KHÔNG GIAN MÊTRIC - Không gian mêtric đầy đủ.pdf

GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
PGS TS. Lê Hoàn Hóa
Ngày 21 tháng 12 năm 2004
KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt)
5 Không gian mêtric đầy đủ
5.1 Định nghĩa
Cho (X, d) là không gian mêtric và (x
n
)
n
là dãy trong X.
Dãy (x
n
)
n
là dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n  n
0
, ∀p ∈ N thì d(x
n+p
, x
n
) < ε.
Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều
hội tụ.
Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0, 1] với mêtric d(x, y) = max{|x(t)−y(t)| :
t ∈ [0, 1]}. Cho (x
n

)
n
định bởi x
n
(t) = t
n
, ta có:
lim
n→∞
x
n
(t) =

0 nếu 0  t < 1
1 nếu t = 1
Tuy nhiên (x
n
)
n
không phải là dãy cơ bản trong X vì d(x
n
, x
2n
) = max{t
n
−t
2n
: t ∈ [0, 1]} =
1
4

với mọi n ∈ N.
Thí dụ:
1) R
n
với mêtric d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
là không gian mêtric đầy đủ.
2) X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b] với mêtric d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| :
t ∈ [a, b]} là không gian mêtric đầy đủ.
3) l
p
= {x = (x
n
)
n
:

∞
1
|x

n
|
p
< ∞}, p  1, với mêtric định bởi: với x = (x
n
)
n
, y = (y
n
)
n
trong l
p
ta định nghĩa
d(x, y) =

∞

1
|x
n
− y
n
|
p

1/p
(l
p
, d) là không gian mêtric đầy đủ.

5.2 Định nghĩa
Cho (X, d) là không gian mêtric, D là tập hợp con khác rỗng của X. Với x, y ∈ D đặt d
D
(x, y) =
d(x, y). Khi đó d
D
là mêtric trên D và (D, d
D
) là không gian mêtric con của (X, d).
8
Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và D ⊂ X. Khi đó:
D là không gian mêtric đầy đủ ⇔ D là tập đóng
Thật vậy, giả sử (D, d
D
) là không gian mêtric đầy đủ, (x
n
)
n
là dãy trong D, lim
n→∞
x
n
= x.
Ta chứng minh x ∈ D.
Do (x
n
)
n
là dãy trong (X, d) hội tụ về x nên (x
n

)
n
là dãy cơ bản trong (X, d). Với ε > 0
cho trước, có n
0
∈ N sao cho với mọi n  n
0
và p ∈ N thì d(x
n+p
, x
n
) < ε.
Do x
n
∈ D, ∀n ∈ N nên d
D
(x
n+p
, x
n
) = d(x
n+p
, x
n
) < ε.
Vậy, (x
n
)
n
là dãy cơ bản trong (D, d

D
). Do (D, d
D
) là không gian mêtric đầy đủ nên (x
n
)
n
hội tụ trong (D, d
D
) và do giới hạn duy nhất nên lim
n→∞
x
n
= x ∈ D. Vậy D là tập đóng.
Ngược lại, giả sử D là tập đóng. Cho (x
n
)
n
là dãy cơ bản trong (D, d
D
). Do d
D
(x
n+p
, x
n
) =
d(x
n+p
, x

n
), ∀n, p ∈ N nên (x
n
)
n
cũng là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ (X, d),
vậy hội tụ. Đặt x = lim
n→∞
x
n
. Do D là tập đóng nên x ∈ D. Suy ra lim
n→∞
d
D
(x, x
n
) =
lim
n→∞
d(x, x
n
) = 0 hay lim
n→∞
x
n
= x trong (D, d
D
). Vậy (D, d
D
) là không gian mêtric đầy

đủ.
Từ kết quả trên ta có thể thí dụ về không gian mêtric không đầy đủ. Do R
n
với mêtric
d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
là không gian mêtric đầy đủ, lấy D là một tập hợp con khác rỗng,
D không là tập đóng trong R
n
. Khi đó không gian mêtric con (D, d
D
) không là không gian
mêtric đầy đủ.
5.3 Ánh xạ co
Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X thỏa mãn điều kiện: có hằng số 0  k < 1
sao cho:
d(f(x), f(y))  k d(x, y), ∀x, y ∈ X
(f được gọi là ánh xạ co hệ số k) Khi đó có duy nhất x
0
∈ X sao cho f (x

