SKKN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải
bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm. Thực tiễn dạy và
học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải
toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn
rất yều. Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán
để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, Một
trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”.
Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của
mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS
nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các
kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán
II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU
Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và
mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả
nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên
lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời
gian của tiết dạy. Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia
hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có
những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp,
thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất
đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này
vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không
nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học
sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”

luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về
dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường. Từ những suy nghĩ đó
và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này
III/ GIẢI PHÁP
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải
toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào
để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao
kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các
phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg
chương, từng khối lớp. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán
khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không
chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy
luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ
dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi.
Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri
thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học
tập hơn rất nhiều
B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ
I/CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể
hiện dạng toán “chia hết”. Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học
môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh
bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy
trong quá trình giảng dạy bài mới. Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán
“chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán. Nó giúp học sinh phát
triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh
hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic
II./GIẢ THUYẾT
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm

2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã
trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng
giải các bài tập dạng này
1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
-Nếu a

m và b

m thì a+b

m , a -b

m, a.b

m
-Nếu a

m thì a
n


m (n là số tự nhiên)
2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11
Chia hết cho Dấu hiệu
2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
3 số có tổng các chữ số chia hết cho 3
4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 4

5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3
8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 8
9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
10 Số có chữ số tận cùng là 0
11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng
ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang
phải) chia hết cho 11
3.Đồng dư
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số
dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu
(mod )a b c≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

(mod )a a m≡

(mod ) (mod )a b m b a m≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m≡ ≡ ⇒⇒ ≡

(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇔ ≡
4.Nguyên tắc Đirichlê
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm

3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu
nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con
thỏ.
5.Phương pháp chứng minh quy nạp
Muốn chứng minh một khẳng định A
n
đúng với mọi n=1,2,3 ta chứng
minh như sau:
-Khẳng định A
1
đúng
-Giả sử A
k
đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định A
k+1
đúng
Kết luận: Khẳng định A
n
đúng với mọi n=1,2,3
6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau:
-Giả sử P sai
-Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý
-Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng
*CÁC DẠNG TOÁN
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người
học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó. Một bài có thể
vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá

trình giải toán
1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số
Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho
ab19
chia hết cho 5 và 8
Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết
cho 5 và 8
Vì
ab19
chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và
ab19
chia hết cho 8 nên suy ra b=0
Mặt khác ,
019a
chia hết cho 8 nên
019a
chia hết cho 4 khi
0a
chia hết cho 4 suy
ra a
∈
{0;2;4;6;8}. Ta có
019a
chia hết cho 8 khi
09a
chia hết cho 8 nên a=2 hoặc
a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960
Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để
96aaaaa
chia hết cho cả 3 và 8

vì
96aaaaa


8
↔

96a

8
↔
100a + 96

8 suy ra 100a

8
vậy a là số chẵn
→
a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
vì
96aaaaa


3
↔
(a + a + a + a + a + 9 + 6 )


3
↔
5a + 15

3
mà 15

3
→
5a

3
mà (5, 3) = 1
Suy ra a

3 vậy a ∈{ 3, 6 ,9} (2).
từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy dố phải tìm là 6666696.
Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để
11aaa

11.
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
*Nếu 2a ≥ a + 2
→
a ≥ 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7
mà (a - 2)

11 nên a - 2 = 0
↔

a = 2
*Nếu 2a ≤ a + 2
↔
a <2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết cho
11.vậy a=2
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm x,y sao cho
721994 xy
HD:
xy1994


72 = 72. 2769 + 32 +
xy


72 ↔ 32 +
xy


72
Vì 32 ≤ 32 +
xy
≤ 32 + 99 = 131 nên 32 +
xy
= 72 ↔
xy
= 40 vậy x = 4 , y =
0.
Bài 2; Tìm x để

1994x
3 nhưng không chia hết cho 9
HD: Vì
1994x
chia hết cho 3 ↔ (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3
Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1≤ x ≤ 9 nên 24 ≤ 23 + x ≤ 32
Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 9.
Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3
HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2
nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có
cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải
chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp
nhau
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 1 : Chứng minh rằng 21
39
+39
21
chia hết cho 45
*Cách 1: Ta có 21
39
+ 39
21
= (21
39
- 1 ) + (39

