Khối lượng neutrino trong mô hình 331 với neutrino phân cực phải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Nguyễn Thị Phương


KHỐI LƯỢNG NEUTRINO TRONG MÔ HÌNH
331 VỚI NEUTRINO PHÂN CỰC PHẢI





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC











Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




Nguyễn Thị Phương


KHỐI LƯỢNG NEUTRINO TRONG MÔ HÌNH
331 VỚI NEUTRINO PHÂN CỰC PHẢI




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01



Cán bộ hướng dẫn: TS. Phùng Văn Đồng

Hà Nội - 2011

Mục lục
Mở đầu 3
1 Giới thiệu 5
1.1 Mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Khối lượng neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Số thế hệ fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Các mô hình 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Mô hình 331 với neutrino phân cực phải 15
2.1 Sắp xếp các hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Các boson chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Tương tác Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Sự vi phạm số lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Khối lượng neutrino 26
3.1 Cơ chế seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Khối lượng neutrino trong mô hình 331 . . . . . . . . . . 27
4 Thế Higgs 30
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
2
Mở đầu
Vật lý hạt cơ bản dựa trên mô hình chuẩn của các tương tác điện từ,
yếu và mạnh. Mô hình đã thể hiện tính đúng đắn thông qua các thực
nghiệm trong vòng bốn mươi năm qua. Mặc dù mô hình đã đạt được
nhiều thành công, nhưng cũng tồn tại một số câu hỏi của tự nhiên chưa
giải đáp được. Ví dụ: trong mô hình chuẩn, neutrino có khối lượng bằng
không và không trộn lẫn, nhưng thực nghiệm mười năm qua đã chứng
nhận neutrino có khối lượng nhỏ và dao động. Hay mô hình chuẩn không

thể giải thích được tại sao lại có ba thế hệ fermion trong tự nhiên, tại
sao các điện tích quan sát được lại có giá trị bằng bội nguyên lần điện
tích nguyên tố. Bên dưới, chúng tôi sẽ điểm qua mô hình chuẩn và trình
bày chi tiết về một số khó khăn trên, đồng thời đề cập đến một hướng
phát triển mới mà luận văn nhằm mục đích nghiên cứu.
Mục tiêu của luận văn là trình bày tổng quan về mô hình chuẩn và
vật lý neutrino. Trên cơ sở đó chỉ ra một số nhược điểm của mô hình
chuẩn và một trong những nhược điểm lớn của mô hình chuẩn là neutrino
không có khối lượng. Giới thiệu về mô hình 331 với neutrino phân cực
phải, xác định số lepton và giải thích về sự vi phạm số lepton, tại sao
neutrino không thể nhận khối lượng phù hợp. Giải thích cơ chế seesaw,
đưa lục tuyến Higgs vào mô hình xác định khối lượng neutrino. Viết thế
Higgs và giải thích tính tự nhiên nhỏ của tham số vi phạm số lepton.
Luận văn ngoài lời cảm ơn, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo,
được chia làm bốn chương:
3
Chương 1: Giới thiệu
Trình bầy tổng quan về mô hình chuẩn và vật lý neutrino. Trình bầy
các tương tác chính : Tương tác điện từ , tương tác yếu và tương tác
mạnh của các hạt trong mô hình chuẩn. Trên cơ sở đó, chỉ ra được cách
khớp thực nghiệm của các tham số trong phần tương tác điện yếu của
mô hình. Đồng thời chỉ ra một số nhược điểm của mô hình chuẩn. Một
trong những nhược điểm lớn của mô hình chuẩn là neutrino không có
khối lượng.
Chương 2: Mô hình 331 với neutrino phân cực phải
Trình bầy về mô hình 331 phân cực phải. Trong mô hình này đã giải
quyết được một số vấn đề khó khăn của mô hình chuẩn,. Tuy nhiên, phổ
khối lượng của neutrino tiên đoán bởi mô hình là không phù hợp với
khối lượng của thực nghiệm tiên đoán.
Chương 3: Khối lượng neutrino

