Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình Ellipic nửa tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
TÊN ĐỀ TÀI
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPIC NỬA TUYẾN TÍNH
M ã số: QT-06-04
Chủ trì đề tài: PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn
HÀ NỘI 2006
1. Tên đề tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình
ellipic nửa tuyến tính
2. Mã số: QT 06-04
Chủ trì đề
3. tài: PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn
Chủ nhiệm Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-
Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội
4. T hành phần tham gia:
(a) ThS Dư Đức T h ắ n g
(b) NCS Đặng Anh T u ấn
(c) ThS Trần T ất Đ at
(d) CN Ngô Quốc A nh
(e) ThS Nguyễn T hế V in h
(f) HVCH T rịnh Thị H àng
(g) HVCH Nguyễn T hành Chung
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHGTVTHN
ĐHXDHN

II
TÓM TẮT BÁO CÁO
1. Tên đề tài: Bài toán biên đối với phương trình và hê phương trình
ellipic nửa tuyến tính
2. Mã số: QT 06-04
Chủ trì đề
3. tài: PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn
Chủ nhiệm Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-
Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội
4. Thành phần tham gia:
(a) ThS Dư Đức T h ắ n g
(b) NCS Đặng Anh T u ấ n
(c) ThS Trail T ất Đ a t
(d) CN Ngô Quốc A n h
(e) ThS Nguyễn T hế V in h
(f) HVCH Trịnh Thị H ằn g
(g) HVCH Nguyễn Thành C hung
5. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu sựu tồn tại, tính duy nhất và không duy nhất (tính đa
nghiệm) của các bài toán biên đối với hệ elliptic không tuyến tính trong
miền bị chặn/không bị chặn của MA với biên trơn.
6. Các kết quả đạt được:
(a) 04 b áo cáo khoa học về việc áp dụng các phương pháp của giải
tích phi tuyến vào phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính
bao gồm: phương pháp biến phân, phương pháp toán tử đơn điệu,
các bất đẳng thức biến phân và lý thuyết bậc của các ánh xạ.
(b) Hoàn thành 04 b ài b áo khoa học.
(c) Đào tạo 02 T h ạ c sỹ khoa học, đã bào vệ Luận văn 10/2006.

7. Kinh phí:
Kinh phí cho đề tài là 20.000.000đ chẵn, được chi đúng theo dự trù.
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHGTVTHN
ĐHXDHN
111
Xác nhận của Ban CN Khoa
f U u X i ^ n -
Xác nhận của Trường
HIỄU TRUỎMG
Chủ trì đề tài
5".ThM
'1 :' 'L-
)L Jiiri, c . ; u^áỉ
PGS. TS. H oàng Quốc
Toàn
iy
TÓM TẮT BÁO CÁO BẰNG TIẾNG ANH
1. Subject title: Boundary value problems for system of semilinear
elliptic equations
2. Numerical code: Q T 06-04
3. Coordinate: Ass. Prof. Dr. Hoàng Quốc Toàn
D epartm ent of Analysis, Faculty of M athem atics, Me
chanics and Informatics,
University of Science Natural, Vietnam National Univer
sity, Hanoi.
4. List of participants:

(a) Dư Đức T h ắn g
(b) Đặng Anh T u ấ n
(c) T rần Tất Đ ạ t
(d) Ngô Quốc A n h
(e) Nguyễn T hế V in h
(f) Trịnh Thị H ằn g
(g) Nguyễn Thành C h ung
5. Abstract of the content:
The aim of the subject is to study the existence and multiplicity of
solutions to boundary value problems for a system of nonlinear ellip
tic equation in a bounded or unbounded dom ain in R'v with smooth
boundary.
6. Scientific results:
(a) 04 scientific notices on the application of the method of nonlinear
analysis to partial differential equations.
(b) 04 scientific articles done.
(c) Training: 02 M a s te rs graduated in Oct., 2006.
7. Fund:
The total fund is 20.000.000VND.
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHKHTN
ĐHGTVTHN
ĐHXDHN
V
NỘI DUNG CHÍNH CỦA BÁO CÁO
I. Lời giới thiệu.
Giai tích phi tuyến là một lĩnh vực nghiên cứu rộng, v ề m ột phương diện
nào đó, nó đặt ra những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính, hơn

nữa việc giải quyết những bài toán như vậy cũng khó khăn và phức tạp hơn.
Việc ứng dụng giải tích phi tuyến để nghiên cứu phương trình đạo hàm
riêng thường thông qua các phương pháp chính sau đây
- Phương pháp toán tử đơn điệu.
- Phương pháp áp dụng các định lý về điểm bất động.
- Phương pháp áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder.
- Phương pháp biến phân-nguyên lý minim ax.
Mỗi m ột phương pháp đều cò những đặc điểm riêng của nó m à ta có thể lựa
chọn đê sử dụng m ột cách tốt n hất cho từng bài toán cụ thê. Sự phát triển
mạnh mẽ của giải tích hàm phi tuyến và tô pô đã cung cấp thêm những
công cụ hữu hiệu đê nghiên cứu các ngành toán học liên quan mà trong đó
cổ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính.
Trước hết ta thấy rằng các phương trình và hệ phương trình đạo hàm
riêng không tuyến tính cùng với các bài toán biên của nổ thường cò xuất xứ
từ nhũng bài toán thực tế trong V ật lý, Cơ học,., trong đò phải kê đến những
phương trinh nôi tiếng như phương trình Monge-Ampère, Hamilton-Jacobi,
hệ phương trình Navier-Stokes, Những bài toán như vậy nhất thiết phải có
nghiệm. Vấn đề đặt ra là nghiệm của chúng phải được hiểu theo một nghĩa
nào đò sao cho vừa phù hợp với ý nghĩa thực tiễn của nó vừa phải chặt chẽ
về m ặt toán học.
Nghiên cứu định tính của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tập trung
vào ba vấn đề chính là: sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn của nghiệm
của bài toán biên với m ột lớp các bài toán phương trình đạo hàm riêng nào
dò.
Hướng nghiên cứu chính của chúng tôi là: xét sự tồn tại, tính đa nghiệm
của bài toán biên D irichlet đối với hệ elliptic nửa tuyến tính
(1)
VI
trong đổ n là một miền bị chặn hay khống bị chặn trong (N > 2) với
biên trơn d ũ . Trong một số trường hợp ta có thể mở rộng bài toán này cho

