Tong hop tai lieu on thi HSG mon casio.doc

Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
CHUN ĐỀ I
TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC SỐ

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) B = 5290627917848 : 565432
Bài 2: Tính (Kết quả thu được viết dưới dạng phân số và số thập phân)
123
581
521
+2
−4
A= 3
52
7
28
Bài 3: Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân:
3 : 0,4 − 0,09 : (0,15 : 2,5)
( 2,1 − 1,965) : (1,2 × 0,045)
+
C=
0,32 × 6 + 0,03 − (5,3 − 3,88) + 0,67
0,00325 : 0,013
Bài 4: Tính và làm trịn đến 5 chữ số thập phân:
7  7
1
1
 13
 
 : 2 + 4 × 0,1 :  0,75 − 528 : 7 
D =  × 1,4 − 2,5 ×

180  18
2
2
 84
 
Bài 5: Tìm x và làm trịn đến 4 chữ số thập phân:
1
1
1
1 
 1
+
+
+ ... +
+

 × 140 + 1,08 : [ 0,3 × ( x − 1)] = 11
28 × 29 29 × 30 
 21 × 22 22 × 23 23 × 24
Bài 6: Tính:
4
2
2
0,6 : × 1,25
(10 − ) :
5
25 35 + 6 × 1 : 3
+
1
5

1
1 5 2 5
0,64 −
(6 − 3 ) × 2
25
9
4
17
Bài 7: Tính:
1 1 1
2 2 2 

2+ + +
 1+ + +

3 9 27 :
3 9 27  × 91919191

M = 182 ×
 4 − 4 + 4 − 4 1 − 1 + 1 − 1  80808080


7 49 343
7 49 343 

Bài 8: Tính:
5
5
5
10 10

10 

−
10 +
+
−
 5+ +

187
17 89 113 :
23 243 611  × 434343

×
N=
129  11 + 11 + 11 − 11 3 + 3 + 3 − 3  515151


17 89 113
23 243 611 

Bài 9: Tính:
 3 : (0,2 − 0,1)
(34,06 − 33,81) × 4  2 4
+
C = 26: 
+ :
 2,5 × (0,8 + 1,2) 6,84 : (28,57 − 25,15  3 21
[ ( 7 × 6 × 35) : 6,5 + 9,8999...] × 1
12,8
: 0,125

D=
1
1
(1,2 : 36 + 1 : 0,25 − 1,8333...) × 1
5
4

Quang HiƯu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 10: a) Tìm x biết:
1
3  1
 

 x − 4  : 0,003
 0,3 −  × 1 

1
2
20  2
 
 : 62 + 17,81 : 0,0137 = 1301
− 
20
  3 1 − 2,65  × 4 : 1 1,88 + 2 2  × 1 





  20
5 
35  8 



b) Tìm y biết:
5
1 1
 13 2
 − − : 2  ×1
15,2 × 0,25 − 48,51 : 14,7  44 11 66 2  5
=
y
 1

3,2 + 0,8 ×  5 − 3,25 
 2

Bài 11: Tính giá trị của x từ các phương trình sau:
3 4
1

 4
 0,5 − 1 7 × 5  x − 1,25 × 1,8 :  7 + 3 2 
3





 
= 5,2 :  2,5 − 
a) 
3  1
3
4


15,2 × 3,15 − :  2 × 4 + 1,5 × 0,8 
4  2
4

[ ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2) ] ×  3 + 2 × 4  1


 4 3 5  = 3 : (1,2 + 3,15)
b)
2 3 
12 
2
12,5 − × : ( 0,5 − 0,3 × 0,75) : 
7 5 
17 
17 
3
 7
8 − 6
 ×1
110  217

 55
Bài 12: a) Tính C biết 7,5% của nó bằng:
2 3  7
 −  :1
 5 20  8
4 
6 
(2,3 + 5 : 6,25) × 7  
1
b) Tìm x biết: 5 : x : 1,3 + 8,4 × × 6 −
  = 114
7 
7 
8 × 0,0125 + 6,9  
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số::
2  3 6 
2
 1

a) A = 1 + 2  : 1 −  : 1,5 + 2 + 3,7 
5  4 4 
5
 3

5  3
2
3 

b) B = 12 : 1 × 1 + 3 : 2
7  4

11 121 
1  1
6  12  10

10 ×  24 − 15  − ×  − 1,75 
3  7
7  11  3

c) C =
8
5
 60
+ 194
 − 0,25  ×
99
9
 11
1 1
+
d) D = 0,3(4) + 1,(62) : 14 7 − 2 3 : 90
11 0,8(5) 11

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức sau:
[ 0, (5) × 0, (2)] :  3 1 : 33  −  2 × 1 1  : 4

 


 3 25   5 3  3
Bài 15: Tính:
2 4
4


0,8 :  × 1,25 
1,08 −  :
4
25  7
5
+ 
+ (1,2 × 0,5) :
a) A =
1
1
2
5
 5
0,64 −
6 − 3  × 2
25
4  17
 9
5 2
 7
 85 − 83  : 2
18  3
b) Tìm 2,5% của:  30

0,04
3
5
 3
6 − 3  × 5
14  16
c) Tìm 5% của :  5
(21 − 1,25) : 2,5
Bài 16: Tính:
(1986 2 − 1992) × (1986 2 + 3972 − 3) × 1987
a) A =
1983 × 1985 × 1988 × 1989
2
b) B = (649 + 13 × 180)2 – 13 × (2 × 649 × 180)
Bài 17: Tính:
( 64,619 : 3,8 − 4,505) 2 + 1,25 × 0,75
A=
( 0,66 2 :1,98 + 3,53) 2 − 2,752 : 0,52
Bài 18: Tính
1,345 4 × 3,1432.3
a) x =
7
189,35
6
1,815 × 2,732 5
b) y =
7
4,6214

[

c) z =

]

π 3 × 816,137
5

712,3517

Bài 19:
π3 2,2132 (3,753 + 2,14 )
a) Tính: T =
5,234 − 7,512
1
3
= 2 − (0,713) 2
b) Tìm x biết:
4
x 2 + 0,162
Bài 20: Tính:
A=

3−2 2
17 − 12 2

−

3+ 2 2
17 + 12 2

+3 9+4 5 +3 9−4 5

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 21: Tính
a) B = 3
b) C =

3

5 − 3 4 − 3 2 − 3 20 + 3 25
54
18
200 + 1263 2 +
+3
− 63 2
3
3
1+ 2
1+ 2
3

c) D =

2 + 3 3 + 4 4 + ... + 8 8 + 9 9

d) E =

2− 3+ 4−5 5+ 6 6−7 7+8 8−9 9
3

4

Bài 22: Tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân:
a) A = 1- 2 + 3 3 − 4 4 + 5 5 − 6 6 + 7 7 − 8 8 + 9 9 − 10 10
b) B =

