BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (754.84 KB, 25 trang )
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới
hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu
u
n
có
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số
hạng nào đó trở đi. Kí
hiệu:
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn
là a hay (u
n
) dần tới a khi n dần tới vô cực
(
n
), nếu
lim 0.
n
n
ua
Kí hiệu:
n
lim hay u khi n + .
n
n
u a a
Chú ý:
lim lim
nn
n
uu
.
2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
*
k
11
lim 0 , lim 0 , n
n
n
b)
lim 0
n
q
với
1q
.
c) Lim(u
n
)=c (c là hằng số) => Lim(u
n
)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
) có :
*
n
v n
nn
uw
và
n
lim lim lim u
nn
v w a a
.
b) Định lý 2: Nếu lim(u
n
)=a , lim(v
n
)=b thì:
lim lim lim
n n n n
u v u v a b
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
nn
u
u
a
b
v v b
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công
bội q ,với
1.q
1
lim lim
1
n
u
S
q
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực
n
u
khi n dần tới vơ cực
n
nếu u
n
lớn hơn một số dương bất
kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
lim(u
n
)=
hay u
n
khi
n
.
b) Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
khi
n
nếu lim
n
u
.Ký hiệu:
lim(u
n
)=
hay u
n
khi
n
.
c) Định lý:
o Nếu :
*
n
lim 0 u 0 , n
n
u
thì
1
lim
n
u
o Nếu :
lim
n
u
thì
1
lim 0
n
u
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Giới hạn của dãy số (u
n
) với
n
Pn
u
Qn
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P
là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0
thì chia tử số
và mẫu số cho n
k
để đi đến kết quả :
0
0
lim
n
a
u
b
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và
mẫu cho n
k
để đi đến kết quả :lim(u
n
)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho n
k
để đi đến kết quả :lim(u
n
)=
.
2. Giới hạn của dãy số dạng:
n
fn
u
gn
, f
và g là các biển thức chứa căn.
o Chia tử và mẫu cho n
k
với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Bài tập
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Tính các giới hạn sau :
Tính
21
lim
n
n
Ta có :
1
2
21
lim lim 2
n
n
n
nn
Tính
31
lim
21
n
n
Giải
Ta có:
1
3
3 1 3
lim lim
1
2 1 2
2
n
n
n
n
n
n
Tính
2
2
3 2 5
lim
78
nn
nn
Giải
Ta có
2
2
22
2
2
2
2
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
18
78
7 8 7
7
nn
nn
n n n
nn
nn
nn
n
Tính lim
3
3
21
523
n
nn
Giải
Ta có
Ta có : lim
3
3
21
523
n
nn
=lim
)2
1
(
)
52
3(
3
3
32
3
n
n
nn
n
=lim
2
3
2
1
52
3
3
32
n
nn
Tính
3
32
2 3 1
lim
nn
nn
Giải
Ta có :
3
3
3 3 3
3
32
32
3
33
23
21
3
2 3 1
lim lim
21
3
lim 3
1
1
nn
n
n n n
nn
nn
nn
n
nn
nn
n
Tính
2
2
41
lim
32
nn
n
Giải
Ta có
2
2
2
2
2
2
11
4
41
lim lim 2
3
32
2
n
nn
nn
n
n
n
Tính
2
2
31
lim
12
nn
n
Giải
Ta có :
2
22
2
2
1
3
31
lim lim
1 2 1 2
1 1 1
3
lim 0
1
2
nn
nn
n
nn
n
n n n
n
Tính lim
n
nn
21
14
2
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
giải
Ta có :
lim
n
nn
21
14
2
=lim
n
n
n
n
21
1
4
2
=lim
2
1
2
1
1
1
4
2
n
n
Tính
2
14
lim
32
nn
n
Giải
2
2
2
14
14
lim lim
32
32
1
14
1 4 5
lim
2
