Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (tán xạ điện tử - phonon quang)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 66 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG HỢP PHẦN
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH QUỐC VƯƠNG
Hà Nội – Năm 2011
MỤC LỤC
Nội dung Trang
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC
XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN
DẪN KHỐI 3
1.1. Siêu mạng hợp phần: hàm sóng, phổ năng lƣợng 3
1.2. Ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
trong bán dẫn khối 5
1.2.1 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối 7
1.2.2 Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn
khối 12
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI
TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN KHI CÓ MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ LASER
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG) 20
2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần 20
2.2. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần khi có mặt trƣờng bức xạ Laser 32
CHƢƠNG 3. KHẢO SÁT SỐ VÀ THẢO LUẬN 44
KẾT LUẬN 48
Tài liệu tham khảo 56
Phụ lục 57
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ 46
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu vào năng lƣợng trƣờng
điện từ yếu 47
Hình 3.3. Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào năng lƣợng trƣờng Laser 48
Hình 3.4. Đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào biên độ sóng điện từ 48
Hình 3.5. Đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào chiều dài hố thế L 49
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
1
MỞ ĐẦU
Bƣớc sang thế kỷ 21, trên thế giới đang tích cực nghiên cứu và chuẩn bị cho
ra đời một lĩnh vực khoa học công nghệ mới mà tầm cỡ của nó đƣợc đánh giá là
ngang tầm với các cuộc cách mạng công nghiệp trong lịch sử, đó là khoa học và
công nghệ Nano. Chính xu hƣớng này đã làm cho vật liệu nano (nano materials) trở
thành một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh cao sôi động nhất trong thời gian
gần đây[1,2].
Khi nghiên cứu các cấu trúc thấp chiều các nhà khoa học đã phát hiện ra
nhiều ƣu điểm của chúng. Tính chất quang của các thiết bị dựa trên bán dẫn thấp
chiều có thể điều chỉnh đƣợc bằng cách thay đổi các thông số của cấu trúc mà tiêu
biểu là độ dày và thành phần của hợp chất; Sự giảm chiều của bán dẫn dẫn đến sự
thay đổi các đặc trƣng quang học, đặc biệt là sự gia tăng xác suất tái hợp điện tử –
lỗ trống. Với sự phát triển của vật lý chất rắn và công nghệ epytaxy chùm phân tử
(MBE) hay kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD) đã tạo nhiều vật liệu với cấu trúc
nano. Ngƣời ta tạo ra đƣợc cấu trúc điện tử hai chiều (hố lƣợng tử) bằng cách tạo ra
một lớp bán dẫn mỏng, phẳng nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác. Khi đó các điện
tử có thể chuyển động theo hai chiều, chiều thứ ba đã bị lƣợng tử hóa mạnh. Tƣơng
tự ta có thể hình thành nên cấu trúc một chiều(dây lƣợng tử) và cấu trúc không
chiều (chấm lƣợng tử)[3,4].
Siêu mạng hợp phần là một cấu trúc thấp chiều gồm một lớp mỏng bán dẫn
với độ dày L kí hiệu lớp A, nằm giữa hai lớp bán dẫn khác, kí hiệu lớp B có độ dày
L'. Trục Oz hƣớng vuông góc với các lớp A và B. Thực tế tồn tại các cấu trúc gồm
nhiều lớp mỏng kế tiếp dạng B/A/B/A/B/ và độ rộng rào thế L' đủ hẹp để các điện
tử có thể xem là các lớp mỏng kế tiếp nhau nhƣ một thế tuần hoàn bổ sung. Khi đó
điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế năng để từ lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp này
sang vùng cấm hẹp khác. Vậy điện tử ngoài chịu ảnh hƣởng của thế tuần hoàn tinh
thể còn phải chịu ảnh hƣởng của một thế phụ. Thế phụ này cũng tuần hoàn nhƣng
với chu kỳ lớn hơnnhiều so với hằng số mạng. Thế phụ thuần hoàn này đƣợc hình
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
2
thành do sự chênh lệch năng lƣợng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn
tạo nên siêu mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng
lƣợng của điện tử và do đó siêu mạng có một số tính chất đáng chú ý mà bán dẫn
khối thông thƣờng không có Tính chất quang trong bán dẫn khối cũng nhƣ trong
các hệ thấp chiều đã đƣợc nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hấp thụ sóng điện từ yếu dƣới
ảnh hƣởng của bức xạ Laser mới chỉ đƣợc nghiên cứu cho bán dẫn khối còn trong
siêu mạng hợp phần thì vẫn là vấn đề mở. Do đó trong luận văn này, chúng tôi
nghiên cứu đề tài “Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (Tán xạ điện tử - phonon
quang)"
Phương pháp nghiên cứu: Bài toán tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong siêu mạng hợp phần (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang) có thể sử
dụng nhiều phƣơng pháp khác nhau nhƣ phƣơng pháp Kubo – Mori, phƣơng pháp
chiếu toán tử, tích phân phiếm hàm, phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử,
phƣơng pháp hàm Green … Trong đề tài nghiên cứu này, chúng tôi đã sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp thụ. Tiếp đó, sử
dụng chƣơng trình toán học Matlab để đƣa ra tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc
của hệ số hấp thụ vào các thông số cho siêu mạng hợp phần GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As
Bố cục luận văn: Luận văn bao gồm 62 trang, ngoài phần mở đầu và kết
luận, tài liệu tham khảo và phụ lục gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Siêu mạng hợp phần và ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ Laser lên sự hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phƣơng trình động lƣợng tử và biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có mặt trƣờng bức
xạ Laser (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang).
Chƣơng 3: Khảo sát số và thảo luận
Một phần kết quả nghiên cứu trong luận văn này đã đƣợc gửi đăng ở tạp chí
Nghiên cứu khoa học quân sự.
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
3
CHƢƠNG 1:
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ LASER
LÊN SỰ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1 Siêu mạng hợp phần: hàm sóng, phổ năng lượng
Siêu mạng hợp phần là một cấu trúc gồm một lớp mỏng bán dẫn với độ dày
L kí hiệu lớp A, nằm giữa hai lớp bán dẫn khác, kí hiệu lớp B có độ dày L'. Trục Oz
hƣớng vuông góc với các lớp A và B. Thực tế tồn tại các cấu trúc gồm nhiều lớp
mỏng kế tiếp dạng B/A/B/A/B/ và độ rộng rào thế L' đủ hẹp để các điện tử có thể
xem là các lớp mỏng kế tiếp nhau nhƣ một thế tuần hoàn bổ sung và thế mạng tinh
thể là thế của siêu mạng. Khi đó điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế năng để từ
lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp này sang vùng cấm hẹp khác. Vậy điện tử ngoài chịu
ảnh hƣởng của thế tuần hoàn tinh thể còn phải chịu ảnh hƣởng của một thế phụ. Thế
phụ này cũng tuần hoàn nhƣng với chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng. Thế
phụ thuần hoàn này đƣợc hình thành do sự chênh lệch năng lƣợng giữa các cận
điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn tạo nên siêu mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng
đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lƣợng của điện tử và do đó siêu mạng có một số
tính chất đáng chú ý mà bán dẫn khối thông thƣờng không có. Ý tƣởng về một cấu
trúc siêu mạng thực sự thu hút sự quan tâm của giới khoa học khi cấu trúc đó đƣợc
tạo ra lần đầu tiên vào cuối những năm 60 của thế kỷ trƣớc. Từ sự tƣơng quan của
đáy và đỉnh vùng cấm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thể phân biệt siêu
mạng hợp phần làm hai loại.
Siêu mạng hợp phần loại I: đƣợc tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng
cấm hoàn toàn bao nhau (Siêu mạng Al
x
Ga
1-x
As/GaAs gồm vài trăm lớp xen kẽ
nhau bởi tỷ lệ pha tạp x đối với Al thay đổi từ 0,15 đến 0,35 và chu kỳ thay đổi từ
50A
o
đến 200A
o
) đƣợc tạo ra lần đầu tiên bằng phƣơng pháp MBE năm 1973.
Trong siêu mạng này các tƣơng tác giữa các hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra
giữa các vùng năng lƣợng cùng loại.
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
4
Siêu mạng hợp phần loại II: đƣợc tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm
nằm gần nhau nhƣng không bao nhau hoặc chỉ trùng một phần (siêu mạng Ga
x
In
1-
x
As/ GaAs
y
Sb
1-y
đƣợc tạo ra năm 1977). Trong siêu mạng này có thể xảy ra tƣơng
tác giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là điện tử của bán dẫn này
tƣơng tác với lỗ trống của bán dẫn kia.
