SKKN NHỮNG BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

Đặt vấn đề
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà
chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa.
Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt
kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống
cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở
ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng
dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và
sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các
Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài : Những bài toán cực trị trong chơng
trình Trung học cơ sở làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này, tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng pháp
giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc
nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển
t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp
phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I : Khái quát chung.
Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số.
Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học.
Phần I :
Khái quát chung
A/Mục đích yêu cầu:
1/ Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng
pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị.
- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi
giải các bài toán về cực trị.

20
2/ Đối với học sinh:
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài
toán cực trị.
- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng
pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó.
- Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống.
B. Lý thuyết chung:
Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học. Nó
bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợc
nghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật. Chúng
góp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lý
thuyết điều khiển tối u.
Trong bài viết này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không
dùng phơng pháp đạo hàm.
Xét hàm số n biến: F (x,y,z ) liên tục trên miền đóng D

R
n

Nếu F(x,y,z )

A với mọi (x,y,z)

D = const
Đồng thời

(x
0
,y

0
,z
0
) sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
) = A, thì A gọi là giá trị lớn
nhất của F (x
0
,y
0
,z
0
) trên D. Ký hiệu max F (x
0
,y
0
,z
0
) = A
Tơng tự, nếu F (x
0
,y
0
,z
0
)

A (a = const)

(x,y,z )

D
Và

(x
0
,y
0
,z
0
)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
) = a
Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z ) trên D
Ký hiệu: min F (x,y,z ) = a
Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n =
3;1
. Nh vậy để giải
một bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc:
Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z )

a (hoặc

A)
(Với A; a là hằng số)

(x,y,z )

D
Bớc 2: Chỉ ra đợc (x
0
,y
0
,z
0
)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
) = a (hoặc = A)
Phần II
một số bài toán cực trị trong đại số
I/ Cực trị của hàm đa thức một biến:
1.1- Phơng pháp:
Đa về dạng: f (x) = k

g
2
(x) (k = const)
Nếu f (x) = k + g
2
(x) thì min f (x) = k

g (x) = 0
Nếu f (x) = k - g
2
(x) thì max f (x) = k

g (x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2

Giải: Ta có: (x+2)
2


0 dấu =

x = - 2
(x-1)
2

0 dấu =

x = 1
Nên A > 0
Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu
đẳng thức.
Do vậy ta phải giải nh sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2
= x
2
+ 4x + 4 + x
2
- 2x + 1
= 2x
2
+ 2x + 5 = 2 ( x
2
+x +
2
5
)
= 2 (x
2
+ 2x
2
1
+

4
1
) +
4
9
= 2 (x +
2
1
)
2
+
2
9
20
Do đó min A =
2
9
khi x = -
2
1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6)
Giải: Ta có: B = - ( x
2
+ 5x - 6) (x
2
+ 5x + 6)
Đặt: x
2
+ 5x = t

Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t
2
-36)
B = 36 - t
2


36
x = 0
Vậy B = 36 khi x
2
+ 5x = 0


x = -5

x= 0
Do đó: max B = 36 Khi


x = -5
1.2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả
mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ
nhất ).
- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt
y = x + 2 kho đó A = ( y-1)
2
+ ( y-1)
2

1.3- Một số bài tập tơng tự:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9
B = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
C = (x+1)
2
+ ( x+3)
2
D = x( x+1) ( x+2) ( x+3)
E = x
6
- 2x
3
+ x
2
- 2x + 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A= 4x - x

2
+1
B = 5- 8x- x
2

C = -5x
2
- 4x + 1
D = 1- x- x
2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Giải: P = (9x
2
+36xy+36y
2
)+(18y
2
- 24yz+8z
2
)+ (8x
2

-16xz+8z
2
)+2x
2
+ 5
= 9 (x + 2y)
2
+ 2 (3y- 2z)
2
+ 8 (x- y)
2
+ 2x
2
+ 5
Ta thấy P

5
Với x = y = z = 0 thì P = 5
Do đó P = 5 khi x = y = z = 0
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q = 15- 10x- 10x
2
+ 24 xy- 16y
2
Giải: Q = - (x
2
+ 10x + 25) - (9x
2
- 24xy + 16y
2

) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2


40
x = -5
Vậy max Q = 40


y = -
4
15
Nhận xét:
+ Ta vận dụng kiến thức cho F = F
1
+ F
2
thì maxF = maxF
1
+ maxF
2
hay
(min F = min F
1
+ min F
2
)

Trong đó F
1
,F
2
là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa
cùng một biến thì cùng đạt max (min) tại một bộ giá trị xác định của biến (Với
đa thức nhiều biến)
+ Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến
20
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M
M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
Giải:
Cách 1:
M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= (a
2
- 4ab + 4b
2
) + (b
2
- 2b + 1) + 27 + 10a-20b
= (a- 2b)

2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10 (a- 2b)
Đặt a- 2b = t ta đợc
D = t
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (b- 1)
2
+ 2

2
t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3
Dấu = xảy ra khi



b- 1 = 0 b = 1 b = 1
Vậy min M = 2

b = 1; a = -3
Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính
rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng
hoặc bình phơng một hiệu
(a

1
+ a
2
+ + a
n
)
2
= a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
+ 2a
1
a
2
+ + 2a
n-1
a
n
+ 2a
n
a
1

M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= ( a
2
+ 4b
2
+ 25- 4ab + 10a- 20b) + (b
2
- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)
2
+ (b-1)
2
+ 2
Vì (a- 2b +5 )
2


0 ; (b-1)
2


0

a,b

R

(b-1)
2
= 0 b = 1


M

2

min M = 2




(a- 2b + 5)
2
= 0 a = - 3
áp dụng phơng pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4.
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = ax
2
+ by
2
+ cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)
= a(x
2
+
a
c

