Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

1

Trờng Đại học Vinh
khoa toán
----------------------

Nguyễn nh đức

rèn luyện kỹ năng giải toán
thông qua việc trình bày một số
phơng pháp giải phơng trình vô
tỷ

khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân s phạm toán

VInh - 2006

Mục lục
Trang
Mở đầu
Chơng I. Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh
1.1. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
1.2. Phơng pháp tìm lời giải các bài toán

5
5
8

2
1.3. Cách thức dạy học tìm lời giải các bài toán
Chơng II. Xây dựng một số phơng pháp giải phơng trình vô
tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
A. Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ giải phơng trình vô tỷ
B. Các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ
Chơng III. Kiểm chứng s phạm
Tài liệu tham kh¶o

12
14
14
25
74
79


3

Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò
giá mang hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực
hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc, phơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ
chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, nó phải đợc tiến hành
có kế hoạch, thêng xuyªn, hƯ thèng, bỊn bØ, liªn tơc qua tÊt cả các lớp.

Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên
hiểu biết của ngời giải toán. Có ngời phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này
đến cách khác, trong khi có ngời lại có thể tìm đợc cách giải rất nhanh. Vậy
đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn
luyện chúng nh thế nào? Những con đờng mà ngời giải toán có thể trải qua
để đi đến các lời giải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phơng pháp dạy học chủ yếu
theo hớng hoạt động hoá ngời học với phơng châm "Học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một
yêu cầu của việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.
Trong chơng trình môn toán, phơng trình vô tỷ đợc đa vào từ lớp 9 và
xuyên suốt trong chơng trình môn toán trờng phổ thông. Nó có vai trò quan
trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan.
Trong chơng trình toán THPT, phơng trình vô tỷ đợc thể hiện dới các
hình thức chủ yếu: Các phơng trình vô tỷ thông thờng, các phơng trình vô
tỷ chứa các hàm lợng giác, các phơng trình vô tỷ chứa hàm lôgarit. Việc
giải thành thạo các phơng trình vô tỷ thể hiện khả năng lựa chọn công cụ,
sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán.
Từ những lý do đà nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lợng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một
số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ"
II. Mục đích nghiên cứu


4
Xác định nội dung và phơng pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh trên cơ sở trình bày các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ, nhằm
góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1. Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh.
3.2. Xây dựng các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ theo hớng rèn luyện
kỹ năng giải toán cho học sinh.
3.3. Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
IV. Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng đợc một hệ thống các phơng pháp giải phơng trình vô
tỷ theo hớng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thống
các phơng pháp đó thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh,
đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy và học toán ở trờng phổ thông.
V. phơng pháp nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phơng
pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán.
Nghiên cứu về SGK, sách tham khảo về phơng trình vô tỷ để thấy đợc
vị trí và tầm quan trọng của phơng trình vô tỷ, những vấn đề về nội dung và
phơng pháp giảng dạy phơng trình vô tỷ.
5.2. Điều tra quan sát
+ Thực tiễn dạy học giải phơng trình vô tỷ ở trờng THPT
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải phơng trình vô tỷ.
VI. Cấu trúc luận văn

- Mở đầu
- Chơng I: Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
- Chơng II: Xây dựng các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
- Chơng III: Kiểm chứng s phạm.

5
Chơng I
Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh
1.1. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
* Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái
niệm, cách thức, phơng pháp ) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực
chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một
hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông
tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những
hành động cụ thể.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho
học sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đà cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tợng cùng loại.
- Xác lập đợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tơng ứng.
* Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm hai nội
dung chủ yếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việc
giải bài toán. Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có khi tiến hành
đồng thời nhng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Tuy vậy về
mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc
lập với nhau nhng chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau. Mỗi nội dung
đảm nhận một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
Trong quá trình dạy học ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhận
thức rõ ý nghĩa, tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội

dung đó.
1.1.1. Vấn đề giải bài toán
Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán.
Vì rằng, từ chỗ tìm ra đợc phơng hớng giải bài toán đến việc giải hoàn
chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc
nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phơng pháp


