Giải bài toán ngược 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




NGUYỄN KIM DŨNG




GIẢI BÀI TOÁN NGƢỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA
ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC







Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN KIM DŨNG


GIẢI BÀI TOÁN NGƢỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA
ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC


Chuyên ngành: Vật lý địa cầu
Mã số: 60.44.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Đỗ Đức Thanh





Hà Nội - 2012
MỞ ĐẦU
Chƣơng 1 – CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC
ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN
1.1. Những khái niệm cơ bản 2
1.2. Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực 3
1.3. Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học 6
1.3.1. Hình cẩu hoặc điểm vật chất 6

1.3.2. Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang 8
1.3.3. Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 9
1.3.4. Hình hộp vuông góc 11
1.3.5. Lăng trụ thẳng đứng 12
1.3.6. Bậc thẳng đứng 12
1.3.7. Bậc nghiêng 15

Chƣơng 2 - PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC CỦA
CÁC RANH GIỚI 2D VÀ 3D
2.1. Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích
2D trong miền không gian 18
2.1.1. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở
phân chia nó thành các đa giác có tiết diện ngang bất kỳ 18
2.1.2. Trƣờng hợp mật độ dƣ thay đổi tuyến tính theo độ sâu 19
2.1.3. Trƣờng hợp mật độ dƣ thay đổi theo quy luật hàm mũ theo chiều
Sâu 20
2.1.4. Mật độ dƣ thay đổi theo dạng hàm hypepol 21
2.1.5. Mật độ dƣ thay đổi theo dạng hàm parabolic 23
2.1.6. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở
phân 24
2.2. Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích
3D trong miền không gian. 25
2.2.1. Cơ sở lý thuyết 26
2.2.2. Xây dựng chƣơng trình giải bài toán ngƣợc 3D và tính toán thử
nghiệm trên mô hình 29
2.3. Các phƣơng pháp xác định độ sâu của bể trầm tích 3D trong miền tần
số 31
2.3.1. Nâng cao độ chính xác của việc tính dị thƣờng trọng lực trong
miền tần số số bằng phƣơng pháp "trƣợt mẫu" (Shift-sampling) 32
2.3.2. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới 3D trọng lực trong miền

tần số 33
2.3.3. Xây dựng chƣơng trình giải bài toán ngƣợc và tính toán
thử nghiệm trên các mô hình 36

Chƣơng 3 - MÔ HÌNH HÓA VIỆC GIẢI BẢI TOÁN NGƢỢC XÁC ĐỊNH
SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ MÓNG KẾT TINH
3.1. Các phƣơng pháp giải bài toán ngƣợc 38
3.1.1. Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phƣơng pháp lựa
chọn 38
3.1.2. Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phƣơng pháp trực
tiếp 41
3.2. Thuật toán và sơ đồ khối 42
3.2.1. Thuật toán 42
3.2.2. Sơ đồ khối 43
3.3. Tính toán thử nghiệm trên mô hình 44
3.3.1. Mô hình 1 45
3.3.2. Mô hình 2 50
3.3.3. Mô hình 3 54
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1 Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm 4
Hình 1.2 Xác định thế và đạo hàm của các vật thể hai chiều 6
Hình 1.3 Xác định thế và các đạo hàm của vật thể hình cầu 7
Hình 1.4 Trƣờng trọng lực của hình cầu 8
Hình 1.5 Tƣờng trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang 9
Hình 1.6 Xác định thế và các đạo hàm của nửa mặt phẳng vật chất nằm
ngang 10
Hình 1.7 Trƣờng trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 11
Hình 1.8 Bậc thẳng đứng 13
Hình 1.9 Trƣờng trọng lực trên bậc thẳng đứng 15
Hình 1.10 Bậc nghiêng 15
Hình 2.1 Vật thể hai chiều có tiết diện ngang bất kỳ 18
Hình 2.2 Xấp xỉ vật thể có tiết diện ngang 20
Hình 2.3 Việc phân chia mỗi cạnh đa giác 20
Hình 2.4 Ranh giới phân chia mật độ và xấp xỉ nó bằng các lăng trụ 24
Hình 2.5 Mô hình lăng trụ 3 chiều 26
Hình 2.6 Mô hình khối đa diện 28

