tổng hợp tài liệu môn toán phần giới hạn

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa


GIAÛI TÍCH 11














www.saosangsong.com.vn






Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
2
Chương 4 . GIỚI HẠN
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

§1. Dãy số có giới hạn 0

A. Tóm Tắt Giáo Khoa .
1. Dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số
dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi .
2. a) lim
1
0
n
= b) lim
1
0
n
= c) lim
3
1
0
n
=

d) Dãy số không đổi (u
n
) với u
n
= 0 có giới hạn 0
e) N
ếu |q| <1 thi lim q
n

= 0
Đònh lí : Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) . Nếu |u
n
|
≤
v
n
, n
∀
và limv
n
= 0 thì limu
n
= 0

B. Giải Toán
Dạng toán : Tìm giới hạn 0 của dãy số
Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,d ,e kết hợp với đònh lí .
Cách 2 : Dùng định nghĩa
Ví dụ 1 : Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0 .
a) u
n
=
3
1
n

b) u
n
=
2
cosn
n
c) u
n
=
3
4
3
2
nn
2n
+
d) u
n
=
n
2n 2n
26
23+

Giải a) Ta có : Vì n
3

≥
n , n∀ nên 0 < u
n

=
3
11
,
nn
≤
n
∀
.
Mà lim
1
0
n
=
, do đó theo đònh lí trên thì limu
n
= 0
b) Vì | cosn
2
| ≤ 1 , n∀ nên | u
n
| ≤
1
n
, n
∀

Mà lim
1
n

= 0 , do đó theo đònh lí trên lim u
n
= 0
c) Ta có :
3333
4
nnnn2n+≤+=
, suy ra : 0 < u
n

≤

3
3
3
2
2n 1
n
2n
=
Mà lim
3
1
0
n
=
, do đó theo đònh lí trên lim u
n
= 0
d) p dụng bất đẳng thức Cô si : 2

2n
+ 3
2n
≥ 2.
2n 2n 2n
2.3 26=
=> 0 < u
n
≤
n
n
2n
26 1
6
26
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Mà lim
()
n
1
0
6
= , do đó theo đònh lí trên limu
n
= 0
Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa, chứng minh

0
xx
lim
→

2
2(n 7)
0
n3
−
=
+

Giải Với n > 7 , ta có : |u
n
| =
22
2(n 7) 2n 2
n3 n n
−
<=
+

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
3
Với số ε > 0 cho trước , để có |u
n
| < ε , ta phải chọn n sao cho : n > 7 và
2

n
<
ε Ù n > 7 và n >
2
ε
. Như
vậy nếu gọi n
0
là số nguyên > 7 và >
2
ε
, thế thì với mọi
ε
> 0 cho trước , ta có : | u
n
| < ε , ∀ n > n
0
. Theo
đ
ịnh nghĩa limu
n
= 0
Chẳng hạn v
ới ε = 0, 001 thì n
0
> 7 và n
0
>
2
200

0,001
= vậy lấy n
0
= 201 ( hay một số nguyên bất kì >
200),

C. Bài Tập Rèn Luyện
Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0 .
4.1. a) u
n
=
1
nn
b) u
n
=
11
nn2
−
+
c) u
n
=
n
4
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
d) u

n
=
2
n1
n3
+
+

4.2 . u
n
=
nn
2n
n(n 2)
(2n 2)
+
+

4.3. u
n
=
n
nn n
15
2(9 16)+

4.4. u
n
=
sinn.cosn

5n 5
+

4.5. u
n
=
2
3
n3n6
n
++

4.6. u
n
=
nn
n
23
2.5
+

D. Hướng Dẫn – Đáp Số
4.1.
a) Ta có : | u
n
| =
1
nn
<
1

n
. Mà lim
1
0
n
=
nên limu
n
= 0
b) |u
n
| =
11 2 21
nn2n(n2)2nn
−= <=
++
. Mà lim
1
0
n
=
nên limu
n
= 0
c) Vì 0 < q =
1
4
π
< nên limu
n

= 0
d) | u
n
| =
2
n1
n3
+
+
<
2
2n 2
nn
= . V
ới số ε > 0 cho trước , để có iu
n
| <
ε
, ta phải chọn n sao cho :
2
n
<ε
Ù n >
2
ε
. Như vậy nếu gọi n
0
là số nguyên >
2
ε

, thế thì với mọi
ε
> 0 cho trước , ta có : | u
n
| < ε , ∀ n > n
0
.
Theo đ
ịnh nghĩa limu
n
= 0
4.2 . | u
n
|=
n
nn
2n 2n
2n n 2n n 2n
n(n 2)
(n 2n) (n 1) 1
(2n 2) 2 (n 1) 2 (n 1) 2
+
++
⎛⎞
=≤=
⎜⎟
+++
⎝⎠

Mà lim

n
1
0
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
nên limu
n
= 0 .
4.3. | u
n
| =
2n 2n
n
nnn
nn n n2n 2n n2n 2n n1
35
15 3 .5 1 1
2
2(9 16) 2(3 5 ) 2(3 5 ) 2 2
+
+
⎛⎞
=≤=≤
⎜⎟
+++
⎝⎠
( bđt Côsi)

Mà lim
n
1
0
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
nên limu
n
= 0 .
4.4. | u
n
| =
sinn.cosn 1 1
5n 5 5n 1 n
≤≤
++

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
4
Mà lim
1
0
n
= nên limu
n
= 0 .

4.5.
22222
333
n3n6n3n6n10n 10
nnnn
++ + +
≤≤=
Ta có v
ới n > 100 thì 10 < n , suy ra u
n

n1
n
n
≤=với n > 10
Mà lim
1
0
n
=
, do đó : limu
n
= 0
4.6. Ta có : 2
n
+ 3
n
≤ 3
n
+ 3

n
= 2.3
n
, suy ra : | u
n
|
≤

n
n
n
2.3 3
2.5 5
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Mà lim
n
3
0
5
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
vì 0 <
2
1

3
<
, do đó theo đònh lí trên limu
n
= 0 .

§2. Dãy số có giới hạn

A. Tóm Tắt Giáo Khoa .
1. Định nghĩa : Dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu lim(u
n
– L) = 0
limu
n
= L ( hoặc u
n
→ L) Ù lim(u
n
– L) = 0
2. Đònh lí 1 : Giả sử lim u
n
= L , khi đó :
a) lim | u
n
| = | L | và lim
3
3
n

uL=
b) N
ếu u
n
≥ 0 với n∀ thì L ≥ 0 và lim
n
uL=

Đònh lí 2 : Giả sử limu
n
= L , limv
n
= M và c là một hằng số . Khi đó :
a) * lim(u
n
+ v
n
) = L + M * lim(u
n
– v
n
) = L – M
* lim(u
n
.v
n
) = LM * lim(cu
n
) = cL
b) N

ếu M ≠ 0 thì lim
n
n
u
L
vM
=
Kết quả :
•
lim
k
c
0
n
= ( c : hằng số ; k : s
ố nguyên dương )
•
lim
m
k
c
n
= 0 ( c ; hằng số ; k , m : số nguyên dương
3, Cho (u
n
) là cấp số nhân với |q| < 1 ( cấp số nhân lùi vô hạn) thì :
S = u
1
+ u
1

q + u
1
q
2
+ . . . = limS
n
=
1
u
1q
−

B. Giải Toán
Dạng 1 : Tìm giới hạn bằng định nghĩa .
limu
n
= L Ù lim(u
n
– L) = 0

Ví dụ 1 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a) lim
2
1
7
n
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

b) lim
2n sinn
n
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Giải : a) Ta có :
n
2
1
lim(u 7) lim 0
n
−
−= =
=>
n
lim u 7
=
-

b) Ta có : u
n
= 2 +
sin n
n
=>
n
sin n

lim(u 2) lim
n
−=

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
5
Mà
sin n 1
nn
1
lim 0
n
⎧
≤
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
nên
sin n
lim 0
n
= , suy ra limu
n
= 2
Dạng 2 : Tìm giới hạn của

