Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử ( tán xạ điện tử - Phonon âm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.45 MB, 60 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐOÀN THỊ THANH NGẦN
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI
ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội- 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Đoàn Thị Thanh Ngần
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội - 2011
57
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI
CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) 4
1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ 4
1.1. Khái niệm về hố lượng tử 4
1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử: 5
2. HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI
KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) 6
2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 6
2.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ 10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI
TÍCH CỦA HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƯỜNG BỨC XẠ LASER 19
1. Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt
hai sóng 19
2. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ trong hố lượng tử bởi điện giam cầm trong hố
lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser 30
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
HỐ LƯỢNG TỬ GaAs/ GaAsAl 44
1. Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ
cho trường hợp hố lượng tử
GaAs/GaAsAl: 44
2. Thảo luận các kết quả thu được: 47
KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
PHỤ LỤC 51
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ T……….…………45
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ mạnh
E01…………………………………………… ……………………………45
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ mạnh
(Laser)…………………………………………………………………… 46
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ
yếu…………….…………………………………………………………….46
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào độ rộng hố lượng tử L… 47
1
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Sự mở rộng các nghiên cứu về hệ bán dẫn thấp chiều, trong đó có hệ hai
chiều trong thời gian gần đây đã đem lại nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống, lôi
cuốn sự tham gia nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới. Việc
chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý
cả về định tính lẫn định lượng của vật liệu, Trong số đó, có bài toán về sự ảnh
hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu trong các loại vật liệu
18
Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị
giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng
lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ
năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như:
hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon… Như
vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm thay đổi đáng kể những tính
chất vật lý của hệ
9 20
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá
nhiều. Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh hưởng
sóng điện từ Laser lên hấp thụ phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầm
trong các bán dẫn thấp chiều . Tuy nhiên, đối với hố lượng tử, sự ảnh hưởng của
trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn là
một vấn đề mở, chưa được giải quyết. Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề
nghiên cứu của mình là “Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện
từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (trường hợp tán xạ điện tử - phonon
âm)”.
2
Về phƣơng pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp
lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ sóng điện từ như như lý thuyết
hàm Green, phương pháp phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp có một
ưu điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán
cụ thể. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động
lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp
chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Về đối tƣợng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc
bán dẫn thấp chiều thuộc hệ hai chiều, đó là hố lượng tử.
Kết quả trong bài luận văn là đã đưa ra được biểu thức giải tích của hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt
trường bức xạ Laser. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến
vào cường độ sóng điện từ
0
E
, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào nhiệt
độ T của hệ, tần số
của sóng điện từ và các tham số của hố lượng tử (n, L). Kết
quả được đưa ra và so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để thấy được
sự khác biệt. Ngoài ra một phần kết quả tính toán trong luận văn đã được gửi đăng
tại Tạp chí Khoa học công nghệ Quốc phòng.
Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 8 mục, có 5 hình vẽ, tổng cộng là 56
trang:
Chƣơng I: Giới thiệu về hố lượng tử và bài toán về hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh (Laser).
3
Chƣơng II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ
sóng điện yếu từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ
Laser.
Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/
GaAsAl
Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả chính
của khóa luận.
4
CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI
CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER)
1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ
1.1. Khái niệm về hố lƣợng tử
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ
lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại
vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện
tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn
bên cạnh. Và do vậy trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh,
chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp
xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các
hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng
nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử
theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo
hướng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật
1/2
(với
là năng lượng của
điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy
luật khác
1/2
.
5
Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt. Khi xây dựng
được cấu trúc hố thế có chất lượng tốt, có thể coi hố thế được hình thành là hố thế
vuông góc.
1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử
Xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử. Theo cơ học
lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố lượng tử bị giới hạn theo trục của hố
lượng tử (giả sử là trục z), do đó năng lượng của nó theo trục z sẽ bị lượng tử hoá
và được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó
( 0,1,2)
n
n
.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho
điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của
điện tử như sau:
,
0
( ) sin( )
i p r
n
n p z
r e p z
Với
( , )
xy
p p p
,
2
22
*
,
()
2
n
z
np
pp
m
Ở đây
n
z
n
p
L
Trong đó n = 1,2,3 là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
z
p p p
là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vecto sóng của
điện tử điện tử).
