Phân tích động lực học hệ máy - công trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.47 MB, 71 trang )
MỤC LỤC
Mở đầu 1
Tổng quan 2
Danh mục các ký hiệu 5
Chương 1: Một số mô hình giải tích của hệ Máy-Công trình 7
1.1 Phần tử thanh có vật rắn chịu kéo 8
1.1.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh hồi chịu kéo 8
1.1.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu kéo 9
1.1.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo 10
1.2 Phần tử thanh có vật rắn chịu xoắn 14
1.2.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn 14
1.2.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu xoắn 15
1.2.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu xoắn 16
1.3 Phần tử dầm có vật rắn chịu uốn 16
1.3.1 Ma trận chuyển tiếp cho phần tử dầm đàn hồi 16
1.3.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu uốn 18
1.3.3 Giải bài toán trị riêng của dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn 20
Chương 2: Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có vật rắn
30
2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi 30
2.1.1 Tư tưởng của phương pháp 30
2.1.2 Cơ sở toán học của phương pháp 31
2.2 Một số phần tử hữu hạn của các vật đàn hồi thông dụng 34
2.2.1 Phương pháp sử dụng ma trận hàm dạng 34
2.2.1.1 Phần tử thanh chịu kéo 34
2.2.1.2 Phần tử thanh chịu xoắn 35
2.2.1.3 Phần tử dầm chịu uốn 36
2.2.2 Phương pháp khai triển ma trận độ cứng động lực 37
2.2.2.1 Phần tử thanh chịu kéo 37
2.2.2.2 Phần tử thanh chịu xoắn 39
2.2.2.3 Phần tử dầm chịu uốn 39
2.3 Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có vật rắn 41
2.3.1 Mô hình “Phần tử kéo” 42
2.3.2 Mô hình “Phần tử xoắn” 43
2.3.3 Mô hình “Phần tử uốn” 43
2.4 Các ví dụ áp dụng 47
2.4.1 “Phần tử kéo” 47
2.4.2 “Phần tử xoắn” 50
2.4.3 “Phần tử uốn” 51
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
Phụ lục 57
Phụ lục 1: Chương trình tính cho thanh chịu kéo 57
Phụ lục 2: Chương trình tính cho thanh chịu xoắn 60
Phụ lục 3: Chương trình tính cho dầm chịu uốn 63
5
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu
Ý nghĩa
Đơn vị
A
diện tích thiết diện
m
B
hằng số
C
ma trận cản toàn hệ
N.s/m
C
e
ma trận cản phần tử
N.s/m
d
đường kính trục
m
e
chỉ số phần tử
E
môđun đàn hồi
f
tần số dao động riêng
Hz
G
môđun trượt
N/m
2
i, j
đơn vị ảo, chỉ số của phần tử
I
p
mômen quán tính cực thiết diện
m
4
I
x
mômen quán tính chống xoắn thiết diện
m
4
J
mômen quán tính thiết diện
m
4
J
G
mômen quán tính khối lượng của vật rắn
kg.m
2
K
ma trận khối lượng tổng thể
N/m
K
e
ma trận khối lượng phần tử
N/m
e
K
ˆ
ma trận độ cứng động phần tử
kg
l
tỉ số giữa chiều dài vật rắn và dầm đàn hồi
L
chiều dài vật rắn
m
L
0
, L
1
, L
2
chiều dài vật đàn hồi
m
M
ma trận khối lượng hệ tổng thể
kg
M
e
ma trận khối lượng phần tử
kg
M
1
, M
2
, M
j
mômen đầu nút phần tử
N.m
j
MMM
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
21
mômen đầu nút phức phần tử
N.m
N
tổng số phần tử, số bậc tự do
N
1
, N
2
lực kéo nén đầu nút phần tử
N
21
ˆ
,
ˆ
NN
biên độ phức lực kéo nén đầu nút phần tử
N
P
véc tơ lực suy rộng của ngoại lực
N(N.m)
6
Ký hiệu
Ý nghĩa
Đơn vị
P
ˆ
biên độ phức véc tơ lực suy rộng của ngoại lực
N(N.m)
q
véc tơ tọa độ suy rộng
Q
1
, Q
2
lực cắt đầu phần tử
N
r
e
véctơ trường chuyển vị
m
R
bán kính đĩa của vật rắn
m
S
đại lượng vô hướng
t
biến thời gian
s
T
1
, T
2
ma trận chuyển tiếp phần tử
T
e
, T
động năng phần tử, động năng toàn hệ
J
u(x,t)
dịch chuyển dọc trục
m
U
e
, U
véctơ dịch chuyển nút phần tử, và toàn hệ
m(rad)
w(x,t)
độ võng của thiết diện của dầm
m
x, y, z
tọa độ đề các
ZZ
ˆ
,
véctơ trạng thái các đầu phần tử
mật độ khối lượng của vật liệu
kg/m
3
trị riêng
1/m
,
1
tỉ số khối lượng giữa vật rắn và dầm đàn hồi
2
tỉ số mô men quán tính giữa vật rắn và dầm đàn
hồi
tần số riêng
rad
1
LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp Phần tử hữu hạn là một công cụ phổ biến nhất, cho tới
nay, trong việc phân tích động lực kết cấu công trình. Tuy nhiên, hầu hết các
chương trình máy tính dùng trong phân tích kết cấu bằng Phương pháp Phần
tử hữu hạn vẫn chưa giải quyết được trường hợp trong kết cấu công trình có
những phần tử được mô hình là vật rắn tuyệt đối với kích thước lớn so với
kích thước của kết cấu. Để giải quyết vấn đề này thông thường có hai giải
pháp: Giải pháp thứ nhất là sử dụng các phần tử đàn hồi có độ cứng lớn và
giải pháp thứ hai là phân chia các vật rắn về các nút. Với cách thứ nhất khi
gặp các phần tử có độ cứng rất lớn, việc tính toán trên máy tính trở nên rất
khó khăn, thậm chí không thể thực hiện được. Với cách thứ hai, điều này đã
phân chia vật rắn thành các chất điểm rời rạc không liên quan đến nhau. Cách
làm này trên thực tế đã loại bỏ hoàn toàn sự có mặt của vật rắn như là một đối
tượng cần nghiên cứu. Ý tưởng của luận văn là tìm cách phát triển Phương
pháp Phần tử hữu hạn để mô tả cả kết cấu và vật rắn đồng thời như một hệ
hỗn hợp Máy-Công trình để làm tăng độ chính xác khi mô tả các đối tượng rất
thường gặp trong thực tế.