33
3
nn
nn
n
n
n
n
n
n
Tính lim(n-
1
73
2
n
nn
)
giải
Ta có :
2 2 2
3 7 ( ) ( 3 7)
lim
11
7
2
27
lim lim 2
1
1
1
n n n n n n
n
nn
n
n
n
n
Tính
2
2
lim
1
nn
nn
Giải
2
2
2
2
1
2
20
lim lim 0
11
11
1
n
nn
n
nn
n
nn
Tính
32
5
2 3 1
lim
14
nn
n
Giải
32
5
32
5
5
5
21
31
2 3 1
27
lim lim
1
1 4 4
4
n
nn
nn
n
n
n
Tính
2
2
22
lim
21
nn
n
Giải
Ta có :
2
2
2
2
2
22
1
2 2 1
lim lim
1
2
21
21
n
nn
nn
n
n
n
Tính
2
42
24
lim
21
nn
nn
Giải
Ta có :
2
2
2
42
2
24
14
2
2 4 2
lim lim 2
1 1 2
21
2
n
nn
nn
nn
n
nn
Tính
52
53
1
lim
21
nn
nn
Giải
Ta có :
5
52
35
53
5
25
11
1
1
lim lim 1
21
21
1
n
nn
nn
nn
n
nn
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
23
lim
4
n
n
n
Giải
Ta có :
2 3 2 3
lim lim 0
44
nn
n
n
n
Tính
3 4 1
lim
4 2 1
nn
nn
Giải
Ta có
31
41
44
3 4 1
lim lim 1
4 2 1
11
41
24
nn
n
nn
nn
nn
n
Tính
5.2 5
lim
2
n
n
cos n
Giải
Ta có :
5
25
5.2 5
2
lim lim 5
22
n
n
n
nn
cos n
cos n
Tính
7.2 4
lim
2.3 4
nn
nn
Giải
Ta có :
7
41
7.2 4
2
lim lim 1
2.3 4
3
4 2 1
4
n
nn
n
nn
n
n
Tính
11
5.2 3
lim
23
nn
nn
Giải
Ta có :
11
5.2 3 5.2 3
lim lim
2 3 2.2 3.3
2
3 5 1
3
1
lim
3
2
3 2 3
3
n n n n
n n n n
n
n
n
n
Tính
2
cos
lim 3
nn
n
Giải
Ta có :
2
cos cos
lim 3 lim 3 3
n n n
nn
Vì
cos
cos 1 1 cos
lim 0 lim 0
n
nn
mà nên
n n n n n
Tính
2
3
cos5
lim 5
nn
n
Giải
Ta có :
2
3
cos5 cos5
lim 5 lim 5 5
n n n
nn
Vì
cos5
cos5 1 1 cos5
lim 0 lim 0
n
nn
mà nên
n n n n n
Tính lim(
)1
22
nnn
Giải
Ta có : lim(
)1
22
nnn
=lim
nnn
nnnnnn
22
2222
1
)1)(1(
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
=lim
nnn
nnn
22
22
1
)()1(
=lim
nnn
n
22
1
1
=lim
2
1
1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
Tính
22
lim 1n n n
Giải
Ta có :
22
2 2 2 2
22
lim 1
11
lim
1
n n n
n n n n n n
n n n
22
2
1
1
11
lim lim
2
11
1
11
n
n
n
n n n
n
nn
Tính
2
lim 2 3n n n
Giải
2
22
2
22
2
lim 2 3
2 3 2 3
lim
23
23
lim
23
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
2
2
2 3 2 3
lim lim
2 3 2 3
11
nn
n n n
n
n
n
2
3
2
2
lim 1
11
23
11
n
n
n
Tính
22
lim 1 2n n n
Giải
Ta có :
22
2 2 2 2
22
lim 1 2
1 2 1 2
lim
12
n n n
n n n n n
nn
22
2 2 2 2
22
12
3
lim lim
1 2 1 2
33
lim
2
12
11
n n n
n
n n n n
n
n
nn
Tính
22
1 4 2
lim
3
n n n
n
Giải
Ta có
22
2 2 2 2
22
22
22
1 4 2
lim
3
1 4 2 1 4 2
lim
3 1 4 2
1 4 2
lim
3 1 4 2
n n n
n
n n n n n n
n n n n
n n n
n n n n
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
2
22
31
lim
3 1 4 2
nn
n n n n
2
2
2
22
11
3
lim 3
3 1 1 2
1 1 4
n
nn
n
n n n n
Tính
22
lim 1 2n n n
Giải
Ta có :
22
22
22
22
2 2 2 2
22
12
lim 1 2 lim
12
12
3
lim lim
1 2 1 2
33
lim
2
12
11
n n n
n n n
nn
n n n
n
n n n n
n
n
nn
Tính
33
lim 2nn
Giải
33
2
3
2
3 3 3 3
3
2
3
2
33
3
lim 2
2 2 2.
lim
2 2.
nn
n n n n n n
n n n n
33
33
2
3
2
33
3
2
3
2
33
3
2
lim
2 2.
2
lim
2 2.
nn
n n n n
nn
n n n n
2
2
3
33
3
2
lim 0
2 2.n n n n
Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát
sau đây có giới hạn 0 :
sin
1
n
n
u
nn
Giải
Ta có :
sin sin
sin 1
11
1 sin
lim 0 lim 0
1
nn
n
nn
n n n n
n
mà nên
n
nn
2
1
2
n
u
n
Giải
Ta có :
22
1 1 1 1
lim 0 lim 0
22
nn
mà nên
n n n n
1
!
n
u
n
Giải
Ta có
1 1 1 1
0 lim 0
!!
