tổng hợp tài liệu môn toán lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02
≤
β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
cos 0α≠
cos
cot g
sin
α

α=
α
với sin 0α≠
II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc
α

Giá trò
()
o
00

()
o
30
6
π

()
o
45
4
π

()
o
60
3
π

()
o
90
2
π

sinα

0
1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2
2

1

2

0
tgα

0
3
3

1
3

||
cot gα

||
3

1
3
3

0

III. Hệ thức cơ bản
22
sin cos 1α+ α=
2
2
1

1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau:
α
và
−α

(
)
sin sin−α = − α

(
)
cos cos−α = α

(
)
(
)
tg tg−α = − α

(
)
(
)
cot g cot g−α = − α


www.VNMATH.com
1
b. Buø nhau:
α
vaø
π−α
(
)

()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cotg
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau
π
: vaø
α π+α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α

d. Phuï nhau:
α
vaø
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2
tg cotg
2
cot g tg
2
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠


e.Sai nhau
2
π
: vaø
α
2
π
+α

sin cos
2
cos sin
2
tg cotg
2
cot g tg
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π

⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠

www.VNMATH.com
2
f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sinx,k Z

cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cotgx


V. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sinbcosa
cos a b cosacosb sinasinb
tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=
∓
∓


VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=

22 2 2
2
2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cotg a 1
cotg2a
2cotga
−


VII. Công thức nhân ba:
3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
=−
=−


VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1

sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
=−
=+
−
=
+


IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
ttg
2
=
(với )
ak2≠π+ π
www.VNMATH.com
3
2
2
2
2
2t

sina
1t
1t
cosa
1t
2t
tga
1t
=
+
−
=
+
=
−


X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sin b 2cos sin
22
ab ab

sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=
+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=


XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1

sina.sinb cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
=
⎡++ −
⎣⎦
−
⎤
=
⎡+−−
⎣⎦
⎤
=
⎡++ −⎤
⎣⎦


Bài 1
: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:

(
)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422
22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−

www.VNMATH.com
4
Do đó:

44 22
66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
=
=
+−−


Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1
sinx sin x
⎡
⎤
−
+
==+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Tính giá trò A nếu
1
cosx
2
=−
và
x
2
π
<
<π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sinx sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟
⎝⎠

(
)
2
21 cosx
1cosx
A.

sinx sin x
−
+
⇔=

(
)
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sinx
−
⇔= = =
(với
sinx 0
≠
)
Ta có:
22
13
sin x 1 cos x 1
44
=− =− =

Do:
x
2

π
<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sinx
2
=
Do đó
244
A
sinx 3
3
===
3


Bài 3
: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
A =−

4422 2
2cos x sin x sin xcos x 3sin x+ +
b.
2cotgx1
tgx1 cotgx1

+
−−
B
=+


a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x=−+ +
2

(
)
(
)
(
)
()
2
42 22 2
42424
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện
sinx.cosx 0,tgx 1
≠
≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

www.VNMATH.com
5
1
1
22
tgx
B
1
tgx1 tgx11tgx
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−
−

1tgx
−


(
)
21tgx
1tgx
B1
tgx 1 tgx 1
−−
−
⇔= = =−
−−
(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1 cotg bcotg c cotga 1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
−

+−=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
Ta có:
*
22
22
22
cos b sin c
cotg b.cot g c
sin b.sin c
−
−

2
22
22
cotg b 1
cot g bcotg c
sin c sin b
=−−

(
)
(
)
22 222
cot g b 1 cot g c 1 cot g b cotg bcotg c 1=+−+− =−

(1)
*
()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡
⎤
−
+
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a
⎡
⎤

−
+
=−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦

1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−
⎡
⎤
=−
⎢
⎥
+
⎣
⎦

1cosa2cosa
.c
2sina 1 cosa
+
==
+

otga
(2)
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABCΔ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
P tgA.tgB.tgC
=


Ta có:
AB C+=π−
Nên:
(
)
tg A B tgC+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−
+

tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC⇔+=−+

Vậy:

P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC==+
www.VNMATH.com
6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
tg
ta được
A,tgB,tgC
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥

3
P3P⇔≥
32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==
⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<
⎪
⎩
tgA tgB tgC

ABC
3
0A,B,C
2
==

Do đó:
MinP 3 3 A B C
3
π
=⇔===

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/
84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x

a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2
−
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+
t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3
1t 8t−=
⇔

1t

2t−=
⇔
1
t
3
=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3;
11
y
32
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó : và
∈
=
x
y3
Max
∈
=
x
1
y

Min
27


b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈
k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤
42 2
tcosx1sin==−
Nên
4

sin x 1 t=−
Vậy
8
4
y1t=−−t
trên
[
]
D' 0,1=
Thì
()
−
=−<
−
3
7
4
8
t
y' 1 0
2. 1 t

[
)
∀∈t0;1

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :
(
)
∈

=
=
xD
max y y 0 1,

(
)
∈
=
=−
xD
min y y 1 1

www.VNMATH.com
7

Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2
fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −

2

()
2
1
f x 1 sin 2x m sin 2x
2
=− −

Đặt : với
tsin2x=
[
]
t1,∈− 1
y xác đònh
x
∀
⇔
()
fx 0x R≥∀∈
⇔

2
1
1t

[
]
mt
2

−−≥0
t1,1−∀∈

⇔
()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−
t
∀∈
Do
∀
nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
2
'm 20Δ= + > m
1
, t
2
Lúc đó t t
1
t
2
g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔
12
t11
≤
−< ≤

⇔ ⇔
()
()
1g 1 0
1g 1 0
−≤
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
2m 1 0
2m 1 0
−−≤
⎧
⎨
−≤
⎩
⇔
1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥

⎪
⎪
⎨
⎪
≤
⎪
⎩
⇔
11
m
22
−≤ ≤

Cách khác :


gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1

{
}
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g

∈−
⇔≤

⇔−≤
11
0110

{
}
max ), )mm⇔−−−+≤21210
⇔
1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨

⎪
≤
⎪
⎩
m⇔− ≤ ≤
11

22


Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin si n sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55

sin cos cos
16 2 16 16
π3

www.VNMATH.com
8
Mặt khác :
(
)
2
44 22 2
sin cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α α
2


22
12sin cos
=
−αα


2
1
1sin2
2
=
−α

Do đó :
4444

73
A sin sin sin sin
16 16 16 16
π πππ
=+++
5


44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16
ππ π
⎛⎞⎛
=+++
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
π
⎞
⎟
⎠


22
11
1 sin 1 sin
28 2 8
3
π
π

⎛⎞⎛
=− +−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠


22
13
2sinsin
28 8
π
π
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠


22
1
2sincos
28
8
π
π
⎛⎞
=− +

⎜⎟
⎝⎠

π
π
=
⎝⎠
3
do sin cos
88
⎛⎞
⎜⎟


13
2
22
=
−=


Bài 9 :
Chứng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta có :
o
o

Acos10 1
A
cos10 cos10
==
o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
⇔
()
oo
o
11
o
A
8sin20 cos40 .cos20
2
cos10
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()
0o
o
1
o
A
4 sin 20 cos 20 . cos 40
cos1 0
=

⇔
()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos1 0
=

⇔
o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===

Bài 10 :
Cho
A
BCΔ . Chứng minh :
A
BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+
+=

Ta có :
A
BC
22
+π
=−
2

Vậy :
A
BC
tg cot g
22
+
=

⇔

A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg .tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦
B
2

www.VNMATH.com
9
⇔
A
CBCAB

tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++
=


Bài 11 : Chứng minh :
()
πππ π
++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32

Ta có : (*) ⇔
8cotg tg 2tg 4tg
32 32 16 8
ππ π
=−−−
π

Mà :
22
cos a sin a cos a sin a
cot ga tga
sin a cos a sin a cos a
−
−=−=

cos 2a
2cotg2a
1

sin 2a
2
==

Do đó :
(*)
⇔
cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
ππ π π
⎡⎤
−−−
⎢⎥
⎣⎦
=

⇔
2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
=

⇔
4cotg 4tg 8
88
ππ

−=

⇔
8cotg 8
4
π
=
(hiển nhiên đúng)

