Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi đại học xây dựng

Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i

PhongThang

1

Chương 1

Download:

M đ u - C¸c kh¸i niƯm chung

1.1.

M đ u

Trong chương trình đào t o các ngành có liên quan đ n cơ h c các trư ng ñ i h c và các
vi n nghiên c u chúng ta ñã làm quen v i nh ng môn h c c th : s c b n v t li u, cơ h c k t c u,
cơ h c ch t l ng, ch t khí, thu l c, … Các mơn h c này đư c trình bày m t cách đ c l p, đơi
ph n trùng l p v khái ni m và ki n th c, l i khơng nêu đư c nh ng quan đi m chung v m t cơ
h c và v t lý ñ v i các ñ i tư ng nghiên c u.
Môn cơ h c môi trư ng liên t c ñư c ñưa vào gi ng d y nh m trang b cho ngư i h c nh ng
nguyên lý và qui lu t cơ h c chung, nh ng phương pháp chung nh t ñ gi i quy t các bài toán cơ
h c m t cách t ng quát.
Lý thuy t ñàn h i là m t ngành cơ h c nghiên c u v chuy n d ch, bi n d ng và ng su t xu t
hi n trong các v t r n bi n d ng tr ng thái cân b ng ho c chuy n ñ ng do tác d ng c a các
nguyên nhân ngoài.
1.1.1

Cơ h c - Cơ h c v t r n tuy t ñ i - Cơ h c v t r n bi n d ng

1. Cơ h c: Khoa h c nghiên c u v l c, chuy n ñ ng và quan h gi a chúng.
•
•
•

Chuy n đ ng: tĩnh h c
Tác đ ng c a l c lên h nghiên c u: ñ ng h c
Quan h l c – chuy n ñ ng: ñ ng l c h c
Cơ h c: - Cơ h c v t r n tuy t ñ i.
- Cơ h c v t r n bi n d ng

2. Cơ h c v t r n tuy t ñ i (Cơ lý thuy t): chuy n ñ ng c a ch t ñi m, các h ch t ñi m r i
r c và v t r n tuy t đ i
•
•

L c: ngo i l c.
Chuy n ñ ng: c a v t th so v i h qui chi u xác ñ nh – chuy n ñ ng th ng c a kh i tâm
và chuy n ñ ng quay quanh kh i tâm.

3. Cơ h c v t r n bi n d ng
•
•

L c: N i l c
Chuy n ñ ng: chuy n v tương ñ i c a các ñi m trong v t th , s thay đ i hình d ng và
kích thư c hình h c c a v t th .

Tóm t t bài gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i
Cơ h c v t r n bi n d ng

Chương 1

Lý thuy t ñàn h i, SBVL, CHKC, CH ch t l ng
Lý thuy t d o
Lý thuy t t bi n
Cơ h c phá hu
Cơ h c v t li u Composite, ...

1.1.2 Cơ h c môi trư ng liên t c
Th a hư ng nh ng công c c a cơ h c lý thuy t nhưng không ph i t t c . Cơ h c môi trư ng
liên t c có h tiên đ hố riêng c a nó, có nh ng phương pháp đ c thù đ nghiên c u tính ch t
c a mơi trư ng và phát tri n các phương pháp toán h c ph c v cho nó.
CHMTLT nghiên c u các chuy n đ ng vĩ mơ c a mơi trư ng th r n, l ng, khí (cịn xét các
mơi trư ng ñ c bi t khác như trư ng ñi n t , b c x , tr ng trư ng, …)
-

L c: l c tương tác gi a các ph n t v t ch t c a v t th

-

Chuy n ñ ng: chuy n v c a các ph n t v t ch t, bi n d ng.

CHMTLT trang b nh ng nguyên lý, qui lu t cơ h c chung, nh ng phương pháp t ng quát
nh t ñ gi i quy t các bài tốn cơ h c. Trong cơ h c mơi trư ng liên t c, v t th ñư c xem như
mơi trư ng v t ch t l p đ y liên t c m t mi n nào ñ y, ho c c không gian.
CHMTLT là môn khoa h c khá r ng và phân nhánh g m: lý thuy t ñàn h i, ñàn nh t, nhi t

ñàn h i, d o và t bi n, th y ñ ng l c h c, khí ñ ng l c, lý thuy t plasma, …
Chúng ta ch nghiên c u nh ng khái ni m cơ b n nh t c a Cơ h c môi trư ng liên t c.
1.1.3

Lý thuy t ñàn h i

Nghiên c u trư ng chuy n v , bi n d ng, ng su t xu t hi n trong VRBD
b ng ho c chuy n ñ ng do tác d ng c a l c ngoài ho c các nguyên nhân khác.

tr ng thái cân

Đ i tư ng nghiên c u: v t r n bi n d ng và ñàn h i tuy t ñ i (tuân theo ñ nh lu t th nh t c a
nhi t ñ ng h c v s b o toàn năng lư ng c a h cô l p).
SBVL: xét ng su t, bi n d ng, chuy n v c a thanh b ng cách đưa vào các gi thi t có tính
ch t kinh nghi m nh m đơn gi n hố cách đ t các bài tốn, các k t qu nh n ñư c d ng d ng
trong th c t ( bài toán m t chi u).
LTĐH: Nghiên c u thanh, t m, v ,..các v t th có kích thư c hai, ba chi u. Cách đ t v n đ
ch t ch và chính xác hơn v m t toán h c. Xây d ng các phương pháp t ng quát hơn ñ gi i
quy t các bài tốn do lý thuy t đ t ra.
ng d ng: cơ s cho tính tốn v đ b n, dao ñ ng và n ñ nh trong ch t o máy, trong xây
d ng, và các ngành khoa h c khác.
Lý thuy t đàn h i tuy n tính: xây d ng trên quan h tuy n tính ng su t - bi n d ng.
Lý thuy t ñàn h i phi tuy n: xây d ng trên quan h phi tuy n tính ng su t - bi n d ng (phi
tuy n v t lý).

