Tóm tắt kiến thức Toán THPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 30 trang )
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
Lêi ngá cđa T¸c gi¶
T«i biªn so¹n nh»m gióp c¸c em
häc sinh cã thĨ nh×n nhËn kiÕn thøc to¸n cÊp 3 mét c¸ch
toµn diƯn h¬n, ®ång thêi gióp cho thÇy c« gi¸o cđng cè
thªm t liƯu gi¶ng dËy cho m×nh
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HP
1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách :
= =
−
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7. Tam giác Pascal :
1
=
=
=
0C
0B
0A
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Tính chất :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn T o¸n tr êng THPT Thn Ch©u
–
S¬n La
Trang 1
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nhò thức Newton :
*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba( +++=+
−
a = b = 1 :
0 1 n n
n n n
C C C 2+ + + =
Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( +++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a = ±1, ±2, ,
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
hay
β
α
∫
Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n k k
p q
n
C a b Kc d
−
=
Giải hệ pt :
∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa
C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n ∈ N
*
, k ≤ n. Cần biết đơn
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta
thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 2
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c ⇔
≠
=
0b
bca
;
1n2
1n2
baba
+
+
=⇔=
2n
2n
2n 2n
b a
a b a b, a b
a 0
=
= ⇔ = ± = ⇔
≥
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba
>
<
<
>
>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba
2. Giao nghiệm :
<⇔
<
<
>⇔
>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax
Γ
> ∨
< < <
⇔ ⇔
< Γ
≥
Γ
p
x a p q
a x b(nếua b)
;
x b
VN(nếua b)
q
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
≤≤
≥
⇔≤
=
≥
⇔=
22
ba0
0b
ba,
ba
0b
ba
≥
≥
∨
≥
<
⇔≥
2
ba
0b
0a
0b
ba
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 3
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=
b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa =
hay bằng đònh nghóa :
)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
=
baba;
ba
0b
ba ±=⇔=
±=
≥
⇔=
a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤
b 0
a b b 0hay
a b a b
≥
≥ ⇔ <
≤ − ∨ ≥
0baba
22
≤−⇔≤
c. Mũ :
.1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
0 m/ n m m n m nn
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa
d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log
a
a
α
log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (
⇐
)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (
⇐
)
2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(⇒)
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a
α
=
α
log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N ⇔ M = N
a a
0 M N(nếua 1)
log M log N
M N 0(nếu0 a 1)
< < >
< ⇔
> > < <
Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản:
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt
a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 4
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác đònh của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ
số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội
chẵn) : không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0g
Biết S, P thỏa S
2
– 4P ≥ 0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P = 0
* Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x
1
< 0 < x
2
⇔ P < 0, 0 < x
1
< x
2
⇔
>
>
>∆
0S
0P
0
x
1
< x
2
< 0 ⇔
<
>
>∆
0S
0P
0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔
<α
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
; x
1
< x
2
< α ⇔
α<
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 5
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <
α >
α < β
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
>∆
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
=∆
∨
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
( )
∆
∆
α
= 0
< 0hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế
: dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm ⇔
<
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
2 nghiệm ⇔
=
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
1 nghiệm ⇔ ∆
y'
≤ 0 ∨
>
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
=
>∆
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 6
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α <
α <
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
<α
>α
<
>∆
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
α<
<α
<
>∆
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α >
< α
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔
>∆
≠α
0
0)(f
, 1 nghiệm ⇔
≠α
=∆
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
=α
=∆
0)(f
0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 7
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
4 nghiệm ⇔
>
>
>∆
0S
0P
0
; 3 nghiệm ⇔
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔
>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 nghiệm ⇔
=
=∆
<
=
02/S
0
0S
0P
VN ⇔ ∆ < 0 ∨
<
>
≥∆
0S
0P
0
⇔ ∆ < 0 ∨
0
0
P
S
>
<
4 nghiệm CSC ⇔
=
<<
12
21
t3t
tt0
Giải hệ pt :
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t ≥
c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=
, t ∈ R.
10. Hệ phương trình bậc 1 :
=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 8
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 9
+
2
π
0
2
− π
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
x = α +
n
k2 π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
trên đường tròn lượng giác.