Đôi khi ngƣời ta cũng có thể tạo ra một siêu mạng từ một bán dẫn thông
thƣờng và một bán dẫn khác với khe năng lƣợng bằng 0(zero - gap) - siêu mạng
loại III. Ngoài ra ngƣời ta còn có thể tạo ra siêu mạng pha tạp hay siêu mạng "nipi".
Siêu mạng loại này đƣợc tạo ra bởi sự pha tạp lớp A loại n với lớp B loại p. Một số
tham số liên quan đến việc quan sát các hiệu ứng lƣợng tử trong siêu mạng. Đó là
quãng đƣờng tự do trung bình
của điện tử phải lớn hơn nhiều so với chu kỳ siêu
mạng bán dẫn. Điều này tƣơng đƣơng với điều kiện là khoảng cách giữa hai mức
năng lƣợng liên tiếp phải lớn hơn năng lƣợng chuyển động nhiệt k
B
T đồng thời
cũng lớn hơn so với độ rộng va chạm của các mức
/
với
là thời gian phục hồi
trung bình. Điều này không thoả mãn thì sẽ không tạo thành vùng mini.
Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều. Các tính
chất vật lý của siêu mạng đƣợc xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc
giải phƣơng trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh
thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng, việc giải phƣơng trình Schrodinger tổng
quát là rất khó. Tuy nhiên bài toán sẽ đơn giản đi nhiều bởi thực tế chu kỳ siêu
mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng và biên độ thế của mạng tinh thể. Vì vậy
ảnh hƣởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép vùng năng lƣợng và
quy luật tán sắc của điện tử có thể coi là dạng bậc hai và phổ năng lƣợng của điện tử
trong siêu mạng bán dẫn có thể xác định bằng phƣơng pháp gần đúng, khối lƣợng
hiệu dụng đối với các vùng năng lƣợng đẳng hƣớng không suy biến, phƣơng trình
Schrodinger có dạng:
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
2*
r U r r E r
m
(1.1)
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
5
với m* là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử (lỗ trống) đƣợc coi là nhƣ nhau trong
toàn siêu mạng. Dựa vào tính chất tuần hoàn của
()Ur
mà các siêu mạng có thể có
một, hai hoặc ba chiều. Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc vùng năng
lƣợng có thể tìm đƣợc bằng cách giải phƣơng trình Schrodinger trong đó ta đƣa vào
thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật.
Phổ năng lƣợng:
22
2 2 2
//
,
2
cos( )
22
n
np
p
n
pd
n
m m d
(1.2)
Trong đó:
d: Chu kì siêu mạng.
m
: khối lƣợng hiệu dụng của điện tử.
n
: một nửa độ rộng của mini vùng n.
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt
phẳng (xy) có dạng sóng phẳng và theo phƣơng của trục siêu mạng (có dạng hàm
Block).
d
N
x y Z n
n,k
j=1
x y d
1
ψ (r) = exp{i(k x + k y)} exp(ik jz) (z - jd)
L L N
(1.3)
với :
x
L
: Độ dài chuẩn theo phƣơng x
y
L
: Độ dài chuẩn theo phƣơng y
d
N
: Số chu kì siêu mạng.
n
()z
: Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập.
1.2 Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử trong bán dẫn khối.
1.2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
phephe
HHHH
(1.4)
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
6
Với :
p
pp
e
aatA
c
e
pH )(
q
qqq
ph
bbH
pq
qqpqpq
phe
bbaaCH
,
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử có dạng:
t
pp
p
Haa
t
tn
i
ˆ
,
)(
(1.5)
Vế phải của (1.5) có tƣơng ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lƣợt tính
từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:
0)(
)('
)('
;)()(';
''','''','
'
''''
'
''
'
''
pppp
pppppppppppppppp
p
pppppppp
p
p
pppp
t
p
pppp
aaaatA
c
e
p
aaaaaaaaaaaatA
c
e
p
aaaaaaaatA
c
e
p
aaaatA
c
e
paatA
c
e
paa
- Số hạng thứ hai:
0;
t
q
qqqpp
bbaa
do toán tử a, b là hai loại độc lập,
chúng giao hoán với nhau.