mà lim nên
n n n n
2
1 cos
21
n
n
u
n
Giải
Ta có :
2
2
1 cos 2
1 cos 2 1
2 1 2
2 1 2
n
n
vì nên
n n n
nn
2
1 1 cos
lim 0 lim 0
21
n
mà nên
nn
5
31
n
n
n
u
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
5 5 5
3 1 3 3
55
lim 0 lim 0
3 3 1
n
nn
nn
n
n
n
mà nên
2
sin2
n
nn
u
nn
Giải
2
2
sin2 1 1
1
1 sin2
lim 0 lim 0
n n n
n n n n n
nn
mà nên
n n n
2
3
1 sin cos
21
n
n
nn
u
n
Giải
Ta có :
1
2
3
3 3 3
1
2
3
3
1 sin cos
2 1 1
2 1 2
1 sin cos
1
lim 0 lim 0
21
n
n
nn
n
n n n
nn
mà nên
n
n
11
1
1
23
n
n
nn
u
Giải
Ta có :
1 1 1 1 1 1
11
1
1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 2 2 2
1
11
lim 0 lim 0
2 2 3
n
n n n n n n n
n
n
nn
mà nên
5
n
n cos n
u
n n n
Giải
Ta có :
5 1 1
1
15
lim 0 lim 0
n cos n n
n n n n n n
n cos n
mà nên
n n n n
2
21
n
u n n
Giải
Ta có :
22
2
2
22
2 2 2
2 1 1
21
1
21
22
11
21
2
n n n n
nn
nn
nn
n n n n n n
nn
Mà
2
1
lim 0 lim2 1 0nên n n
n
1
n
u n n
Giải
Ta có :
1
2
11
1
1
1 1 1 1 1
2
12
n n n n
nn
nn
nn
n
n n n n n
Mà
1
2
1
lim 0 lim 1 0nên n n
n
Tìm giới hạn của dãy số
n
u
với
3 3 3
1 1 1
.
12
n
u
n n n n
Giải
Ta có số hạng tổng quát là :
3 3 3
11
1,2, ,
11
k
n
u k n
n k n n
Nên
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
3
1
0
1
lim 0 lim 0
k
k
n
u
n
n
mà nên u
n
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
2
1
1
4
2
n
nn
u
u
u u n
CMR
a)
1
01
4
n
u
b)
1
3
4
n
n
u
u
Từ đó suy ra
lim 0
n
u
Giải
Câu a) SD phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có
1
11
0
44
u
(đúng)
Giả sử (1) đúng với
1n k
Nghĩa là
1
0
4
k
u
(đúng)
Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng
với n= k +1.
Thật vậy, ta có :
2
2
1
1 1 1 1
2 16 16 4 16
k
k k k
u
u u u
Vì
1
0
4
k
u
nên
1
31
0
16 4
k
u
Vậy (1) luôn đúng với mọi n.
Câu b)
Ta có :
2
1
1 1 1 3
2
2 4 2 4
n
n
n
n
nn
u
u
u
u
uu
(ĐPCM).
Vậy
1
3
4
nn
uu
Từ đó suy ra
21
2
3 2 1
11
11
3
4
33
44
3 3 1 3
4 4 4 4
nn
nn
uu
u u u
u u u
Mà
1
13
lim 0
44
lim 0
n
n
u
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
10
nn
u
uu
CMR
a)
1, 1
n
un
b)
1
1
1
2
n
n
u
u
c) Tìm
lim
n
u
Giải
Câu a) SD phương pháp quy nạp
Với n =1 ta có :
1
10 1u
(đúng)
Giả sử (1) đúng với .
n k k 1
Nghĩa là
1
k
u
Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng
với n= k+1, hay
1
1
k
u
Thật vậy ta có :
11
11
k k k k
u u màu nên u
Vậy (1) luôn đúng với mọi n.
Câu b) theo bài ra ta có:
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
1
1
11
11
1
11
2
1
nn
nn
nn
n
nn
n
uu
uu
uu
u
uu
u
Câu c)
Đặt
1 1 1
1 10 1 9 1
n n n n
v u v và v u
Theo câu b ta có :
1
1
2
nn
vv
Vậy
21
2
3 2 1
11
11
1
2
11
22
1 1 1
9
2 2 2
nn
nn
vv
v v v
v v v
Mà
1
1
lim9 0 lim 0 lim 1 0
2
lim 1
n
nn
n
nên v u
u
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
5
2
6
3
nn
u
uu
Gọi
n
v
là dãy số xác định bởi
18
nn
vu
a) CMR
n
v
là cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Tìm
lim
n
u
.
Giải
Câu a) theo bài ra ta có:
11
1
22
6 18 12
33
2
12
3
n n n n
nn
u u u u
vu
Mặt khác
18
nn
uv
Vậy
1
22
18 12
33
n n n
v v v
Vậy
n
v
là CSN lùi vô hạn với công bội
2
3
q
.