2. Hàm số lượng giác :
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos
đối, tg cotg hiệu π).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
f. Đưa về
2
a
tgt =
: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 10
2
− π
2
π
0
α
0
A
x+k2
M
cos
chiếu
sin
M
cotg
chiếu xuyên tâm
tg
M
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c
2
* Chia 2 vế cho
22
ba +
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt =
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sinu.cosu
4 2
π −
+ − ≤ ≤ =
÷
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sinu.cos u
π
−
= + = + ≤ ≤ =
÷
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
π −
= − = − − ≤ ≤ =
÷
2
1 t
t sinu cosu 2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
4 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sin u.cosu
π
−
= − = − ≤ ≤ =
÷
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 11
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
*
=
=
⇔
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
=
=
⇔
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔
−=
−=
∨
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
=
−=
∨
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 :
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân
thành +.
c. Dạng 3 :
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
====
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 12
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
)cp)(bp)(ap(p −−−=
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m −+=
* Phân giác : ℓ
a
=
cb
2
A
cosbc2
+
IV- TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫
dx)x(f
= F(x) + C (C ∈ R)
*
α+
α
= + = +
α +
∫ ∫
1
u
du u C ; u du C
1
, α ≠ – 1
u u
du
ln u C; e du e C;
u
= + = +
∫ ∫
∫
+= Caln/adua
uu
sin udu cos u C= − +
∫
;
∫
+=
Cusinuducos
∫
+−= Cgucotusin/du
2
;
∫
+= Ctguucos/du
2
*
= = −
∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
*
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+=−==
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0
∫ ∫∫∫∫
=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu= −
∫ ∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.
∫ ∫ ∫
=
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex
b.
∫
= xlnu:xlnx
n
c.
∫ ∫
==
dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
a.
∫
+
xcos.xsin
1n2m
: u = sinx.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 13
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
∫
+
xsin.xcos
1n2m
: u = cosx.
∫
xcos.xsin
n2m2
: hạ bậc về bậc 1
b.
∫
xcos/xtg
n2m2
: u = tgx (n ≥ 0)
∫
xsin/xgcot
n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0)
c.
∫
chứa a
2
– u
2
: u = asint
∫
chứa u
2
– a
2
: u = a/cost
∫
chứa a
2
+ u
2
: u = atgt
d.
∫
)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu =
∫
π
−
π
=
2/
0
x
2
ặtthử:
∫
π
−π=
0
xặtthử:
e.
∫
+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f.
∫
+=∈+
+
+
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x
g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫
h.
∫
++ )dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ :
)dcx/()bax(u ++=
i.
∫
chứa (a + bx
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫
)x(Q/)x(P
: bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n
2
21
n
)ax(
A
)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax
+
++
+
+
+
→+
+
→+
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 14
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
=+=<∆
++++
+
++
+
→<∆++
∫ ∫
atgtặt:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2
5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
∫
=
b
a
D
dx)x(fS
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng
giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
∫
−=
b
a
D
dx)x(g)x(fS
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0
α
/
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −
∫
β
/
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −
∫
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bò gãy, ta cắt D bằng các
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bò gãy, ta cắt D bằng các
đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính
∫
theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bò chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E)
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn
+
hay
−
( )
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y −=+=−=+=
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
∫
π=
b
a
2
dx)x(fV
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 15
x=bx=a
f(x)
g(x)
y=a
f(y)
y=b
g(y)
=
=
=
0C
0B
0A
a
b
f(x)
a
b
f(y)
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
b.
[ ]
∫
π=
b
a
2
dy)y(fV
c.
∫
−π=
b
a
22
dx)]x(g)x(f[V
d.