các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính dạng tổng quát. Đây là một
hướng nghiên cứu đang được phát triển mạnh mẽ trên th ế giới.
v ề quan điểm của phương pháp biến phân, lóp các hệ elliptic nửa tuyến
tính có thê được chia thành hai loại: hệ biến phân và hệ phi biến phân. Ta
nổi hệ (1) là biến phân nếu m ột trong hai điều kiện sau đây được thoả mãn
(i) Tồn tại hàm thực khả vi F(x,u, v), (x, li, v) G X R X R sao cho
Trong trường hợp này hệ (1) được gọi là hệ gradient.
(ii) Tồn tại hàm thực khả vi H(x,u,v), (x,u,v) e H x R x R sao cho
Đối với m ột hệ biến phân ta có thể sử dụng các kỹ thuật biến phân để
xây dựng một phiếm hàm xác định trong một không gian Banach V nào đó,
và được gọi là phiếm hàm liên kết, sao cho hệ đã cho là hệ phương trinh
Euler-Lagrange của phiếm hàm liên kết. Khi đó sự tồn tại nghiệm của bài
toán được đưa về sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm liên kết. Chảng
hạn
(i) đối với hệ gradient, phiếm hàm liên kết với (1) cổ dạng
Các hàm F và H sẽ được giả th iết sao cho phiếm hàm Ỹ khả vi liên tục
Frechet trong không gian //q (Q) X Hị (Q).
Nói chung không có m ột quy tắc tổng quát nào trong việc th ành lập phiếm
hàm liên kết với m ột hệ biến phân cho trước. Một trong những kỹ thuật
o f 1 o Q ‘
ơu ơv
ÕH
T~ = g
ơu
Trong trường hợp này hệ (1) được gọi là hệ H amiltonian.
(ii) đối với hệ H am iltonian, phiếm hàm liên kết với (1) có dạng
ỤuỤvdx — Ị H(x,u,v)dx.
n
n
VU

biến phân được áp dụng nhiều đó là sử dụng định lý ”q u a núi” của A.
Ambrosetti và p. Rabinowitz (xem J. Fund. Anal. 14 (1973), 349 - 381.).
Kết quả này vẫn đang được phát triển trong thời gian gần đây. Ngoài công
trinh trên của Ambrosetti và Rabinowitz, nhũng người khác cũng có công lớn
trong nghiên cứu hệ biến phân mà ta có thể kể tên ở đây là: L. Nirenberg,
D. G. de Figueiredo, L. Boccardo, E. Mitidieri, J. Pucci, J. Serrin,
Hệ phương trình elliptic nếu không biến phân thì được gọi là hệ phi biến
phân. Nghiên cứu hệ phi biến phân người ta có thê áp dụng các phương
pháp khác nhau như đã kể ở trên. Những người có công lớn trong việc nghiên
cứu hệ phi biến phân như là: L. Nirenberg, H. Amann,
Nhằm mục đích góp phần nghiên cứu định tính phương trình và hệ phương
trình đạo hàm riêng, trong đề tài nghiên cứu này chúng tôi áp dụng các
phương pháp khác nhau đê nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên
đối với m ột số lớp hệ elliptic nửa tuyến tính với phần chính là toán tử — A
(hay —Ap) trong miền bị chặn hoặc không bị chặn của
Đề tài nghiên cứu của chúng tôi được bắt đầu từ những năm trước đây
với sự tham gia của các sinh viên, học viên cao học và các cán bộ trẻ của Bộ
môn Giải tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học. Nhiều báo cáo khoa học trinh bày
các phương pháp của giải tích phi tuyến và ứng dụng của nó vào phương
trình đạo hàm riêng không tuyến tính được thê hiện dưới dạng các chuyên đề
nhằm trang bị kiến thức cơ sở. Một số kết quả nghiên cứu được hoàn thành
trong giai đoạn từ năm 2005 đến nay đã được báo cáo ở các hội thảo khoa
học, hội nghị khoa học nhân kỷ niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoặc đã
được công bố/đ ã gửi đăng trên các tạp chí chuyên ngành ở trong và ngoài
nước. Trong số đó cổ cả những kết quả nghiên cứu đáng khích lệ của sinh
viên và học viên cao học, chẳng hạn kết quả của nghiên cứu của CN Ngô
Quốc Anh đã được đăng trên Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11.
Nội dung chính của đề tài nghiên cứu được thể hiện qua 04 báo cáo khoa
học và các kết quả nghiên cứu dưới đây.