- Số hạng thứ ba:
qqpppqpqpppp
pq
q
qqpqppp
pq
q
t
pq
qqpqpqpp
bbaaaaC
bbaaaaCbbaaCaa
','','
',
''
',',
''
;;
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
7
)()()()(
*
,,,,
*
,,,,
tFtFtFtFC
baabaabaabaaC
qqppqqppqpqpqqpp
q
q
t
qpqp
t
qpqp
t
qqpp
t
qqpp
q
q
Vậy phƣơng trình (1.5) trở thành:
)()()()(
)(
*
,,,,
*
,,,,
tFtFtFtFC
t
tn
i
qqppqqppqpqpqqpp
q
q
p
(1.6)
Với
t
qppqpp
baatF
2121
)(
,,
Để giải (1.6) ta cần tính
)(
,,
21
tF
qpp
thông qua phƣơng trình:
t
qpp
qpp
Hbaa
t
tF
i ;
)(
21
21
,,
(1.7)
Vế phải của (1.7) chứa 3 số hạng tƣơng ứng 3 số hạng của hàm Hamilton H. Ta lần
lƣợt tính từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:
1 2 3 3
3
1 2 3 3 3 3 1 2
3
3
3
, ( )
()
p p q p p
p
t
p p q p p p p p p q
p
t
e
a a b p A t a a
c
e
p A t a a b a a a a a a b
c
1 2 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 1 3 2
3
12
3
,,
22
()
( ) ( ) (
p p p p q p p p p q p p p p q p p p p q
t
p
p p q
t
e
p A t a a b a a a a b a a b a a a a b
c
e
p p A t a a b p
c
12
12
11
2 1 2 1
,,
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
q
p p q
t
p p b
e
p A t a a b
c
e
p p p p A t F t
c
- Số hạng thứ hai:
)(
,
,,
2121
111121
1
1
1
11
1
21
tFbaa
bbbbbbaabbbaa
q
bppq
t
qppq
qqqqqqpp
q
q
t
q
qqqqpp
- Số hạng thứ ba:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
8
11121
1
111121
,,
,,
qqpqpqpp
pq
q
t
pq
qqpqpqqpp
bbaabaaCbbaaCbaa
Đặt vào số hạng thứ ba ta đƣợc:
t
q
qqqpqpq
t
q
qqqqppq
bbbaaCbbbaaC
1
112
1
11
1
11
1
211
Thay các số hạng vào (1.7) ta đƣợc phƣơng trình:
t
q
qqqpqpq
t
q
qqqqppq
qppq
qpp
bbbaaCbbbaaC
tFtApp
mc
e
pp
t
tF
i
1
112
1
11
1
11
1
211
21
21
)()()()(
)(
,,
1212
,,
(1.8)
(1.8) là phƣơng trình vi phân không thuần nhất với điều kiện
0)(
,,
21
tF
qpp
Trƣớc hết ta giải phƣơng trình vi phân thuần nhất tƣơng ứng.
t
q
qpp
o
t
q
q
qppq
qpp
dttApp
mc
e
pp
i
tF
dttApp
mc
e
pp
i
F
dttApp
mc
e
pp
i
F
dF
tFtApp
mc
e
pp
t
tF
i
111212
,,
111212
1212
,,
1212
,,
)()()(exp)(
)()()(ln
)()()(
)()()()(
)(
21
21
21
Nghiệm của phƣơng trình vi phân không thuần nhất có dạng:
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2
1 2 1 2 1
11
,
p p q p q p q q p p q p q p q q p q p q q p p q
p p p q p q q p p p q p
a a b a a b b a a b a a b b a a b b a a b
a a a a b b a a a a b
1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1
1
,,
q q p q p p p q q p q p p p q q
p p p q p q p p q q p p p q p q p p q q
b a a a a b b a a a a b b
a a a a b b a a a a b b
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 3 1 1 2 1 1 1 1 1
1
,,
, , ,
p q p p p p p q q p q p p p p p q q
p p q p p q q p p q p p q q p p p q p
a a a a b b a a a a b b
a a b b a a b b a a
21
1 1 2 1 1 1 2
,,
