tài liệu môn toán giải tích lớp12 chương 1

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y
′
. Tìm các điểm mà tại đó y
′
= 0 hoặc y
′
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
′
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch
biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
2 4 5y x x= − + +
b)
2
5
4 4
x

y x= + −
c)
2
4 3y x x= − +

d)
3 2
2 2y x x x= − + −
e)
2
(4 )( 1)y x x= − −
f)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
g)
4 2
1
2 1
4
y x x= − −
h)
4 2
2 3y x x= − − +
i)
4 2
1 1
2
10 10
y x x= + −
k)

2 1
5
x
y
x
−
=
+
l)
1
2
x
y
x
−
=
−
m)
1
1
1
y
x
= −
−
n)
2
2 26
2
x x

y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
p)
2
4 15 9
3
x x
y
x
− +
=

Trang 1
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I. TINH ĐƠN ĐIỆU CẢU HÀM SỐ
I. TINH ĐƠN ĐIỆU CẢU HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
4 3 2
6 8 3 1y x x x= − + − −
b)
2
2
1
4
x
y
x
−
=
−
c)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +

d)
2
2 1x
y
x
−
=
e)
2
3 2
x
y
x x
=
− +
f)
3 2 2y x x= + + −

g)
2 1 3y x x= − − −
h)
2
2y x x= −
i)
2
2y x x= −
k)
sin2
2 2
y x x

 
= − < <
 ÷
 
π π
l)
sin2
2 2
y x x x
 
= − − < <
 ÷
 
π π
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số
( , )y f x m=
, m là tham số, có tập xác đònh D.
•
Hàm số f đồng biến trên D
⇔
y
′

≥
0,
∀
x
∈

D.
•
Hàm số f nghòch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀
x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•

0
0
' 0,
0
0

a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>



≤


∆
•

0
0
' 0,
0
0
a b

c
y x R
a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



≤


∆
3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +
:
•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
•

Nếu
∆
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
−
)
•
Nếu
∆
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +
với số 0:
•

1 2
0
0 0

0
x x P
S

>

< < ⇔ >


<

∆
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


>

∆
•

1 2
0 0x x P< < ⇔ <
5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng
d thì ta thực hiện các bước sau:
•
Tính y
′
.
•
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
0
0
a

≠

>

∆
(1)
Trang 2
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số

•
Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x d+ − =
(2)
•
Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)
3
5 13y x x= + +
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x= − + +
c)
2 1
2
x
y

x
−
=
+

d)
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
3 sin(3 1)y x x= − +
f)
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
(hoặc tập xác đònh) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x= − + −
b)

cosy x x= −
c)
sin cos 2 2y x x x= − −
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác
đònh) của nó:
a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
c)
x m
y
x m
+
=
−
d)
4mx
y
x m
+
=
+
e)
2

2 1x mx
y
x m
− −
=
−
f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
Bài 4. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3y x x mx m= + + +
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
3 2

1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)
mx
y m
x m
4
( 2)
+
= ≠ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
d)
x m

y
x m
+
=
−
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
nghòch biến trên khoảng
1
;

2
 
− +∞
 ÷
 
.
Trang 3
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.
•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
•
Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h

′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x với x− < < >
b)
2 1
sin tan , 0
3 3 2
x x x với x+ > < <
π
c)
tan , 0
2
x x với x< < <
π
d)
sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < <
π
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan

, 0
tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
b)
sin sin , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
c)
tan tan , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
sin , 0
2
x
x với x> < <
π
π
b)
3 3 5
sin , 0
6 6 120

x x x
x x x với x− < < − + >
c)
x x x với xsin cos 1, 0
2
π
+ > < <
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 , 0
x
e x với x> + >
b)
ln(1 ) , 0x x với x+ < >
c)
1
ln(1 ) ln , 0
1
x x với x
x
+ − > >
+
d)
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan55 1,4>

b)
0
1 7
sin20
3 20
< <
c)
2 3
log 3 log 4>
HD: a)
0 0 0
tan55 tan(45 10 )= +
. Xét hàm số
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
.
b) Xét hàm số
3
( ) 3 4f x x x= −
.
f(x) đồng biến trong khoảng
1 1
;

2 2
 
−
 ÷
 
và
0
1 7
,sin20 ,
3 20
∈

1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
.
c) Xét hàm số
( ) log ( 1)
x
f x x= +
với x > 1.
Trang 4
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
•

Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.
•
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một hàm số đồng
biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao nhau tại một điểm duy nhất
có hoành độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
5 5x x+ − =
b)
5 3
1 3 4 0x x x+ − − + =
c)
5 7 16 14x x x x+ − + + + + =
d)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)
5 5 5
1 2 3 0x x x+ + + + + =
b)
ln( 4) 5x x− = −
c)
3 4 5
x x x
+ =
d)
2 3 5 38
x x x
+ + =
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − <
b)
2
2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z

z x x x

+ = + +


+ = + +

+ = + +

b)
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x

= + + −


= + + −

= + + −

c)
3 2
3 2

3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z

= − +


= − +

= − +

d)
x y y x
x y
x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2
π
π π

− = −



+ =


− < <


e)
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
π

− = −


+ =


>


f)
x y y x
x y
x y
sin2 2 sin2 2

2 3
0 ,
2
π
π

− = −


+ =


< <


g)
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
π
π

− = −

+ =



< <

h)
HD: a, b) Xét hàm số
3 2
( )f t t t t= + +
c) Xét hàm số
2
( ) 6 12 8f t t t= − +
d) Xét hàm số f(t) = tant + t
Trang 5
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x

0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0

và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f′ (x
0
) = 0 và
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x

0
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
•
Tìm f
′
(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′

(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f
′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Trang 6
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:

a)
2 3
3 2y x x= −
b)
3 2
2 2 1y x x x= − + −
c)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
d)
4
2
3
2
x
y x= − +
e)
4 2
4 5y x x= − +
f)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
g)

2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+
h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
i)
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:

a)
3 4
( 2) ( 1)y x x= − +
b)
2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
+ −
=
+ −
c)
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
d)
2
4y x x= −
e)
2

2 5y x x= − +
f)
2
2y x x x= + −
Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3
2
1y x= +
b)
3
2
2 1
x
y
x
=
+
c)
4
x x
y e e
−
= +
d)
2
5 5 2lny x x x
= − + +
e)
2

4siny x x= −
f)
2
ln(1 )y x x= − +
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực trò
⇔
Phương trình y
′

= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )y x ax bx cx d= + + +
+
0 0
( )y x Ax B= +
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
′
.
•
Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
=
( )
( )

P x
Q x
(aa
′≠
0) có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai
nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x

Q x
=
hoặc
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
•
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
•
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.
Trang 7
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
c)
2 2 4

( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=
−
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
d)

4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
1
.
2
x =
e)
2
2 2x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1

x x m
y
x
− +
=
−
có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
b)
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
c)
2
5
3
x mx
y
x
− + +
=
−
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y

x
− + − + −
=
−
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3
b)
4 2
y ax bx c= + +
có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x =
3
.
c)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.

d)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao

cho:
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
.
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
8x x− ≥
.
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +

đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
Trang 8
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1 2
2 1x x+ =
.
Bài 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −

=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
c)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả
4M m− =
.
d)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có
12
CĐ CT

y y− <
.
Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trò là A, B và
2
2
900
729
m
AB =
.
b)
4 2
4y x mx x m= − + +
có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ
độ O làm trọng tâm.
c)
2
2x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)

2
1
x mx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.
f)
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
−
có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất.
c)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d):
2 3 1 0x y− − =

.
Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ
Trang 9
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y

x m
− + + +
=
−
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất
và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
.
•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.
•
Khi đó, giả sử (x

1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trò thì:
1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B

= = +

= = +

⇒
Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức

2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
.
•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm cực trò thì
0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
=
.
•
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trò ấy là:

'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= =
.
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a)
3 2
2 1y x x x= − − +
b)
2 3
3 2y x x= −
c)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
d)
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
e
2

1
2
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò của đồ thò hàm số:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−

c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
d)
2
2
1
x mx m

y
x m
+ − +
=
− +
Bài 3. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm
trên đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc
với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
Trang 10
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
thẳng (∆):
1 5
2 2

y x= −
.
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= =
.
b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= =
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
•
Tính f
′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
•
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
{ }
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b

M f x f a f b f x f x f x= =

{ }
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x= + +
b)
3 4
4 3y x x= −
c)
4 2
2 2y x x= + −
d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−

=
− +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g)
2
1
( 0)y x x
x
= + >
h)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +

i)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
trên [–1; 5] b)
3
3y x x= −
trên [–2; 3]
Trang 11
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
c)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] d)

