tài liệu môn toán giải tích lớp 12 chương 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.93 KB, 10 trang )
Số phức Trần Só Tùng
1. Khái niệm số phức
• C
•dạng đại số
z a bi= +
a, b
R∈
, ab ii
2
= –1)
•z ⇔z !b = 0
z ⇔z !a = 0
!"
•#$
%
& & % %
%
a a
a bi a b i a b a b R
b b
=
+ = + ⇔ ∈
=
2. Biểu diễn hình họcz = a + bia, b
R∈
$'()$'*$$'(+M(a; b),
$
- u a b=
r
. +/0,+
3. Cộng và trừ số phức
•
( ) ( ) ( ) ( )
& & & &a bi a b i a a b b i+ + + = + + +
•
( ) ( ) ( ) ( )
& & & &a bi a b i a a b b i+ − + = − + −
•$z = a + bi–z = –a – bi
•
u
r
$'()$'*z
%u
r
$'()$'*z'1
%u u+
r r
$'()$'*z + z’
%u u−
r r
$'()$'*z – z’.
4. Nhân hai số phức
•
( ) ( ) ( ) ( )
% % 2 &3 & & &a bi a b i aa bb ab ba i+ + = + +
•
k a bi ka kbi k R+ = + ∈
5. Số phức liên hợpz = a + bi
z a bi= −
•
4 4
5 5
- % %- " % " %-
z z
z z z z z z z z z z
z z
= ± = ± = =
÷
-
5 5
"z z a b= +
•z⇔
z z=
- z⇔
z z= −
6. Môđun của số phứcz = a + bi
•
5 5
z a b zz OM= + = =
uuuur
•
! ! !z z C z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =
•
" % " %z z z z=
•
%
%
z z
z
z
=
•
% % %z z z z z z− ≤ ± ≤ +
7. Chia hai số phức
•
4
5
4
z z
z
−
=
z
≠
0) •
4
5
% %" %"
%
"
z z z z z
z z
z z z
z
−
= = =
•
%
%
z
w z wz
z
= ⇔ =
Trang 102
CHƯƠNG IV
SỐ PHỨC
CHƯƠNG IV
SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
Số phức Trần Só Tùng
8. Căn bậc hai của số phức
•
z x yi= +
6$
w a bi= +
⇔
5
z w=
⇔
5 5
5
x y a
xy b
− =
=
•w = 0 46$z = 0
•w
!≠
$6$$
•#$6$a > 0
a±
•#$6$a < 0
"a i± −
9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) 789.7
!≠
"
5
:B AC∆ = −
•
!∆ ≠
;$ $'+<$'
45
5
B
z
A
− ± δ
=
δ
46$∆
•
!∆ =
;4 $'+='
4 5
5
B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu z
0
∈
C là một nghiệm của (*) thì
!
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức
•
$ z r i= ϕ+ ϕ
(r > 0) ) $z = a + bi (z
≠
0)
5 5
$
r a b
a
r
b
r
= +
⇔ ϕ =
ϕ =
•
ϕ
+ +'z
Ox OMϕ =
•
4 $ z z i R= ⇔ = + ∈
ϕ ϕ ϕ
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
9
$ % % % $ %z r i z r i= ϕ+ ϕ = ϕ + ϕ
•
[ ]
" % %" % $ %z z rr i= ϕ+ϕ + ϕ+ϕ
•
[ ]
% $ %
% %
z r
i
z r
= ϕ− ϕ + ϕ−ϕ
12. Công thức Moa–vrơ
•
[ ]
$ $
n
n
r i r n i nϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
;
n N∈
•
( )
$ $
n
i n i nϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
•
2 $ z r i= +
ϕ ϕ
.>!$6$
$
5 5
$ $
5 5 5 5
r i
và r i r i
ϕ ϕ
+
÷
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + = + π + + π
÷ ÷ ÷
• Mở rộng:
2 $ z r i= +
ϕ ϕ
.>!n6n
5 5
$ !4""" 4
n
k k
r i k n
n n
+ +
+ = −
÷
ϕ π ϕ π
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Trang 103
Trần Só Tùng Số phức
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.
Bài 1. 1+
i i i: 3 5 ? 3@ + + +
4
5 5
?
i i
− + −
÷
( )
5 @
5 ?
? :
i i
− − −
÷
)
4 ? 4
? 5
? 5 5
i i i
− + − + −
÷ ÷
'
? 4 @ ?