9

c) C = 7 -

8

7

9 8 7 6 65 5 4 43 3 2
6
5
4
3
2
1
+
−
+
−
+

2
3
4
5
6
7

Bài 23: Tính:
a)
sin20.sin180.sin220.sin380.sin420.sin580.sin620.sin780.sin820
b)
tag50 + tag100 + tag150 + … + tag800 + tag850
Bài 24: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 900 )
Tính A = (5cos3x – 2sin3x + cos x) : (2cos x – sin3x + sin2x)
Bài 25: Cho cos2x = 0,26 (0 < x < 900)
2 sin 2 x + 5 sin 2x + 3tg 2 x
Tính B =
5tg 2 2x + 4 cot g 2x
Bài 26: Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 900)
sin 3 x.(1 + cos 3 x ) + tg 2 x
Tính C =
(cos 3 x + sin 3 x ) tg 3 x
Bài 27: Cho biết sin2x = 0,5842 (0 < x <900)
sin x (1 + cos 3 x ) + cos x (1 + sin 3 x )
Tính D =
(1 + tg 2 x )(1 + cot g 2 x ) 1 + cos 3 x
Bài 28: Cho biết tgx = tg330 tg340 tg350 … tg550 tg560 (0 < x < 900)
tg 2 x (1 + cos 3 x ) + cot g 2 x (1 + sin 3 x )
Tính E =
(1 + sin x + cos x ) sin 3 x + cos 3 x

Bài 29: Cho cos x.sin (900 – x) = 0,4585. (0 < x < 900)
sin 4 x + sin 3 x + sin 2 x + sin x
Tính F =
tg 2 x + cot g 2 x
Bài 30 : Nêu một phương pháp(kết hợp giữa tính trên máy và giấy) tính chính xác
số:
10384713 = ?
Bài 31: Tìm kết quả chính xác của phép tính sau:
A = 12578963 × 14375 = ? B = 1234567892 = ? C = 10234563 = ?

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
KẾT QUẢ DẠNG BIỂU THỨC SỐ:
Bài 1: 9 356 788, 999
Bài 4: D = -

10
1393

Bài 7: M = 25

281
320

Bài 2: A =

6166
91

Bài 3: C = 15

Bài 5: x = 1,4

Bài 8: N =

Bài 6: 28, 071 071 143
Bài 9:
1
C=7
2

1
6

D = 39

Bài 10:
x ≈ 6, 000 172 424
y = 25
Bài 13:
112
93
a) A =
b) B =
57
4
3
106

c) C =
d) D =
7
315
Bài 16:
a) 1987
b) 179383941361

Bài 11:
a) x ≈ -903, 4765135
b) x ≈ -1, 39360764
Bài 14:
79
225

Bài 19:
a) T = 0,029185103
b) x = ± 0,192376083

Bài 20: A = 5

Bài 22:
a) A = -0,313231759
b) B = 1,319968633
c) C = 4,547219337
Bài 25: B = 3,781221229
Bài 28: E = 1,657680306

Bài 23:
a) 0,01727263568

b) 34,55620184

89
260

Bài 12:
a) C = 200
b) x = 20,384
Bài 15:
a)

7
3

b)

11
24

51
448
Bài 18:
a) x = 74,545129
b) y = 70,09716521
c) z = 96,26084259
Bài 21:
a) B = 0
b) C = 8
c) D = 1,911639216
d) E = 0,615121481

Bài 24:
2,524628397
c)

Bài 17
23
12 = 12,575
40

Bài 26: 3,750733882
Bài 29: F = 1,382777377

Bài 27: D = 0,410279666
Bài 30:
1119909991289361111
Bài 31: A = 180822593125 B = 15241578750190521 C =1072031456922402816
Chú ý: Bài 21 – 22: ta sử dung nút /Ans/ hoặc quy trình truy hồi ở máy fx570 MS
Bài 21 c: gán 9 9 vào A , 9 vào B . Nhập trên máy: B = B – 1: A = B B + A “=” “=” “=” …
Bài 21 d: Gán 9 9 vào A , 10 vào B , 9 vào C nhập: B = B – 2: A = B B − A : C = C – 2:

A = C C + A “=” “=” “=” …
Bài 22 a) gán –1 vào A nhập: A = A + 2: C = C+ A A : B + B + 2: C = C - B B “=” “=” “=”
…

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC
Bài 1: Tính (làm trịn đến 4 chữ số thập phân)

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x + 1
Cho C =
khi x = 1,8363
x+5
Bài 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
a) Tính P(2 2 )
b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài 3:
Tính P(x) = 17x5 – 5x4 + 8x3 + 13x2 – 11x – 357 khi x = 2,18567
Bài 4:
a) Cho P(x) = x3 – 2,531x2 + 3x – 1,356. Tính P(-1,235) với 3 chữ số thập
phân.
b) Tìm số dư với 3 chữ số thập phân của phép chia sau:
(3x4 – 2x3 – x2 – x + 7) : (x – 4,532)
Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:
(2x5 – 1,7x4 + 2,5x3 – 4,8x2 + 9x – 1) : (x – 2,2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24
b) x4 + 2x3 – 25x2 – 26x + 120
c) 20x2 + 11xy – 3y2
d) 8x4 – 7x3 + 17x2 - 14x + 32
e) x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 f) 6x4 – 11x3 – 32x2 + 21x + 36
3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x + 1
Bài 7: Tính A =
khi x = 1,8165
4 x 3 − x 2 + 3x + 5
Bài 8:
x 3 − 9x 2 − 35x + 7
a) Tìm số dư của phép chia
x − 12

3
x − 3,256 x + 7,321
b) Tìm số dư của phép chia:
x − 1,617
5
x − 6,723x 3 + 1,857 x 2 − 6,458x + 4,319
Bài 9: Tìm số dư của phép chia :
x + 2,318
14
9
5
x − x − x + x 4 + x 2 + x − 723
Bài 10: Tìm số dư của phép chia:
x − 1,624
Bài 11:
Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 5x2 – 13x + a
a) Với điều kiện nào của a thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với giá trị của a tìm được ở câu trên, hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x)
cho 3x – 2
Bài 13: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x – 50
Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 2 và r 2 là phần dư của phép chia
P(x) cho x – 3. Tìm bội chung nhỏ nhất của r1 và r2.