0
) = x
0
và
lim
n→∞
f
n
(x) = x
0
với mọi x ∈ X.
Chứng minh: Với x ∈ X đặt x
1
= f (x), x
n+1
= f (x
n
), n ∈ N. Với n, p ∈ N, ta có:
d(x
n
, x
n+p
) = d(f
n
(x), f
n+p
(x))  k d(f
n−1
(x), f
n+p−1

(x))  . . .
 k
n
d(x, f
p
(x))  k
n

d(x, f(x)) + d(f(x), f
2
(x)) + · · · + d(f
p−1
(x), f
p
(x))

 k
n
(1 + k + · · · + k
p−1
)d(x, f(x)) = k
n
1 − k
p
1 − k
d(x, f(x))
Vậy d(x
n
, x
n+p

) 
k
n
1−k
d(x, f(x)). Do 0  k < 1, bất đẳng thức trên chứng tỏ (f
n
(x))
n
là dãy
cơ bản vậy hội tụ. Đặt x
0
= lim
n→∞
f
n
(x). Do
d(f(x
0
), f
n+1
(x)) = d(f(x
0
), x
n+1
)  k d(x
0
, x
n
), ∀n ∈ N.
Vậy, lim

n→∞
x
n
= x
0
= f (x
0
).
Giả sử f (x
0
) = x
0
, f(y
0
) = y
0
. Do d(x
0
, y
0
) = d(f(x
0
), f(y
0
))  k d(x
0
, y
0
) nên x
0

= y
0
.
Bài tập
1) Cho (X, d) là không gian mêtric, (x
n
)
n
là dãy cơ bản. Giả sử có dãy con (x
n
k
)
k
sao cho
lim
k→∞
x
n
k
= x. Chứng minh lim
n→∞
x
n
= x.
9
Hướng dẫn: Với ε > 0 có n
0
∈ N sao cho với n  n
0
, p ∈ N thì d(x

n+p
, x
n
) < ε/2 và có k
0
∈ N
sao cho với k  k
0
thì d(x
n
k
, x) < ε/2. Đặt m = max{n
0
, n
k
0
}. Với n  m, chọn k  k
0
sao cho
n
k
> n
0
, khi đó:
d(x
n
, x)  d(x
n
, x
n

k
) + d(x
n
k
, x) < ε/2 + ε/2 = ε
Vậy lim
n→∞
x
n
= x.
2) Cho (X, d
X
), (Y, d
Y
) là hai không gian mêtric. Đặt Z = X × Y . Với z
1
= (x
1
, y
1
), z
2
=
(x
2
, y
2
) ∈ Z, đặt d(z
1
, z

2
) = d
X
(x
1
, x
2
) + d
Y
(y
1
, y
2
). Chứng minh (Z, d) là không gian mêtric
đầy đủ ⇔ (X, d
X
), (Y, d
Y
) là các không gian mêtric đầy đủ.
Hướng dẫn: Cho z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N là dãy cơ bản trong Z. Do d(z
n+p
, z
n
)

= d
X
(x
n+p
, x
n
) + d
Y
(y
n+p
, y
n
), ∀n, p ∈ N nên (x
n
)
n
, (y
n
)
n
là dãy cơ bản trong X, Y và ngược
lại.
Giả sử (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ. Lấy (x
n
)
n
, (y
n
)
n

là dãy cơ bản trong X, Y .
Đặt z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N thì (z
n
)
n
là dãy cơ bản trong Z. Do Z là không gian mêtric đầy
đủ nên có z = (x, y) ∈ Z sao cho lim
n→∞
d(z
n
, z) = 0. Khi đó: lim
n→∞
d
X
(x
n
, x) = 0 và
lim
n→∞
d
Y
(y
n
, y) = 0. Vậy

