Bồi dưỡng HSG phần Nhiệt học


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 1 -



NHIT

Câu 1. Mt máy lnh lí tng luôn duy trì trong bung lnh nhit  không i -10
0
C. Khi
nhit  không khí trong phòng là 15
0
C thì rle phi u khin cho ng c ca máy làm
vic theo chu kì c hot ng 2 phút li ngh 4 phút.
a) Nu nhit  không khí trong phòng là 25
0
C thì chu kì thi gian mi ln ngh và óng ca
ng c phi nh th nào  duy trì c nhit  trong bung lnh nh trên ?
b) Nhit  không khí trong phòng cao nht là bao nhiêu thì máy vn còn có th duy trì
c nhit  trong bung lnh là -10
0
C ?
Gii:
+ Máy lnh lí tng nên H =
2
Q
A

=
2
12
T
TT
-
(T
2
nhit  ngn lnh; T
1
nhit  phòng)
+ Khi máy lnh làm vic n nh, c mi ln rle óng và ngt, tác nhân lâý i t bung lnh
nhit lng Q
2
úng bng nhit lng mà bung lnh nhn vào t môi trng trong khong
thi gian (t
1
+t
2
) = 2+4 phút.
Nhit lng này t l vi chênh lch nhit  và thi gian Q
2
~ (t
1
+t
2
)(T
1
-T
2

)
+ Ngoài ra, A ~ t
1
nên ta có:
2
Q
A
=
2
12
T
T - T
= k
1212
1
()()
ttTT
t
+-
(*)
(h s t l k ph thuc vào cu to máy lnh và u kin tip xúc ca máy vi môi trng)
+ Thay s vào (*) ta tính c k =
1875
263
.
+ Vi u kin mi T
1
= 298K ; T
1
- T

2
= 35K t (*) tính c
2
1
t
t
= 0,53. Ngha là nu
ngh 4 phút thì phi làm vic 7,55phút
+ Nhit  phòng cao nht duy trì c ng vi vic ng c hot ng không ngh t
2
= 0.
Khi ó t (*) suy ra: T
1max
= T
2
+ 43K = 33
0
C .
Câu 2. Hai bình có th tích V
1
= 40 dm
3
và V
2
= 10 dm
3
thông vi nhau bng mt ng nh có
khóa ban u óng. Khóa này ch m nu p
1
 (p

2
+ 10
5
)

Pa ; p
1
là áp sut ca khí trong
bình1, p
2
là áp sut ca khí trong bình 2. Ban u bình 1 cha khí  áp sut p
0
= 0,9.10
5
Pa và
nhit  T
0
= 300K còn bình 2 là chân không. Ngi ta nung nóng u 2 bình t T
0
lên T =
500K.
a) Ti nhit  nào thì khóa k ban u óng s m ?
b) Tính áp sut cui cùng trong mi bình.
Gii:
a).+ Do ban u bình 2 là chân không nên khi p
1
= p
m
= 10
5

Pa thì khóa m
+ Áp dng nh lut Sacl cho bình 1 cho n khi khóa m (quá trình ng tích)

0m
0m
pp
=
TT


m0
m
0
pT
T =
p
 333K
b).+ Khóa m khí lt sang bình 2  p
2
tng, p
1
gim mt ít và khóa óng li. Nhng do un
nóng nên p
1
tip tc tng, khóa li m. Có th coi khóa luôn gi cho p = 10
5
Pa
+ Khi T = 500K thì bình 2 có áp sut p, bình 1 có áp sut p + p
S mol :n =
(

)
1
012
0
p pV
p V pV
RT RT RT
+D
=+
(
)
12
011
0
pVV
p V pV
TTT
+
D
=+  p = 0,4.10
5
Pa

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 2 -


1
2
P
V
P
P /2
V
2V
0
0
0
0
Câu 3. t mol khí lí tng thc hin quá trình giãn n t trng thái 1 (P
0
, V
0
) n trng thái
2 (P
0
/2, 2V
0
) có  th trên h to P-V nh hình v. Biu din quá trình y trên h to P-
T và xác nh nhit  cc i ca khi khí trong quá trình ó.
Gii:
- Vì  th trên P-V là n thng nên ta có: P =
V + 
(*); trong
ó


và

là các h s phi tìm.
- Khi V = V
0
thì P = P
0
nên:
00
P =
V + 
(1)
- Khi V = 2V
0
thì P = P
0
/2 nên:
00
P /2 = 2
V + 
(2)
- T (1) và (2) ta có:
00
 = - P / 2V
;
0
 = 3P / 2

- Thay vào (*) ta có phng trình n thng ó :
00

0
3PP
P = - V
2 2V
(**)
- Mt khác, phng trình trng thái ca 1 mol khí :
PV = RT
(***)
- T (**) và (***) ta có :
2
00
0
3V 2V
T = P - P
R RP

- T là hàm bc 2 ca P nên  th trên T-P là mt phn parabol
+ khi P = P
0
và P = P
0
/2 thì T = T
1
=T
2
=
00
PV
R
;