Tóm t t bài gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i

Chương 1

1.2. Các khái ni m chung
1.2.1 Môi trư ng liên t c
B n ch t phân t c a c u trúc v t ch t ñã ñư c bi t, nhưng trong nghiên c u v tr ng thái c a
v t li u, đi u quan tr ng khơng ph i là tr ng thái c a các ph n t riêng bi t mà là tr ng thái ñ c
trưng chung cho v t li u. Trong trư ng h p này ta gi thi t v t ch t phân b liên t c trên th tích
và khơng có l h ng.
Như v y:
Có th coi các mơi trư ng v t ch t th c: r n, l ng, khí là nh ng mơi trư ng liên t c
Trư ng các ñ i lư ng: ng su t, bi n d ng, chuy n v , có th bi u di n b ng các hàm
liên t c.
C n chính xác hố khái ni m đi m, vì nó có th là đi m khơng gian, và cũng có th là đi m
v t ch t c a môi trư ng liên t c. Đ tránh nh m l n ta dùng t “ñi m” ñ ch v trí trong khơng
gian c đ nh, cịn ‘ph n t ”, “h t” ho c ch t ñi m ñ ch v t ch t ch a trong phân t th tích vơ
cùng bé c a mơi trư ng.
1.2.2

Mơi trư ng ñ ng nh t và ñ ng hư ng
Đ ng nh t: có tính ch t cơ h c như nhau t i m i ñi m
Đ ng hư ng: tính ch t cơ h c t i m t ñi m là như nhau theo m i phương
Nghiên c u m t ph n t v t ch t đ i di n cho mơi trư ng. Ch n h tr c to ñ nghiên
c u m t cách tùy ý.

1.2.3

M t ñ kh i lư ng
Là ñ ñ m ñ c c a v t ch t trong mơi trư ng
M t đ trung bình
∆m

ρtb =
; ∆m là kh i lư ng c a phân t có th tích ∆V
∆V
M t đ v t ch t t i m t ñi m
∆m dm
ρ = lim
=
∆V →∞ ∆V
dV
Kh i lư ng v t ch t trong toàn b th tích V
m = ∫ ρ dV N u mơi trư ng có ρ = const : mơi trư ng ñ ng nh t
(V )

1.2.4

Chuy n v , bi n d ng và s ch y:

1. Chuy n v : Khi ch u tác d ng c a ngo i l c, mơi trư ng thay đ i hình d ng, kích thư c, các
ph n t v t ch t c a môi trư ng chuy n d i v trí - chuy n v , véctơ chuy n v u là vec tơ n i v
trí c a ph n t
th i ñi m t=0 và th i ñi m t ñang xét. Chuy n v u có ba hình chi u u, v, w ho c
u1, u2, u3 lên 3 tr c t a đ .
Tóm t t bài gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i

Chương 1

2. Bi n d ng:

Là s thay đ i hình dáng và kích thư c c a mơi trư ng
khi ch u tác d ng c a ngo i l c.

th i ñi m t=0 và th i ñi m t ñang xét

Đ xác ñ nh m c ñ bi n d ng ngư i ta dùng bi n d ng t ñ i (bi n d ng ñơn v ).
Phân lo i bi n d ng : bi n d ng dài (ε), bi n d ng góc (γ), bi n d ng th tích (θ).

ε , γ , θ << 1 : bi n d ng bé → b qua tích các đ o hàm c a nó (b qua VCB b c cao)
3. S ch y
Quá trình trung gian c a mơi trư ng t i th i đi m đang xét và th i đi m đ u.
1.2.5

Khơng gian và th i gian

Không gian metric là không gian mà trong đó kho ng cách gi a các đi m là xác đ nh.
Khơng gian Euclid: trong h tr c to ñ Descrates x, y, z bi u th c bi u di n kho ng cách gi a
hai ñi m luôn luôn ñúng
l=

2

2

( x A − xB ) + ( y A − y B ) + ( z A − z B )

2

Th i gian: tuy t ñ i, lý tư ng và như nhau v i m i ngư i quan sát.

Tóm t t bài gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

2
M t s khái ni m cơ b n v ten-xơ

Trong chương này trình bày m t s khái ni m cơ b n và các phép tính ñ i v i ten-xơ ñ làm
quen v i công c toán h c này trong khi nghiên c u các v n đ v Cơ h c các mơi trư ng liên t c
và Lý thuy t ñàn h i.
Trong cơ h c, cũng như trong toán h c và v t lý ta thư ng g p các đ i lư ng có các tính ch t
khác nhau.
• Đ i lư ng vô hư ng: là nh ng ñ i lư ng mà v i m t ñơn v đo đã ch n nó đư c đ c
trưng b ng m t con s như: nhi t ñ , kh i lư ng, …
• Đ i lư ng vec tơ : là ñ i lư ng ñư c ñ c trưng b i giá tr theo ñơn v ño, phương và
chi u trong không gian xác ñ nh, ch ng h n: l c, v n t c, gia t c c a ch t đi m, …
• Đ i lư ng ten xơ: ñ c trưng cho m t tr ng thái xác đ nh nào đó c a v t th : tr ng thái
bi n d ng, tr ng thái ng su t, …
Ten xơ là m t ñ i lư ng t ng quát, mà các đ i lư ng vơ hư ng, đ i lư ng vec tơ là trư ng h p
riêng c a nó. Các đ i lư ng ten xơ có đ c đi m chung là khơng ph thu c vào cách ch n h tr c
to ñ khi mơ t chúng.
2.1. Ten xơ trong h to đ vng góc (Descrates)
2.1.1. H th ng ký hi u
H th ng ký hi u trong phép tính ten-xơ đóng vai trị quan tr ng. Các ký hi u ñ c trưng b i
m t hay nhi u ch s , ch ng h n ai , a j , aijk , …Ta qui ư c như sau: các ch s b ng ch La tinh
l y các giá tr 1, 2, 3. Do đó
ai bi u th m t trong ba ph n t a1 , a2 , a3

aij bi u th m t trong chín ph n t a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33
aijk bi u th m t trong 27 ph n t a111 , a112 ,..., a333

H th ng các ph n t như ai ch ph thu c vào m t ch s , g i là h th ng h ng nh t, bao
g m 3 ph n t ; aij là h th ng h ng hai bao g m 32 ph n t . T ng quát, h th ng ph thu c vào
n ch s g m 3n ph n t .
1