Trình bầy cách khắc phục các khó khăn gặp phải của phổ khối lượng
của neutrino trong mô hình 331 phân cực phải bằng cách đưa thêm vào
lục tuyến S. Từ đó chỉ ra điều kiện để ma trận khối lượng trộn của
các neutrino phân cực trái và neutrino phân cực phải thỏa mãn cơ chế
See-saw.
Chương 4: Thế Higgs
Viết thế Higgs và xét cực tiểu thế của trị trung bình chân không để
tìm ra hệ thức của các trị trung bình chân không, đánh giá điều kiện cực
tiểu thế là phù hợp để ma trận khối lượng trộn có dạng ma trận khối
lượng trộn của cơ chế Seesaw.
4
Chương 1
Giới thiệu
1.1 Mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn [1] gồm hai phần là mẫu Weinberg-Salam và sắc động
lực lượng tử. Mẫu Weinberg-Salam mô tả tương tác điện từ và tương tác
yếu, trong khi đó sắc động lực lượng tử mô tả tương tác mạnh.
Lý thuyết điện yếu, gọi là mẫu Weinberg- Salam, chứa các boson
chuẩn W
i
µ
(i = 1, 2, 3) và B
µ
tương ứng với các nhóm đối xứng chuẩn
SU(2)
L
và U(1)
Y
. Gọi các hằng số tương tác tương ứng là g và g


. Các
trường fermion (gồm lepton và quark) phân cực trái biến đổi như những
lưỡng tuyến dưới nhóm SU(2)
L
: ψ
L
= (ν
a
, l
a
)
T
L
và (u
a
, d
a
)
T
L
. Các trường
phân cực phải ψ
R
biến đổi như đơn tuyến dưới nhóm này. Trong mô
hình chuẩn có ba thế hệ fermion và một lưỡng tuyến vô hướng Higgs
φ = (φ
+
, φ
0
)

T
. Siêu tích yếu được xác định bởi Q = T
3
+ Y , trong đó Q
là toán tử điện tích và T
3
là vi tử của SU(2).
Sau phá vỡ đối xứng tự phát Lagrangian cho các trường fermion ψ
a
5
có dạng:
L
F
=

a
¯
ψ
a
(i∂ − m
a
−
gm
a
2m
W
H)ψ
a
+
g

2
√
2

a
¯
ψ
a
γ
µ
(1 − γ
5
)(T
+
W
+
µ
+ T
−
W
−
µ
)ψ
a
+ e

a
q
a
¯

ψ
a
γ
µ
ψ
a
A
µ
+
g
2cosθ
µ

a
¯
ψ
a
γ
µ
(g
a
V
− g
a
A
γ
5
)ψ
a
Z

µ
(1.1)
Ở đây θ
W
= arctan(
g

g
) là góc trộn Weinberg, e = gsinθ
W
là điện tích
positron và A = W
3
sinθ
W
+ Bcosθ
W
là trường photon có khối lượng
bằng không. W
+
= (W
1
− iW
2
)/
√
2, W
−
= (W
1

+ iW
2
)/
√
2 và Z =
W
3
cosθ
W
−Bsinθ
W
là các boson chuẩn mang điện và trung hòa của các
tương tác yếu tương ứng. T
+
, T
−
là toán tử nâng hạ isospin. Các hằng
số tương tác dạng vector và dạng trục được cho bởi
g
a
V
= t
3L
(a) − 2q
a
sin
2
θ
W
g

a
A
= t
3L
(a),
(1.2)
trong đó t
3L
(a) là isospin yếu của fermion a (bằng
1
2
cho u
a
và ν
a
;
−1
2
cho
d
a
và l
a
), q
a
là điện tích của ψ
a
theo đơn vị e. Trong Lagrangian trên
m
a

là khối lượng của fermion ψ
a
. Neutrino có khối lượng bằng không
vì hạt này không có thành phần phân cực phải. H là trường vô hướng
trung hòa và là hạt vật lý sau phá vỡ đối xứng tự phát. Số hạng thứ 2
trong L
F
mô tả tương tác yếu dòng mang điện. Ví dụ tương tác của W
với electron và neutrino là
g
2
√
2
[¯eγ
µ
(1 − γ
5
)νW
−
µ
+ ¯νγ
µ
(1 − γ
5
)eW
+
µ
] (1.3)
Nếu xung lượng nhỏ so với khối lượng m
W