∫
−π=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V
e.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV
f.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
, dạng 1
∞
:
a. Phân thức hữu tỷ :
1
1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(P
lim
→→→
=
−
−
=
b. Hàm lg :
1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=
→→
c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax→
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
) để phá
3
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1
∞
) : dùng công thức
e)u1(lim
u/1
0u
=+
→
2. Đạo hàm :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 16
b
f(x)
g(x
)
a
f(y)
a
g(y)
b
f(x)
g(x
0)
a b
a b
c
f(x) -g(x)
b
c
f(y)
-g(y)
a
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim)x('f
−
−
=
→
Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx
o
/
−
→
−
+
→
+
==
Nếu
)x(f)x(f
o
/
o
/
−+
=
thì f có đạo hàm tại x
o
.
b. Ý nghóa hình học :
k = tgα = f
/
(x
M
)
c. f
/
+ : f ↑ , f
/
– : f ↓
f
//
+ : f lõm , f
//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M ⇔
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
f đạt CT tại M ⇔
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
M là điểm uốn của f ⇔ f
//
(x
M
) = 0 và f
//
đổi dấu khi qua x
M
.
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
= 0, (x
α
)
/
= αx
α
–1
, (lnx)
/
= 1/x ,
( )
a
1
log x
xlna
′
=
, (e
x
)
/
= e
x
(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= – sinx, (tgx)
/
= 1/cos
2
x,
(cotgx)
/
= –1/sin
2
x, (ku)
/
= ku
/
, (u ±v)
/
= u
/
± v
/
, (uv)
/
= u
/
v + uv
/
,
(u/v)
/
= (u
/
v – uv
/
)/v
2
* Hàm hợp : (g
o
f)
/
= g
/
[f(x)]
. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với
hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích, thương, chứa
n
f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận :
∞=
→
ylim
ax
⇒ x = a : tcđ
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 17
x a
y
∞
∞
M
α
f(x)
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
bylim
x
=
∞→
⇒ y = b : tcn
0)]bax(y[lim
x
=+−
∞→
⇒ y = ax + b : tcx
* Vẽ đồ thò có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
* Xét
)x(Q
)x(P
y =
• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc
cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :
)x(Q
)x(P
bax)x(f
1
++=
, tcx
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
c
y ax b
dx e
= + +
+
( d ≠ 0 )
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thò các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
b/ y = ax
2
+ bx + c
c/ y = ax
3
+ bx
2
+ c + d
a> 0 :
a < 0 :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 18
x
−∞
+∞
y b b
x
−∞
+∞
y
∞
∞
a > 0
a < 0
a = 0
a > 0 a < 0
> 0
< 0
= 0
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c
a > 0
a < 0
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > 0 ad - bc < 0
f/ y =
edx
cbxax
2
+
++
(ad ≠ 0)
ad > 0
ad < 0
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y =
0 đối xứng qua (Ox).
(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x =
0 đối xứng qua (Oy).
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố đònh : M(x
o
, y
o
) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y
o
= f(x
o
, m), ∀m ⇔ Am + B = 0,
∀m (hay Am
2
+ Bm + C = 0, ∀m) ⇔
=
=
0B
0A
(hay
=
=
=
0C
0B
0A
). Giải hệ, được M.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 19
ab < 0
ab > 0
< 0
> 0
= 0
x < a
x > a
a
x = a
y < b
y > b
b
y = b
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(x
o
, y
o
) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y
o
≠ f(x
o
,m), ∀m ⇔
y
o
= f(x
o
, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am
2
+ Bm + C = 0 VN m) ⇔
≠
=
0B
0A
(hay
<∆
≠
∨
≠
=
=
0
0A
0C
0B
0A
). Giải hệ , được M.
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨
=
≠
VNBCA
0B
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
)
⇔ y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a. (C) : y = f(x), tx (C
/
) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :
=
=
/
C
/
C
/
/
C
C
yy
yy
.
Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(x
o
, y
o
) : y = f'(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
* Qua M (x
o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc
2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x
o
,y
o
) ∈ (C
/
) ⇔ g(x
o
,y
o
) = 0; (d)
qua M : y = k(x – x
o
) + y
o
; (d) tx (C) :
=
=
ky
yy
C
/
dC
(1). Thế k vào (1) được phương
trình ẩn x, tham số x
o
hay y
o
. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số
nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được x
o
hay y
o
.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) =
g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x)
và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 20
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của
(C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (x ≠ α)
hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m
nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bò bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trò ⇔ f
/
đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại x
o
⇔
<
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
f đạt cực tiểu tại x
o
⇔
>
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
∆
> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< α .