Hình 2.7 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền không gian 31
Hình 2.8 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền tần số 37
Hình 3.1. Sơ đồ khối giải bài toán ngƣợc 3D xác định sự
phân bố mật độ của đá móng 43
Hình 3.2 Mô hình sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng 45
Hình 3.3 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng 46
Hình 3.4 Trƣờng quan sát 46
Hình 3.5 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng 47
Hình 3.6 Trƣờng phông khu vực 47
Hình 3.7 Trƣờng móng dƣ 47
Hình 3.8 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 48
Hình 3.9 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 48
Hình 3.10 Tốc độ hội tụ 48
Hình 3.11 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng 49
Hình 3.12 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 49
Hình 3.13 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng 50
Hình 3.14 Trƣờng quan sát 50
Hình 3.15 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng 51
Hình 3.16 Trƣờng phông khu vực 51
Hình 3.17 Trƣờng móng dƣ 51
Hình 3.18 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 52
Hình 3.19 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 52
Hình 3.20 Tốc độ hội tụ 52
Hình 3.21 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng 53
Hình 3.22 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 53
Hình 3.23 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng 54
Hình 3.24 Trƣờng quan sát 54
Hình 3.25 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng 55
Hình 3.26 Trƣờng phông khu vực 55
Hình 3.27 Trƣờng móng dƣ 55

Hình 3.28 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 56
Hình 3.29 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 56
Hình 3.30 Tốc độ hội tụ 56
Hình 3.31 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng 57
Hình 3.32 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán 57

















1


MỞ ĐẦU
Trƣớc đây, khi nghiên cứu cấu trúc địa chất các nhà địa vật lý chủ yếu tập
trung nghiên cứu trong việc xác định độ sâu, hình dạng của các mặt ranh giới nhƣ:
Moho, conrat, đáy trầm tích Kainozoi với giả thiết sự phân bố mật độ trong trầm
tích và mật độ đá móng là không đổi. Trong những năm gần đây, với việc tìm thấy

dầu trong đá móng, việc nghiên cứu sự bất đồng nhất của mật độ cũng nhƣ sự phân
bố mật độ của đá móng đã hấp dẫn sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu địa vật lý
trong nƣớc. Tuy nhiên, cho tới nay, sự phân bố mật độ của đá móng mới chỉ dừng
lại trong việc phân tích định tính hoặc cũng chỉ đƣợc xác định bằng phƣơng pháp
tƣơng quan nên độ chính xác vẫn còn nhiều hạn chế. Để góp phần vào việc nghiên
cứu này, trong phạm vi của bản luận văn, chúng tôi tiến hành nghiên cứu kết hợp tổ
hợp phƣơng pháp bóc lớp dị thƣờng với việc giải bài toán ngƣợc 3D theo phƣơng
pháp bình phƣơng tối thiểu Marquart, xây dựng thuật toán và chƣơng trình máy tính
xác định sự phân bố mật độ trong đá móng theo tài liệu dị thƣờng trọng lực. Thuật
toán và chƣơng trình xây dựng đƣợc tính toán thử nghiệm trên các mô hình 3D
nhằm nghiên cứu khả năng áp dụng của phƣơng pháp.
Khóa luận này đƣợc chia làm ba chƣơng sau:
- Chương 1: Các phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực đối với các vật
thể có dạng hình học đều đặn.
- Chương 2: Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của các ranh giới 2D
và 3D.
- Chương 3: Mô hình hóa việc giải bài toán ngƣợc xác định sự phân bố mật
độ móng kết tinh





2

Chƣơng 1
CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC
ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN

1.1 Những khái niệm cơ bản.

Sau khi tu chỉnh số liệu đo đạc bằng máy trọng lực, ta thành lập bản đồ hoặc
đồ thị đạo hàm bậc nhất, hoặc bậc hai của thế trọng lực (dị thƣờng trọng lực nói
chung). Giải thích địa chất dị thƣờng trọng lực bao gồm phân tích các quy luật phân
bố của nó trên mặt đất (hoặc gần mặt đất) và mối liên hệ để nó giải quyết các nhiệm
vụ khác.
Giải thích địa chất dị thƣờng trọng lực đƣợc hình thành nhƣ sau: Dựa vào số
liệu trọng lực đo đạc và số liệu địa chất, địa vật lý sẵn có, vào kinh nghiệm giải
thích trọng lực tại các vùng tƣơng đƣơng, ta có thể đƣa ra những kết luận địa chất
về vùng cho trƣớc tƣơng ứng với nhiệm vụ địa chất đề ra.
Nhiệm vụ giải thích dị thƣờng trọng lực đƣợc phân loại dƣới hai hình thức:
Phân tích định tính và định lƣợng.
Khi giải thích định tính cần xác định:
- Các yếu tố địa chất chắc chắn ảnh hƣởng lên trƣờng trọng lực cũng nhƣ các
trƣờng vật lý khác (nếu nhƣ các phƣơng pháp Địa vật lý khác cũng đƣợc áp
dụng).
- Vị trí của yếu tố địa chất hoặc vật quặng.
- Vùng hoặc khu vực cần phải tiến hành nghiên cứu tỉ mỉ hơn.
- Điểm hoặc vùng nhỏ tại đó tại đó có thể đặt đƣợc các lỗ khoan hoặc đào
hầm lò.
- Khả năng và điều kiện để phân tích định lƣợng.
Trong trƣờng hợp tổng quát, có bốn yếu tố địa chất chính gây nên dị thƣờng
trọng lực:
- Cấu tạo các lớp trầm tích.
- Địa hình mặt nền kết tinh.

3

- Cấu tạo bên trong của nền kết tinh.
- Cấu tạo sâu vỏ Trái đất.
Khi minh giải định tính ta tiến hành mô tả một cách hệ thống các vùng dị

thƣờng và dị thƣờng riêng biệt, chỉ rõ bản chất địa chất dị thƣờng đƣợc mô tả với
xác suất lớn nhất, đƣa ra những đề nghị về việc tiến hành những nghiên cứu tiếp
theo.
Công tác phân tích định lƣợng đƣợc tiến hành khi:
- Có lƣợng thông tin đầy đủ hoặc tƣơng đối đầy đủ về địa chất của vùng, do
đó có khả năng hình thành mẫu vật lý của môi trƣờng địa chất dùng để
phân tích dị thƣờng trọng lực.
- Tác dụng của một trong những yếu tố địa chất gây nên dị thƣờng trội hơn.
Để đảm bảo yêu cầu này, trong thực tế ngƣời ta sử dụng các phƣơng pháp
biến đổi trƣờng.
- Các yếu tố địa chất trong vùng tƣơng đối ổn định có thể sử dụng một hoặc
tổ hợp phƣơng pháp phân tích chung.
- Các số liệu đo đạc có độ chi tiết và chính xác cao.
- Cơ sở lý thuyết phân tích tốt.
1.2. Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực
Để thuận tiện cho việc tính toán sau này ngƣời ta viết lại các biểu thức tích
phân tổng quát của thế hấp dẫn và các đạo hàm của chúng khi giải các bài toán
thuận và nghịch.
Thế V tại điểm với tọa độ x
1
, y
1
, z
1
đƣợc biểu diễn bằng công thức:

 


r

dm
GzyxV
111
,,
(1.1)
trong đó:
     
2
1
2
1
2
1
zzyyxxr 


4


Từ đó ta có:
 





 dm
r
zz
k

z
V
g
3
1
1
(1.2)
  






3
11
11
2
3
r
zzxx
k
xz
V
V
xz
(1.3)
  






 dm
r
zzyy
k
yz
V
V
yz
3
11
11
2
3
(1.4)
   










dm
r

xxyy
k
x
V
y
V
V
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
(1.5)
Trong đó:
K : là hệ số hấp dẫn
V
xz
: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng nằm ngang x
V
yz
: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng nằm ngang y



g: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng thẳng đứng z
Đặt gốc tọa độ tại điểm quan sát A, tức là trong công thức đặt x
1
=y
1
=z
1
=0 thì
ta có:
Hình 1.1: Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm
z
y
O
x
A(x
1
,y
1
,z)
B
dm(x,y,z)
r

5

dxdydz
r
z
kV
v



3

(1.6)


v
xz
dxdydz
r
xz
kV
5
3

(1.7)
dxdydz
r
yz
kV
v
yz


5
3

(1.8)
dxdydz

r
xy
kV
v




5
22
3

(1.9)





 dxdydz
r
zz
k
z
V
g
3
1
1

(1.10)