2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d
)-
a
c
4
2
-
b
d
4
2
+ e

= a(x +
a
c
2
)
2
+ b (y +
b
d
2
)
2
+
ab
abeadbc
4
4
22
+
Vì a,b > 0 ; (x +
a
c
2
)
2


0; (y +
b
d

2
)
2


0

x,y

R


A


ab
abeadbc
4
4
22
+


Amin =
ab
abeadbc
4
4
22
+

x +
a
c
2
= 0 x =
a
c
2






y +
b
d
2
= 0 y =
b
d
2

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
N = (x- 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
(a là hằng số)

Giải: Ta có N

0
(x- 2y + 1)
2
= 0

Dấu đẳng thức xảy ra

(Có nghiệm)
(2x + ay + 5)
2
= 0

20
x- 2y + 1


Có nghiệm


2
a

1
2


a -4
2x + ay + 5 = 0

Nếu a = - 4 ta có M = (x- 2y + 1)
2
+ (2x- 4y + 5)
2

2
= (x- 2y + 1)
2
+ 2(x- 2y + 1) + 3

= (x- 2y + 1)
2
+ 4 (x- 2y + 1)
2
+ 12 (x- 2y + 1) + 9

= 5 (x- 2y + 1)
2
+
5
12
(x- 2y + 1) +
25
36
+
5
9

2
= 5 (x- 2y + 1) +

5
6
+
5
9
2
= 5 x- 2y +
5
11
+
5
9



5
9
Dấu đẳng thức xảy ra

x- 2y +
5
11
= 0


M
min
= 0

x- 2y +

5
11
0
Bài tập t ơng tự:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A = 1- 4x- 5x
2
B = xy- x
2
- y
2
+ 4x+ 5
C = x
2
+ y
2
- 6x- 2y + 17
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
B = x
2
+ xy + y
2
- 3x- 3y + 2003
C = 10x
2

+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
D = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)
2
+ (x- 4)
2
+ (y- 1)
2
- 27
G = x
4
- 8xy- x
3
y + x
2
y
2
- xy
3

+ y
4
+ 2001
H = (x-y)
2
+ (x+1)
2
+ (y- 5)
2
+ 2006
I = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000
III/ Cực trị của phân thức đại số:
3.1- Một số kiến thức cần lu ý:
Cho P =
A
m
với A > 0 :
- Nếu m = 0

P = 0
- Nếu m > 0
max P =
Amin
1

; min P =
Amax
1
- Nếu m < 0 ta có max P =
Amax
1
; min P =
Pmin
1
Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của
phân thức về bài toán cực trị của đa thức.
3.2- Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
20
M =
544
3
2
+ xx
Giải: M =
544
3
2
+ xx
=
4)12(
3
2
+x
Ta thấy: (2x- 1)

2


0 nên (2x- 1)
2
+ 4

4
Do đó
4)12(
3
2
+x



4
3
(Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử
mẫu đều dơng)
Vậy maxM =
4
3
với x =
2
1
Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
3

1
2
x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0
Nhng với x= 0 thì:
3
1
2
x
=
3
1

không phải là giá trị lớn nhất của
phân thức
(Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
x
= 1 >
3
1

)
Từ a < b chỉ suy ra
a
1

>
b
1
khi a,b cùng dấu
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
N =
54
662
2
2
++
++
xx
xx
Giải: N =
54
662
2
2
++
++
xx
xx
=
54
1254
2
22
++
+++++

xx
xxxx
(x + 1)
2


0

x
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x


0

x vì
(x+2)
2
+ 1 > 0

x
Dấu = xảy ra

x = -1 vậy min N = 1

x = -1
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =
12
1
2
2
+
+
xx
xx

Giải: P =
12
1
2
2
+
+
xx
xx
=
2
2
)1(
1112

+++

x
xxx
= 1 +
1
1
x
+
2
)1(
1
x
Đặt
1
1
x
= A ta có P = 1 +A + A
2
P = A
2
+ A + 1 = A
2
+ 2A
2
1
+
4
1
+
4
3

= (A +
2
1
)
2
+
4
3



4
3
P =
4
3
khi A = -
2
1
hay x = -1
20
Vậy min P =
4
3


x = -1
3.3- Nhận xét:
ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa
thức ở mẫu.

Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng
nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi
biến.
3.4- Một số bài tập tơng tự:
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
2
956
2
xx
B =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx

C =
1
1
2
2
+
+
xx
x
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

D =
544
3
2
+ x
E =
2
)1( +x
x
G =
2
12
2
+
+
x
x
IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
4.1- Kiến thức cần thiết:
a, f (x) = f (x) nếu f (x)

0
f (x) = - f (x) nếu f (x)

0
b, f (x) + g (x)

f (x) + g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
c, f (x) - g (x)

f (x) - g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
f (x)

g (x)
max f (x) = A
d, Giả sử ta có
min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a
1
,b
1
)
Nếu f (x)

0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a
1
,b
1
)
min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a
1
,b
1

)
Nếu max f (x)

0 còn min f (x)

0 trên đoạn (a
1
,b
1
)
Ta có: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
- f (x)

f (x)

f (x)

- g (x)

g (x)

g (x)
Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có
- (f (x) + g (x))

f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
20


f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) và g (x) cùng dấu

f (x).g (x)

0


f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)

f (x) -g (x) + g (x)

f (x) -g (x)

f (x) - g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) . g (x)

0
d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên
Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế
( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8
Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + + h(x)

f (x) + g (x) + + h(x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x), g (x), , h(x) cùng dấu.
(Việc chứng minh đơn giản)
Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
A

x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
Dấu đẳng thức xảy ra

x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu


- 1

x

6
4.2- Các ví dụ:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:
A = x-1996 + x- 2000
Giải:
Cách 1: Chia khoảng để xét.
Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x
Do x < 1996