Câu b)
Vì
1
2
3
nn
vv
. Nên
21
2
3 2 1
11
11
2
3
22
33
2 2 2
13
3 3 3
nn
nn
vv
v v v
v v v
Mà
1
2
lim13 0 lim 0
3
lim 18
n
n
n
nên v
u
Cho dãy số xác định bởi
1
1
2
1
1
2
n
n
u
u
un
Tính
lim
n
u
.
Giải
Ta nhận xét
1 2 3 4 5
3 5 9 17
2, , , ,
2 4 8 16
u u u u u
Dự đoán
1
1
21
1
2
n
n
n
u
Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Kiểm tra với n=1, ta có
1
2u
đúng với bài
cho
- Giả sử (1) đúng với
1n k k
. Nghĩa là
1
1
21
2
k
k
k
u
- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)
đúng với n = k+1.hay
1
21
2
k
k
k
u
- Thật vậy ta có:
1
1
1
1
1
21
1
1 2.2 1 2 1
2
2 2 2.2 2
k
kk
k
k
k
kk
u
u
Vậy
1
1
1
11
1
21
21
2
lim lim lim 1
22
n
n
n
n
nn
u
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
1
2
1
1
2
n
n
u
un
u
Tính
lim
n
u
Giải
Nhận xét
1 2 3 4
1 2 3 4
, , ,
2 3 4 5
u u u u
Dự đoán
1
1
n
n
u
n
Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp
- Với n=1, ta có :
1
1
2
u
(đúng)
- Giả sử (1) đúng với
1n k k
.
Nghĩa là
1
k
k
u
k
- Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1)
đúng với n = k+1. Hay
1
1
2
k
k
u
k
- Thật vậy theo bài ra ta có:
1
1 1 1
22
2
1
k
k
k
u
k
uk
k
Suy ra
1
n
n
u
n
đúng với mọi
1n
Vậy
lim lim lim 1
1
1
1
n
nn
u
n
n
n
Tính tổng
11
2 2 1
2
2
S
Giải
Dãy số vô hạn
11
2 2 1
2
2
là
một CSN lùi vô hạn với công bội
21
1
2
2
q
Do đó
1
2 2 2
1
1
21
1
2
u
S
q
Tính tổng
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n
S
Giải
Dãy số vô hạn
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n
Là 1 CSN lùi vô hạn với
1
2
q
Nên
1
12
1
13
1
2
u
S
q
Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn
n
u
. Biết tổng của nó bằng 32 và
2
8u
Giải
Theo bài ra ta có :
1
32 1
1
u
S
q
Mặt khác
2 1 1
8
8u u q u
q
thế vào (1)
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
ta có
2
1
8
1
32 4 4 1 0 16
12
q
q q q u
q
vậy số hạng tổng quát là
1
1
16
2
n
n
u
DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Tính lim(2n
3
+3n-1)
giải
Ta có lim(2n
3
+3n-1)=lim n
3
(2+
32
13
nn
)=+
Tính lim(-2n
2
+n
n
-n+4)
Giải
Ta có : lim(-2n
2
+n
n
-n+4)
=limn
2
(-2+
)
411
2
n
n
n
.
Tính
3
3
lim 5nn
Giải
Ta có :
3
3
3
2
5
lim 5 lim 1n n n
n
Tính
2
lim 1nn
Giải
Ta có
2
2
11
lim 1 lim 1n n x
nn
Tính
32
lim 2 1nn
Giải
Ta có :
32
3
11
lim 2 1 lim 2n n n n
nn
Tính
2
lim 1n n n
Giải
Ta có :
22
2
11
lim 1 lim 1n n n n
nn
Tính
3
3
lim
2 15
nn
n
Giải
Ta có :
3
3
2
3
23
3
1
3
lim lim
2 15
2 15
n
nn
n
n
n
nn
Vì
2