Mục đích của luận văn là xây dựng mô hình Phần tử hữu hạn cho các
hệ hỗn hợp: vật đàn hồi - vật rắn phục vụ cho việc phân tích động lực học các
công trình trong thực tế kỹ thuật.
Nội dung của luận văn gồm phần Mục lục, mở đầu, tổng quan, danh
mục các ký hiệu, hai chương, kết luận và phần phụ lục các chương trình tính
toán bằng phần mềm MAPLE. Trong đó:
Chương 1: Một số mô hình giải tích của hệ Máy-Công trình.
Chương 2: Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có
vật rắn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm,
người đã hướng dẫn tận tình để luận văn được hoàn thành. Tác giả xin chân
thành cảm ơn Trung tâm Hợp tác đào tạo và Bồi dưỡng Cơ học, Viện Cơ học
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Anh Tuấn, KS. Nguyễn Văn
Đắc, KS. Đỗ Thị Ngọc Oanh và các đồng nghiệp Phòng Cơ điện tử, Viện Cơ
học và người thân trong gia đình đã động viên, giúp đỡ và đóng góp các ý
kiến quý báu trong quá trình hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2003
Tác giả
2
TỔNG QUAN
Trong những năm gần đây, lĩnh vực Động lực học Máy-Công trình đã
được sự quan tâm của nhiều nhà Cơ học trong và ngoài nước. Tuy nhiên,
trong một thời gian dài Động lực học máy và Động lực học công trình được
nghiên cứu gần như tách biệt không có mối liên hệ ảnh hưởng lẫn nhau. Việc
này có nhiều nguyên nhân, nhưng chủ yếu là do hai nguyên nhân chính: Thứ
nhất là đối tượng nghiên cứu của hai ngành khác nhau, và thứ hai là các công
cụ tính toán chưa đủ mạnh để giải quyết đồng thời cả hai đối tượng trong
cùng một hệ khảo sát.
Đối tượng của Động lực học máy là các cơ cấu máy chuyển động lớn
trong không gian ba chiều. Mô hình cho hệ Máy là hệ hữu hạn các vật rắn liên
kết với nhau bằng các khớp. Vì vậy các mô hình đưa ra để giải quyết là mô
hình Hệ nhiều vật rắn không biến dạng. Thông thường với một số ít, vài trục
hoặc vài trăm bậc tự do là có thể giải quyết các bài toán động lực học Máy và
cho kết quả phản ánh khá chính xác mô hình các cơ cấu máy trong thực tế kỹ
thuật. Công cụ để giải quyết các mô hình của Động lực học máy trong những
năm gần đây là các chương trình mô phỏng hệ nhiều vật như ADAMS,
ALASKA, NEWEUL
Với Động lực học công trình vấn đề lại hoàn toàn ngược lại. Đối tượng
ở đây là các kết cấu đàn hồi có chuyển động bé, và chúng là các hệ liên tục,
có vô số bậc tự do. Để có thể giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả
chúng ta vẫn phải rời rạc hoá chúng thành hệ hữu hạn bậc tự do. Vì vậy để mô
tả chính xác được các kết cấu này cần một số lượng rất lớn, thậm chí lên tới
hàng vạn, các bậc tự do. Công cụ chủ yếu để giải quyết các bài toán này là các
phần mềm Phân tích kết cấu như SAP, NASTRAN, ANSYS.
Tuy nhiên, như một thực tế khách quan, các đối tượng của hai ngành
trên luôn có sự tương tác qua lại, ảnh hưởng lẫn nhau. Khi các cơ cấu máy
chuyển động lớn trong không gian làm ảnh hưởng tới trường ứng suất, biến
dạng của các chuyển động bé, và ngược lại mỗi sự biến đổi của trường ứng
suất, biến dạng của các chuyển động bé lại ảnh hưởng đến độ chính xác, độ
ổn định của các cơ cấu máy chuyển động lớn trong không gian. Nên việc
nghiên cứu đồng thời mô hình bao gồm cả chuyển động bé và chuyển động
lớn trong một hệ tổng thể là một nhu cầu rất cần thiết đối với việc giải quyết
các bài toán kỹ thuật với yêu cầu độ chính xác và độ tin cậy cao. Vì vậy
nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Công trình là vấn đề rất quan trọng và
mang tính thời sự.
Nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Công trình cho tới bây giờ có hai
hướng giải quyết. Hướng thứ nhất đứng trên quan điểm của Động lực học
Máy để giải quyết các bài toán có các phần tử đàn hồi. Hướng thứ hai đứng
trên quan điểm của Động lực học công trình nghiên cứu các bài toán có các
3
phần tử vật rắn. Nhờ sự phát triển của công cụ tính toán nên có thể giải quyết
đồng thời hai hai đối tượng trong cùng một hệ duy nhất.
Đối với hướng thứ nhất, đã được các nhà Cơ học trong và ngoài nước
nghiên cứu và thu được rất nhiều thành tựu. Tư tưởng chủ đạo của phương
pháp này là mô hình phần tử đàn hồi bằng một tổ hợp đặc biệt các vật rắn
không biến dạng. Các thuộc tính đàn hồi được quy đổi sao cho mô hình thay
thế này tương đương với phần tử đàn hồi theo một tiêu chí đặt ra, chẳng hạn
như tần số riêng, dạng riêng. Có thể kể đến các công trình nghiên cứu nổi bật:
Phương pháp thu gọn bậc tự do của Guyan (1965), mô hình siêu phần tử trong
bộ chương trình ALASKA của GS. Peter Maier ở Cộng hòa Liên bang Đức.
