bài tập về giới hạn

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
1
Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số

n
u
có giới hạn 0, kí hiệu

n
lim u 0
(hay
n
limu 0
), nếu với
mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở
đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó.
b. Tính chất:

n
11
lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1
n
n

c. Định lí: Cho hai dãy số

nn
n n n
n
| u | v
u ,v : limu 0
lim v 0








(1)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số

n
u
có giới hạn là số thực L, kí hiệu
n
limu L
, nếu

n
lim u L 0

nn
limu L lim u L 0

b. Các định lí:
Cho (u
n
) mà u
n
= c, n :
n
limu c

limu
n
= L
n
3
3
n
lim| u | | L|
lim u L

Nếu
nn
limu L,limv M
thì:

n
n n n n n
n
u
L
lim u v L M; lim u .v L.M; limk.u k.L (k ); lim (M 0)
vM




n n n
n
nn
v u w , n
limu L
limv limw L L

(2)
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1q
S u u q u q u q u . ;
1q






n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1q
S u u q u q u q limS limu . ;

1 q 1 q





3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dãy số có giới hạn


Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn +, kí hiệu limu
n
= +, nếu với mỗi số d-ơng tùy ý cho
tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số d-ơng đó.
Kết quả:
3
limn ;lim n ;lim n

b. Dãy số có giới hạn -
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn là - , kí hiệu limu
n
= -, nếu với mọi số âm tùy ý cho
tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc nhân
n

limu

n
limv


nn
lim u .v


n
limu

n
limv


nn
lim u .v

+
























+

Quy tắc chia
n
limu L 0
có dấu
nn
limv 0,v 0
có dấu
n
n
u
lim
v


Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
2
+

+


+






+








II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Cho

0
x a;b
và f là hàm số xác định trên tập

0
a;b \ x

. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là
số thực L, kí hiệu

0
xx
lim f x L


, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
), nếu với mọi dãy số

n
x

trong tập

0
a;b \ x
mà
n0
limx x
, ta đều có

n
limf x L

b. Giới hạn vô cực

0
xx
lim f x


nếu mọi dãy

n
x
trong tập

0
a;b \ x
mà
n0
limx x
thì

n
limf x

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

a;
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn là
số thực L khi x dần đến +, kí hiệu

x
lim f x L


, nếu với mọi dãy số

n
x
trong khoảng

a;
mà
n
limx
, ta đều có

n
limf x L

3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử

0
xx
lim f x L


và

0
xx
lim g x M L,M


. Khi đó:


0
xx
lim f x g x L M







0
xx
lim f x .g x L.M







0
xx

lim k.f x k.L k









0
xx
fx
L
lim M 0
g x M



b. Định lí 2: Giả sử

0
xx
lim f x L


. Khi đó:


0

xx
lim | f x | | L |


;


0
3
3
xx
lim f x L


;
Nếu

f x 0
với mọi

0
x J \ x
, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
0
x
thì
L0
và

0

xx
lim f x L


.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp

0
J \ x
. Khi đó:



0
00
0
xx
x x x x
x J \ x :g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L

4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
Giả sử hàm f xác định trên khoảng

00
x ;b ,x
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là
số thực L khi x dần đến x
0
, kí hiệu:

0
xx
lim f x L



, nếu với mọi dãy số

n
x
trong khoảng

0
x ;b

mà
n0
limx x
, ta đều có

n
limf x L
.
Giả sử hàm f xác định trên khoảng

00
a;x ,x
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là
số thực L khi x dần đến x
0
, kí hiệu:

0
xx
lim f x L



, nếu với mọi dãy số

n
x
trong khoảng

0

a;x

mà
n0
limx x
, ta đều có

n
limf x L
.
Các định nghĩa

0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x



đ-ợc phát biểu t-ơng tự
nh- trên.
b. Định lí:


