín hiệu thành
phần (ứng với một tỉ lệ nhất định) tại các tỉ lệ >m
0
hoàn toàn có thể xác định được dựa
vào phương trình 1.35 và 1.36 từ đó xác định một cách chính xác tín hiệu x(t) khi biết
S
m0,n
. Phương trình 1.35 ,1.36 biểu diễn thuật toán phân tích đa phân giải. Thuật toán này
là một phần của phép biến đổi wavelet nhanh, bằng cách này có thể tính toán các hệ số
wavelet nhanh hơn so với cách tính trong phương trình 1.27. Về mặt vật lý, biểu thức 1.35
và 1.36 được thực hiện bằng cách cho tín hiệu qua một mạch lọc thông cao và một mạch
lọc thông thấp nếu tín hiệu vào là S
m,2n+k
tín hiệu ra là S
m+1,n
và T
m+1,n
Vector
k
c
2

1
là hệ
số của các nhánh lọc trong bộ lọc thông thấp bộ lọc này chỉ cho phép những thành phần
tín hiệu tần số thấp đi qua vì vậy tín hiệu ra được làm trơn (bằng phẳng) hơn;
k
b
2
1
là hệ
số của các nhánh lọc trong bộ lọc thông cao cho phép những thành phần tín hiệu tần số
cao đi qua, qua bộ lọc này tín hiệu thu được là các tín hiệu chi tiết.
Ngược lại S
m,n
cũng được xác định khi đã biết S
m+1,n
và T
m+1,n
:




k
kmkn
k
kmknnm
TbScS
,2,2,1
2
1

2
1
(1.37)
Cách xác định này gọi là thuật toán khôi phục. ở đây k là hệ số dịch mức tương
ứng với tỷ lệ m. Nếu chỉ có một số hữu hạn các hệ số tỷ lệ khác 0 thì c
n-2k
chỉ nhận giá trị
khác 0 trong khoảng từ 0 đến N
k
-1. Thuật toán khôi phục là phần còn lại của thuật toán đa
phân tích.


17
Xét một ví dụ đơn giản: hàm tỉ lệ là một xung vuông, hàm tỉ lệ này có thể dùng để
khôi phục một tín hiệu bất kỳ đã biết với độ phân giải cố định.
Xét tín hiệu liên tục f(t) được lấy mẫu với khoảng thời gian lấy mẫu là 1s tạo ra
chuỗi fn (n là số nguyên có độ lặp lại là 1s). Nếu  = 1 trong khoảng (0,1) và bằng 0
trong các trường hợp còn lại thì f(t) được khôi phục bằng phương trình:
f(t) = f
0
(t) + f
1
(t - 1) + f
2
(t –2 ) + … (1.38)
với độ chính xác là 1s.
1.4.3.2. Biến đổi wavelet Haar
Wavelet Haar là loại wavelet đơn giản nhất. Trong biến đổi rời rạc thuật toán của
wavelet Haar còn được gọi là biến đổi Haar. Biến đổi Haar được xem là nguyên mẫu của

các loại biến đổi wavelet khác.
Xét tín hiệu rời rạc: là 1 hàm có giá trị tại những điểm thời gian rời rạc, như vậy tín
hiệu có thể được biểu diễn bởi 1 chuỗi f = (f
1
,f
2
…f
N
) N là một số nguyên dương biểu thị
độ dài của tín hiệu f. Giá trị của f là N số thực f
1
, f
2
… f
N
là giá trị của tín hiệu tương tự g
đo tại các thời điểm t
1
, t
2
… t
N
. Vậy:
f
1
= g(t
1
) , f
2
= g(t

2
) …
Giống như tất cả các biến đổi wavelet khác, biến đổi Haar chia tín hiệu rời rạc thành
hai phần: phần thứ nhất mang tính chất trung bình phần còn lại mang tính chi tiết.
Trước hết ta xét phần trung bình ký hiệu là a
1
. Như vậy a
1
= (a
1
, a
2
, … a
N/2
) là một
chuỗi số được tính toán từ chuỗi f theo công thức thức:

2
212 mm
m
ff
a



với m = 1,2, … .N/2 (1.39)
Việc chia cho
2
thay vì chia 2 để nhận được giá trị trung bình nhằm mục đích bảo
toàn năng lượng.

Phần thứ hai là phần chi tiết cấp 1 ký hiệu là d
1
= (d
1
, d
2
… d
N/2
) được xác định bởi:

2
212 mm
m
ff
d



(1.40)
Biến đổi Haar cấp 1:
Biến đổi Haar được thực hiện qua nhiều bước; bước thứ nhất theo sơ đồ như sau:

)|(
11
1
daf
H


Biến đổi ngược của sơ đồ H

1
, tức là xác định lại f từ a
1
và d
1
như sau: