ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC GIẢI TÍCH PHỔ TOÁN TỬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
GIẢI TÍCH PHỔ TOÁN TỬ
1. Thông tin về giảng viên:
- Họ và tên: Trần Đức Long
- Chức danh, học hàm, học vị: Tiến sĩ
- Thời gian, địa điểm làm việc:
- Địa chỉ liên hệ: Khoa Toán – Cơ – Tin học.
- Các hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết nội suy
2. Thông tin về môn học:
- Tên môn học: Giải tích phổ toán tử
- Mã môn học:
- Số tín chỉ: 2
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập: 45
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp: 25
+ Tự học: 5
- Đơn vị phụ trách môn học:
+ Bộ môn.: Giải tích
+ Khoa: Toán – Cơ – Tin học
- Môn học tiên quyết: Giải tích hàm
3. Mục tiêu của môn học:
- Mục tiêu về kiến thức: trang bị cho sinh viên những kiến thức sâu hơn về phổ của
toán tử tuyến tính, đặc biệt là phổ của toán tử tự liên hợp và toán tử unita và một số
kiến thức về toán tử không bị chặn.
- Mục tiêu về kĩ năng: rèn luyện tư duy trừu tượng, khả năng khái quát hóa.
4. Tóm tắt nội dung môn học:
Phân lớp phổ của toán tử liên tục, đặc biệt là toán tử tự liên hợp, toán tử có phổ đơn

và toán tử unita. Xây dựng phổ và biểu diễn tích phân phổ của toán tử tự liên hợp.
Ngoài ra cũng giới thiệu một số kiến thức mở đầu về toán tử không bị chặn, phổ của
toán tử không bị chặn, toán tử đối xứng, phép biến đổi Cayley, phân tích phổ.

2
5. Nội dung chi tiết môn học:
Chương 1. Phổ của toán tử tự liên hợp và toán tử Unita
1.1. Phân lớp phổ
1.2. Các tính chất cơ bản của phổ của toán tử liên hợp
1.3. Thứ tự trong không gian các toán tử tự liên hợp
1.4. Toán tử chiếu và toán tử chiếu trực giao
1.5. Hàm của toán tử và xây dựng tích phân phổ
1.6. Họ phổ và phân tích phổ của toán tử tự liên hợp
1.7. Phổ đơn
1.8. Các tính chất phổ của toán tử unita
Chương 2. Toán tử tự liên hợp và toán tử đối xứng không bị chặn trong
không gian Hilbert
2.1. Những khái niệm cơ bản và ví dụ
2.2. Các tính chất của toán tử đối xứng
2.3. Phổ của toán tử không bị chặn
2.4. Phương pháp đồ thị
2.5. Phân tích phổ
2.6. Mở rộng đối xứng và mở rộng tự liên hợp của toán tự tự đối xứng
6. Học liệu:
6.1 Học liệu bắt buộc
1. Yuli Eidelman – Vitali Milman – Anatolis Tsolomitis. Functional analysis.
American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2004
2. N.I. Akhiezer, I.M.Glazman. Theory of linear operators in Hilbert space.
Translation, Merlynd Nestell Dover, 1993.
6.2 Học liệu tham khảo

3. W.Rudin. Functional analysis, Mc.Graw Hill, 1991.
4. N.Dunford and J.T.Schwarz. Linear operators, Wiley classic library ed, 1998
5. V.Trenoguine. Analyse functionnelle, Mir, Moscou, 1985
7. Hình thức tổ chức dạy học:
7.1 Lịch trình chung:





3
Nội dung
Hình thức tổ chức dạy học môn học
Tổng
Lên lớp Thực hành,
thí nghiệm,
điền dã
Tự học, tự
nghiên
cứu
Lý thuyết Bài tập
Thảo
luận
Chương 1 17 0 0 0 3 20
Chương 2 8 0 0 2 10
Tổng 25 0 0 5 30
7.2 Lịch trình tổ chức dạy học cụ thể:
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh viên
chuẩn bị

Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi
chú
1
Phân lớp phổ
Tính chất của phổ của toán
tử tự liên hợp
2 giờ lý
thuyết (LT)


2
Thứ tự trong không gian
các toán tử tự liên hợp
Tự học định lý về sự
hội tụ của dãy đơn điệu
và bị chặn các toán tử
(xem [1] trang 97 – 98)
1 giờ LT
1 giờ tự học

3
Toán tử chiếu
Toán tử chiếu trực giao

Tự học về các toán tử
chiếu trực giao (xem
[1] trang 205 – 207)
1 giờ LT

1 giờ tự học
4 Hàm của toán tử 2 giờ LT
5 Xây dựng tích phân phổ 2 giờ LT
6
Định lý Hilbert về phân
tích phổ của toán tử tự liên
hợp.
Họ phổ và phổ của toán tử
tự liên hợp.
Tự học định lý Hilbert
(xem [1] trang 111 –
112)
Tự học phần phổ đơn,
xem [1] trang 116 - 117
1 giờ LT
1 giờ tự học



7
Phổ đơn
Toán tử unita: định nghĩa,
ví dụ. các tính chất sơ cấp
2 giờ LT


8
Các tính chất sơ cấp của
toán tử unita
2 giờ LT

9
Biểu diễn tích phân phổ
của toán tử unita
Kiểm tra giữa kỳ
1 giờ LT
1 giờ KT


10
Toán tử không bị chặn:
định nghĩa, ví dụ
Tự học phần các ví dụ
về toán tử không bị
1 giờ LT


4
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh viên
chuẩn bị
Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi
chú

chặn. Xem [1] trang
205 - 207
1 giờ tự học

11
Các tính chất của toán tử
đối xứng
Phổ của toán tử không bị
chặn
Tự học các tính chất
của toán tử đối xứng.
Xem [1] trang 210 –
211
1 giờ LT
1 giờ tự học

12 Phương pháp đồ thị 2 giờ LT
13 Phép biến đổi Cayley 2 giờ LT
14
Phân tích phổ của toán tử
không bị chặn
2 giờ LT

15
Mở rộng đối xứng và mở
rộng tính liên hợp của toán
tử đối xứng
2 giờ LT

8. Yêu cầu của giảng viên đối với môn học:
- Yêu cầu của giảng viên về điều kiện để tổ chức giảng dạy môn học như: giảng
đường, phòng máy…
- Yêu cầu của giảng viên đối với sinh viên như: sự tham gia học tập trên lớp, quy

định về thời hạn, chất lượng làm các bài tập về nhà, …
9. Phương pháp và hình thức kiểm tra đánh giá môn học:
9.1 Các loại điểm kiểm tra và trọng số của từng loại điểm
- Phần tự học, tự nghiên cứu, bài tập: 20%
- Thi giữa kỳ: 20%
- Thi cuối kỳ: 60%
9.2 Lịch thi và kiểm tra (kể cả thi lại)
- Thi giữa kỳ tổ chức vào khoảng tuần thứ 8 của kỳ học.
- Thi cuối kỳ : Sau khi kết thúc tuần thứ 15.