SKKN Hình thành kỹ năng giải toán trên máy tính điện tử Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS đối với dạng toán dãy số

A- Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng
những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con ngời cần
phải tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu những kiến thức đó. Hơn nữa việc đổi mới phơng
pháp dạy học đòi hỏi ngời giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu sử dụng đồ dùng dạy
học để đáp ứng nhu cầu dạy học hiện nay. Ngời giáo viên cần phải khai thác và sử
dụng đồ dùng một cách triệt để và có hiệu quả cao nhất. Đối với môn toán học thì đồ
dùng dạy học không phải là nhiều, nhng để sử dụng thành thạo đợc thì thật là khó.
Máy tính điện tử là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc
giải toán. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán đợc nhanh hơn, tiết kiệm đợc
thời gian, nó giúp giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần
phát triển t duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử thì
việc giải gặp rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải đợc, hoặc không đủ thời gian
để giải.
Thi giải toán trên máy tính đã đợc tổ chức từ lâu, nhng đối với các trờng trong
huyện thì cuộc thi này mới đợc tổ chức hai năm gần đây, nó còn mới mẻ nên giáo viên
còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Chính vì vậy
mà nhiều giáo viên còn ngại khi đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi
giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và
khó tìm kiếm. Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích
tìm hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên trên máy tính điện tử.
Còn về phía giáo viên lại không đợc đào tạo cơ bản về nội dung này. Hầu hết giáo viên
tự tìm hiểu, tự nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử nên gặp rất nhiều khó
khăn trong việc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Chính
vì vậy tôi đã chọn kinh nghiệm "Hỡnh thnh k nng gii toỏn trờn mỏy tớnh in t
Casio fx - 500 MS hoc Casio fx - 570 MS i vi dng toỏn dóy s" để viết. Các
dạng bài tập áp dụng máy tính điện tử để giải thì rất nhiều, trong kinh nghiệm này tôi
chỉ chọn một mảng nhỏ đó là dạng toán về dãy số để trao đổi cùng các bạn đồng
1
nghiệp. Rất mong đợc các bạn đồng nghiệp trao đổi, đóng góp ý kiến để kinh nghiệm

này hoàn thiện hơn và đợc áp dụng rộng rãi hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn!
B - Nội dung chính
I - Một số kiến thức về máy tính điện tử
Để đọc và hiểu kinh nghiệm này đối với giáo
viên phải biết sử dụng tơng đối thành thạo máy tính
Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS. Giáo
viên có thể tìm hiểu chức năng của các phím trong
sách hớng dẫn đi kèm máy tính khi mua. Sau đây là
một số phím chức năng mà tôi sử dụng trong kinh
nghiệm này:
- Mỗi một phím có một số chức năng. Muốn
lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn
phím
SHIFT
rồi ấn phím đó. Muốn lấy chức năng
của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím
ALPHA

trớc khi ấn phím đó.
- Các phím nhớ:
A B C D E F X Y M
(chữ
màu đỏ)
- Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ
đã nêu ở trên ta ấn nh sau:
Ví dụ: Gán số 5 vào phím nhớ
B
:
Bấm

5 SHIFT STO
B
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số
2
Máy tính Casio fx - 570 MS
Máy tính Casio fx - 570 MS
nhớ cũ trong phím đó bị mất đi và số nhớ mới đợc thay thế.
Chẳng hạn ấn tiếp:
14 SHIFT STO
B
thì số nhớ cũ là 5 trong
B
bị đẩy ra, số
nhớ trong
B
lúc này là 14.
- Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím
ALPHA
Ví dụ:
34 SHIFT STO A
(nhớ số 34 vào phím
A
Bấm
24 SHIFT STO C
(nhớ số 24 vào phím
C
Bấm tiếp:
ALPHA A ALPHA C+ =
(Máy lấy 34 trong
A

cộng với 24 trong
C
đợc
kết quả là 58).
- Phím lặp lại một quy trình nào đó:

=
đối với máy tính Casio fx - 500 MS
SHIFT
COPY
đối với máy tính Casio fx - 570 MS.
- Ô nhớ tạm thời:
Ans
Ví dụ: Bấm 8
=
thì số 8 đợc gán vào trong ô nhớ
Ans
. Bấm tiếp: 5
6ì +
Ans
=

(kết quả là 38)
Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong
Ans
II - Một số dạng dãy số và ví dụ
1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u
1
=1; u

2
= 1; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 1, 2, 3 )
Ta có công thức tổng quát:

n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5


+
ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ


- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.
Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B+
Và lặp lại dãy phím:

ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
Bằng phím

=

Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
3
Khi bấm
1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
= 1 với u
1
= 1 đợc u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+

cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào

B
. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím

=
ta sẽ đợc u
6
= 8; u
7
=13; u
8
= 21
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B+
Và lặp lại dãy phím:

ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
Bằng phím
COPY =
Giải thích:

Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 đợc u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3

và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B
. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY =
ta sẽ đợc u
6

= 8;
u
7
=13; u
8
= 21
Quy trình 2: Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B+


ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích:
4
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm

1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 đợc u
3
=2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4

= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT

COPY
lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím
=
.
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi u
n
trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công
thức nghiệm:
( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X
( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X 5
ữ
ữ ữ
+

Bấm
CALC
máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các u
n
tơng ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ
cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím
CALC
chỉ cần thay X
bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các u tơng ứng.
2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với
u
1
= a; u
2
= b; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
với mọi n 2 a và b là hai số nào đó.
Quy trình 1:
Bấm b
SHIFT STO A
.

a SHIFT STO B+
và lặp lại dẫy phím

ALPHA A SHIFT STO A+
.

ALPHA B SHIFT STO B+
Bằng phím
COPY =
.
Giải thích
Bấm b
SHIFT STO A
nghĩa là đa u
2
= b vào
A
.
Bấm
a SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=b với u
1
=a đợc u
3
=a + b và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u

3
= a + b với u
2
= b đợc u
4
= u
3
+ u
2
=
a + 2b và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= a + 2b với u
3
= a + b
5
trong
B
đợc u
5
= u
4
+ u
3
= 2a + 3b và ghi vào

B
. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta
sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY =
ta sẽ đợc u
6
; u
7
; u
8

Quy trình 2: : Bấm b
SHIFT STO A

a SHIFT STO B+


ALPHA A SHIFT STO A+

ALPHA B SHIFT STO B+
SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích:
Khi bấm b
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 đợc u
3
=2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A+
cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3

+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B
.
Khi bấm
SHIFT

COPY
lấy lại quy trình và tính tiếp u
n

nhờ phím
=
.
Ví dụ 1:
Cho dãy số u
1
= 8; u
2
=13; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
( n = 2, 3, 4 ).
1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u
n+1
với mọi n 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u
13
; u
17
.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13
Sử dụng quy trình trên để tính u
n+1
với mọi n 2 nh sau:
13
SHIFT STO A

(gán u
2
= 13 vào
A
)

8 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
6
Để tính tiếp u
13
ta ấn tiếp liên tiếp phím
=
8 lần đợc số 2584 nghĩa là u
13
= 2584.
Sau khi tính đợc u
13
để tính tiếp u
17
ta ấn tiếp 4 phím
=
đợc số 17711 nghĩa là
u
17
=17711.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
13
SHIFT STO A
(gán u
2
= 13 vào
A
)

8 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 21 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 34 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 55 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím

=
ta đợc các u
n
tơng ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u
1
= 144; u
2

= 233; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n = 2, 3, 4 )
a) Lập một quy trình bấm phím để tính u
n+1
.
b) Tính u
12
; u
20
; u
25
, u
30
.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số:
3 6
2 4
1 2 3 5
u u
u u
u u u u
.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
233
SHIFT STO A

(gán u
2
= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5
= 987 vào
B
)
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím

=
ta đợc các u

n
tơng ứng.
Để tính u
12
ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím

=
đợc u
12
=28657
Để tính tiếp u
20
ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím

=
nữa đợc u
20
= 1346269
Để tính tiếp u
25
ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím

=
nữa đợc u
25
= 14930352
Để tính tiếp u
30
ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím

=
nữa đợc u
30
= 165580141.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233
SHIFT STO A
(gán u
2
= 233 vào
A
)

144 SHIFT STO B+
(gán u
3
= 377 vào
B
)

ALPHA A SHIFT STO A+
(gán u
4
= 610 vào
A
)

ALPHA B SHIFT STO B+
(gán u
5

= 987 vào
B
)
7

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Lặp lại phím
=
ta tính tiếp đợc u
6
= 1597; u
7
= ; 2584
Đến đây dễ dàng tính đợc các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:

3
2
1 2
6
4
3 5
u
u 233 377
1,61805; 1,61802
u 144 u 233

u
u 610 1597
1,61803; 1,61803
u 377 u 987
= =
= =
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u
1
=a; u
2
= b; u
n
= au
n
+ bu
n-1
.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:

b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì
Lặp lại dãy phím
a ALPHA A b SHIFT STO Aì + ì

a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì
Giải thích: Bấm
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì
đa b = u

2
vào ô nhớ
A
, tính u
3
= au
2
+ bu
1
và gán u
3
vào ô nhớ
B
.
Dãy phím
a ALPHA A b SHIFT STO Aì + ì
tính u
4
= au
3
+ bu
2
và gán u
3
vào ô
nhớ
A
, còn trong ô nhớ
B
là u

3
. thực hiện
a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì
ta có u
5
trên màn hình và trong ô nhớ
B
.
Tiếp tục vòng lặp lại đợc các số hạng của u
n+1
=au
n
+ bu
n-1
+ Quy trình 2:
b SHIFT STO A
a b a SHIFT STO Bì + ì

a ALPHA A b SHIFT STO Aì + ì

a ALPHA B b SHIFT STO Bì + ì

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Giải thích: Tơng tự nh quy trình 1 nhng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím
SHIFT

COPY
để lặp lại quy trình.
Ví dụ 1: Cho dãy u
1
= 2, u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n = 2, 3, .)
a) Tính u
3
, u
4
, u
5
, u
6
, u
7
.
8
b) Viết quy trình bấm phím để tính u
n
.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:

20 SHIFT STO A
2 20 2 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
3
= 80 vào
B
)

2 ALPHA A 20 SHIFT STO Aì + ì
(gán u
4
= 560 vào
A
)

2 ALPHA B 20 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
5
= 2720 vào
B
)
Lặp lại quy trình trên bằng phím
=
ta tính đợc u
6
= 16640, u
7
= 87680
Hớng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:

20 SHIFT STO A
2 20 2 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
3
= 80 vào
B
)

2 ALPHA A 20 SHIFT STO Aì + ì
(gán u
4
= 560 vào
A
)

2 ALPHA B 20 SHIFT STO Bì + ì
(gán u
5
= 2720 vào
B
)

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Nh vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn

liên tiếp phím
=
, còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì
phải ấn liên tiếp cặp phím
=
.
Ví dụ 2: Cho dãy số
n n
n
(2 3) (2 3)
u
2 3
+
=
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính u
n+2
theo u
n + 1
và u
n
.
c) Lập một quy trình để tính u
n
?
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ 1 ( 2 3 ) ^ 1 ) 2 3+ ữ ì =
(u
1

= 1)
Sử dụng phím
REPLAY
để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí
số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm
=
, tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ta sẽ tìm
đợc 8 số hạng đầu của dãy.
b) Đặt
a (2 3); b (2 3)
= + =
ta có a+ b = 4 và ab = 1

n n n 1 n 1 n 1 n 1
n
a b (a b)(a b ) a b ab
u
2 3

+ +
= =
9
n 1 n 1 n 2 n 2
n
4(a b ) ab(a b )
u
2 3


=

n 1 n 1 n 2 n 2
n
4(a b ) (a b )
u
2 3 2 3


=
=4u
n-1
- u
n-2
Vậy u
n
= 4u
n- 1
- u
n-2
hay u
n+2
=4u
n+1
- u
n
c) Lập quy trình tính u
n
.
Có u
1
= 1, u