21
+ 1)
Vì 21
39
- 1 = 20 (21
38
+ 21
37
+ …+ 1) chia hết cho 5
Vậy 39
21
+ 1 = 40 (39
20
- 39
19
+ …+1) chia hết cho 5
Suy ra: (21
39
- 1 ) + (39
21
+ 1) chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
- 39
21
= (21
39
- 3
39
) + (39

21
- 3
21
) + (3
39
+ 3
21
)
Mà 21
39
- 3
39
= 18 (21
38
+ …+3
38
) chia hết cho 9
21
39
- 3
39
= 36 (39
20
+…+3
20
) chia hết cho 9
Vậy 3
39
+ 3
21

= 3
21
(3
18
+ 1) = (3
3
)
7
(3
18
+ 1) chia hết cho 9
Mà ( 5,9) = 1 nên 21
39
+ 39
21

45
*Cách 2: vì 45 = 5.3
2
nên để chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45 thì ta
chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 5.3
2

Ta có: 21
39
= (20 + 1)
39
= 20
39
+ 39. 20
38
+ …+ 39.20 + 1= 10M + 1.39
21
= (30 + 9)
21
= 30
21
+ 21.30
20
.9 + 9 +…+ + 21.30.9
20
+ 9
21
= 10N + 9
Như vậy: 21
39
+ 39
21
= 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
+ 39

21
= (7.3)
39
+ (13.3)
21
= 7
39
.3
39
+ 13
21
+ 3
21
= 3
21
. 7
39
. 3
18
+ 13
21
. 3
21
= 3
21
(7
39
. 3
18
+ 13

21
) = (3
3
)
7
(7
39
. 3
18
+ 13
21
) chia hết cho 9
*C¸ch 3 Ta có: 21
≡
1 (mod 20)
39
≡
-1 (mod 20)
Vậy 21
39
+ 39
21

≡
1
39
+ (-1)
21

≡

0 (mod 20)
Như vậy 21
39
+ 39
21
chia hết cho 20; do đó 21
39
+ 39
21
chia hết cho 5 (*)
Tương tự ta chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 9
KL: Vậy 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45
Bài toán 2 : Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
60
Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.
Ta có: A =2 + 2
2
+ 2

3
+…+ 2
60
A = 2(1+2)+ 2
3
(1+2)+…+ 2
59
(1+2) = 3 (2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
59
)
A = 3 (2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
59
) chia hết cho 3
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Ta có A = 2 + 2
2
+ 2
3
+…+ 2
60

A = 2 (1 + 2 + 2
2
) + 2
4
(1 + 2 + 2
2
) + … + 2
58
(1 + 2 + 2
2
)
A = 2 . 7 + 2
4
.7 + … + 2
58
.7
A = 7 (2 + 2
4
+ …+ 2
58
) chia hết cho 7
Ta có A = 2 (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + 2
5
(1 + 2 + 2
2

+ 2
3
) + … +2
57
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)
A = 2. 15 + 2
5
.15 + …+ 2
57
.15
A = 15( 2 + 2
5
+ … + 2
57
) chia hết cho 15
KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15.
Bài toán 3:Chứng minh rằng 43
43
-17
17
chia hết cho 5
Ta có 43
43
= 43
40
. 43

3
= (43
4
)
10
.43
43
Ta có 43
3
có tập cùng là chữ số 1 nên 43
4
có tận cùng là chữ số 1 hay 43
40
có tận
cùng là chữ số 1
43
43
có tận cùng là chữ số 7. Vậy 43
40
.43
3
có tận cùng là chữ số 7 hay 43
3
có tận
cùng là chữ số 7
Ta có 17
17
= 17
16
.17 = (17

4
)
4
. 17
Vì 17
4
có tận cùng là 1 nên
44
)17(
cũng có tận cùng là 1 hay 17
6
cũng có tận cùng
là 1. Do đó 17
16
.17 có tận cùng là 7
Hai số 43
43
và 17
17
có chữ số tận cùng giống nhau nên 43
43
-17
17
có chữ số tận
cùng là 0, Suy ra 43
43
-17
17
chia hết cho 5
Bài tập tương tự