+ khi T = 0 thì P = 0 và P = 3P
0
/2 .
- Ta có :
00
(P)
0
3V 4V
T = - P
R RP




(P)
T = 0




0
3P
P =
4
;
cho nên khi
0
3P
P =
4

thì nhit  cht khí là T = T
max
=
00
9VP
8R

-  th biu din quá trình ó trên h to T-P là mt trong hai  th di ây :











Câu 4. t mol khí lí tng thc hin chu trình 1-2-3-1. Trong ó, quá trình 1 - 2 c biu
din bi phng trình T = T
1
(2- bV)bV (vi b là mt hng s dng và th tích V
2
>V
1
). Qúa
trình 2 - 3 có áp sut không i. Qúa trình 3 - 1 biu din bi phng trình : T= T
1
b

2
V
2
. Bit
nhit  trng thái 1 và 2 là: T
1
và 0,75T
1.
Hãy tính công mà khi khí thc hin trong chu
trình ó theo T
1
.
Gii :
+  tính công mà khi khí thc hin , ta v th biu din chu trình bin i trng thái ca
cht khí trong h ta  h ta  (PV).
+ Quá trình bin i t 1-2: T T=PV/R và T = T
1
(2- bV)bV
=> P= - Rb
2
T
1
V+2RbT
1

+ Quá trình 2-3 là quá trình ng áp : P
2
= P
3

+ Quá trình bin i t 3-1 : T T=PV/R và T = T
1
b
2
V
2

=> P= Rb
2
T
1
V
+Thay T=T
1
vào phng trình T = T
1
(2- bV)bV
=> V
1
= 1/b => P
1
= RbT
1


T
P
P /2
0
P

0
3P /4
0
3P /2
0
0
1
2
9V P /8R
V P /R
00
00

p
2
V
1
V
2
V
3
V

1

2

3

p

1
p

O


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 3 -



L

+Thay T
2
= 0,75T
1
vào phng trình T = T
1
(2- bV)bV
=>V
2
= 3/2b=1,5V
1
vµ V
2
=0,5V

1
(vì V
2
> V
1
nên loi nghim V
2
= 0,5V
1
)
+ Thay V
2
= 1,5/b vào P= -Rb
2
T
1
V + 2RbT
1
=> P
2
= P
3
= 0,5RbT
1
=0,5P
1
=> V
3
= 0,5V
1

=1/2b .
+Ta có công A = 0,5(P
1
- P
2
).(V
2
-V
3
) = 0,25RT
1
.
Câu 5. t bình có th tích V cha mt mol khí lí tng và có mt cái van bo him là mt
xilanh (có kích thc rt nh so vi bình) trong ó có mt pít tông din tích S, gi bng lò xo
có  cng k Khi nhit  ca khí là T
1
thì píttông  cách l thoát khí mt n là L. Nhit
 ca khí tng ti giá tr T
2
thì khí thoát ra ngoài. Tính T
2
?
Gii:
Kí hiu
1
P và
2
P là các áp sut ng vi nhit 
1
T và

2
T ;
l

là  co
ban u ca lò xo, áp dng u kin cân bng ca piston ta luôn có:
Splk
1
.  ; SpLlk
2
).(  => SppLk )(.
12
 ; (1)
Vì th tích ca xilanh không áng k so vi th tích V ca bình nên có th coi th tích ca
khi khí không i và bng V. Áp dng phng trình trng thái ta luôn có:

R
T
VP

1
1
; => ;
11
. RTVP  .

R
T
VP


2
2
=> ;
22
. RTVP  .
=> )(
1212
TT
V
R
PP  (2).
 (1) và (2) ta có h phng trình







SPPkL
TT
V
R
PP
)(
)(
12
1212

Nh vy khí thoát ra ngoài khi nhit  ca khí lên n:

RS
kLV
TT 
12
.
Câu 6. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tng n nguyên t) thc
hin mt chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 c biu din trên gin  P-T
nh hình 1. Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0
= 300K.
1. Tìm th tích ca khí  trng thái 4.
2. Hãy nói rõ chu trình này gm các ng quá trình nào. V li chu
trình này trên gin  P-V và trên gin  V-T (cn ghi rõ giá tr
ng s và chiu bin i ca chu trình).
3. công mà khí thc hin trong tng giai n ca chu trình.
Gii:
1. Quá trình 1 – 4 có P t l thun vi T nên là quá trình ng tích, vy th tích  trng thái 1
và 4 là bng nhau: V
1
= V
4
. S dng phng trình C-M  trng thái 1 ta có:
111
m
PV RT



, suy ra:
1
1
1
RT
m
V
P



Thay s: m = 1g;  = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5
Pa ta c:
33
1
5
1 8,31.300
3,12.10
4 2.10
Vm


2. T hình v ta xác nh c chu trình này gm các ng quá trình sau:
1 – 2 là ng áp; 2 – 3 là ng nhit;

3 – 4 là ng áp; 4 – 1 là ng tích.
P

T

0
T
0

2P
0

1

2

3

4

2T
0

P
0


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.