• 1 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT
y .y
∆ >
>
• 2 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT
y .y
∆ >
<
* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ
.y
CT
< 0 (>0) có thể thay bởi y = 0
VN (có 2 nghiệm.).
* Tính y
CĐ
.y
CT
:
• Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx
+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với pt y
/
= 0.
• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y =
y
CĐ
.y
CT
=
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y
/
= 0.
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/
* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trò ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trò ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 21
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x
1
)
+ hàm số tăng trên (x
2
, +∞)
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
1bậc
2bậc
i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác đònh.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghòch biến) trên từng khỏang xác
đònh.
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực đại tại x
1
và đạt cực
tiểu tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2
x x
p
2 m
+
=−
.
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực
đại tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2
x x
p
2 m
+
=−
.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghòch biến) trên miền x ∈ I :
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghòch biến) của các BBT trên; so sánh
nghiệm pt bậc 2 y
/
= 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo
sát thì dùng đồ thò của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thò f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x
o
, y
o
, m; khử m, được F(x
o
, y
o
)
= 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ?
⇔
x
o
?
(hay y
o
?)
• Nếu x
o
= a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu y
o
= b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + x
I
, y = Y + y
I
; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thò có tđx là gốc tọa độ I.
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 22
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào
hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có trục đối
xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
M N I
M N I
M M
N N
x x 2x
y y 2y
y f(x )
y f(x )
+ =
+ =
=
=
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
(d') : y = –
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x
A
,
x
B
, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm x
A
, x
B
, suy ra y
A
, y
B
.
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b +
edx
c
+
có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) :
giải hệ
∈
+
++=
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
⇔
∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MM
⇔
=+∈
+
++=
ccủasốướcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trò và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thò :
f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔
<
<
xb
ax
f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔
≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a
/
, b
/
) = (a ± a
/
, b ± b
/
)
k(a, b) = (ka, kb)
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 23
a
b
f
g
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
(a, b) = (a
/
, b
/
) ⇔
=
=
/
/
bb
aa
(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb
/
22
ba)b,a( +=
/
/
/
v.v
cos( v ,v )
v . v
=
r r
r r
r r
ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
M chia AB theo tỉ số k ⇔
MBkMA =
⇔
k1
kyy
y,
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
(k ≠ 1)
M : trung điểm AB ⇔
2
yy
y,
2
xx
x
BA
M
BA
M
+
=
+
=
M : trọng tâm ∆ABC ⇔
++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/
==
[ ]
=
//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v
rr
/ / /
[ v ,v ] v . v .sin( v ,v )=
r r r r r r
//
v,v]v,v[
rrrr
⊥
*
/
vv
rr
⊥
⇔
/
v.v
rr
= 0 ;
/ /
v // v [v,v ]⇔
r r r r
= 0 ;
///
v,v,v
rrr
đồng phẳng
⇔
0v].v,v[
///
=
rrr
[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
∆
[ ]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=
/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB // AC
uuur uuur
* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔
=
=
0AC.BH
0BC.AH
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 24
Tãm t¾t kiÕn thøc To¸n Trung häc phỉ th«ng
H là chân đường cao h
a
⇔
=
BC//BH
0BC.AH
M là chân phân giác trong
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB −=
M là chân phân giác ngòai
∧
A
⇔
MC
AC
AB
MB +=
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong
∧
B
của ∆ABM với
M là chân phân giác trong
∧
A
của ∆ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
−
=
−
+=
+=
b
yy
a
xx
:)d(,
btyy
atxx
oo
o
o
(d) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) = 0
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
1
b
y
a
x
=+
* (AB) :
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v =−=
* (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
C
′
= 0
* (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
( )
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n .n
cos( n ,n )
n . n
≠
uur uuur
uur uuur
uur uuur
* d(M,(d)) =
22
MM
BA
CByAx
+
++
* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d
/
) : A
/
x + B
/
y + C
/
= 0 là :
2/2/
///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++
±=
+
++
/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
Lª Kh¸nh Cêng
–
Gi¸o viªn To¸ n trêng THPT Thn Ch© u
–
S¬n La
Trang 25