Bài1 Cho B = 3 + 3
3
+ 3
5
+ …+ 3
1991
.
Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41
Bài 2 Cho C = 11
9
+ 11
8
+ 11
7
+ …+ 11 + 1.
Chứng minh rằng C chia hết cho 5
Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …+ 99
3
+ 100
3

B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100
Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ

Bài toán 1: Chứng minh rằng n
3
-n chia hết cho 6 với n nguyên
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
7
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
*Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n
3
– n chia hết cho 2 và
chia hết cho 3. Ta có n
3
– n = n(n
2
– 1) = n(n + 1)(n - 1)
Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)

2.
Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k
∈ Z)
+ Nếu n = 3k thì n
3
– n = (3k)
2
- 3k = 3k (9k
2
– 1)

3
+ Nếu n = 3k + 1 thì n
3

– n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2)

3.
+ Nếu n = 3k + 2 thì n
3
– n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3)
= 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2)

3.
KL: Vậy n
3
– n

6 với n nguyên
*Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các
dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6)
+ Nếu n = 6p thì n
3
– n = 6p (6p + 1)(6p - 1)

6
+Nếu n = 6p + 1 thì n
3
– n = 6p(6p + 1)(6p + 2)

6.
+ Nếu n = 6p + 2 thì n
3
– n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1)


6.
+ Nếu n = 6p + 3 thì n
3
– n = 6(36p
3
+ 54p
2
+ 26p – 4)

6.
+ Nếu n = 6p + 4 thì n
3
– n = 6(36p
3
+ 54p
2
+ 26p – 4)

6.
+ Nếu n = 6p + 5 thì n
3
– n = 6(36p
3
+ 54p
2
+ 26p – 4)

6.
KL: Vậy n
3

– n

6 với n nguyên
*Cách 3: Ta chứng minh n
3
– n chia hết cho 2 và chia hết cho 3
Nếu n
≡
0 (mod 2) thì n
3
– n
≡
0
3
– 0
≡
0 (mod 2)
Nếu n
≡
1 (mod 2) thì n
3
– n
≡
1
3
– 1
≡
0 (mod 2)
Như vậy với n nguyên, n
3

– n
≡
0 (mod 2) nghĩa là n
3
– n chia hết cho 2
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
8
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Mặt khác
+ Nếu n
≡
0 (mod 3) thì n
3
– n
≡
0
3
– 0
≡
0 (mod 3)
+ Nếu n
≡
1 (mod 3) thì n
3
– n
≡
1
3
– 1
≡

0 (mod 3)
+ Nếu n
≡
2 (mod 3) thì n
3
– n
≡
2
3
– 2
≡
0 (mod 3)
Với n nguyên n
3
– n
≡
0 (mod 3) nghĩa là n
3
– n chia hết cho 3.
KL: Vậy n
3
– n

6 với n nguyên
Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n +

nchuso
1 11
chia hết cho 3.
*Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia

cho 9. Do đó

nchuso
1 11
- n chia hết cho 9.
Ta có: 2n +

nchuso
1 11
= 3n + (

nchuso
1 11
- n) chia hết cho 3.
Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10
n
+ 18n – 1 chia hết cho 27.
*Cách 1 : A = 10
n
+ 18n – 1 = 10
n
- 9n + 27n – 1 =

nchuso
9 99
- 9n + 27n
= 9(

nchuso
1 11

- n) + 27n
Mà 27n chia hết cho 27 nên (

nchuso
1 11
- n) chia hết cho 9 suy ra 9(

nchuso
1 11
- n)
Vậy 10
n
+ 18n – 1 chia hết cho 27.
*Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học)
+ Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+ Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức là A
k
= 10
k
+ 18k -1 chia hết cho 27
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
9
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Thật vậy A
k+1
= 10
k+1
+ 18(k + 1) – 1 = 10

k
.10 + 18k + 18 – 1
A
k+1
= 10 (10
k
+ 18k -1) – 9.18k +27
A
k+1
= 10 (10
k
+18k-1) – 27.6k + 27
Mà 10 ( 10
k
+ 18k-1)