Với
Oxy
: Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy
m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;
L : Độ rộng của hố lượng tử.
p
: Hình chiếu của trên mặt phẳng (x, y)
r
: Hình chiếu của
r
trên mặt phẳng (x, y)
6
z
n
n
p
L
: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z.
Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận
các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng
là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là
đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong
hố lượng tử nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt
đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong hố lượng tử so với các mẫu khối.
2. HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI
KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER)
2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
e ph e ph
H H H H
Với :
()
e
pp
p
e
H p A t a a
c
ph
q q q
q
H b b
(1.1)
,
e ph
q p q p q q
qp
H C a a b b
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
()
ˆ
,
p
pp
t
nt
i a a H
t
(1.2)
Trong đó:
,
pp
aa
là toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái |
p
,
bb
là toán tử sinh, hủy phonon âm ở trạng thái |
q
,pq
là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn
Từ Hamilton và mối liên hệ giữa các toán tử, sử dụng các hệ thức giao hoán, sau
một số phép biến đổi ta thu được:
7
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p p q q p p q q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
(1.3)
Với
1 2 1 2
,,
()
p p q p p q
t
F t a a b
Để giải (1.3) ta cần tính
)(
,,
21
tF
qpp
thông qua phương trình:
12
12
,,
()
;
p p q
p p q
t
Ft
i a a b H
t
(1.4)
Thay Hamilton H vào phương trình, tính toán từng số hạng ta thu được:
t
q
qqqpqpq
t
q
qqqqppq
qppq
qpp
bbbaaCbbbaaC
tFtApp
mc
e
pp
t
tF
i
1
112
1
11
1
11
1
211
21
21
)()()()(
)(
,,
1212
,,
(1.5)
(1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện
0)(
,,
21
tF
qpp
.
Để giải (1.5) trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.
12
12
,,
2 1 2 1
,,
2 1 2 1
2 1 2 1 1
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ln ( ) ( ) ( )
p p q
q p p q
q
Ft
e
i p p p p A t F t
t mc
dF i e
p p p p A t dt
F mc
ie
F p p p p A t
mc
12
1
2 1 2 1 1 1
,,
( ) exp ( ) ( ) ( )
t
q
t
o
p p q q
dt
ie
F t p p p p A t dt
mc
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:
( ). ( ) '( ). ( ) ( ) '( )
o o o
F
F M t F t M t F t M t F t
t
Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiêm ta được:
8
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
22
1
12
2
,,
2 1 2 1 1 2
()
exp ( )
t
p p q q p q p q q q p p q q q q
tt
q
t
p p q
t
i
F t C a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
(1.6)
Thay (1.6) vào (1.3) ta được:
1 1 1 1 1 1 1
22
1
2
1
2 1 1 2
()
exp ( )
t
p
q q p q p q q q q p p q q q q q
tt
t
p p q q
t
q
q
nt
i
i C C a a b b b a a b b b
t
i ie
t t qA t dt dt
mc
i
C
1 1 1 1 1 1
22
1
2
1
1
2 1 2 1 1 2
exp ( )
t
p p q q q q q p q p q q q q
tt
t
p q p q
t
q p q q
q
a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