: @ : @
i i
+ − − +
÷ ÷
A
i i5 ? ? − +
i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
i21
3
+
$
i
i
−
+
1
1
=
mi
m
aia
aia
−
+
+
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
4
5
i
i
+
−
ai
bia +
B
5 ?
: @
i
i
−
+
Bài 2. $''
i i
5 5
4 43 + −
i i
? ?
5 ? + − −
i
5
? : +
)
?
4
?
5
i
−
÷
'
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
A
i
C
5 −
3 3
( 1 ) (2 )i i− + −
4!!
4 i−
$
@
? ? i+
Bài 3. 9
z x yi= +
"1+
5
5 :z z i− +
z i
iz 4
+
−
Bài 4. D<E<$a, b, c
∈
R
5
4a +
5
5 ?a +
: 5
: Fa b+
)
5 5
? @a b+
'
:
4Ca +
A
?
5Ga −
?
Ha +
: 5
4a a+ +
Bài 5. 1+6$
4 : ?i− +
: C @i+
4 5 Ci− −
)
@ 45i
− +
'
: @
? 5
i− −
A
G 5:i
−
:! :5i
− +
i44 : ?"+
$
4 5
: 5
i+
=
@ 45i
− +
H Ci
+
+
?? @Ci
−
VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.
Bài 1. I$$ .1(ẩn z)
0
2
=+ zz
0
2
2
=+ zz
izz 422 −=+
)
0
2
=− zz
'
2 1 8z z i− = − −
A
i z i: @ 5− = +
Trang 104
Số phức Trần Só Tùng
1
4
=
−
+
iz
iz
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
$
2 3 1 12z z i− = −
=
i z i i
5
? 5 ?− + =
[ ]
i z i iz
i
4
5 ? !
5
− + + + =
÷
+
4 4
? ?
5 5
z i i
− = +
÷
? @
5 :
i
i
z
+
= −
z i z z
5
? 5 @ !+ − + =
B
z z z
5 5
F 4 !+ − + =
.
? 5
5 ? @ ? ? !z z z i− + + − =
Bài 2. I$$ .1(ẩn x)
01.3
2
=+− xx
02.32.23
2
=+− xx
x i x i
5
? : ? !− − + − =
)
5
? " 5 : !i x x i− − + =
'
2
3 2 0x x− + =
A
2
. 2 . 4 0+ − =i x i x
3
3 24 0x − =
4
2 16 0x + =
$
5
( 2) 1 0x + + =
=
5
G !x + =
x i x i
5
54 : 5 !+ + + + =
+
x i x i
5
55 4H : !− − + + =
5
: : !ix x i+ + − =
x i x
5
5 ? !+ − =
Bài 3. 1+$$'( E
5 ? 4 ?i và i+ − +
5 : :i và i− +
Bài 4. 1+ .1$$'α+ $'+
? :i
= +
α
G ?iα = −
5 @i
= −
α
)
5 ?iα = − −
'
? 5iα = −
A
i= −
α
5 ? i i= + −
α
@4 H! :@ ?H
5 ? :i i i i= + + +
α
$
@
5
i
i
+
=
−
α
Bài 5. 1++m'(+*$ .1<,$ $'+z
1
, z
2
+J$'
=$'JK.
5 5 5
4 5 4 5
4 ! 4z mz m đk z z z z− + + = + = +
5 ? ?
4 5
? @ ! 4Hz mz i đk z z− + = + =
5 5 5
4 5
? ! Hx mx i đk z z+ + = + =
Bài 6. 9
4 5
z z
$ $'+ .1
( )
i z i z i
5
4 5 ? 5 4 !+ − + + − =
"E $
.$'(
5 5
4 5
A z z= +
5 5
4 5 4 5
B z z z z= +
4 5
5 4
z z
C
z z
= +
Bài 7. I$$' .1
−=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
3 5
1 2
2 4
1 2
0
.( ) 1
z z
z z
+ =
=
)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z
+ + =
+ + =
=
'
12 5
8 3
4
1
8
z
z i
z
z
−
=
−
−
=
−
A
1
1
3
1
z
z i
z i
z i
−
=
−
−
=
+
5 5
4 5
4 5
@ 5
:
z z i
z z i
+ = +
+ = −
5
4
z i z
z i z
− =
− = −
$
5 5
4 5 4 5
4 5
: !
5
z z z z
z z i
+ + =
+ =
Trang 105
Trần Só Tùng Số phức
Bài 8. I$$' .1
5 4 5
?
x y i
x y i
+ = −
+ = −
5 5
@
H H
x y i
x y i
+ = −
+ = −
:
G :
x y
xy i
+ =
= +
)
5 5
4 4 4 4
5 5
4 5
i
x y
x y i
+ = −
+ = −
'
5 5
C
4 4 5
@
x y
x y
+ = −
+ =
A
? 5
4 4 4G 4
5C 5C
x y i
i
x y
+ = +
+ = +
5 5
@
4 5
x y i
x y i
+ = −
+ = +
? ?