, số hạng này cho tương tác
bốn fermion với hằng số tương tác thỏa mãn:
G
F
√
2
=
g
2
8m
2
W
6
Số hạng thứ 3 trong L
F
mô tả tương tác điện từ và số hạng cuối cùng
là tương tác yếu, dòng trung hòa.
Mẫu Weinberg - Salam có 3 tham số (bỏ qua khối lượng Higgs, khối
lượng fermion và các góc trộn). Các tham số được chọn là
1. Hằng số cấu trúc tinh tế α = 1/137.03599911, được xác định từ
momen từ dị thường của e hoặc từ hiệu ứng Hall lượng tử.
2. Hằng số fermion G
F
= 1.16637(1).10
−5
GeV
−2
xác định từ công
thức thời gian sống của muon:
T

−1
µ
=
G
2
F
m
5
µ
192π
3
F (
m
2
e
m
2
µ
)(1 +
3m
2
µ
5m
2
W
)[1 + (
25
8
−
π

2
2
)
α(m
µ
)
π
+
α
2
(m
µ
)
π
2
],
(1.4)
trong đó
F (x) = 1 − 8(x) + 8x
3
− x
4
− 12x
2
lnx,
C
2
=
156815
5184

−
518
81
π
2
−
895
36
ζ(3) +
67
720
π
4
+
53
6
π
2
ln(2),
α(m
µ
)
−1
= α
−1
−
2
3π
ln(
m

µ
m
e
) +
1
6π
≈ 136.
3. Khối lượng boson chuẩn Z , m
Z
= 91.1876±0.0021GeV có thể được
xác định từ quét phổ đường đi của hạt Z tại máy gia tốc LEP 1 ở
Thụy Sỹ.
Với những tham số này, sin
2
θ
W
và khối lượng boson chuẩn W, m
W
, có
thể được tính nếu giá trị của khối lượng top-quark và vô hướng Higgs
được cho.
Lý thuyết sắc động lực lượng tử dựa trên nhóm SU(3)
C
mô tả tương
tác giữa những hạt mang màu tích. Các quark có 3 màu, gluon có 8 màu
là hạt truyền tương tác giữa các quark, các hadron không có màu là tổ
hợp các quark, phản quark và gluon. Lagrangian mô tả tương tác giữa
7
quark và gluon có dạng:
L

QCD
=
−1
4
F
i
µν
F
iµν
+

q
[
¯
ψ
ρ
q
iγ
µ
(D
µ
)
ρσ
ψ
σ
q
− m
q
¯
ψ

ρ
q
ψ
qρ
] (1.5)
F
i
µν
≡ ∂
µ
A
i
ν
− ∂
ν
A
i
µ
+ g
s
f
ijk
A
i
µ
A
k
ν
,
(D

µ
)
ρσ
≡ δ
ρσ
∂
µ
− ig
s
λ
i
ρσ
2
A
i
µ
,
trong đó g
s
là hằng số tương tác mạnh và f
ijk
là hằng số cấu trúc của
SU(3). ψ
ρ
q
là trường quark với màu ρ và vị q. A
i
µ
(i = 1, 2, 3, , 8) là các
trường gluon Yang-Mills.