0
00
xx
x x x x
lim f x lim f x L lim f x L

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
3



00
x x x x
1
lim | f x | lim 0
fx



5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân

b. Quy tắc chia

0
xx
lim f x



0

xx
lim g x L 0


có dấu

0
xx
lim f x .g x






0
xx
lim f x L 0



có dấu

0
xx
lim g x 0



g(x) có dấu

0
xx
fx
lim
gx





+



+
+









+

+





+















6. Các dạng vô định
Khi tìm

fx
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
gx



khi
0 0 0
x x ;x x ;x x ;x ;x


ta gặp các
dạng vô địn, kí hiệu
0
, ,0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đ-ợc các định lí về giới hạn cũng
nh- các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là
phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Ph-ơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm:
2
3
2

8n 3n
lim
n


Giải:
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
n
n



Ví dụ 2: Tìm:
2
2
2n 3n 1
lim
n2



Giải:
2
2

2
2
31
2
2n 3n 1 2
n
n
lim lim 2
2
1
n2
1
n







Ví dụ 3: Tìm:


2
lim n 1 n 1

Giải:


2

2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
11
n 1 n 1
11
n
n




.
Dạng 2: Chứng minh
n
limu 0

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số

nn
n n n
n
| u | v
u ,v : limu 0
lim v 0

(1);

n n n
n
nn
v u w , n
limu L
limv limw L L








(2)
Ví dụ: Chứng minh:

n
1 cosn
lim 0
n

Giải:
Ta có:

n
1 cosn
1
nn


và
1
lim 0
n

nên

n
1 cosn
lim 0
n



Dạng 3: Chứng minh
n
limu
tồn tại

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong

in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
4
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chứng minh dãy số

n
u
cho bởi

n
1
u
n n 1


có giới hạn.
Giải:
Ta có


n1
n
n n 1
u

1n
. 1, n.
u n 1 n 2 1 n 2




Do đó dãy

n
u
giảm. Ngoài ra,

*
n
1
n :u 0,
n n 1


nêu dãy

n
u
bị chặn d-ới. Vậy dãy

n
u
có giới hạn.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng công thức:
1
u
S ,| q | 1
1q



Ví dụ: Tính tổng
2n
1 1 1
S 1
2
22


Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q1
2

và
1
u1
. Vậy:
1
u
1
S2

1
1q
1
2




Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3
2
2n 4n 3
lim
3n 1



Giải:
Cách 1:
Ta có:
3
23
2
3
43
2
2n 4n 3
nn

lim lim
31
3n 1
n
n






Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
n
n n n




và

*
3
31
0n
n
n

nên suy ra:
3
23
2
3
43
2
2n 4n 3
nn
lim lim
31
3n 1
n
n






Cách 2:
Ta có:
3
3
23
23
2
2
2
2

43
43
n2
2
2n 4n 3
nn
nn
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n3
n
n

Lại có
3
2 3 2 3
2
22
4 3 4 3
22
2 2n 4n 3
n n n n
limn ;lim 0 lim lim n.
11
3
3n 1
33
nn

Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x0
1
lim x.sin
x




.
Giải:
Xét dãy

n
x
mà
n
x 0, n
và
n
limx 0
. Ta có:

n n n
n
1

f x x sin | x |
x


Vì

nn
lim| x | 0 limf x 0.
Do đó
x0
1
lim x.sin 0
x





.

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
5
Ví dụ 2: Tính:


2
x
lim x x 1 x

Giải:
Ta có:


22
2
22
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1
x
lim x x 1 x lim lim lim
2
11
x x 1 x x x 1 x
11
xx







Ví dụ 3: Tính:

2
x
lim x 3x 1 x



Giải:
Ta có:


2
22
x x x x
2
11
33
3x 1 3
xx
lim x 3x 1 x lim lim lim
2
31
x 3x 1 x x 3x 1
11
1
xx
x

(Chú ý: khi
x
là ta xét x < 0, nên
2
xx
)
Dạng 7: Chứng minh

0
xx
lim f x 0


(Hoặc bằng L)
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp

0
J \ x
. Khi đó:

0
00
0
xx
x x x x
x J \ x :g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L










Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sinx
lim 0
1x

Giải:
Ta luôn có:

2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x



2 2 2 2 2
22
4 4 4 4 4
x x x x x x x
44
11
x x x x x sin x
xx
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
11
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
11
xx




.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số

3
2
x x 1
fx
2x 3 x 1








với
với
. Tìm

x1
lim f x


Giải:
Ta có:

2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1



(1)