6
thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính
chất kỹ thuật. Nói một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt. Điều này
đòi hỏi ngời giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả.
Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trớc hết cần nắm vững
các yêu cầu của lời giải. Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện
cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh
giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:
(i) Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian;
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thoả mÃn yêu cầu đề ra.
Kết quả các bớc trung gian cũng phải đúng. Nh vậy, lời giải không thể chứa
những sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức ) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực
(ii) Lập luận chặt chẽ;
(iii) Lời giải đầy đủ;
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không đợc bỏ sót một trờng hợp nào,
một khả năng, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phơng trình không
đợc thiếu nghiệm, phân chia trờng hợp không đợc thiếu một khả năng nào
) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực
(iv) Ngôn ngữ chính xác;
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ
môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp
các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, ) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;
Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều
cách giải cho cùng một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khác
nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đà tìm đợc hay nói cách khác là nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc
vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu
về mặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rèn
luỵện giải bài toán (khi đà có đờng lèi gi¶i). Nhng dï sao vÉn ph¶i xem


7
việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết
định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
1.1.2. Vấn đề rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải
bài tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ
lỡng, làm cho họ ý thức đợc vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể
hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực
hiện c¸c thao t¸c, c¸c phÐp tÝnh hay c¸c phÐp biÕn đổi nhng khi cha có phơng hớng giải hoặc cha có phơng hớng giải tốt thì cha thể có lời giải hoặc
lời giải tốt.
- Khi đà có phơng hớng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình
bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân
tích quan trọng lớn nh khi tìm phơng hớng giải.
- Mặt khác, ý thức đợc tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phơng

pháp tìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện
khả năng làm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu đợc đối
với ngời giải toán.
Nh vậy, từ hai vấn đề đà nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá
trình rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất
quan trọng nhng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán.
1.2. Phơng pháp tìm lời giải các bài toán
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán.
Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trờng hợp có, có trờng hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hớng dẫn chung,
gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần
thiết.
Sau đây ta có thể nêu phơng pháp chung để tìm lời giải các bài toán:
Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Với một bài toán công việc của ngời giải toán cần đặt ra là tìm hiểu
nội dung bài toán: phân biệt cái đà cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện


8
cho trong bài toán để từ đó xác định đợc dạng bài toán, tìm đợc phơng hớng
giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp.
Bớc 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải
bài toán. Năng lực của ngời giải toán thể hiện rõ ở bớc này. Nhiều ngời khi
giải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết
hay tìm ra mối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia
lịa, mặc dù cha biết mình giải quyết cái gì. Đó là cách tìm lời giải máy móc
và không hiệu quả. Có thể nói bớc này là thớc đo năng lực của ngời giải
toán, vì rằng không thể đánh giá kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở
khâu tiếp thu và vận dụng tốt.
Bớc 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm

đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay
liên hệ các giả thiết, các ®iỊu kiƯn ®· cho víi nh÷ng tri thøc ®· biÕt, liên hệ
bài toán cần giải với một bài toán cũ tơng tự, một trờng hợp riêng, một bài
toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan.
Bớc này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán:
Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của
nó giúp cho ngời giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi
bài toán. Nghĩa là, ngời giải toán sẽ biết đợc với các giả thiết, các điều kiện
đà cho nh vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra nh thế nào?
Làm tốt bớc này ngời giải toán có đủ lòng tin vào đờng lối mình đÃ
tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi. Ngoài ra,
nó còn giúp ích nhiều cho ngời giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán
liên quan, sáng tạo ra các bài toán mới.
Bớc 3: Trình bày cách giải
Từ cách giải đà đợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chơng trình gồm các bớc theo một trình tự nhất định và thực hiện các bớc
đó.
Bớc này nhằm rèn luyện cho ngời giải toán khả năng trình bày một
lời giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ.
Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải
những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề, từ đó sáng tạo ra bµi


9
toán mới. Để làm tốt việc này trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ để
nắm đợc đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó.
Nh thế mới có thể thấy đợc mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một
loại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau.
Ví dụ:

Giải phơng trình:
(1)
5x 2 14x 9 x 2  x  20 5 x  1
§KX§: x 5
Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Phơng trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phơng hai vế của (1) thì sẽ
thu đợc một phơng trình phức tạp và không có hớng giải tiếp. Tuy nhiên có
thể biến đổi phơng trình về dạng tơng đơng:

5x 2 14x 9 x 2  x  20  5 x  1
Do hai vế không âm, bằng cách bình phơng hai vế, rút gọn ta thu đợc:
2x2 - 5x + 2 =

x

2

 x  20   x  1

(2)