Lý thuyết về các phương pháp này đã được Ahmed A. Shabana trình bày
trong cuốn sách “Dynamics of Multibody systems”. Ở Việt Nam hướng
nghiên cứu này đã được các nhà khoa học đề cập trong những năm gần đây,
có thể kể đến một số công trình như: Luận án của TS. Vũ Văn Khiêm (1996),
Trường đại học Bách khoa Hà Nội về “Tính toán dao động tuần hoàn của cơ
cấu có các khâu rắn và khâu đàn hồi bằng phương pháp số” dưới sự hướng
dẫn của GS. Nguyễn Văn Khang; Luận án của TS. Chu Văn Đạt (2001), Học
viện Kỹ thuật Quân sự về “Ứng dụng mô hình siêu phần tử Động lực học
trong Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi phẳng” dưới sự hướng dẫn của PGS.
Phan Nguyên Di và Đề tài “Động lực học máy và tương tác với công trình
biển” do GS. Nguyễn Cao Mệnh (Viện Cơ học) chủ trì.
Trong hướng nghiên cứu thứ hai, tư tưởng chủ đạo là phát triển các
công cụ phân tích Động lực học công trình để giải quyết các bài toán hệ đàn
hồi có phần tử vật rắn. Có thể kể đến một loạt các công trình nghiên cứu sau:
H.D. Nelson (1976) với công trình “The Dynamics of Roror-Bearing system
Using Finite Elements”; M.Sakata, K. Mimura and S.K.Park (1989) với công
trình “Vibration of bladed flexible rotor due to Gyroscopic moment”; Vahit
Mermertas and Haluk Erol (2001) với công trình “Effect of mass attachment
on the free vibration of cracked beam”; F.Oncescu, A. A. Lakis and
G.Ostiguy (2002) với công trình “Investigation of the stability and steady
state response of asymmetric rotors, using Finite Element Formulation”; P.D.
Cha (2002) với công trình “Natural frequencies of a linear elastic beam
carrying any number of sprung masses” và rất nhiều công trình khác. Ở Việt
Nam hướng nghiên cứu này còn khá mới mẻ. GS. Nguyễn Xuân Hùng (Viện
Cơ học ứng dụng Thành phố Hồ Chí Minh) đã bước đầu có một số công trình
nghiên cứu về phân tích Động lực các cơ cấu mềm bằng phương pháp ma trận
độ cứng động lực. Tuy nhiên, cho tới tận bây giờ, các công trình nghiên cứu
nêu trên vẫn dừng lại ở việc quan niệm các vật rắn là các vật điểm: nghĩa là
các vật rắn có các khối lượng và mômen quán tính nhưng tập trung tại một
điểm và bỏ qua các kích thước không gian của vật rắn. Khi kích thước không
gian của vật rắn không đáng kể cách tập trung khối lượng về các nút là chấp
nhận được, nhưng khi kích thước của vật rắn lớn, việc phân chia khối lượng
4
về các nút vô hình dung đã loại bỏ sự có mặt của vật rắn như là một đối tượng
cần nghiên cứu, làm giảm mức độ chính xác của mô hình.
Vì vậy việc khảo sát đồng thời các vật rắn có kích thước trong kết cấu
đàn hồi là rất cần thiết. Hướng nghiên cứu này là rất mới, còn nhiều vấn đề
cần được các nhà khoa học tập trung giải quyết và hoàn toàn có triển vọng
phát triển. Đấy là lý do để tác giả chọn luận văn “Phân tích Động lực học
Máy-Công trình bằng Phương pháp Phần tử hữu hạn”.
7
Chương 1
MỘT SỐ MÔ HÌNH GIẢI TÍCH CỦA HỆ MÁY-CÔNG TRÌNH
Trong chương này sẽ trình bày cơ sở khoa học để thiết lập phương trình
đặc trưng dao động của một số mô hình giải tích đơn giản của hệ Máy-Công
trình bao gồm cả vật đàn hồi và vật rắn tuyệt đối. Các mô hình cụ thể được
khảo sát ở đây là hệ thanh, dầm đàn hồi có vật rắn chịu kéo, xoắn và uốn. Từ
đó tính được các tần số riêng của các mô hình này. Phương pháp giải được
chọn là phương pháp ma trận chuyển tiếp. Ngoài ra, trong phần này các đại
lượng cơ học như dịch chuyển, góc xoay, lực cắt được biểu diễn trong miền
không gian tần số thay thế cho miền không gian thời gian bằng việc sử dụng
khái niệm biên độ phức. Với cách làm này, các phương trình đạo hàm riêng
theo biến thời gian
t
sẽ được đưa về phương trình đại số. Để thuận tiện cho
việc theo dõi các phần tiếp theo, khái niệm về biên độ phức được trình bày ở
đây.
Khái niệm về biên độ phức: Giả thiết cho hàm điều hòa
)(tu
với tần số
, lúc đó ta có thể biểu diễn
)(tu
dưới dạng:
ti
eutu
)(
ˆ
)(
)(
ˆ
u
được gọi là biên độ phức của
)(tu
, i là số ảo.
Khái niệm về biên độ phức có thể mở rộng cho hàm bất kỳ, khi đó biên
độ phức của hàm
)(tu
là biến đổi Phuriê của chính nó:
dtetuu
ti
)(
2
1
)(
ˆ
và ngược lại, biết
)(
ˆ
u
ta có thể tính được
)(tu
bằng phép biến đổi ngược:
deutu
ti
)(
ˆ
)(
Dưới đây sẽ đưa ra các mô hình giải tích đã nêu trên và cơ sở thiết lập
các ma trận chuyển tiếp cho từng phần tử đàn hồi, phần tử vật rắn riêng rẽ ứng
với mỗi mô hình này. Tích của các ma trận này cho ta ma trận chuyển tiếp của
toàn bộ phần tử đàn hồi có vật rắn. Sử dụng các điều kiện biên ta sẽ thu được
phương trình đặc trưng dao động của toàn hệ. Từ đó sẽ tính được các tần số
dao động riêng.
8
1.1 Phần tử thanh có vật rắn chịu kéo
1.1.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh đàn hồi chịu kéo
Khảo sát phần tử thanh đàn hồi chịu kéo, với quy ước chiều dương của
chuyển vị u(x,t) và các lực kéo N(x,t) được chỉ ra trên hình 1.1. Với các tham
số
, E, A, L
j
lần lượt là mật độ khối lượng, môđun đàn hồi, diện tích thiết
diện và chiều dài của thanh. Trục toạ độ trùng với trục của thanh.
Khi đó phương trình dao động tự do, không cản của dầm tại thiết diện
bất kỳ được mô tả bởi phương trình:
0
),(),(
2
2
2
2
t
txu
x
txu
E
(1.1.1)
Đưa (1.1.1) sang miền không gian tần số bằng phép biến đổi Phuriê đã
nói trên
ti
exutxu
),(
ˆ
),(
, ta thu được:
0),(
ˆ
),(
ˆ
2
2
2
xu
dx
xud
(1.1.2)
với
E
(1.1.3)
Nghiệm của (1.1.2) có dạng:
)cos()sin(),(
ˆ
xBxAxu
Các hằng số A, B phụ thuộc vào các điều kiện biên ở hai đầu thanh:
j
j
Lxjxjjj
N
x
u
EAN
x
u
EAuLuuu
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
,)(
ˆ
,)0(
ˆ
101
Hình 1.1. Chuyển vị và lực đầu phần tử thanh chịu kéo.
Từ các điều kiện này ta có mối liên hệ:
1
1
ˆ
ˆ
)cos()sin(
)sin(
1
)cos(
ˆ
ˆ
j
j
jj
jj
j
j
N
u
LLEA
L
EA
L
N
u
(1.1.4)
nếu ký hiệu các véc tơ trạng thái đầu nút j và j-1 tương ứng là:
T
jjj
NuZ
ˆ
ˆ
ˆ
,
T
jjj
NuZ
111
ˆ
ˆ
ˆ
N
j
, E, L
j
u
j-1
u
j
x
N
j-1
9
)cos()sin(
)sin(
1
)cos(
jj
jj
j
LLEA
L
EA
L
T
(1.1.5)
là ma trận chuyển tiếp của phần tử đàn hồi chịu kéo. Ta có thể viết lại phương
trình (1.1.4) dưới dạng:
1
ˆˆ
jjj
ZTZ
(1.1.6)
Phương trình (1.1.6) cho ta mối liên hệ giữa véc tơ trạng thái tại hai đầu
của phần tử đàn hồi chịu kéo thông qua ma trận chuyển tiếp. Ý nghĩa của
phương pháp ma trận chuyển tiếp là nếu biết ma trận chuyển tiếp, biết véc tơ
trạng thái tại một đầu, ta có thể xác định được véc tơ trạng thái tại đầu còn lại
của phần tử.
1.1.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu kéo
Khảo sát mô hình vật rắn chịu kéo và quy ước chiều các lực kéo đầu
nút của phần tử vật rắn và chiều dương của dịch chuyển như trên hình 1.2.
Hình 1.2. Phần tử vật rắn chịu kéo.
Vì phần tử là vật rắn, nên ta có mối liên hệ giữa chuyển vị của hai đầu:
1
ˆˆ
jj
uu
(1.1.7)
sử dụng nguyên lý Đalămbe, chiếu phương trình cân bằng của vật rắn lên trục
nằm ngang ta có:
0),(
1
jj
NNtxum
(1.1.8)
hay
1
),(
jj
NtxumN
(1.1.9)
Chuyển phương trình (1.1.9) xang biên độ phức ta có:
1
2
ˆ
),(
ˆ
ˆ
jj
NxumN
(1.1.10)
từ (1.1.7), (1.1.10) ta có mối liên hệ:
1
1
2
ˆ
ˆ
1
01
ˆ
ˆ
j
j
j
j
N
u
m
N
u
(1.1.11)
viết gọn lại dạng
1
ˆˆ
jjj
ZTZ
, trong đó:
u
F
qt
N
j
N
j-1
10
1
01
2
m
T
j
(1.1.12)
được gọi là ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu kéo nén. Ma trận này
không phụ thuộc vào chiều dài của vật rắn.
1.1.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo
Khảo sát mô hình phần tử thanh có vật rắn chịu kéo trên hình 1.3.
T
1
T
2
T
body
m
, E, A, L
1
, E, A, L
2
x
N
0
N
L
N
R
N
1
u
F
qt
N
L
N
R
Hình 1.3. Mô hình thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo.
Phân tách thanh thành ba trường, tương ứng với ba ma trận chuyển tiếp
1
T
,
body
T
,
2
T
. Các ma trận này được tính dựa theo công thức (1.1.5) và (1.1.12).
Khi đó ma trận chuyển tiếp của toàn bộ phần tử được xác định:
12
TTTT
body
(1.1.13)
Trong đó:
)cos()sin(
)sin(
1
)cos(
11
11
1
LLEA
L
EA
L
T
,
)cos()sin(
)sin(
1
)cos(
22
22
2
LLEA
L
EA
L
T
1
01
2
m
T
body
Đặt
11
L
,
22
L
. Thực hiện phép nhân các ma trận, ta thu được ma trận
chuyển tiếp T của thanh là một ma trận vuông cấp hai, có các phần tử được
xác định như sau:
)sin()sin()cos()sin(
1
)cos(
121
2
2211
m
EA
T
11
EA
m
EAEA
T
)cos()sin(
)sin()sin(
1
)cos(
1
12
1
2
2212
)sin()cos()cos()cos()sin(
121
2
2221
EAmEAT
)cos()cos()sin()cos()sin(
1
121
2
2222
mEA
EA
T
Ta có thể viết lại ma trận chuyển tiếp dưới dạng rút gọn:
21
2
2121
2
21
21
2
2
2121
2
21
cossin)cos(coscos)sin(
sinsin
)(
)sin(
1
sincos)cos(
EA
m
mEA
EA
m
EAEA
m
T
(1.1.15)
Mối liên hệ giữa các véc tơ trạng thái có thể viết dạng:
01
ˆˆ
ZTZ
với
01
ˆ
,
ˆ
ZZ
là các véc tơ trạng thái hai đầu của thanh có vật rắn chịu kéo.