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 14: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m
a) Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3

b) Với m tìm được ở câu a, hãy tìm số dư r khi chia đa thức 3x – 2
c) Với m tìm được ở câu a) hãy phân tích đa thức P(x) ra thừa số bậc nhất
d) Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và
Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x – 2
e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) = 2x 3 – 5x2 – 13x + n ra tích
của các thừa số bậc nhất.
Bài 15:
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n
a) Tìm giá trị của m và n để đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2
b) Với giá trị m và n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x)
chỉ có nghiệm một duy nhất.
Bài 16:
a) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 . Tìm các giá trị của P(6) ;
P(7) ; P(8)
b) Cho đa thức Q(x) = x4 = mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7 ;
Q(3) = 9 ; Q(4) = 11. Tính giá trị Q(10); Q(11) ; Q(12) ; Q(13)
1
7
3
1
Bài 17: Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết f( ) =
; f( − ) = −
3
108
8
2
1
89
2

f( ) =
. Tính giá trị đúng và giá trị gần đúng với 5 chữ số thập phân của f( )
5
500
3
5
4
3
2
Bài 18: Cho đa thức P(x) = x + 2x – 3x + 4x – 5x + m
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
c) Muốn cho đa thức có nghiệm x = 2 thì m có giá trị bằng bao nhiêu ?
Bài 19: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e và cho biết P(1) = 3;
p(2) = 9 ; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) và P(11)
1 9 1 7 13 5 82 3 32
x − x + x − x + x
Bài 20: Cho đa thức P(x) =
630
21
30
63
35
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4
b) Chứng minh đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Bài 21: Cho đa thức f(x) = 1 + x2 + x3 + x4 + .... + x49 Tính f(1,2008)
Bài 22: Tính giá trị biểu thức:
x 50 + x 49 + x 48 + ...+ x 2 + x +1
A = 50 49 48

khi x = 1, 2007 ; y = 1,2008
y + y + y + ...+ y 2 + y +1

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
KẾT QUẢ
DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

1) 7,1935
2) –509,0344879
4b) 1061,318
5) 85,43712
6b) (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 5)
6d) (x2 + x + 2)(8x2 – 15x + 16)
6f) (x + 1)(x – 3)(2x + 3)(3x – 4)
8a) 19
8b) 6,284000113

3) 498,438088
4a) –10,805
6a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
6c) (4x + 3y)(5x – y)
6e) (x – 1)2(x + 1)(x2 – 3x + 1)
7) A = 1,498465582
9) 47,6454664
10) 108,5136528
8
11) a = 222

12a) a =12
12b) r = 2
13) –556
9
14a) m = 12
14b) r = 0
14c) (2x + 3)(3x – 2)(x - 2)
14d) m = 12 ; n = 30 14e) (x – 2)(x – 3)(2x + 5)
15a) m = -46 ; n = -40
3
2
2
15b) R(x) = P(x) – Q(x) = x – x + x – 6 = (x – 2)(x + x + 3) đa thức x2 + x + 3
Vô nghiệm nên R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
16b) Q(10) = 3047; Q(11) = 5065 ;
16a) P(6) = 156 ;P(7) = 769; P(8) = 2584
Q(12) = 7947 ; Q(13) = 11909
17) f(2/3) = -0,34259 18a) 2144,40625 18b) m = -141,40625 18c) m = -46
19)
P(6) = 193 ; P(7) = 819 ; P(8) = 2649 ; P(9) = 6883 ; P(10) = 15321;
P(11) = 30483
20a) P(-4) = P(-3) = P(-2) = P(-1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0
20b) Do ± 4 ; ± 3 ; ± 2; ± 1 ; 0 ; ± 1; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 là nghiệm của P(x) nên:
1
P(x) =
(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
630
Với x nguyên ta có: (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích
của 9 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 630
Vậy P(x) ln có giá trị ngun với mọi x nguyên.

Chú ý: Các dạng ở bài tập 16 đến 20 có nhiều cách để xác định đa thức P(x) nhưng cách gắn gọn
hơn hết ta có thể thực hiện như sau: Ví dụ ở bài tập 19:
Bước 1: (Giảm bậc)
Đặt P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + g(x) suy ra g(x) có bậc khơng lớn hơn 4
Bước 2: (thử chọn để tìm g(x) thường nên chọn bậc g(x) là 2)
Giả sử đa thức g(x) có bậc 2 : g(x) = ax2 + bx + c ta có :
g(1) = a + b + c
= 3 (1)
g(2) = 4a + 2b + c = 9 (2)
g(3) = 9a + 3b + c = 19 (3)
Bước 3: Dùng máy giải hệ pt gồm 3 pt (1) , (2) , (3) được a = 2 ; b = 0 ; c = 1
⇒ g(x) = 2x2 + 1
Bước 4: Thử lại g(4) = 33 (đúng gt) ; g(5) = 51 (đúng gt)
Vậy P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2x2 + 1 Từ đó ta giải quyết được bài tốn.

DẠNG TỐN VỀ DÃY TRUY HỒI
(Phibonacci)

Quang HiƯu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 1:

Cho dãy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của un với
u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u22 ; u23 ; u24 ; u25
Bài 2: cho dãy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …)

a) Lập một quy trình tính un+1
b) Tính u2, u3, u4 , u5, u6
c) Tìm cơng thức tổng qt của un
Bài 3: Cho dãy số u0 = 2 ; u1 = 3 ; un+1 = un2 + un-12
a) Lập quy trình tính un
b) Tính u2 , u3, u4 , u5.
Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1…. Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3
và un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3
a) Tính u4 , u5 ; u6 ; u7.
b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với n ≥ 4
c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của u22 , u25 ; u28 ; u30
Bài 5: Cho dãy số: Un =

n
n
(3 + 5 ) − (3 − 5 )
3 5

Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio
a)

n

n

5+ 2 
5− 2
 +

Bài 6: Cho dãy số : Un = 
 2 
 2  − 3 Với n = 1; 2; 3; ….





a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập cơng thức truy hồi để tính Un + 2 theo Un và Un + 1
Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy casio
Bài 7: Cho dãy số u1 = 8 ; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; 4 …)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với mọi n ≥ 2
b) Sử dụng quy trình trên tính giá trị u13 ; u17
(2 + 3 ) n − (2 − 3 ) n
Bài 8: Cho dãy số un =
n = 0; 1; 2; 3 …
2 3
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này.
b) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un
c) Lập một quy trình tính un trên máy casio
d) Tìm tất cả các số tự nhiên n để un chia hết cho 3
n
n
3+ 5  3− 5 
Bài 9: Cho dãy số un = 
 2  +  2  − 2 n = 0; 1; 2; 3 …
 



 

a) Tính 5 số hạng đầu tiên
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1
c) Lập một quy trình tính un+1 trên máy casio
2
2
d) Chứng minh rằng un = 5m khi n chẳn và un = m khi n lẻ

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 10: cho un với u1 = 0 ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 với n = 3; 4 …
a) Lập cơng thức tính un và tính u4; u5 ; u6 … u20
b) Lập và chứng minh công thức tổng quát của un
c) Chứng minh với mọi số nguyên tố p thì up chia hết cho p
(5 + 7 ) n − (5 − 7 ) n
Bài 11: Cho dãy số: un =
(1)
2 7
a) Lập cơng thức truy hồi.
b) Lập quy trình tính trên máy casio để tính un và tính u1; u2 ; u3 … u10
n
n
3+ 5  3− 5 
Bài 12: Cho dãy số un = 
 2  + 2 
 



 

a) Lập công thức truy hồi.
b) Lập công thức tính trên máy casio để tính un và tính u0 đến u4
Bài 13: Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1
Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12, u13 , S12 ; S13
(S12 bằng tổng các số hạng của dãy ứng n = 12)
b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13

Chú ý1: Dãy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi là cơng thức truy hồi để tính un.
Dãy số : un = c1u1n + c2u2n (2) gọi là công thức tổng qt để tính của un
Cơng thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của un và có quan hệ với nhau.
Ở cơng thức (2) u1 và u2 là nghiệm của phương trình: u2 = au + b hay u2 – au – b = 0
Do vậy nếu biết được cơng thức truy hồi ta tìm được cơng thức tổng qt và ngược lại.