P(n)
Q(n)
trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức theo n
Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất rồi sử dụng : lim
k
m
k
cc
lim 0
n
n
=

và các đònh lí về gi
ới hạn .
Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
2
2
2n n 1
3n 5n 7
−+
+−
b)
2
3
(2n 1)(3 n)
(4n 5)
−−
−

c)
2
2n 13
(n 5)
−
+

Giải a) Ta có :
2
222
n
2
222
2n n 1
nnn
u
3n 5n 1
nnn
−+
=
+−
( chia tử và mẫu cho n
2
) =
2
2
11
2
nn

51
3
nn
−+
+−

Vì lim(2 -
22
11 1 1
) lim2 lim lim 2 0 0 2
nn n n
+= − + =−+=
Và
22
57 5 7
lim(3 ) lim3 lim lim 3 0 0 3
nn n n
+− = + − =+−=
Nên limu
n
=
2
3

b) Tử và mẫu là các đa thức bậc 3 nên chia tử và mẩu cho n
3
, ta được :
u
n
=

22
33
2n 1 3 n 1 3
.21
nn nn
4n 5) 5
4
nn
−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=
−
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Vì lim
22
2
1133
2 lim2 lim 2 ;lim 1 lim lim1 (0 1) 1
nnnn
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
−= − = −= − =−=
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠

Và lim
33
3
55
4lim4lim(40)64
nn
⎛⎞⎛ ⎞
−= − =−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

Nên limu
n
=
2.1 1
64 32
=
c) limu
n
= lim
2
2
213
nn
5
1
n
−
⎛⎞

+
⎜⎟
⎝⎠
( chia tử và mẫu cho n
2
) =
2
0
0
1
=

Dạng 3 : Dạng sử dụng công thức : lim q
n
= 0 nếu | q| < 1
Ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa a
n
với a lớn nhất . Nhớ các quy tắc :
a
n + m
= a
n
. a
m
;
n
nm
m
a
a

a
−
= ; (a
n
)
m
= a
nm
;
n
n
n
aa
bb
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠


Ví dụ 3 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
nn
nn
5.2 6.3
3.2 2.3
−
+
b)
2n 1 n 2n 2

2n n 2n 1
3155
4.3 2.15 7.5
++
−
−+
++

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
6
Giải a) Ta có : limu
n
=
n
nn
nn
nn n
nn
2
5.2 6.3
56
3
33
lim lim
3.2 2.3
2
3. 2
33
3

⎛⎞
−
−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎝⎠
( Chia tử và mẫu cho 3
n
)
=
5.0 6
3
3.0 2
−
=−
+
( vì lim
n
2
0
3
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

do
2
01
3
<<)
b) Tr
ước hết ta đưa về các lũy thừa dạng q
n
với | q| < 1 . Ta có :
u
n
=
nn n
nn n
3.9 15 25.25
7
4.9 2.15 .25
5
−+
++

Chia từ và mẫu cho 25
n
: limu
n
= lim
nn
nn
915
3. 25

25 25
9157
4. 2.
25 25 5
⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
+
+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=
0025125
7
7
00
5
−+
=
++

( vì lim
nn
915
lim 0
25 25
⎛⎞ ⎛⎞
==

⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
do 0 <
915
1
25 25
<
< )
Ví dụ 4 : Tính các tổng vô hạn các số hạng của cấp số nhân sau :
a)
S = 1 -
11

24
+− b) S = sin
2
x + sin
4
x + sin
6
x + . . . (x ≠ k
2
π
+
π )
Giải : a) p dụng công thức : S =
1
u
1q
−

với |q| < 1 .
Ta có vì | q | =
1
2
< 1 nên S =
12
1
3
1
2
=
+

b) Vì x
≠
k
2
π
+π
nên |q| = sin
2
x ≠ 1 tức |q| < 1 , do đó
S =
22
2
1
22
u
sin x sin x
tan x

1q 1sinx cosx
===
−−

*
Dạng 4 : Tìm giới hạn bằng cách thiết lập công thức u
n
theo n
Ví dụ 5 : Tìm limu
n
biết u
n
=
22 2 2
111 1

112 233 n n
++++
+++ +

Giải
Ta rút gọn u
n
bằng cách nhận xét số hạng tổng quát

2
1111
kkk(k1)kk1
==−
++ +

( 1 ≤ k ≤ n )
Suy ra : u
n
=
11 11 11 1 1

12 23 34 nn1
⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
−+−+−++−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠
= 1 -
1
n1
+

=> limu
n
= lim
1
11
n1
⎛⎞
−=
⎜⎟
+
⎝⎠

Ví dụ 6 : Cho dãy số u

n
đònh bởi :
1
n
n1 n
u1
1
uu ;n1
2
+
=
⎧
⎪
⎨
⎛⎞
=+ ≥
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩

Chứng minh u
n
= 2 - 2
n
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

, n∀ . Suy ra limu
n
.
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
7
Giải Ta chứng minh u
n
= 2 - 2
n
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(1) , n
∀
băng phưong pháp quy nạp .
•
Ta có : u
1
= 2 – 2.
1
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 1 : v
ậy (1) đúng khi n = 1

•
Giả sử u
k
= 2 – 2.
k
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, th
ế thì theo giả thiết quy nạp : u
k+1
= u
k
+
k
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ư u
k+1
= 2 – 2.
k
1
2
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
+
k
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 2 -
kk1
11
22.
22
+
⎛⎞ ⎛⎞
=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
: (1) đúng khi n = k + 1
V
ậy (1) đúng với n∀ . Suy ra :
limu
n
= 2 – 2lim
n
1
2
⎛⎞
⎜⎟

⎝⎠
= 2 – 0 = 2
Ghi chú : Ta có thê thiết lập trực tiếp công thức (1) bằng nhận xét u
n
– u
n – 1
là một cấp số nhân công bội
1
2

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.7. Chọn câu đúng :
3n sin(2n 4)
lim
2n
++

a) 1 b) 2 c) 0 d)
3
2

4.8. Chọn câu đúng : lim
2n 1
3n
−
−
=
a)
2
3

b) –
1
3
c) 1 d) – 2
4.9. Chọn câu đúng : lim
2
2
3(2n 1) n
4(n 7)(3n 1)
−
+−
=
a) ½ b)
1
3
c) 0 d)
3
4


4.10. Chọn câu đúng :
lim
2
32
nn3n1
n2n1
++ −
++
=
a) 4 b)3 c) 0 d) - 1

4.11. Chọn câu đúng : lim
n1 2n1
n4 n1
35
225
+−
+−
−
+
=
a) – 5 b) – 1/5 c) 3/16 d) đáp số khác

4.12. Chọn câu đúng : Tổng vô hạn của cấp số nhân sau - 4 + 2 – 1+ . . .bằng :
a) 16 b)
16
3
c) 6 d) đáp số khác
4.13. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
sin(2n 1)
lim 3
n
+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
b)
2
2n 3 cosn

lim
n1
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠

4. 14. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
2
2
n2n
3n n 1
+
++
b)
32
42
2n n
n3n6
+
−+
c)
2
3
(2n 4)(3n 4)(3n 1)
(2n 5) )(5n 2)
+−+

+−

d)
3
32
2
nnn
n2n32n7
−+
−++−
e)
3
2
nn7n1
(2n 1)
−
++−
+

4. 15. Tìm giới hạn các dãy số sau :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
8
a)
nn1
nn
4.3 7
2.5 7
+
+

+
b)
nn1
n1 n
23
5.2 4.3
+
+
+
−

c)
2n n 1 2n 1
n1 n 2
2.3 6 2
(2.3 3.2 )
+−
−
+−
−

4. 16. Tính các tổng vô hạn của cấp số nhân sau :
a) 1000 + 100 + 10 + . . . b) 1 + cos
2
x + cos
4
x + . . .(x ≠ k
π
)
c) 1

xx −+− d)
4.17. Trong mặt phẳng Oxy , một ốc sên bò từ gốc O theo phương Ox 1 m , rồi quẹo trái theo phương Oy
rồi lại quẹo trái theo ph
ương Ox và cứ thế , khoảng cách bò lần sau bằng nữ a khoảng cách trước đó . Hỏi
bò mãi thì ốc sên sẽ đ
ến vò trí nào ?
4. 18. Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số , ví dụ :
38
1,151515
33
= . là số
thập phân tuần hòan có chu kì là 15
a) 0, 123123123. . . b) 1, 272727 . . .