Từ (1.1.15) ta dễ dàng nhận thấy, trong những trường hợp đặc biệt:
Khi
0m
, phương trình này cho ta ma trận chuyển tiếp của phần
tử đàn hồi chịu kéo nén, có chiều dài
21
LLL
.
Khi
0,0
21
LL
ta thu được ma trận chuyển tiếp của vật rắn.
Ở hai đầu của thanh luôn có hai điều kiện biên: hoặc ứng với điều kiện
về chuyển vị hoặc điều kiện về lực kéo. Với các điều kiện biên này, ta sẽ xác
định phương trình đặc trưng của phần tử thanh trong từng trường hợp cụ thể.
Chẳng hạn như:
Đối với thanh bị ngàm một đầu, điều kiện biên có dạng:
0),0( tu
,
0
),(
),(
2121
LLxLLx
t
txu
EAtxN
nên phương trình đặc trưng có dạng
0
22
T
, hay:
0cossin)cos(
21
2
21
EA
m
Khi
0m
, ta thu được phương trình đặc trưng của phần tử đàn hồi bị
ngàm một đầu:
0)cos(
21
(1.1.16)
Đối với thanh bị ngàm hai đầu, ta có các điều kiện biên:
0),0( tu
,
0),(
21
tLLu
nên phương trình tần số có dạng
0
12
T
, hay:
12
0sinsin
)(
)sin(
1
21
2
2
21
EA
m
EA
Khi
0m
, ta thu được phương trình đặc trưng của phần tử đàn hồi bị
ngàm hai đầu :
0)sin(
21
(1.1.17)
Hệ thức (1.1.16), (1.1.17) trùng hợp với kết quả trong [1], [2].
Để khảo sát ảnh hưởng của khối lượng
m
tới các tần số riêng của thanh
đàn hồi có vật rắn này, ta khảo sát phương trình đặc trưng của nó khi bị ngàm
đầu bên trái như trên hình 1.4.
Hình 1.4. Thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo bị ngàm đầu bên trái
Viết lại phương trình đặc trưng đã nêu ở trên dưới dạng:
0cossin)cos(
21
2
21
EA
m
hay:
)cos()sin(
)cos(
11
11
2
EA
m
thay
22
E
ta thu được phương trình:
)cos()sin(
)(cos
21
21
LL
LL
A
m
đặt:
)(
21
LLA
m
là tham số mô tả ảnh hưởng của khối lượng lên phương trình đặc trưng của
phần tử chịu kéo (
là tỉ số giữa khối lượng phần tử vật rắn và khối lượng
của thanh đàn hồi có chiều dài
21
LLL
). Khi đó phương trình đặc trưng để
xác định trị riêng
trở thành:
)cos()sin()(
)(cos
2121
21
LLLL
LL
(1.1.18)
m
, E, A, L
1
, E, A, L
2
13
Phương trình (1.1.18) là phương trình đại số phi tuyến. Ứng với một
giá trị của
. Giải phương trình này bằng phương pháp số ta thu được một tập
vô hạn các trị riêng
k
.
Để thấy được ảnh hưởng của khối lượng
m
lên các tần số riêng của hệ
ta xét ví dụ cụ thể sau: Với L
1
=0.3, L
2
=0.3, cho
thay đổi trong khoảng
20
. Giải phương trình (1.1.18) ta thu được kết quả các trị riêng được liệt kê
trong bảng 1.
Bảng 1. Giá trị các trị riêng của dao động dọc trục khi khối lượng thay đổi
1
2
3
4
5
6
0
2.618
7.854
13.090
18.326
28.798
34.034
0.1
2.494
7.486
12.492
17.519
22.570
32.740
0.2
2.381
7.176
12.047
17.00
22.034
32.212
0.3
2.281
6.925
11.735
16.687
21.732
31.973
0.4
2.190
6.722
11.516
16.488
21.559
31.843
0.5
2.108
6.559
11.357
16.353
21.446
31.761
0.6
2.033
6.424
11.237
16.257
21.368
31.705
0.7
1.966
6.313
11.145
16.185
21.310
31.665
0.8
1.904
6.220
11.072
16.129
21.266
31.634
0.9
1.847
6.141
11.013
16.085
21.232
31.610
1.0
1.795
6.073
10.964
16.049
21.204
31.591
1.1
1.747
6.014
10.923
16.020
21.181
31.575
1.2
1.702
5.963
10.888
15.995
21.116
31.562
1.3
1.660
5.917
10.858
15.973
21.145
31.551
1.4
1.622
5.877
10.833
15.955
21.131
31.541
1.5
1.585
5.842
10.810
15.939
21.119
31.533
1.6
1.551
5.810
10.790
15.925
21.108
31.526
1.7
1.519
5.781
10.772
15.912
21.098
31.519
1.8
1.489
5.755
10.756
15.901
21.090
31.514
1.9
1.461
5.731
10.742
15.891
21.082
31.507
2.0
1.434
5.709
10.729
15.882
21.075
31.504
Với các số liệu trong bảng, ta nhận được sự phụ thuộc giữa các trị riêng
và tham số khối lượng ở dạng đồ thị được đưa ra trên các hình 1.5, 1.6.
Đồ thị giữa tần số riêng và tham số khối lượng
có hình dáng hoàn
toàn tương tự, chỉ sai khác một hằng số phụ thuộc vào vật liệu của thanh đàn
hồi đã được đưa ra ở công thức (1.1.3).
14
Hình 1.5. Trị riêng thứ nhất của dao động dọc trục.
Hình 1.6. Sáu trị riêng đầu tiên của dao động dọc trục.
Nhận xét kết quả:
Các trị riêng giảm khi khối lượng tăng lên.
Sự phụ thuộc giữa tham số khối lượng và trị riêng của dao động
là quan hệ gần tuyến tính.