II. Các báo cáo khoa học về ứng dụng giải tích phi tuyến vào phương
trình đạo hàm riêng không tuyến tính.
1. Phương pháp biến phân và m ột số áp dụng vào phương trình đạo
h à m riêng không tuyến tín h . Người thực hiện: Hoàng Quốc Toàn.
Trình bày m ột số vấn đề cơ bản nhất về phương pháp biến phân và các
ứng dụng của nó, bao gồm:
VIII
(a) Bài toán cực tiểu phiếm hàm: phương pháp trực tiếp trong phép
tính biến phân: điều kiện coercive và tính nửa liên tục dưới yếu.
(b) Phương pháp nhân tử Lagrange, phương pháp nghiệm trên nghiệm
dưới.
(c) Lý thuyết điểm tới hạn: điều kiện Palais-Smale, định lý qua núi,
2. M ột số bất đẩng thức biến phân và ứng dụng. Người thực hiện:
Nguyễn T hế Vinh.
Trinh bày m ột số bất đẳng thức biến phân cổ điển của F. Browder, p.
H artm an, J. Lions, G. Stampacchia, và các ứng dụng của nò trong giải
tích nổi chung và phương trinh đạo hàm riêng nòi riêng.
3. Phư ang pháp toán tử đan điêu. Người thực hiện: Trần Tất Đạt.
Trinh bày phương pháp cơ bản về toán tử đơn điệu trên R N, trên không
gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được, và trên không
gian Banach phản xạ cùng với các ứng dụng của nổ đối với một vài lớp
phương trinh đạo hàm riêng elliptic phi tuyến.
4. Lý th u y ết b ậc B rouw er. Người thực hiện: Đặng Anh Tuấn.
Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc các lớp C ‘(Q, K'1), ơ 2(r2,Mn), C(Q,Mn)
từ đó đưa ra các tính chất của bậc và các ứng dụng của nó.
III. Các kết quả nghiên cứu.
1. H oà n g Q u ốc T oà n , Về một hệ phuơng trình elliptic nủa tuyến tính trong
miền không bị chặn (đã đăng trong Vietnam J. of Math. 33:4 (2005),
381-389.)
Xét bài toán Dirichlet trong miền không bị chặn f ì c K " với biên ỡfỉ

trơn
—A u + q(x)u = au 4- Ị3v + f\{u, v),
-A v + q{x)v = ỗu + + / 2(w, v),
Ii(x) —► 0,'i>(:r) —> 0 khi |x| —> +oo
u lan = V lớn = 0,
trong đó /i, /> th ỏa mãn điều kiện Lipschitz; q (x) £ c ° (Mn), q(x) —
+ 0 0 khi |.r| —» +0 0 và tồn tại hằng số dương qo sao cho q (X) > Ợo-
Với những giả th iết ấn định lên trên các hệ số Q', ị3, ô, 7 chứng tôi chúng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán trong không gian Sobolev có trọng
K°(Q) được xây dựng thích hợp.
IX
Phương pháp nghiên cứu: đưa việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán về việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử trong
không gian Banach Vq{ũ).
2. IIoÀNG Quốc T o à n và N gô Quốc A nh, Sự tồn tại nghiệm dương đối với một
hệ phương trình elliptic nưa tuyến tính trong miền không bị chặn (đã gửi
đăng)
Bằng sự kết hợp của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và định lý
diêm bất động Schauder, chúng tôi đã đưa ra điều kiện đê cho sự tồn
tại nghiệm dương của bài toán trong miền không bị chặn £7 c Rn với
biên ÔQ trơn sau đây
3. T rịnh T hị M inh h ằ n g v à H oà n g Q uố c T o àn, Sự không tồn tại và tính đa
nghiệm duơng của bài toán biên elliptic tụa tuyến tính trong miền bị
chặn.
Trong miền bị chặn Í2 c với biên ÔÍ2 trơn ta xét bài toán
Giả th iết rằng tồn tại hàm G(x,u,v), (x,u,v) € X t X R sao cho
dc l \ dG l t ^
— ự,u,v) = ỉ{x,u,v) , — {x,u,v)=g{xìu,v).
Sử dụng phương pháp biến phân, bài toán đang xét được đưa về xét sự
tồn tại điêni tới hạn của phiếm hàm liên kết

—Au + q(x)u = QM + Ị3v + f(u, v),
— Av + q(x)v = ỗu + 'yv + g(u),
< u (x) > 0, V (X) > 0 with X € n,
u(x) —» 0 , v ( t ) —> 0 k h i |x| —> +CX)
|an = V ịdíì = 0,
(3)
— ApU + \u\v~2u — 0 trong Q,
—A qU + \u\q~2 u — 0 trong Q,
|V u |p-2 ^ = A / (x, u,v) trên dũ,
\V u \q~2 ~ = \g (x,u,v) trên dQ,
p- 2 du _
di>
q—2 dv
_
(4)
|V m|p + |u |p |V ư|9
+

y
với (u,v) e W l'P(Q) X W l'P(Q).
Với những giả th iết thích hợp được đặt lên các hàm / và g chúng tôi
đã chứng m inh được rằng
(a) Tồn tại số À > 0 sao cho với mọi A < A thì bài toán đang xét không
có nghiệm dương.
(b) Tồn tại số À > 0 sao cho với mọi A > A thì bài toán đang xét có ít
nhất 2 nghiệm dương.
Kết quả nghiên cứu đã được báo cáo tại Hội nghị Khoa học nhân kỷ
niệm 50 năm trường Đại học Tổng hợp Hà Nội và hiện đang được gửi
đăng.
4. N gu y ễ n T hành C hung v à Hoàng Quốc T o à n , Tính đa nghiệm của bài toán