Bài :12 : Chứng minh :
a/
22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛⎞
3
2
+
++ −=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

b/
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
+++ =−

a/ Ta có :
22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛
+++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323
⎡
π⎤ ⎡ π ⎤
⎛⎞ ⎛
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜
⎞
⎟
⎢
⎥⎢
⎝⎠ ⎝
⎥

⎠
⎣
⎦⎣ ⎦

31 4 4
cos 2x cos 2x cos 2x
22 3 3
⎡π
⎛⎞⎛
=+ + + + −
⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠⎝
⎣⎦
π⎤
⎞
⎟
⎠

31 4
cos 2 x 2cos2x cos
22 3
π
⎡⎤
=+ +
⎢⎥
⎣⎦

31 1
cos2x 2cos2x

22 2
⎡⎤
⎛⎞
=+ + −
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

3
2
=

b/ Ta có :
cos a cosb sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b
−
−=−=

www.VNMATH.com
10
(
)
sin b a
sin a sin b
−
=

Do đó :

(
)
()
sin 2x x
1
cot gx cot g2x 1
sin x sin 2x sin 2x
−
−= =

(
)
()
sin 4x 2x
1
cot g2 x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x
−
−= =

(
)
()
sin 8x 4x
1
cot g4x cot g8x 3
sin4xsin8x sin8x
−
−= =

(
)
()
sin 16x 8x
1
cot g8x cot g16x 4
sin16x sin 8x sin16x
−
−= =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
−=+++


Bài 13 : Chứng minh :
+
=
30 20
8sin 18 8sin 18 1

Ta có: sin18
0
= cos72
0
⇔ sin18
0
= 2cos

2
36
0
- 1
⇔ sin18
0
= 2(1 – 2sin
2
18
0
)
2
– 1
⇔ sin18
0
= 2(1 – 4sin
2
18
0
+4sin
4
18
0
)-1
⇔ 8sin
4
18
0
– 8sin
2

18
0
– sin18
0
+ 1 = 0 (1 )
⇔ (sin18
0
– 1)(8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1) = 0
⇔ 8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1 = 0 (do 0 < sin18
0
< 1)
Cách khác :
Chia 2 vế của (1) cho ( sin18
0

– 1 ) ta có
( 1 ) ⇔ 8sin
2
18
0
( sin18
0
+ 1 ) – 1 = 0

Bài 14 : Chứng minh :
a/
()
44
1
sin x cos x 3 cos 4x
4
+=+

b/
()
1
sin 6x cos 6x 5 3cos 4x
8
+=+

c/
()
88
1
sin x cos x 35 28cos 4x cos 8x

64
+= + +

a/ Ta có:
(
)
2
44 22 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + −
2


2
2
1sin2
4
=− x


()
1
11cos4
4
=− − x


31
cos 4x
44
=+

b/ Ta có : sin6x + cos6x
()
(
)
224224
sin x cos x sin x sin x cos x cos x=+ − +
www.VNMATH.com
11
()
44 2
1
sin x cos x sin 2x
4
=+−

(
31 1
cos 4x 1 cos 4x
44 8
⎛⎞
=+ − −
⎜⎟
⎝⎠
)
( do kết quả câu a )
35
cos 4x
88
=+

c/ Ta có :
(
)
+= + −
2
88 44 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
4

()
=+ −
2
4
12
3cos4x sin2x
16 16

()
()
⎡
⎤
=+ + − −
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
111

9 6cos4x cos 4x 1 cos4x
16 8 2

()
()
2
93 1 1
cos4x 1 cos8x 1 2cos4x cos 4x
16 8 32 32
=+ + + − − +

()
=+ + + − +
93 1 1 1
cos4x cos8x cos4x 1 cos8x
16 8 32 16 64


35 7 1
cos 4x cos 8x
64 16 64
=+ +


Bài 15 : Chứng minh :
33
sin 3x .sin x cos3x.cos x cos 2x+=
3

Cách 1:

Ta có :
s

333
in 3x.sin x cos 3x .cos x cos 2x+=
()
(
)
33 3 3
3sinx 4sinxsinx 4cosx 3cosxcosx=− + −
466
3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x=−+−
4