2x < 3993; -2x > -3992
A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4

A> 4 (1)
Nếu 1996

x

2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)
Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996
x > 2000

2x > 4000

2x- 3996 > 4000- 3996


A > 4 (3)
Từ (1), (2), (3)

min A = 4

1996

x

2000
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
x + y

x +y dấu = xảy ra khi xy

0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x

x- 1996- x +2000 = 4
Vậy A

4

(x- 19996) (2000- x)

0

Lập bảng xét dấu:
x 1996 2000
x- 1996
- 0 + +
2000- x
+ + 0 -
(x-1996) (2000- x) - 0 + 0 -
(x- 1996) (2000- x)

0

1996

x

2000
Vậy min A = 4

1996

x

2000
20
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x- x
2

-
4
3
-2
Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x
2
-
4
3
đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt f(x) = x- x
2
-
4
3
ta có f(x) < 0

x
R/

f(x) = - (x
2
- x +
4
1
+
2
1
= - (x-
2

1
)
2
-
2
1


-
2
1
Dấu = xảy ra

x =
2
1
vậy max f(x) =
2
1


x =
2
1
Theo ý (d) vì max f(x) = -
2
1


x =

2
1
min f(x) =
2
1
khi x =
2
1
min B =
2
1
- 2 = -
2
3
khi x =
2
1
4.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5- 2x -1
H =
32
1
+
x
I = x- 1 + x- 3 + x- 6

K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a
1
+ x- a
2
+ + x- a
2m - 1

Trong đó a
1
, a
2
, , a
2m 1
cho trớc
V/ Cực trị của hàm căn thức:
5.1- Kiến thức cần thiết: P(x,y)

a

(x,y)

D

a,
),( yxP
Min
D
=
a

( a = const, a

0 )




(x
0
,y
0
)

D, P(x
0
,y
0
) = a



P(x,y)

A

(x,y)

D
20
b,

),( yxp
Max
D
= A (A = const, A

0 )




(x
0
,y
0
)

D, P(x
0
,y
0
) = A
c, Nếu P(x,y) > 0 muốn tìm min, max của P(x,y) ta tìm min, max của P(x,y)
2
5.2- Các ví dụ:
Ví dụ 11: (Đa về hàm giá trị tuyệt đối)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =
44
2
+ xx

+
4
1
2
+ xx
Giải: Tập xác định R
P =
2
)2( x
+
2
)
2
1
1(
= x- 2+ x -
2
1

= x- 2+
2
1
- x = x- 2 +
2
1
- x = -
2
3
=
2

3
Dấu = xảy ra

(x- 2) (
2
1
- x)

0


2
1


x

2
Vậy min P =
2
3



2
1


x

2
Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B =
2x
+
x4
x - 2

0


2

x

4 (*)
Giải: Điều kiện để B xác định
4- x

0
Với điều kiện (*) B

0 bình phơng 2 vế đợc
B
2
= x- 2 + 4 - x + 2
)4)(2( xx
= 2 + 2
)4)(2( xx

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có
2 = (x-2) + (4-x)

2
)4)(2( xx
Dấu = xảy ra

x-2 = 4- x

x = 3
Suy ra: B
2


4 vì B

0 nên ta đợc
MaxB = 2 khi x= 3
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
C =
2
1
35
x
x


Giải:
Tập xác định -1

x

1 khi đó C > 0
Ta có C
2
=
2
2
1
)35(
x
x


=
2
2
1
93025
x
xx

+
=
2
22
1
161625309
x
xxx

++
=
2
2
1
)53(
x
x


+ 16

16

C

4


C
2


16


C

-4 ( loại) Vì 1 - x

2
> 0 với -1 < x < 1
Dấu = xảy ra khi 3 5x = 0

x =
5
3
20
Vậy min C = 4

x =
5
3
5.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 1996 +
xx 2
2

B =
12
2
++ xx
+
12
2
+ xx
C =
21
3

x
x
Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của:
D =
2x
+
x3

E =
x28
+
32 x
G =
3
6
+

x
xx
VI/ Cực trị có điều kiện:
Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó. Để
giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian
một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo
cách giải ở trên.
6.1- Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x
2

+ y
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất, tìm giá trị lớn nhất của x + y.
Giải: Với x,y R ta đều có:
(x+y)
2
+ (x-y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ x
2
- 2xy +y
2
= 2(x
2
+ y
2
) = 2 (Vì x
2
+ y
2
= 1)
Do (x-y)
2

0 dấu = xảy ra

x= y
Nên (x+y)
2


2
x+y


2
-
2


x +y


2
Khi x = y ta có x
2
+ x
2
= 1

x
2
=
2

1


x=
2
2

+
Vậy max (x+y) =
2
x = y =
2
2
min (x+y) = -
2
x = y =
2
2

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
N = 2x+ 3y- 4z
Biết rằng x,y,z

0 và thoả mãn hệ phơng trình

2x+y+3z = 6 (1)


3x+4y-3z = 4 (2)
Giải: Từ hệ phơng trình điều kiện ta có:

5x+5y = 10

x +y = 2

y = 2-x (3)
Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6

z =
4
3
-
ă
3
x
Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có:
20
N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (
3
4
-
3
x
)
= 2x + 6- 3x-
3
16
+
3
4x
=

3
x
+
3
2


N
min
(N
max
)

3
x
có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố
định

N
min
(N
max
)

x
min
(x
max
)
Do x

0 nên min N =
3
2


x=0; y= 2; z=
3
4
Lại có: y

0 nên từ (3) ta có x
2
x
2
z

0 nên từ (2) ta có x
4

Vậy maxN =
3
2
+
3
2
=
3
4

x = 2, y = 0, z =
3
2
Ví dụ 16: Cho a,b,c

-1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = a
2
+ b
2
+ c
2

Giải: Ta có a,b,c

-1;2


-1

a

2

a+1

0 và a- 2

0


(a+1) (a- 2)