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

2.1.2. Qui ư c v ch s
Trong m t bi u th c, ch s l p l i hai l n bi u th t ng theo ch s đó t 1 đ n 3. Ch s như
v y g i là ch s câm, ta có th thay b ng ch s khác.
Thí d : ai bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ak bk
Ch s xu t hi n m t l n g i là ch s t do, nó ch y t 1 đ n 3
Thí d , ai là h th ng g m a1 , a2 , a3 .
2.1.3. H th ng ñ i x ng và ph n ñ i x ng
Gi s ta có h th ng aij , n u thay ñ i ch c a hai ch s cho nhau, các thành ph n c a h
th ng khơng thay đ i d u và giá tr , t c là aij = a ji thì h th ng này là h th ng ñ i x ng. M
r ng cho các h th ng nhi u ch s , ch ng h n aijk = aikj thì h th ng aijk đ i x ng theo hai ch s
j, k. Kí hi u Kronecker là trư ng h p ñ c bi t c a h th ng đ i x ng

0 víi i ≠ j
δ ij = 
1 víi i = j

(2.1)

H th ng aij là ph n ñ i x ng khi aij = − a ji
Ký hi u Levi-Chivita eijk là h th ng ph n ñ i x ng v i các thành ph n như sau:
0 khi hai ch s b t kỳ b ng nhau
eijk = 1 khi hai ch s l p thành hoán v ch n c a 1, 2, 3

(2.2)

-1 khi hai ch s l p thành hoán v l c a 1, 2, 3
2.1.4 Trư ng vô hư ng hay ten-xơ h ng không
Trư ng vô hư ng là m t hàm vô hư ng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) c a to ñ các ñi m trong mi n khơng

gian x1 , x2 , x3 xác đ nh c a hàm và t là tham s th i gian
Gradient c a trư ng vô hư ng là m t vec tơ có hư ng mà hàm ϕ tăng nhanh nh t và có đ
l n b ng đ o hàm theo hư ng đó
gradϕ = ∇ϕ =

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
e1 +
e2 +
e3
∂x1
∂x2
∂x3

(2.3)

v i ei là vec tơ ñơn v c a h tr c to ñ Oxi ; Ký hi u ∇ ñ c là “nabla”

Ý nghĩa hình h c: gradϕ là m t vec tơ vng góc v i m t cho b i phương trình ϕ = const .
Vec tơ pháp tuy n ñơn v ν c a m t này t i m t đi m nào đó trên b m t s là
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂x3
gradϕ
∂x1
∂x2
=
e1 +
e2 +
e3
ν=
gradϕ
gradϕ
gradϕ
gradϕ

(2.4)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i
2

2

 ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ 
Trong đó gradϕ = 
 +

 +

 ∂x1   ∂x2   ∂x3 

Tóm t t bài gi ng

2

Ký hi u ∆ g i là “toán t Laplace” hay Laplacien v i:
∆ϕ = ∇∇ϕ = ∇ 2ϕ =

∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 + 2
∂x12 ∂x2 ∂x3

(2.5)

Ví d 2.1: Tìm vec tơ pháp tuy n c a m t ph ng ñi qua ba ñi m A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)
cho trư c trong h to đ vng góc như trên hình 2.1
x2

b

e2
O

e1
a

e3

x1

c
x3

Hình 2.1
Bài gi i: Phương trình m t ph ng đi qua ba ñi m A, B, C là
x1 x2 x3
x x x
1
1
1
+ + = 1 => ϕ = 1 + 2 + 3 − 1 => gradϕ = e1 + e2 + e3
a b c
a b c
a
b
c

Do v y:
1
1
1
gradϕ
a
b
c
=
e +

e +
e
ν=
2
2
2 1
2
2
2 2
2
2
2 3
gradϕ
1 1 1
1 1 1
1 1 1
  +  + 
  +  + 
  +  + 
a b c
a b c
a b c

ν=

bc
2 2

2 2

2 2

a b +b c +a c

e1 +

ac
2 2

2 2

2 2

a b +b c +a c

e2 +

ab
2 2

a b + b 2c 2 + a 2 c 2

Khi a=b=c (m t nghiêng ñ u v i ba tr c to ñ ) thì vec tơ pháp tuy n là

ν=

±1
±1
±1
e1 +

e2 +
e3
3
3
3

2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ h ng nh t

1. Các thành ph n vec tơ

e3


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

Các ñ i lư ng v t lý: l c, v n t c, gia t c, …ñ c trưng b i tr s và hư ng, bi u di n trong
không gian ba chi u b ng ño n th ng có hư ng g i là vec tơ. Vec tơ a b t kỳ trong không gian
có th bi u di n b ng ba thành ph n a1 , a2 , a3 c a nó trên ba tr c to đ (hình 2.2):
x2

a2
a

a1

O

x1

a3

x3

Hình 2.2

a = a1 + a2 + a3
ho c

(2.6)

a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

(2.7)

trong đó ei là vec tơ ñơn v .
2
2
Đ dài vec tơ a = a = a12 + a2 + a3 = ai2

(2.8)

2
Cosin ch phương c a các vec tơ là li ; i=1,2,3 v i li = ai / a và l12 + l2 + l32 = 0

2. Các phép tính vec tơ (xem ph n ph l c ho c giáo trình Tốn)
3. Ma tr n bi n ñ i h tr c to đ
H tr c to đ vng góc ban đ u xi có các vec tơ đơn v là ei xoay quanh g c to ñ O tr
thành h tr c vng góc m i xi' v i các vec tơ ñơn v là ei' (Hình 2.3)

x2
x

'

2

a
e2

x

O

e3

e'3

e'2
e1
e'1

x1

'

3

x

1'

x3

Hình 2.3
Các cosin ch phương cij là góc h p b i tr c m i xi' và tr c cũ xj :


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

cij = cos(xi' , x j ) = cos(ei' , ei ) = ei' .ei

(2.10)

B ng cosin ch phương c a hai h tr c
x1

x2

x3

x1'

c11

c 11

c13

'
x2

c 21

c 22

c 23

'
x3

c 31

c 32

c 33

Các vec tơ ñơn v m i bi u di n qua vec tơ ñơn v cũ b i h th c:
 e' 
 1   c11 c12
 ' 
e2  = c21 c22
 '  c
c
e3   31 32
 

 

e 
c13  e1 
 1
 e  = C e 
c23   2  [ ]  2 
 
c33  e 
 3
e3 
 
 