NÕu b×nh phơng hai vế lần nữa ta thu đợc phơng trình mới tơng đơng
nhng có bậc 4 nên việc giải chắc chắn khó khăn.
Bớc 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu ta xác định đợc mối liên hệ
giữa các biểu thức có mặt trong hai vế của phơng trình (2).
Ta có: x2 - x - 20 = (x + 4) (x -5)
(x2 - x - 20)(x+ 1) = (x + 4) (x -5) (x + 1)
= (x + 4) (x2 -4x - 5)
vµ 2x2 - 5x + 2 = 2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4)

Việc phát hiện ra đợc mối liên hệ đó cho phép ta thu đợc phơng trình:
2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4) = 5 x 2  4x  5 x 4
Để giải phơng trình này, ta có thể chuyển về phơng trình bậc hai hay
phơng trình thuần nhất.
Bớc 3: Trình bày cách giải
Ta có (1)

5x 2  14x  9  x 2  x  20 5 x 1
Do hai vế không âm, bình phơng hai vế ta thu đợc:


10
(1)

 2x2 - 5x + 2 = 5

x

 2x2 - 5x + 2 = 5

 x  4   x  5  x  1

 2x2 - 5x + 2 = 5

 x  4  x

2

 x  20   x  1

2

 4x  5 

 2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4) = 5 x 2  4x  5 x  4
(Chó ý 2x2 - 5x + 2 > 0,  x  5)
Do x  5 nªn x + 4 > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta đợc:
2
2
x

4x

5
x
4x  5
2.
 3 5
x 4
x 4

x 2  4x 5 0, ta đợc:
x 4
2t2 - 5t + 3 = 0, t 0

Đặt t =

t = 1 hc t =
Víi t = 1



3
2

x 2  4x  5 =1
x 4

x 2  4x  5

=1
x 4
 x2- 4x - 5 = x +4
 x2 - 5x - 9 = 0
 x = 5  61
2
§èi chiÕu ®iỊu kiƯn x 5, chØ cã x = 5  61 tho¶ m·n
2
Víi t =

3
2



x 2  4x  5 = 3
2
x 4

x 2  4x  5 9


=
4
x 4
 4x2 - 25x - 56 = 0


11

 x = 8 hc x= -

7
4

ChØ cã x = 8 thoả mÃn ĐKXĐ
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 8 và x = 5 61
2
Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ ví dụ này ta có thể đa ra một phơng pháp chung để giải những phơng trình tơng tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu
thức trong dấu căn.
1.3. Các thức dạy học phơng pháp tìm lời giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu đợc và vận dụng
đợc phơng pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà
họ gặp trong chơng trình. Học phơng pháp tìm lời giải không phải là học
một thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi,
phát hiện. Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phơng pháp
để tìm lời giải bài toán nh sau:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học
sinh nắm đợc phơng pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4
bớc của phơng pháp này trong quá trình giải toán.

- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học
sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng
những câu hỏi này nh những phơng tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, phát
hiện để thực hiện từng bớc của phơng pháp tìm lời giải bài toán.
Nh vậy, quá trình học sinh học phơng pháp tìm lời giải bài toán là
một quá trình biến những tri thức phơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm
giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể.
Từ phơng pháp tìm lời giải bài toán đi tới cách giải một bài toán cụ
thể còn là cả một chặng đờng ®ßi hái lao ®éng tÝch cùc cđa ngêi häc sinh,
trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.


12
Chơng II
Xây dựng một số phơng pháp giải
phơng trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh
Nội dung của chơng này trình bày hệ thống các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ. Mỗi phơng pháp đợc trình bày trên cơ sở xét các ví dụ điển
hình để làm nổi rõ đặc điểm phơng pháp cũng nh sự minh hoạ các quá trình
phân tích bài toán để đi đến lời giải.
Trớc khi trình bày các phơng pháp chính, luận văn đà trình bày một
nội dung quan trọng: Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ việc giải phơng
trình vô tỷ.
- Kiến thức cơ sở chủ yếu đề cập một số sai lầm thờng gặp khi giải
phơng trình vô tỷ.
- Kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ mà chúng tôi đa ra
bao gồm: Phơng trình thuần nhất và cách giải, hệ phơng trình đối xứng,
biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác.
A. Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ
I. Kiến thức cơ sở

1. Khi giải các phơng trình vô tỷ, việc đầu tiên là phải xác định điều
kiện cho ẩn số (khoảng xác định). Chú ý đến các căn thức bậc chẵn chứa
ẩn. Cần đặt điều kiện không âm cho các biểu thức trong căn bậc chẵn này.
2. Khi giải các phơng trình vô tỷ điều kiện cần lu ý nhất là tính không
thuận nghịch của các phép toán. Chẳng hạn nếu trong một phơng trình nào
đó, ta thay