27 => A
k+1


27
27 . 6k

27 ; 27

27
Vậy 10
n
+ 18 n-1 chia hết cho 27
Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh:

B = 7
n
+3n -1 chia hết cho 9.
Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học)
+Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9

9.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là B
k
= 7
k
+3k -1 chia hết cho 9.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1.
Thật vậy: B
k+1
= 7
k+1
= 3 ( k+1) -1.
B
k+1
= 7. 7
k
+ 3k + 3 -1
B
k+1
= 7 ( 7
k
+ 3k -1) – 6. 3k – 9
B
k+1

= 7( 7
k
+ 3k -1) – 9.2k -9
B
k+1


9
Vậy 7
n
+ 3n -1

9 mọi n nguyên dương
Cách 2: Ta có : 7
n
+ 3n -1 = (6 + 1)
n
+ 3n -1
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
10
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
= 6
n
+ c
1
n 6
n-1
+ c
2
n

. 6
n-2
+ …. + c
n
n-1
. 6 + c
n
n
+ 3n-1
=(6
n
+ c
n
1
.6
n-1
+ c
n
2
. 6
n-2
+… + c
n
n-2
. 6
2
) + c
n
n-1
. 6+ c

n
n
+3n-1
=(3.2)
n
+c
n
1
. . (2.3)
n-1
+ c
n
2
.(3.2)
n-2
+….+c
n
n-2+(3.2)
n+2
+d
c
n
n-1
. 6 + c
n
n
+ 3n-1
=2
n
. 3

n
+ c
n
1
.2
n-1
.3
n-1
+….+ c
n
n-2
.3
n-2
.2
n-2
+ 6n + 1 + 3n -1
=3
2
(2
n
. 3
n-2
+ c
n
1
.2
n-1
.3
n-2
+ …. +c

n
n-2
.2
2
)+9n.
=9(2
n
. 3
n-2
+ c
n
1
. 2
n-1
. 3
n-2
+…+ c
n
n-2
.2
2
) + 9n

9
Vậy 7
n
+ 3n -1

9 mọi n nguyên dương
Bài tập tương tự

Bài1: Chứng minh rằng :
a)-10
n
+ 72n -1 chia hết cho 91.
b)- 2
2n
+15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì
(n+ 1993
1994
) (n+ 1994
1993
) chia hết cho 2.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì12
2n+1
+ 11
n+2
chia hết cho
133.
+Đối với bài số 3 thì đây là dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm
cần định hướng cho học sinh cách làm như sau:
Cách 1:
Ta có: 12
2n+1
+11
n+2
= (12
2
)
n

.12 + 11
n
. 11
2
.
=144
n
.12

+ 11
n
. 121 =12( 144
n
– n
n
) + 12.11
n
+ 121. n
n
= 12 . 133 . M + 133 . 11
n
.
Mỗi số hạng đều hết cho 133 nên 12
2n+1
+ 11
n+2
chia hết cho 133.
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
11
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”

Cách 2 : (Phương pháp quy nạp toán học).
Với n =1 thì tổng 12
3
+ 11
3
= (12 + 11) (12
2
-12 .11 + 11
2
)
=22.133 chia hết cho 133.
vậy mệnh đề đúng với n=1.
Giả sử mệnh đề đúng với n=k Tức là 12
2k+1
+11
k+2
chia hết 133.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Thật vậy: 12
2k+3
+11
k+3
=144 .12
2k+1
+11
k+3
.
= 133. 12
2k+1
+11. 12

2k+1
+ 11
k+3
.
=133. 12
2k+1
+11 (12
2k+1
+ 11
k+2
).
Vỉ 133 . 12
2k+1


133; 11(12
2k+1
+11
k+2
)