2
= 4


4 SHIFT STO A
(gán u
2
= 4 vào
A
)

ì
4

1 SHIFT STO B
(tính và gán u
3
= 15 vào
B
)

4 ALPHA A SHIFT STO Aì
(gán u
4
= 56 vào
A
)

4 ALPHA B SHIFT STO Bì
(gán u

5
= 209 vào
B
)
Lặp lại quy trình trên bằng phím
=
ta tính đợc u
6
= 780, u
7
= 2911
Hớng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
( ( 2 3 ) ^ ALPHA X ( 2 3 ) ^ ALPHA X ) 2 3 ữ+
Bấm
CALC
máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta đợc các u
n
tơng ứng.
u
1
= 1, u
2
= 4, u
3
= 15, u
4
= 56, u
5

= 209, u
6
= 780, u
7
= 2911, u
8
= 10864.
c) Lập quy trình tính u
n
.


4 SHIFT STO A
(gán u
2
= 4 vào
A
)

ì
4

1 SHIFT STO B
(tính và gán u
3
= 15 vào
B
)

4 ALPHA A SHIFT STO Aì

(gán u
4
= 56 vào
A
)

4 ALPHA B SHIFT STO Bì
(gán u
5
= 209 vào
B
)

SHIFT

COPY

Lặp lại phím
=
Tìm đợc các u
n
tơng ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u
1
= u
2
= 1, u
3
= 2, u

n+1
= u
n
+ u
n-1
+ u
n-2
(n=3, 4, 5, )
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
10

ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ +
Lặp lại dãy phím
ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ +

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ +

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ +
Bằng cách bấm tiếp:
SHIFT

COPY
và bấm liên tiếp phím
=
Giải thích:
Bấm:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
nghĩa là gán u

1
= 1 vào
A
, gán u
3
= 2 vào
B
.
Bấm:
ALPHA B ALPHA A 1 SHIFT STO C+ +
tính u
4
và gán vào
C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A+ +
tính u
5
và gán vào
A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B+ +
tính u
6
và gán vào
B

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C+ +
tính u
7

và gán vào
C
Ta đợc dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105,
5. Dãy phi tuyến dạng: u
1
=a, u
2
= b, u
n+1
=
2 2
n n-1
u + u
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
Bấm:
b SHIFT STO A

2 2
x a x SHIFT STO B+
Lặp lại dãy:
2 2
x ALPHA A x SHIFT STO A+

2 2
x ALPHA B x SHIFT STO B+
Bằng cách phím
SHIFT

COPY
và bấm liên tiếp phím

=
- Giải thích:
Bấm
b SHIFT STO A
gán u
2
= b vào
A

2 2
x a x SHIFT STO B+
tính u
3
= b
2
+ a
2
và gán vào
B
Lặp lại dãy:
2 2
x ALPHA A x SHIFT STO A+
tính u
4
=
2 2
3 2
u + u
và gán vào
A

2 2
x ALPHA B x SHIFT STO B+
tính
2 2
5 4 3
u = u + u
và gán vào
B
6. Một số dãy số khác
11
Bài 1: Cho dãy số
3
n n
1 n 1
3
n
a a
a 3 a
1 a
+
+
= =
+
a) Lập quy trình bấm phím tính a
n+1
b) Tính a
n
với n = 2, 3, 4, , 10
Hớng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS

a) Bấm 3
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )= + ữ +
Lặp lại phím
=
ta đợc :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838;
0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424;
0,760897424,0,760897424
Giải thích:
Bấm 3
=
gán a
1
= 3 vào ô nhớ
Ans
Bấm
( Ans ^ 3 Ans ) ( 1 Ans ^ 3 )+ ữ +
tính a
2
Bấm
=
gán u
2
vào ô nhớ
Ans
(Mỗi lần bấm phím
=
thì giá trị trên màn hình đợc gán vào ô nhớ
Ans
)