()
(
)
44 66
3sin x cos x 4sin x cos x=−−−
()
(
)
2222
3 sin x cos x sin x cos x=− +
()
(
)
224224
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x−− + +
22

3cos2x 4 cos 2x 1 sin x cos x
⎡
⎤
=− + −
⎣
⎦

2
1
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4
⎛⎞
=− + −
⎜⎟
⎝⎠

2
1
cos 2x 3 4 1 sin 2x
4
⎡⎤
⎛⎞
=−+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

(
)

2
cos 2x 1 sin 2x=−
3
cos 2x=

Cách 2 :
Ta có :
si

33
n 3x .sin x cos 3 x .cos x+
3sin x sin 3x 3cos x cos 3x
sin 3x cos 3x
44
−+
⎛⎞⎛
=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

()
()
22
31
sin 3x sin x cos3x cos x cos 3 x sin 3x
44
=++−

www.VNMATH.com
12
()
31
cos 3x x cos 6x
44
=−+

()
1
3cos2x cos3.2x
4
=+

()
=+−
3
1
3cos 2x 4 cos 2x 3cos2x
4
( bỏ dòng này cũng được)
3
cos 2x=

Bài 16 :
Chứng minh :
oo ooo
31
cos12 cos18 4 cos15 .cos 21 cos 24

2
+
+− =−

Ta có :
(
)
oo oo
cos12 cos18 4 cos15 cos21 cos 24+−
o

(
)
oo o o
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3=− +
o

oo o o oo
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 2cos15 cos 3=− −

oo
2cos15 cos45=−

()
oo
cos 60 cos 30=− +
31
2
+
=−

Bài 17 : Tính
2o 2 o
Psin50 sin70cos50cos70=+−
o
Ta có :
()()()
=− +− − +
ooo
111
P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20
222
o

()
oo
111
P 1 cos100 cos140 cos20
222
⎛⎞
=− + − −+
⎜⎟
⎝⎠
o

()
oo
11
P 1 cos120 cos 20 cos 20

42
=− + −
o

oo
51 1 5
Pcos20cos20
42 2 4
=+ − =


Bài 18 : Chứng minh :
oooo
83
tg30 tg40 tg50 tg60 cos 20
3
+++=
o

Áp dụng :
(
)
sin a b
tga tgb
cos a cos b
+
+=

Ta có :
()

(
)
oo oo
tg50 tg40 tg30 tg 60+++
oo
oo o
sin 90 sin 90
cos 50 cos 40 cos 30 cos 60
=+
o

oo
o
11
1
sin 40 cos 40
cos 30
2
=+

oo
22
sin 80 cos 30
=+

oo
11
2
cos10 cos 30
⎛⎞

=+
⎜⎟
⎝⎠

www.VNMATH.com
13
oo
oo
cos 30 cos10
2
cos10 cos30
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

po
oo
cos 20 cos10
4
cos10 cos 30
=

o
83
cos 20
3
=

Baøi 19 : Cho
A
BCΔ
, Chöùng minh :
a/
A
BC
sin A sin B sin C 4 cos cos c os
22
++=
2

b/
A
BC
socA cos B cos C 1 4 sin sin sin
22
++=+
2

c/
sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C
+
+=

d/
222
cos A cos B cos C 2cos A cos BcosC++=−
e/
tgA

tgB tgC tgA.tgB.tgC++=
f/
cot g

A.cot gB cot gB.c ot gC cot gC.cot gA 1++=
g/
++=
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
C
2


a/ Ta coù :
()
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin A B
22
+
−
++= + +

A
BAB AB
2sin cos cos
22 2

+− +
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

+π
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
CAB AB C
4 cos cos cos do
222 2 22
−

b/ Ta coù :
()
A
BAB
cos A cosB cosC 2cos cos cos A B
22
+
−
++= − +

2
A
BAB AB
2cos cos 2cos 1

22 2
+− +
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
−

A
BAB AB
2cos cos cos 1
22 2
+− +
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
+