Dỉrỉchlet không thvền nhất đối với hệ elliptic nửa tuyến tính.
Trong miền bị chặn Q c M.N (N > 3) với biên <9f2 trơn ta xét bài toán
trong đó 0 < a (x) , b (x) G c (Q ); h\ (x) , Ỉi2 (x) G c (ỠÍ2); A là tham số
dương.
Già sử T\{x),T
2
{x) là nghiệm duy nhất của các bài toán Dirichlet
Khi đó bài toán đang xét được đưa về bài toán biên Dirichlet với điều
kiện biên th u ần nh ất sau đây
— A u + a(x)u — X f(u, V) trong fỉ,
— Av + P(x)v = \g(u,v) trong Q,
u = h\ trên <9Í7,
V = h
,2
trên ỜQ,
(5)
— A ri(x-) + a(x)Tị(x) = 0 trong n ,
Ti(x) = hi(x) trên ỡfỉ,
(6)
và
- A t2{x ) + ị3(x )t2{x ) = 0 trong Q,
T2 (x) = Ji2 (x) trên dQ.
(7)
(
—A W\(x) + ơ(x)wi(x) = Xf(w + T) trong Q.,
- A w 2 {x) + /3(x )w2{x) — Ag(w + r) trong Q, (8)
Wi = 0 = VỦ2 trên dQ.,
trong đó Wị = u - Tì, w2 = r2, w = (wi,w2), T = ( t i , t 2).
Xì
sử dụng phương pháp biến phân chúng tôi chuyển bài toán (8) sang xét

sự tồn tại của điẽm tới hạn của phiếm hàm liên kết
'J'a.t(w) = i J (|V w |2 + a (x) |w i|2 4- P{x) |u>2|2) dx-X Ị F(w + T)dx
n íì
trong đó F G c 1 (IR2) thoả mãn
ÕF dF . , , .
— (u,v) = f{u,v) , ^ - ( u .u ) = 9 \u,v).
Với những giả thiết thích hợp ấn định lên các hàm / và g chúng tôi đã
chứng minh được với r = ||t||Zp ^ xLp(q) đủ bé, tồn tại khoảng (A,A)
sao cho với mọi A € (A, Ă) bài toán đã cho có ít nhất 2 nghiệm không
tầm thường trong HẶ (ũ) X Hị (fĩ), ỏf đây 0 < A < A.
Kết quả nghiên cứu đã được báo cáo tại Hội nghị Khoa học nhân kỷ
niệm 50 năm trường Đại học Tông hợp Hà Nội và hiện đang được gửi
đăng.
XII
ứng dung giải tích phi tuyến vào phương trình
vi phân đao hàm riêng không tuyến tính
i
Phương trình đạo hàm riêng
M ục lục
* •
Lời nói đầu iii
Chương 1 Phương pháp biến phân và một số áp dụng vào phương trình vi phản
đạo hàm riêng không tuyến tính 1
1.1 Một vài vấn đề bổ sung kiến t h ứ c

2
1.1.1 Không gian Sobolev và định lý nhúng

2
1.1.2 Tính khả vi của phiếm h à m 5

1.1.3 Một số ước lượng cơ bản về phương trình elliptic cấp hai . . 11
1.2 Cực tiểu phiếm hàm. Phương pháp trực tiếp trong phép tính biến
p h â n 14
1.2.1 Điều kiện bức (coercive) và tính nửa liên tục d ư ớ i

14
1.2.2 Phương pháp nhân từ L agrang e 18
1.2.3 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới y ế u
26
1.3 Một số định lý về lý thuyết điểm tới hạn và ứng dụng vào phương
trình elliptic nửa tuyến tính trong Rn 30
1.3.1 Điều kiện Palais-Smale và sự tồn tại điểm tới hạn

30
1.3.2 Ưng dụng định lý qua núi vào bài toán biên đối với phương
trình elliptic nửa tuyến tính
48
Chương 2 Một sỏ bất đẳng thức biến phàn và ứng dụng 63
2.1 Mở đ ầ u 63
2.2 Sự tồn tại nghiệm 64
2.3 Bất đẳng thức biến phân cho các toán tử đơn điệu

66
2.4 Toán tử N oncoercive 70
2.5 Một số ứng dụng 75
2.6 Phụ lục: Định lý Lax-Milgram phi t u y ế n
79
Chương 3 Phương pháp toán tử đơn điệu 82
3.1 Giới thiệu chung 82
3.2 Bài toán xuất p h á t 82

3.3 Toán tử trên Kn 83
3.4 Toán tử trên không gian Hilbert t h ự c
85
3.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách đ ư ợ c 89
i
ịị
_____________________________________________
Mục lục
3.6 Toán tử trên không gian Banach phản x ạ

97
3.7 Một số nhận xét và đánh g i á 100
Chương 4 Lý thuyết bậc Brouwer (hữu hạn chiều) 102
4.1 Xây dựng bậc của ánh xạ liên tục 102
4.1.1 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp Rn)

103
4.1.2 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp C2(fỉ;R " )

105
4.1.3 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp C(ù] Rn)