Bài 2:Cho dãy số
n
n 1
n
3x 1
x , n 1,2,3
x 3
+

= =
+
a) Hãy tính x
n
với n = 1, 2, , 15 với x
0
= 1; x
0
= 3
b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x
0
cho trớc bất kỳ, tức là tồn
tại mọt số N nguyên dơng sao cho với mọi x
0
dãy {x
n
} xác định nh trên ta có:
x
n+N
=x
n

với mọi n= 1, 2, 3,
Hớng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x
0
= 1
Bấm: 1
=
Khai báo công thức
n
n 1
n
3x 1
x
x 3
+

=
+
Bấm tiếp:
( 3 Ans 1 ( Ans 3 )ì ữ +
(1)
Liên tiếp bấm phím
=
đợc x
n
.
12
Khai báo lại giá trị đầu x'
0
= 3 Bấm 3

=
Dùng phím
V
để đa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím
=
đợc x'
n
x
1
= 0,267949192 x'
1
= 0,886751345
x
2
= - 0,267949192 x'
2
= 0,204634926
x
3
= - 1 x'
3
= - 0,333333333
x
4
= - 3,732050808 x'
4
= - 1,127711849
x
5
= 3,732050808 x'

5
= - 4,886751346
x
6
= 1 x'
6
= 3
x
7
= 0,267949192 x'
7
= 0,886751345
x
1
= - 0,267949192 x'
8
= 0,204634926
. . . . . . . . . . .
Tính theo công thức truy hồi ta đợc:
0 0
1 2 3
0
0 0
0 0
4 5 6 0
0 0
3x 1 x 3
1
x ; x ; x
x

x 3 3x 1
x 3 3x 1
x ;x ; x x
1 3x 3 x

= = =
+ +
+ +
= = =

Vậy {x
n
} tuần hoàn chu kỳ là N = 6
III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải
Bài 1: Biết dãy só {a
n
} xác định nh sau: a
1
= 1; a
2
= 2; a
n+2
=3a
n+1
+2a
n
với mọi n
nguyên dơng.
Tính a
15

.
Bài 2: Cho dãy số u
1
= 1, u
2
= 2, u
n+1
= 2003u
n
+ 2004u
n-1
( n = 2, 3, 4, )
a) Tính u
4
, u
5
, u
6
.
b) Lập quy trình tính u
n+1
.

Cho dãy số u
n
=(3 +
7
)
n
+(3 -

7
)
n
(n = 0, 1, 2, )
Lập công thức tính u
n+2

theo u
n
v u
n+1
Lập quy trình tính u
n
, n=5, ,10
Kết quả : u
2
= 32; u
3
= 180; u
4
= 1016; u
5
= 5736; u
6
= 32384; u
7
= 182832;
u
8
= 1032224; u

9
= 5827680; u
10
= 32901632;
13
B i tập 3: Cho dãy số
n n
n
(10 3) (10 3)
u
2 3
+
=
a) Tính các giá trị u
1
, u
2
; u
3
, u
4
.
b) Xác định công thức truy hồi tính u
n+2
theo u
n+ 1
và u
n
.
c) Lập quy trình tiên tục tính u

n+2
theo u
n+ 1
và u
n
rồi tính u
5
, u
6
, u
16
.
Bài 4: Cho dãy số {u
n
} xác định bởi:
u
1
= 1; u
2
= 3; u
n
=3u
n-1
khi n chẵn và u
n
=4u
n-1
+ 2u
n-2
khi n lẻ.

a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính u
n
b) Tính u
10
, u
11
, u
12
, u
14
, u
15
.
Hớng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
1 2 3 4 SHIFT STO Aì + ì
Lặp lại dãy phím
3 4 ALPHA A 2 SHIFT STO Aì = ì + ì
nhờ
=
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
1SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
4 ALPHA B 2 ALPHA A SHIFT STO A
3 ALPHA A SHIFT STO B
SHIFT COPY
+
=V
Kết quả: u
10
= 115548; u
11

= 537824; u
12
= 1613472; u
13
= 7529536; u
14
=
22588608 ; u
15
= 105413504.

Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau:
S
1
= 1 + 2; S
2
= (1 + 2) + 4 + 5; S
3
= (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9:
Tính S
50
; S
60
; S
80
; S
100
.

Hớng dẫn

14