- 4 -



H

H
F
Vì th có th v li chu trình này trên gin  P-V (hình a) và trên gin  V-T (hình b)
nh sau:














3.  tính công, trc ht s dng phng trình trng thái ta tính c các th tích: V
2
= 2V
1

= 6,24.10
– 3
m
3
; V
3
= 2V
2
= 12,48.10
– 3
m
3
.
Công mà khí thc hin trong tng giai n:
5332
12 121
( ) 2.10 (6,24.10 3,12.10 ) 6,24.10
ApVVJ

 
532
3
23 22
2
ln 2.10 .6,24.10 ln2 8,65.10
V
ApVJ
V



5332
34 343
( ) 10 (3,12.10 12,48.10 ) 9,36.10
ApVVJ

    
41
0
A

vì ây là quá trình ng áp.
Câu 7.Cho mt ng tit din S nm ngang c ngn vi bên ngoài bng 2 pittông Pittông
th nht c ni vi lò xo nh hình v. Ban u lò xo không bin dng, áp sut khí gia 2
pittông bng áp sut bên ngoài p
0
. Khong cách gia hai pittông là H và bng
2
1
chiu dài
hình tr. Tác dng lên pittông th 2 mt lc F  nó chuyn ng t t sang bên phi Tính F
khi pittôn th 2 dng li  biên phi ca ng tr.
Gii:
u kin cân bng :
Piston trái : p
0
S – pS – kx = 0 (1)
x  dch chuyn ca piston trái, p áp sut khí gia hai piston.
Piston phi : F + pS – p
0
S = 0 (2)

nh lut Bôil : p
0
SH = p(2H –x)S (3)
 (3)
x
H
Hp
p


2
0
(4)
 (1) và (2) F = kx, thay vào (4):
F
kH
kHp
p


2
0
. Thay vào (2):
0)2(
00
2
 SkHpFkHSpF
Phng trình có nghim là:
22
22

00
42
Hk
Sp
kH
Sp
F 
Câu 8. Mt pittông khi lng m, giam mt mol khí lí tng trong mt xi lanh. Pittông và xi
lanh u cách nhit, pittông c treo bng si dây mnh ban u cách áy xi lanh mt
khong h. Khí trong xi lanh lúc u có áp sut bng áp sut khí quyn p
0
, nhit  T
0
. Phi
cung cp cho khí mt nhit lng bao nhiêu  nâng pit tông lên v trí cách áy mt khong
P(10
5
Pa
)

V(l)

0
3,12

2

1

2

3

4

12,48

1

6,24

V(l)

T(K)

0
3,12

1

2
3
4

12,48

6,24

300

600

150


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 5 -



2h. Bit ni nng ca mt mol khí là U = C.T (C là hng s), gia tc trng trng là g. B qua
i ma sát và trao i nhit vi bên ngoài.
Gii:
c cng dây ban u = P = mg. Khi nung khí ti nhit  T, áp sut khí là
0
mg
pp
S
 thì dây bt u chùng .
=> Quá trình là ng tích:
0
0
00
p p mg
T1T
T T pS





.
=>  bin thiên ni nng:
1 00
0
mg
UC.TC(TT)CT
pS
  .
Mà
0 01
Cmgh
pShRTU
R
  .
* Tip tc nung pittông i lên. Khi nung ti nhit  T
1
, pittong cách áy 2h:
Quá trình là ng áp:
01
1
1
VV
T 2T
TT
  .
 bin thiên ni nng:
210
Cmgh

U C(T T) C.T C.T
R

C ông mà khí thc hin:
0
A p. V RT mgh

.
* Nhit lng cn cung cp: Q = U
1
+ U
2
+ A =
0
2C
(C R)T mgh 1
R





Câu 9. Cho mt mol khí lí tng n nguyên t bin i theo mt chu trình thun nghch
c biu din trên  th nh hình 3; trong ó n thng 1- 2 có ng kéo dài i qua gc
to và quá trình 2 - 3 là n nhit. Bit : T
1
= 300K; p
2
= 3p
1

; V
4
= 4V
1
.
1. Tính các nhit  T
2
, T
3
, T
4
.
2. Tính hiu sut ca chu trình.
3. Chng minh rng trong quá trình 1-2 nhit dung ca khí là hng s.
Gii:
1. Quá trình 1 - 2 :
1
1
2
2
V
p
V
p
 
1
1
2
12
V3

p
p
VV  ;
1
11
22
12
T9
Vp
Vp
TT  = 2700
0
K
Quá trình 2-3:
3/5
2
3
2
23
4
3
P
V
V
PP


















 0,619P
2
= 1,857 P
1

Thay V
3
= V
4
:

2
3/2
2
1
3
2
23

T825,0
4
3
T
V
V
TT 

















= 7,43T
1
=2229
0
K
Quá trình 4 - 1 : T

4
= T
1
1
4
V
V
= 4T
1
= 1200
0
K
2. Quá trình 1- 2 : U
1-2
=C
V
( T
2
-T
1
) = 8C
V
T
1
= 12RT
1