106
4.2 Một số tính chất của b ậ c 109
4.3 Các ứng dụng của lý thuyết bậc
113
4.3.1 Định lý Brower về điểm bất động và một số dạng tương
đương của n ó 114
. 4.3.2 Định lý Borsuk và các ứng dụng của n ó
117

k.eí' lua* 1-24-
Tài liệu tham khảo 12$
in
Phương trình đạo hàm riêng
T \ • /• J.V
Lời nói đau
Trong niên khoá 2005-2006 Seminar chúng tôi đã đi sâu vào các phương pháp
giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân không tuyến tính. Đồng
thời với nhiều báo cáo chuyên đề cung cấp các kiến thức cơ bản về các phương
pháp giải tích phi tuyến và các ứng dụng của nó, các cán bộ tham gia Seminar
đã lần lượt báo cáo các kết quả nghiên cứu của mình. Chúng tôi nhận thấy rằng
Seminar đã có ích thực sự cho các cán bộ mới vào nghề cũng như các học viên cao
học.
Có thể nói sự hăng hái nhiệt tình tham gia Seminar của nhiều cán bộ trẻ trong
bộ môn giải tích đã làm sôi động không khí học tập và nghiên cứu trong Bộ môn.
Một số cán bộ tuy tuổi đời, tuổi nghề còn trẻ nhưng đã có những kết quả nghiên
cứu, những bài báo được đăng ở các tạp chí toán học trong và ngoài nước. Đó là
những “ thành tựu” bước đầu mà Seminar chúng tôi đã làm được.
Năm 2004-2005 chúng tôi in tập 1 về các bài giảng ứng dụng giải tích hàm vào
phương trình vi phân đạo hàm riêng. Năm nay trong tập 2 chúng tôi giới thiệu các
ứng dụng của giải tích phi tuyến vào việc nghiên cứu các bài toán biên của phương
trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính.
Chương 1 do Phó Giáo sư Tiến sĩ Hoàng Quốc Toàn viết.
Chương 2 do Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh viết.
Chương 3 do Thạc sĩ Trần Tất Đạt viết.
Chương 4 do NCS-Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn viết.
Vì lý do này hay lý do khác, tập Seminar của chúng tôi không tránh khỏi những
sai sót. Chúng tôi dần dần sẽ hiệu đính lại, hy vọng trước hết hữu ích cho những
ai mới vào nghề và có quan tâm đến việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo
hàm riêng.

Hà Nội ngày 20.07.2006
1
Phương trình đạo hàm riêng
Chương 1
P hư ơng pháp biến phân và m ôt số áp dung
vào phương trình vi phân đao hàm riêng
không tuyến tính
Việc ứng dụng giải tích phi tuyến nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thông
qua các phương pháp chính sau đây
- Phương pháp đơn điệu.
- Phương pháp áp dụng các định lý về điểm bất động.
- Phương pháp áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder.
- Phương pháp biến phân-nguyên lý minimax.
Sau đây ta sẽ trình bày một áp dụng của phương pháp biến phân để nghiên
cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính.
Đê’ hiểu rõ vấn đề được đặt ra thì trước hết ta hãy nói một cách ngắn gọn nội
dung của phương pháp biến phân trong phương trình đạo hàm riêng.
Nghiên cứu định tính cùa lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tập trung vào
ba vấn đề chính là: sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn của nghiệm của bài toán
biên với một lớp phương trình đạo hàm riêng nào đó.
Đê’ nghiên cứu bài toán biên nói trên người ta có thê xây dựng một phiếm hàm
năng lượng liên kết dạng
trong đó X là một không gian Banach nào đó và J là một phiếm hàm khả vi
Frechet hay có đạo hàm yếu (đạo hàm Gateaux) sao cho nghiệm của phương trinh
Euler-Lagrange của J
n
DJ(u) — 0
(nếu tồn tại) sẽ là nghiệm của bài toán biên đang xét.
2
Chương 1. Phương pháp biến phân và một sô áp dụng

Như vậy, việc nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng có
thế đưa về việc nghiên cứu một phương trình phiếm hàm dạng
K (u) = 0, u e X
trong đó K(u) nói chung là phi tuyến.
Rõ ràng tính khả vi Frechet của phiếm hàm J phụ thuộc vào dáng điệu của
hàm F (X, u, Vu, v 2ti, ).
Giả sử u0 G X là điểm cực tiểu tương đối của J và J € Cl(X) thì u0 phải thoả
mãn điều kiện DJ(uo) = 0. Do đổ u0 là nghiệm của bài toán biên đang xét.
Nếu J không khả vi liên tục Frechet nhưng tồn tại đạo hàm theo nghĩa yếu
trong X thì u0 thoả mãn phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu
(■v,DJ(u0)) = 0, Vt; £ X.
Như vậy, dù J khả vi liên tục Frechet hay có đạo hàm theo nghĩa yếu thì điểm cực
tiêu tương đối u0 cũng là nghiệm suy rộng của bài toán biên liên kết.
Từ đổ ta thấy việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên dẫn đến việc
tìm các điểm tới hạn của phiếm hàm J, tức là những điểm u e X mà DJ{u) = 0,
trong đó ngoài những điêm cực tiẽu địa phương còn cổ các điểm tới hạn khác nói
chung là các điểm yên ngựa.
Một trong những tiêu chuẩn tồn tại điểm tới hạn được đề cao đó là ’’định lý
qua núi”.
Năm 1950, Courant đưa ra định lý qua núi trong không gian hữu hạn chiều.
Năm 1973, Ambrosetti và Rabinowitz chứng minh định lý qua núi đối với phiếm
hàm J 6 Cl(X) trong không gian Banach vô hạn chiều.
Định lý qua núi góp phần quan trọng trong việc áp dụng giải tích phi tuyến
nghiên cứu các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Như vậy, ý tưởng của phương pháp biến phân trong phương trình đạo hàm
riêng là: để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biên ta có thê sừ dụng các
phương pháp của lý thuyết tối ưu đê tìm điểm cực tiêu (hoặc diêm tới hạn) của
phiếm hàm năng lượng liên kết với nó.
1.1 M ột vài vấn đê bổ sung kiến thức
1.1.1 Không gian Sobolev và đinh lý nhúng