lim
n→∞
x
n
= x trong X và lim
n→∞
y
n
= y trong Y.
Như vậy, (X, d
X
), (Y, d
Y
) là các không gian mêtric đầy đủ.
Ngược lại, giả sử X, Y là hai không gian mêtric đầy đủ. Cho z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N là dãy cơ
bản trong Z. Khi đó, (x
n
)
n
, (y
n
)
n
là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ nên có x ∈ X,

y ∈ Y sao cho lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y. Đặt z = (x, y), ta có:
lim
n→∞
d(z, z
n
) =

lim
n→∞
d
X
(x, x
n
) + lim
n→∞
d
Y
(y, y
n
)

= 0

hay lim
n→∞
z
n
= z trong Z. Vậy (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ.
6 Không gian mêtric compact
6.1 Định nghĩa
Cho (X, d) là không gian mêtric. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (x
n
)
n
trong A đều có một dãy con (x
n
k
)
k
hội tụ, lim
k→∞
x
n
k
= x và x ∈ A.
Nếu A = X là tập compact ta nói (X, d) là không gian mêtric compact.
6.2 Tính chất
1. Nếu (X, d) là không gian mêtric compact thì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ.
2. Cho (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X. Nếu A là tập compact thì A là tập đóng.
3. Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A ⊂ X. Khi đó:
A là tập compact ⇔ A là tập đóng.
4. Cho R
n

với mêtric d(x, y) = [

n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
]
1/2
và A ⊂ R
n
. Khi đó:
A là tập compact ⇔ A là tập đóng, bị chặn.
10
Bài tập
1) Cho (X, d
X
), (Y, d
Y
) là không gian mêtric, Z = X × Y với mêtric d(z
1
, z
2
) = d
X
(x
1

, x
2
) +
d
Y
(y
1
, y
2
), z
1
= (x
1
, y
1
), z
2
= (x
2
, y
2
). Cho A ⊂ X, B ⊂ Y . Chứng minh:
A × B compact trong Z ⇔ A và B là tập compact .
Hướng dẫn: Giả sử A × B là tập compact. Cho (x
n
)
n
là dãy trong A, (y
n
)

n
là dãy trong B. Đặt
z
n
= (x
n
, y
n
), n ∈ N, là dãy trong A × B là tập compact nên có dãy con z
n
k
= (x
n
k
, y
n
k
), k ∈ N
sao cho lim
k→∞
z
n
k
= z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó
lim
k→∞
d(z, z
n
k
) = lim

k→∞
[d
X
(x
n
k
, x) + d
Y
(y
n
k
, y)] = 0
hay
lim
k→∞
x
n
k
= x và lim
k→∞
y
n
k
= y
Vậy A, B là tập compact.
Ngược lại, giả sử A, B là tập compact. Cho z
n
= (x
n
, y

n
), n ∈ N là dãy trong A × B. Do A
là tập compact, (x
n
)
n
là dãy trong A nên có dãy con (x
n
k
)
k
thỏa lim
k→∞
x
n
k
= x ∈ A. Do B
là tập compact, (y
n
k
)
k
là dãy trong B nên có dãy con (y
n
k
i
)
i
thỏa lim
i→∞

y
n
k
i
= y ∈ B.
Đặt z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó dãy con z
n
k
i
=

x
n
k
i
, y
n
k
i

, i ∈ N, hội tụ, lim
i→∞
z
n
k
i
= z.
Vậy, A × B là tập compact trong Z.
Trường hợp đặc biệt: Nếu A = X, B = Y ta có (Z, d) là không gian mêtric compact nếu và
chỉ nếu (X, d

X
), (Y, d
Y
) là các không gian mêtric compact.
2) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A
n
, n ∈ N là tập đóng, A
n+1
⊂ A
n
. Giả sử

∞
1
A
n
= ∅. Chứng minh rằng có n
0
∈ N sao cho A
n
0
= ∅.
Hướng dẫn: Giả sử A
n
= ∅, ∀n ∈ N. Với mỗi n ∈ N lấy x
n
∈ A
n
. Do A
n+p