A
1-2
=( p

2
+ p
1
)(V
2
-V
1
)/2 = 4p
1
V
1
= 4RT
1

Q
1-2
= U
1-2
+A
1-2
=16RT
1

Quá trình 2-3:
A
2-3
= - U
2-3
= - C
V

( T
3
-T
2
) = 2,355 RT
1
; Q
2-3
= 0.
h

4
3
V
2
p
O
1
V
1

V
2
V
4

p
1

p

3

p
2


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 6 -



Quá trình 3- 4: U
3-4
= C
V
( T
4
-T
3
) = - 5,145RT
1
; A
3-4
= 0
Q
3-4
= U

3-4
+ A
3-4
= - 5,145RT
1

Quá trình 4- 1: U
4-1
= C
V
( T
1
-T
4
) = - 4,5RT
1

A
4-1
= p
1
(V
1
-V
4
) = - 3p
1
V
1
=- 3RT

1

Q
4-1
= U
4-1
+ A
4-1
= - 7,5RT
1

A = A
1-2
+ A
2-3
+ A
3-4
+ A
4-1
= 4RT
1
+2,355 RT
1
- 3RT
1
= 3,355RT
1

Nhit lng khí nhn là: Q = Q
1-2

=16RT
1

 =
21
Q
A

= 20,97%  21%.
3.Vi phân hai v: pV=RT (1) ; pV
-1
=hs
pdV +Vdp=RdT
- pV
-2
dV +V
-1
dp = 0 . Gii h: pdV = Vdp = 0,5RdT
dQ = C
V
dT + pdV= 1,5RdT+0,5RdT= 2RdT
C = dQ /dT = 2R =hs
Câu 10. Mt lng khí lý tng n nguyên t thc hin chu trình ABCDECA biu din trên
 th nh hình v bên.
Cho bit PaPPaPP
CBA
55
103,10  KTTPaPP
EADE
300,104

5
 ,
lVVVlV
DCBA
10,20  , AB, BC, CD, DE, EC,
CA là các n thng.
1. Tính các thông s
DB
TT , và
E
V .
2. Tính tng nhit lng mà khí nhn c trong tt
 các giai n ca chu trình mà nhit  khí tng.
3.Tính hiu sut ca chu trình.
Gii:
1. Áp dng phng trình trng thái:
AAA
nRTVP 


300
10.20.10
35 

A
AA
T
VP
nR

3
20

K
nR
VP
T
BB
B
150 ;
K
nR
VP
T
DD
D
600 ;

l
P
nRT
V
E
E
E
5
2. Khí nhn nhit trong quá trình ng tích BD và mt giai n trong quá trình bin i
ECA
JTTRnQQ
BDBD

4500)150600(
3
20
.
2
3
)(
2
3
.
1

Phng trình ca ng thng ECA:
AE
AE
A
A
VV
PP
VV
PP







5
5


V
P (1) (V o bng lít, P o bng Pa
5
10 )
Suy ra )5
5
(
20
3
2
V
V
nR
PV
T  (2) (T o bng
K100
)
KTT 75,468
max
 khi lV
m
5,12 :
T
tng khi )(5,125 lV



m
V ng vi m F trên n CA. Xét nhit lng nhn c Q


trong quá trình th tích
ng t
V
n
VV


(trên n EF):
VPTRnQ 
2
3
. T (1) và (2) tìm c
V
V
Q  )5,12
5
4
( .
A B
C
D
E
P
P
A

P
C

P
E

0
V
E
V
C
V
V
A

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 7 -



 dàng thy rng, trong giai n ECF luôn có 0


Q . Trong giai n này, nhit lng
nhn c là:
AUQ 
2
, vi
JTTRnU
E

5,3187)(
2
3
max

A
= din tích hình thang )(5,2437 JVEFV
Em


JQ 56255,24375,3187
2

ng nhit lng khí nhn c:
JQQQ 125.1056254500
21

3. Công sinh ra trong mt chu trình:

A
dt tam giác ABC – dt tam giác CDE


JA 750


Hiu sut ca chu trình:
%41,7
10125
750


Q
A
H
Câu 11. Mt xylanh t thng ng, bt kín hai u, c chia làm hai phn bi mt pittông
ng cách nhit. C hai bên pittông u cha cùng mt lng khí lý tng. Ban u khi nhit
 khí ca hai phn nh nhau thì th tích phn khí  trên pittông gp n = 2 ln th tích khí 
phn di pittông. Hi nu nhit  ca khí  phn trên pittông c gi không i thì cn
phi tng nhit  khí  phn di pittông lên bao nhiêu ln  th tích khí  phn di
pittông s gp n = 2 ln th tích khí  phn trên pittông ? B qua ma sát gia pittông và
xylanh.
Gii:
ng khí  2 phn xylanh là nh nhau nên:
2
'
2
'
2
1
'
1
'
1
1
22
1
11
T
VP
T