Trong thực tế thƣờng gặp các vật thể có dạng kéo dài một hƣớng. Với độ
chính xác khá đủ có thể xem các vật thể đó là các vật thể hai chiều. Việc giải bài toán
thuận và nghịch đối với bài toán hai chiều đơn giản hơn nhiều so với bài toán ba
chiều. Để chuyển từ bài toán ba chiều về bài toán hai chiều thì trong công thức cho
vật thể ba chiều ở trên cần cho một biến chạy từ - +.
Để làm ví dụ, chúng ta xét trƣờng hợp V
z
(

g). Từ công thức ba chiều (1.2)
ta có:
dxdydz
r
zz
k
z
V
g
v






3
1
1


Cho biến y chạy từ -+, lúc đó ta có:

 
 
   
 







2/1
2
1
2
1
2
1
1
1 zzyyxx
dxdydzzz
k
z
V
g

(1.11)
Trong biểu thức (1.11), biến số y chạy từ -  + còn các biến số (x,y) di

chuyển trong giới hạn tiết diện ngang S của vật thể.
Nếu đƣa vào biến số mới :

   

tgzzxxyy
2
1
2
11


Thì:
 
 
   
 
 




2/
2/
2
1
2
1
1
11z

dydzdcos
zzxx
zz
ky,xV



(1.12)
từ đó:
   



 dxdz
zzxx
zz
kV
z
2
1
2
1
1

(1.13)
Cũng nhƣ trong trƣờng hợp ba chiều, nếu đặt điểm quan sát tại gốc tọa độ
tức cho x
1
=y
1

=0 thì:

6


   


 dxdz
zzxx
z
kV
z
2
1
2
1
2

(1.14)
Có thể viết lại (1.14) trong hệ tọa độ cực.
Từ hình (1.2) ta có:









rdrdxdydS
ry
srcox


sin

Lúc đó (1.14) có dạng:

 



 drdkV
z

sin20,0
(1.15)
Trên cơ sở các bài toán tổng quát trên chúng ta xét các bài toán cụ thể:

1.3 . Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học
1.3.1. Hình cầu hoặc điểm vật chất
Trong thực tế, thƣờng gặp các vật thể địa chất tƣơng đối có dạng đẳng thƣớc,
kích thƣớc ngang của chúng theo các hƣớng cùng một bậc. Khi tính toán tác dụng
trọng lực của các vật thể này, ngƣời ta thƣờng xem chúng có dạng hình cầu hoặc là
điểm vật chất. Các vật thể địa chất này thƣờng rất khác nhau: các vật quặng dạng ổ,
dạng bƣớu, các vòm mối, các lỗ hổng cáctơ…
Khảo sát vật thể hình cầu tâm C nằm trong mặt phẳng xoz với các tọa độ x
c
=

x, y
c
=y, z
c
= h (hình 1.3). Khối lƣợng của toàn bộ hình cầu là M, nằm tại tâm hình
cầu. Vì thế ta không phải tính các tính phân khối trên.
Hình 1.2: Xác định thế và đạo hàm của vật thể
hai chiều


7


Tại gốc tọa độ:







3
r
kMh
Vg
z
(1.16)
3
3
r

xh
kMV
xz

(1.17)
5
2
3
r
x
kMV 
(1.18)
5
22
2
r
xh
kMV
zz


(1.19)
0VxyV
yz
(1.20)
22
hxr 
(1.21)
Để thuận tiện cho việc tính toán ta biến đổi các công thức này khác đi. Đặt
tâm hình cầu dƣới gốc tọa độ (0,0,h), chỉ cần thay đổi dấu của x mà thôi, tức là:








3
r
kMh
g
(1.22)
3
3
r
xh
kMV
xz

(1.23)
5
2
3
r
x
kMV 
(1.24)
5
22
2

r
xh
kMV
zz


(1.25)
0
xyyz
VV
(1.26)
22
hxr 
(1.27)
Hình 1.3: Xác định thế và các đạo hàm của vật thể
hình cầu


8


1.3.2. Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang
Các vật thể địa chất dạng này là các cấu tạo dài (các nếp uốn), dạng thấu kính,
các mạch quặng, các vỉa quặng… Hình trụ tròn nằm ngang, nằm dọc theo tâm của
hình trụ.
Nếu một đơn vị độ dài của thanh có khối lƣợng là m thì tƣơng ứng với hình
trụ ta có: =R
2
với  là khối lƣợng một đơn vị dài.
Trong trƣờng hợp thành phần vật chất nằm ngang ta có thể tính đƣợc giá trị

V
z
trực tiếp từ công thức (1.14) mà không cần lấy tích phân, tức là:

   
 
2
22
20,00,0
hx
h
kVg
z



(1.28)
Từ đó tìm đƣợc:

 
 
2
22
40,0
hx
h
kV
xz




(1.29)

   
 
2
22
22
20,00,0
hx
xh
kVV
zz





(1.30)

   
00,00,0 
yzxy
VV
(1.31)
Để thuận tiện ta viết lại công thức khi đặt gốc tọa độ trên trục của hình trụ,
còn x là các tọa độ của điểm quan sát. Muốn vậy ta chỉ cần thay đổi x bởi –x trong
các công thức trên là đƣợc:
Hình 1.4: Trƣờng trọng lực của hình
cầu

9


   
22
20,0,
hx
h
kxVxg
z



(1.32)

 
 
2
22
40,
hx
h
kxV
z



(1.33)

   
 
2
22
22
20,0,
hx
xh
kxVxV
zz





(1.34)


1.3.3. Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang
Các dạng vật thể này có biên độ bé, các vùng vót nhọn, các lớp nằm ngang
có độ dày bé…
Giả sử rằng mặt phẳng vật chất nằm ngang có mật độ  nằm tại độ sâu h so
với mặt đất, có đƣờng biên song song với trục y, tọa độ ngang của đƣờng biên là
đƣờng x (hình 1.7).
Sử dụng công thức tổng quát (1.14) cho trƣờng hợp này =dz, z=h, ta lấy
tích phân theo x từ x đến +, kết quả thu đƣợc:
   











h
x
natcrak
hx
dx
khVxg
z
2
220
22


(1.35)
Hình 1.5: Trƣờng trọng lực của hình trụ tròn nằm
ngang

10


Từ đó, ngƣời ta tính đƣợc hàm bậc hai của thế trọng lực là:

 
 









2222
2
22
2
1
240
hx
h
kh
hx
kh
hx
xdx
khV
zx

(1.36)
Tƣơng tự:

 
 
 







22
2
22
22
220
hx
x
kh
hx
dxhx
khV
zx

(1.37)
Để thuận tiện cho việc tính toán sau này, ta đặt gốc tọa độ tại điểm chiếu của
cạnh bên trên trục x, còn lấy là tọa độ của điểm quan sát. Trong trƣờng hợp này ta
chỉ cần thay đổi dấu của x trong các công thức (1.34), (1.35), (1.36) là đƣợc.

   








h
x
natcrakxVxg
z
2
2


(1.38)

 
22
2
hx
h
khxV
xz



(1.39)

 
22
2
hx
x
khxV

zz



(1.40)
Hình 1.6: Xác định thế và các đạo hàm của nửa
mặt phẳng vật chất nằm ngang

11


1.3.4. Hình hộp vuông góc
Nhiều vật thể địa chất gần đúng có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng những khối
bị giới hạn bởi những mặt phẳng, các cấu tạo địa lũy, địa hào, các khối quặng riêng
biệt, những vật thể có thể đƣợc xem là các dạng hình hộp vuông góc. Tính toán tác
dụng trọng lực do hình hộp vuông góc gây ra đƣợc dùng để nghiên cứu các vật thể
khác thƣờng gặp trong thực tế nhƣ bậc thẳng đứng, lớp thẳng đứng. Các công thức
trọng lực của hình hộp vuông góc còn đƣợc sử dụng để tính toán hiệu ứng trọng lực
do các vật thể ba chiều có hình dạng bất kỳ gây ra.
Giả sử có hình hộp vuông góc bị giới hạn bởi các mặt:
.;;;;;
212121
zzzzyyyyxxxx 

Đặt gốc tọa độ tại điểm tính toán. Xuất phát từ các công thức (1.7), (1.8) ta
đƣợc:
        
222
111
lnln0,0,00,0,0

zyx
zyxz
xy
zr
gtcrzarxyryxzgV 

(1.41)
   
222
111
ln0,0,0
zyx
zyxzx
rykV 

(1.42)
 
222
111
0,0,0
zyx
zyxzz
ry
xz
gtcrakV 

(1.43)
   
222
111

222
111
0,0,0
hyx
hyx
zyx
zyx
xy
zr
gtcrzarxn
ry
xz
gtcra
xr
yz
gtcrakV 











(1.44)
Trong đó:
Hình 1.7: Trƣờng trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang

12


222
zyxr 

Với hình hộp kéo dài ra vô cùng theo trục y, thì từ các công thức, cho y chạy
từ -   +, ta thu đƣợc:
 

































2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2

1
2
1
2
2
2
1
1
22lnln0,0
z
x
gtcra
z
x
gtcraz
z
x
gtcraz
zx
zx
x
zx
zx
xkV
z

(1.45)
 
  
  

2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
ln20,0
zxzx
zxzx
kV
xz




(1.46)
 










2
1
1
1
1
2
2
2
20,0
x
x
gtcra
x
z
gtcra
x
z
gtcra
z
x
gtcrakV
zz

(1.47)

1.3.5. Lăng trụ thẳng đứng
Lăng trụ thẳng đứng là vật bị giới hạn bởi hai mặt phẳng thẳng đứng song
song với nhau và một mặt phẳng nằm ngang. Trong trƣờng hợp này ta xem z
2
=,
z
1
=h.
Với điều kiện này chúng ta thấy rằng g = , hơn nữa cho độ dày lớp bằng 2d
thì:
dxxdxx 
12
;

Chuyển gốc tọa độ về tạo hình chiếu của trọng điểm trên của lớp trên mặt đất
(thay đổi dấu của x). Từ công thức (1.41), chúng ta thu đƣợc các kết quả sau đây:

 
 
 
2
2
2
2
ln0,0
hdx
hdx
kV
xz





(1.48)

 
222
2
0,0
hdx
dh
gtcrakV
zz



(1.49)
1.3.6. Bậc thẳng đứng
Trong lý thuyết phân tích các dị thƣờng trọng lực, ngƣời ta hiểu bậc thẳng
đứng là vật thể hai chiều bị giới hạn bởi hai mặt phẳng song song vô hạn và một
mặt thẳng đứng. Tiết diện ngang của của vật thể này có dạng dải vuông góc vô
cùng, có các cạnh song song với trục x và trục z.

13

Từ (hình 1.8a và 1.8b) ta thấy rằng bậc thẳng đứng tƣơng tự nhƣ mặt phẳng
vật chất nằm ngang nhƣng nó tổng quát và phức tạp hơn.

Theo định nghĩa trên, ngƣời ta sử dụng mật độ dƣ của các bậc thẳng đứng là
khác không còn toàn bộ không gian là bằng không. Nhƣng nếu phần không gian

dƣới bậc có mật độ dƣ khác không thì dị thƣờng trọng lực gây ra vẫn không thay
đổi.
Trong thực tế các vật địa chất dạng này là các cấu tạo tiếp xúc với vòm muối
hoặc là các khối xâm nhập với các vùng đất đá vây quanh. Có thể nói rằng bậc
thẳng đứng là một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết và thực tế khi phân tích
dị thƣờng trọng lực.
Gọi h là tọa độ ngang của đƣờng biên của bậc, h
1
và h
2
là độ sâu đến các mép
giới hạn trên và dƣới của bậc. Để tính hiệu ứng trọng lực trong trƣờng hợp này,
ngƣời ta lấy tích phân các công thức tổng quát (1.6), (1.7), (1.8), (1.9) theo các biến
x, y, z, sau đó thay cận tích phân y=, x đến  và z từ h
1
đến h
2
. Cụ thể là:

      
222
111
lnln0,0,0
hyx
hyxz
xy
zr
gtcrzarxyryxkV 

(1.50)

   
222
111
ln0,0,0
hyx
hyxxz
rykV 

(1.51)

 
222
111
0,0,0
hyx
hyxzz
zr
xy
gtcrakV


(1.52)

 
222
111
0,0,0
hyx
hyx

ry
xz
gtcra
xr
yz
gtcrakV











(1.53)
Hình 1.8 a, 1.8 b: Bậc thẳng đứng


14

Trong đó:
222
zyxr 

Trƣớc hết cho y
1
=-, y

2
=+ ta có:

   
 







22
11
2ln0,00,0
22
hx
hxz
z
x
gtcrzazxxkgV

(1.54)

 
 
22
11
22
ln0,0

hx
hxxx
zxkV 

(1.55)

 
22
11
20,0
hx
hxz
x
z
gtcrakV


(1.56)
Các công thức trên biểu thị tác dụng trọng lực của hình hộp chạy dài vô cùng
theo trục y với tiết diện ngang là hình chữ nhật có các cạnh bằng (x
1
, x
2
) và (h
1
, h
2
).
Để tính đƣợc hiệu ứng trọng lực của bậc thẳng đứng, trong các công thức trên thay
x