4 2
2 5y x x= − +
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
+ +

=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ −
trên [0; 1]
i)
2
100y x= −
trên [–6; 8] k)
2 4y x x= + + −
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
b)

2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
c)
2
2sin cos 1y x x= − +
d)
cos2 2sin 1y x x= − −
e)
3 3
sin cosy x x= +
f)
2
4 2
1
1
x
y
x x
−
=
− +
g)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x= − + + − +
h)

2 2
4 4 3y x x x x= − + + − +
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
•
Chứng minh một bất đẳng thức.
•
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở
thành đẳng thức.
Bài 1. Giả sử
{ }
( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
. Tìm giá trò lớn nhất của biểu
thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.
HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷

+ + +
 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥
 ÷
+ + +
 
⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D

P =
.
Bài 2. Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
> > + =
 
 
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
4 1
4
S
x y
= +
.
HD:
( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
Bài 3. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + <
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y

= + + + +
− − +
.
Trang 12
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
HD:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + + −
− − +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 

− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +
⇒
P
≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Bài 4. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2

2
3 4 2
4
x y
P
x
y
+ +
= +
.
HD:
2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x

x x
+ ≥ =
(2)
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
(3)
⇒
P
≥

9
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y
0
là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
0

( ) (1)
(2)
f x y
x D

=

∈

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện
ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m
≤
y
0

≤
M (3)
Vì y
0
là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
Bài 1. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x

y
x x
+ +
=
− +
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
c)
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=
− +
d)
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y

x x
+ +
=
− +
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
( )f x
x D

=

∈

α
có nghiệm
⇔
m
≤

α

≤
M.
Trang 13
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng

2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D

≥

∈

α
có nghiệm
⇔
M
≥

α
.
3) Hệ bất phương trình
( )f x
x D

≤

∈

β
có nghiệm
⇔
m
≤

β
.
4) Bất phương trình f(x)
≥

α
đúng với mọi x
⇔
m
≥

α
.
5) Bất phương trình f(x)
≤

β
đúng với mọi x
⇔
M
≤

β
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
4 4
2 4 2x x− + − =
b)
3 5 6 2

x x
x+ = +
c)
5 5
1
(1 )
16
x x+ − =
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 1x x m+ + =
b)
2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =
c)
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
d)
7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:
a)
2
2 1x x m+ + >
b)
2
2 9m x x m+ < +
c)
4
4 0mx x m− + ≥
Bài 4. Cho bất phương trình:
3 2

2 1 0x x x m− + − + <
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
3 1mx x m− − ≤ +
có nghiệm. b)
( 2) 1m x m x+ − ≥ +
có nghiệm x ∈ [0; 2].
c)
2 2
( 1) 1m x x x x− + ≤ + +
nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1].
Trang 14
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đònh nghóa:
Điểm
( )
0 0
; ( )U x f x
đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của
đồ thò tại điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới

đồ thò
2. Tính chất:
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x
0
, f′′(x
0
) = 0 và
f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
( )
0 0
; ( )U x f x
là một điểm uốn của đồ thò hàm số.
• Đồ thò của hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
(a ≠ 0) luôn có một điểm uốn và đó
là tâm đối xứng của đồ thò.
Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a)
3 2
6 3 2y x x x= − + +
b)
3 2
3 9 9y x x x= − − +
c)
4 2
6 3y x x= − +
d)

4
2
2 3
4
x
y x= − +
e)
4 3 2
12 48 10y x x x= − + +
f)
5 4
3 5 3 2y x x x= − + −
Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
; I(1; 2). b)
3
2
8
( 1) ( 3)
3 3
x
y m x m x= − + − + + −
; I(1; 3)
c)
3 2
1y mx nx= + +
; I(1; 4) d)
3 2

2y x mx nx= − + −
;
2
; 3
3
I
 
−
 ÷
 
e)
3
2
3 2
x
y mx
m
= − + −
; I(1; 0) f)
3 2
3 4y mx mx= + +
; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
4 3
4
(4 3) 5 1
5 3
x

y x m x x= − + + + −
b)
2
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
+
Bài 4. Chứng minh đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
a)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
b)
2
1
1
x
y
x

+
=
+
c)
2
2
2 3
1
x x
y
x
−
=
+
d)
2
2 1
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x