(2.11)

Các vec tơ ñơn v cũ bi u di n qua vec tơ ñơn v m i b i h th c:
e   c '
 1   11
 
'
e2  = c 21
   '
e3  c31
  

'
'
 e' 
c13   e1 
 1
 ' 

 
 '
'
c 23  e2  = [C '] e2 
 '
'  ' 
c33  e3 
 e3 
 
 

'
c12
'
c 22
'
c32

(2.12)

Ma tr n các cosin ch phương [C] và [C’] là các ma tr n tr c giao và
−1

[ C '] = [ C ]

T

= [C ]

(2.13)

T – là ký hi u vec tơ chuy n trí
'

x

'

x2

x1

e'2

e2
O

e'1
e1

e3 = e'3

'
x 3 =x 3

Hình 2.4

θ
x1

Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

Khi h tr c to ñ ban ñ u Ox1 x2 x3 quay m t góc θ ngư c chi u kim ñ ng h quanh tr c x3,
' '
'
t o thành h tr c to ñ m i Ox1' x2 x3 như trên hình 2.4 lúc đó x3 ≡ x3 và ma tr n bi n ñ i h tr c
to đ có d ng:

 cos θ
[C ] =  − sin θ

 0


sin θ
cos θ
0

0
0

1


(2.14)

Chú ý: Khi bi n ñ i h tr c to ñ b n thân vec tơ a khơng thay đ i nhưng các thành ph n ai

c a nó bi n ñ i thành ai' trong h tr c to ñ m i
2.1.6 Ten xơ h ng hai:

Là h th ng aij g m 32=9 thành ph n. Ta g p các ten xơ h ng hai khi nghiên c u v tr ng thái
ng su t, tr ng thái bi n d ng c a môi trư ng liên t c, s phân b c a mơ men qn tính ñ i v i
các tr c ñi qua ñi m b t kỳ thu c v t th r n, …
2.1.7 Ten xơ h ng n: là h th ng aijkl… g m 3n thành ph n
2.1.8 Các phép tính ñ i s ten xơ: xem ph l c ho c tài li u tham kh o


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

3
Lý thuy t v

ng su t

3.1. Đ nh nghĩa v

ng su t

N i l c: Lư ng thay ñ i l c tương tác gi a các ph n t v t ch t c a v t th khi có ngo l c tác
d ng.
Trên m t c t b t kỳ thu c v t th ch u l c, xét phân t di n tích ∆A ch a ñi m K ñang xét.
Gi s ν là pháp tuy n ngoài c a m t c t, ∆ P là h p l c c a n i l c trên b m t ∆A . ng su t
tồn ph n pν đư c đ nh nghĩa:
∆P
∆A→ 0 ∆A

pν = lim

(3.1)

Có th phân tích vec tơ ng su t toàn ph n thành ba thành ph n theo ba phương c a h tr to
ñ xi v i các vec tơ ñơn v ei là pν 1 , pν 2 , pν 3

pν = pν 1 e1 + pν 2 e 2 + pν 3 e 3
pν =

(3.2)

pν21 + pν22 + pν23

(3.3)
pν2
p

x2

K

pν
pν1

ν3

ν

ν

pν
σνη

σνν
K

x1
x3

Hình 3.1
Thơng thư ng ta l y m t tr c to ñ trùng v i phương pháp tuy n c a m t c t, thì ng su t
tồn ph nđư c phân tích làm hai thành ph n: ng su t pháp σνν và ng su t ti p σνη :

pν = σ νν + σ νη

(3.4)

2
2
pν = σνν + σνη

(3.5)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

ng su t t i m t ñi m ph thu c: - To ñ ñi m
- Phương pháp tuy n c a m t c t.
Ký hi u ng su t: ch s 1 – phương pháp tuy n; ch s 2 – phương c a ng su t
Qui ư c chi u dương c a ng su t khi:
-

Pháp tuy n ngoài c a m t c t hư ng theo chi u dương c a m t tr c và chi u c a ng su t
cũng hư ng theo chi u dương c a các tr c tương ng

-

Pháp tuy n ngoài c a m t c t hư ng theo chi u âm c a m t tr c và chi u c a ng su t
cũng hư ng theo chi u âm c a các tr c tương ng

x2
P

σ13
σ11
σ12

x3

σ12 + σ12 dx1

x1

σ11 + σ11 dx 1
x1
M

x1

K

σ13 + σ13 dx1

x1

Hình 3.3
ng su t trên các m t vng góc h tr c to ñ ph thu c vào to ñ c a ñi m ñang xét
σ ik = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) . Khi ñi m thay ñ i, ng su t s thay ñ i. Ta xét hai ñi m g n nhau K(x1,x2,
x3) và M(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3)
T i K(x1,x2, x3) trên các m t c t ⊥ tr c có h ng su t σ ik = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) .
T i M(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3) có h ng su t tương ng
*
σ ik = σ ik ( x1 , x2 , x3 ) +

∂σ ik
∂σ
∂σ
dx1 + ik dx2 + ik dx3
∂x1
∂x2
∂x3

3.2. Đi u ki n cân b ng
3.2.1. Đ t v n đ :
Cho v t th có th tích V, di n tích b m t S ch u tác d ng c a ngo i l c
g m:

• L c b m t (là l c phân b trên di n tích) có cư ng đ f * v i hình chi u lên 3
tr c to đ x1 , x2 , x3 : f i* ( f1* , f 2* , f 3* )
•

L c th tích là nh ng l c phân b trong th tích v t th , có cư ng đ f v i hình
chi u lên 3 tr c t a đ x1 , x2 , x3 là f1 , f 2 , f3 .

Khi v t th

tr ng thái cân b ng ⇒ Các phân t tho mãn ñi u ki n cân b ng.