2 3 2 3
3
lim 1 1
2 15 2 15
lim 0 0
n
và
n n n n
Tính
2
2
11
lim
31
nn
nn
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
2
2
2
2
2
23
1 11
1
11
lim lim
31
31
1
n
nn
nn
nn
n
nn
vì
2
2 3 2 3
1 11
lim 1 1
3 1 3 1
lim 1 0 1 0
nn
và
n n n n
Tính lim(
)1
22
nnn
Giải
Ta có :lim(
)1
22
nnn
=limn(
)
1
1
1
1
2
n
n
Tính
1
lim 2
n
n
Giải
Ta có :
1 1 1
lim 2 lim2 1
2
nn
n
nn
Tính
3
2
3 5 1
lim
4
nn
n
Giải
Ta có :
3
3
23
2
3
3
11
35
3 5 1
lim lim
14
4
n
nn
nn
n
n
nn
Vì
23
33
11
lim 3 5 3 0
1 4 1 4
lim 0 0
nn
và
n n n n
Tính
2
2
lim
1
n
n
Giải
Ta có :
32
2
3
3
3
23
22
lim lim
11
12
1
lim
11
nn
n
nn
n
nn
n
nn
Vì
3
2 3 2 3
12
lim 1 1 0
1 1 1 1
lim 0 0
nn
và
n n n n
Tính
3
2
21
lim
23
nn
nn
Giải
3
3
3 2 3
2
2
23
3
2 1 2 1
1
21
lim lim lim
1 1 3
23
23
nn
nn
n n n
nn
nn
n n n
n
Vì
23
2 3 3 2
21
lim 1 1 0
1 1 3 1 3 1
lim 0 0
nn
và
n n n n n n
Tính
2
2
lim
1
n
n
Giải
32
2
3
3
3
23
22
lim lim
11
12
1
lim
11
nn
n
nn
n
nn
n
nn
Vì
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
3
2 3 2 3
12
lim 1 1 0
1 1 1 1
lim 0 0
nn
và
n n n n
Tính
32
3
2 1 1 3
lim
75
nn
nn
Giải
Ta có :
32
3
3
3 4 6
11
23
2 1 1 3
lim lim
1 7 5
75
nn
nn
nn
n n n
vì
3
3 4 6 3 4 6
11
lim 2 3 6 0
1 7 5 1 7 5
lim 0 0
nn
và
n n n n n n
Tính lim
14
3.25
n
nn
Giải
Ta có :lim
14
3.25
n
nn
=lim
)
5
1
)
5
4
((5
))
5
3
.(21(5
n
nn
nn
=lim
n
n
n
5
1
)
5
4
(
)
5
3
.(21
(vìlim(1+2.(
1))
5
3
n
>0,lim((
0)
5
1
)
5
4
n
n
và
0
5
1
)
5
4
(
n
n
)
Tính
22
lim 1 2 1nn
Giải
Ta có :
22
2 2 2 2
22
22
2
2 2 2 2
lim 1 2 1
1 2 1 1 2 1
lim
1 2 1
1 2 1
2
lim lim
1 2 1 1 2 1
nn
n n n n
nn
nn
n
n n n n
2
2
2
2 4 2 4
2
1
lim
1 1 2 1
n
n
n
n n n n
Vì
2
2 4 2 4 2 4 2 4
2
lim 1 1 0
1 1 2 1 1 1 2 1
lim 0 0
n
và
n n n n n n n n
Tính
1
lim
1nn
Giải
Ta có :
11
lim lim
1
11
11
lim lim 1 1
1
nn
nn
n n n n
nn
n
n n n
Tính
1
lim 2 4 1
nn
Giải
Ta có :
1
4
lim 2 4 1 lim 2 1
4
1 1 1
lim4
2 4 4
n
n n n
nn
n
Vì
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
lim4
1 1 1 1
lim 0
2 4 4 4
n
nn
Tính
52
lim
1 2.2
n
n
Giải
Ta có :
2
51
52
5
lim lim
1 2.2
12
5 2.
55
n
n
n
n
n
n
n
Vì
2
lim 1 1 0
5
1 2 1 2
lim 2. 0 2. 0
5 5 5 5
n
nn
nn
và
Tính
1
2 3.5 3
lim
3.2 7.4
nn
nn
Giải
Ta có :
1
21
5 2. 3 3.
55
2 3.5 3
lim lim
3.2 7.4
24
5 3. 7.
55
n
n
n
nn
nn
nn
n
Vì
21
lim 2. 3 3. 3
55
2 4 2 4
lim 3. 7. 0 3. 7. 0
5 5 5 5
n
n
n n n n
và
Tính
lim
n
u
Với
1 1 1
1
23
n
u
n
Giải
Ta có :
Vì
1
n
là số nhỏ nhất trong n số
Nên
1 1 1 1 1
.