4.19. Cho một góc xOy = 30
0
. Từ điểm A trên Ox với OA = 1 , đựng AA
1
vuông góc Oy . Tiếp theo dựng
A
1
A
2
vuông góc Ox , rồi A
2
A
3
vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi .
Tình đ
ộ dài đường gấp khúc AA

1
A
2
. . .
4.20. Cho hình vuông ABCD có độ dài là 1. Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ hai , có
đỉnh là trung điểm c
ủa các cạnh của nó. Và cứ thế . . . . Tính tổng
chu vi c
ủa các hình vuông .
*
4. 21. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
14 (3n1)
16 (5n1)
++ + +
++ + +
b)
n2n
n2n
3(1 2 2 2)
2(1 3 3 3)
++ + +
++ + +

c)
22 2
11 1

2131 n1
+++

−− −

d)
11 1 1

n1 2 2 3 n n1
⎛⎞
+++
⎜⎟
++ ++
⎝⎠

*
4. 22. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
11 1

21 12 32 23 (n 1)n nn 1
+++
++ +++

b)
22 22 22
23 n

(2 1) (3 1) (n 1)
+++
−− −

*
4. 23. Cho dãy số :
1
n
n1 .
n
u2
2u 1
u(n1)
u
+
=
⎧
⎪
−
⎨
=
≥
⎪
⎩
. Tìm công thức tính u
n
theo n . Suy ra limu
n
.
D. Hướng Dẫn – Đáp Số
4.7. (d)
nn
3sin(2n4) 3
lim(u ) lim 0 lim u

22n 2
+
−= ==> =

4.8. (d) lim
1
2
2n 1 2
n
lim 2
3
3n 1
1
n
−
−
===−
−−
−

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
9
4.9. (b) lim
2
22
22
2
1
3(2 )

3(2n 1) n 3.2 1
n
lim
71
4(n 7)(3n 1) 4.1.3 3
4(1 )(3 )
nn
−
−
===
+−
+−

4.10.(c) lim
2
32
nn3n1
n2n1
++ −
++
=
2
3
3
11 3 1
nn
n
n
lim
21

1
nn
++ −
++
( chia T và M cho
3
n)
=
0
0
1
=

4.11. (a) lim
n1 2n1
n4 n1
35
225
+−
+−
−
+
=
n
nn
n
nn
31
1
3

3.3 .25
25 5
5
lim lim
1
21
16.2 .25
16.
25
25 25
⎛⎞
−
−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎝⎠
= - 5
4.12. (b) Ta có : 8 - 4 + 2 – 1+ . . .=
816
1
3
1( )
2
=
−−

4.13. a) Ta có : lim (u
n
– 3) =
sin(2n 1)
lim
n
−+

Mà
sin(2n 1) 1
nn
1
lim 0
n
⎧
−+
≤
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
nên lim(u
n
– 3) = 0 => limu
n
= 3

b) Ta có :
2
n
1cosn
lim(u 2) lim
n1
−
−=
+

Mà
2
1cosn 2
n1 n
2
lim 0
n
⎧
−
≤
⎪
⎪
+
⎨
⎪
=
⎪
⎩
=>
nn

lim(u 2) 0 lim u 2−==> =

4. 14. a) limu
n
=
1
3
(Chia tử và mẫu cho n
2
)
b) limu
n
= 0 ( Chia tử và mẫu cho n
4
)
c) limu
n
=
2
3
2.3.3 2
2.5 5
= ( Chia tử và mẫu cho n
4
)
d) limu
n
=
3
11

3
12
=
+
(Chia tử và mẫu cho n =
3
23
nn= )
e) limu
n
=
2
00
0
2
+
= (Chia tử và mẫu cho n
2
=
4
n)
4. 15. a) limu
n
= lim
n
n
3
4. 7
07
7

7
01
5
2. 1
7
⎛⎞
+
⎜⎟
+
⎝⎠
==
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
10
b) limu
n
= lim
n
n
2
3
03
3
04

2
10. 4
3
⎛⎞
+
⎜⎟
+
⎝⎠
=
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
= -
3
4
c) limu
n
=
nn
2
n
614
26. .
929
22
3.
33
⎛⎞ ⎛⎞

+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=
9
2
=

4. 16. a) S =
1 10000
1000.
1
9
1
10
=
−
b) S =
22
11
1.
1cosx sinx

=
−

c) S = 1.
1
1x+

4. 17. Các hoành độ lần lượt của ốc sên là : 1 , -
11
;;
416
lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 1 , công
bội -
1
4
. Suy ra hoành đ
ộ của ốc sẽ tiến đến vị trí
14
1.
1
5
1
4
=
+

(m) . Các tung độ c
ủa ốc sên là :
111
; ; ;

2816
−
lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu
1
2
, công bội -
1
4
. Suy ra tung độ c
ủa ốc sẽ tiến đến vị trí la :
11 2
.
1
25
1
4
=
+

V
ậy ốc sên sẽ bò đến điểm
42
;
55
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

4. 18. Ta viết số thập phân dưới dạng một tổng vô hạn :
0,123 + 0, 123123 + 0, 123123123 . . . .

Đây là tổng vô hạn c
ủa một cấp số nhân , số hạng đầu 0, 123 , công bội q =
1
1000

, suy ra số đó là :
123 1 123 41
.
1
1000 999 333
1
1000
==
−

b) Ta có : 1, 272727 . . . = 1 + 0, 27 + 0, 2727 + 0, 272727 + . . .
= 1 +
27 1 27 3 14
.11
1
100 99 11 13
1
100
=+ =+ =
−




4. 19.

Các tam giác OAA
1
, OA
1
A
2
. . . là các tam giác nữ a đều , cho ta :
23
12
112
AA
AA
3

AA AA 2
=== , suy ra các
đoạn AA
1
, A
1
A
2
, A
2
A
3
. . . lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu AA

1
=
11
.OA
33
=
, công bội
3
2
.
V
ậy độ dài đoạn gấp khúc là :
11 2
.
33233
1
2
=
−
−

O
A
A
1
A
2
A
3
Chương 4. Giới hạn

www.saosangsong.com.vn
11
4. 20. Các cạnh hình vuông này bằng
1
2
cạnh hình vuông
tr
ước nó . Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số
nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD) , công bội
là
1
2
, v
ậy tổng các chu vi là : 4.
1
1
1
2
=
−
42
4(2 2)
21
=+
−
(m )
*4. 21. a) Tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số cộng với u
1
= 1 , d = 3 và mẫu là tổng của n + 1 số
hạng c

ủa một cấp số cộng với v
1
= 1 , d’ = 5 . Vậy :

n
(n 1)
(2 3n)
2
u
n1
(2 5n)
2
+
+
=
+
+
=
23n
25n
+
+
=> limu
n
=
3
5

b) Biểu thức trong dấu ngoặc c
ủa tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số nhân với u