0

a
2


a + 2
tơng tự ta cũng có: b
2


b + 2
c
2


c + 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2

a + b + c + 6


a
2
+ b
2
+ c
2


6
a=2; b = c = -1


max A= 6

b=2; a = c = - 1
c=2; a = b = - 1
6.2- Bài tập tơng tự:
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x
3
+ y
3
Biết x+y = 1
B =
x
xx

2
1416
2
++
biết x > 0
C = 5x- 6y + 7z
Biết x,y,z là số không âm và thoả mãn hệ phơng trình

4x + y+ 2z = 4
3x + 6y- 2x = 6
VII/ Tìm cực trị bằng cách dùng tam thức bậc hai:
7.1- Nhắc lại kiến thức:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+ bx + c (a 0)

= b
2
- 4ac
a, Nếu

< 0 thì a. f(x)

x

R
b, Nếu

= 0 thì a.f(x)

0

x

R dấu = xảy ra khi x =
a
b
2

c, Nếu

> 0 ta có bảng xét dấu:
X

x
1
x
2
+

a.f(x) + 0 - 0 +
7.2- Các ví dụ:
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = x +
x2
20
Giải: Điều kiện x

2
Đặt:

x2
= y

0 ta có y
2
= 2- x
Do đó: A = 2- y
2
+ y = - (y-
2
1
)
2
+
4
9



4
9
max A=
4
9


y =
2
1

2- x =
4
1


x =
4
7
Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz+ 36 xy
Giải: Ta chứng minh rằng P > 0 x,y,z
Biến đổi P về tam thức bậc hai đối với x
P= f(x) = 19x
2
- 2(8z - 18y)x + (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)
Ta có:


x = (8z- 18y)

2
- 19 (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)



x = - 702y
2
+ 168yz- 240z
2
Ta coi


x là một tam thức bậc hai đối với y
Khi đó:


y = 842.z
2
- 702. 240z
2



y =- 161. 424y
2

0

x





x

0

y,z


P = f(x)

0

x,y,z
Vậy min P= 0 khi x = y = z = 0
Ví dụ 18: Xác định a,b sao cho hàm số y =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng 1

Giải: ta phải tìm a,b để 1


1
2
+
+
x
bax


4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra.
(1)


1
2
+
+
x
bax


4

1
2
+
+
x

bax


1

x và dấu = xảy ra đợc
4x
2
- ax + 4-b

0

x và dấu = cũng xảy ra đợc



4x
2
+ ax + b + 1

0

x và dấu = cũng xảy ra đợc


1
= a
2
- 16 (4-b) = 0

= a
2
- 16 (4-b) = 0 b = 3








2
= a
2
- 4 (b+1) = 0

= a
2
- 4 (b+1) = 0 a =

4
Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì:
f(x) =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số:
8.1- Nhắc lại kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) miền xác định D. Miền giá trị của hàm số là tập hợp
những y sao cho tồn tại x thuộc D để f(x) = y.
Nói cách khác: Miền giá trị của hàm số là tập hợp những y để phơng trình
f(x) = y có nghiệm x

D
8.2- Một số ví dụ:
Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
A =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
Giải: Để biểu thức A nhận giá trị a

phơng trình ẩn x sau đây có
20
nghiệm
a =
1
1
2
2
++

+
xx
xx
(1)


ax
2
+ ax + a = x
2
-x+1


(a-1)x
2
+(a+1)x +(a-1)=0
Trờng hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trờng hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là



0 tức là
(a+1)
2
- 4(a-1)
2


0

(a+1+2a-2) (a + 1- 2a+ 2)

0


(3a- 1) (a- 3)

0



3
1


a

3 (a 1)
Với a=
3
1
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là:
x=
)1(2
)1(

+
a
a

=
)1(2
1
a
a

+
Với a=
3
1
thì x = 1 với a = 3 thì x= -1
Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2) ta có:
MinA =
3
1


x = 1
MaxA = 3

x = -1
Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
f(x) =
123
3102
2
2
++
++
xx

xx
với x
R
Giải: Gọi y
0
là giá trị tuý ý của hàm số. Vậy phơng trình sau đây (ẩn x) có
nghiệm:

123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+ 2x+ 1 > 0 x
R/
Vậy (1)

2x
2
+ 10x+3 = 3x
2
y

0
+2xy
0
+ y
0




(3y
0
- 2)x
2
+ 2 (y
0
-5)x + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét hai khả năng:
Trờng hợp 1: Nếu 3y
0
- 2 = 0 (

y
0
=
3
2
) thì y
0

- 5 0 hiển nhiên có nghiệm
tức là f(x) nhận giá trị
3
2
với x nào đó.
Trờng hợp 2: Nếu 3y
0
- 2 = 0 (

y
0

3
2
) thì (2) là phơng trình bậc hai đối
với x, do đó (2) có nghiệm
Nếu


=- 2y
0
+ 19y
0
- 35

0



2

5


y
0


7 và y
0

3
2
Kết hợp cả hai trờng hợp ta có:
2
5


y
0


7 (3)
Từ (3)

max f(x) = 7 và min f(x) =
2
5
x

D x

D
20
8.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 11:
a, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
f(x) =
1
1
2
++
+
xx
x
x

/R
b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
g(x) =
22
42
)1(
343
x
xx
+
++
x

/R

c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
h(x) =
1
12
2
2
+
++
xx
xx
x