n
u n n
n n n n n
Mà
lim lim
n
nu
Tính
23
lim
2
n
n
n
n
Giải
3 2. 1
23
3
lim lim
2
2
3
33
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Vì
lim 0
3
lim 2. 1 1
3
22
lim 0 0
3 3 3 3
n
n
nn
nn
n
n
nn
và
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Tính các giới hạn sau :
Tính
2
2
lim 5 1
x
x
Giải
Ta có :
2
2
2
lim 5 1 2 5 1 2
x
x
Tính
2
2
lim 5 6
x
x
Giải
22
2
lim 5 6 2 5 6 3
x
x
Tính
3
1
lim
2
x
x
x
Giải
3
1 3 1 2
lim
2 3 2 5
x
x
x
Tính
3
3
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
3
3
lim 0
1
x
x
x
Tính
3
2
lim
21
x
x
x
Giải
3
2 2.3 2 8
lim
2 1 2.3 1 7
x
x
x
Tính
2
3
23
lim
2
x
xx
x
Giải
Ta có :
22
3
2 3 3 2.3 3
lim 0
2 3 2
x
xx
x
Tính
2
4
2
lim
4
x
x
x
Giải
Ta có :
4
22
4
lim 2 6 0
lim 4 0 4 0 4
x
x
x
x và x x
Nên
2
4
2
lim
4
x
x
x
Tính
2
2
2
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
2
22
2
lim 2 4 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x
Nên
2
2
2
lim
2
x
x
x
Tính
2
3
5
lim
3
x
x
x
Giải
3
22
3
lim 5 2 0
lim 3 0 3 0 3
x
x
x
x va x x
Nên
2
3
5
lim
3
x
x
x
Tính
3
2
2
1
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
3
3
2
22
2
lim 1 2 1 7 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x
Nên
3
2
2
1
lim
2
x
x
x
Tính
32
lim 2 1
x
x x x
Giải
Ta có :
32
3
23
lim 2 1
1 2 1
lim 1
x
x
x x x
x
x x x
Tính
2
lim 1
x
xx
Giải
Ta có :
22
2
11
lim 1 lim 1
xx
x x x
xx
Tính
2
1
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
2
2
2
11
1
lim lim 0
1
1
1
xx
x
xx
x
x
Tính
22
0
11
lim 1
1
x
xx
Giải
Ta có :
2
2 2 2 2
00
2
2 2 2
00
1 1 1 1 1
lim 1 lim
11
11
lim lim 1
11
xx
xx
x
x x x x
x
x x x
Tính
23
5
1 1 2 2
lim
1
x
x x x
x
Giải
Ta có :
23
5
5
2 3 2
5
5
1 1 2 2
lim
1
1 1 2
12
lim 2
1
1
x
x
x x x
x
x
x x x
x
x
Tính
24
6
1 1 2
lim
1
x
x x x
x
Giải
Ta có :
24
6
6
2 4 3
6
6
1 1 2
lim
1
1 1 2
11
lim 2
1
1
x
x
x x x
x
x
x x x
x
x
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
2
1
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
2
22
11
11
1
lim lim lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x
x
xx
x
x
x
x
Tính
2
21
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
2
22
11
22
21
lim lim lim 2
2
2
2
1
1
x x x
x
x
xx
x
x
x
x
Tính
2
lim 1
x
x x x
Giải
Ta có :
2
2
2
11
lim 1 lim 1
11
lim 1 1
xx
x
x x x x x
xx
x
xx
Tính
2
lim 3 1
x
x x x
Giải
Ta có :
2
2
2
31
lim 3 1 lim 1
31
lim 1 1
xx
x
x x x x x
xx
x
xx
Tính
2
lim 1
x
x x x
Giải
Ta có :
2
22
2
22
2
2
2
lim 1
11
lim
1
1
1
lim lim
11
1
1
1
1
1
lim
2
11
11
x
x
xx
x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x
x x x
xx
xx
x
x
x
xx
Tính
22
lim 2
x
x x x
Giải
22
2 2 2 2
22
22
22
22
22
lim 2
22
lim
12
2
2
lim lim
12
12
11
2
1
1
lim
2
12
11
x
x
xx
x
x x x
x x x x x x
xx
x x x
x
xx
xx
xx
x
x
x
xx
Tính
22
lim 2
x
x x x
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
22
2 2 2 2
22
22
22
22
22
lim 2
22
lim
12
2
2
lim lim
12
12
11
2
1
1
lim
2
12
11
x
x
xx
x
x x x
x x x x x x
xx
x x x
x
xx
xx
xx
x
x
x
xx
Tính
0
1
1
lim
1
1
x
x
x
Giải
Ta có :
000
11
1
1
lim lim lim 1
11
1
1
xxx
x
x
xx
x
x
xx
Tính
23
lim
13
x
x
x
Giải
Ta có :
3
2
2 3 2
lim lim
1
1 3 3
3
xx
x
x
x
x
x
x
Tính
32
64
21
lim
3 2 1
x
xx
xx
Giải
Ta có :
3
32
3
64
6
26
3
3
26
11
2
21
lim lim
21
3 2 1
3
11
2
lim 0
21
3
xx
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
Tính
32
21
lim
32
x
x
x
xx
Giải
Ta có :
32
3
1
2
2 1 2
lim lim