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

Chia nh v t th thành các phân t b i các m t song song m t ph ng to ñ , nh n ñư c các phân
t hình h p ch nh t (phân t lo i 1 - n m bên trong S) và các phân t hình t di n (phân t lo i
2 - n m sát m t ngồi S)

S
V

Hình 3.4
3.2.2. Phương trình vi phân cân b ng Navier-Cauchy (Đi u ki n cân b ng phân t lo i 1)

L c tác ñ ng lên phân t g m:
-

Ngo i l c: l c th tích cư ng đ fi

-

N i l c: các thành ph n ng su t trên 6 b m t phân t

Trên các m t ñi qua đi m M có to đ xi có các thành ph n ng su t:
-

M t c t ⊥ x1: σ 11 σ 12 σ 13

-

M t c t ⊥ x2: σ 21 σ 22 σ 23

-

M t c t ⊥ x3: σ 31 σ 32 σ 33

Trên các m t lân c n (xi+dxi): dùng khai tri n Taylor (b qua vơ cùng bé b c cao)(hình 3.3):

σ ik ( xi + dxi ) = σ ik ( xi ) +

∂σ ik
∂xi

dxi ; σ ik ( yi + dyi ) = σ ik ( yi ) +
xi

∂σ ik
∂yi

dyi

(3.6)

yi

L y t ng hình chi u các l c lên các phương x1, x2, x3 ta nh n ñư c h phương trình cân b ng:

∑ X1 = 0 ⇒

 d 2u 
∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31
+
+
= 0  ρ 21 
∂x1
∂x2
∂x3
 dt 

 d 2 u2 
∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32
∑ X 2 = 0 ⇒ ∂x + ∂x + ∂x = 0  ρ dt 2 


1
2
3

∑ X3 = 0 ⇒

(3.7)

 d 2u 
∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33
+
+
= 0  ρ 23 
∂x1
∂x2
∂x3
 dt 

Trong trư ng h p cân b ng đ ng thì v ph i trong (3.7) là l c quán tính (trong ngo c - ρ là
kh i lư ng riêng)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

3.2.3.Đ nh lu t ñ i ng c a ng su t ti p

T phương trình cân b ng mơ men v i ba tr c to đ ta có đ nh lu t đ i ng c a ng su t
ti p:

σ ij = σ ji

(3.8)

3.2.4. Đi u ki n biên theo ng su t (ñi u ki n cân b ng c a phân t lo i 2)

(

M t nghiêng ABC có pháp tuy n ngồi ν v i các cosin ch phương li = cos ν , xi
x2

)

x2

C

σ13
σ11
σ12
A
x3

ν

σ13
σ11
σ12

*
2

f

*
f3* f1

σ21 σ22

B

σ23

x1

x3

p

ν

ν2

p

ν3

σ21 σ22

p

ν1

x1

σ23

Hình 3.5
Hình 3.6
Xét cân b ng phân t t di n, phương trình t ng hình chi u các l c tác d ng theo phương
tr c xi cho ta (hình 3.5):

σ 11l1 + σ 12 l2 + σ 13 l3 = f1*
σ 21l1 + σ 22 l2 + σ 23 l3 = f2*

(3.9)

σ 31l1 + σ 32 l2 + σ 33l3 = f3*
Cơ h c: H phương trình (3.7) và (3.9) là đi u ki n cân b ng c a tồn th mơi trư ng
Tốn h c: H (3.7) là h phương trình vi phân v i các n s ng su t, (3.9) là ñi u ki n
biên ñ xác ñ nh các h ng s tích phân c a phương trình vi phân.

3.3.

ng su t trên m t c t nghiêng
Cân b ng phân t t di n như

3.2.4, ch khác là trên m t c t nghiêng có các thành ph n

ng su t là pν 1 , pν 2 , pν 3 . Pháp tuy n ν c a m t c t nghiêng có các cosin ch phương là li.
3.3.1. ng su t tồn ph n

Hình chi u c a ng su t toàn ph n lên các tr c xi:

σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = pν 1
σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = pν 2
σ 13l1 + σ 23 l2 + σ 33 l3 = pν 3

(3.10)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

Hay dư i d ng ma tr n:
 pν 1  σ 11 σ 21 σ 31   l1 
 p  = σ
 
 ν 2   12 σ 22 σ 32  l2 
 pν 3  σ 13 σ 23 σ 33   l3 
  
 

Giá tr
pν =

(3.11)

ng su t toàn ph n:
pν21 + pν22 + pν23

(3.12)

3.3.2. ng su t pháp và ng su t ti p

ng su t pháp là t ng hình chi u c a các thành ph n pν 1 , pν 2 , pν 3 lên pháp tuy n ν

σνν = pν 1l1 + pν 2 l2 + pν 3l3
Đ ý ñ n (3.10) ta có

σνν = σ 11l12 + σ 22 l22 + σ 33l32 + 2 (σ 12 l1l2 + σ 13l1l3 + σ 23 l2 l3 )

(3.13)

ng su t ti p:
2
σνη = pν2 − σνν

(3.14)

3.4. Tr ng thái ng su t – Tenxơ ng su t
3.4.1. Tr ng thái ng su t
Tr ng thái ng su t t i m t ñi m là t p h p t t c nh ng thành ph n ng su t trên t t c các
m t c t đi qua đi m đó.
ng su t ph thu c vào: v trí đi m ñang xét và phương pháp tuy n c a m t c t.
Tr ng thái ng su t ch ph thu c vào v trí đi m đang xét. Như v y tr ng thái ng su t ñ c
trưng cho tình tr ng ch u l c t i các đi m khác nhau c a mơi trư ng.
3.4.2. ng su t khi bi n ñ i h tr c to ñ

H tr c xi xoay quanh g c to ñ và tr thành h tr c xi' , các cosin ch phương c a góc
'
gi a tr c m i xi' và tr c cũ xi là cij . ng su t σ ij trong h tr c m i xi' :

'
σ ij = cik c jlσ kl

3.4.3. Tenxơ ng su t

Tr ng thái ng su t ñ c trưng b i 9 thành ph n ng su t σ ij trên các m t c t vuông góc v i
các tr c to đ là m t ten xơ h ng hai và g i là ten xơ ng su t


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i
σ 11 σ 12 σ 13 
Tσ = σ 21 σ 22 σ 23 


σ 31 σ 32 σ 33 



Tóm t t bài gi ng

(3.15)

3.4.4. Tenxơ l ch ng su t và tenxơ c u ng su t

Tenxơ ng su t có th phân tích thành tenxơ l ch ng su t Dσ và tenxơ c u ng su t Tσ 0
Tσ = Dσ + Tσ 0

(3.16)

Trong đó:

σ 12
σ 13 
0
σ 11 − σ tb
σ tb 0
 σ
 và T =  0 σ
σ 22 − σ tb
σ 23 
Dσ = 
0
σ0
21
tb


 σ 31
0
σ 32
σ 33 − σ tb 
0 σ tb 





(3.17)

Tenxơ c u ng su t ch gây nên bi n d ng th tích, trong khi ten xơ l ch ng su t ch gây

nên bi n ñ i hình dáng.