VP
T
VP
T
VP
R.
m



Vì
12
V nV

nên
21
P nP


Theo gi thit:
''
12
/
V Vn
 , suy ra:
'
22
'
11
TP

n
TP

(1)
 tính
'
'
1
2
P
P
ta da vào các nhn xét sau:
1. Hiu áp lc hai phn khí lên pittông bng trng lng Mg ca pittông:
S)PP(MgS)PP(
12
'
1
'
2


''
21 21 1
( 1)
PPPP n P

''
211
( 1)
PPnP

 (2)
2.  phng trình trng thái ca khí lí tng  phn trên ca pittông:
P
1
V
1
= P
1
’
V
1
’

1
'
1
'
11
V
V
.PP 
Thay vào (2), ta suy ra:

''
21
'
11
1 ( 1)
PV
n

PV

(3)
V
1
, P
1
V
2
, P
2
V
1
’, P
1
’

V
2
’, P
2
’

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 8 -


3.  tìm
1
'
1
V
V
ta chú ý là tng th tích 2 phn khí là không i:
V
1
+V
2
= V
1
’
+V
2
’

''
1
1 11
V
V V nV
n
 
'
1
1
1

V
Vn


Thay vào (3) ta c:
'
2
'
1
121
1 ( 1)
P
n
n
P nn



Thay vào (1) ta có kt qu:
'
22
'
11
2 13
TP
nn
TP
  
.
Câu 12. t xi lanh cách nhit nm ngang, th tích V

1
+ V
2
= V
0
= 60 (lít), c chia làm
hai phn không thông vi nhau bi mt pittông cách nhit (nh hình v). Píttông có th
chuyn ng không ma sát. Mi phn ca xi lanh cha 1 (mol) khí lý tng n nguyên t.
Ban u píttông ng yên, nhit  hai phn khác nhau. Cho dòng n chy qua n
tr R  truyn cho khí  bên trái nhit lng Q = 90 (J).
a. Nhit  phn bên phi cng tng, ti sao ?
b. Khi ã có cân bng, áp sut mi trong xi lanh ln hn áp sut ban u bao nhiêu ?
Bit ni nng ca 1 mol khí lý tng c xác nh bng công thc U = 3RT/2.
Gii:
a. Nhit  phn bên phi cng tng, ti sao ?
i nng ca 1 mol khí lý tng c xác nh bng biu thc U
= 3RT/2. Khi ta làm tng nhit  ca khí  bên trái (do cung
p nhit lng Q) thì khí giãn n làm píttông nén khí trong phn
bên phi (V
2
); vì nén cách nhit nên nhit  ca phn bên phi
ng tng lên.
b. Khi ã có cân bng, áp sut mi trong xi lanh ln hn áp sut
ban u bao nhiêu ?
i U
1
và U
2
là ni nng ca khí  hai phn xi lanh, ta có phng trình :
Q =


U
1
+

U
2

Q =
2
3
R(

T
1
+

T
2
) ; ây công tng cng bng không.
Lúc u ta có pV
1
= RT
1
và pV
2
= RT
2
(áp sut p nh nhau)
Sau khi cung cp nhit lng và khi ã có cân bng thì áp sut  hai bên là (p +


p), th tích
 hai phn là (V
1
+

V) và (V
2
-

V) nên các phng trình trng thái là:
(p +

p) (V
1
+

V) = R(T
1
+

T
1
)


p

V + V
1


p +

V

p = R

T
1
(1)
(p +

p) (V
2
-

V) = R(T
2
+

T
2
)




p V
2
- p


V -

V

p = R

T
2
(2)
ng 2 phng trình (1) và (2) v theo v ta c:


p(V
1
+ V
2
) = R(

T
1
+

T
2
) (3)
t khác ta có: Q =
2
3
R(


T
1
+

T
2
)


T
1
+

T
2
= 2Q/3R và V
1
+ V
2
= V
0
= 60 (lít) th vào phng trình (3) ta c:


p.0,06 = R. 2.90/3R



p =

06,0
60
= 1000 (N/m
2
).

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 9 -



y khi ã có cân bng, áp sut mi trong xi lanh ln hn áp sut ban u là 1000 (N/m
2
).
Câu 13. Trên hình v biu din mt chu trình bin i trng thái ca n
mol khí lý tng. Chu trình bao gm hai n thng biu din s ph
thuc ca áp sut p vào th tích V và mt ng ng áp. Trên ng
ng áp 1-2, sau khi thc hin mt công A thì nhit  ca nó tng 4 ln.
Nhit  các trng thái 1 và 3 bng nhau. Các m 2 và 3 nm trên
ng thng i qua gc ta . Hãy xác nh nhit  ca khí  trng thái
1 và công mà khí thc hin trong chu trình.
Gii :
- Gi nhit  ca khí  t.thái 1 là T
1
, khi ó nhit  t.thái 2 s là 4T
1
.