Quang HiƯu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
HƯỚNG DẪN
Ví dụ1: (Bài 2)
cho dãy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …)
Tìm cơng thức tổng qt của un
Giải: Cơng thức tổng quát có dạng: un = c1x1n + c2x2n
Trong dó x1 và x2 là nghiệm của phương trình: x2 – 10x + 1 = 0 (*)
Giải pt (*) có x1 = 5 + 2 6 ; x2 = 5 - 2 6
⇒ un = c1( 5 + 2 6 )n + c2(5 - 2 6 )n do u0 = 2 ; u1 = 10 nên ta có:

c1 + c 2 = 2
⇔ c1 = c2 = 1

(5 + 2 6 )c1 + (5 − 2 6 )c 2 = 10

Vậy công thức tổng quát: un = ( 5 + 2 6 )n + (5 - 2 6 )n
Ví dụ 2: (Bài 8)
(2 + 3 ) n − (2 − 3 ) n
Cho dãy số : Un =
Với n = 0; 1; 2; 3; ….
2 3
Lập công thức truy hồi để tính Un + 2 theo Un và Un + 1
Giải:
Cách 1: Ta biểu diễn Un dưới dạng tổng quát un = c1u1n + c2u2n như sau:
1
1
1
1
(2 + 3 ) n −
( 2 − 3 ) n ⇒ c1 =
Un =
; c2 = ; u1 = 2+ 3 ;u2 = 2- 3
2 3
2 3
2 3
2 3
Trong đó u1; u2 là nghiệm của pt: (u – 2- 3 )(u – 2+ 3 ) = 0
Hay: u2 – 4u + 1 = 0 ⇔ u2 = 4u – 1
Vậy công thức truy hồi: un+2 = 4un + 1 - un với u1 = 1 ; u2 = 4
Cách 2: Đặt a = 2 + 3 ; b = 2 - 3

Ta có: un = an / 2 3 - bn / 2 3 ;
un + 2 = an(2 + 3 )2 /2 3 – bn(2 - 3 )2 / 2 3
= an(4 + 4 3 + 3) / 2 3 - bn(4 - 4 3 + 3) /2 3
= an (8 + 4 3 - 1)/2 3 - bn (8 - 4 3 - 1) / 2 3
= 4an(2 + 3 ) / 2 3 - 4bn(2 - 3 ) / 2 3 - (an /2 3 - bn/2 3 )
= 4 un+1 - un
Vậy ta có cơng thức truy hồi: un+2 = 4un + 1 - un

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Chú ý 2: Để lập quy trình tính trên máy casio fx 570 MS có nhiều quy trình ta nên
sử dụng theo quy trình sau là ngắn gọn nhất:
Ví dụ 1:
Cho dãy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của un với
u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
Giải: 2 /shift / sto A (gán u1 vào A)
20 /shift / sto B (gán u2 vào B)
Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / :
Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u3)
Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo ….
Ví dụ 2: Cho dãy số un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3
Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với n ≥ 4
1 /shift / sto A (gán u1 vào A)
2 /shift / sto B (gán u2 vào B)
3 /shift / sto C (gán u3 vào C)
Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:

Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / = (u4)
Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo ….
Ví dụ 3:
Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy số được xác định
Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1
Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
a)Lập quy trình tính trên máy casio để tính u 12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 bằng
tổng các số hạng của dãy ứng n = 12)
b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13
Giải : Thiết lập quy trình tính trên máy như sau.
Gán u1 = 1 vào A (lẻ)
( 1 /shift / sto/ A )
u2 = 2 vào B (chẳn)
(2 /shift / sto/ B)
S2 = 3 vào C
(3 /shift / sto /C)
Nhập:
A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)
B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C=C+B
(S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/…
Ấn liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u3)
Lần 2 “=” (được S3)
Lần 3 “=” (được u4)
Lần 4 “=” (được S4)
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u 3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6)
(u7, S7, u8, S8) ….
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán:
u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
ĐÁP ÁN:
DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI

Bài 1: a) u3 = 42 ; u4 = 104 ; u5 = 250 ; u6 = 604 ; u7 = 1458
1b) gán: 2 → A ; 20 → B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B ấn liên tục dấu “=”
1c) u22 = 850268156 ; u23 = 1941675090 ; u24 = 4687618336; u25 = 11316911762
Bài 2: a) gán: 2 → A ; 10 → B ; ghi A = 10B - A : B = 10A - B ấn liên tục dấu “=”
b) u2 = 89 ; u3 = 970 ; u4 = 9602 ; u5 = 95050 ; u6 = 940898
c) CTTQ: có dạng Un = C1x1n + C2x2n trong đó x1 ; x2 là nghiệm pt: x2 = 10x – 1 (*)
(*) có nghiệm: x1 = 5 + 2 6 ; x2 = 5 - 2 6 thay vào un ta tìm được c1 = c2 = 1
Vậy công thức tổng quát: un = (5 + 2 6 )n + (5 - 2 6 )n
Bài 3: a) gán: 2 → A ; 3 → B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2 ấn liên tục dấu “=”
b) u2 = 13 ; u3 = 178 ; u4 = 31853 ; u5 = 1014645293
Bài 4: a) gán: 1 → A ; 2 → B ; 3 → C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B :
C = B + 2A + 3C ấn liên tục dấu “=” được các số hạng tiếp theo của dãy
b) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226
2
1
Bài 5: a) u0 = 0 ; u1 = ; u2 = 4 ; u3 = 21
3
3
a n + bn
a n 3 + 5 + bn 3 − 5
b) Đặt a = 3 + 5 ; b = 3 - 5 ta có: un =
; un + 1 =

3 5
3 5
2
2
n
n
a 18 + 6 5 − 4 + b 18 − 6 5 − 4
a n 3 + 5 + bn 3 − 5
un+2 =
=
3 5
3 5
n
n
n
n
( a + b ) = 6u - 4u vậy: u = 6u - 4u
a 3+ 5 + b 3− 5
−4
=6
n+1
n
n+2
n+1
n
3 5
3 5
c) gán: 0 → A ; 3/2 → B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B bấm “=” (được u2) = …
B6a) u1 = 2 ; u2 = 10,5 ; u3 = 35,75 ; u4 = 113,125 ; u5 = 354, 8125; u6 = 1118,34375
b) Chứng minh tương tự bài 5b ta có: un + 2 = 5un + 1 – 23/4un – 21/4

c) gán: 2 → A ; 10,5 → B ; ghi A = 5B – 23/4A – 21/4 : B = 5A – 23/4B – 21/4
bấm “=” (được u3) = = … (được các số hạng của dãy tiếp theo)
B7a) : gán: 8 → A ; 13 → B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u2) = …
b) u13 = 2584 ; u17 = 17711
Bài 8: u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 15; u4 = 56; u5 = 209; u6 = 780; u7 = 2911; u8 = 10864
b) C/m tương tự bài 5b ta có: un+2 = 4un + 1 - un với u1 = 1 ; u2 = 4
c) gán: 1 → A ; 4 → B ; ghi A = 4B - A : B = 4A - B bấm “=” (được u3) = …
d) Để un chia hết cho 3 khi n = 3k
Bài 9: a) u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 5 ; u3 = 16 ; u4 = 45
b) Tương tự bài 5b ta lập được công thức truy hồi: un + 2 = 3un+1 – un + 2
c) gán: 0 → A ; 1 → B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 bấm “=” (u2) = …