3 2 3
12
3
xx
xx
x
x
x
xx
xx
xx
Tính
2
23
lim
23
x
x
x
Giải
Ta có :
2
3
2
2 3 2
lim lim 2
32
23
2
xx
x
x
x
x
x
x
Tính
42
3
1
lim
11
x
xx
xx
Giải
Ta có :
4
42
24
3
4
3
11
1
1
lim lim 1
11
11
11
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
2
31
lim
12
x
x
xx
Giải
Ta có
2
2
2
1
3
31
lim lim
1
12
12
1
3
lim 3
1
12
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
Tính
2
14
lim
1
x
x
xx
Giải
2
2
2
14
1
14
lim lim
1
1
1
14
1
1
lim
2
1
11
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH
0
0
VÀ
GIỚI HẠN MỘT BÊN
Tính
2
3
3
lim
23
x
x
xx
Giải
Ta có :
2
33
3
33
lim lim
2 3 1 3
11
lim 3
14
xx
x
xx
x x x x
x
x
Tính
2
2
1
23
lim
21
x
xx
xx
Giải
Ta có :
2
2
11
1
13
23
lim lim
1
21
21
2
34
lim 1
1
3
2
2
xx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
Tính
2
2
1
2
lim
1
x
xx
x
Giải
Ta có :
2
2
11
1
12
2
lim lim
1 1 1
23
lim 1
12
xx
x
xx
xx
x x x
x
x
x
Tính
3
0
11
lim
x
x
x
Giải
3
2
00
33
11
lim lim 3 0
xx
x x x
x
x
xx
Tính
3
2
2
8
lim
11 18
x
x
xx
Giải
Ta có :
2
3
2
22
2
2
2 2 4
8
lim lim
11 18 2 9
2 4 12
lim 2
9 11
xx
x
x x x
x
x x x x
xx
x
x
Tính
3
0
3 27
lim
x
x
x
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
3
32
00
2
0
3 27
9 27 27 27
lim lim
9 27
lim 27 0
xx
x
x
x x x
xx
x x x
x
x
Tính
32
32
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x
Ta có :
32
32
3
2
2
2
2
33
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
3 2 1
2 1 11
lim lim
4 1 17
3 4 1
3
x
xx
x x x
x x x
x x x
xx
xx
x x x
x
Tính
3
1
13
lim
11
x
xx
Giải
Ta có :
3
2
11
1 3 1 3
lim lim
1 1 1
11
xx
x x x
x x x
22
22
11
2
2
11
1 3 2
lim lim
1 1 1 1
12
2
lim lim 1 1
1
11
xx
xx
x x x x
x x x x x x
xx
x
x
xx
x x x
Tính
5
5
lim
5
x
x
x
Giải
Ta có :
55
55
5
lim lim 2 5 5
55
xx
xx
x
x
xx
Tính
2
2
53
lim
2
x
x
x
Ta có :
22
2
22
2
2
22
22
2
2
5 3 5 3
53
lim lim
2
2 5 3
22
59
lim lim
2 5 3 2 5 3
22
lim 2
3
53
xx
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
x x x x
x
x
x
Tính
1
1
lim
32
x
x
x
Giải
Ta có :
11
11
1 3 2
1
lim lim
32
3 2 3 2
1 3 2 1 3 2
lim lim
1
11
xx
xx
xx
x
x
xx
x x x x
x
xx
1
32
lim 2 1
1
x
x
x
x
Tính
2
2
lim
73
x
x
x
Giải
Ta có :
22
2 7 3
2
lim lim
73
7 3 7 3
xx
xx
x
x
xx
22
2 7 3
lim lim 7 3 6
2
xx
xx
x
x
Tính
1
32
lim
1
x
x
x
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
11
11
3 2 3 2
32
lim lim
1
1 3 2
1 1 1
lim lim 1
4
32
1 3 2
xx
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
Tính
2
7
23
lim
49
x
x
x
Giải
Ta có :
2
7
2
7
2
7
7
7
23
lim
49
2 3 2 3
lim
49 2 3
43
lim
49 2 3
7
lim
7 7 2 3
11
lim 7
56
7 2 3
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
x x x
x
xx
Tính
22
2
3
2 6 2 6
lim
43
x
x x x x
xx
Giải
Ta có :
22
2
3
2 2 2 2
3
2 2 2
2 6 2 6
lim
43
2 6 2 6 2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
x
x
x x x x
xx
x x x x x x x x
x x x x x x
22
3
2 2 2
3
22
3
22
2 6 2 6
lim
4 3 2 6 2 6
4 12
lim
1 3 2 6 2 6
41
lim 3
3
1 2 6 2 6
x
x
x
x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x
Tính
2
22
lim
73
x
x
x
2
2
22
22
lim
73
2 2 7 3 2 2
lim
7 3 7 3 2 2
2 7 3
7 3 3
lim lim 2
2
22
2 2 2
x
x
xx
x
x
x x x
x x x
xx
x
x
x
xx
Tính
2
3 2 5
lim
22
x
x
x
Giải
2
2
3 2 5
lim
22
3 2 5 3 2 5 2 2
lim
2 2 3 2 5 2 2
x
x
x
x
x x x
x x x
2
2
2
4 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2 2
lim
2 3 2 5
2 2 2
4
lim 2
3
3 2 5
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Tính