3
x 1 x 1
lim f x lim x 1



(2)
Từ (1) và (2) suy ra

x1
lim f x 1



Ví dụ 2: Cho hàm số

1

x1
x1
fx
1
x1
x1
khi
khi













a. Tìm

x2
limf x


b. Tìm

x1

limf x


Giải:
a.

x 2 x 2
11
limf x lim
x 1 3




b.

x1
limf x



Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
6
Ta có:

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2

suy
ra không tồn tại

x1
limf x


(Chú ý:

0
xx
lim f x

tồn tại khi và chỉ khi

00
x x x x
lim f x lim f x L



thì

0
xx

lim f x L


)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Ph-ơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x
lim 4x 1



Giải:
22
22
x x x
11
lim 4x 1 lim x 4 lim | x |. 4
xx






Vì
x
lim | x |

và
2
2
xx
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x



Dạng 10: Khử dạng vô định
Ph-ơng pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng


0
xx
Px
lim
Qx

, với

00
x x x x
lim P x lim Q x 0


:

Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
xx

Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho l-ợng
liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x2
x 9x 14
lim
x2




Giải:


2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7
x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2

Ví dụ 2: Tìm:
x0
4 x 2
lim
4x



Giải:


x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2






Ví dụ 3: Tìm:
3
x1
x 7 2
lim
x1

Giải:







2
33
3
3
3
x 1 x 1 x 1
22
33
33
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4

x1
2
3
3
11
lim
12
x 7 2. x 7 4




Ví dụ 4: Tìm:
x2
2x 5 3
lim
x 2 2




Giải:

x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
3
x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3







Ví dụ 5: Tìm:
3
x1
x 3x 2
lim
x1




Giải:

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
7




3
33
2
x 1 x 1 x 1 x 1
2
x1
x 1 3x 2 1
x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 2 1
lim lim lim lim x x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 3x 2 1
3 3 3
lim x x 1 3
22
3x 2 1

Ví dụ 6: Tìm:
4
3
x1
x 2 1
lim
x 2 1




Giải:
Đặt
12 12
12
t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1 đó thì
. Do đó:

2
32
4
4
22
3
x 1 t 1 t 1 t 1
t 1 t t 1
x 2 1 t 1 t t 1 3
lim lim lim lim
4
t1
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
x 2 1








Ví dụ 7: Tìm:
3
x1

x 7 x 3
lim
x1




Giải:






3
33
x 1 x 1 x 1
3
2
x1
33
2
x1
3
3
x 7 2 x 3 2
x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 7 2 x 3 4

lim
x 1 x 3 2
x 1 x 7 2. x 7 4
1 1 1 1 1
lim
12 4 6
x 3 2
x 7 2 x 7 4

2. Khi tìm giới hạn dạng


x
Px
lim
Qx

, ta l-u ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:
x
1
lim 0
x

( với
0
)
Ví dụ 1: Tìm:
2
2
x
3x 4x 1
lim
2x x 1




Giải:
2
2
2
xx
2
41
3
3x 4x 1 3
x
x
lim lim
11
2
2x x 1
2

x
x







Ví dụ 2: Tìm:
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x




Giải:
2
2
xx
11
13
x x 1 3x 1 3 4
x
x
lim lim
2

2 3x 3 3
3
x







Ví dụ 3: Tìm:
3
32
2
x
8x 3x 1 x
lim
4x x 2 3x




Giải:
3
3
32
3
3
2
xx

2
31
81
8x 3x 1 x 8 1
x
x
lim lim 1
1 2 4 3
4x x 2 3x
43
x
x








C. Bài tập tự luận
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
8
1.
2
2
x3

x 5x 6
lim
x 8x 15




2.
2
2
1
x
2
8x 1
lim
6x 5x 1




3.
32
2
x3
x 4x 4x 3
lim
x 3x

4.
4 3 2
4 3 2
x1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1




5.
3
4
x1
x 3x 2
lim
x 4x 3




6.
32
42
x2
x 2x 4x 8
lim
x 8 x 16

7.
3
5
x1
x 2x 1
lim
x 2x 1




8.

x0
1 x 1 2x 1 3x 1
lim
x



9.

x0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1
lim
x

2. Tìm các giới hạn hàm số sau:
1.
x2
x2
lim
3 x 7




2.
x1
2x 7 3
lim
x 3 2




3.
2
x0
1 x 1
lim
x

4.
2
x2
x 7 3
lim
x4




5.
3
x2
4x 2
lim
x2




6.
3
2
2
x0
1 x 1
lim
x

7.