i
Ca
1 1 1 1 1
22
2
1 1 1 1
2
1
2 1 1 2
exp ( )
t
p q q q p q p q q q
tt
t
p q p q
t
q p q p q q q q p
t
q
a b b b a a b b b
i ie
t t qA t dt dt
mc
i
C a a b b b a
1 1 1
2
2
2 1 1 2
exp ( )
t
q q p q q q
t
t
p p q q
t
a b b b
i ie
t t qA t dt dt
mc
9
t
t
qpqpqpqqp
t
t
qpqpqqpqp
t
t
qqppqqpqp
t
t
qqppqpqqp
t
q
q
p
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtndt
C
t
tn
i
'
11
'
11
'
11
'
11
2
2
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'('
||
1
)(
(1.7)
Thay:
12
12
12
( ) cos cos
oo
E c E c
A t t t
và áp dụng khai triển:
exp( sin ) ( )exp( )iz J z i
ta có:
12
1 1 1 1 2 2
22
12
'
11
11
22
,
12
2
2
1
exp ( ) exp sin ' sin sin ' sin
exp( ')exp( )
t
oo
t
oo
ls
ls
o
fm
ieE q ieE q
ie
qA t dt t t t t
mc m m
eE q eE q
J J is t il t
mm
eE q
JJ
m
2
22
2
,
2
exp( ')exp( )
o
fm
eE q
if t im t
m
Đặt:
12
12
22
12
;
oo
eE eE
aa
mm
thì:
1 1 1 1 2 2
, , ,
'
1 2 1 2
exp ( )
exp ( ) ( ) exp ( )( ')
t
l s m f
l s m f
t
ie
qA t dt J a q J a q J a q J a q
mc
i s l m f t i s m t t
Thay kết quả này vào (1.7) và đưa vào thừa số: e
-δ(t-t’)
(δ→
+
0) ta có:
10
'exp)1)('()'(
'exp)1)('()'(
'exp)1)('()'(
'exp)1)('()'('
)()(exp||
1
)(
21
21
21
21
21
,,,
2211
2
2
ttims
i
NtnNtn
ttims
i
NtnNtn
ttims
i
NtnNtn
ttims
i
NtnNtndt
tfmlsiqaJqaJqaJqaJC
t
tn
i
qpqpqpqqp
qpqpqqpqp
qqppqqpqp
qqppqpqqp
t
fmsl
fmsl
q
q
p
(1.8)
(1.8) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ
)(
1
tE
và
)(
2
tE
Ta giải (1.8) bằng
phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem
p
p
ntn )(
và tính các tích phân sau:
1 1 2
exp ' '
t
p p q q
i
K s m i t t dt
12
2 1 2
12
exp ( ) ( ) '
exp ( ) ( ) ' '
( ) ( )
t
i s l m f t
K i s l m f t dt
i s l m f
Với các tích phân K
1
và K
2
đã tính ta được:
2
12
1 1 2 2
2
, , ,
12
12
exp ( ) ( ) '
1
( ) | |
( ) ( )
( 1) ( 1)
l s m f
pq
l s m f
q
p q p p p q
q q q q
p p q q p p
i s l m f t
n t C J a q J a q J a q J a q
i s l m f
n N n N n N n N
s m i
12
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.9)
2.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ
Véc tơ mật độ dòng:
( ) ( ) ( )
p
p
ee
J t p A t n t
mc
11
Hay:
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o
p p p
p p p
en
e e e
J t A t n t pn t A t pn t
mc m mc m
(1.10)
với
o
p
p
ntn
)(
Ta xét số hạng thứ hai:
2
12
1 1 2 2
, , ,
12
12
exp ( ) ( ) '
( ) | |
( ) ( )
( 1) (
l s m f
pq
l s m f
pq
p q p p p q
q q q q
p
p p q q
i s l m f t
ee
pn t C J a q J a q J a q J a q
m m i s l m f
n N n N n N n N
p
s m i
12
1 2 1 2
1)
( 1) ( 1)
p p q q
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.11)
Đặt
:
:
k l s l k s k
r l m f r m r
Ta có
2
1 1 2 2
, , ,
( ) | |
**
k s s m r m
pq
l s m f
pq
ee
pn t C J a q J a q J a q J a q
mm
12
1 2 1 2
( 1)
exp '
p q p
p
p p q q
n N n N
i k r t
p
i k r s m i
12
( 1)
p p q
p p q q
n N n N
s m i
12
( 1)
p p q
p q p q
n N n N
s m i
12
( 1)
p q p
p q p q
n N n N
s m i
Thực hiện các bước chuyển đổi:
,q q m m
và sử dụng tính chất hàm
Bessel
( ) ( ) ( 1) ( )J x J x J x
( 1)
p q p
p
p q n N n N
12
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