133
133. 12
2k+1
+11(13
2k+1
+11
k+2
) chia hết cho 133
Vậy 12

2n+1
+ 11
n+2
chia hết cho 133.
Cách 3:
Ta có : 12
2n+1
+11
n+2
=12
2n+1
+11
n+2
+11
2(2n+1)
-11
2(2n+1)
=(12
2n+1
+11
2(2n+1)
) - (11
2(2n+1)
-11
n+2
)
=12
2n+4
+(11
2

)
2n+1
–(11
4n+2
-11
n+2
).
=(12
2n+1
+(11
2
)
2n+1
) -11
n+2
(11
3n
-1)
Vì 12
2n+1
+ (11
2
)
2n+1
= (12 +11
2
) . P

133.
và 11

3n
-1 = (11
3
-1) . Q =(n-1) (n
2
+11 +1) .Q
= 10 . 133 . Q

133
Vậy 12
2n+1
+11
n+2
chia hết cho 133
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
12
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một
biểu thức
Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n
2
+4

n +1
Ta có :
1
4
+
+
n

n
n =
1
51
+
+−
n
n
=
1
5)1)(1(
+
++−
n
nn
= n-1 +
1
5
+n
để (n
2
+ 4)

(n+1) thì 5

n+1 hay n+1 ∈ Ư(5).
Mà Ư(5) ={1; 5}
*n+1 = 5 -> n = 0 (thoả mãn)
*hoặc n+1 = 5 -> n = 4 (thoả mãn).
Vậy với n = 0 ; n = 4 thì n

2
+ 4

n+1
Bài toán 2: tìm số tự nhiên n để : 3
2n+3
+ 2
4n +1)

25
đặt A = 3
2n+3
+ 2
4n +1)
=27.3
2n
+ 2. 2
4n
=25 .3
2n
+ 2(3
2n
+2
4n
) =BS25 + 2(9
n
+ 16
n
)
+Nếu n lẻ thì 9

n
+16
n


25 do đó A

25
+Nếu n chẵn thì 9
n
có tận cùng là 1, còn16
n
có tận cùng là 6
 2( 9
n
+16
n
) có tận cùng là 4. Vậy A không chia hết cho 25
Vậy với n lẻ thì 3
2n+3
+ 2
4n +1)


25
Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a
2
x
3
+3ax

2
-6x -2a (a ∈Q).
Xác định a sao cho f(x)

(x +1)
+Cách 1: đặt phép chia đa thức.
a
2
x
3
+3ax
2
-6x -2a = (x +1) a
2
x
2
+(3a –a
2
) x +(a
2
-3a -6) +(-a
2
+a +6)
để f(x)

(x+1), ta phải có: -a
2
+a +6 = 0  (a+2) (3-a) = 0
=> a+2 = 0 hoặc (3-a) = 0 nên a = -2; a = 3
Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x)


(x+1)
+Cách 2: dùng hệ số bất định
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nhất nên thương là một đa thức
bậc hai. Gọi thương của phép chia là:a
2
x
2
+bx-2, ta có f(x) = (x+1) (a
2
x
2
+bx -2a)
 a
2
x
3
+3ax
2
-6x -2a =a
2
x
3
+(a
2
+b) x
2
+(b-2a) x -2a

2

a 3
2 6
b a
b a

+ =
⇒

− = −


Giải hệ phương trình ta được a= -2 thì b=-10 và a=3 thì b=0.
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
13
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
+Cách 3: Gọi thương của phép chia f(x) cho (x+1) là q(x).
 a
2
x
3
+3ax
2
-6x -2a =(x+1) q(x).
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x =-1 ta được
-a
2
+3a +6 -2a =0
-a
2
+a + 6 =0

từ đó a = -2; a = 3
Với a = -2 thì f(x) = 4x
3
- 6x
2
- 6x + 4
q(x) = 4x
2
-10x +4
Với x =3 thì f(x) = 9x
3
+ 9x
2
- 6x - 6
q(x) = 9x
2
- 6
*Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm k để k(k
2
-1) (k
2
-4)