Nguyên lý tiệm cận tự do xác định rằng hằng số tương tác mạnh đã
tái chuẩn hóa chỉ nhỏ ở các năng lượng cao và trong miền này các tính
toán chính xác tương tự như trong lý thuyết điện yếu có thể được sử
dụng như lý thuyết nhiễu loạn. Ở thang năng lượng thấp như tương tác
hạt nhân, hằng số tương tác mạnh trở lên rất lớn và lý thuyết nhiễu
loạn không thể làm việc được. Cũng chính vì lý do này chúng ta không
thể kéo các quark ra khỏi túi của nó là các hadron. Trong những năm
gần đây đã có nhiều tiếp cận để hiểu và phân tích các dự đoán của sắc
động lực lượng tử trong miền không nhiều loạn. Ví dụ như các quá trình
Hadron mềm và các lý thuyết mạng.
Tại các khoảng cách ngắn nghĩa là xung lượng chuyển lớn sự phụ
thuộc của thang tái chuẩn hóa theo hằng số tương tác mạnh α
s
= g
2
s
/4π
được xác định theo hàm β:
µ
∂α
s
∂µ
= 2β(α
s
) = −
β
0
2π
α
2

s
−
β
1
4π
2
α
3
s
−
β
2
64π
3
α
4
s
−
β
0
= 11 −
2
3
n
f
;
β
1
= 51 −
19

3
n
f
;
β
2
= 2857 −
5033
9
n
f
+
325
27
n
2
f
,
8
trong đó n
f
là các vị quark với khối lượng nhỏ hơn thang năng lượng
µ. Để giải phương trình vi phân này cho α
s
, một hằng số tích phân có
thể được đưa vào, hằng số này là một hằng số cơ bản của sắc động lực
lượng tử được xác định từ thực nghiệm. Cách chọn của hằng số này là
giá trị của α
s
tại một thang năng lượng cố định µ

0
. Người ta thường
chọn µ
0
= µ(m
Z
), các giá trị khác của µ có thể được xác định từ:
ln(µ
2
/µ
2
0
) =

α
s
(µ)
α
s
(µ
0
)
dα
β(α)
.
Chúng ta cũng đưa vào tham số khối lượng Λ, vì tham số này cung cấp
mối liên hệ giữa µ và α
s
. Về nguyên tắc Λ là tham số bất kì, một cách
để xác định nó là viết nghiệm theo lũy thừa ln(µ

2
):
α
s
(µ) =
4π
β
0
ln(µ
2
/Λ
2
)
[1 −
2β
1
ln[ln(µ
2
/Λ
2
)]
β
2
0
ln(µ
2
/Λ
2
)
+

4β
2
1
β
4
0
ln
2
(µ
2
/Λ
2
)
.[(ln[ln(µ
2
/Λ
2
)] −
1
2
)
2
+
β
0
β
2
8β
2
1

−
5
4
]].
(1.6)
Nếu số vị quark (n
f
) nhỏ hơn hoặc bằng 16, mô hình chuẩn có n
f
= 6,
nghiệm này minh họa tiệm cận tự do. Thực vậy α
s
tiến tới 0 khi µ tiến
tới vô cùng và chỉ ra rằng sắc động lực lượng tử trở nên tương tác rất
mạnh khi µ cỡ Λ.
Để thuận tiện, chúng tôi lưu ý rằng mô hình chuẩn SU(3) ⊗SU(2) ⊗
U(1) mở rộng thành mô hình 331 với đối xứng chuẩn SU(3) ⊗SU(3) ⊗
U(1) thì nguyên lý tiệm cận tự do yêu cầu số thế hệ fermion nhỏ hơn
hoặc bằng: [(33/2)/3]= 5.
1.2 Khối lượng neutrino
Tháng 6 năm 1998 vật lý neutrino trải qua một cuộc thay đổi cách
mạng khi nhóm cộng tác tại Super-Kamioka tuyên bố khám phá về các
dao động của các neutrino tia vũ trụ khi chúng di chuyển từ khí quyển
9
trái đất đến detector đặt trong mỏ Kamioka, Japan. Dấu hiệu về các dao
động như vậy trong các thực nghiệm sớm hơn từ các neutrino mặt trời
và khí quyển được xác nhận [2]. Những khám phá về dao động neutrino
đã đặt neutrino khối lượng như là một trong những cánh cửa của vật lý
ngoài mô hình chuẩn.
Mỗi neutrino có một thế hệ sở hữu của nó cùng với các quark và