A
BA B
4cos sin sin 1
22 2
+
⎛⎞
=− − +
⎜⎟
⎝⎠

CAB

4sin sin sin 1
222
=+

c/
(
)
(
)
sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B 2sin C cos C+= + −+
=−+2sinC cos(A B) 2sinC cosC
=−−2sinC[cos(A B) cos(A B)]+
2

=− −4 sin C sin A sin( B)

= 4 sin Csin A sin B

d/
++
22
cos A cos B cos C
()
2
1
1 cos 2A cos 2B cos C
2
=+ + +

www.VNMATH.com

14
()()
2
1cosABcosAB cosC=+ + − +
()
1 cosC cos A B cosC=− − −
⎡
⎤
⎣
⎦
do
(
)
(
)
cos A B cosC+=−
()
(
)
1 cosC cos A B cos A B=− − + +
⎡
⎤
⎣
⎦

12cosC.cosA.cosB=−
e/ Do nên ta có
ab C+=π−

()

tg A B tgC+=−
⇔

tgA tgB
tgC
1tgAtgB
+
=−
−

⇔
tgA tgB tgC tgAtgBtgC+=−+
⇔
tgA tgB tgC tgAtgBtgC++=
f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC
⇔
1tgAtgB
cot gC
tgA tgB
−
=−
+

⇔
cot gA cot gB 1
cot gC
cot gB cot gA
−
=−
+

(nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)
⇔
cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA cot gC−=− −
⇔
cot gA cot gB cot gB cot gC cot gA cot gC 1++=
g/ Ta có :
A
BC
tg cot g
22
+
=

⇔
A
B
tg tg
C
22
cot g
AB
2
1tg tg
22
+
=
−

⇔
A

B
cot g cot g
C
22
cot g
AB
2
cot g .cot g 1
22
+
=
−
(nhân tử và mẫu cho cotg
A
2
.cotg
B
2
)
⇔
A
BABC
cot g cot g cot g cot g cot g cot g
22222
+= −
C
2

⇔
A

BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
C
2


Bài 20 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0


www.VNMATH.com
15
Bài 21 : Cho
A
BCΔ

. Chứng minh :
cos3A + cos3B + cos3C = 1 -
3A 3B 3C
4 sin s in s in
222

Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
33
2cos (A B)cos (A B) 1 2sin
22
=+ −+−
3C
2

Mà :
A
BC+=π− nên
()
33
AB
22
+=π−
3C
2

=>
()
33
cos A B cos

22
π
⎛⎞
+= −
⎜⎟
⎝⎠
3C
2

3C
cos
22
π
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠

3C
sin
2
=−

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
(
)
2
3A B
3C 3C
2sin cos 2sin 1

22 2
−
=− − +

(
)
3A B
3C 3C
2sin cos sin 1
22 2
−⎡⎤
=− + +
⎢⎥
⎣⎦

(
)
()
3A B
3C 3
2sin cos cos A B 1
222
−
⎡⎤
=− − + +
⎢⎥
⎣⎦

−
=+

3C 3A 3B
4sin sin sin( ) 1
22 2

3C 3A 3B
4 sin sin sin 1
222
=− +


Bài 22 :
A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :
sin A sin B sin C A B C
tg tg cot g
cos A cos B cosC 1 2 2 2
+−
=
+−+

Ta có :
2
A
BAB CC
2sin cos 2sin cos
sin A sin B sin C
22 2
AB AB C
cos A cos B cosC 1
2cos cos 2sin
22 2

2
+
−
−
+−
=
+−
+−+
+

CAB C
A
BA
2cos cos sin
cos cos
C
22 2
22
cot g .
B
A
BA
CAB C
2
cos cos
2sin cos sin
22
22 2
−
⎡⎤

B
−
+
−
−
⎢⎥
⎣⎦
==
−
+
−
⎡⎤
+
+
⎢⎥
⎣⎦

A
B
2sin .sin
C
22
cot g .
AB
2
2cos .cos
22
⎛⎞
−−
⎜⎟

⎝⎠
=

www.VNMATH.com
16
CAB
cot g .tg .tg
222
=


Bài 23 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
A
BC BCA CAB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
++

()
A
BC AB BC AC
sin sin sin tg tg tg tg tg tg *
222222222
=+++


Ta có :