3
2
3
2
x1
x 2 x 1
lim
x1




8.
3
x0
x1
lim
x1




9.
x2
x 2 x 7 5
lim

x2




10.
33
x0
1 x 1 x
lim
x



11.

2
2
x1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2




12.
x1
2x 2 3x 1
lim

x1




13.
22
2
x3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3




14.
x0
x 9 x 16 7
lim
x



15.
3
2
3
2
x1

x 2 x x 1
lim
x1




3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
3
2
x1
x 7 x 3
lim
x 3x 2




2.
3
x0
2 1 x 8 x
lim
x



3.
3

x0
1 x 1 x
lim
x



4.
3
2
x2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2




5.
3
32
x1
7 x 3 x
lim
x1




6.

2
3
x1
x 7 5 x
lim
x1




7.
3
x0
1 4x 1 6x 1
lim
x



8.
3
2
x0
1 2x 1 3x
lim
x

4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
32
4 3 2
x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3




2.
2
2
x
x x 1
lim
2x x 1




3.


23
32
x
2x 3 4x 7

lim
3x 1 10x 9




4.


20 30
50
x
2x 3 3x 2
lim
2x 1




5.
2
2
x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2

6.
x
5x 3 1 x
lim
1x




5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1.
22
x
lim x x 1 x x 1





2.

2
x
lim 2x 5 4x 4x 1





3.

x
lim x x x






4.
2
x
lim x. x 1 x





5.
2
x
lim x 4x 9 2x





6.
2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2

7.
3
32
x
lim x 2 x 1





8.
3
23
x
lim x 4x 5 8x 1






D. Bài tập trắc nghiệm
Dãy số có giới hạn 0
1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.

1
n
b.
1
n
c.
2n 1
n

d.
cosn
n

2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
n
5
3



b.
n
1
3



c.
n

5
3




d.
n
4
3





3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.

n
0,909
b.

n
1,012
c.

n
1,013
d.

n
1,901

4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
a.

n
0,99
b.

n
1
c.

n
0,99
d.

n
0,89

5. Gọi

n
1
L lim
n4

. Khi đó L bằng

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
9
a.
1
5

b.
1
4

c. 1 d. 0
6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
a.
1
2n
b.
1
n
c.
n
4
3



d.

n
1
n


Dãy số có giới giạn hữu hạn
7. Cho
n
1 4n
u
5n


. Khi đó u
n
bằng
a.
3
5
b.
3
5

c.
4
5
d.
4
5

8. Cho
nn
n
n
25
u
5


. Khi đó limu
n
bằng
a. 0 b. 1 c.
2
5
d.
7
5

9. Gọi
cos2n
L lim 9
n

thì L bằng số nào sau đây?
a. 0 b.
3
c. 3 d. 9
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn

n1
n
1
1 1 1
, , , , ,
2 4 8
2



là
a. 1 b.
1
3
c.
1
3

d.
2
3


11. Tổng của cấp số nhân vô hạn

n1
n
1
1 1 1

, , , , ,
3 9 27
3



là
a.
1
4
b.
1
2
c.
3
4
d. 4
12. Tổng của cấp số nhân vô hạn

n1
n1
1
1 1 1
, , , , ,
2 6 18
2.3

là
a.
8
3
b.
3
4
c.
2
3
d.
3
8

13. Tổng của cấp số nhân vô hạn:

n1
n1
1
1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8
2




là
a.
2

3

b.
2
3
c.
3
2
d. 2
Dãy số có giới hạn vô cực
14. Kết quả

3
L lim 5n 3n
là
a.

b. 4 c. 6 d.


15. Biết

2
L lim 3n 5n 3
thì L bằng
a.

b. 3 c. 5 d.

16.

32
lim 3n 2n 5
bằng
a.

b. 6 c. 3 d.