1
=x, x
2
=. Kết quả chúng ta thu đƣợc:

 
 







2
1
22
ln20,0
h
hz
zxx
z
x
gtcrazgV

(1.57)

 
 
2

1
22
ln0,0
h
hxz
zxkV 

(1.58)

 
2
20,0
h
hzz
x
z
gtcrakV


(1.59)
Dịch chuyển gốc tọa độ về điểm nằm trên biên của bậc thẳng đứng (điểm x,
0) và thay cận lấy tích phân, ta có:
     












2
1
2
2
2
2
1
2
212
ln
1
220,00,0
hx
hx
x
h
x
gtcrah
h
x
gtcrahhhkgV
z


(1.60)
 

2
1
2
2
2
2
ln0,
hx
hx
kxV
z




(1.61)
 







x
h
gtcra
x
h
gtrcakxV

zz
12
0,

(1.62)

15


1.3.7. Bậc nghiêng
Trong thực tế trƣờng hợp bậc nghiêng thƣờng gặp nhiều hơn bậc thẳng
đứng.
Trong trƣờng hợp này có thể dùng các công thức khác nhau để tính các đại
lƣợng V
z
, V
xz
, V
zz
. Dƣới đây chúng ta sẽ xét phƣơng pháp đƣợc xem là tốt hơn cả.
Trên hình vẽ chúng ta vẽ mặt cắt của bậc nghiêng. Lấy điểm quan sát làm gốc tọa
độ. Tọa độ giao điểm của tuyến với đƣờng biên của bậc nghiêng kéo dài là x. Tại độ
sâu bất kỳ là Z( h
1
<Z<h
2
), lấy một lớp mỏng yếu tố ngang bằng dz và mật độ . Tọa
độ biên của lớp nghiêng đó là (x-zcotg, z).

Dùng các công thức của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang (1.35), (1.36) và

(1.37) chúng ta có thể tính đƣợc hiệu ứng trọng lực của bậc nghiêng.
Hình 1.9: Trƣờng trọng lực trên bậc thẳng
đứng
Hình 1.10: Bậc nghiêng


16


 
 








2
1
2
1
20,0
h
h
h
h
z
dz

z
zctgx
arctgkdzkV


(1.63)

 
 









2
1
2
2
20,0
h
h
xz
dz
zgtzcx
z
kV



(1.64)

 
 










2
1
2
2
20,0
h
h
zz
dz
zzctgx
zctgx
kV




(1.65)
Sau khi lấy tích phân và đƣa gốc tọa độ từ điểm quan sát đến điểm 0 bằng
cách thay dấu biến số x, ta thu đƣợc:
 
















cossin2ln
2
sin
2
20,
2
2
xzz
x

z
tgszcx
arctgzkxV
z



1
2
2
22
sin
sincos
cossinsin
h
h
x
xz
tgcraxx





(1.66)
 
 




2222
sincossin2lnsin20, xxzzkxV
xz


1
2
2
2
sin
sincos
sin2
h
h
x
xz
arctg








(1.67)
 
 






2222
sincossin2lnsin
2
1
0, xxzzkxV
zz


1
2
2
2
sin
sincos
sin2
h
h
x
xz
arctg









(1.68)
Các công thức (1.66), (1.67) và (1.68) khá phức tạp nên rất khó đề ra đƣợc
phƣơng pháp giải tích để tích phân. Trong bài toán này, để giải bài toán thuận,
ngƣời ta biến đổi các công thức trên. Từ hình vẽ ta thấy các thông số ,  liên hệ
với tọa độ vuông góc bằng biểu thức:

s in;cot  xscogzx

Nếu gọi 
1
, 
1
, 
2
, 
2
là các thông số tƣơng ứng với các góc trên và dƣới của
bậc ta có thể viết lại công thức (1.66 - 1.68) ở dạng:

17


     














12
1
2
2
122
2sinlnsin2120,




xhhkxV
z

(1.69)

   








12
1
2
2
2sinlnsin20,




kxV
xz
(1.70)

   







12
2
1
2
sinln2sin20,





kxV
zz
(1.71)
Đối với các bậc nghiêng, ngƣời ta không để ra phƣơng pháp giải tích để xác
định các thông số của chúng mà thông thƣờng so sánh dạng đƣờng cong của chứng
từ bậc nghiêng với các góc  khác nhau.