A
BC
22
2
+
π
=−
vậy
A
BC
tg cot g
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦
B
2

⇔
()
A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1 1
22 22 22
++ =

Do đó : (*) Ù
A
BC BCA CA
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
++
B

A

BC
sin s in sin 1
222
=+
(do (1))
⇔
A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 22 22 2 22 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦

⇔
A
BC A BC
sin cos cos sin 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC

sin 1
2
++
=

π
⇔sin 1
2
=
( hiển nhiên đúng)

Bài 24 :
Chứng minh :
()
A
B C 3 cos A cosB cosC
tg tg tg *
2 2 2 sin A sin B sin C
+
++
++=
++

Ta có :
2
A
BAB C
cos A cos B cos C 3 2 co s cos 1 2sin 3
22 2
+−

⎡⎤
+++= +− +
⎢⎥
⎣⎦

2
CAB
2sin cos 4 2sin
22
C
2
−
=+−

CAB C
2sin cos sin 4
22 2
−
⎡⎤
=
−+
⎢⎥
⎣⎦

CAB AB
2sin cos cos 4
22 2
−+
⎡⎤
=

−+
⎢⎥
⎣⎦

CA B
4sin sin .sin 4
22 2
=
+
(1)
www.VNMATH.com
17
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin co s s in C
22
+
−
++= +

CAB C
2cos cos 2sin cos
22 2
C
2
−
=+

CAB AB
2cos cos cos

22 2
−+
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦

CA
4 cos cos cos
22
=
B
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
(*) ⇔
A
BC ABC
sin sin sin sin sin sin 1
222222
A
BC ABC
cos cos cos cos cos c os
222 222
+
++=

⇔
A
BC B AC C AB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
⎡⎤⎡⎤⎡
++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎦


A
BC
sin sin sin 1
222
=
+

⇔
A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
222 22 222 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣

⎤
=
⎥
⎦

⇔
A
BC A BC
sin .cos c os sin 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC
sin 1
2
++
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦

⇔
sin 1
2
π
=
( hiển nhiên đúng)

Bài 25 :
Cho
A
BCΔ . Chứng minh:
A
BC
sin sin sin
222
2
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 22
+
+=

Cách 1 :
A
BAABB
sin sin sin cos sin cos
222222
BC CA ABC
cos cos cos cos cos cos cos
22 22 222
+
+=
Ta có :

A
BA
sin cos

1 sin A sin B
22
B
A
BC ABC
2
cos cos cos cos cos cos
222 222
+
−
+
==

−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
==
A
B
CAB
cos
cos .cos
2
22
A
BC A
cos .cos .cos cos cos
222 2

B
2

www.VNMATH.com
18
Do đó : Vế trái
A
B
CABA
cos
sin cos cos
2
22
AB AB AB
cos cos cos cos cos c os
22 22 22
−
⎛⎞
B
2
−
+
+
⎜⎟
⎝⎠
=+=

A
B
2cos cos

22
2
AB
cos cos
22
==


Cách 2 :
Ta có vế trái
BC AC AB
cos cos cos
22
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 2
+++
=++
2
2

BC BC AC AC
cos cos sin sin cos cos sin sin
22 22 22 2
BC CA
cos cos cos cos
22 22
−−
=+
2

A
BA
cos cos sin sin
22 2
AB
cos cos
22
−
+
B
2


BC AC AB
3tgtgtgtgtgtg
22 22 22
⎡⎤
=− + +
⎢⎥
⎣⎦

Mà :
A
BBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++
=

(đã chứng minh tại bài 10 )
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 : Cho
A
BCΔ
. Có
A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
theo tứ tự tạo cấp số cộng.
Chứng minh
A
C
cot g .cot g 3
22
=

Ta có :
A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
là cấp số cộng
⇔

A
CB
cot g cot g 2 cot g
22
+=
2

⇔
+
=
A
CB
sin 2 cos
22
A
CB
sin si n sin
22 2

www.VNMATH.com
19
⇔
BB
cos 2 cos
22
A
CB
sin si n sin
22 2
=

⇔
=
+
12
A
CA
sin sin cos
22 2
C
(do 0<B<
π
nên
B
cos 0
2
>
)
⇔
A
CAC
cos cos sin sin
22 22
2
AC
sin .sin
22
−
=
⇔