1
= 1 , q = 2 và của
mẫu là tổng c
ủa n + 1 số hạng của một cấp số nhân với v
1
= 1 , q’ = 5 . Vậy : u
n
=
n1
n
n1
n
12
3.
12
13
2.
13
+
+
−
−
−
−
=
n
n
1
2
2

.2
1
3
3
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
( Chia tử và mẫu cho 2
n
.3
n
) => limu
n
=
4
3

c) u
n
=
11 1

1.3 2.4 (n 1)(n 1)
+++
−+

mà
1111
(k 1)(k 1) 2 k 1 k 1
⎛⎞
=−
⎜⎟
−
+−+
⎝⎠

=> u
n
=
111111111 1 1

213 24 35 46 n1n1
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
−+−+−+− + −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
−+
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦

=
1111
1
22nn1
⎡⎤

+−−
⎢⎥
+
⎣⎦
=> limu
n
=
3
4

Ghi chú : Ta biến mõi số hạng của u
n
thành hiệu thuộc dạng :
u
n
= ( a
1
– a
3
) +( a
2
– a
4
) + ( a
3
– a
5
) + ( a
4
– a

6
) + . . .+ ( a
n-2
- a
n
) + ( a
n – 1
– a
n + 1
)

= a
1
+ a
2
- a
n
– a
n + 1

d) u
n
=
()
1n11
1223 nn1
nn
+
−
−+ − + −− + +=

=> limu
n
= 1
*4.22. a) Ta rút gọn u
n
theo cách của câu (c) trên đây bằng nhận xét :

()
11
(k 1) k k k 1
(k(k 1). k 1 k
=
+++
+++

=
k1 k 1 1
k(k1) k k1
+−
=−
++

Suy ra : u
n
=
1111 1111

1223 nn11n1
−+−++− =−
+

+

=> limu
n
= 1
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
12
b) Ta có :
22
22 22 22 2 2
kk1(k1)(k1)1.11
.
44
(k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)
⎛⎞
+−−
=− =−
⎜⎟
−+− +− −+
⎝⎠
=> u
n
=
=
222222 22 2 2
1111111 1 1 1 1

4
132435 (n2)n(n1)(n1)

⎛⎞
−+−+−++ −+ −
⎜⎟
−−+
⎝⎠
=
222 2
11 1 1 1
4
12n(n1)
⎛⎞
+−−
⎜⎟
+
⎝⎠
=> limu
n
=
113
1
428
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠


*4. 23. Ta có : u
1

= 2 , u
2
=
3
2
, u
3
=
31 4
3
3
2
−
=
. Ta chứng minh : u
n
=
n1
n
+
, n
∀
bằng phưong pháp quy nạp
. Suy ra : limu
n
= lim
n1
1
n
+

=


§3. Dãy số dần đến vô cực
A. Tóm Tắt Giáo Khoa .
1. Dãy số dần đến vô cục :
•
(u
n
) có giới hạn là + ∞ nếu mọi số hạng đều lớn hơn một số dương lớn tùy ý cho trước kể từø
m
ột số hạng nào đó trở đi .
Kí hiệu : limu
n
= + ∞ hoặc u
n

→
+
∞

• (u
n
) có giới hạn là -
∞
nếu mọi số hạng đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một
số hạng nào đó trở đi .
Kí hiệu : limu
n
= - ∞ hoặc u

n
→ -
∞

CHÚ Ý : (1) lim n
k
= +
∞
, lim
m
k
n= +
∞
, k , m : số nguyên dương .
(2) N
ếu lim u
n
= 0 và u
n
≠ 0 , n∀ thì lim
n
1
|u |
=
+∞
(3) N
ếu lim u
n
= + ∞ ( hoặc – ∞ ) thì lim
n

1
0
|u |
=

(4) Giả sử limu
n
= +
∞
và L > 0 , thế thì :

limv
n
L 0 +
∞
-
∞

Lim (u
n
+ v
n
) + ∞ + ∞ +
∞
?
Lim (u
n
– v
n
) + ∞ + ∞ ? +

∞

lim(u
n
. v
n
)

+ ∞ ? +
∞
-
∞

lim
n
n
u
v
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


+
∞


+
∞
(L > 0)

hoặc
–
∞
(L<0)

?

?
lim
n
n
v
u
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


0

0

?

?

Các tr
ường hợp có dấu ? là các trường hợp ta không thể xác đònh được giới hạn : dạng ∞ - ∞ , 0.
∞
và

∞
∞
( đã xét một phần ở §2.Dạng 2 ) , gọi là dạng vô đònh . Ta thường phải sử dụng các thuật toán để khử
các dạng này , được trình bày trong phần sau .

B. Giải Toán
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
13
Dạng 1 : (dạng
∞
∞
)
Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
3
(2n 1)(3n 1)
(2n 4)
−+
−
b)
2
2
4n n 1
(2n 1) (n 6)
−−
−+
c)
32

2
nnn8
2n 7n 9
−
++
+
+

Giải : a) Chia tử và mẫu cho n
3
(lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu), ta được :

2
2
n
3
3
11
(2 )(3 )
2.3 9
nn
lim u lim
4
24
(2 )
n
−+
===
−

b) Chia tử và mẫu cho n
3
(lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu), ta được :

23
n
2
41 1
0
nn n
lim u lim 0
16
2.1
(2 ) (1 )
nn
−−
===
−+

c) Xét u
n
=
2
32
2n 7n 9
nnn8
++
−++
> 0 , n∀
Ta có : lim u

n
= 0

( độc giả giải tương tự câu (b) ở trên )
Suy ra : lim
32
2
nnn8
2n 7n 9
−−+
++
= lim
n
1
u
=+∞
Nhận xét : Qua các ví dụ trên , nếu tử và mẫu là các đa thức bậc k và m theo n thì :

o
o
kk1
o1
mm1
01
a
nếu k m
b
a n a n
lim 0 nếu k m
bn bn

nếu k m
−
−
⎧
=
⎪
⎪
++
⎪
=<
⎨
++
⎪
∞>
⎪
⎪
⎩

Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
32
2
8n n 1
nn
++
+
b)
3
2

nn6n6
2n 1
+
+−+
+

Giải a) Chia tử và mẫu cho n =
3
23
nn= , ta được :
u
n
=
3
3
11
8
nn
1
1
n
++
+

suy ra : limu
n
=
3
3
2

11
lim 8
8
nn
2
11
lim 1
n
++
==
+

b) Chia tử và mẫu cho n
2
=
4
n , ta được :
limu
n
=
34
2
11 6
nn n
lim
1
2
n
++
+

=
34
2
11 6
lim
nn n
1
lim 2
n
++
+
=
0
0
2
=


Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
14
Dạng 2 ( dạng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của P(n) Q(n)− trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức cùng
bậc theo n
Viết : P(n) Q(n)− =
P(n) Q(n)
P(n) Q(n)
−
+
, ta đưa về trường hợp của dạng 1.
•

Tương tự :
33
22
33
3
P(n) Q(n)
P(n) Q(n)
P(n) P(n)Q(n) Q(n)
−
−=
++


Ví dụ 3 Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
22
nn28 n4n5++ − − + b)
2
4n 20n 1 2n 5
+
+− −
c)
3
32
( 8n n 1 2n 2007)+−−+
Giải a) Ta có :
limu
n
= lim
22

22 22
(n n 28) (n 4n 5) 5n 23
lim
nn28 n4n5 nn28 n4n5
++ − − + +
=
++ + − + ++ + − +