(

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

)

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 10: a) gán: 0 → A ; 14 → B ; -18 → C ghi A = 7B –6A : B = 7C – 6B :
C = 7A – 6C bấm “=” (u4) = (u5) …
u4 = 98; u5 = -210; u6 = 794 ; u7 = -2058 ; u8 = 6818 ; u9 = -19170 ; u10 = 60074
u11 = -175098 ; u12 = 535538 ; u13 = -1586130 ; u14 = 4799354; u15 = -14316138
u16 = 43112258 ; u17 = - 129009090 ; u18 = 387682634 ; u19 = -1161737178;
u20 = 3487832978
10b) Cơng thức tổng qt có dạng: un = C1x1n + C2x2n + C3x3n (*)trong đó x1 ; x2 ; x3
là nghiệm của phương trình x3 = 7x – 6 ⇔ x1 = 2; x2 = -3; x3 = 1 thay vào (*)
un = C12n + C2(-3)n + C3 Xét n = 1; n = 2 ; n = 3 ta tìm được C1 = C2 = C3 = 1
Vậy công thức tổng quát là: un = 2n + (-3)n + 1
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: …
Bài 11: a) Tương tự bài 5b ta lập được: un + 2 = 10un+1 – 18un với u1 = 1; u2 = 10

b) gán: 1 → A ; 10 → B ; ghi A = 10B -18A : B = 10A - 18B bấm “=” ( u3) = …
u3 = 82; u4 = 640; u5 = 4924; u6 = 37720 ; u7 = 288568 ; u8 = 2206720;
u9= 16872976; u10 = 129008800
Bài 12: a) Tương tự bài 5b ta lập được CT: un+2 = 3un+1 - un với u0 = 2 ; u1 = 3
b) gán: 2 → A ; 3 → B ; ghi A = 3B -A : B = 3A - B bấm “=” ( u2) = …
u2 = 7; u3 = 18 ; u4 = 47; u5 = 123
Bài 13: Gán u1 = 1 vào A (lẻ); u2 = 2 vào B (chẳn) ; S2 = 3 vào C
Nhập: A = 5B + 3A : C = C + A : B = 3A + 5B - 1: C = C + B
Bấm liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u3)
Lần 2 “=” (được S3)
Lần 3 “=” (được u4)
Lần 4 “=” (được S4)
Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u 3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6)
(u7, S7, u8, S8) ….
Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán:
u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159

CHUYÊN ĐỀ VỀ HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 5,2314 cm và AC = 6,3054 cm.
a) Tính BC và góc B, C
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 6,251 cm và góc B = 560.
a) Tính BC, AC và góc C.
b) Tính độ dài đường cao AH và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường trung tuyến AM và phân giác AD của tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12,3215 cm và AC = 16,2014 cm.
Tính bán kính của đường trịn nội tiếp của tam giác ABC.

Quang HiÖu – THCS Hång H ng

Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 4,2315 cm; AC = 5, 3641 cm và góc A = 650.
a) Tính độ dài đường cao BK; CF của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính các góc cịn lại của tam giác ABC.
d) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC và cạnh BC.
e) Tính độ dài bán kính của đường trịn ngoại tiếp và độ dài bán kính của đường
trịn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC biết độ dài BC = 6,12 cm; góc B = 650; C = 460.
a) Tính độ dài đường cao BK; CF của tam giác ABC.
b) Tính độ dài cạnh AC và AB và đường cao AH của tam giác ABC
c) Tính diện tích của tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 6,3031 cm; AC = 5,9652 cm và BC = 8, 35 cm.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Tính BH; HC và AH.
b) Tính các góc của tam giác ABC.
c) Tính độ dài bán kính của đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2005)
C
Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của kì đài trước ngọ môn
(Đại nội - Huế), người ta cắm hai cọc bằng nhau MA và NB cao 1,5 m
(so với mặt đất) song song , cách nhau 10m và thẳng hàng so với tim
của cột cờ. Đặt giác kế đứng tại A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ,
người
A
ta đo được các góc lần lượt là 51049’12” và 45039’ so với
M
phương song

song với mặt đất. Hãy tính gần đúng chiều cao đó.
Bài 8: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2006)
Cho tam giác ABC có các độ dài của các cạnh
AB = 4,71cm; BC = 6,62 cm và AC = 7,62cm.
a) Hãy tính gần đúng độ dài đường cao BH, đường trung tuyến BM và đoạn
phân giác trong BD của góc B
b) Tính gần đúng diện tích tam giác BHD.

Quang HiÖu – THCS Hång H ng

B
N


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 9: (Đề thi học sinh giỏi TP - Huế 2005)
Cho tam giác ABC (Â = 900) có AB = 1,5 AC. Trên tia đối của tia BA lấy D
sao cho
ˆ
ˆ
BD = 0,8AB. Trên đường vng góc với AD tại D lấy điểm E sao cho BED = ABC
(C, E cùng thuộc nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AD)
Biết AD = 79,5 cm. Tính ED, S ∆CBE và

S
S

∆CBE
∆CED

Bài 10: (Đề thi học sinh giỏi TP - Huế 2006)
Đường chéo hình thang cân chia nó thành hai tam giác có diện tích 24cm 2 và
56cm2. Cạnh bên của hình thang bằng 8cm. Tính (giá trị đúng và gần đúng)
a) độ dài đường cao của hình thang
b) Độ dài hai đáy.
c) Các góc của hình thang cân.
Bài 11: Cho tam giác ABC có AB = 7, BC = 8 , CA = 9. Lấy E ; F trên hai cạnh của tam giác,EF
chia tam giác ra 2 phần có diện tích bằng nhau. Tìm độ dài EF ngắn nhất.