4
5 ?
x y
x y i
+ =
+ = − −
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.
Bài 1. L$'(+M. +NO $'()$'*z+J
+*$$'=$'
? :z z+ + =
4 5z z i− + − =
5 5z z i z i− + = −
)
2 . 1 2 3− = +i z z
'
2 2 2 1i z z− = −
A
? 4z + =
5 ?z i z i+ = − −
?
4
z i
z i
−
=
+
$
4 5z i− + =
=
5 z i z+ = −
1 1z + <
+
1 2z i< − <
Bài 2. L$'(+M. +NO $'()$'*z+J
+*$$'=$'
5z i
+
5z i
− +
" Fz z
=
VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.
Bài 1. 1++ +'+*$
i.322 +−
:3:i
4 ?"i−
)
4
sin.
4
cos
ππ
i−
'
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
A
)1)(3.1( ii +−
Bài 2. $''E
( ) ( )
? 5! $5! 5@ $5@
o o o o
i i+ +
@ "$ "? "$
C C : :
i i
π π π π
+ +
÷ ÷
( ) ( )
3 cos120 sin120 cos 45 sin 45+ +
o o o o
i i
)
5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
+ +
÷
÷
π π π π
i i
'
( ) ( )
2 cos18 sin18 cos 72 sin 72+ +
o o o o
i i
A
cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i
+
+
o o
o o
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin15 )
i
i
+
+
o o
o o
Trang 106
Số phức Trần Só Tùng
$
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
ππ
ππ
i
i
+
+
=
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
+
÷
+
÷
π π
π π
i
i
Bài 3. P$')$) $
31 i−
4 i
+
)1)(31( ii +−
)
)3.(.2 ii −
'
i
i
+
−
1
31
A
i22
1
+
ϕϕ
cos.sin i+
2 2i+
$
1 3i+
=
3 i−
3 0i
+
+
@
H
i
π
+
Bài 4. P$')$) $
cos45 sin 45
o o
i+
2 cos sin
6 6
+
÷
π π
i
( )
3 cos120 sin120+
o o
i
)
C
5 i+
'
?
4 4 5
i
i i
+
+ −
A
4
i
4
5 4
i
i
+
+
( )
C!
4 ?i− +
$
:!
G
4 ?
5 5 "
4
i
i
i
+
−
÷
−
=
4 ? ?
$
: :
5
i
+
÷
π π
4!!
4
$
4 : :
i
i
i
+
+
÷
÷
−
π π
+
( )
4G
4
? i−
Bài 5. E
( )
@
45 $45
o o
i+
( )
4C
4 i+
6
)3( i−
)
( )
G
! !
5 ?! $?!i
+
'
5
(cos15 sin15 )
o o
i+
A
5!!H 5!!H
4 4 i i+ + −
21
321
335
−
+
i
i
12
2
3
2
1
+ i
$
2008
1
+
i
i
=
5 7
(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i
π π
− +
5!!H
5!!H
4 4
4z biết z
z
z
+ + =
Bài 6. 9 +$
@ ?
$@ 4C$ 5!$ @$t t t t= − +
@ ?
@ 4C 5! @t t t t= − +
5 ?
$? ? $t t t= −
)
?
? : ?t t t= −
Bài 1. $''E
Trang 107
II. ƠN TẬP SỐ PHỨC
II. ƠN TẬP SỐ PHỨC
Trần Só Tùng Số phức
5 ? 5 @ : i i i− − + −
C C
4 ? 4 G
5 5
i i
− + −
+
÷ ÷
4C H
4 4
4 4
i i
i i
+ −
+
÷ ÷
− +
)
? G @ H
5 ? 5 ?
i i
i i
+ −
+
+ −
'
5 : @ 5 ? : C i i i i− + + + − −
A
5 ? 5!!F
4 """i i i i+ + + + +
5!!! 4FFF 5!4 H5 :G
i i i i i+ + + +
5
4 """ 4
n
i i i n+ + + + ≥
$
5 ? 5!!!
" " """i i i i
=
@ G 4? 4!! F:
i i i i i
− − −
− + − + + −
Bài 2. 9
4 5 ?