= lim
22
23
5
50 5
n
11 2
128 4 5
11
nn nn
+
−
==
+
++ + −+


b) limu
n
=
22
22

(4n 20n 1) (2n 5) 24
lim lim
4n 1 2n 5 4n 20n 1 (2n 5)
++−+ −
=
++ − + ++ +


= lim
2
24
0
n
0
22
20 1 5
42
nn n
−
==
+
++++

c) imu
n
= lim(
3
32
( 8n n 1 2n) 2007+−− +
= lim

32 3
32 2 32 2 2
33
(8n n 1) (2n)
(8n n 1) 2n. (8n n 1) (2n)
+−−
+− + +− +
+ 2007
= lim
2
2
3
3
33
1
1
n
11 11
82.84
nn nn
−
⎛⎞
+− + +− +
⎜⎟
⎝⎠
+

2007 ( chia tử và mẫu cho n
2
)

=
11
2007 2007
444 12
+=
++


Ví dụ 4 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
nnn8+−+ b)
n7 3n2+− +
c)
5
4n 1 3n 2
−
−+

Giải :
a) Ta có limu
n
= lim
3
n(
2
3
11 8
1
n

n
n
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Vì lim
3
n = +
∞
và lim
2
3
11 8
1
n
n
n
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
1
Do đó limu
n
= + ∞

Ghi chú : Ở câu (a) , tuy là dạng vộ đònh ∞ -
∞
nhưng dãy số u
n
=
3
nn
+
tiến đến vô cục “ nhanh hơn “
dãy số v
n
= n – 8 nên lim(u
n
– v
n
) = + ∞ .
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
15
Những giá trị của u
n
và v
n
tương ứng với các giá trị rất lớn của n trong bảng dưới đây cho thấy điều đó :

N 100 1000 10000
u
n
1000,04 31.622 1000000
v

n
92 992 9992
u
n
- v
n
908,04 30.630 990.008

So sánh với lim
22
nn28 n4n5++ − − + ở VD1 _câu a) , ta thấy cả u
n
và v
n
đều tiến tới vô cựïc với giá
trị ngang bằng nhau nên lim(u
n
– v
n
) = 2, 5 .

N 100 1000 10000
u
n
100,637 1.000,513 10.000,501
v
n
98 998 9998
u
n

- v
n
2,637 2,513 2,501
b) limu
n
=
72
lim n( 1 3 )
nn
+− +

Vì lim
72
nvàlim1 3 130
nn
⎛⎞
=+∞ + − + = − <
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
nên
n
lim u
=
−∞

c) Chia tử và mẫu cho
n
5
n

n,limu
12
43
nn
=
−− +

Tử tiến dần đ
ến 0 và có giá trò dương còn mẫu tiến dần đến 43− > 0 , do đó
n
lim u =+∞


Ví dụ 5 : Tìm giới hạn dãy số
2
2
n3 n n
4n 5 2n 1
+− +
+− +

Giải : limu
n
=
222 2
2222
(n 3) ( n n) ( 4n 5 2n 1
lim .
n3 n n (4n 5) (2n1)
+− + ++−

++ + + − −
( nhân tử và mẫu cho lượng liên hiệp )
= lim
2
2
5n 9 4n 5 2n 1
.
4n 4
n3 n n
+++−
+
++ +

= lim
2
51
9
42
5
nn
n
.
4
31
4
11
n
nn
++−
+

+
++ +
( Chia tử và mẫu c
ủa từng biểu thức phân cho n )
=
5225
.
11 4 2
+
=
+

Ghi chú : Ở đây tử và mẫu đều là hiệu của hai dãy số “ đồng tài ngang sức “ , có nghóa là giới hạn của
hiệu của chúng là một số hữu hạn , cho nên ta phải dùng lượng liên hiệp để tìm giá trị hữu hạn ấy . Còn đối
với dãy số trong đó tử hay mẫu là hiệu hai dãy số không “ đồng tài ngang sức “ , ví dụ :
2
2
2n 3 n n
n52n1
+− +
+− +
,
trong đó giới hạn của tữ và mẫu đều là vô hạn thì ta giải như dạng 1. Cụ thể như sau :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
16
limu
n
= lim
2

31
21
nn
51
12
nn
+− +
+−+
=
21
1
12
−
=−
−

Cần nhận biết hai dãy số an + b và an + b’, hoặc an
2
+ bn + c và an
2
+ b’n + c’ . . . ( tức các đa thức
cùng bậc và hệ số của bậc cao nhất bằng nhau ) là hai dãy số‘ “ đồng tài ngang sức “

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.24. Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến +
∞
?
(I)
2n 7 n 4+− + (II)
22

3
(2n 3)
(3 n)
−
−

a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào
4.25. Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến 0 ?
(I)
3
2n 1 2n 4+− +
(II)
3n 1 n
2n 3 n 1
+−
+
−+

a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào.
4.26. Chọn câu đúng :
44
lim n( n n 3 n 3n 1++− + −
)

a) 0 b) - 2 c) +
∞
d) –
∞

4.27. Chọn câu đúng :
lim
(
)
2
4n 2n 7 2n 3)++−+ =
a) 7/2 b) – 5/2 c) 0 d) +
∞

4.28. Chọn câu đúng : lim
22
nn1 n2n7
n7 n3
+−− + +
+− +
=
a) 0 b) – 1 c) +
∞
d) –
∞

4. 29. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
2
2n 4
nn1
−
++
b)

2n 3 n 4+− + c)
1
2n 3 n 1
+
−+
d) 2n – 3 -
3
nn3−+ e)
3
34
nn−
4.30. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
2n 4 2n 1+− + b)
2
n2nn3
−
+
c)
242
(1 n ) n 3n 1+− ++ d)
22
4n n 1 4n 3n 6
+
−− − +
e) n + 2 -
3
3
n2n1++
4. 31. Tìm giới hạn các dãy số sau :

a)
2
2
nn5
2n 1 4n 4n 3
−+
+− + +
b)
3
3
42
n1n
n1n
+−
+
−

c)
2
2
2n 4n n
2n n 8n
−+
−+
d)
3
3
2
n5 8n n1
n2 n 7

−
−++
+− +

*4. 32. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
2
n3n1 2n3
2n 1
+−− +
+
b)(2n+1)
(
)
44
2n n 1 2n 3n 1
−
+− + +
c)
(
)
22
(3n 1) n n 7 n n 2−++−++ d)
3
232
4n n 8n 3n+− +

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
17

e)
3
23 2
4n 1 n 7 2n 1++−+
*4.33. Cho dãy số u
n
= 1 +
11 1

23 n
+++. Chứng minh limu
n
= +
∞

D. Hướng Dẫn – Đáp Số
4.24.(a) *
n
74
lim u lim n 2 1
nn
⎛⎞
=+−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞

*

2
2
n
3
3
(2 )
n
lim u lim
13
(1)
nn
−
=
−
= -
∞
vì tử số dần đến 0 với các giá trò âm và mẫu số dần đến 4.
4.25.(d) *
n
3( 2n 1 2n 4)
lim u lim
3
++ +
==−∞
−

*
n
1
n3 1

n
lim u lim
31
n2 1
nn
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
=
31
21
−
−

4.26. (b)
n
44
2n 4
lim u lim n
nn3 n3n1
−+
=
+++ + +
= - 2

4.27.(a)
lim
(
)
22
2
2
(4n 2n 7) (2n 3)
4n 2n 7 2n 3) lim
4n 2n 7 2n 3
++− −
++−+ =
+
++ −
=
= lim
2
14n 2 14 7
22 2
4n 2n 7 2n 3
−
==
+
+++−

4.28.(d) lim
22
nn1 n2n7
n7 n3

+−− + +
+− +
=
22
n8 n7 n3
lim .
4
nn1 n2n7
−
−+++
+−+ + +

= lim
22
8
1
n7 n3
n
.
4
11 27
11
nn nn
−−
++ +
+− + ++
= - 1 . ( +
∞
) = -
∞

4. 29. a) limu
n
= lim
3
23
4
2
n
11 1
nn n
−
++
= + ∞ vì lim(2 -
4
)
n
= 2 , lim(
3
23
11 1
0
nn n
+
+= và
3
2
nn10++>, n
∀