17.
2
3
lim
4n 2n 1


bằng
a.

b.
3
4

c. 1 d. 0
18.
4
2
lim
5n 2n 1

bằng
a.
2
5
b.
1
2
c. 0 d.


19.
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1


bằng
a. 0 b.

c.
3
4
d.
2
7


Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong

Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
10
20.
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5


bằng
a. 0 b.

c.
1
2
d.
3
11

21.
24
4
5n 3n
lim
4n 2n 1


b»ng
a.

3
4

b. 0 c.
5
4
d.
3
4

22.
3
2
2n 3n
lim
4n 2n 1


b»ng
a.
3
4
b.
5
7
c. 0 d.


23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ


?
a.
23
n
u 3n n
b.
23
n
u n 4n
c.
2
n
u 4n 3n
d.
34
n
u 3n n

24. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
a.
43
n
u n 3n
b.
34
n
u 3n 2n
c.
2
n

u 3n n
d.
23
n
u n 4n  

25.
2
4n 5 n 4
lim
2n 1
  

b»ng
a. 0 b. 1 c. 2 d.


26. KÕt qu¶
 
lim n 10 n
lµ
a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0
27. KÕt qu¶
2
2
3 2n 4n
lim
4n 5n 3



lµ
a. 0 b. 1 c.
3
4
d.
4
3


28. NÕu
n
limu L
th×
n
lim u 9
b»ng
a. L + 9 b. L + 3 c.
L9
d.
L3

29. NÕu
n
limu L
th×
3
n
1
lim
u8

b»ng bao nhiªu?
a.
1
L8
b.
1
L8
c.
3
1
L2
d.
3
1
L8

30.
2n 3
lim
2n 5


b»ng
a.
5
7
b.
5
2
c. 1 d.



31.
4
4
10 n
lim
10 2n
b»ng bao nhiªu?
a.

b. 10000 c. 5000 d. 1
32.
2
1 2 3 n
lim
2n
   
b»ng bao nhiªu?
a. 0 b.
1
4
c.
1
2
d.


33.
3

3
nn
lim
6n 2


b»ng
a.
1
6
b.
1
4
c.
3
2
6
d. 0
34.


22
limn n 1 n 3  
b»ng bao nhiªu?
a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1
35.
n sin 2n
lim
n5



b»ng sè nµo sau ®©y?
a.
2
5
b.
1
5
c. 0 d. 1

Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
11
36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 3n



b.
2
1 2n
5n 3n

c.
2
2
1 2n
5n 3n


d.
2
n
2
n2
u
5n 3n




37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n



b.

2
1 2n
5n 5n


c.
2
n
1n
u
5n 5



d.
2
n
3
n2
u
5n 5n




38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +?
a.
2
n
2

9n 7n
u
nn



b.
n
2007 2008n
u
n1



c.
2
n
u 2008n 2007n
d.
2
n
u n 1

39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
a.
2
3
2n 3
lim
2n 4

b.
2
2
2n 3
lim
2n 1


c.
2
32
2n 3
lim
2n 2n


d.
3
2
2n 3
lim
2n 1



40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
a.
2

3
2n 3
lim
2n 4


b.
3
2
2n 3n
lim
2n 1


c.
24
32
2n 3n
lim
2n n


d.
3
2
3 2n
lim
2n 1

41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là

?
a.
2
3
2n 3
lim
n4


b.
2
2
2n 3n
lim
2n 1


c.
24
32
2n 3n
lim
2n n


d.
3

2
3 2n
lim
2n 1



42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
1
5
?
a.
2
n
2
n 2n
u
5n 5n



b.
n
1 2n
u
5n 5



c.

2
n
1 2n
u
5n 5



d.
n
2
1 2 n
u
5n 5n




43. Nếu


22
L lim n n 2 n 4




thì L bằng
a.

b.
71
c.
7
2
d. 0
44. Gọi


22
L lim n n 2 n 4




. Khi đó L bằng
a.

b. 6 c. 3 d. 2
45.
2
4n 1 n 2
lim
2n 3


bằng
a. 1 b.
3
2

c. 2 d.


46.
cos2n
lim 9
3n

bằng
a.

b.
29
3
c. 9 d. 3
47.


22
lim n 2n n 2n
có kết quả là
a. 1 b. 2 c. 4 d.