Gi s áp sut trên ng ng áp 1 – 2 là p
1
, thì công mà khí thc hin trong quá trình này
là: A = p
1
(V
2
-V
1
)
trong ó V
1
và V
2
tng ng là th tích khí  trng thái 1 và 2.
Áp dng phng trình trng thái cho hai trng thái này:
p
1
V
1
=nRT
1
; p
2
V
2
=4nRT
1
(1)  T
1

= A/3nR (2)
- Gi p
3
là áp sut khí  trng thái 3 thì công mà khí thc hin trong c chu trình c tính
ng din tích ca tam giác 123: A
123
= 1/2 (p
1
-p
3
)(V
2
- V
1
) (3)
- Kt hp vi phng trình trng thái (1) và nhit  T
1
theo (2) ta tìm c:
V
1
= nRT
1
/P
1
= A/3p
1
(4) và V
2
= 4nRT
1

/P
1
= 4A/3p
1
(5)
-Thay (4) vào (5) ta có biu thc tính công trong c chu trình: A
123
=
3
1
p
A
1 -
2p



(6)
- Vì các trng thái 2 và 3 nm trên cùng mt ng thng qua gc ta  nên:
p
3
/p
1
=V
3
/V
2
(7) ; vi: V
3
= nRT

1
/p
3
= A/3p
3
(8)
- Thay(5), (8) vào (7) ta nhn c: p
3
/p
1
= p
1
/4p
3
 p
3
/p
1
= 1/2 (9)
- Thay (9) vào (6) ta tính c công ca khí trong chu trình: A
123
= A/4
Câu 14. t xi lanh dài t thng ng c óng kín bng mt pistôn. Trong xilanh có cha
khí cacbon iôxit và dung dch ca khí này trong nc. Pistôn tip xúc khít vi thành xilanh
và có th chuyn ng không ma sát dc theo thành xilanh. Khi khi lng ca
pistôn là m
0
thì nó nm cân bng cách mt nc mt khong h
0
. Khi tng khi

ng ca pistôn lên n m
1
thì nó h xung n  cao h
1
so vi mt nc. Khi
ng ca pistôn cn bng bao nhiêu  nó có th chm c mt nc? Toàn b
quá trình c coi là ng nhit. Có th b qua s thau i th tích ca cht lng
do khí tan vào, b qua s bay hi ca nc và áp sut khí quyn.
Chú thích:  hòa tan ca khí t l vi áp sut riêng phn ca khí này trên
t cht lng (nh lut Henry).
Gii:
Áp sut ca khí gia cht lng và pistôn:
.
S
mg
p 
Trong ó S là tit din ngang ca xilanh. Theo nh lut Henry, lng khí tan vào nc
(tính theo s mol) t l vi áp sut này: .Vp
t


Trong ó,

là h s t l V là th tích ca cht lng trong xilanh. Do ó lng khí gia
pistôn (tính theo s mol) và cht lng ph thuc váo áp sut theo quy lut: .
0
Vp


i


0
là tng khi lng khí trong xi lanh. Phng trình Clapêrôn – Menêleev vi
ng khí cha hòa tan:
1
2
3
V
p

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 10 -



)1(
0
RT
S
mg
VhS
S
mg










.
0
m
S
VRT
g
RT
mh




Nh vy, gia khi lng pistôn và  cao ct khí trong xilanh quan h vi nhau theo
 thc:
)2(bmamh



Trong ó a, b là các h sc xác nh theo u kin bài toán:
 
.;
01
1100
10
01

01
111
000
mm
hmhm
bhh
mm
mm
a
bmahm
bmahm











 (2) ta thy khi pistôn chm ti mt cht lng (h=0 – tc là toàn b lng khí b hòa
tan hoàn toàn):


1100
1001
hmhm
hhmm

b
a
m


 .
Câu 15. Mt qu bóng cao su cha hêli c th bay lên bu tri. Áp sut và nhit  ca khí
quyn thay i theo  cao. Gi thit rng nhit  ca hêli trong qu bóng bng nhit  ca
không khí xung quanh, hêli và không khí u c coi là khí lý tng. Hng s tng hp ca
cht khí là R=8,31J/mol.K, khi lng mol ca hêli và ca không khí tng ng là
M
H
=4,00.10
-3
kg/mol và M
A
=28,9.10
-3
kg/mol. Gia tc ri t do là g=9,8m/s
2
.
Phn A:
a) Gi s không khí xung quanh có áp sut p và nhit  T. Áp sut trong qu bóng cao
n bên ngoài do tính àn hòi ca v bóng. Gi s trong qu bóng c gi n mol hêli vi áp
sut p+

p. Hãy xác nh lc y tác dng lên qu bóng nh mt hàm s ca p và

p.
b) Vào mt ngày nào ó, nhit  T ca không khí  cao z so vi mt bin cho bi h

thc )/1()(
00
zzTzT  trong phm vi 0<z<15km, và T
0
=303K. Áp sut và khi lng riêng
a không khí  mt bin bng p
0
=1atm=1,01.10
5
Pa và