/R
8.4- Đáp án bài tập 11:
a,
3
1



y
0


1
b,
2
5

g
0


3
c, -1

y
0


3
IX/ Dùng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki:
9.1- Nhắc lại kiến thức:
a, Cho đẳng thức côsi (Cauchy)
Cho n số không âm a
1
, a
2
, a
12
ta có bất đẳng thức

n
aaa
1221
+++

1221
aaa
n
Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= a
12
b, Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho dãy số bất kỳ a
1
, a
2
, a
12
và b
1
, b
2
,b
12
ta có:



=
n

i
ji
ba
1
2
)(




=
n
i
a
1
2
1
)(


=
n
j
j
b
1
2
)(

Dấu = xảy ra

k a
i
= k b
j


i = 1; n
Chứng minh:
a, Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp:
hiển nhiên với n = 2 bất đẳng thức đúng
2
21
aa +



21
aa
giả sử mệnh
đề đúng với n = k tức là:

k
aaa
k
+++
21

k
k
aaa
21
Ta phải chứng minh mệnh đề dúng với n = k + 1
Giả sử a
1

a
2


a
k


a
k+1
( Nếu điều kiện không thoả mãn thì ta
thay đổi vị trí và đặt lại thứ tự)


a
k+1



k

aaa
k
+++
21

Đặt
k
aaa
k
+++
21
= x thì x

0


a
k+1
= x+y với y

0 và x
k


a
1
a
2
a
k

( Do giả thiết quy nạp) ta
20
có:
1
121
)
1

(
+
+
+
++++
k
kk
k
aaaa
=
1
)
1
(
+
+
++
k
k
yxkx

=

1
)
1
(
+
+
+
k
k
y
x


121
11
)(
1
).1(
+
++
+=+=
+
++
kk
kkkkk
aaaayxxyxxx
k
y
kx

1

121
+
++++
+
k
aaaa
kk



121
1

+
+
kk
k
aaaa
Vậy mệnh đề luôn đúng với n

2
Đẳng thức xảy ra

a
1
= a
2

= = a
n
b,Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôxki:
Đặt A=
22
2
1
2

n
aaa +++
B =
22
2
2
1

n
bbb +++
C =
nn
bababa +++
2211
Ta cần phải chứng minh AB

C
2
Nếu A= 0 thì
0
21

=====
n
aaa
bất đẳng thức đợc chứng minh
Nếu B = 0 ta cũng có
n
bbb ===
21


bất đẳng thức luôn đúng
Với A 0 và B 0, x bất kỳ

R
Ta có:
020)(
2
111
22
1
2
11
+ bxbaxabxa


020)(
2
222
22
2

2
22
+ bxbaxabxa


020)(
222
+
nnnnnn
bxbaabxa

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta có:


(*)02
0)() (2) (
2
22
2
2
12211
222
2
2
1
+
+++++++++
BCxAx
bbbxbababaxaaa
nnnn

Vì (*) đúng với mọi x nên thay c =
A
C
vào (*) ta có:
A.
2
2
A
C
- 2
A
C
2
+ B
22
2
000 CABCAB
A
C
B
Dấu đẳng thức xảy ra khi
nn
bxabxabxa === ; ;
2211

n
n
b
a
b

a
b
a
===
2
2
1
1
9.2- Các ví dụ:
Ví dụ 21: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Cho a,b,c là ba số dơng có tích abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)
Giải: Vì a,b,c dơng áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1+a

2
a
x
bb 21 +
20

cc 21 +
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)

8
abc
mà abc = 1

8 y

vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1
Ví dụ 22: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:

11
22

+

=
a
b
b
a
P
Giải: Vì a > 1; b > 1
0
1
;0
1
22
>

>


a
b
b
a
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

)1)(1(
2
11
2222



+
ab
ba
a
b
b
a


(*)
1.1
2
11
22



+

ab
ab
a

b
b
a
Ta chứng minh:
2
1

a
a
thật vậy: Vì a > 1
01
>
a

1202
1


aa
a
a
Bình phơng hai vế ta có:
0)2()1(4
22
aaa
đúng
Do đó:
2
1

a
a
từ đó ta cũng có:
2
1

b
b
Vậy từ (*) ta có:
(*)82.2.2
1.1
2
11
22
=



+

ab
ab
a
b
b
a
Vậy P

8 do đó min P = 8 khi a = b= 2

Ví dụ 23: (áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky)
Cho hai số dơng x,y luôn nghiệm đúng với hệ thức:

yx
32
+
tìm giá trị nhỏ nhất của x + y
Giải: Ta thấy
y
y
x
x
32
32 +=+
áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky cho hai cặp số
)
3
,
2
(
yx
và
),( yx

2
Ta có:
y
y
x
x

32
+



yx
32
+
(x+y)

)(6)32(
2
yxx ++

(x+y)
6
625
)32(
6
1
2
+
=+

6
32
=+
yx
Dấu = xảy ra khi
20

32
22
yx
=
Tức là x,y là nghiệm hệ trên từ đó ta có: x =
6
63
,
6
62 +
=
+
y
Vậy min(x+y) =
6
625 +
khi x =
6
63
,
6
62 +
=
+
y
Ví dụ 24:
a, Tìm giá trị lớn nhất của: A = (x
2
- 3x + 1) ( 21 + 3x- x

2
)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =
x
xx
2
1416
2
++
với x > 0
Giải: a, Xét (x
2
- 3x + 1) ( 21 + 3x- x
2
) = 22 không đổi
x
1
= 5 khi đó A= 11.11 = 121


0103
2
=+ xx



x
2
= -2
Vậy max A = 121 x = 5 hoặc x = -2

b, Viết: B =
x
xx
2
1416
2
++
=
x
x
2
1
28 ++
Xét 8.
4
2
1
=
x
(do x > 0) không đổi nên tổng của nó nhỏ nhất khi và
chỉ khi 8x =
4
1
116
2
1
2
== xx
x
(vì x 0)