s k s m m r k s s m r m
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
( 1)
p q p
p n N n N
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
k s s m r m s k s m m r
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
(1.12)
2
12
, , ,
,
12
exp '
( ) | |
**
pq
k s m r
p q p
i k r t
ee
pn t C q
m m k r
12
( 1)
p q p
sm
J a q J a q n N n N
1 2 1 2
1 2 1 2
s k m r k s r m
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
(1.13)
Áp dụng công thức sau:
1 2 1 2 1 2
exp cos ( ) sin ( )i k r t k r t i k r t
Và
1
()ix
x i x
Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng
)(tJ
, ta có:
2
1 2 1 2
, , ,
,
12
12
1 2 1 2
( ) | | ( 1)
**
cos ( ) s
()
p q p
s m k s r m
p q q q
k s m r
p q p
s k m r
p q p q
ee
pn t C qJ a q J a q n N n N J a q J a q
mm
k r t
J a q J a q i
k r s m
12
12
1 2 1 2 1 2
in ( )
()
k s r m s k m r
p q p q
k r t
kr
J a q J a q J a q J a q i s m
13
Suy ra:
2
12
, , ,
,
12
( 1)
( ) | |
**
p q p
sm
pq
k s m r
p q p
n N n N
ee
pn t C q J a q J a q
m m k r
12
1 2 1 2
12
cos ( )
k s r m s k m r
p q p q
k r t
J a q J a q J a q J a q
sm
1 2 1 2 1 2
sin ( )
k s r m s k m r
J a q J a q J a q J a q k r t
12
p q p q
sm
(1.14)
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu được:
2
2
12
, , ,
,
12
12
1 2 1 2
12
( 1)
( ) ( ) | |
*
cos ( )
p q p
o
sm
q
k s m r
qp
k s r m s k m r
p q p q
k
n N n N
en
e
J t A t C q J a q J a q
mc m k r
k r t
J a q J a q J a q J a q
sm
J
1 2 1 2 1 2
12
sin ( )
s r m s k m r
p q p q
a q J a q J a q J a q k r t
sm
(1.15)
Ta đi tìm hệ số hấp thụ phi tuyến
:
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết
12
như sau:
2
2
2
2
8
( ) sin
o
t
o
J t E t
cE
(1.16)
Thay (1.15) vào (1.16) ta được:
2
22
22
2
2
8
( ) sin ( ) sin
o
oo
p
p
o
t
t
en
e
A t E t pn t E t
mc m
cE
Ta tính số hạng thứ nhất.
14
Với thế vectơ trường sóng điện từ:
t
cE
t
cE
tA
oo
2
2
2
1
1
1
coscos)(
22
12
22
2 1 2 2
12
1
( ) sin cos cos sin
T
o o o o
oo
o
t
e n e n E c E c
A t E t t t E tdt
mc mc T
Trong đó:
1
1
2
T
và
2
2
2
T
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
nhất của T
1
và T
2
.
Sử dụng tích phân:
cos( ) cos( )
sin( )cos( )
2( ) 2( )
a b x a b x
ax bx dx
a b a b
với
22
ab
(1.17)
Suy ra:
2
2
2
( ) sin 0
o
o
t
en
A t E t
mc
(1.18)
Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.17) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
12
cos ( )k r t
sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
tdttrk
T
msqaJqaJqaJqaJ
qaJqaJ
rk
NnNn
Cq
m
Ee
tEtnp
m
e
T
qpqp
rmksmrsk
ms
q
p
q
qp
rmsk
pq
q
o
t
o
p
p
2
0
21
212121
21
21
,,,
2
,
2
2
2
sin)(sin
1
)1(
||sin)(
Lưu ý:
1 2 2
1 2 2
1 2 2
0
0
sin ( ) sin
2
T
khi k r
k r t tdt
T
khi k r
Suy ra:
212121
21
,,,
2
,
2
2
2
2
)1(||
2
sin)(
msqaJqaJqaJqaJ
qaJqaJNnNnCq
m
Ee
tEtnp
m
e
qpqp
rmksmrsk
ms
q
p
q
qp
rms
pq
q
o
t
o
p
p
(1.19)
Với
1 2 2
kr
(1.20)
15
Thay (1.19) vao (1.16) ta được hệ số hấp thụ:
2
2
12
,
,
22
1 2 1 2 1 2
4
| | ( 1)
p q p
sm
q q q
sm
qp
o
k s r m s k m r
p q p q
e
q C n N n N J a q J a q
c m E
J a q J a q J a q J a q s m
Với
1 2 2
kr