1.2 Phần tử thanh có vật rắn chịu xoắn
1.2.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn
Khảo sát phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn, với quy ước chiều dương
của góc xoay và các mômen xoắn đầu phần tử được chỉ ra trên hình 1.7.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
1/m
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1/m
6
5
4
3
2
1
15
Hình 1.7. Phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn.
Khi đó phương trình dao động tự do, không cản của thanh tại thiết diện
bất kỳ được mô tả bởi phương trình:
0
),(
)(
),(
2
2
2
2
t
tx
xI
x
tx
GI
px
(1.2.1)
Trong đó
)(xI
p
,
)(xI
x
lần lượt là mômen quán tính cực và mômen
chống xoắn của thiết diện. Khi thiết diện tròn thì
)()( xIxI
xp
.
Đưa phương trình (1.2.1) sang không gian tần số bằng phép biến đổi
Phuriê
ti
extx
),(
ˆ
),(
, ta thu được:
0),(
ˆ
),(
ˆ
2
2
2
x
dx
xd
(1.2.2)
với
22
)(
x
p
GI
xI
Tương tự như phần tử thanh chịu kéo, sử dụng các điều kiện biên cho
góc xoay và mômen xoắn hai đầu ta thu được ma trận chuyển tiếp của thanh
đàn hồi chịu xoắn.
)cos()sin(
)sin(
1
)cos(
jjx
j
x
j
j
LLGI
L
GI
L
T
(1.2.3)
1.2.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu xoắn
Hình 1.8. Phần tử vật rắn trong thanh chịu xoắn.
Khảo sát phần tử vật rắn trong thanh đàn hồi chịu xoắn, có mômen
quán tính quanh trục xoắn là J
G
, trên hình 1.8. Hoàn toàn tương tự phần tử
vật rắn chịu kéo, bằng cách sử dụng nguyên lý Đalămbe, viết phương trình
cân bằng mômen cho phần tử vật rắn, ta thu được mối quan hệ:
M
j-1
M
j
j-1
j
L
j
, I
p
, I
x
M
j-1
M
j
J
G
j-1
j
16
1
1
2
ˆ
ˆ
1
01
ˆ
ˆ
j
j
G
j
j
M
J
M
(1.2.4)
viết gọn lại dạng
1
ˆˆ
jjj
ZTZ
, trong đó nếu ký hiệu:
T
jjj
MZ
ˆ
ˆ
ˆ
,
T
jjj
MZ
111
ˆ
ˆ
ˆ
tương ứng là các véc tơ trạng thái các nút đầu phần tử j và j-1.
1
01
2
G
j
J
T
(1.2.5)
được gọi là ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu xoắn.
1.2.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu
xoắn
Khảo sát thanh có vật rắn chịu xoắn trên hình (1.8). Tương tự như
thanh chịu kéo ta thu được ma trận chuyển tiếp của thanh chịu xoắn là tích
của các ma trận chuyển tiếp của từng các trường trong thanh. Ma trận chuyển
tiếp của phần tử đàn hồi được xác định theo công thức (1.2.3), ma trận chuyển
tiếp của phần tử vật rắn được xác định theo công thức (1.2.5). Việc phân tích
ảnh hưởng của mômen quán tính lên các tần số riêng của thanh đàn hồi có vật
rắn chịu xoắn cũng hoàn toàn tương tự trường hợp chịu kéo. Với lưu ý rằng
các tham số khối lượng m, môđun đàn hồi E và diện tích thiết diện A trong
trường hợp chịu kéo được thay thế bằng các tham số mômen quán tính J
G
,
môđun trượt G và mômen chống xoắn thiết diện I
x
. Ngoài ra với bài toán xoắn
thanh có thiết diện bất kỳ ta phải chú ý tới hệ số
x
p
I
I
trong mối liên hệ giữa trị
riêng
và tần số riêng
.
1.3 Phần tử dầm có vật rắn chịu uốn
1.3.1 Ma trận chuyển tiếp cho phần tử dầm đàn hồi
Khảo sát phần tử dầm đàn hồi chiều dài
j
L
, tiết diện không đổi A,
môđun đàn hồi E, mật độ khối
, mômen quán tính thiết diện J, và các lực,
mômen đầu dầm như trên hình 1.9.
Hình 1.9. Mô hình dầm đàn hồi.
M
j-1
, Q
j-1
M
j
, Q
j
W,
17
Phương trình dao động tự do của dầm đàn hồi chịu uốn, đã được trình
bày trong [1], [2], [3] có dạng:
0
),(),(
4
4
2
2
x
txw
EJ
t
txw
A
(1.3.1)
Đưa phương trình (1.3.1) xang biên độ phức ta thu được phương trình:
0),(
ˆ
),(
ˆ
4
4
4
xw
dx
xwd
(1.3.2)
trong đó:
24
EJ
A
(1.3.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.3.2) có dạng:
)()()()(),(
ˆ
44332211
xKCxKCxKCxKCxw
(1.3.4)
với K
1
,
K
2
, K
3
, K
4
là các hàm Krưlốp được định nghĩa như sau:
)sin(sinh
2
1
)(),sin(sinh
2
1
)(
)cos(cosh
2
1
)(),cos(cosh
2
1
)(
42
31
xxxKxxxK
xxxKxxxK
Các hằng số C
1
,
C
2
, C
3
, C
4
được xác định từ các điều kiện biên về độ
võng
),(
ˆ
xw
, góc xoay
),(
ˆˆ
xw
, mômen uốn
M
ˆ
và lực cắt
Q
ˆ
tại biên đầu
bên trái của dầm khi x=0 theo các quan hệ sau:
4
3
13
2
1
2111
)0(
ˆ
ˆ
,)0(
ˆ
ˆ
)0(
ˆ
ˆ
,)0(
ˆˆ
EJCwQEJCwM
CwCww
jj
jj
(1.3.5)
Thay các hệ số C
j
(j=1 4) đã được xác định từ hệ thức (1.3.5) vào
phương trình (1.3.4) ta thu được:
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
4
3
3
1
3
2
2
1
2
1
11
xK
EJ
LQ
xK
EJ
LM
xK
L
xKwxw
jjjjjj
j
(1.3.6)
Sử dụng các điều kiện biên bên phải của dầm khi
j
Lx
)(
ˆ
ˆ
),(
ˆ
ˆ
),(
ˆ
ˆ
),(
ˆˆ
jjjjjjjj
LwEJMLwEJQLwLww
ta sẽ có:
18
)(
ˆ
)(
ˆ
ˆ
)(
ˆ
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
11411
2
21
3
2
1
11413
2
3
2
1
2
1
1141
4
3
1
3
2
1
2
1
11
jjjjjjjj
j
j
jjjjjj
j
j
j
j
jjjjj
j
j
j
j
j
j
jjj
LKQLKMEJLKwEJQ
LK
Q
LKMLKEJLEJKM
LK
EJ
Q
LK
EJ
M
LKLKw
LK
EJ
Q
LK
EJ
M
LKLKww
(1.3.7)
Đưa vào véc tơ trạng thái hai đầu của dầm:
T
jjjjj
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
,
T
jjjjj
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
11111
ta có thể viết gọn lại hệ thức (1.3.7) dạng ma trận:
1
ˆˆ
jjj
ZTZ
Trong đó:
)()()()(
)()/1()()()(
)()/1()()/1()()(
)()/1()()/1()()/1()(
143
2
2
3
2143
2
3
2
214
4
3
3
2
21
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
j
KKEJKEJK
KKEJKEJK
KEJKEJKK
KEJKEJKK
T
(1.3.8)
là ma trận chuyển tiếp của dầm đàn hồi. Ở đây
jj
L
.