Vậy min B =
4
1
6
2/1
111
==
++
x
9.3- Nhận xét:
a, Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả cacd giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng
thức. bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của
biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
b, Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau:
+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất

hai số
đó bằng nhau.
+ x ,y
R
, xy = const

(x+y)min

x = y ( Nh ở ví dụ 24)
9.4- Bài toán tơng tự:
Bài tập 12: a, Cho x, y sao cho 0

x

4; 0

y

4
Tìm giá trị lớn nhất của Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)
b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1; 1

t

2
Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz
c, Cho 2 số x,y thoả mãn x
2
+ y
2
= 1
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của H = 3x + 4y
d, Biết x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: M =
z
z
y
y

x
x +++ 1
.
1
.
1
X/ Sáng tạo bài toán cực trị:
Ví dụ: Từ một số phơng pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thành
một số bài tập mới.
Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳ
theo yêu cầu của một số bài toán.
Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x
3
( 16- x
3
) với (0 < x
3
< 16)
20
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
x
x
2
)1998( +
với > 0
Giải: a, Ta có: x
3
+ (16- x
3

) = 16 (không đổi)
Nên x
3
(16- x
3
) lớn nhất khi và chỉ khi
x
3
= 16- x
3
hay x
3
= 8

x = 2
Vậy maxA = 2
3
(16- 2
3
) = 16 khi x = 2
b, B =
1998.2
199819981998.2
222
++=
++
x
x
x
xx

x và
x
2
1998
là hai số dơng có tích x.
x
2
1998
= 1998
2
(không đổi)
Nên tổng x +
x
2
1998
đạt giá trị nhỏ nhất khi x =
x
2
1998
hay x = 1998
Vậy min B = 3 . 1998 khi x = 1998
Ví dụ 26: Cho biểu thức M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
Với x,y,z,t

N
Tìm giá trị nhỏ nhất của M là các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết
rằng
x
2
- y
2
+ t
2
= 21 (1)

x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 101 (2)
( Thi học sinh giỏi toàn quốc 1985)
Giải: Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta đợc:
2(x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
)- t

2
= 122

61
2
61
2
+=
t
M


min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (1) ta có: x
2
- y
2
= 21
21))(( =+ yxyx
x-y = 1 x= 12 ( loại không thoả mãn (2) )
Vậy


x+y = 21 y = 10
x = 5 thay x = 5, y = 2 vào (2) ta có z = 4

y = 2
vậy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0
Ví dụ 27: Cho x,y
R

thoả mãn x
2
+ y
2
= 1
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x+y
Giải: Từ (x+y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2

2
(do x
2
+ y
2
= 1)
Do đó: max(x+y) =
2
2
2 == yx
Do đó: max(x+y) = -
2
2
2 == yx
từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán khác nh sau:
1, x
2

+ ay
2
= 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + 2y
2, 4x
2
+ 9y
2
= 2 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = 2x + 3y
nếu x
0,0 y
Ví dụ 28: (áp dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giải phơng trình)
Giải phơng trình:

222
2414105763 xxxxxx =+++++
(1)

20
Giải: Ta có:
244)1(3763
22
+=++ xxx
VT
523
=+

399)1(514105
22
++=++ xxx

Mà 4- 2x- x
2
= 5- (x+1)
2

5

vậy VP
5

Vậy để phơng trình có nghiệm thì VP = VT = 5
Hay 5- (x+1)
2
= 5

(x+1)
2
= 0

x= 1
Ví dụ 29: Giải phơng trình:
4012102
2
+=+ xxxx
(Điều kiện 2
10

x
Ta có:
4012102

2
+=+ xxxx


8 +2
22
)4012()10)(2( += xxxx
(Vì hai vế cùng không âm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: x- 2 và 10- x
Ta có: 2
8102)10)(2( =+ xxxx

8 +2
1688)10)(2( =+ xx
Mặt khác:
[ ]
164)6()4012(
2
222
+=+ xxx
x là nghiệm của phơng trình

VT = VP = 16
x-2 = 10 x x = 6





x = 6 (Thoả mãn điều kiện)

x-6 = 0 x = 6
vậy tập nghiệm của phơng trình: S = 6
Ví dụ 30: Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm
x
4
- 2x
3
+ 4x
2
- 3x + 2 = 0
Giải: Ta có: x
4
- 2x
3
+ 4x
2
- 3x + 2 = 0


(x
4
- 2x
3
+ x
2
) + 3 (x
2
- x +
0
4

5
)
4
1
=+


(x
2
-x)
2
+ 3(x-
0
4
5
)
2
1
2
=+
(1)
Vì (x
2
-x)
2

0
; 3(x-
Rx 0)
2

1
2



(x
2
-x)
2
+ 3(x-
0
4
5
)
2
1
2
>+

Không tồn tại
Rx

thoả mãn (1)

Phơng trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập: 1, Giải phơng trình:
a,
4
22
1312331282 +=+ xxxx

b,
1168143 =+++ xxxx
2. Chứng minh rằng các phơng trình sau vô nghiệm:
a, x
4
+ 2x
3
+ 4x
2
+ 2x + 1 = 0
b, 2x
4
+ 3x
3
+ 8x
2
+ 6x + 5 = 0
Chú ý: Ta vận dụng linh hoạt việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
biểu thức vaào việc xét phơng trình và tìm nghiệm.
XI/ Một số sai sót th ờng gặp trong việc giải toán tìm cực trị:
11.1- Sai lầm trong điều kiện 1:
20
Ví dụ 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= 2x +3y biết 2x
2
+ 3y
2