p p p q p q q q q p p p
bb
a a b b a a a
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
9
)(')()().(')().( tFtMtFtM
t
F
tFtMF
ooo
Thay vào phƣơng trình không thuần nhất và giải ra nghiệm ta đƣợc:
211212
,,
2
21
2
11121
2
11211
1
121
)(exp
)(
dtdttApp
mc
ie
tt
i
bbbaabbbaaC
i
tF
t
t
qpp
t
t
qqqqpp
t
qqqpqp
q
qqpp
(1.9)
Thay (1.9) vào (1.6) ta đƣợc:
1 1 1 1 1 1 1
22
1
2
1
2 1 1 2
()
exp ( )
t
p
q q p q p q q q q p p q q q q q
tt
t
p p q q
t
q
q
nt
i
i C C a a b b b a a b b b
t
i ie
t t qA t dt dt
mc
i
C
1 1 1 1 1 1
22
1
2
1
1
2 1 2 1 1 2
exp ( )
t
p p q q q q q p q p q q q q
tt
t
p q p q
t
q p q q
q
a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
i
Ca
1 1 1 1 1
22
2
2 1 1 2
exp ( )
t
p q q q p q p q q q
tt
t
p q p q
t
a b b b a a b b b
i ie
t t qA t dt dt
mc
1 1 1 1 1 1 1
22
1
2
2 1 1 2
exp ( )
t
q p q p q q q q p q q p q q q
tt
q
t
p p q q
t
i
C a a b b b a a b b b
i ie
t t qA t dt dt
mc
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
10
t
t
qpqpqpqqp
t
t
qpqpqqpqp
t
t
qqppqqpqp
t
t
qqppqpqqp
t
q
q
p
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtn
dttAq
mc
ie
tt
i
NtnNtndt
C
t
tn
i
'
11
'
11
'
11
'
11
2
2
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'(
)('exp)1)('()'('
||
1
)(
(1.10)
Thay:
t
cE
t
cE
tA
oo
2
2
2
1
1
1
coscos)(
và áp dụng khai triển:
)exp()()sinexp( izJiz
ta có:
)exp()'exp(
)exp()'exp(
sin'sinsin'sinexp)(exp
22
,
2
2
2
2
1
2
11
,
2
2
1
2
1
1
22
2
2
2
11
2
1
1
'
11
timtif
m
qEe
J
m
qEe
J
tiltis
m
qEe
J
m
qEe
J
tt
m
qEie
tt
m
qEie
dttAq
mc
ie
mf
o
m
o
f
sl
o
s
o
l
oo
t
t
Đặt:
2
2
2
2
2
1
1
1
;
m
Ee
a
m
Ee
a
oo
thì:
)')((exp)()(exp
)(exp
2121
,,,
2211
'
11
ttmsitfmlsi
qaJqaJqaJqaJdttAq
mc
ie
fmsl
fmsl
t
t
Thay kết quả này vào (1.10) và đƣa vào thừa số: e
-δ(t-t’)
(δ→
+
0) ta có:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
11
2
1 1 2 2 1 2
2
, , ,
12
()
1
| | exp ( ) ( )
' ( ') ( ')( 1) exp '
( ')
p
l s m f
q
l s m f
q
t
p q q p q p p q q
p q p
nt
i C J a q J a q J a q J a q i s l m f t
t
i
dt n t N n t N s m i t t
n t N n
12
( ')( 1) exp '
q q p p q q
i
t N s m i t t
12
12
( ') ( ')( 1) exp '
( ') ( ')( 1) exp '
p q p q q p q p q
p q q p q p q p q
i
n t N n t N s m i t t
i
n t N n t N s m i t t
(1.11)
(1.11) là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ
)(
1
tE
và
)(
2
tE
Ta giải (1.11) bằng
phƣơng pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem
p
p
ntn )(
và tính các tích phân sau:
t
qqpp
dtttims
i
K ''exp
211
Với các tích phân K
1
và K
2
đã tính ta đƣợc:
2
1 1 2 2
2
, , ,
12
12
12
1
( ) | |
exp ( ) ( ) '
( ) ( )
( 1) ( 1)
l s m f
pq
l s m f
q
p q p p p q
q q q q
p p q q p p
n t C J a q J a q J a q J a q
i s l m f t
i s l m f