3.5. M t chính – Phương chính – ng su t chính
M t chính là m t có ng su t ti p b ng 0.
Phương chính: phương pháp tuy n c a m t chính
ng su t chính: ng su t pháp trên m t chính
Gi s phương chính ν có các cosin ch phương trong h to ñ xi là li, ng su t chính là

σ . Vì m t chính có ng su t ti p b ng 0, nên ng su t toàn ph n pν có phương trùng v i pháp
tuy n ν và có giá tr b ng σ , do đó hình chi u pν i trên các tr c c a ng su t toàn ph n s là:
pν i = σ li

(3.18)

Thay (3.18) vào h phương trình ng su t trên m t c t nghiêng

(σ 11 − σ ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0
σ 12 l1 + (σ 22 − σ ) l2 + σ 32 l3 = 0

(3.19)

σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ ) l3 = 0
Đi u ki n đ (3.19) khơng có nghi m t m thư ng tho mãn ñi u ki n
2
l12 + l2 + l32 = 1

là:

(3.20)

σ 11 − σ
σ 21
σ 31
σ 12
σ 22 − σ
σ 32 = 0
σ 13
σ 23
σ 33 − σ

(3.21)

σ 3 − I1σ 2 + I2σ − I3 = 0

(3.22)

ho c:


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

trong đó
I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33
I2 =

σ 11 σ 21 σ 22 σ 32 σ 11 σ 31
+
+

σ 12 σ 22 σ 23 σ 33 σ 13 σ 33

(3.24)

σ 11 σ 21 σ 31
I3 = σ 12 σ 22 σ 32
σ 13 σ 23 σ 33
Phương trình (3.22) ln có ba nghi m là 3 ng su t chính, theo qui ư c σ 1 > σ 2 > σ 3 . L n
lư t thay các ng su t chính này vào hai trong ba phương trình (3.19), k t h p v i phương trình
(3.20) ta nh n đư c các cosin ch phương c a các ng su t chính tương ng. Ch ng h n đ tìm
phương chính tương ng v i ng su t chính σ 1 ta ph i gi i h 3 trong 4 phương trình sau:

(σ 11 − σ 1 ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0
σ 12 l1 + (σ 22 − σ 1 ) l2 + σ 32 l3 = 0
σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ 1 ) l3 = 0
2
l12 + l2 + l32 = 1

3.6.

ng su t ti p c c tr

V trí m t có ng su t ti p c c tr là nh ng m t có pháp tuy n nghiêng góc 450 so v i các
tr c ng su t chính.
1
τ max =

σ1 − σ 2

2

; τ max =

2

3.7. Cư ng ñ

σ2 −σ3
2

3
; τ max =

σ1 − σ 3
2

(3.25)

ng su t

Cư ng ñ ng su t là m t tr s t l v i căn b c hai c a b t bi n th hai c a tenxơ l ch ng su t
+ Cư ng ñ ng su t ti p

τ i = I2 ( Dσ )
τi =

1
6

(3.26a)
2

2

(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )

+ Cư ng ñ

2

ng su t pháp

σ i = 3 I2 ( Dσ )
σi =

2
2

(3.26b)

(3.27a)
2

2

( σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 )

2

(3.27b)

Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

4
Tr ng thái bi n d ng

4.1. H to đ và các cách mơ t chuy n đ ng
4.1.1 Ký hi u h tr c to ñ - H to ñ ñ ng hành và h to ñ qui chi u
3.

H tr c to đ vng góc Descrates x, y, z có th bi u di n d ng x1, x2, x3 ho c xi v i i=1, 2,
th i ñi m ban ñ u (t=0) ch n h to ñ Descrates X1 X2 X3 g n v i môi trư ng v t ch t liên

t c g i là h tr c to ñ ñ ng hành. Đi m v t ch t M có t a ñ Xi ñư c xác ñ nh b i vectơ bán
kính R , Xi là t a đ đi m v t ch t ban đ u, khơng ph thu c th i gian t.
Khi ch u tác ñ ng bên ngồi, mơi trư ng b bi n
d ng , t i th i ñi m t, ñi m v t ch t M có v trí m i
M1 trong h t a ñ tuỳ ch n tương ng nào đó xi
(g i là h to đ qui chi u, thư ng g n v i trái ñ t,
toa tàu,...). T i th i ñi m này ñi m khơng gian
M1(xi) đư c xác đ nh b i vec tơ bán kính r , xi g i
là t a ñ không gian, xi ph thu c th i gian t.

X2 ,x2 t=0
M
R
X3

t
u

M1

r
X1 ,x1

x3

Hình 4.1

Khi nghiên c u chuy n ñ ng c a môi trư ng liên t c, ta hi u r ng t n t i h qui chi u c a
ngư i quan sát và h to đ đ ng hành g n v i mơi trư ng liên t c.
4.1.2 Chuy n v
S thay ñ i v trí c a các ph n t v t ch t trong môi trư ng khi môi trư ng chuy n t tr ng
thái này sang tr ng thái khác g i là chuy n v . Có hai lo i chuy n v :
o Chuy n v c ng: mơi trư ng chuy n đ ng như v t th c ng sang tr ng thái m i,
kho ng cách gi a các ph n t v t ch t khơng thay đ i
o Chuy n v gây bi n d ng: kho ng cách gi a các ph n t v t ch t thay ñ i
=> ch nghiên c u chuy n v gây bi n d ng
Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

Vec tơ chuy n v c a ñi m M:
X2 ,x2 t=0

u = MM 1 = r + b − R (hình 4.1)