=
+
f)
2
2
2 5
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
g)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x
−
=
− +
h)
2
2
3
1
x x

y
x
+
=
+
i)
3
2
4 5
x
y
x x
=
− +
Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
Trang 15
IV. ĐIỂM UỐN CỦA HÀM SỐ
IV. ĐIỂM UỐN CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
a)
4 3 2
2 6 2 1y x x x mx m= − − + + −
có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2
2
3 3
x
y x mx= − − + +

có điểm uốn ở trên đường thẳng
2y x= +
.
c)
4 2
1
4
y x mx n= − + +
có điểm uốn ở trên Ox.
1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng
0
x x=
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
+

→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
• Đường thẳng
0
y y=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y
→+∞

=
;
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
• Đường thẳng
, 0y ax b a= + ≠
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
;
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )

( )
P x
y f x
Q x
= =
là hàm số phân thức hữu tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thò có tiệm cận đứng
0
x x=
.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x

f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2 5
1
x
y
x
−
=
−
b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=
−
c)
2 3
2
x
y
x

+
=
−
d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+
e)
2
( 2)
1
x
y
x
−
=
−
f)
2
7 4 5
2 3
x x
y
x

+ +
=
−
Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
Trang 16
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
a)
2
4 5
x
y
x x
=
− +
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
2
4 5

1
x x
y
x
+ +
=
−
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
e)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
f)

4
3
4
1
x x
y
x
− +
=
−
Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4y x x= −
b)
2
4 2
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
4 3
y
x x

=
− +
d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3y x x= −
f)
2
3 2
2
x x
y
x
− +
=
−
Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2 1
2 1
x

x
y
+
=
−
b)
ln
2
x x
e e
y
−
−
=
c)
2
ln( 5 6)y x x= − +
Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
y
x m x m
2 2
3
4 2(2 3) 1
=
+ + + −
b)
2
2
2

3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)
2
3
2
x
y
x x m
+
=
+ + −
d)
x
y
x m x m
2 2
3
2( 2) 1
−
=
+ + + +
e)
x
y

x m x m
2 2
1
2( 1) 2
−
=
+ − + −
f)
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + −
Bài 6. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
b)
2
(2 1) 3
2

mx m x m
y
x
+ + + +
=
+
Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:
a)
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
b)
2
3 4
2
x x
y
x
− + −
=
+
c)
2

7
3
x x
y
x
+ −
=
−
Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
; S = 8 b)
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
+

; S = 8
c)
2
2 2(2 1) 4 5
1
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
; S = 16 d)
2
2 2
1
x mx
y
x
+ −
=
−
; S = 4
Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thò của các hàm
số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a)
2
1
1
x x
y

x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−
Trang 17
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
• Tìm tập xác đònh của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm
số.
• Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y′′.
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao
điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể
vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
:
• Tập xác đònh D = R.
• Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
• Các dạng đồ thò:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac > 0
Trang 18
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

y
x0
I
y
x0
I
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac < 0
3. Hàm số trùng phương
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
:
• Tập xác đònh D = R.
• Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Các dạng đồ thò:
4. Hàm số nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+

:
• Tập xác đònh D =
\
d
R
c
 
−
 
 
.
• Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c
= −
và một tiệm cận ngang là
a
y
c
=
. Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
• Các dạng đồ thò:
Trang 19
y
x
0
I
y

x
0
I
a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
⇔ ab > 0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
5. Hàm số hữu tỷ
2
( . ' 0, )
' '
ax bx c
y a a tử không chia hết cho mẫu
a x b
+ +
= ≠

+
:
• Tập xác đònh D =
'
\
'
b
R
a
 
−
 
 
.
• Đồ thò có một tiệm cận đứng là
'
'
b
x
a
= −
và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
• Các dạng đồ thò:
a.a′ > 0 a.a′ < 0
y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y′ = 0 vô nghiệm
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
3 2

3 9 1y x x x= − − +
b)
3 2
3 3 5y x x x= + + +
c)
3 2
3 2y x x= − + −
Trang 20
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y
0
x
y
0
x
y
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
d)
2
( 1) (4 )y x x= − −
e)
3
2
1

3 3
x
y x= − +
f)
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
4 2
2 1y x x= − −
b)
4 2
4 1y x x= − +
c)
4
2
5
3
2 2
x
y x= − +
d)
2 2
( 1) ( 1)y x x= − +
e)
4 2
2 2y x x= − + +
f)
4 2
2 4 8y x x= − + +