1. K hông gian Sobolev. Giả sử Sì là một miền (mở và liên thông) trong Rn,
u G Ljoc (fỉ), a = («1, í*2,Qn) là đa chỉ số cấp jorj = 53 ói, Dau la đạo hàm theo
1=1
3
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột sõ áp dụng
nghĩa suy rộng của u xác định theo công thức
(Dau, tp) = (-1 )H I u.Da<p , e Co00 (íì).
n
Ta nòi Dữu € ư ’ (fỉ) nếu tồn tại một hàm ga £ ư (Q) sao cho
((p, Dau) = (Ịfi,ga) = ( - l ) |a|
J
ga.ự).dxy^ e C£° (Q).
n
Khi đó ta đồng nhất Dau với ga e ư (Í2). Với k £ No, 1 ^ p ^ +oo ta xác định
w k'p (íĩ) = { u e ư (ữ) : Dau e ư (íì), Va : H ^ k)
với chuẩn
= Ỵ 2 \\DQu\\pLP , 1 ^ p < +oo
|a|$ fc
và
IMIW- = ma*llỠQwll£,+o° •
|q|^ k
Ta chú ý rằng phép đạo hàm của hàm suy rộng là liên tục theo nghĩa hội tụ yếu
trong L}oc (ũ). Nhiều tính chất của không gian ư (Q.) cũng đúng trong không gian
Wk'P (n).
Định lý 1.1. Với k G No, 1 ^ p ^ +oo, w k'p (Í2) là một không gian Banach. Không gian
w k'p (fỉ) là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < +oo. Hơn nữa, w k'2 (Í2) là
không gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v)Wk,2 = ^2 ị Dau.Dav.dx.
fch
Với 1 ^ p < +oo, w k'p (f2) là không gian tách được.

Định lý 1.2. Với mọi k G No, 1 ^ p < +oo, không gian con w k'p (Q) n c°° (fỉ) trù mật
trong w k'p (íỉ)
BỔ sung của w k'p (fỉ) nC°° (fỉ) trong w k'p (ũ) được ký hiệu là Hk’p (Q). Đặc biệt
khi p = 2 thì ký hiệu Hk'2 (Í2) được sử dụng thông thường. Wq'p (Q) là bao đóng
của C£°(Q) trong w k'p (ft). Hq2 (íì) là bao đóng của cỏ° (Í2) trong Hq2 (íì). Đối
ngẫu.của H k'2 (ữ) được ký hiệu là H~k (í)).
2. K hông gian H o lder. Giả sử rỉ c R". Hàm u : Q. —» R được gọi là liên tục theo
Holder với số mũ ị3 > 0 nếu
Ịu]<« . SUp < +00
*/»* F - 2/1
X.yẽn
4
Chương 1. Phương pháp biến phản và m ột số áp dụng
Với 771 € N0, 0 < 0 ^ 1, ta ký hiệu
c m’0 (Cl) = {u £ c m (fỉ) : Dau liên tục theo Holder với số mũ Ị3 > 0 với mọi Ịa| = m} .
Nếu ũ là compắc tương đối thì c m,/3 (íì) là không giam Banach với chuẩn
IMIc~> = £ + E
[
0
"
4
S)-
ỊaỊ^m |aỊ=m
Chú ý rằng với 0 < (3 ^ 1, tập hợp các hàm trơn không trù mật trong c m,/3 (íi).
Ký hiệu Cm'° (ũ) = c m (fỉ).
3. Đ ịnh lý n h ún g. Già sử X và Y là các không gian Banach. Ta nói X được
nhúng liên tục trong Y và ký hiệu
X — Y
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính i : X —* Y sao cho tồn tại hằng số c > 0 thỏa mãn
||i(z)||y ịgslM lx - V x e x .

Khi đó ta đồng nhất X với không gian con i(X) c Y. X được gọi là nhúng compắc
vào Y nếu ánh xạ i biến tập con bị chặn trong X thành tập con compắc tương đối
trong Y. Ta có các định lý quan trọng sau đây.
Định lý 1.3. Cho Í2 c R" có độ đo Lebesgue c n(fì) < +oo, 1 ^ p ^ q < +oo. Khi dó
ư (íĩ) c ư (í)).
Nếu £ ”(Í2) = +oo thì nói chung định lý không đúng.
Định lý 1.4. Giả sử Q là miền compắc tương đối trong R" và m ẽ N0, 0 ^ a < ị3 ^ 1.
Khi dó
cm'p (Ũ) cm'° (ũ)
là compắc.
Định lý 1.5 (Định lý nhúng Sobolev). Giả sửQ, c K " là miền bị chặn với biên Lipschitz,
k € N, 1 ^ p ^ +oo. Khi đó
i) Nếu kp < n, 1 ^ q ^ thi ta có
w k'p (fì) ^ Ư (Í7)
và phép nhúng là compắc nếu q <
5
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột sô' áp dụng
ii) Nếu 0 ^ TTI < k — 2 < ra + 1, 0 ^ Q ^ k — m — - thì ta có
p p
wk'p (ũ) cm'a (Ũ)
và phép nhúng là compắc nếu a < k — m —
Tính compắc của phép nhúng w k'p (fỉ) ‘—> Lq (Q) là hệ quả của đinh lý Rellich-
Kondrakov. Định lý nhúng Sobolev đúng với các không gian Wq'p (Q) trên mọi
miền £} bị chặn.
Định lý 1.6 (Định lý trù mật). Giả sử ũ c R n là miền bị chặn thuộc lớp c 1, k € N và
1 ^ p < +oo. Khi đó c°° (H) trù mật trong w k’p (rĩ).
4. Bất đẳng thức Poincaré. Giả sử là miền bị chặn trong Rn, d là đường kính
của Í7, u G Hị'2 (Í7). Khi đó
Định lý 1.7. Cho Q. c R" là miền bị chặn thuộc lóp c \ tồn tại hằng số c = c(ũ) sao
cho với mọi u €E Hq (Í2) ta có