Đ đơn gi n ta ch n các h tr c xi và Xi cùng
g c, cùng phương và cùng chi u ( xi ≡ X i ) thì vec tơ
chuy n v (hình 4.2):
u =r−R

t

M
R

X3

u

M1

r
X1 ,x1

x3

Trên ba tr c t a ñ các thành ph n chuy n v

ui = xi - X i

Hình 4.2

Có hai cách mơ t chuy n đ ng trong mơi trư ng liên t c: mô t Lagrange và mô t Euler
4.1.3 Mô t Lagrange:
Mô t các ph n t v t ch t t i các th i ñi m khác nhau. Khi m t th tích nào đó c a v t th b
bi n d ng, các h t v t ch t chuy n ñ ng theo nh ng quĩ ñ o khác nhau. Các chuy n đ ng này
đư c mơ t b i phương trình:
 x1 = x1 ( X 1 , X 2 , X 3 , t )

 x2 = x2 ( X 1 , X 2 , X 3 , t )
x = x ( X , X , X , t)
 3 3 1 2 3

(4.1)

hay xi = xi ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) = xi ( X i , t ) ; i=1,2,3
trong đó xi - v trí đi m v t ch t t i th i ñi m t ñang xét
X i - v trí đi m v t ch t t i th i ñi m t=0 - to ñ (bi n s ) Lagrange - to ñ v t ch t
Vec tơ chuy n v u = u ( X i , t )
N u c ñ nh Xi thì phương trình (4.1) mơ t v trí liên ti p c a ñi m v t ch t M (quĩ ñ o
chuy n ñ ng). N u c ñ nh th i gian t thì (4.1) cho hình nh phân b v t ch t trong môi trư ng
t i th i ñi m t. N u c Xi và t cùng thay đ i thì (4.1) xác ñ nh qui lu t chuy n ñ ng c a môi
trư ng .
4.1.4 Mô t Euler
Mô t hi n tư ng x y ra t i đi m khơng gian M1 th i ñi m t - Xác ñ nh ph n t v t ch t nào
th i ñi m ban ñ u t=0 có t a ñ M(Xi) sau th i gian t s chuy n t i đi m khơng gian M1(xi),

nghĩa là c n tìm Xi :

 X 1 = X 1 ( x1 , x2 , x3 , t )

 X 2 = X 2 ( x1 , x2 , x3 , t )
 X = X (x , x , x , t)
 3
3
1
2
3
hay X i = X i ( x1 , x2 , x3 , t ) = X i ( xi , t ) v i i=1,2,3
Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

(4.2)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

xi - ñư c g i là to ñ (bi n s ) Euler - to ñ không gian ; Chú ý : xi=xi(t)
N u c ñ nh M1, thì phương trình (4.2) xác đ nh dịng ph n t v t ch t l n lư t chuy n t i M1
theo th i gian t.
mô t Euler phù h p v i vi c nghiên c u dòng ch y c a ch t l ng, ch t khí (áp l c, v t
t c dịng ch y, t i các ñi m khác nhau c a thành ng)
mô t Lagrange phù h p v i vi c nghiên c u quĩ ñ o chuy n ñ ng
4.1.5 Quan h gi a hai bi n s Euler và Lagrange
Mô t Euler và Lagrange là hai cách mơ t khác nhau v chuy n đ ng c a mơi trư ng, các
bi n s là tương đương nhau và có th qui đ i l n nhau. Đi u ki n c n và ñ ñ t n t i hàm
ngư c c a chúng là Jacobien khác 0.

∂x1 ∂x1 ∂x1
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3
J=

dxi
∂x ∂x2 ∂x2
= 2
≠0
dX j
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3

(4.3)

∂x3 ∂x3 ∂x3
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3
Chuy n v ui có th bi u di n theo hai cách:
Theo Lagrange:
(4.4)

ui = xi − X i = xi ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) − X i

ui = ui ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) (bi n Xi) - ui là hàm ph thu c Xi
Theo Euler:

ui = xi − X i = xi − X i ( x1 , x2 , x3 , t )
ui =

ui* ( x1 , x2 , x3 , t )

(bi n xi) - ui là hàm ph

(4.5)
thu c xi

T ng quát, ñ i lư ng nghiên c u A có th đư c bi u di n:
Ai = Ai ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) (bi n Xi)
Ai = Ai ( x1 , x2 , x3 , t ) (bi n xi)

4.2. V n t c và gia t c chuy n ñ ng
4.2.1. Đ o hàm v t ch t:
Đ nh nghĩa: V n t c thay ñ i theo th i gian t c a m t ñ i lư ng c a ph n t v t ch t g i là ñ o
hàm v t ch t c a đ i lư ng đó.
Đ i lư ng nghiên c u A → ñ o hàm v t ch t

dA
dt

1. Theo mơ t Lagrange: đ i lư ng A ph thu c Xi và t: A = A( X i , t )
Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Xi khơng ph thu c vào t →

Tóm t t bài gi ng

dA ∂A
=
dt ∂t

2. Theo mô t Euler: A = A( xi , t )
do q trình chuy n đ ng, xi là to đ khơng gian → xi ∈ t

dA ∂A ∂A dx1 ∂A dx2 ∂A dx3
=
+
+
+
dt ∂t ∂x1 dt ∂x2 dt ∂x3 dt
dA ∂A
∂A
∂A
∂A
+ v3
+ v2
+ v1
=
dt ∂t
∂x3
∂x2
∂x1
3
∂A
dA ∂A
=
+ ∑ vi
dt ∂t i =1 ∂xi
4.2.2

(4.6a)

(4.6b)

V nt c

V n t c chuy n ñ ng t c th i c a các ph n t v t ch t là ñ o hàm c a các chuy n v theo th i
gian.
v = ui =

du
= vi ei
dt

(4.7)

1. Theo Lagrange: ui = ui ( X i , t ) mà X i ∉ t nên

du1 ∂u1 ( X 1 , t ) ∂u1 ( X 2 , t ) ∂u1 ( X 3 , t )
=
+
+
dt
∂t
∂t
∂t
du ∂ui ( X j , t )
vi = uii = i =
∂t
dt

v1 =

(4.8)
(4.9)

C ñ nh th i gian t: s phân b v n t c c a các ph n t trong môi trư ng.
C ñ nh Xi: s thay ñ i v n t c c a ph n t xác ñ nh theo th i gian.
2. Theo Euler: ui = ui ( xi (t ), t )
v1 =

du1 ∂u1 ∂u1
∂u
∂u
=
+
v1 + 1 v2 + 1 v3
dt
∂t ∂x1
∂x2
∂x3

vi = uii =

∂ui ( x j , t )
dui ∂ui ( x j , t ) ∂ui ( x j , t ) ∂xk ∂ui ( x j , t )
=
+
=
+ vk
dt