A . B (với A, B là các biểu thức có chứa x) bởi

kiện xác định của phơng trình có thể bị mở rộng, bởi vì

AB thì điều

A . B có điều

kiện xác định là A 0 và B 0, trong khi đó

AB xác định ngay cả khi
A < 0 và B < 0. Nh vËy, sau phÐp biÕn ®ỉi ®ã ta chØ thu đợc một phơng

trình hệ quả. Ngợc lại, nếu ta thay thế

AB bởi

A . B thì điều kiện xác

định rất có thể bị thu hẹp lại, do đó ta có thể làm mất nghiệm của ph ơng
trình.

13
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 x 2 9 (x  5)

x 3
x 3

(1)

Ta xem xÐt lêi gi¶i sau:
(1)

 2 (x  3)(x  3) (x  5) x  3
x 3
 2 (x  3) . (x  3) (x  5) x  3
x 3


x 5 

(x  3)  2 x  3 
 =0
x 3




(x  3) 
2

(x  3) 



x 3
 2(x  3)  (x  5) 0
x 3



2

x  3  (x  5)  0




  x  3
x 3


(x  11) 0    x 11  x 11
x 3
x 3

Nh vậy, lời giải trên đà làm mất nghiệm x = -3.
* Nguyên nhân: Các phép biến đổi trên có nhiều bớc không cho ta
phơng trình tơng đơng. Sau các phép biến đổi đó ta đà làm thu hẹp điều
kiện xác định của phơng trình nên đà vô tình làm mất nghiệm x = -3.
* Ta có thể giải nh sau:

(1)

 2 (x  3).(x  3) (x  5) x  3
x 3
 2 (x  3) (x  3) 2 (x  5) x  3
x 3
x 3
 2 (x  3) x  3 (x  5) x  3  x  3  2 x  3  x  5 0
x 3
x 3
x 3


14
 x  3
 x 3

 x  3 0
   2(x  3)  x  5 0 víi x 3


  2 x  3  x  5 0    2(3  x)  x  5 0 víi x  3

 
x

3
  x 3


0
   x  3
  x  3
 
 x  3

   x  110 x 3
 x  3

   1 3x 0 x  3  

 x 11
  x 3
 x 3


* Ví dụ trên cảnh báo rằng, khi thực hiện các phép tính về căn thức
để biến đổi một phơng trình thì nói chung không đợc một phơng trình tơng
đơng.
Để tránh đợc những sai lầm nh trên, ở trờng phổ thông, ta thờng dựa
vào hai căn cứ sau đây để biến đổi phơng trình:
+ Căn cứ 1: Nếu phép biến đổi cho ta thu đợc phơng trình hệ quả thì
ở kết quả cuối cùng, ta thử trực tiếp vào phơng trình để loại bỏ nghiệm
ngoại lai.
Ví dụ: Giải phơng trình:
3x 2 x 2 4

(1)







2

3x  2  x  2 = 16

 3x - 2 + x + 2 + 2 3x 2  4x  4 16
 2 3x 2  4x  4 = 8 - 2x
 3x2 + 4x - 4 = (8 - 2x)2
 3x2 + 4x - 4 = 64 - 32x + 4x2
 x2 - 36x + 68 = 0  (x - 2)(x - 34) = 0
 x 2

 x 34

(1)


15
Thử trực tiếp kết quả thu đợc vào phơng trình đầu ta thấy x = 2 là
nghiệm đúng, còn x = 34 không thoả mÃn. Vậy phơng trình chỉ có một
nghiệm x = 2.
+ Căn cứ 2:
Dựa vào những định lý biến đổi phơng trình mà học sinh đà học. Cụ
thể là hai định lý cho phép biến đổi một phơng trình thành một phơng trình
tơng đơng với nó (học từ lớp 8, đợc khái quát ở lớp 10) và ba định lý về
biến đổi tơng đơng một hệ phơng trình (học ở lớp 9). Nếu dựa vào căn cứ

này để giải phơng trình, hÃy tìm điều kiện xác định của phơng trình, các
điều kiện để thực hiện đợc các phép biến đổi đồng nhất hay biến đổi tơng
đơng phơng trình và đặt điều kiện xác định đó cùng với phơng trình trong
một hệ. Hệ này chắc chắn sẽ tơng đơng với phơng trình đà cho. Khi sử
dụng căn cứ này thì ta phải chú ý đến những điều kiện phát sinh trong quá
trình biến đổi phơng trình, sự phát sinh thờng gặp nhất là sự thay đổi tập
xác định của phơng trình.
Sau đây là một số đồng nhất thức cã ®iỊu kiƯn:

 
A

2

= A víi A  0;

A. B =

AB nÕu A  0 vµ B  0

A
A
nÕu A  0 vµ B > 0

B
B
AB =

 A .  B nÕu A  0; B  0

A
A

 nÕu A  0; B < 0
B
B
A B  A 2 B nÕu A  0; B  0
A B 
B

A 2 B nÕu A  0; B  0

A
 AB nÕu A  0, B > 0
B

B A  AB nÕu A 0; B < 0
B
* Khi giải phơng trình vô tỷ ta thờng sử dụng đến kết quả sau đây:
+ Với mọi số tự nhiên n:


16
g(x) 0
=
g(x)
f (x)

2n
f (x)  g(x) 

+ Víi mäi sè tù nhiªn n:
2n

f (x) = g(x)  f(x) = (g(x))2n+1

2n 1

+ Hai dạng phơng trình cơ bản và phép biến ®ỉi t¬ng ®¬ng
g(x) 0
f (x) g(x)  
2
f (x) (g(x))
  g(x) 0

f (x)  g(x)    f (x) 0
f (x) g(x)


Ví dụ: a) Giải phơng trình :
Giải: Ta cã:

2x 2  x  3 = 4 - x

2x 2  x  3 = 4 - x

4  x 0
 x 4
 2

 2

2
2
2x  x  3 (4  x)
2x  x  3 16  8x  x

 x 4
 2
 x  9x  19 0

 x 4

  x  9  157
 9  157
 
 x
2
2
 

9

157
 x 
2
 

VËy ph¬ng trình có nghiệm là: x 9 157
2
b)

2x 2  7x 1  3x 1

Gi¶i: Ta cã:

2x 2  7x 1  3x 1

1

3x 10
 x 
 2

3
2x

7x

1

3x

1

2x 2  4x 0



17
1


x


3

 
 x 0
x 0


  x  2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = 0.
1

 x 

3
2x(x  2) 0

II. Kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ

1. Phơng trình thuần nhất
a) Đa thức thuần nhất
Đa thức hai biến p(u, v) gọi là đa thức thuần nhất bậc n nếu tất cả các
hạng tử của nó đều có bậc n.
b) Phơng trình thuần nhất
Phơng trình p(u, v) = 0 gọi là phơng trình thuần nhất bậc n nếu đa
thức vế trái p(u, v) là đa thức thuần nhất bậc n
c) Các phơng pháp giải phơng trình thuần nhất
* Có hai cách giải:

+ Cách 1: Đa về phơng trình một ẩn
- Chia hai vế cho hạng tử chứa ẩn có bậc cao nhất của phơng trình. Giả sử
ẩn v cã bËc cao nhÊt lµ n, ta chia hai vế cho vn.
u
, ta đợc phơng trình bậc n với ẩn t.
v
Giải phơng trình ẩn t:

- Đặt ẩn phụ t =

u
. Giải phơng trình ẩn u, v.
v
+ Cách 2: Đa về phơng trình tích
- Phân tích đa thức thuần nhất hai biến thành tích.
- Giải phơng trình tích.
d) Ví dụ: Giải phơng trình:
2(x2+ x + 1)2 - 7(x - 1)2 = 13(x3-1)
Giải: Biến đổi để đa về phơng trình thuần nhÊt:
NhËn thÊy: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
Đặt u = x - 1, v = x2 + x + 1, ta đợc:
2v2 - 7u2 =13uv (*)
(*) là phơng trình thuần nhất hai biến bậc hai

- Thay t bëi


18
Giải (*) theo một trong hai cách.
2

+ Cách 1: Do v = x + x + 1 =  x  1   3  0 mäi x, chia hai vế
2 4

cho v2 đợc:
2

2

u
u
2 7 13
v
v

Đặt t =

u
, ta đợc 2 - 7t2 = 13t hay 7t2 + 13t - 2 = 0
v

 t1 =
 Víi t =

u
1
=
v 7



1
, t2 = -2
7

x 1
1
  x2 - 6x + 8 = 0
x  x 1 7
2

 x = 2 hc x = 4.
 Víi t =

x 1
u
= -2  2
= -2  2x2 + 3x + 1 = 0
x  x 1
v

1
.
2
+ C¸ch 2: Chuyển vế (*) và phân tích thành tích.
2v2 - 7u2 - 13uv = 0  (v - 7u)(2v + u) = 0

 x = -1 hc x = 

 v 7u

  u
 v

2
Víi v = 7u, ta cã: x2 + x + 1 = 7(x - 1)
 x2 - 6x + 8 = 0  x1 = 2; x2 = 4.
1
, x 4 1
2
Chú ý: Để giải phơng trình thuần nhất hai biến bậc hai thì ta có thể xem nó
là một phơng trình bậc hai với ẩn là v (hoặc u) và tính đợc v theo u bằng
công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.