⊂ A
n
với mọi
n, p ∈ N nên x
n+p
∈ A
n
. Do X là không gian mêtric compact, (x
n
)
n
là dãy trong X nên có dãy
con (x
n
k
)
k
hội tụ, đặt x = lim
k→∞
x
n
k
.
Do n
k
 k với mọi k ∈ N và A
k
là tập đóng nên với mọi i ∈ N, dãy (x
n
k

)
ki
⊂ A
i
nên
x ∈ A
i
. Vậy x ∈

∞
1
A
i
, mâu thuẫn giả thiết

∞
1
A
i
= ∅. Vậy, có n
0
∈ N sao cho A
n
0
= ∅.
Ghi chú: Bài tập 2) có thể phát biểu tương đương như sau:
2’) Cho (X, d) là không gian mêtric, A
n
, n ∈ N, là tập compact, A
n+1

⊂ A
n
. Giả sử

∞
1
A
i
=
∅. Chứng minh có n
0
∈ N sao cho A
n
0
= ∅.
2”) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A
n
, n ∈ N, là tập đóng khác rỗng, A
n+1
⊂ A
n
.
Chứng minh

∞
1
A
i
= ∅
7 Ánh xạ liên tục

7.1 Định nghĩa
Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y . Ta nói
• f liên tục tại x ∈ X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x

∈ X, d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε.
11
• f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Do đó
f liên tục trên X ⇔ ∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x

∈ X,
d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε
• f liên tục đều trên X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x

∈ X, d(x, x

) < δ ⇒ ρ (f(x), f(x

)) < ε.
• f là đồng phôi nếu f là song ánh, f liên tục và ánh xạ ngược f
−1
là liên tục.
7.2 Tính chất

1) f liên tục tại x ⇔ Với mọi dãy (x
n
)
n
trong X, lim
n→∞
x
n
= x thì lim
n→∞
f(x
n
) = f (x).
2) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, f : X → Y liên tục. Khi đó: f liên tục đều và ảnh
f(X) là tập compact trong Y .
Ta chứng minh f(X) là tập compact. Cho (y
n
)
n
là dãy trong f(X), khi đó có dãy (x
n
)
n
trong
X sao cho y
n
= f (x
n
) với mọi n ∈ N. Do X là không gian mêtric compact nên có dãy con (x
n

k
)
k
hội tụ, đặt x = lim
k→∞
x
n
k
. Do f liên tục tại x nên lim
k→∞
f(x
n
k
) = lim
k→∞
y
n
k
= f (x) ∈ f(X)
Vậy f(X) compact trong Y .
3) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, f : X → R liên tục. Khi đó, f đạt cực đại, cực
tiểu trên X nghĩa là có x
1
, x
2
∈ X sao cho:
f(x
1
) = max{f(x) : x ∈ X} , f(x
2

) = min{f(x) : x ∈ X}
Bài tập
1) Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau
tương đương:
a) f liên tục trên X.
b) f
−1
(B) là tập mở nếu B là tập mở.
c) f
−1
(B) là tập đóng nếu B là tập đóng.
d) f
−1
(B) ⊂ f
−1
(B), ∀B ⊂ Y .
e) f(A) ⊂ f (A), ∀A ⊂ X.
Hướng dẫn:
a)⇒b) Với x ∈ f
−1
(B) thì f(x) ∈ B là tập mở nên có ε > 0 sao cho B
Y
(f(x), ε) ⊂ B. Do
f liên tục nên tồn tại δ > 0 sao cho
f(B
X
(x, δ)) ⊂ B
Y
(f(x), ε) ⊂ B
Suy ra B

X
(x, δ) ⊂ f
−1
(B). Vậy f
−1
(B) là mở.
b)⇒a) Với x ∈ X và ε > 0, do f
−1
(B
Y
(f(x), ε)) là tập mở chứa x nên có δ > 0 sao cho:
B
X
(x, δ) ⊂ f
−1
(B
Y
(f(x), ε))
Suy ra
f (B
X
(x, δ)) ⊂ B
Y
(f(x), ε)
12