∂t
∂xk
∂t
∂t
∂xk

C ñ nh th i gian t: S phân b v n t c trong khơng gian - trư ng v n t c
C đ nh xi: Cho bi t v n t c c a nh ng ph n t khác nhau qua m t ñi m xác ñ nh.
4.2.3. Gia t c

Là ñ o hàm theo th i gian c a vec tơ v n t c v

Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

(4.10)
(3.11)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i

a = vi =

dv
= ai ei
dt

Tóm t t bài gi ng

(4.12)

1. Theo Lagrange:

ai =

dvi ( X j , t )
dt

=

∂vi ( X j , t )

(4.13)

∂t

2. Theo Euler:

ai =

dvi ( x j , t )
dt

=

∂vi ( x j , t )
∂t

+ vk

∂vi ( x j , t )

∂xk

Ví d 3.1: Cho phương trình chuy n đ ng c a mơi trư ng liên t c
x1 = X 1et + X 3 ( et − 1) ; x2 = X 2 + X 3 ( et − e −t ) ; x3 = X 3

Tìm các chuy n v , v n t c, gia t c theo bi n Lagrange và theo bi n Euler
Bài gi i:
+ Theo bi n Lagrange
Theo (3.4), các thành ph n chuy n v :
u1 = x1 − X 1 = X 1 ( et − 1) + X 3 ( et − 1)
u2 = x2 − X 2 = X 3 ( et − e − t )

u3 = x3 − X 3 = 0
Các thành ph n v n t c xác ñ nh theo (3.9):
∂u
v1 = 1 = ( X 1 + X 3 ) et
∂t
∂u2
v2 =
= X 3 ( et + e − t )
∂t
∂u
v3 = 3 = 0
∂t
Các thành ph n gia t c xác ñ nh theo (3.13):
∂ 2u1
a1 = 2 = ( X 1 + X 3 ) et
∂t

a2 =

∂ 2 u2
= X 3 ( et − e − t )
2
∂t

a3 =

∂ 2u3
=0
∂t 2

+ Theo bi n Euler
Đ nh th c c a Jacobiên:

Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

(4.14)


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i
 et

J = det  0
0


et − 1 

1 et − e − t  = et ≠ 0

0
1 

0

Nên các hàm ngư c là:
X 1 = x1e − t + x3 ( e − t − 1)
X 2 = x2 − x3 ( et − e − t )

X 3 = x3
T đó các thành ph n chuy n v tính theo (3.5)
u1 = x1 − X 1 = x1 (1 − e − t ) + x3 (1 − e − t )
u2 = x2 − X 2 = x3 ( et − e− t )

u2 = x3 − X 3 = 0
Các thành ph n v n t c xác ñ nh theo (3.11)
v1 = x1e − t + x3e− t + (1 − e− t ) v1 + 0.v2 + (1 − e −t ) v3
v2 = x3 ( et + e − t ) + 0.v1 + 0.v2 + ( et − e− t ) v3

v3 = 0
Gi i h ba phương trình này ta đư c:
v1 = x1 + x2
v2 = x3 ( et + e − t )

v3 = 0
Các thành ph n gia t c chuy n ñ ng xác ñ nh theo (3.13)
a1 = 1.v1 + 0.v2 + 1.v3 = x1 + x3
a2 = x3 ( et − e − t ) + 0.v1 + 0.v2 + ( et − e −t ) v3 = x3 ( et − e− t )

a3 = 0

Ví d 3.2: Cho phương trình chuy n đ ng trong h t a ñ Lagrange
x1 = X 1
x2 = X 2 + aX 3 a là h ng s khác ±1
x3 = X 3 + aX 2
Xác ñ nh các thành ph n chuy n v trong h t a ñ Lagrrange và Euler
∂x1 ∂x1 ∂x1
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3

10 0
∂x2 ∂x2 ∂x2
+Tính Jacobien: J =
= 0 1 a = 1− a2 ≠ 0
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3
0 a1
∂x3 ∂x3 ∂x3
∂X 1 ∂X 2 ∂X 3

Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

Tóm t t bài gi ng


Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i

Tóm t t bài gi ng

=> T n t i hàm ngư c => phương trình chuy n đ ng trong h to ñ Euler
X 1 = x1
x2 − ax3
1− a2

x − ax
X3 = 3 2 2
1− a
X2 =

+Tính các thành ph n chuy n v ui = xi − X i
Trong h t a ñ Lagrange

u1 = x1 − X 1 = X 1 − X 1 = 0
u2 = x2 − X 2 = aX 3
u3 = x3 − X 3 = aX 2
Trong h t a ñ Euler
u1 = x1 − X 1 = X 1 − X 1 = 0
x2 − ax3 ax3 − a 2 x2
=
1 − a2
1 − a2
x − ax23 ax2 − a 2 x3
=
u3 = x3 − X 3 = x3 − 3
1 − a2
1− a2
Chú ý:
u2 = x2 − X 2 = x2 −

o

D ng chuy n v trong hai h t a ñ là khác nhau.

o

Có th tìm chuy n v trong h to ñ Euler b ng phương pháp thay bi n

u2 = aX 3 = a.

x3 − ax2 ax3 − a 2 x2
=
1 − a2
1 − a2

Ví d 3.3: Cho các thành ph n chuy n v
2
u1 = 4 X 1
2
u2 = X 2 X 3
2
u3 = X 1 X 3

Xác ñ nh ví trí m i c a ñi m v t ch t bi t v trí ban đ u là (1,0,2)
Bài gi i:
T i v trí ban đ u X 1 = 1, X 2 = 0 , X 3 = 2
Chuy n v ui = xi − X i → xi = ui + X i

x1 = u1 + X 1 = 4.12 + 1 = 5
x2 = u2 + X 2 = 0.2 2 + 0 = 0
x3 = u3 + X 3 = 1.2 2 + 2 = 6
Nh n xét: Xem Xi là to ñ ban ñ u ; xi là t a ñ m i

Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng

th i ñi m t