5
a, lời giải sai:
Gọi B = 2x

2
+ 3y
2
ta có B
5
Xét A + B = 2x + 3y+ 2x
2
+ 3y
2
= 2(x
2
+ x) + 3(y
2
+ 3)
= 2(x +
4
5
4
5
)
2
1
(3)
2
1
22
++ y
(1)
Ta lại có: B
5

nên -B
5

(2)
Cộng (1) với (2): A
4
25

Vậy min A=
4
25



x = y =
2
1

b, Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ với x = y =
2
1

thì chỉ xảy ra dấu = ở (1) còn dấu =
ở (2) không xảy ra. Thật vậy với x = y =
2
1

thì:

B = 2(
2
1

)
2
+ 3 (
2
1

)
2
=
4
3
2
1
+
5
Do đó - B -5
c, Lời giải đúng: Ta xét biểu thức phụ A
2
= (2x+3y)
2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski
(am + bn)
2


(a

2
+ b
2
) (m
2
+ n
2
) (3)
Nếu áp dụng (3) với a = 2, b =3 m = x, n=y ta có:
A
2
= (2x+3y)
2


(2
2
+ 3
2
) (x
2
+ y
2
) = 13 (x
2
+ y
2
)
Với cách trên ta không chỉ ra đợc hằng số

mà A
2




Bây giờ ta viết A dới dạng:
A
2
=
2
)3.32.2( yx +
rồi ấp dụng (3) ta có

A
2



22
)3()2( +
( x.
+
2
)2
( y.
2
)3

= (2 + 3) (2x

2
+ 3y
2
)

5.5 = 25

A
2
= 25


yx
yx
==
3
3
2
2
Do A
2


25 nên - 5

A

5

x = y

MinA= -5



x = y= -1
2x+ 3y = -5

x = y
MaxA= 5



x = y= 1
2x+ 3y = 5

11.2- Sai lầm trong điều kiện 2:
Ví dụ 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x
2
+y
2
biết x+y= 4
a, Lời giải sai: Ta có A = x
2
+y
2


2xy
Do đó A nhỏ nhất

x
2
+y
2
= 2xy

x = y = 2
Khi đó min A= 2
2
+ 2
2
= 8
b, Phân tích sai lầm:
Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng
minh đợc f(x,y)

g(x,y) chứ cha chứng minh đợc f(x,y)

m với mà hằng số.
20
Ta đa ra một ví dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng
x
2


4x- 4 sẽ

x
2
nhỏ nhất

x
2
= 4x- 4

(x-2)
2
= 0

x = 2
đi đến min x
2
= 4

x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là min x
2
= 0

x = 0
c, cách giải đúng:
Ta có x + y= 4

x
2
+2xy + y
2
= 16 (1)
Ta lại có: (x-y)

2


0

x
2
+2xy + y
2


0 (2)
Từ (1) và (2): 2(x
2
+ y
2
)

16

x
2
+ y
2


8
MinA = 8

x = y = 2

XII/ Vài chú ý khi tìm cực trị:
12.1- Chú ý 1:
khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể đổi
biến.
Ví dụ 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= (x-1)
2
+ (x-3)
2
Ta có thể đặt x-2 = y khi đó A = (y+1)
2
+ (y-1)
2
= y
2
+2y+1 + y
2
- 2y + 1
= 2y
2
+2

2
Vậy min A= 2

y = 0

x = 2
12.2- Chú ý 2:
Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này
đạt cực trị bởi điều kiện tơng đơng là biểu thức khác đạt cực trị. Chẳng hạn:

-A lớn nhất

A nhỏ nhất

B
1
lớn nhất

B nhỏ nhất với B > 0
C lớn nhất

C
2
lớn nhất với C > 0
Ví dụ 34: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
A =
22
4
)1(
1
+
+
x
x
Giải:* Ta có:
1
2
1
1
12

1
)1(
(
1
4
2
4
24
4
22
+
+=
+
++
=
+
+
=
x
x
x
xx
x
x
A
Vì 2x
2

0

x
4
+ 1 > 0 nên
0
1
2
4
2

+x
x

A
1


101
=+

Min
A
1
= 1

x = 0 do đó max A = 1

x = 0
* Ta có 2x
2

x
4
+ 1 mà x
4
+ 1 > 0 nên
211
1
1
1
2
4
2
=+
+
A
x
x
Max
A
1
= 2

x = 1 do đó min A =
1
2
1
= x
12.3- Chú ý 3:
Nhiều khi ta cần tìm cực trị của biểu thức trong từng khoảng của biến, sau

đó so sánh cực trị đó để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ tập
xác định của biểu thức.
Ví dụ 35: Tìm giá trị lớn nhất của bểu thức:
20
A =
)(5 yx
y
+
Với x,y là các số tự nhiên
Giải: + Xét x + y

4
Nếu y = 0 thì A = 0
Nếu 1

y

3 thì
)(5 yx
y
+


3
Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
+ Xét x +y

6 thì A =
)(5 yx
y

+

0
So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4

x= 0, y = 4
12.4- Chú ý 4:
Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ngời ta thờng
sử dụng các bất đẳng thức đã biết.
Ví dụ 36: Cho x
2
+ y
2
= 52. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x+3y
Giải: Ta thấy 2x+3y và x
2
+ y
2
là các thành phần của bất đẳng thức
Bunhiacôpski (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y