4 5 5 ? 4z i z i z i= + = − + = −
"E
4 5 ?
z z z+ +
4 5 5 ? ? 4
z z z z z z+ +
4 5 ?
z z z
)
5 5 5
4 5 ?
z z z+ +
'
4 5 ?
5 ? 4
z z z
z z z
+ +
A
5 5
4 5
5 5
5 ?
z z
z z
+
+
Bài 3. Q $'(
: ? 5
4 5 ? 4 ? 5 ?A z iz i z z i với z i= + − + + + + = +
( )
B z z z z z với z i
5 ? 5
4
5 5 ?
5
= − + − + = −
Bài 4. 1+x, y
4 5 4 5 4i x y i i− + + = +
? ?
? ?
x y
i
i i
− −
+ =
+ −
5 5 5 5
4
: ? ? 5 : ? 5
5
i x i xy y x xy y i− + + = − + −
Bài 5. 1+6$
H Ci+
? :i+
4 i+
)
G 5:i−
'
5
4
4
i
i
+
÷
−
A
5
4 ?
?
i
i
−
÷
÷
−
4 5
5 5
i−
i, –i
$
?
4 ?
i
i
−
+
=
4 4
5 5
i+
( )
5 4 ?i− +
+
4 4
4 4i i
+
+ −
Bài 6. 1+6
i
−
35G
5 5i+
)
4H Ci+
Bài 7. 1+6
5 45i−
? i+
5i
−
)
G 5:i
− +
Bài 8. I$$ .1
?
45@ !z − =
:
4C !z + =
?
C: !z i+ =
)
?
5G !z i− =
'
G : ?
5 5 !z iz iz− − − =
A
C ?
4 !z iz i+ + − =
4! @
5 5 !z i z i+ − + − =
Bài 9. I$
4 5
-u u
$6$
4
? :z i= +
4 5
-v v
$6$
5
? :z i= −
"E
4 5
u u+
4 5
v v+ +
R
Bài 10. I$$ .1.'<
5
@ !z + =
5
5 5 !z z+ + =
5
: 4! !z z+ + =
)
5
@ F !z z− + =
'
5
5 ? 4 !z z− + − =
A
5
? 5 ? !z z− + =
!z z z z+ − =
5
5 !z z+ + =
$
5
5z z= +
Trang 108
Soỏ phửực Tran Sú Tuứng
=
5 ? 5 ?z z i
+ = +
( ) ( )
5
5 S5 5 ? !z i z i+ + =
+
?
z z=
5
5
: H Hz z+ =
5
4 5 4 !iz i z+ + + =
5
4 5 44 !i z i+ + + =
Baứi 11. I$$ .1.'<
5
: :
@ C !
z i z i
z i z i
+ +
+ =
ữ
( ) ( )
( )
5
@ ? ? !z i z z z+ + + =
( ) ( )
5 5
5 C 5 4C !z z z z+ + =
)
( ) ( )
? 5
4 ? ? !z i z i z i + + + =
'
( )
( )
5
2 5 5 !z i z z+ + =
A
5
5 5 4 !z iz i + =
z i z i
5
@ 4: 545 @ ! + =
5
H! :!FF 4!! !z z i + =
$
z i z i
5
? C ? 4? !+ + + =
=
z i z i
5
$ $ ! + + =
Baứi 12. I$$ .1.'<
x i x i
5
? : @ 4 ! + + =
x i x i
5
4 5 !+ + =
5
? 5 !x x+ + =
)
5
4 !x x+ + =
'
?
4 !x =
Baứi 13. I$$ .1$' + $'+
? 5
5 5 !z iz iz =
z i z i z i
? 5
? : : : : !+ + + =
Baứi 14. 1+m'( .1
( )
( )
5 5
5 5 !z i z mz m m+ + =
9K 4 $'+ 9K 4 $'+
9 $'+
Baứi 15. 1+ m '( .1
? 5
? ? !z i z z m i+ + + =
E+ $'+
Baứi 16. 1+z
5 z z i +
"
Baứi 17. I$$ .1.
z i z i
: 5
H4 C? 4C ! + =
z i z i
: 5
5:4 ?!H 4:: ! + =
: 5
C4 @ C !z i z i+ + + + =
Baứi 18. 9
4 5
z z
$ $'+ .1
( )
z i z i
5
4 5 5 ? ! + + =
"E $.
$'(
5 5
4 5
z z+
5 5
4 5 4 5
z z z z+
? ?
4 5
z z+
)
4 5
5 4 4 5
4 5 4 5
z z
z z z z
+ + +
ữ ữ
ữ ữ
'
? ?