1.3.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu uốn
Khảo sát mô hình vật rắn chịu uốn với các thông số trên hình 1.10.
Hình 1.10. Mô hình vật rắn chịu uốn.
Chuyển động của vật rắn được mô hình là chuyển động song phẳng
nhưng chỉ với hai bậc tự do phù hợp lý thuyết dầm Ơle. Các toạ độ suy rộng
M
j
G
F
qt
Q
j-1
M
j-1
Q
j
G
j
W
j
D
L
G
w
G
H
M
qt
19
tại các thiết diện bất kỳ là độ võng
)(tw
và góc xoay
)(t
. Ký hiệu
)(),( ttw
GG
lần lượt là độ võng và góc xoay của thiết diện đi qua trọng tâm G. Vật rắn có
khối lượng m, chiều dài L, mômen quán tính đối với trục qua G là J
G
. Hệ lực
tác động lên vật rắn bao gồm:
Các lực cắt và mômen uốn đầu dầm: Q
j-1
,
Q
j
,
M
j-1
, M
j
Lực cản của môi trường tỉ lệ với vận tốc:
)(tWD
Gj
Các lực và mômen quán tính F
qt
và M
qt.
Do phần tử là vật rắn nên ta có các quan hệ sau:
jjj
Ltwt
)()(w
1j
(1.3.9)
1
jj
(1.3.10)
11
)()()(
jGjjjG
LLtwtw
(1.3.11)
Từ phương trình cân bằng lực của vật rắn ta có:
GjjGj
wDQwmQ
1
Chuyển xang biên độ phức, ta nhận được:
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
1
2
GjjGj
wDiQwmQ
)(
ˆ
)(
ˆ
)()(
ˆ
1
2
jGj
QwDimQ
Thay giá trị
G
w
ˆ
từ phương trình (1.3.11) vào phương trình này, suy ra:
)(
ˆ
)(
ˆ
))((
ˆ
)()(
ˆ
11
2
1
2
jjGjjj
QLLDimwDimQ
(1.3.12)
Từ phương trình cân bằng mômen của vật rắn, ta có:
GjjjjjGj
LQQLQMtJM )()(
111
Chuyển xang biên độ phức:
GjjjjjGj
LQQLQMtJM )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)()(
ˆ
111
2
Từ phương trình (1.3.5), ta có:
)(
ˆ
))(()(
ˆ
)()(
ˆ
)(
ˆ
1
22
1
jGjjj
LLDimwDimQQ
Đặt
j
Dim
2
,
HLL
Gj
, ta sẽ có:
GjjjjjjGj
LHwLQMJM )](
ˆ
)(
ˆ
[)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
111
2
Sắp xếp các số hạng, ta nhận được:
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
][)(
ˆ
)(
ˆ
11
2
jjjGGjGjj
QLMJHLwLM
(1.3.13)
20
Từ (1.3.9), (1.3.10), (1.3.12), (1.3.13) ta có thể viết dưới dạng ma trận
hệ thức sau:
1
ˆˆ
jjj
ZTZ
trong đó:
T
jjjjj
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
,
T
jjjjj
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
11111
là các véc tơ trạng thái hai thiết diện đầu dầm.
10)()(
1])[()(
0010
001
22
22
HDimDim
LJHL
iD
mLDim
L
T
jj
jGG
j
Gj
j
j
(1.3.14)
được gọi là ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu uốn.
1.3.3 Giải bài toán trị riêng của dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn
Khảo sát mô hình dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn với giả thiết chiều
của các lực và mômen đầu dầm, chiều dương của độ võng, góc xoay cùng các
thông số được chỉ ra trên hình 1.11.
Hình 1.11. Phân tích lực các phần tử của dầm có vật rắn.
Ma trận chuyển tiếp của toàn bộ phần tử dầm có vật rắn chịu uốn khi
không có cản được xác định như sau:
12
TTTT
Rigid
trong đó T
1
, T
2
được xác định từ công thức (1.3.8), T
Rigid
được xác định từ
công thức (1.3.14) cho trường hợp D
j
=0.