3
1
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
3
1 3 1
lim 2
1 3 1
x
x
x
Tính
4
21
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
4
2 1 2.4 1
lim 3
1 4 1
x
x
x
Tính
0
11
lim 1
1
x
xx
Giải
Ta có :
0 0 0
1 1 1 1
lim 1 lim lim 1
1 1 1
x x x
x
x x x x x
Tính
2
2
2
4
lim
12
x
x
xx
Giải
Ta có :
2
22
22
2
2
2
2
22
4
lim lim
1 2 1 2
22
lim
12
22
lim 0 2
1
xx
x
x
xx
x
x x x x
xx
xx
xx
x
x
Tính
3
2
1
1
lim
1
x
x
x
Giải
Ta có :
2
3
2
11
2
1
11
1
lim lim
11
1
11
lim 0
1
xx
x
x x x
x
xx
x
x x x
x
Tính
0
3
lim
2
x
xx
xx
Giải
Ta có :
00
0
3
3
lim lim
2
2
3 3 3 2
lim
2
22
xx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
Tính
3
21
lim
3
x
x
x
Giải
Ta có :
3
3
lim 2 1 5
lim 3 0 3 0 3
x
x
x
x và x x
Nên
3
21
lim
3
x
x
x
Tính
2
21
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
2
2
lim 2 1 3 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x
Nên
2
21
lim
2
x
x
x
Tính
2
37
lim
2
x
x
x
Giải
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Ta có :
2
2
lim 3 7 1 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x
Nên
2
37
lim
2
x
x
x
Tính
2
2
2
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
2
2
2
lim 2 2 0
lim 2 0 2 0 2
x
x
x
x và x x
Nên
2
2
2
lim
2
x
x
x
Tính
2
36
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
3 6 0 2xx
Nên
2 2 2
36
32
lim lim lim 3 3
22
x x x
x
x
xx
Tính
2
36
lim
2
x
x
x
Giải
Ta có :
3 6 0 2xx
Nên
2 2 2
36
32
lim lim lim 3 3
22
x x x
x
x
xx
Tính
3
39
lim
3
x
x
x
Giải
Ta có :
3 9 0 3xx
Nên
3 3 3
39
33
lim lim lim 3 3
33
x x x
x
x
xx
Tính
3
39
lim
3
x
x
x
Giải
Ta có :
3 9 0 3xx
Nên
3 3 3
39
33
lim lim lim 3 3
33
x x x
x
x
xx
Tính
2
1
32
lim
1
x
xx
x
Giải
Ta có :
1 0 1xx
Nên
2
11
1
12
32
lim lim
11
lim 2 1
xx
x
xx
xx
xx
x
Tính
2
1
32
lim
1
x
xx
x
Giải
Ta có :
1 0 1xx
Nên
2
11
1
12
32
lim lim
11
lim 2 1
xx
x
xx
xx
xx
x
Tinh
2
2
lim
1
x
xx
x
Giải
Ta có :
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
2
12
2
lim lim
11
12
lim lim 2
1
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
Tính
2
52
lim
21
x
xx
x
Giải
Ta có :
22
5 2 5 2
lim lim
2 1 2 1
91
lim
2 4 4 2 1
1 9 1
lim
2 4 4 2 1
xx
x
x
x x x x
xx
x
x
x
x x x
Tính
24
0
3
lim
2
x
xx
x
Giải
Ta có :
2
24
00
3
3
lim lim
22
xx
xx
xx
xx
Xét
2
22
0 0 0
3
3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2
x x x
xx
x x x
xx
2
22
0 0 0
3
3 3 3
lim lim lim
2 2 2 2
x x x
xx
x x x
xx
vậy không tồn tại
24
0
3
lim
2
x
xx
x
.
Tính
24
0
2
lim
2
x
xx
x
Giải
Ta có :
2
24
00
12
2
lim lim
22
xx
xx
xx
xx
Xét
2
22
0 0 0
12
1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2
x x x
xx
x x x
xx
2
22
0 0 0
12
1 2 1 2 1
lim lim lim
2 2 2 2
x x x
xx
x x x
xx
vậy không tồn tại
24
0
2
lim
2
x
xx
x
.
Cho hàm số
2
2
9 3 3
13
93
xx
f x x
xx
Tính
3
33
lim , lim , lim
x
xx
f x f x f x
Giải
Ta có :
2
33
lim lim 9 0
xx
f x x
2
33
lim lim 9 0
xx
f x x
3
lim 0
x
fx
Cho hàm số
3
13
,1
11
21
x
xx
fx
mx x
Với giá trị nào của m thì hàm số có giới hạn
khi
1x
? Tìm giới hạn này.
Giải
Ta có :
3
11
2
22
11
2
1
13
lim lim
11
12
13
lim lim
1 1 1 1
2
lim 1
1
xx
xx
x
fx
xx
xx
xx
x x x x x x
x
xx
11
lim lim 2 2
xx
f x mx m
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC
NGUỒN KHÁC )
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
Để hàm số có giới hạn
1x
khi
11
lim lim
12
1
xx
f x f x
m
m
Và
1
lim 1 1
x
f x khi m