.
b) limu
n
=
34
n2 1
nn
⎛⎞
+− + =+∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
vì lim
34
n;lim2 1 211
nn
⎛⎞
=
∞+−+=−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

c) limu
n
= lim
1
0
34
n2 1

nn
=
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
vì gi
ới hạn của mẫu là +
∞
.
d) limu
n
=
3
23
3
13 13
n( 1
nn
n
n
−−−+
) = -
∞
vì lim
3
n
=
+∞ và
lim

23
3
13 13
(1
nn
n
n
−−−+ = 0 – 1 = - 1
e) Chú ý :
636
39 48
nnvànn== , ta được :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
18
limu
n
= lim
6
9
6
1
n1
n
⎛⎞
−=+∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

4. 30. a) limu
n
= lim
3
0
2n 4 2n 1
=
++ +

b) + ∞
c) limu
n
= lim
2
242
n
1n n 3n 1`
−
++ + +
= lim
224
1
131
11
nnn
−
++ + +
= -
1
2

d) limu
n
= 1 e) limu
n
= 2
4. 31. a) limu
n
= lim
2
2
5 2n 1 4n 4n 3
.
2
nn5
−++++
−
++
= lim
2
2
143
24
5
nnn
.
2
5
11
n

++ ++
++
= 5
b) limu
n
=
33 4 2
44
3
23 32
3
n(n1) n1n
lim .
n1n
nnn1 (n1)
−− ++
+−
+−+−

= lim
4
2
3
3
33
1
11
n
11
11 1

nn
++
⎛⎞
+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
=
2
3

c) lim u
n
= lim
1
24
n
8
21
n
−+
−+
= 0
d) limu
n
= lim
3
23
2
511
18

nnn
27
11
nn
−− + +
+− +
= - ∞ vì limT = 1 – 2 = - 1 < 0 và limM = 0 và M > 0 , n∀ (T : từ , M :
mẫu)
*4. 32. a)
22
n
31 23
n1
nn nn
lim u lim
1
n(2
n)
⎛⎞
+− − +
⎜⎟
⎝⎠
=
+
=
1
2

b)
n

44
4n 8
lim u lim(2n 1) 2 2
22
2n n 1 2n 3n 1
−−
=+ ==−
−++ + +

c)
n
22
515
lim u lim(3n 1)
2
nn7 nn2
=− =
+++ ++

d)
Ở đây
2
4n n+ “ đồ ng tài ngang sức” với
2
4n 2n= , còn
3
32
8n 3n+ thì “ đồ ng tài ngang sức” với
3
3

8n 2n=
limu
n
= lim(
(
)
3
232
( 4n n 2n) (2n 8n 3n )+− + − +
= lim
2
3
2232322
2
n3n
4n n 2n 4n 2n. 8n 3n (8n 3n )
⎛⎞
−
⎜⎟
+
⎜⎟
++ + + + +
⎝⎠

=
13
0
412
−
+=

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
19
e) Ở đây
2
4n n+ “ đồ ng tài ngang sức” với
2
4n 2n= , còn
3
32
nn1
+
+ thì “ đồng ngtài ngang sức
với
3
3
nn=

333
23 3 3 2
n
limu1lim(4n1n72nn72nn72n)=+ + + − + + + −
= 1 +
33
32 3
lim n 7( 4n 1 2n) 2n( n 7 n)
⎡⎤
++−++−
⎣⎦

= 1+
19
1
44
+
=
4.33. Ta có :
m
m1 m1 m
2
111 1111 1 1 1
u 1 ( )
234 5678 2 12 2 2
−−
⎛⎞⎛ ⎞
=++ + + +++ + + + ++
⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất có 2
1
phân số , trong dấu ngoặc thứ hai có 2
2
phân số , . . ., trong dấu
ngoặc cuối cùng có 2
m
phân số .
Ta có :
m1 m

11
22
11111
34442
111111111
567888882

111

21 22
−
=
+>+=
+++>+++=
++ >
+

Cộng , ta được :
m
2
m
u1
2
>+ . Theo đ
ịnh nghĩa , ta suy ra : limu
n
= +
∞
.
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . HÀM SỐ LIÊN TỤC

§4. Định nghĩa và một số đònh lí về giới hạn hàm số
A. Tóm Tắt Giáo Khoa .
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm :
a) Gi
ới hạn hữu hạn : Cho hàm số f xác đònh trên (a ; b) \ {x
0
} và x
0

∈
(a ; b) , ta nói :
0
xx
lim f(x)
→
= L ( f có giới hạn là L tại điểm x
0
) Ù
∀
(x
n
), limx
n
= x
-0
=>
n
lim f(x ) = L
b) Gi
ới hạn vô cựïc :

0
xx
lim f(x)
→
= + ∞ ( -
∞
) Ù ∀ (x
n
), limx
n
= x
0
=>
n
lim f(x ) = +
∞
( -
∞
)
2. Gi
ới hạn tại vô cựïc .

x
lim f(x)
→+∞
= L Ù
∀
(x
n

), limx
n
= +
∞
=>
n
lim f(x ) = L
T
ương tự với
x
lim f(x)
→−∞

Chú ý : V
ới mọi k ∈ Z
+
,
a)
k
x
1
lim 0
x
→±∞
= b)
k
x
lim x
→+∞
=

+∞
c)
k
x
nếu k chẵn
lim x
nếu k lẻ
→−∞
+∞
⎧
=
⎨
−∞
⎩

d)
0
xx
lim C C
→
= ( C : hằng số )
3. Đònh lí về gi
ới hạn :
Đònh lí 1 : Biết
0
xx
lim f(x)
→
= L ,
0

xx
lim
g
(x)
→
= M , thế thì :
a)
0
xx
lim
→
[f(x) + g(x) ] = L + M b)
0
xx
lim
→
[f(x) – g(x)] = L – M
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
20
c)
0
xx
lim
→
[f(x)g(x)] = LM d) Nếu M ≠ 0 thì
0
xx
lim
→

f(x)
g(x)
=
L
M

Đònh lí 2 : Biết
0
xx
lim f(x)
→
= L , thế thì :
a)
0
xx
lim f(x) L
→
= b)
0
3
3
xx
lim f(x) L
→
=
c) N
ếu f(x) ≥ 0 ,
0
xx∀≠ thì L ≥ 0 và

0
xx
lim f(x) L
→
=

Ghi chú : a)
0
xx
lim
→
(x
n
) = x
0
n
b)
0
xx
lim
→

n
n
o
xx=

¾ Nếu f(x) là hàm số đa thức , phân thức hay vô tỉ xác đònh tại x
0
thì

0
xx
lim f(x)
→
= f(x
0
)
¾ Các đònh lí 1 và 2 trên vẫn đúng khi thay x
0
bằng
±
∞
.
B. Giải Toán .
Dạng 1 : Tìm
0
xx
lim f(x)
→
biết hàm số f(x) là hàm số lập bởi các phép tóan như cộng , trừ , nhân
chia … các hàm số đa thức và xác đònh tại x
o
.
Khi đó giới hạn là f(x
0
) .
Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :
a) f(x) =
2x 1
x2

−
+
tại x
0
= 2 b) f(x) =
3
2
x8x3
x1x
+
−+
++

tại x
0
= 0
Giải a) f(x) là hàm số hữu tỷ xác đònh tại x
0
= 2 nên
x2
3
lim f(x) f(2)
4
→
=
=

b) f(x) là hàm số sơ cấp xác đònh tại x
0
= 0 nên

3
x0
803
limf(x) f(0) 5
10
→
−+
=
==
+


Dạng 2 : Tìm
()
()
→∞x
fx
lim
gx
trong đó f(x) và g(x) là các đa thức hay biểu thức tiến tới vô cựïc khi
x tiến tới vô cựïc .
• Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất , rồi dùng :
k
x
1
lim 0
x
→∞
=

Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau:
a)
32
3
x
2x x 5
lim
3x x
→+∞
−+
+
b)
22
3
x
(3x x 1)
lim
(2x 1) (5x 6)
→−∞
−+
−
+

c)
2
x
2x 5
lim
3x x 7
→+∞

−
−+
d)
x
lim
→−∞

32
2x 9x 1 3x 2
4x x 1 x 1
−
+− +
−
−++−

Giải
a)
3
xx
2
15
2
xx
lim f(x) lim
1
3
x
→+∞ →+∞
−+
=

+
( Chia tử và mẫu cho x
3
)
=
200 2
30 3
−+
=
+

b)
xx
lim f(x) lim
→−∞ →−∞
=
2
2
3
11
3
xx
16
25
xx
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞

−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
( Chiatử và mẫu cho x
4
= (x
2
)
2
= x
3
. x )
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
21
=
()
2
3
300
9
(2 0) (5 0) 40
−+
=
−+

c)
2
xx
2

25
xx
lim f(x) lim
17
3
xx
→+∞ →+∞
−
=
−+
=
00
0
300
−
=
−+

d) Chia tử và mẫu cho
3
xxx−=−−, ta được :

xx
3
112
29 3
xx
xx
lim f(x) lim
11 1 1

4
xx
xxx
→−∞ →−∞
−−+−−
−
=
+− − +
−
=
29
3
4
−
=
−

Dạng 3 : Tìm giới hạn vô cực .
Chú ý : a)
o
n
01n1
x
o
nếu a 0
lim (a x a x )
nếu a 0
−
→+∞
+∞ >

⎧
++=
⎨
−∞ <
⎩

b) Nếu
0
xx
lim
→
f(x) = +
∞
,
0
xx
lim
→
g(x) = +
∞
thì :
*
0
xx
lim
→
[f(x) + g(x)] = +
∞
,
0

xx
lim
→
[f(x)g(x)] = +
∞
,
0
xx
lim
→
[f(x)]
n
= +
∞

c) Nếu
0
xx
lim
→
f(x) = 0 và
0
xx
lim
→
g(x) = L
≠
0 thì :
*
0

xx
lim
→

a
f(x)
=
+∞ ( a ≠ 0)
*
0
xx
lim
→

g(x)
f(x)
= +
∞
. . . . .
Ví dụ 3 : Tìm các giới hạn sau :
a)
x2
x23x
lim
|x 2|
→
++
−
b)
x

lim ( 1 3x 2x)
→−∞
−−
c)
x
lim
→+∞
(
2
xx1 4x5++− −
) d)
x1
lim
→
(
2
2x 1
.( 3x 2 4x 5)
(x 1)
+
−
−+
−
e)
2
x
2x 4x
lim
3x 1
→+∞

+
−

Giải :
a) Nhận xét
x2
lim | x 2 | 0
→
−= và |x – 2| > 0 ,
x2
lim( x 2 3x) 4 6 8
→
+
+=+=
> 0
V
ậy
x2
lim
→
=+∞
b) Vì
13x và(2x)− → +∞ − → +∞ khi x dần đến –
∞
, do đó :
x
lim ( 1 3x 2x)
→−∞
−− = + ∞
c)

22
xx
11 4
lim f(x) lim x( 1 )
xx xx
→+∞ →+∞
5
=++−−
= +
∞
vì
22
xx
11 45
lim x và lim 1 1 0 1
xx xx
→+∞ →+∞
⎛⎞
=+∞ + + − − = − =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

d)
2
x1
2x 1
lim
(x 1)
→

+
=+∞
−
vì tử 3 và mẫu 0→→và mẫu > 0
x1
lim( 3x 2 4x 5) 1 9 2
→
−− + = − =−
Do đó
x1
lim f(x)
→
=−∞
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
22
e) Nhận xét rằng tử và mẫu đều dương ( tiến tới +
∞
) khi x tiến tới +
∞
Ta có :
xx
lim f(x) lim
→+∞ →+∞
=
2
4
2
x
3

xx
+
1
−
= + ∞ vì giới hạn của tử là 2 , của mẫu là 0

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.34 Chọn câu đúng :
2
2
x1
2|x| x x
lim
xx1
→
++
−+
=

a) 0 b) 1 c) 2 d) +
∞

4.35. Chọn câu đúng :
x
5x 2
lim
4x 1 x 3
→+∞
−
=

++ +


a) + ∞ b) – ∞ c) 0 d) 1

4.36. Chọn câu đúng :
2
x
19x 19
lim
2x 5 4x x 6
→−∞
+
+− ++
=

a) +
∞
b)
19
4
c) 0 d) –
∞


4.37. Chọn câu đúng :
x
lim ( 2x 1 x 3)
→+∞
+− + =

a)
1
21
+
b) 0 c) 21
−
d) +
∞

4.38. Chọn câu đúng :
2
x
lim (5 x 4x x 6)
→−∞
−+ ++ =

a)
56−
b) 0 c) +
∞
c) –
∞


4.39. Chọn câu đúng :
23
22
x
(2x 4) (3 x)

lim
(x 3)(3x 1)
→−∞
−−
−+ −
=

a) 36 b) - 36 c) -
4
3
c) 0

4.40. Chọn câu đúng :
2
x2
x2x
lim
x4x4
→
++
−
+−
=
a) +
∞ b) – ∞ c) 0 d) 6
4.41. Chọn câu đúng :
32
22
x
x2x 2 x

lim
(2x 3) x x 3
→+∞
++
−+ +
=
a)
1
4
b)
2 c) 0 d) +
∞

4.42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2
x0
xx1
lim
|x 3|
→
++
−
b)
2
4
x3
x1
lim

x3
→
−
−

c)
2
x1
cos2 x sin x
lim
xx
→
Π+ Π
+
d)
2
3
x2
cos x 2x x 9
lim
tan( x / 8) x 1
→
π
+−
π
+−

4.43. Tìm các giới hạn sau :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn

23
a)
2
2
x
2x 3x 5
lim
xx4
→−∞
−+
++
b)
22
22
x
(2x x 1)(x 1)
lim
(3x 1)
→+∞
+− −
−

c)
2
3
3
x
2x 1 x x
lim
8x x 1

→−∞
−+ −
−−
d)
5
4
3
2
x
3x 1 x 3x
lim
2x 7 x x
→−∞
−+ −
+
−+

e)
2
42
x
x5
lim (2x 5)
x3x1
→+∞
+
−
++
f)
2

2
x
2|x| x x 1
lim
xx4
→−∞
+
++
+−

4.44.
Tìm các giới hạn sau :
a)
2
x1
x33x
lim
2x | x 1|
→−
+−
−
b)
x
lim ( 5 2x x 5)
→−∞
−
−+
c)
x
lim

→+∞
(
2
4x 3x 1 9x 5++− −) d)
x1
lim
→−
(
2
23 x 6
.( 3 x 7 2x)
(x 1)
−−
−− −
+
e)
3
x
2x x 1 3x 2
lim
(x 1) 3x 5
→+∞
−+− −
−+


4. 45. Tìm các gi
ới hạn sau :
a)
x

sinx
lim
x2
→+∞
+
b)
2
2
x
cosx sin3x
lim
xx4
→+∞
+
++

c)
2
x
x(1sinx)(1 cosx)
lim
(2 sinx cosx)(x x 1)
→+∞
++
++ ++
d)
2
x
lim (sin x x x 3
→+∞

−
−+)

D. Hướng Dẫn – Đáp Số
4.34.(c)
Vì hàm số f(x) xác đònh khi x = 1 nên
x1
4
lim f(x) f(1) 2
1
→
=
==
4.35. (a)
xx
22
2
5
x
lim f(x) lim
41 13
xx xx
→+∞ →+∞
−
=
++ +
= +
∞