A
C
cot g cot g 3
22
=


Bài 27 : Cho
A
BCΔ . Chứng minh :
1111ABC A B C
tg tg tg cot g cot g cot g
sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2
⎡⎤
++= +++ + +
⎢⎥
⎣⎦

Ta có :
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
C
2

(Xem chứng minh bài 19g )
Mặt khác :
sin cos 2

tg cot g
cos sin sin 2
α
α
α+ α= + =
α
αα

Do đó :
1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦

1A B C1 A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 22 2 2 2
⎡
⎤⎡
=+++ ++
⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦

1A A1B B1C C

tg cot g tg cot g tg cot g
22 222 222 2
⎡
⎤⎡ ⎤⎡
=+ ++ ++
⎤
⎢
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

111
sin A sin B sin C
=++


BÀI TẬP

1. Chứng minh :
a/
21
cos c os
55
ππ
−=
2

b/
oo
oo

cos15 s in15
3
cos15 sin15
+
=
−

c/
246
cos cos cos
777
πππ
++=
1
2
−
3

d/
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x cos 4x
e/
oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3
=

f/
ππππ
+++=

25 83
tg tg tg tg cos
691833
π
9

g/
7
234567
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
πππππππ
=
1

www.VNMATH.com
20
h/
tgx. tg x .tg x tg3x
33
ππ
⎡⎤⎡⎤
−+=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

k/
oo oo
tg20 tg40 3tg20 .tg40 3++ =

e/
ooo
3
sin20 .sin40 .sin80
8
=

m/
oooo
tg5 . tg55 .tg65 .tg75 1
=

2. Chứng minh rằng nếu
(
)
()
()
sin x 2sin x y
xy 2k1 kz
2
=+⎧
⎪
⎨
π
+≠ + ∈
⎪
⎩

thì
sin

()
cos
y
tg x y
y
+=
−
2

3. Cho
A
BCΔ có 3 góc đều nhọn và
A
BC≥≥
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q
Chứng minh (p-1)(q-1)≥ 4
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :
a/
()
(
)
424222
A
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1=++++ +
b/
()
(
)
88 6 6

B 3 sin x cos x 4 cos x 2 sin x 6sin x=−+−+
4

c/
(
)
(
)
(
)
(
)(
22
C cos x a sin x b 2 cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−
)

5. Cho
A
BCΔ
, chứng minh :
a/
cosC cos B
cot gB cot gC
sin B cos A sin Ccos A
+=+

b/
333
A
BC 3A3B3

sin A sin B sin C 3cos cos cos cos cos cos
222 2 2 2
++= +
C

c/
A
BC B AC
sin A sin B sin C cos .cos cos .cos
22 22
−
−
++= +

CA
cos .cos
22
B
−
+

d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1
e/
222
cos A cos B cos C 1 2cos A cos B cos C++=−
f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0
6. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
a/
11
y

sin x c os x
=+
với
0x
2
π
<
<

b/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x
<
<∞

c/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +

7. Tìm giá trò lớn nhất của :
a/
y sin x cos x cos x sin x=+

b/ y = sinx + 3sin2x
c/

2
ycosx 2cosx=+−

www.VNMATH.com
21
Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN


=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk

tgu tgv
2
uvk'

(
)
k,k ' Z∈

uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π
⎧
=⇔
⎨
=+ π
⎩


Đặc biệt :
sin u 0 u k=⇔=π
π
=
⇔=+πcos u 0 u k
2

(
sin u 1 u k2 k Z
2
π

=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
=
⇔= π

()
kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cosu 1 u k2
=
−⇔ =π+ π

Chú ý :
sin

u 0 cos u 1≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠±


Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[
]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm

(
)
cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) : ⇔
()
(
)
32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0
−
−−+−=

⇔
32
4cos x 8cos x 0
−
=
⇔
(
)
2
4cos x cosx 2 0
−
=

⇔
(
)
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤

⇔
()
xkk
2
π
=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔
k14
22
ππ
−≤π≤ −
⇔
1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà nên kZ∈
{