n N n N n N n N
s m i
12
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p p q p q p
q q q q
p q p q p q p q
s m i
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.12)
21
21
212
)()(
')()(exp
'')()(exp
fmlsi
tfmlsi
dttfmlsiK
t
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
12
1.2.2 Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối
Mật độ dòng:
)()()( tntA
c
e
p
m
e
tJ
p
p
hay:
p
p
o
p
pp
p
tnp
m
e
tA
mc
ne
tnp
m
e
tntA
mc
e
tJ )()()()()()(
22
(1.13)
với
o
p
p
ntn
)(
Ta xét số hạng thứ hai:
ims
NnNn
ims
NnNn
ims
NnNn
ims
NnNn
p
fmlsi
tfmlsi
qaJqaJqaJqaJC
m
e
tnp
m
e
qpqp
q
p
q
qp
qpqp
q
qp
q
p
qqpp
q
qp
q
p
qqpp
q
p
q
qp
p
fmsl
fmsl
q
q
p
p
2121
2121
21
21
,,,
2211
2
)1()1(
)1()1(
)()(
')()(exp
||)(
(1.14)
Đặt
:
:
rmrfmlr
ksklslk
ta có:
ims
NnNn
ims
NnNn
ims
NnNn
ims
NnNn
p
rki
trki
qaJqaJqaJqaJC
m
e
tnp
m
e
qpqp
q
p
q
qp
qpqp
q
qp
q
p
qqpp
q
qp
q
p
qqpp
q
p
q
qp
p
fmsl
mrmssk
q
q
p
p
2121
2121
21
21
,,,
2211
2
)1()1(
)1()1(
'exp
||
*
)(
*
(1.15)
Thực hiện các bƣớc chuyển đổi:
mmqq ,
và sử dụng tính chất hàm
Bessel
)()1()()( xJxJxJ
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
13
ims
qaJqaJqaJqaJ
ims
qaJqaJqaJqaJ
NnNnp
ims
qaJqaJqaJqaJ
ims
qaJqaJqaJqaJ
NnNnqp
rki
trki
C
m
e
tnp
m
e
qpqp
rmmsks
qpqp
mrmssk
q
p
q
qp
qpqp
mrmssk
qpqp
rmmsks
q
p
q
qp
p
rmsk
q
q
p
p
21
2211
21
2211
21
2211
21
2211
21
21
,,,
2
)1(
)1(
'exp
||
*
)(
*
(1.16)
ims
qaJqaJ
ims
qaJqaJ
NnNnqaJqaJ
rk
trki
qC
m
e
tnp
m
e
qpqp
mrsk
qpqp
rmks
q
p
q
qp
ms
rmsk
pq
q
p
p
21
21
21
21
21
21
21
,,,
2
,
)1(
'exp
||
*
)(
*
(1.17)
Áp dụng công thức sau:
trkitrktrki )(sin)(cosexp
212121
Và
)(
1
xi
xix
Lƣu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng
)(tJ
, ta có:
21
2121
21
21
2121
21
2121
21
,,,
2
,
)(
)(sin
)(
)(cos
)1(||
*
)(
*
msi
qaJqaJqaJqaJ
rk
trk
i
msrk
trk
qaJqaJqaJqaJ
NnNnqaJqaJqC
m
e
tnp
m
e
qpqp
rmksmrsk
qpqp
rmksmrsk
q
p
q
qp
ms
rmsk
pq
q
p
p
Suy ra:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
14
21
212121
21
21
2121
21
21
,,,
2
,
)(sin
)(cos
)1(
||
*
)(
*
ms
trkqaJqaJqaJqaJ
ms
trk
qaJqaJqaJqaJ
qaJqaJ
rk
NnNn
qC
m
e
tnp
m
e
qpqp
rmksmrsk
qpqp
rmksmrsk
ms
q
p
q
qp
rmsk
pq
q
p
p
(1.18)
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.14) ta thu đƣợc:
21
212121
21
21
2121
21
21
,,,
2
,
2
)(sin
)(cos
)1(
||
*
)()(
ms
trkqaJqaJqaJqaJ
ms
trk
qaJqaJqaJqaJ
qaJqaJ
rk
NnNn
qC
m
e
tA
mc
ne
tJ
qpqp
rmksmrsk
qpqp
rmksmrsk
ms
q
p
q
qp
rmsk
pq
q
o
(1.19)
Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết
12
nhƣ sau:
t
o
o
tEtJ
Ec
2
2
2
2
sin)(
8
(1.20)
Thay (1.19) vào (1.20) ta đƣợc:
t
o
p
p
t
o
o
o
tEtnp
m
e
tEtA
mc
ne
Ec
2
2
2
2
2
2
2
sin)(sin)(
8
(1.21)
Ta tính số hạng thứ nhất.