Bài 12: Tìm diện tích hình bình hành biết chu vi bằng 10,246 cm và hai đường cao
bằng 2,54 cm và 4,39 cm.
Bài 13: Tìm độ dài các cạnh của tam giác biết chúng ti lệ theo tỉ số 9: 10: 17 và diện
tích tam giác ABC = 144444 cm2
Bài 14: Tìm diện tích hình thang vng có một góc bằng 30 0, Tổng các cạnh đáy
bằng 39,69 và tổng các cạnh bên bằng 25, 92
Bài 15: Tìm diện tích hình thang cân biết các cạnh đáy là 84 và 140 các đường chéo
vng góc với nhau.
Bài 16: Tìm diện tích tam giác biết hai cạnh dài 135 cm và 145 cm, đường trung
tuyến thuọc cạnh thứ ba dài 130 cm
Bài 17: Tìm diện tích hình thang biết đáy bằng 140 và 420, độ dài cạnh bên bằng
91 và 196
Bài 18: Tìm diện tích hình thang biết hai cạnh đáy là 426 và 267 hai đường chéo dài
360 và 459.
Bài 19: Tìm diện tích tam giác ABC biết độ dài 3 đường trung tuyến bằng 67,5 ;
76,5 112,5
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A độ dài AB = 3,256 cm ; AC = 4, 567 cm.
AD là tia phân giác của góc A.
a) Tính độ dài đoạn BD.
b) Từ D kẻ DE, DF vng góc với AC và AB . Tính chu vi và diện tích của tứ
giác ADEF

Bài 21: (Dạng đề thi học sinh giỏi huyện Phong Điền 2006 – 2007)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 135 cm góc B = 33 020’ , C = 72027’ .Tính
độ dài ba cạnh của tam giác

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Chú ý: Các hệ thức cần nhớ:
1: Hệ thức HêRông: S = p(p − a )(P − b)(P − c)
(S là diện tích tam giác, P là nữa chu vi, a , b, c, độ dài 3 cạnh của tam giác)
2) Tam giác ABC:
a. BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos A.
a
b
c
=
=
= 2R (R là bán kính của đường trịn ngoại tiếp)
b.
sin A sin B sin C
3) Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC được tính:
2AB2 + 2AC 2 − BC 2
2
AM =
4
4) Tứ giác ABCD nội tiếp ta có:
AC.BD = AB.CD + AD.BC (Đẳng thức Pơtơlêmơ) (AC, BD đường chéo)
ĐÁP ÁN
CHUYÊN ĐỀ VỀ HÌNH HỌC

1a) BC = 8,193022343 ; B = 500 19’ 7’’ ; C = 39040’53’’
1b) AH = 4,026117369 ; S = 16,49303478 ; AM = 4,096511172; AD = 4,043526199
2a) BC = 11,178611 ;
AC = 9,267488614 ;
C = 340
2b) AH = 5,182313866 ;
S = 28,96553566 ;
2c) AM = 5,589305552 ;
AD = 5,279309654
Bài 3: r = 4,08421162
4a) BK = 3,838304109 ; CF = 4,859078569 ; 4b) S = 10,28934182
4c) B = 67056’18,25’’; C = 4703’41,75’’; 4d) BC = 5,242965421; AH = 3,925008472
4e) R = 2,892486138 ; r = 1,386753704
5a) BK = 4,402359578 ;
CF = 5,546603657 ;
5c) S = 13,07768621
5b)AB=4,715565422 ; AC = 5,941216739 ;
AH = 4,273753662
6a) BH = 4,423231052 ; HC = 3,926768948 ;
AH = 4,490445041
0
’
’’
0
’
’’
0
’
6b) B = 45 25 55,32 ; C = 48 49 52,36 ; A = 85 44 12,32’’ ; 6c) r = 1,818540621

7) h = 53,79935494 (m)
8b) S = 1,57812979
8a) BH = 4,058551857 ;
BM = 4,299784878 ; BD = 4,132388082
9) ED = 53 cm ; SCBE = 1679,4375 ; SCBE /SCED = 169/212
10a) h = 4 2 ≈ 5,656854249 ;
10b) DC = 14 2 ≈ 19,79898987
AB = 6 2 ≈ 8,485281374 ;
10c) D = C = 450 ; A = B = 1350
12) S = 8,243077027
11) Min EF = 2 6
13) a = 570,0868355 ;
b = 633,4298172 ;
c = 1076,830689
14) S = 171,4608
15) S = 12544
16) S = 6750
17) S = 8176, 358832
18) S = 74844
19) S = 3359,974805
CÁC DẠNG TOÁN VỀ LÃI XUẤT – DÂN SỐ
Bài 1:

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Một người gởi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi xuất m% một tháng. Biết rằng
người đó khơng rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người đó nhận được bao nhiêu cả gốc lẫn lãi ?

Áp dụng: a = 2000000 đ ; m = 0,4 ; n = 45
Bài 2:
Một người hằng tháng phải gởi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi
xuất m% một tháng. Hỏi cuối n tháng người ấy nhận được cả gốc lẩn lãi là bao
nhiêu
Áp dụng: a = 100000 đ ; m = 0,8 ; n = 40.
Bài 3:
Một người gởi vào ngân hàng với một số tiền là 10 triệu đồng với lãi suất 0,75% một
tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó nhận được cả gốc lẫn lãi là 18 triệu đồng ? biết rằng
hằng tháng người đó khơng rút tiền lãi ra.

Bài 4:
Dân số của một quốc gia hiện nay là 56 triệu người, hằng năm dân số quốc
gia đó tăng trung bình là 1,2%. Hỏi sau 15 năm dân số nước đó là bao nhiêu người ?
Bài 5:
Bác An gởi vào quỹ tiết kiệm 100 triệu đồng. Mỗi tháng quỹ tiết kiệm trả
theo lãi suất là 0,85%. Hỏi sau 2 năm Bác An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao
nhiêu ? Biết rằng hằng tháng bác không rút tiền lãi.
Bài 6:
Một người muốn rằng sau ba năm phải có 240 triệu đồng để làm nhà. Hỏi
người ấy hằng tháng phải gởi vào ngân hàng một khoản (như nhau) là bao nhiêu ?
Biết rằng ngân hàng phải trả lãi suất mỗi tháng là 0,5%.
Bài 7:
Một người gởi 110 triệu đồng vào ngân hàng. Sau 5 năm người ấy rút ra được
139 770 000 ngàn đồng . Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu % trong một tháng ?
Bài 8:
Một người vay ngân hàng với số tiền là 13 500 000 đồng để mua phương tiện
đi lại.Theo thể thức cho vay (trung hạn 36 tháng) với lãi suất là 1,15 % tháng. Ngân
hàng yêu cầu hằng tháng người ấy phải trả gốc ít nhất là 375000 đồng cộng lãi để
sau 36 tháng vừa hết số tiền trên. Nếu vi phạm hợp đồng thì người ấy phải trả theo

thể thức cho vay (khơng kì hạn) lãi xuất 1,55% tháng và lãi tháng trước cộng vào
gốc để tính lãi tháng sau.Trong 12 tháng đầu người ấy thực hiện đúng theo hợp
đồng tức là hằng tháng người ấy trả đúng 375 000 đồng cộng với lãi . Nhưng với 24
tháng cịn lại người ấy khơng thực hiện đúng theo hợp đồng và đợi đến tháng thứ 36
trả đủ cả gốc lẫn lãi .
a) Hỏi người ấy phải trả số tiền còn lại cả gốc lãn lãi ở tháng thứ 36 là bao
nhiêu ?
b) Sau 36 tháng người ấy đã mất một số tiền lãi là bao nhiêu ?
Bài 9: Một học sinh muốn có 5 triệu đồng để mua máy vi tính. Nhưng khơng
đủ tiền, nên phải góp hằng tháng vào ngân hàng với lãi suất 0,6% một tháng như
sau: Tháng thứ nhất 100 ngàn. Kể từ tháng thứ 2 hằng tháng gởi vào 20 ngàn đồng
Hỏi sau bao lâu thì đủ tiền để mua máy ? (đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế2005)
Bài 10: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh TT - Huế 2006)