0
=1,16kg/m
3
. Trong phm vi  cao
ó, áp sut bin i theo  cao vi quy lut:
)1()1()(
00

zzpzp 
Hãy biu din hng s

qua các i lng z
0
,

0
, p
0
và g; hãy xác nh giá tr ca nó

chính xác n hai ch s có ngha. Coi gia tc ri t do là không i và không ph thuc theo
 cao.
Phn B:
Khi qu bóng cao su (vi bán kính r
0
 trng thái không bin dng) cng lên n bán
kính r (r
0
) thì v ca nó thu c mt nng lng àn hi do b cng ra. Khi ó nng lng
àn hi U ca v hình cu cng ra  nhit  không i Tc mô t theo phng trình:
)2(3
1
24
4
22
0









kRTrU
Trong ó
)1(
0
 rr


là h s cng (theo bán kính), còn k là mt hng s nào ó, c
tính theo n v mol/m
2
.
c) Hãy biu din p qua các thông s có mt trong biu thc (2) và biu din bng 
th s ph thuc ca p vào

.
d)  ln ca hng s k có thc xác nh qua s mol hêli cn thit  làm cng qu
u. Khi T
0
=303K và p
0
=1,0atm và qu bóng không b cng (khi r=r
0
), cha c
n
0
=12,5mol hêli.  làm cng qu bóng ng vi

=1,5  nhit  không i T
0
và áp sut bên
ngoài p
0
thì trong ó phi cha n=3,6n
0
mol = 45mol hêli. Hãy xác nh thông s
0

k
k
a  ca

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 11 -



 bóng (trong ó
0000
4RTprk  ) qua n, n
0
và

. Tính giá tr ca nó vi  chính xác n
hai ch s có ngha.
Phn C:
Qu bóng c bm  mc nc bin ti câu d) (h s cng theo bán kính

=1,5, s
mol hêli bên trong là n
0
=12,5mol nhit  T
0
=303K và áp sut p
0

=1atm=1,01.10
5
Pa). Khói
ng tng cng ca bóng là M
t
= 1,12kg. Khi ó qu bóng s bt u nâng lên khi mt bin.
e) Gi s rng qu bóng c nâng lên  cao z
f
mà ó lc y cân bng vi trong
c. Hãy xác nh z
f
và h s cng

f
 cao ó. Tính giá tr ca nó n  chính xác vi hai
ch s có ngha. B qua s thoát khí ra ngoài và s dch chuyn ca bóng do gió.
Gii:
a) Lc y tác dng lên qu bóng: .gVF



Trong ó
RT
pM
A


là khi lng riêng ca không khí xung quanh qu bóng;
)( pp
nRT

V


là th tích ca khí hêli trong qu bóng. Do ó:
.gnM
pp
p
F
A



b) Kho sát mt lp khí có b dày dz cao z, u kin cân bng ca lp khí này:
dpgdzz


)(


Hay: .)( gz
dz
dp


.11
)(
)(
)(;1
00
0

1
00
0























z
z
RT
Mp

zRT
Mzp
z
z
z
z
p
dz
dp
AA

Nh vy:
.5,5;
0
0
0
0
0
0

RT
gzM
g
RT
Mp
z
p
AA



c) Cho rng qu bóng giãn ra rt chm. Khi tng bán kính ca nó mt lng dr thì áp
c (ca khí trong qu bóng và không khí xung quanh) thc hin mt công:
.4.
2
drrpA


ng lng ca bin dng àn hi khi ó s tng mt lng:
.
4
4
4
5
4
0
2
0
2
0
dr
r
r
r
r
kRTrdr
dr
dU
dU












.
4
5
4
0
0
2
0
0

















r
r
r
r
r
r
r
kRT
pdUA


 ph thuc cn tìm có dng:
).(
4
71
0



r
kRT
p
 ph thuc này có cc i khi
.38,17
5



Khi 01



p

. Khi

1~1 p .
 th gn úng ca ph thuc )(

p

khi
1


c biu din trên hình v.
d) Khi r=r
0
thì áp sut hêli trong qu bóng bng áp sut khí quyn .
3
4
3
0
0
0
r

RTn
p

 Khi
ng lên thì áp sut ca hêli là:
.
3
4
3
4
0
3
3
0
0
3
0
0






 n
n
r
RT
p
r

nRT
pp



u s dng biu thc ca p t câu c), ta có:
.11,0
1)(
;
1)(
4
.
3
4
.
4
1
71
3
0
71
3
0
0
00
71
0
3
3
0

0


























nn
a
nn

RT
prnn
r
r
k


Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 12 -



e) u kin cân bng ca qu bóng  cao z
f
là:
.
t
A
f
ff
ff
f
At
M
nM
p
pp

pp
p
ngMFgM 





i vì lng hêli trong qu bóng là cnh nên:
.)(
)()(
3
0
00
3
0
3
0













f
f
ff
f
ffff
T
T
pppp
T
pp
T
pp





3
0
00
t
A
ff
f
f
ff
M
nM
p
T

T
pp
p
pp















 câu c):
).(
4
71
0


ff
f
f
f

pr
kRT
p


 
.
4
11
71
0 t
A
ff
f
f
f
f
M
nM
pr
kRT
p
p






.