Từ biểu thức hàm Bessel:
22
11
1
00
11
1
0
( 1) ( 1)
()
! ( 1) 2 ! ( 1) 2
( 1) ( 1)
()
( 1) 2 2 ( 1)
s k s
sk
kk
s
a q a q
J a q
s k s
a q a q
ss
J a q
s k s k
Vậy
)()(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
22
)()(
2
)()(
)1(
)1(
)1(
)1(
22
)1(
)1(
)1(
)1(
22
21
0
2
2
2
1
21
21
0
21
0
21
2121
qaJqaJ
rmks
ms
rmks
msqaqa
qaqa
qaJqaJ
rm
m
ks
sqaqa
rm
m
ks
sqaqa
qaJqaJqaJqaJ
ms
rk
rk
rk
ms
rk
rk
rmksmrsk
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết
21 oo
EE
ta cho r=1;k=0
(thoả mãn giả thiết
221
rk
ta được:
1 2 1 2 1 1 2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
m m s s m
m
J a q J a q J a q J a q J a q
aq
. Suy
ra:
22
2
22
2
12
2
,
,
22
12
42
| | ( 1)
sm
p q p
q q q
o
sm
qp
o
p q p q
em
q C n N n N mJ a q J a q
Eq
c m E
sm
(1.21)
16
2
2
2
22
2
12
2
,
,
12
8
| ( 1)
sm
o
p q p
q q q
sm
qp
p q p q
C n N n N mJ a q J a q
cE
sm
(1.22)
Trong công thức (1.22) dễ thấy các thành phần ứng với
0
21
ms
tương hỗ triệt
tiêu. Trong trường hợp khi
21
,
lớn so với năng lượng trung bình điện tử (
p
) thì
hàm
trong (1.22) được viết lại là:
2
1 2 1 2
2
p q p q q
q
s m s m
m
Từ đó ta tìm được thứ tự của
1/ 2
1,2
k
theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon
p
q
rút ra
1,2
2
p
ms
với s là tốc độ sóng
âm. Như vậy tổng theo
p
không còn phụ thuộc vào phần đối số của
, ta thực
hiện lấy tổng
()
o
p
p
n t n
.
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:
o
q
và
2
0
2
o
q
s
q
C
vV
và
1
s
kT
NN
q
Từ (1.22) ta được:
2
2
2
2
22
2
1 2 1 2
2
,
22
2
22
1 2 1 2
22
,
8
2
4
sm
o
sm
o
p q p
p q p q
sm
q
ss
p q p q
sm
q
s
kT
n n mJ a q J a q s m
cE
kT
mJ a q J a q s m
cE
(1.23)
Áp dụng gần đúng:
1,2
p
, ta có:
2
22
2
2
22
1 2 1 2
22
,
4
2
sm
o
o
sm
q
s
kT
q
mJ a q J a q s m
m
cE
(1.24)
17
Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu
2
(m=1) và hạn chế gần
đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
22
22
2
22
12
2
0
( 1)
( ) 1 1
2 2 !( 1)! 2 8 2 2
kk
m
k
km
x x x x a q a q
J x mJ a q
kk
Thay vào (1.24) ta được:
2
22
22
2
2
2
22
1 1 2
22
,
4
1
2 2 2
s
o
o
s
qp
s
kT
a q a q q
J a q s m
m
cE
chỉ tồn tại các giá trị
q
và s thoả mãn:
2
12
0
2
o
q
sm
m
suy ra:
1
1 2 2
2
2 2 1
o
o
s
q m s m m
Và lưu ý:
22
22
2 2 2
22
22
2
22
22
1
1 cos 1 cos
2 2 2
oo
m
m
eE q eE q
a q a q
mJ a q
mm
Đặt:
2
1
;
2
2 m
suy ra:
2
2
22
2 2 1
2
22
22
0
8
1
2
o
o B o o
s
k T m eE s
m
c E v V
2
22
2 4 2
2
1
3
22
1
1
cos cos 1 cos
24
o
s
o
o
s
e E s
Ja
m
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
dyy
m
qeE
J
m
qEe
J
o
mm
1
0
2
2
2
2
Suy ra:
2
2
22
2 2 1
2
22
22
0
8
1
2
o
o B o o
s
k T m eE s
m
c E v V
18
2
22
1
2
2 4 2
1
3
22
0
1
cos cos 1
4
o
s
o
o
s
e E s
J a sy dy
m
2
22
1
2
2 4 2
1
3
22
0
1
cos cos 1
4
o
s
o
o
s
e E s
J a sy dy
m
Đây là biểu thức của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán
dẫn khối khi có mặt trường bức xạ Laser. Biểu thức này sẽ được chúng tôi sử dụng
để so sánh với các kết quả tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam
cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser ở chương sau.