50. Dãy số nào sau đây có giới hạn
1
3

?
a.

23
n
32
n 3n
u
9n n 1



b.
2
n
2
2n n
u
3n 5



c.
43
n
32
n 2n 1
u
3n 2n 1



d.

2
n
3
n 2n 5
u
3n 4n 2




Giới hạn của hàm số
51.

2
x1
lim x x 7


bằng
a. 5 b. 7 c. 9 d.


52.

2
x2
lim 3x 3x 8


bằng

a.
2
b. 5 c. 9 d. 10
53.
2
x1
x 3x 2
lim
x1



bằng
a.
1
b. 1 c. 2 d.


54.
32
x1
3x x 2
lim
x2



bằng

Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong

Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
12
a. 5 b. 1 c.
5
3
d.
5
3


55.
45
46
x1
3x 2x
lim
5x 3x 1



b»ng
a.
1
9
b.
3
5
c.
2
5


d.
2
3


56.
25
4
x1
3x x
lim
x x 5



b»ng
a.
4
5
b.
4
7
c.
2
5
d.
2
7

57.
23
2
x2
xx
lim
x x 3



b»ng
a.
4
9

b.
12
5
c.
4
3
d.


58.
45
45
x1
x 2x
lim

2x 3x 2



b»ng
a.
1
12

b.
1
7

c.
2
7

d.


59.
3
2
x2
xx
lim
x x 1




b»ng
a.
10
7

b.
10
3

c.
6
7
d.


60.
3
x1
lim 4x 2x 3


b»ng
a. 5 b. 3 c. 1 d.
5

61.
3
3
2
x1

x1
lim
x 3 2



b»ng
a. 0 b. 1 c.
3
1
42


d.
2
3


62.
4 3 2
4
x
2x x 2x 3
lim
x 2x

  

b»ng
a.

2
b.
1
c. 1 d. 2
63.
4
4
x
3x 2x 3
lim
5x 3x 1



b»ng
a. 0 b.
4
9
c.
3
5
d.


64.
45
4
x
3x 2x
lim

5x 3x 2



b»ng
a.
2
5

b.
3
5
c.

d.


65.
45
46
x
3x 2x
lim
5x 3x 2



b»ng
a.


b.
3
5
c.
2
5

d. 0
66.
45
54
x
3x 4x 2
lim
9x 5x 4



b»ng
a. 0 b.
1
3
c.
5
3
d.
2
3

67.

42
2
x2
x 4x 3
lim
7x 9x 1



b»ng
a.
1
15
b.
1
3
c.
35
9
d.



Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
13
68.
42
2
x1

x 4x 3x
lim
x 16x 1



b»ng
a.
1
8
b.
3
8
c.
3
8
d.


Giíi h¹n mét bªn
69.
x3
| x 3|
lim
3x 6




b»ng

a.
1
2
b.
1
6
c. 0 d.


70.
3
2
x1
1x
lim
3x x




b»ng
a. 1 b. 0 c.
1
3
d.


71.
x1
x2

lim
x1




b»ng
a.
1
2

b.
1
2
c.

d.


72.
2
x1
x1
lim
x1




lµ

a.

b. 2 c. 1 d.


73.
3
2
x2
x 2x 3
lim
x 2x




b»ng
a.

b.
1
8
c.
9
8

d.


74.

x0
2x x
lim
5x x




lµ
a.

b.
2
5
c.
1
d.


75.
2
32
x1
x 4x 3
lim
xx





lµ
a.
1
b. 0 c. 1 d.


76. Cho hµm sè:
 
2
x 3x 1 x 2
fx
5x 3 x 2

  




víi
víi
. Khi ®ã
 
x2
lim f x


b»ng:
a. 11 b. 7 c.
1
d.

13

77. Cho hµm sè
 
3
3
2x 2x x 1
fx
x 3x x 1
víi
víi








. Khi ®ã
 
x1
lim f x


b»ng
a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2
78. Cho hµm sè
 
2

2 x 3
x1
x1
y f x
1
khi x 1
8
khi












. Khi ®ã
 
x1
lim f x


b»ng
a.
1
8

b.
1
8

c. 0 d.