)(4
1
00
0
3
71
0
pp
T
M
nM
kR
r
M
nM
p
T
f
t
A
fft
A
f
f


























Chú ý rng
0
0
0
4
ap
r
kRT
 thì rút ra c:
.1
3

0
00
42













A
T
ff
nM
M
ap
pp

i vì 5,1; 

f
. Trong ó
242
)(

fff



nên:
.14,21
11
;)(
4
31
0
71
0
0
0






















A
t
f
nM
M
a
ap
r
kRT
p
Do ó:
.11
3
0
0
3
0
00
1
00
0
A
t
fA

t
f
f
f
f
nM
M
a
T
p
nM
M
T
pp
z
z
T
p
T
p










































 biu thc này ta tìm c: .11kmz
f

Câu 16. Mt xi lanh nh hình v, cha khí lý tng, c óng kín bng mt pittông khi
ng M, tit din S, có th chuyn ng trong xilanh. Lúc u gi pittông  v trí sao cho áp
sut trong bình bng áp sut khí quyn bên ngoài. Thành xilanh và pittông u cách nhit.
Buông pittông, pittông chuyn ng t v trí ban u n v trí cui cùng có  cao h so vi
áy xilanh. Tuy nhiên, trc khi t n v trí cân bng này, pittông ã thc hin nhng dao
ng nh. Gi s trong giai n pittông dao ng nh, quá trình bin i ca khí là thun
nghch, hãy tính chu k dao ng nhó.
Gii:
Khi cân bng pittông nm cách áy h thì khí trong xy lanh có áp sut p
1
:
p
1
= p
0
+
S
Mg
.
Khi pittông  v trí có li  là x thì khí có áp sut p. Vì quá trình là n nhit nên:


 )Sh(p)SxSh(p
1
(1), ây  là t s gia các nhit dung ng áp và ng tích.
 p = p

1





















h
x
1p
h
x
1
1
1

. Nu b qua lc ma sát gia pittông và thành bình thì:

Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 13 -




"Mx
h
x
Sp"MxMgS
h
x
1pSp
110








Mh
x
Sp"x

1

Dao ng là u hoà vi tn s góc:

Mh
)SpMg(
0


Câu 17. Cho mt mol khí lí tng có h s

V
P
C
C
. Bit nhit dung mol ca khí này ph
thuc vào nhit  tuyt i T theo công thc C = a + bT, trong ó a, b là các hng s.
1. Tính nhit lng cn truyn cho mol khí này  nó tng nhit  t T
1
lên T
2
.
2. Tìm biu thc th hin s ph thuc ca th tích V vào nhit  tuyt i T ca mol khí
này.
Gii:
1: Q = dT)bTa(
2
1
T
T


 = a(T
2
-T
1
) +
2
)TT(b
2
1
2
2


2. Xét mt mol khí. Theo nguyên lí I:
dQ = dU +dA =
2
iRdT
+pdV;
i
2i
C
C
V
P

 ; i = 2/(-1); p = RT/V ;
( a + bT) dT =
2
iRdT

+
V
RTdV
;
V
dV
=
R
bdT
RT
adT
 -
T
2
idT
;
lnV = Tln
R
a
-
)1(
1

lnT + bT/R + const
V=
R
bT
)
1
1

R
a
(
eAT


, A= h.s.
Câu 18. Mt bình cha khí oxy (O
2
) nén  áp sut P
1
= 1,5.10
7
Pa và nhit  t
1
= 37
0
C, có
khi lng (c bình) là M
1
= 50kg. Sau mt thi gian s dng khí, áp k ch P
2
= 5.10
6
Pa và
nhit  t
2
= 7
0
C. Khi lng bình và khí lúc này là M

2
= 49kg. Tính khi lng khí còn li
trong bình lúc này và tính th tích ca bình.
Gii:
i m là khi lng bình rng; m
1
và m
2
là khi lng khí O
2
trong bình lúc u và lúc sau.
Ta có:
m
1
= M
1
- m ;
m
2
= M
2
- m ;
Theo phng trình trng thái cht khí

m
PV RT


, ta có :

12
11 22
.
PP
R
mTmTV

 ( V là th tích ca bình )
Tây ta suy ra:

1 2 12 12 1212
1 2 1 2 12 21
12 21
1 2 12
12
()
m m mm MM TTMM
P P P P PT PT
PT PT
T T TT
TT

 





Các bài vt lí nâng cao.

 Nguyn Anh Vn.

- 14 -






2112
2
12 21
()
PTMM
m
PT PT



0,585 (kg)
Th tích bình (bng th tích khí):
22
2

.
RTm
V
P



0,0085 (m
3
) = 8,5 (lít)