5 4 4 5
z z z z+
A
4 5
5 4
z z
z z
+
Baứi 19. 9
4 5
z z
$ $'+ .1
5
4 !x x + =
"E $.$'(
5!!! 5!!!
4 5
x x+
4FFF 4FFF
4 5
x x+
4 5
n n
x x n N+
Baứi 20. 1+$'(+. +NO $'()$'*+J'
?
z
z i
=
5 5
4z z+ =
4
z
z
=
Baứi 21. #J,E(
5 ? 4
4 """
n
S z z z z
= + + + +
$'.
5 5
$z i
n n
= +
"
Baứi 22. P$')$) $
Trang 109
Tran Sú Tuứng Soỏ phửực
: ? 5
4i i i i+ + + +
4 5 i i +
5
4
i
i
+
)
4 $ !
5
i + < <
'
? $
C C
i
+
ữ
A
5
i+ < <
$ 4 !
5
i+ < <
Baứi 23. 1++<+ +'
( )
( )
H
C
C H
5 ? 5 4
4
5 ? 5
i i
i
i
+ +
+
( ) ( )
:
4! :
4 4
? 5 ? 5
i
i i
+
+
+
( ) ( )
4 ? 4 ?
n n
i i+ +
)
$
H H
i +
'
$
: :
i
A
5 5 ?i +
4 $ !
5
i + < <
4 $
!
4 $ 5
i
i
+ +
< <
+
$
: ?i
Baứi 24. 1++<+ +'
( )
( )
H
C
C H
5 ? 5 4
4
5 ? 5
i i
i
i
+ +
+
( ) ( )
:
4! :
4 4
? 5 ? 5
i
i i
+
+
+
( ) ( )
4 ? 4 ?
n n
i i+ +
Baứi 25. 9 +$$'( $.
( ) ( )
G G
5 @ 5 @i i+ +
4F G 5! @
F G C
n n
i i
i i
+ +
+
ữ ữ
+
C C
4 ? 4 ?
5 5
i i
+
+
ữ ữ
)
@ @
4 ? 4 ?
5 5
i i
+
+
ữ ữ
'
C C
? ?
5 5
i i
+
+
ữ ữ
Baứi 26. . z+J$'=$'
?
5 ?
5
z i + =
"1+z+<
"
Baứi 27. L'$'(+789. +NO '$'()$'*
: 5 C
-4 4 5 -
4 ?
i i
i i
i i
+
+
9 +$789+ $< <"
1+$'()$'*$$'(+T $789T1< "
Baứi 28. I$$ .1$' + $'+
? 5
5 5 @ : 4! !z i z i z i+ + =
? 5
4 4 !z i z i z i+ + + =
? 5
: @ H 5! :! !z i z i z i+ + =
Baứi 29. 9
? 5
? C 4! 4H ?!P z z i z i z i= + + +
"
E
? P i
I$$ .1
!P z =
"
Baứi 30. I$$ .1
5
4
5
G
z
z
z
+
=
ữ
$'
? :z i
= +
+ $'+ .1"
Baứi 31. I$$ .1
: ? 5
5 5 4 !z z z z+ + + =
: ? 5
5 5 4 !z z z z + =
Trang 110
Số phức Trần Só Tùng
( ) ( ) ( )
: ? 5
4 5 5 5 4 5 4 !z z z z− + + + − + + =
)
: ? 5
: C : 4@ !z z z z− + − − =
'
C @ : ? 5
4? 4: 4? 4 !z z z z z z+ − − − + + =
Bài 32. I$$ .1
5 5 5 5
? C 5 ? C ? !z z z z z z+ + + + + − =
?
H
z i
z i
+
=
÷
−
5 : 5 5 5 :
4 C 4 @ !z z z z z z− + − − + + =
)
? 5
4 !
z i z i z i
z i z i z i
− − −
+ + + =
÷ ÷ ÷
+ + +
Bài 33. 9 +$. '
4z ≤
1
5
4
5
z i
iz
−
≤
+
"
Bài 34. 9
4 5 ?
z z z
"9 +$
5 5 5 5 5 5 5
4 5 5 ? ? 4 4 5 ? 4 5 ?
z z z z z z z z z z z z+ + + + + = + + + + +
(
)
(
)
5 5 5 5
4 5 4 5 4 5
4 4 4z z z z z z+ + − = + +
(
)
(
)
5 5 5 5
4 5 4 5 4 5
4 4 4z z z z z z− − − = − −
)U'
4 4
z z c= =
1
5 5
5
4 5 4 5
:z z z z c+ + − =
"
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
Trang 111