2
) với a = 2, b= 3
Vậy áp dụng ta có: (2x+3y)
2


(2
2
+ 3
2
)52
(2x+3y)
2


13.13.4
2x+3y

26
Max A = 26
23
xy
=
thay y =
2
3x
vào x
2
+ y
2

= 52 ta đợc x =
4
Vậy Max A = 26

x = 4, y= 6 hoặc x = -4, y=-6
12.5- Chú ý 5:
Trong các hằng bất đẳng thức của ta chú ý đến hệ quả của bất đẳng thức
Cauchy (Nh đã trình bày ở í dụ 24)
Ví dụ 37: Tìm giá trị lớn nhất của A = (x
2
- 3x+ 1) ( 21 + 3x- x
2
)
Giải: ta thấy: x
2
- 3x+ 1 + 21 + 3x- x
2
= 22 ( không đổi)
Nên tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi x
2
- 3x+ 1= 21 + 3x- x
2
x
1
= 5


x
2
- 3x- 10 = 0

x
2
=- 2

khi đó: A= 11 .11 = 121
Vậy Max A = 121

x = 5 hoặc x =-2
12.6- Chú ý 6:
Trong các ví dụ trên chỉ ra tất cả các giá trị của biến đê xảy ra dấu của
đẳng thức. Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm cực trị không đòi hỏi nh vậy. Chỉ
cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
Ví dụ 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A= 11
m
- 5
n
với m,n là các số nguyên dơng
Giải: Ta thấy 11
m
tận cùng bằng 1, còn 5
n
tận cùng bằng 5
Nếu 11
m
> 5
n
thì A tận cùng bằng 6, nếu 11
m

< 5
n
thì A tận cùng bằng 4
Ta chỉ ra một trờng hợp A = 4 với m= 2, n = 3
Thì A = 121-125 = 4
Nh vậy min A = 4 khi chẳng hạn m =2, n= 3
20
phần III
cực trị hình học
A. Lý thuyết chung
Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc
giá trị nhỏ nhất của một đại lợng biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa
giác, thể tích khối đa diện ).
Để giải các bài toán cực trị hình học ta cần tiến hành theo hai bớc:
1/ Tìm đợc các giá trị cố định f
1
,f
2
thoả mãn
f
1


f

f
2
2/ Chỉ rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó đạt
đợc giá trị lớn nhất f
2

hoặc giá trị nhỏ nhất f
1
tức laaf hỉ rõ các vị trí hình học để
cho dấu đẳng thức xảy ra.
Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên.
B. Một số dạng toán cực trị th ờng gặp và ph ơng pháp giải:
I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, độ dài cung tròn.
1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết: M
a, Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
MA d; A

d ; B

d; M

d thì
a
1
/ MA

MB dấu = xảy ra

A

B
a
2
/ AB

AC

MB

MC

B A C
b, Quan hệ giữa cạnh góc và

A
Trong

ABC; AB

AC

góc C

góc B
c, quy tắc các điểm:
c
1
/ Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có:
B C
AB + AC

BC dấu = xảy ra

A

[ ]
BC
(bất đẳng tức tam giác)
c
2
/ Với n điểm A
1
,A
2
, , A
12
bất kỳ ta có:
A
1
A
2
+ A
2
A
3
+ + A
11
A
12


A
1
A
12

Dấu = xảy ra

A
1
A
2
A
12



[ ]
121
AA
d, Các bất đẳng thức trong đờng tròn:
+ Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn
+ Trong (0) AB và CD là hai dây cung H, K là trung điểm của AB,
CD. Ta có AB

CD

OH

OK
e, Vận dụng các kiến thức đại số để giải toán cực trị hình học. Phơng
pháp này cho phép ta đa việc xét các bài toán cực trị đại số. Khi đó, về lý thuyết
ta có thể vận dụng tất cả các phơng pháp đã nói đến trong phần II . Song đặc biệt
phải chú ý đến phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Côsi-
Svac.
2/ Các bài toán ví dụ:

Ví dụ 1: Cho

ABC (Â = 1v)
AH BC điểm M chuyển động trên BC
vẽ MD AB; ME AC
Xác định M để DE nhỏ nhất A

D E
B H M C
20
Giải: Ta có D = A = E = 1v (gt)

MEAD là hcn

AM = DE

DE min

AM min
Ta lại có: AM

AH = const
Dấu = xảy ra

M = H (Theo phần a = 1)
Vậy khi M là chân đờng cao hạ từ A của

ABC thì DEnhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho góc xoy nhọn, A nằm trong góc đó. Tìm trên ox, oy lần lợt hai
điểm B và C sao cho chu vi

ABC nhỏ nhất.

y
A
2
C A
O
B x
A
1
Giải: Xác định A
1
,A
2
cố định

AB + BC +CA = A
1
B +BC +CA
2


A
1
A
2
Dấu = xảy ra

B, C

[ ]
21
AA
Vậy nếu B và C lần lợt là giao điểm của A
1
A
2
với ox, oy với A
1
,

A
2
lần
lợt là điểm đối xứng của A qua ox, oy thì chu vi

ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho điểm A cố định ở bên trong đờng tròn (O;R) (A 0) và dây MN là
dây cung quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất,
nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I là hình chiếu vuông I
góc của điểm O trên MN , A

MN M N
nên OI

OA = const

MN max

OI min

O= I
vậy để MN có đọ dài lớn nhất
thì MN là đờng kính đi qua A
MN min

OI max

OI = Oa

I

A
Vậy để MN nhỏ nhất thì dây MN phải vuông góc với Oa tại A

Ví dụ 4: Cho nửa đờng troòn tâm O, đờng kính AB= 2R. Vẽ tiếp tuyến Ax của
nửa đờng tròn đó. M là điểm trên nửa đờng tròn. BM cắt Ax tại C, xác định M
để 2BM +BC nhỏ nhất. x
Giải: Vì AB là đờng kính

BMA= 90
0


ABC có Â = 90
0
; AM BC C

do đó AB
2
= BM . BC M


BM . BC = 4R
2


2BM = a > 0
BC = b > 0 B A
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng a,b ta có:
a+b

2
constRab ==
2
82
Dấu = xảy ra

a = b


2BM = BC

M là trung điểm BC



ABC vuông cân tại đỉnh A

M là điểm chính giữa cung AB
Vậy khi M à trung điểm của cung AB thì 2BM +BC đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. qua A vẽ đờng thẳng (d) cắt
20