19
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG TỬ KHI CÓ MẶT
TRƢỜNG BỨC XẠ LASER
1. Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử khi có
mặt hai sóng
Với mục đích thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm
trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ laser, chúng ta thiết lập phương trình
lượng tử cho toán tử số hạt (hàm phân bố electron).
Xét Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hố lượng tử khi có mặt sóng
điện từ dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai:
O
H H U
,,
,
()
q
n k n k q q
n k q
e
H k A t a a c c
on
c
'
'
,
,
'
,
,,
( ) ( )
nk
n k q
z
q q q
nn
q
n n k
U C I q a a c c
,nk
a
,
,nk
a
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái
,nk
.
q
c
,
q
c
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
k
: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của hố
lượng tử.
q
: Tần số của phonon âm.
()At
: Thế vecto của trường điện từ.
0
2
'
( ) sin( )sin( )
,'
L
iq z
nn
z
I q q z q z e dz
zz
z
nn
L
: Thừa số dạng điện tử trong hố
lượng tử
,nk
: Năng lượng của điện tử trong hố lượng tử.
20
2 2 2
2
z
q
sO
C
vV
: Hằng số tương tác điện tử-phonon cho trường hợp tán
xạ điện tử-phonon âm.
Trong đó:
O
V
: Thể tích chuẩn hóa (chọn
1
O
V
)
: Hằng số điện biến dạng.
: Mật độ tinh thể
s
v
: Vận tốc truyền âm.
Gọi
, , ,
()
n k n k n k
t
n t a a
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:
,
,,
()
,
nk
n k n k
t
nt
i a a H
t
(2.1)
Số hạng thứ nhất:
' ' '
''
,,
'
'
'
,,
,
1 , ( )
n k n k
n
n k n k
nk
t
e
sh a a k A t a a
c
Ta có:
' ' ' ' '
' ' '
'
'
,
'
'
'
'
, , , ,
, , ,
,
, ( ) ( ) ,
nk
n k n k n k n k
nn
n k n k n k
nk
ee
a a k A t a a k A t a a a a
cc
' ' ' ' ' '
''
,
'
'
'
'
,
,,
, , , ,
,
( ) 0
nk
nk
n n n n
n k k k n k k k
nk
e
k A t a a a a
n
c
Vậy:
10
t
sh
(2.2)
Số hạng thứ 2:
,,
2 , 0
q
n k n k q q
t
t
sh a a c c
q
(2.3)
21
Số hạng thứ 3:
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
,,
,,
3 , ( ) ( )
n k q n k
n n z
n k n k q q q
q n n k
t
sh a a C I q a a c c
Ta có:
1 2 ' '
,
,,
21
'
12
,
,
,,
, ( ) ( )
nk
n k q n k
n n z
n k q q q
q n n k
a a C I q a a c c
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
,,
,,
( ) , ( )
n k q n k
n n z
q n k n k q q
q n n k
C I q a a a a c c
''
1 2 ' 2 ' 1
,,
12
'
12
, , ,
,,
,,
,,
()
n k n k q
n n z n n n n
q n k n k q q
k k q k k
q n n k
C I q a a a a c c
12
,,
12
12
,,
,,
,,
( ) ( ) ( ) ( )
n k q n k q
n n z n n z
q n k q q q n k q q
n q n q
C I q a a c c D I q a a c c
Vậy:
'
''
,,
'
'
,,
,
,
3 ( )
n k q n k q
z
q n k q n k q
nn
tt
nq
sh C I q a a c a a c
''
,,
,,
n k q n k q
n k q n k q
tt
a a c a a c
(2.4)
Thay (2.2), (2.3),(2.4) vào (2.1) ta được:
Vậy:
'
''
,,
'
'
,,
,
,
3 ( )
n p q n p q
z
q n p q n p q
nn
tt
nq
sh C I q a a b a a b
''
,,
,,
n p q n p q
n p q n p q
tt
a a b a a b
(2.5)
Thay (2.3), (2.4),(2.5) vào (2.2) ta được:
' ' '
'
,
, , , , , , , , ,
,
()
( ) ( ) ( )
nk
z
q
n n n p q n p q n p n p q q
nq
nt
i C I q F t F t
t
''
, , , , , , , ,
( ) ( )
n k n k q q n p q n p q
F t F t
(2.6)
12
12
, , , ,
,
1 , ( )
n k n k q n k n k
t
nk
t
e
sht a a c k A t a a
n
c