1.1.2 Tính khả vi của phiếm hàm
1. Đạo hàm Frechet. Cho V là không gian Banach, / là phiếm hàm xác định
trên V. Ta nói phiếm hàm / khả vi Frechet tại điêm u e V nếu tồn tại một ánh
xạ tuyến tính bị chặn, ký hiệu là f(u) € V* và được gọi là đạo hàm Frechet của /
tại u sao cho
Nếu ánh x ạ u -+ f{u) là liên tục thì ta nói phiếm hàm / thuộc lớp Cl{V). Chuẩn
của f{u) được xác định
Giả sử / là phiếm hàm khả vi Frechet trong không gian Banach V, V* là đối ngâu
của nó. Ký hiệu (,) là phép toán đối ngẫu. Như vậy
II/' (u)|| - sup {!/' (u) {h)\ :heV, |Ị/iỊ| = 1} .
(,) : V X V — R
6
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột số áp dụng
và
/ ' : V V'
là đạo hàm Frechet của /. Khi đó với mọi h EV ta có
f'(u)(h) = ự(u),h) , V u ev :
Giả sử V e V. Đạo hàm theo hướng V của / tại u e V (hay là đạo hàm Gateaux)
được xác định như sau
Điểm u e V thỏa mãn phương trình /'(tí) = 0 được gọi là điểm tới hạn, ngược lại
nếu /'(li) 7^ 0 thì u được gọi là điểm đều (hay điêm chính quy) của /. số p € R
được gọi là giá trị tới hạn của / nếu tồn tại một điểm tới hạn u € V sao cho
/(li) = /3, f'(u) = 0. Giả sử M là một tập con của V. Điểm Uo e M là điểm cực
tiẽu tuyệt đối của / trên M nếu f(v) > f(u0) với mọi V e M. Điểm u0 E M là điểm
cực tiểu tương đối của / trên M nếu tồn tại một lân cận w của UQ trong V sao cho
fiv) ^ ĩ(u0 ) với mọi V e M n w . Hơn nữa, trong trường hợp / khả vi, ta sẽ nói
đến sự tồn tại điểm yên ngựa (saddle point), tức là các điểm tới hạn u của / sao
cho trong mọi lân cận w của u trong V đều chứa các điểm V\, v2 e V n w sao cho
Trong các hệ vật lý, điểm yên ngựa xuất hiện như là trạng thái cân bằng không
bền vững.

2. Tính khả vi của phiếm hàm tích phân. Đê’ đơn giản, ta ký hiệu Hl'2 (fỉ),
Hq2 (fì) lần lượt là Hl (Í2) và Hị (ft). Cho Q. là miền trong R”. Ta xét phiếm hàm
dạng
trong đó F : í] X R X R" -» R. Rõ ràng tính khả vi của / trên H1 (ũ) phụ thuộc
vào dáng điệu của F. Ta có định lý sau đây.
Định lý 1.8. Giả sử hàm F : n X R X K" - > R íà hàm đo được theo X, khả vi liền tục
theo u e M và p G K”. Kỷ hiệu
{u + ev) u=0 = (/' (m) ,v)= f (u) (V) .
ĩ(Vl) < f{u) < f(v2).
r
n
1. \F(x,u,p)\ ^ c ( l + |u|Sl + b l2) với Si ^ ^ nếu n > 3.
7
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột sỏ' áp dụng
2. |FU (x,u,p)I ^ c (l + |ii|82 + |p|Í2) với t2 < 2 nếu n ^ 2 và s2 ^ t2 ^ — nếú
n > 3.
5. |Fp(x,u,p)| ^ c (l + |w|S3 + |p|) nếu s3 ^ ^ n > 3.
Khi đó phiếm hàm f(u), u (E Hl{Vt) thuộc lớp c 1(H1). Hơn nữa, f'(u) xác định bởi công
thức
( f (u) ,v) = Ị (Fu (x,u, Vu) V + Fp (x, u, Vu) Vu) dx , Vu e / í 1 (fỉ)
n
Chẳng hạn các phiếm hàm sau đây thỏa mãn định lý trên.
a) / (tí) = f |it|p dx với p ^ -^2 và 72 > 3.
a
b) V(u) = ị f I VuỊ2 dx (tích phân Dirichlet).
n
Định lý trên dựa trên một kết quà của Krasnoleski. Đê’ đơn giàn ta phát biểu
kết quả đó đối với hàm
g : Q X R m —> R.
Đê’ đàm bào tính đo được của hàm g(x, u) với u 6 ư ta giả thiết g(x, u) là hàm