Với thế vectơ trƣờng sóng điện từ:
t
cE
t
cE
tA
oo
2
2
2
1
1
1
coscos)(
tdtEt
cE
t
cE
Tmc
ne
tEtA
mc
ne
o
T
o
ooo
t
o
o
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
sincoscos
1
sin)(
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
15
Trong đó:
1
1
2
T
và
2
2
2
T
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là
bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
Sử dụng tích phân:
)(2
)cos(
)(2
)cos(
)cos()(sin
ba
xba
ba
xba
dxbxax
với
22
ba
Suy ra:
0sin)(
2
2
2
t
o
o
tEtA
mc
ne
(1.22)
Tính số hạng thứ hai. Ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
trk )(cos
21
sẽ
cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
2
2
2
2
, , ,
,
12
1 2 1 2 1 2
12
( 1)
( ) sin | |
1
sin
p q p
o
o
pq
k s m r
p q p
t
s m k s r m s k m r
p q p q
n N n N
e eE
pn t E t q C
m m k r
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
sm
T
1 2 2
0
( ) sin
T
k r t tdt
Lƣu ý:
221
221
2
0
21
2
0
sin)(sin
rkkhi
T
rkkhi
tdttrk
T
Suy ra:
2
2
2
2
,
,
2
1 2 1 2 1 2
12
( ) sin | | ( 1)
2
o
o
p q p
p q q q
sm
p q p
t
s m k s r m s k m r
p q p q
e eE
pn t E t qC n N n N
mm
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
sm
(1.23)
Với
221
rk
(1.24)
Thay (1.23) vao (1.20) ta đƣợc hệ số hấp thụ:
2
2
12
,
,
22
1 2 1 2 1 2
4
| | ( 1)
p q p
sm
q q q
sm
qp
o
k s r m s k m r
p q p q
e
q C n N n N J a q J a q
c m E
J a q J a q J a q J a q s m
Với
221
rk
Từ biểu thức hàm Bessel:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
16
2
1
1
0
2
11
0
1
1
0
( 1)
()
! ( 1) 2
( 1) ( 1)
! ( 1) 2 ( 1) 2
( 1)
()
2 ( 1)
sk
sk
sk
k
s
aq
J a q
sk
a q a q
s
s s k
aq
s
J a q
sk
Vậy
1 2 1 2
12
0
12
0
( 1) ( 1)
2 2 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
2 2 ( 1) ( 1)
k s r m s k m r
kr
kr
J a q J a q J a q J a q
a q a q
sm
s k m r
a q a q
sm
s k m r
12
12
22
12
0
12
2
( ) ( )
( ) ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( )
kr
sm
kr
kr
sm
J a q J a q
a q a q
a q a q
s m s m
s k m r s k m r
J a q J a q
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết
21 oo
EE
ta cho
r=1;k=0 (thoả mãn giả thiết
221
rk
ta đƣợc:
)()(
)(
2
)()()(
21
2
12121
qaJqaJ
qa
m
qaJqaJqaJ
mssmm
Suy ra:
21
2
2
1
2
,
2
2
2
2
,
22
2
2
)1(||
4
ms
qaJqamJ
qE
m
NnNnCq
Emc
e
qpqp
ms
o
q
p
q
qp
pq
q
o
ms
(1.25)
21
2
2
1
2
2
,
,
2
2
2
)1(||
8
2
ms
qaJqamJNnNnC
Ec
qpqp
q
p
q
qp
pq
q
ms
ms
o
(1.26)
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
17
Viết dãy theo k, l trong công thức (1.26) dễ thấy các thành phần ứng với
0
21
ms
tƣơng hỗ triệt tiêu. Trong trƣờng hợp khi
21
,
lớn so với năng
lƣợng trung bình điện tử (
p
) thì hàm
trong (1.26) đƣợc viết lại là:
21
2
21
2
ms
m
q
ms
qqpqp
Từ đó ta tìm đƣợc thứ tự của
2/1
2,1
k
theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon
p
q
rút ra
2
2,1
ms
p
với s là tốc độ
sóng âm. Nhƣ vậy tổng theo
p
không còn phụ thuộc vào phần đối số của
, ta thực
hiện lấy tổng
o
p
p
ntn
)(
.
Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có:
o
q
và
oo
o
q
q
C
11
2
2
2
và
o
B
Tk
NN
1
Từ (1.26) ta đƣợc:
212
2
1
2
,
2
2
2
23
21
2
2
1
2
,
2
2
2
2
111
16
111
2
8
2
msqaJqamJ
q
Ec
Tnke
ms
qaJqamJnn
q
Tk
Ec
qpqp
q
ms
o
o
oB
qpqp
q
ms
pqp
o
B
oo
o
ms
o
ms
o
(1.27)
Áp dụng gần đúng:
p
2,1
, ta có:
21
2
2
2
1
2
,
2
2
2
23
2
111
16
ms
m
q
qaJqamJ
q
Ec
Tnke
o
q
ms
o
o
oB
ms
o
(1.28)
Xét trƣờng hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu
2
(m=1) và hạn chế gần
đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
18
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
1
2
1
2
8
1
2)!1(!2
)1(
2
)(
qaqa
qamJ
xx
kk
xx
xJ
m
m
k
k
kk
Thay vào (1.28) ta đƣợc:
21
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
2
23
22
1
2
111
16
ms
m
q
qaJ
qaqa
q
Ec
Tnke
o
pq
s
o
o
oB
s
o
(1.29)
chỉ tồn tại các giá trị
q
và s thoả mãn:
0
2
21
2
ms
m
q
o
suy ra:
2
1
221
122
o
o
s
mmsmq
Và lƣu ý:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
1
1cos
2
1
2 m
qEe
m
qEe
qaqa
qamJ
oo
m
m
Vậy:
2
32
22
2
2
2
2
1
22
2
24
2
2
2
1
12
2
16
11
2
21
1
cos cos
22
2 1 cos
o
s
B o o
o
o
o
o
s
o
e k Tn eE
m
cE
s
eE m
m
s
J a m
(1.30)
Đặt:
2
1
;
2
2 m
suy ra:
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
19
cos1
cos
4
1
2
1
cos
11
4
2
1
2
4
3
2
2
22
2
322
43
2
2
o
o
s
o
o
oB
aJ
m
sEe
mc
Tnke
s
o
(1.31)
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
dyy
m
qeE
J
m
qEe
J
o
mm
1
0
2
2
2
2
Vậy hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối là:
dyysaJ
m
sEe
dyysaJ
m
sEe
mc
Tnke
o
s
o
o
s
o
o
o
oB
s
o
s
o
1
0
2
1
2
4
3
2
2
22
2
1
0
2
1
2
4
3
2
2
22
2
322
43
1
cos
4
1
cos1
cos
4
1
cos
11
4
2
2
2
(1.32)
Biểu thức (1.32) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn
khối. Kết quả này sẽ đƣợc sử dụng để so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần đƣợc nghiên cứu trong các chƣơng
tiếp theo.
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
20
CHƢƠNG 2:
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CHO HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN KHI CÓ MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ LASER
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần
Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lƣợng tử hoá. Gọi z
là trục lƣợng tử hoá. Hamiltonian tƣơng tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng
hợp phần có dạng:
O
H H U
(2.1)
,,
,
()
q
n p n p q q
n p q
e
H p A t a a b b
On
c
'
'
,
,
'
,
,,
( ) ( )
np
n p q
z
q q q
nn
q
n n p
U C I q a a b b
Với:
,nk
a
,
,nk
a
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái
,np
.
q
b
,
q
b
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
p
: Xung lƣợng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu
mạng hợp phần.
q
: Tần số của phonon quang.
()At
: Thế vectơ của trƣờng điện từ trong trƣờng hợp tồn tại hai sóng điện từ
1
()Et
và
2
()Et
.
1 2 01 02
12
1 ( )
( ) ( ) ( ) sin sin
At
E t E t E t E t E t
ct
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Nguyễn Thị Tuyết Mai
Lớp CH 2009 - 2011 Vật lý
21
thì :
01 02
12
12
( ) os os
E c E c
A t c t c t
',
.
,
0
( ) ( ) ( )
z
Nd
iq z
zn
n n n
I q z z e dz
: Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng
hợp phần.
,np
: Năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng phợp phần.
2
0
22
0
2 1 1
()
q
zO
e
C
q q V
: Hằng số tƣơng tác điện tử-phonon cho
trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang.
Trong đó:
O
V
: Thể tích chuẩn hóa (chọn
1
O
V
)
: Hằng số điện.
: Độ điện thẩm cao tần
0
: Độ điện thẩm tĩnh.
Gọi
, , ,
()
n p n p n p
t
n t a a
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
,
,,
()
,
np
n p n p
t
nt
i a a H
t
(2.2)
Số hạng thứ nhất:
' ' '
''
,,
'
'
'
,,
,
1 , ( )
n p n p
n
n p n p
np
t
e
sh a a p A t a a
c
Ta có:
' ' '
''
'
'
'
,,
,,
,
, ( )
n p n p
n
n p n p
np
e
a a p A t a a
c
' ' '
''
'
,,
,,
( ) ,
n p n p
n
n p n p
e
p A t a a a a
c