Với u = -2v, ta cã: x - 1 = -2(x2 + x + 1) x3 =

2. Hệ phơng trình đối xứng
a) Hệ phơng trình đối xứng kiểu 1


19
Một phơng trình hai ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơng
trình không thay đổi.
Một hệ phơng trình gồm những phơng trình đối xứng gọi là hệ phơng
trình đối xứng kiểu 1.
Ví dụ: Giải hệ phơng trình:
x y 1
(*)
3 3
x

y

19

Giải: Đây là hệ phơng trình đối xứng kiểu 1:
x y 1
(*)  
2
2
(x  y)(x  y  xy) 19
 x  y 1
 
2


(x  y)  (x  y)  3xy)  19

Thay x + y = 1 vào phơng trình dới, ta có: 1 - 3xy = 19  xy = -6
 x  y 1
Ta cã hƯ: 
 x.y  6

 x, y lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 - x - 6 = 0

x = x1 = 3, y = x2 = -2.
VËy hÖ ®· cho cã hai nghiÖm {(x, y)} = {(3, -2), (-2, 3)}.
b) Hệ phơng trình đối xứng kiểu 2
Là hệ phơng trình khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ thì phơng trình này trở
thành phơng trình kia.
Ví dụ: Giải hệ phơng trình:

3x 4y 2 5y 6

2
3y 4x 5x 6
Giải: Đây là hệ phơng trình đối xứng kiểu 2. Trừ hai vế của phơng
trình, ta đợc:
4(x - y)(x + y + 2) = 0  x = y hc y = -x - 2
 Víi y = x, ta cã 3x = 4x2 + 5x - 6  4x2 + 2x - 6 = 0
3
3
. Do x = y  x = y = 1; x = y =  .
2
2
 Víi y = -x - 2, ta cã: 3(-x - 2) = 4x2 + 5x - 6
 4x2 + 8x = 0  x = 0 hc x = -2  y = -2 hc y = 0.

 x = 1 hc x = 


20
Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm:
3 3
{(x, y)} = {(1, 1),   ,   , (0, -2), -2, 0}
 2 2

3. BiĨu diƠn mét ®a thøc theo các đa thức khác
a) Biểu diễn đa thức f(x) theo đa thức g(x) có bậc thấp hơn bậc của f(x)
* Cách thực hiện: Chia đa thức f(x) cho g(x), giả sử thơng là h(x) và d r(x).
+ Nếu bậc của h(x) không thấp hơn bậc của g(x), thì ta chia tiếp h(x)
cho g(x). Giả sử thơng là h1(x) và d ra là r1(x).

+ Quá trình chia tiếp tục cho ®Õn khi bËc cđa ®a thøc th¬ng hn(x) thÊp
h¬n bËc cđa g(x). Khi ®ã hn(x) = rn(x).
+ Ta cã: f(x) = rn .g n (x)  rn .g n  1 (x)  rn  2 .g n  2 (x) ...  r1 .g(x)  r0 (*)
VÝ dơ: BiĨu diễn đa thức 8x2+ 8x -1 theo nhị thức x + 2
Ta thùc hiÖn phÐp chia:

8x 2  8x  1 x  2

8x  8 x  2
8x 2 16x
 8x  1  8x 16 8
 8x  16  24
Ta cã 8x2 + 8x - 1 = 8(x + 2)2 - 24(x + 2) +15
15
b) BiĨu diƠn ®a thøc f(x) theo hai ®a thøc g(x) vµ h(x) có bậc không cao
hơn bậc của f(x)
* Cách thực hiện : (Giả sử bậc của g(x) cao hơn bậc của h(x))
Ta lÊy ®a thøc f(x) chia cho ®a thøc g(x). Sau đó lấy số d của phép chia trên
chia tiếp cho ®a thøc h(x).
VÝ dơ: BiĨu diƠn ®a thøc x2 + x + 70 theo x2 - 6x - 7 vµ x + 11