480
HD: để ý rằng tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
Đáp số : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t - 1
Bài 2: Tìm n để 5
n
-2

n


9
HD: Lần lượt xét n=3k ,n =3k +1, n=3k +2
Chỉ có n =3k thì 5
n
-2
n


9
Bài 3: Xác định các hằng số a,b để.
a) x
4
+ ax
2
+b

x
2
–x +1.
b) ax
3
+ bx
2
+ 5x – 50

x
2

+ 3x - 10
HD: thực hiện phép chia.
a) x
4
+ ax
2
+ b = (x
2
–x +1) (x
2
+x +a) + (a-1) x + b –a.
Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a=1, b=a.
b) Đặt phép chia : Tính được a=1, b=8 .
III./QUÁ TRÌNH THỬ NGHIỆM SÁCH GIÁO KHOA
Sau khi nhận thấy cần nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” cho học sinh tôi
đã rèn luyện cho học sinh ngay từ đầu học kỳ I của lớp 6, đặc biệt bồi dưỡng HS
giỏi 9. Như vậy việc giải các bài toán “chia hết” của học sinh ngày càng tốt hơn,
ngày càng nắm chắc hơn cách giải của các dạng toán.
IV./HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI.
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
14
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết
khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp
toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích…để giải quyết triệt để các
dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”
Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một
bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà
của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và
điểm thi HKI vừa qua và kỹ năng giải toán chia hết đạt 85% so với trước khi thử

nghiệm, đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán.
Qua kết quả trên tôi thấy viêc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết là rất cần
thiết và phương pháp cho từng dạng toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc
nâng cao kỹ năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng.
C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM
I./Kinh nghiệm cụ thể
Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá trình dạy và học môn
toán. Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người
dạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cả
học sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho
riêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan.
II./ Sử dụng sáng kiến.
Người dạy và học muốn có hiệu quả cao trong việc áp dụng sáng kiến để
nâng cao kỹ năng giải toán chia hết thì người dạy và học cần nhiệt tình nắm rõ
các bước sau:
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
15
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
* Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau:
* Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau:
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
16
Học sinh cần:
Nắm vững các kiến thức đã học cũng như phương pháp giải cho từng dạng toán
Có tính sáng tạo , tự giác, tích cực
Biết vận dụng vào thực tế
Người dạy
cần:
Nắm rõ các kiến thức đã học liên quan về toán chia hết
Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán

hoạt
Kiểm tra, đánh giá kết quả thực
nghiệm
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
III./ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến
thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích….Bên cạnh
đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chưng minh quy nạp toán học,
phương pháp phản chứng, định nghĩa và các tính chất về đồng dư thức… và
một số các phương pháp khác nữa. Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần
vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có như
vậy mới đạt được kết quả tốt. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú
ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng
rất đa dạng và phong phú. Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp
với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc.
Trên đây là một số dạng toán thườbng gặp trong chương trình toán THCS.
Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng
trong mỗi dạng trên.Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và
thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng
toán tôi chọ một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm để từ đó
làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn
Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6,7,8,9 trong tiết học, trong tiết luyện
tập, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh tiến bộ
hơn rất nhiều. Các em dần thích thú say mê với dạng toán này. Số đông các em
không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển
biến rõ rệt. Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh
khỏi những thiếu xót và hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhân Cơ, ngày 22 tháng 2 năm 2009

Người thực hiện


Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
17
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Lê Thị Phương Mai
Gv trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
18
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
Tài liệu tham khảo
1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD
2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD
3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản
GD
4/ Toán số học nâng cao của tác giả Vũ Dương Thụy_Nàh xuâr1 bản GD
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
19
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
XÁC NHẬN CỦA CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
20
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC
MỤC LỤC
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
21
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT”
A/Đặt vấn đề Trang 1

I/Mục đích yêu cầu Trang 1
II/Thực trạng ban đầu Trang 1
III/Giải pháp đã sử dụng Trang 1
B/Giải quyết vần đề Trang 2
I/Cơ sở lý luận Trang 2
II/Giả thuyết Trang 2
III/ Quá trìnhthử nghiệm SGK Trang 12
IV/Hiệu quả mới Trang 12
C/Bài học kinh nghiệm Trang 12
I/Kinh nghiệm cụ thể Trang 12
II/Sử sụng SKKN Trang 12
III/Kết luận và kiến nghị Trang 13
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
22