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
a) Bạn an gởi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1 000 000 đồng với lãi xuất
0,58% một tháng (không kì hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả
vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1 300 000 đồng ?
b) Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gởi tiết kiệm có
kì hạn ba tháng với lãi xuất 0,68% /tháng, thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn
lẫn lãi là bao nhiêu? biết rằng trong các tháng của kì hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ
khơng cộng vốn và lãi của tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kì hạn, lãi sẽ
được cộng vào vốn để tính lãi trong kì hạn tiếp theo (nếu cịn gởi tiếp), nếu chưa
đến kì hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kì hạn sẽ được tính theo lãi suất khơng
kì hạn.
Bài 11:
Một sinh viên được gia đình gởi tiết kiệm vào ngân hàng là 20 000 000 đồng

với lãi xuất 0,4% tháng.
a) Hỏi sau 5 năm (60 tháng) số tiền trong sổ sẽ là bao nhiêu ?
b) Nếu mỗi tháng anh sinh viên rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân
hàng tính lãi thì hằng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến 100 đồng) để
đúng 5 năm số tiền vừa hết.

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Số tiền lãi + gốc sau n tháng được tính bởi cơng thức:

An = a(1 + m%)n

(1) (n là số tháng)

Hoặc có thể sử dụng chức năng lặp của máy fx570 MS để tính theo quy trình :
Gán a = 2 000 000 vào A
Nhập trên máy: B = B + 1 :
(thực hiện phép đếm số tháng)
A = A + 0,4% A
Bấm liên tiếp các dấu “=” theo giỏi kết quả trên màn hình đến khi nào xuất hiện số
tháng là 45 và bấm tiếp “=” ta có kết quả cần tìm: 2 393 575,176 (đồng)
Bài 2: Áp dụng công thức:

a (1 + m%)[ (1 + m%) n − 1]
Sn =
m%

(2)

Hoặc có thể sử dụng chức năng lặp của máy fx570 MS để tính theo quy trình :
Gán : a + m% a = 1 000 000 + 0,8 % 1000 000 vào A ; 1 vào B
Nhập trên máy: B = B + 1 :
(thực hiện phép đếm số tháng bắt đầu là tháng thứ
2)
A = A + 1000 000 + 0,8 % (A + 1000 000)
Bấm liên tiếp các dấu “=” theo giỏi kết quả trên màn hình cho đến khi nào xuất
hiện số tháng là 40 và bấm tiếp “=” ta có kết quả cần tìm : 47 297 313,21 (đồng)
Bài 3: Có nhiều cách làm bằng phương pháp dựa vào biểu thức toán học để tìm số
tháng . Tuy nhiên ta có thể dựa vào chức năng của máy f x 570 MS để tìm một cách
hết sức đơn giản như sau:
Gán 10 000 000 vào A
Nhập B = B + 1 :
A = A + 0,75% A
Bấm liên tiếp dấu “=” theo gỏi trên màn hình cho đến khi nào xuất hiện kết quả
bằng 18 000 000 hoặc gần bằng (lớn hơn) 18 000 000 thì ta sẽ tìm được số tháng
cần tìm (Với bài tốn trên ta tìm được 79 tháng)
Bài 8: a) Sau 12 tháng số gốc còn lại : 13 500 000 – 375 000 . 12 = 9 000 000 (đ)
Tính trên máy: Gán 9 000 000 vào A
Nhập: B = B + 1 : (thực hiện phép đếm số tháng)
A = A + 1,55% A
Bấm liên tiếp dấu “ =” theo gỏi trên màn hình đến khi xuất hiện số tháng thứ
24 Bấm “ =” cho ta kết quả cần tìm là 13 018498,84 (đ)
b) Số tiền lãi 12 tháng đầu được tính như sau:
Tính trên máy: gán 13 500 000 vào A ; 1,15 % 13 500 000 vào B ; 1 vào C
Nhập trên máy: C = C + 1 :
(Thực hiện phép đếm số tháng)
A = A – 375 000 :

(Số gốc được tính lãi ở tháng thứ 2)
B = B + 1,15 % A
(Tổng số tiền lãi sau 2 tháng)
Bấm liên tiếp dấu “ =” theo gỏi trên màn hình đến khi xuất hiện số tháng thứ 12
Bấm “ =” cho ta kết quả cần tìm là tổng số tiền lãi sau 12 tháng: 1 578 375

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Vậy số tiền lãi tổng cộng: 13 018498,84 – 9 000 000 + 1 578 375 = 5 596 873,84
Bài 9: Gán : 100 000 + 0,6 % 100 000 vào A ; 1 vào B
Nhập trên máy: B = B + 1 :
(thực hiện phép đếm số tháng bắt đầu là tháng thứ
2)
A = A + 20 000 + 0,6 % (A + 20 000)
Bấm liên tiếp các dấu “=” theo dõi kết quả trên màn hình cho đến khi nào xuất
hiện số bằng hoặc gần bằng (lớn hơn) 5 000 000 bấm tiếp “ ∆ ” cho ta kết quả số
tháng cần tìm trên màn hình là 149 tháng
Bài 10:
a) Gán : 1 000 000 vào A ; 0 vào B
Nhập trên máy: B = B + 1 :
(thực hiện phép đếm số tháng bắt đầu là tháng thứ
2)
A = A + 0,58 % A

Bấm liên tiếp các dấu “=” theo dõi kết quả trên màn hình cho đến khi nào xuất
hiện số bằng hoặc gần bằng (lớn hơn) 1 300 000 bấm tiếp “ ∆ ” cho ta kết quả số
tháng cần tìm trên màn hình là 46 tháng.
b) 46 tháng chia 3 được 15 dư 1 vậy nếu gởi theo kì hạn 3 tháng thì đựơc 15

kì dư 1 tháng.
Trong 15 kì gởi đó gốc và lãi được tính trên máy như sau:
Gán : 1 000 000 vào A ; 0 vào B
Nhập trên máy: B = B + 1 :
(thực hiện phép đếm số kì hạn)
A = A + 0,68 % A × 3
Bấm liên tiếp các dấu “=” theo giỏi kết quả trên màn hình cho đến khi nào xuất
hiện số kì là 15 và bấm tiếp “=” ta có kết quả : 1353806,98 (đồng)
Tháng cuối cùng được tính theo lãi xuất 0,58% vậy số tiền tổng cộng mà An rút
được sau khi gởi 46 tháng là: 1353806,98 + 0,58% × 1353806,98 =1 361 659,061
(đ)
(Lưu ý kết quả 1353806,98 đã được máy gán vào A nên ta chỉ việc bấm.
A + 0,58% A = là có ngay kết quả cần tìm 1 361 659,061 )
(Ngồi cách làm trên ta có thể dựa vào cơng thức (1) hoặc (2) để giải quyết bài toán)