Ký hiệu
11
L
,
22
L
. Thực hiện phép nhân các ma trận ta thu được T là
ma trận vuông cấp bốn, có các thành phần dưới đây:
M
1
, Q
1
W,
M
L
, Q
L
M
L
, Q
L
M
R
, Q
R
M
R
, Q
R
M
0
, Q
0
T
1
T
Rigid
T
2
, A, E, J, L
1
, A, E, J, L
2
m, J
G
, L
21
)(/)(/)()()(
)(
)())((
/)()(
)(/)(/)()(
12
3
24
2
23
2
1323
14
3
2
24
2
2
23
2221
11
2
24
22
232111
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
KLK
KEJmKEJmLKKT
GG
G
/)(/)(/)()()(
)(
)())(()(
)(
/)(/)(/)()(
13
3
24
2
223
2
1424
11
3
2
24
2
2
2322
21
12
3
2
24
22
232112
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJKK
LK
KEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)(/)()(
)(
)())(()(
)(
1
/)(/)(/)()(
14
3
24
2
23
2
1123
12
3
2
24
2
2
2322
21
2
13
32
24
22
232113
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJKK
LK
EJ
EJKEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)(J/)()(
)(
)(
))((
)(
)(
J
1
/)(/)(/)()(
14
3
24
2
23
3
1323
13
3
2
24
2
2
23
22
21
2
3
14
2
24
22
232114
KEJKEJLKEKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
K
LK
E
EJKEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)()()(
)(
)())((
)()(
)(/)(/)()(
12
2
2322
3
1322
14
2
2
23
2
22
2124
11
2
24
2
2
2
232121
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
KLK
KEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)()()(
)(
)())((
)()(
/)(/)(/)()(
13
2
2322
2
1422
11
2
2
23
2
22
2124
12
22
23
2
222422
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
KLK
KEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)(/)()(
)(
)())((
)()(
1
/)(/)(/)()(
14
2
23221122
12
2
2
23
2
22
2124
2
13
22
23
2
222423
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
KLK
EJ
EJKEJmKEJmLKKT
GG
G
)(/)(/)(/)()(
)(
)())((
)()(
1
/)(/)(/)()(
11
2
2322
2
1222
13
2
2
23
2
22
2124
2
3
14
22
23
2
222424
KEJKEJLKEJKK
K
EJ
mHK
EJ
mHLJK
KLK
EJ
EJKEJmKEJmLKKT
GG
G
22
)(/)()()()(
)(
)(
))(()()(
)(/)()()(
122221
3
1321
2
14
2
22
2
212423
2
11
2
22
2
2123
2
31
KKLKEJKEJK
K
mHK
mHLJKEJKLEJK
KmKmLKEJKT
GG
G
)(/)()()()(
)(
)(
))(()()([
/)(/)()()(
132221
2
1421
11
2
22
2
212423
2
12
2
22
2
2123
2
32
KKLKEJKEJK
K
mHK
mHLJKEJKLEJK
KmKmLKEJKT
GG
G
)(/)()()()(
)(
)(
))(()()(
1
/)(/)()()(
1422211121
12
2
22
2
212423
2
2
13
2
22
2
2123
2
33
KKLKKK
K
mHK
mHLJKEJKLEJK
EJ
EJKmKmLKEJKT
GG
G
)(/)()(/)()(
)(
)(
))(()()(
1
)(/)()()(
1122211221
13
2
22
2
212423
2
2
14
2
22
2
2123
23
34
KKLKKK
K
mHK
mHLJKEJKLEJK
EJ
KmKmLKEJKEJT
GG
G
)()()()()(
)()())(()()(
)()()()(
122124
3
1324
3
14
2
21
2
2423
2
22
3
11
2
21
2
2422
3
41
KKLKEJKEJK
KmHKmHLJKEJKLEJK
KmKmLKLEJKT
GG
G
)()()()()(
)()())(()()(
/)()()()()(
132124
2
1424
2
11
2
21
2
2423
2
22
3
12
2
21
2
242422
3
42
KKLKEJKEJK
KmHKmHLJKEJKLEJK
KmKmLKKEJKT
GG
G
)()()()()(
)()())(()()(
1
/)()()()()(
1421241124
12
2
21
2
2423
2
22
3
2
13
2
21
2
242422
3
43
KKLKKK
KmHKmHLJKEJKLEJK
EJ
EJKmKmLKKEJKT
GG
G
)()()()()()(])(
))(()()()([
1
/)()()()()(
11212412241321
2
242423
2
22
3
2
3
14
2
21
2
242422
3
44
KKLKKKKmHK
mHLJKEJKEJKLEJK
EJ
EJKmKmLKKLEJKT
GG
G
(1.3.15)
Ta có thể viết gọn dạng ma trận:
01
ˆˆ
ZTZ
Trong đó:
T
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
11111
,
T
QMWZ )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆˆ
00000
23
là các véc tơ trạng thái hai đầu của phần tử dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn.
Ma trận chuyển tiếp T được xác định theo công thức (1.3.15).
Do các điều kiện biên nên trong bốn thành phần của hai véc tơ trạng
thái
o
Z
ˆ
,
1
ˆ
Z
luôn có hai thành phần hoàn toàn xác định. Vì vậy trong mỗi
trường hợp cụ thể ta chỉ cần tính định thức của ma trận cấp hai là thu được
phương trình đặc trưng dao động của phần tử này.
Ta khảo sát bài toán trị riêng của dầm hai gối tựa có các thông số được
chỉ ra trên hình 1.12.
Hình 1.12. Phần tử dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn.
Với dầm hai gối tựa này, điều kiện biên ở mỗi đầu là độ võng và
mômen uốn bằng không. Khi đó phương trình đặc trưng của hệ trở thành:
0
14323412
TTTT
(1.3.16)
Để đơn giản, ta xét trường hợp: L
1
=L
2
=L
0
/2, H=L
G
=L/2. Thay các biểu
thức tính các phần tử của ma trận T đã được tính ở (1.3.15) vào (1.3.16) ta thu
được phương trình đặc trưng có dạng như sau:
0
321
EEE
(1.3.17)
trong đó:
coshcos4)cossinhcosh(sin
32
1
EJmE
coshcos)sincoshsinh(cos
322
2
L
EJ
J
E
G
sinsinh4)cossinhsin(cosh2
2
3
LE
với
021
2
1
L
. Thay:
42
A
EJ
(1.3.18)
qua một phép vài biến đổi ta đưa (1.3.7) thành hệ hai phương trình:
m, J
G
, A, E, J, L
1
L
, A, E, J, L
2