18

Chƣơng 2
PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC CỦA
CÁC RANH GIỚI 2D VÀ 3D
2.1. Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích 2D
trong miền không gian
2.1.1. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân
chia nó thành các đa giác có tiết diện ngang bất kỳ
Theo Talwari và Ewing [18] dị thƣờng trọng lực của vật thể có tiết diện
ngang bất kỳ và mật độ dƣ thay đổi theo chiều sâu có thể đƣợc xác định bằng cách
chia vật thể thành những lớp nằm ngang rồi lấy tổng dị thƣờng trọng lực của chúng.

Dị thƣờng trọng lực dg của lớp nằm ngang có chiều dày dz, nằm ở độ sâu z và đƣợc
giới hạn bởi chu vi của vật thể đƣợc xác định bởi:
dg = 2f

(z )(

2
-


1
) dz (2.1)
ở đây

2
-

1
là góc nhìn từ điểm cần tính dị thƣờng trọng lực P(0,0) tới lớp nằm
ngang (Hình 2.1),

(z) là mật độ dƣ của vật thể đƣợc xem nhƣ là một hàm của chiều
sâu z, f là hằng số hấp dẫn.
Dị thƣờng trọng lực

g của toàn bộ vật thể tại điểm P(0,0) đƣợc xác định
bằng cách lấy tích phân vế phải của đẳng thức (2.1) trong phạm vi từ z
đỉnh
đến
z
đáy
,đó tƣơng ứng là chiều sâu tới đỉnh và đáy vật thể.
Hình 2.1: Vật thể hai chiều có tiết diện
ngang bất kỳ
và mật độ dƣ (z) là hàm của độ sâu z.


19


g = -2f [



(z)

1
dz +



(z)

2
dz] = -2f


(z)

dz (2.2)
Đẳng thức (2.2) chỉ ra rằng việc tính toán dị thƣờng trọng lực của vật thể 2
chiều có mật độ dƣ thay đổi theo độ sâu đƣợc thực hiện bằng cách lấy tích phân
đƣờng dọc theo chu vi của vật thể theo chiều kim đồng hồ. Trên cơ sở công thức
này, Murthy I V.R và Bhaskara Rao D [14] đã đƣa ra các thuật toán xác định dị
thƣờng trọng lực của vật thể 2 chiều có mật độ dƣ thay đổi ở dạng hàm mũ nhƣ
dƣới đây.
2.1.2. Trƣờng hợp mật độ dƣ thay đổi tuyến tính theo độ sâu
Trong trƣờng hợp này dị thƣờng trọng lực đƣợc tính bằng cách xấp xỉ tiết diện
ngang của vật thể bởi một đa giác N cạnh ABCDEF (Hình 2.2). Tọa độ (x

k
,

y
k
) của
các đỉnh A, B, C đƣợc tính trong hệ tọa độ mà gốc đặt tại điểm cần tính dị
thƣờng trọng lực P(0,0). Giả sử rằng mật độ dƣ thay đổi theo quy luật:


(z) =

(0) + az (2.3)
trong giới hạn của vật thể. Ở đây

(0) là giá trị của mật độ dƣ tại mặt quan sát còn a
biểu thị tốc độ biến đổi theo chiều sâu của mật độ dƣ. Trong trƣờng hợp này để tính
dị thƣờng trọng lực của vật thể ta tiến hành tính tích phân trong vế phải của đẳng
thức (2.1) dọc theo mỗi cạnh của vật thể (ví dụ cạnh BC) rồi sau đó lấy tổng các giá
trị này. Ta có:

 



1
2
k
k
Z

Z
BC
dzzfdg

(2.4)
Thay

(z) từ (2.3) vào (2.4) rồi thực hiện việc lấy tích phân ta đƣợc:
dg
BC
= 2f {

(0).A[sini
k
ln ( r
k+1
/ r
k
) - cos i
k
(

k+1
-

k
)]+ (a/2)(z
k+1
-z
k

) sini
k

- (a/2) A
2
[cos 2i
k
ln(r
k+1
/r
k
) - sin 2i
k
(

k+1
-

k
)]-[

(0) (z
k+1

k+1
-z
k

k
)

- (a/2) (z
2
k+1

k+1
-z
2
k

k
)} (2.5)