4.36.(b)

2
xx
19x 19
lim f(x) lim
2x 5 4x x 6
→−∞ →−∞
+
==
+− ++
19 19
22 4
=
+


4.37. (
d)
xx
13
lim ( 2x 1 x 3) lim x 2 1
xx
→+∞ →+∞
⎛⎞
+− + = + − +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞

4.38. (c)
2
xx
lim (5 x) và lim 4x x 6)
→−∞ →−∞
−=+∞ ++=+∞
4.39.(c)

23
23
2
xx
2
2
43
(2 ) ( 1)
2(1) 4
xx
lim f(x) lim
31
(1)3 3
(1 )(3 )
xx
→−∞ →−∞
−−
−
===−
−
−+ −

4.40.( b)
22
x2 x2
x2x x2x
lim lim
x4x4 (x2)
→→
++ ++
=
−+ − −−
= -
∞
vì tử
6,mẫu 0 và 0→→<

4.41.(b) Chia tử và mẫu cho x
2

3
xxx= :
3
xx
2
21
2
x
x
lim f(x) lim
13 3
(2 ) 1

x
xx
→+∞ →+∞
++
=
−++
=
2



Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
24
4.42. a)
x0
1
limf(x) f(0)
3
→
== b)
x3
31 1
lim f(x) f( 3)
93
3
→
−
== =
−

c)
2
x1
cos2 sin 1
lim f(x) f(1)
2
11
→
Π+ Π
== =
+
d)
3
x2
cos2 1 1
lim f(x) f(2)
2
tan( / 4) 1
→
π
=
==
π+

4. 43. a)
x
lim f(x) 2
→−∞
= b)

x
lim f(x)
→+∞
=
2
9

c)
xx
3
23
11
21
1
xx
lim f(x) lim
2
11
8
xx
→−∞ →−∞
−− −
==
−−
d)
5
4
xx
3
2

113
3
3
xxx
lim f(x) lim
2
711
2
xxx
→−∞ →−∞
−+ −
=
=
+− +

e)
2
xx
24
5
1
5
x
lim f(x) lim (2 )
31
x
1
xx
→+∞ →+∞
+

=−
++
= 2
f)
2
2
2
xx x
2
11
21
2x x x 1
xx
lim f(x) lim lim
14
xx4
1
xx
→−∞ →−∞ →−∞
−− + +
−+ ++
==
+−
−+−
= 3
4.44. a) –
∞
b) +
∞
c)

22
xx
31 95
lim f(x) lim ( x) 4
xx xx
→−∞ →−∞
⎛⎞
=− ++−−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞
vì (- x) → +
∞
và số hạng còn lại → 2
d) Số hạng đầu → - ∞ , số hạng sau → - 1 nên f(x) → -
∞

e) Chia tử và mẫu cho x
x= x
3
, giới hạn là
20 2
3
3
−
=
4. 45.

a) Vì
1
f(x)
|x 2|
≤
+
→ 0 khi x → +
∞
nên
x
lim f(x)
→+∞
= 0
b) Vì
2
2
f(x)
xx4
≤
++
và
2
x
2
lim 0
xx4
→+∞
=
++
nên

x
lim f(x)
→+∞
= 0
c) Vì
2sinxcosx
(1 sin x)(1 cosx) (bđt Cô si)
2
++
++≤ −
nên
2
x
f(x)
2(x x 1)
≤
++
mà
2
x
|x|
lim 0
2(x x 1)
→+∞
=
++
=>
x
lim f(x)
→+∞

= 0
d) f(x) = x
2
sin x 1 3
1
xxx
⎛⎞
−−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
mà
2
xx
sin x 1 3
lim 0 ; lim 1
xxx
→+∞ →+∞
=−+ = 1 , do đó
x
lim f(x)
→+∞
= - ∞ .

§5. Giới hạn một bên
A. Tóm Tắt Giáo Khoa .
1. Cho f(x) xác đònh trên khỏang (x
0
; b) :

0
xx
lim f(x)
+
→
= L Ù ∀ x
n
∈ (x
0
; b) , limx
n
= x
0
=> limf(x
n
) = L
( f(x) có
giới hạn phải là L khi x → x
0
)
2. Cho f(x) xác đònh trên khỏang (a ; x
0
) :

0
xx
lim f(x)
−
→
= L Ù ∀ x

n
∈ (a ; x
0
) , limx
n
= x
0
=> limf(x
n
) = L
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
25
( f(x) có giới hạn trái là L khi x → x
0
)
3.
0
xx
lim f(x)
→
= L Ù
o0
xx xx
lim f(x) lim L
+−
→→
==
4. Các đònh lí 1 và 2 ở
§3 cũng đúng khi thay x → x

0
bởi x → x
o
+
hay x
o
-
.
5.
k
xO
1
lim
x
+
→
=+∞ ( k ∈ Z
+
) ,
2k 2k 1
xO xO
11
lim ; lim
xx
−−
+
→→
=+∞ =−∞
B. GIẢI TOÁN
Dạng 1 : Tìm giới hạn phải , trái

Chú ý khi x
o
x
+
→ thì x > x
0
và khi x
o
x
−
→ thì x < x
0

Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
x1
x1
lim
x4x3
+
→
−
−+ −
b)
2
x2
x|x 2|
lim
x2x

−
→
−
−
c
)
2
x2
x23x
lim
(x 4)
+
→
−+
−

Giải a) Hàm số f(x) xác đònh trên ( 1 ; 3) . Ta có :
x1 x1 x1
x1 1 1
lim f(x) lim lim
x1. x3 x3 2
++ +
→→ →
−
===
−−+ −+


b) Chú ý khi x 2
−

→ thì x < 2 , suy ra | x - 2| = - (x – 2)
Ta có :
x2 x2 x2
x(x 2) x 1
lim f(x) lim lim
(x 2)(x 2) x 2 2
−− −
→→ →
−− −
===−
−+ +

c) Khi x → 2
+
thì
2
x23x 03.260
(x 4) (x 2)(x 2) 0
+
⎧
−+ → + =>
⎪
⎨
−=− +→
⎪
⎩
do đó
2
x2
x23x

lim
(x 4)
+
→
−+
−
= + ∞
Ví dụ 2 : Cho hàm số f(x) =
2
2
x1
với x 1
xx2
x2xvớix1
−
⎧
>
⎪
+−
⎨
⎪
−≤
⎩

Tìm gi
ới hạn phải và trái của f(x) tại x = 1 . Hàm số có giới hạn tại x = 1 không ?
Giải
• Ta có :
x1 x1 x1
x1 1 1

lim f(x) lim lim
(x 1)(x 2) x 2 3
++ +
→→ →
−
===
−+ +

•
Ta có :
2
x1 x1
lim f(x) lim(x 2x) f(1) 1
++
→→
=−==− vì x
2
– 2x xác đònh tại x = 1
•
Vì
x1
lim f(x)
+
→
≠
x1
lim f(x)
−
→
nên hàm số f(x) không có giới hạn tại x = 1

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.46. Tìm các giới hạn sau :
a)
x3
x
lim
x3
+
→
−
b)
x1
x1
lim
x1
−
→−
−−
−
c)
2
2
x2
x6x8
lim
x5x6
−
→
−
+

−
+

d)
2
2
x1
x6x5
lim
xx
−
→
−+
−
e)
2
2
x5
5x x
lim
x6x5
−
→
−
−+

4.47. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2

x1
x4x3
lim
|1 x |
+
→
−+
−
b)
2
45
x3
x3x
lim
3x x
−
→
−
−
c)
22
x1
11
lim
x1x3x2
+
→
⎛⎞
−
⎜⎟

−−+
⎝⎠