79. Cho hµm sè:
 
2
x1
x1
fx
1x
2 x 2 x 1
víi
víi










. Khi ®ã
 
x1

lim f x


b»ng
a. –1 b. 0 c. 1 d.


80. Cho hµm sè
 
2
2x
x1
1x
fx
3x 1 x 1
víi
víi









. Khi ®ã
 
x1
lim f x



b»ng
a.

b. 2 c. 4 d.




Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
14


Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh)
81. Cho
2
2
x1
2x 3x 1
L lim
1x




. Khi ®ã
a.
1

L
2

b.
1
L
4

c.
1
L
4

d.
1
2


82. Cho
2
2
x2
x4
L lim
2x 3x 2




. Khi ®ã

a.
4
L
5

b.
4
L
5

c.
1
L
2

d.
1
L
2


83.
2
x2
x 3x 2
lim
2x 4




b»ng
a.

b.
3
2
c.
1
2
d.
1
2


84.
2
x2
x 12x 35
lim
x5



b»ng
a.

b. 5 c.
2
5
d.

2
5


85.
2
x5
x 12x 35
lim
5x 25



b»ng
a.

b.
1
5
c.
2
5
d.
2
5


86.
2
2

x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2


  
b»ng
a.
2
3
b.
2
3

c.
1
2
d.
1
2


87.
 
x
lim x 1 x 3

  
b»ng

a.

b. 2 c. 0 d.


88.


2
x
lim x x 5 x


b»ng
a.
5
b.
5
2
c.
5
2
d.


89.


2
x

lim x x 2 x


b»ng
a.

b. 2 c. 1 d. 0
90.
4
t1
t1
lim
t1



b»ng
a.

b. 4 c. 1 d.


91.
44
ta
ta
lim
ta




b»ng
a.
2
4a
b.
3
3a
c.
3
4a
d.


92.
4
3
y1
y1
lim
y1



b»ng
a.

b. 0 c.
3
4

d.
4
3

93.
25
4
x
3x x
lim
x 6x 5



b»ng
a.

b. 3 c. –1 d.


94.
2
x
4x 1 x 5
lim
2x 7

  

b»ng

a. 0 b. 1 c. 2 d.



Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
15
95.
2
x0
x 1 x x 1
lim
x


bằng
a. 0 b. 1 c.
1
2

d.


96.
3
2
x1
x1
lim
x 3 2

bằng
a.

b. 1 c.
2
3
d.
2
3


97.
2
x5
x 2x 15
lim
2x 10



bằng
a. 8 b. 4 c.
1
2
d.

98.
2
x5
x 2x 15
lim
2x 10



bằng
a. 4 b. 1 c. 4 d.


99.
2
x5
x 9x 20
lim
2x 10



bằng
a.
5
2

b. 2 c.
3
2

d.


100.
45
4
x
3x 2x
lim
5x x 4



bằng
a.
2
5

b.
3
5
c.

d.


101.
3
2

x1
x1
lim
xx



bằng
a. 3 b. 1 c. 0 d. 1
102.

3
x
x
lim x 5
x1



bằng
a. 0 b. 1 c. 2 d.


103.
2
3
x1
x 3x 2
lim
x1

bằng
a.
2
3

b.
1
3

c. 0 d.
1
3

104.
3
2
x
2x x
lim
x2



bằng
a.

b. 1 c. 2 d.

105.

x
lim x 5 x 7


bằng
a.

b. 4 c. 0 d.


106.
2
x3
3x 7x
lim
2x 3



bằng
a.
3
2
b. 2 c. 6 d.

107.
2
x1
2 x 3
lim
1x



bằng
a.
1
4
b.
1
6
c.
1
8
d.
1
8


108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đ-ợc một khẳng định đúng.
Cột trái

Cột phải
1.
2

x3
x 2x 15
lim
2x 10



bằng

a)
7
2


2.
2
x5
x 3x 10
lim
2x 10



bằng

b) 0

Nguyễn Xuân Thọ Trường THPT Lê Hồng Phong
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101
16

3.
2
x5
x 2x 15
lim
3x 15



b»ng

c)
3
2

4.
2
x5
x 3x 10
lim
2x 10



b»ng

d)
8
3

e)
7
2