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x
+
=
+
b)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
c)
3
4
x
y
x
−
=
−
d)
1 2

1 2
x
y
x
−
=
+
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
f)
2
2 1
x
y
x
−
=
+
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
2
1
1

x x
y
x
+ +
=
+
b)
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
d)
1
1
1

y x
x
= − + +
−
e)
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
2
1
x x
y
x
−
=
+
Bài 5. Vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
3
3 2y x x= − +
b)
3 2
3 2y x x= − + −
c)

4 2
2 3y x x= − −
d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
2
2
1
x x
y
x
− +
=
−
f)
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=

+
Trang 21
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ Phương trình
3 2
0ax bx cx d+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
⇔ Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực đại, cực tiểu và
. 0
CĐ CT
y y <

.
Bài 3. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
2
3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x
y

= − + −




= +


b)
2
2 4
1
2 4
x
y
x

y x x

−
=

 −

= − + +

c)
3
4 3
2
y x x
y x

= −

= − +


d)
4 2
2
1
4 5
y x x
y x



= − +

= −


e)
3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x


= − + −

= − +


f)
2
1
3 1
x
y
x
y x


=


−

= − +

Bài 4. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
y m x
3
3 2
( 2)

= − −

= −

b)
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x
y m x

= + −




 

= + +
 ÷

 

c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


= − +


= −


Trang 22
VII. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT
HÀM SỐ
VII. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT
HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số

d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m

+

=

+

= +

e)
1
1
2
x
y
x
y x m

+

=


−

= − +

f)
2
6 3
2
x x
y
x
y x m

− +

=

+

= −

g)
1
3
1
3
y x
x
y mx



= − + +

−

= +

h)
2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m

− +

=

−

= − −

i)
y x x
y m x
3
2

2 1
( 1)


= − +

= −


Bài 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
2
( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
+ −
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x

− +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
+ +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
e)
2
( 2)

; 3
1
x
y y mx
x
−
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
f)
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 6. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
3 2
3 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
3 (1 2 ) 1y mx mx m x= + − − −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2

( 1)( 3)y x x mx m= − − + −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2
2 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + − + − = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2 2
2 3 ; 2 1y x x m x m y x= + − + = +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 7. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
4 2
2 1;y x x y m= − − =
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)y x m m x m= − + +
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
(2 3) 3y x m x m m= − − + −
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 8. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
3 1
; 2
4
x
y y x m

x
+
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn
AB ngắn nhất.
b)
4 1
;
2
x
y y x m
x
−
= = − +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn
AB ngắn nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
− +
= = + −
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính

AB theo m.
Bài 9. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
3 2
3 6 8y x mx mx= − + −
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp
Trang 23
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
số cộng.
b)
3 2
3 9 1; 4y x x x y x m= − − + = +
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm
của đoạn AC.
c)
4 2 2
(2 4)y x m x m= − + +
cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp
số cộng.
d)
3 2
( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= − + − − + −
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập
thành một cấp số nhân.
e)
3 2
3 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + +
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
• Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
Trang 24
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ
y
CT
x
A
c.
y
c.
x
A
c.
y = kx
c.
m
c.

(C)
c.
M
1
M
2
b
1
b
2
d
1
d
d
2
O
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
• Dựa vào các tung độ gốc m, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d

2
, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0
• d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.

• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
Chú ý:
•
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
α

≤
x
≤

β
thì ta chỉ vẽ đồ thò (C): y = f(x)
với
α

≤
x
≤

β
.
•
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò.
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:

a)
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= − + − + − =
b)
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= − + − − + + =
c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m= − + − − − − =
d)
3 3
3 1; 3 4 0y x x x x m= − + − − + + =
e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m= − + + − − + =
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m= − + − − + =
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
5 7
; ( 5) 3 7 0
3

x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
b)
2
2
2 4 2
; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x x
y x m x m
x
− +
= − + − + =
+
c)
2
2
1
; ( 1) 2 1 0
x
y m x x
x
+
= − + − =
d)
2

2
2 4
; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
2
; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
x
y m m
x
= + − − = ≤ ≤
−
α α α π
Trang 25
y
c.
x
0
d

3
d
1
y
0
c.
0
(C)
c.
M
1
M
2
d
2
m = –∞
m = +∞
m > 0
m = 0
m < 0
d
I
IV
(–)
(+)
M
x