}
k 0,1,2,3∈
. Do đó :
357
x ,,,
2222
π
πππ
⎧
⎫
∈
⎨
⎬
⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( )
(
)
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−


Ta có (*) ⇔
()
(
)
(
)
−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1−

www.VNMATH.com
22
⇔
()( )
2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
−
+−
⎡⎤
⎣⎦
=
)

⇔
()(
2cosx 1 sinx cosx 0
−
+=

⇔
1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔ cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−

⎜⎟
⎝⎠

⇔
()
ππ
=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k
34
Z


Bài 30 : Giải phương trình
+
++=cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0 (*)

Ta có (*)
⇔
()
(
)
cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++=

⇔
5x 3x 5x x
2cos .cos 2 cos .cos 0
22 22
+=

⇔
5x 3x x

2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔
5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔
()
ππ π

=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,
55 2
kZ


Bài 31: Giải phương trình
(
)
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*) ⇔
()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++

⇔
()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+
⇔
2cos 4x cos2x 2 cos 6x cos 2x−=
⇔
(
)
2cos2x cos6x cos4x 0+=

⇔
4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔
cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈]2x k 5x k x k ,k
22 2

⇔
ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+π
kk
xx xk
42 105 2

∈
],k

Bài 32 : Cho phương trình
()
π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟

⎝⎠
22
x7
sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *
42 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa:
−
<x1 3

www.VNMATH.com
23
Ta có : (*)⇔
()
17
sin x.cos4x 1 cos 4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2
−
−=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−
⇔
−+ =−−
11 3

sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2

⇔
1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++
=

⇔
⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔
()
1
cos 4x 2 sin x 0
2
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin
26
=−⎡
⎢
π
⎛
⎢
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎞
⇔
π
⎡
=
−+ π
⎢
⎢
π
⎢
=
+π
⎢
⎣

xk
6
7
x2
6
2
h

Ta có :
−
<x1 3
⇔ ⇔
3x13−< − <
2x4
−
<<
Vậy :
2k2
6
π
−<− + π<4

⇔
22k 4
66
ππ
−< π<+
⇔
11 21
k

12 12
−<<+
ππ

Do k nên k = 0. Vậy Z∈
x
6
π
=
−

π
−< + π<
7
2h2
6
4

⇔
π
π
−− < π< − ⇔− − < < −
ππ
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒

h = 0
⇒
π
=
7
x
6
.Tóm lại
−
ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :
−
π
=− ⇔ = − + π ∈]
k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π
π
kk

21
2(1) k 4 (1) k
66
4

⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với
−
ππ
==
7
xhayx
66


Bài 33 : Giải phương trình
(
)
33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)⇔
()
(
)
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =

⇔
33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x−+− =

⇔
()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=
⇔
3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

www.VNMATH.com
24
⇔
3
3
sin 4x sin 4x
4
=

⇔
3
3sin 4x 4sin 4x 0
−
=

⇔ sin12x = 0
⇔ ⇔
12x k=π
()

k
xk
12
Z
π
=∈

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :
(
)
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)⇔
()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔
cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= +
⇔
2cos7xcosx 2cos11xcosx=
⇔
(
)
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔
cos x 0 cos7x cos11x=∨ =
⇔
π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2
2

⇔
πππ
=+π∨=− ∨= ∈]
kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++

⇔
2sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos2x+= +
⇔
()
(
)
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1

⇔
()( )
2cos x 1 sin 2x cos 2x 0

+
−=

⇔
12
cos x cos sin 2x cos2x
23
π
=− = ∨ =

⇔
2
xk2tg2x1
34
tg
π
π
=± + π∨ = =

⇔
()
π
ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z

Bài 36: Giải phương trình
(
)
++ =+
23
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x *

Ta có : (*)⇔
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x++ = + −

⇔
()
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+
⇔
2cos 9x cos x 1 cos x 2cos x.cos9x+= +
⇔
cos x 1=
⇔
(
)
xk2kZ=π∈


Bài 37 :
Giải phương trình

www.VNMATH.com
25