Bài 11: a) Tương tự bài 1 .
b) Nếu gọi A là tiền gốc, a là số tiền hằng tháng mà anh ta rút ra m% lãi suất
thì:
- Sau tháng thứ 1 số tiền trong sổ còn lại : A + m%A – b = A(1 + m%) - b
- Sau tháng thứ 2 số tiền trong sổ còn lại: A(1 + m%)2 – b[(1 + m%) + 1]
- Sau tháng thứ 3 số tiền trong sổ còn lại: A(1 + m%) 3 – b[(1 + m%)2 + (1 + m)
+ 1]
- ….
- Sau tháng thứ n số tiền trong sổ còn lại:
A(1 + m%)n – b[(1 + m%)n-1 + (1 + m%)n-2 + (1 + m%)n – 3 + …+(1 + m%) + 1]
= A(1 + m%)n - b[(1 + m%)n - 1] : m%
Nếu sau tháng thứ n số tiền trong sổ anh ta vừa hết thì:
A(1 + m%) n m%
n
n

A(1 + m%) - b[(1 + m%) - 1] : m% = 0 hay: b =
(1 + m%) n − 1

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Áp dụng cơng thức này ta tính được:
20000000(1 + 0,4%) 60 0,4%
≈ 375 600 (đ)
b=
(1 + 0,4%) 60 − 1
(Nhận xét bài này phải thiết lập cơng thức mới tính được số tiền hằng tháng mà anh sinh
viên ấy rút ra)

ĐÁP ÁN:
CÁC DẠNG TOÁN VỀ LÃI SUẤT – DÂN SỐ

Bài 1:
An= a(1 + m%)n = 2 393
575,176 (đ)
Bài 3: 79 (tháng)
Bài 6: 6 070 910, 436
Bài 9: 149 tháng

a (1 + m%)[ (1 + m%) n − 1]
Bài 2: Sn =
m%
= 47 297 313,21 (đồng)
Bài 4: 66972377 (người) Bài 5: 122 524 139,5 (đ)

Bài 7: 0,4%
Bài 8: a) 13 018498,84 (đ)
b) 5 596 873,84 (đ)
Bài 10: a) 46 tháng
Bài 11: a) 25412814,37 (đ)
b) 1 361 659,061 (đ)
b) 375 600 (đ)

Chú ý 1:
1) Nếu gởi A đồng lãi m % thì sau n tháng nhận được cả gốc lẩn lãi là:
T1 = A(1 + m%)n (1)
2) Nếu hằng tháng gởi a đồng lãi m % thì sau n tháng nhận được cả gốc lẫn lãi là:
T2 = a(1 + m %)[(1 + m %)n - 1] : m% (2)
3) Nếu lúc đầu gởi A đồng sau đó hằng tháng gởi a đồng lãi m % thì sau n tháng
nhận được cả gốc lẩn lãi:
T3 = A(1 + m %)n + a(1 + m %)[(1 + m %)n – 1 - 1] : m %
(3)
4) Nếu gởi A đồng lãi m % theo kì hạn n tháng ( n = 3 , 6 , 9 , 12 ) thì sau k kì
nhận được cả góc lẩn lãi là:
T4 = A(1 + n. m %)k
(4) (k = Số tháng gởi : n )
5) Nếu gởi A đồng lãi m % và hằng tháng rút ra a đồng vào ngày tính lãi thì số tiền
cịn lại sau n tháng là:
T5 = A(1 + m %)n – a [(1 + m%)n - 1] : m %
(5)
Chú ý 2:
Để tìm số tháng (n) khi biết các đại lượng cịn lại ở các cơng thức trên ta làm như
sau:
Gán 0 vào A sau đó bấm:
A = A + 1 : (thực hiện phép đếm các tháng)

(Nhập công thức vào) với số mủ là A sau đó bấm dấu = liên tục cho đến khi
thoả các điều kiện bài ra ta tìm được n
Ví dụ : Ở cơng thức (2) a = 1 000 000 , m = 0, 5% Tính n = ?
Giải trên máy như sau:
0 /sihft /sto/A/ Alpha/ A /Alpha /= /Alpha A/ + /1 /Alpha :
1 000 000(1 + 0,5 %)[(1 + 0,5 %) ∧ Alpha A - 1] : 0,5 %
= ( được n = 1 )
= (được số tiền tương ứng sau 1 tháng)

Quang HiÖu – THCS Hång H ng


Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
= (được n = 2) = (được số tiền ứng sau 2 tháng) tiếp tục bấm = cho đến khi tìm được số
tiền cần rút khi đó ta tìm được số tháng n tương ứng

DẠNG LIÊN PHÂN SỐ
Bài 1: Tính:
1+
a)

1
1+

3+

1
1+

1

1+

1
1+

1
3−

b)

1
3+

1
1+

1
1+1

1
3−

1
3+

1
3−

1
3

c)
1+

1
2+

1
3+

d)

2+

Bài 2: Tính:

1
4+

1
5+

1
6+

1
7+

1
8+

1
9

1
2+

1
2+

1
2+

1
2+

1
2+

1
2+

1
2+

1
2

Quang HiÖu – THCS Hång H ng

Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
9+

1
8+

2
7+

3
6+

4
5+

5
4+

6
3+

7
2+

8
9

Quang HiƯu – THCS Hång H ng

Tµi liƯu båi dìng häc sinh giái - MTBT
Bài 3: Lập quy trình bấm phím tính giá trị liên phân số sau:
1
3+
1
7+
1
M=
15 +
1
1+
292
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết dưới dạng phân số:
20
2
2003
1
1
3
2+
5+
2+
1
1
5
a) A =
b) B =
c)
3+

6+
4+
1
1
7
4+
7+
6+
5
8
8
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b biết:
329
1
=
1
1051 3 +
1
5+
1
a+
b
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:
5
3+
1
7+
4
2+
1

3+
5
2+
1
a) A =
b) B =
3+
4
2+
1
3+
5
2+
4
3
Bài 7: Tính và lập quy trình bấm phím của liên phân số sau:
1
1+
1
1+
1
2+
1
1+
M=
1
2+
2
1+
1

2+
1
Bài 8: Tính các tổng sau và cho kết quả dưới dạng phân số:
1
1
1
1
+
+
1
1
7
1
5+
2+
9+
7+
1
1
6
1
a) M =
b) N =
4+
3+
8+
5+
1
1
3

1
3+
4+
5+
3+
2
5
4
2

Quang HiÖu – THCS Hång H ng