Carathéodory, tức g là hàm đo được theo X G n và liên tục theo u e Rm.
Định lý 1.9. Giả thiết g : íì X Rm —> R là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện tăng
|g (x, w)| ^ c (1 + |u|5) với s > 1.
Khi đó toán tủ g (X, u) là liên tục từ Lsp (íì) vào ư (ft) với mọi 1 ^ p < +oo.
Chú ý thẽm rằng các điều kiện tăng của định lý trước đòi hỏi cấu trúc khá đặc
biệt. Một cách tông quát hơn ta có thê già thiết hàm F thỏa mãn các điêu kiện
tăng sau đây.
Fl) \p\2 ^F(x,u,p)^c(\u\)(l + \p\2).
F2) Fu (x ,u ,p K c (M )(1 + M2).
F3) Fp(x,u,p) ^ c ( H ) ( l + |p|).
vớ i X £ ũ, u £ R, p 6 K n .
Với những giả thiết như vậy, nói chung phiếm hàm f(u) không thể khà vi
Frechet trong H 1'2 (Í2). Tuy nhiên, cực tiẽu (trong Hq 2 (ỉì) chẳng hạn) có thể tồn
tại. Liệu nó có thể mô tả điều kiện cần của cực trị dưới dạng phương trình Euler-
Lagrange được hay không? Đê trà lời cho câu hỏi này, ta có định lý sau đây.
8
Chương 1. Phương pháp biến phân và một sô' áp dụng
Định lý 1.10. Giả sử phiếm hàm ỉ xác định như trên trong đó F là hàm Carathéodory
thuộc lớp c 1 theo u và p thỏa mãn các điều kiện tăng tự nhiên FI)-F3). Khi đó, nếu
u, </? e H ì’2 (Í2) n L°° (rỉ), đạo hàm theo hướng ip của f tại u tồn tại và được xác định
bởi công thức
■J-J (u + Etp) |£=0 = í (Fu (X, u, Vu) if + Fp (X, u, Vu) Vyj) dx.
n
Hơn nữa, tại điểm cực tiểu u G H 1’2 (Í2) n L°° (rì) của f trong đó F thỏa mãn các điêu
kiện Fỉ)-F3) phương trình Euler-Lagrange thỏa mãn theo nghĩa yếu như sau
ỉ
(Fu (X, u, Vu) <p + Fp (z, u, Vu) Vip) dx = 0
với mọi ự> G H 1’2 (fì) n L°° (íí).
Chú ý rằng giả thiết u 6 L°° (Í2) thường được thỏa mãn tự nhiên.
Đê’ giải thích kỹ hơn về ý nghĩa của định lý này ta hãy nhắc lại khái niệm biến

phân cấp 1 của phiếm hàm và phương trình Euler-Lagrange.
3. B iến phân câ*p 1, phương tr ìn h Euler-L agrange. Giả sử là một tập mở
bị chặn trong Rn với biên dũ trơn. F là một hàm trơn cho trước
F : Í2 X R X Rn —> E.
Ta gọi F là hàm Lagrange. Ký hiệu
Fx = (FxlìFX3, ,FXn) ,
F -Ẹ -
du'
Fp = (-^Pl 5 Fp2 ) *-» ^Pn ) •
Ta xét phiếm hàm
f (u) — Ị F(x,u, Vu) dx , u €.H1(Q)=:H.
Q
Giả sử uữ £ Hl (fì) là điểm cực tiểu địa phương của phiếm hàm /. Già sừ V e Hl (f2)
là hàm tùy ý trong Hl (fỉ). Ta xét hàm thực
I (a) = f {u0 + ov) , |a| < r
trong đó r > 0 đủ bé. Vì u0 là điểm cực tiểu địa phương của / cho nên /ío) đạt
cực tiểu tại a = 0. Nếu ta ký hiệu
ĩ r t . A f{u0 + Qv) - f{u0)
ỖJ (lio, V) = l i m
-

, v e H
a—>0 Cu
>
9
Chương 1. Phương pháp biến phân và m ột số áp dụng
thì đại lượng Sf (u £ H) được gọi là biến phân cấp 1 của phiếm hàm / tại
Uo-
Như vậy, ta có điều kiện cần của cực trị địa phương của phiếm hàm f{u), u e H
là: nếu phiếm hàm / đạt cực tiểu địa phương tại điểm u0 €: H thì biến phân cấp

1 của / tại u0 nếu tồn tại sẽ bằng 0, tức là
được gọi là phương trình Euler-Lagrange của phiếm hàm /.
Vậy nếu Uo £ Z/1 (í~2) là điểm cực tiểu địa phưcmg của phiếm hàm /(lí), u e H
thì u0 là nghiệm của phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu.
Ví dụ. Nguyên lý Dirichlet
Cho F (x, z,p) = ị \p\2 trong đó \p\2 = Fp = {Fu F2 , Fn), Fz = 0. / (u) =
1 = 1
ị f ịVuị2 dx, f E c 1 (H) thì
ỗf(u0,v) = 0 , Vu e H.
Giả sử / G Cl(H), khi đó ta có
ự (u) ,v) = ỉ' (0) = Ị (Fu (x, u, Vu) V + Fp (x, u, Vu) Vu) dx , \/v G (íĩ)
Ị (Fu (x, Uq, Viio) — divFj, (x, u0, Vito)) vdx = 0 , Vu G C£° (Í2).
Định nghĩa. Phương trình
Fu (X, ti, Vu) — divFp (x, u, Vu) = 0
Q
n