lepton. Từ các thí nghiệm khác nhau người ta biết rằng nếu neutrino
có khối lượng thì khối lượng này sẽ rất nhỏ hơn khối của các hạt thông
thường như quark và lepton mang điện: m
ν
≤ 1 eV. Bây giờ ta biết rằng
rất nhiều các quan sát thực nghiệm khác nhau về dao động neutrino đã
được thực hiện. Rất gần đây hiện tượng dao động neutrino đã được quan
sát sử dụng các neutrino được tạo ra trên mặt đất. Ví dụ, các neutrino
electron trong thực nghiệm Kamland được sinh ra trong lò phản ứng,
hay các neutrino muon trong các thực nghiệm KEK được sinh ra từ máy
gia tốc. Các bằng chứng thực nghiệm về dao động neutrino cho chúng
ta hai tham số: hiệu khối lượng bình phương ∆m
2
và góc trộn θ.
Từ các dữ liệu thực nghiệm về các neutrino khí quyển người ta thấy
mẫu dao động phù hợp nhất là sự chuyển hóa neutrino muon thành
neutrino tau. Tham số số lượng và góc trộn được xác định như sau [1]:
∆m
2
atm
 (1.5 − 3) × 10
−3
eV
2
,
sin
2
2θ  0.9 −1. (1.7)
Bằng chứng thứ hai về dao động neutrino đến từ các thực nghiệm quan
sát về sự thiếu hụt trong dòng neutrino mặt trời khi so sánh với các dự

đoán từ mẫu mặt trời chuẩn. Phân tích chung về tất cả các dữ liệu mặt
trời bộc lộ sự trộn lớn giữa các neutrino [1]:
∆m
2
sol
 (4.7 − 15).10
−5
eV
2
,
sin
2
2θ  0.64 −0.94. (1.8)
10
Dữ liệu thực nghiệm tìm kiếm sự suy yếu của dòng sinh ra từ lò phản ứng
với trên khoảng cách trung bình khoảng 200 km. Thực nghiệm này cung
cấp bằng chứng về dao động của neutrino electron ν
e
ứng với hiệu khối
lượng bình phương cùng cỡ như các thực nghiệm mặt trời. Thực nghiệm
này cung cấp bằng chứng cho góc trộn lớn. Tương tự, thực nghiệm tại
K2K sử dụng chùm neutrino muon sinh ra từ máy gia tốc với năng lượng
cỡ bậc GeV cũng cho bằng chứng về sự suy yếu của dòng neutrino đã
được đề xuất bởi các thực nghiệm quan sát về sự thiếu hụt trong dòng
neutrino khí quyển. Số liệu thống kê trong những thực nghiệm này có
hạn chế tuy nhiên chúng cung cấp bằng chứng cho dao động neutrino
muon thành neutrino tau.
1.3 Số thế hệ fermion
Trong mô hình chuẩn các fermion được sắp xếp theo từng thế hệ. Khi
xây dựng lý thuyết chúng ta chỉ cần làm với một thế hệ. Các thế hệ

khác được thực hiện tương tự. Một trong những kết quả thực nghiệm
quan trọng gần đây là xác định số thế hệ trong mô hình chuẩn. Số thế
hệ fermion bằng số kiểu neutrino khác nhau và do đó có thể tính từ bề
rộng phân rã của Z
0
:
Γ
inv
= Γ
Z
0
− (Γ
h
+

l
Γ
l
).
Ta đã ký hiệu là bề rộng phân rã toàn phần, chỉ số h là hadron, và
Γ
l
(l = e, µ, τ) là bề rộng phân rã của Z
0
thành l
¯
l. Nếu Γ
ν
là dự đoán
của mô hình chuẩn cho bề rộng phân rã của Z

0
thành một neutrino thì
số thế hệ sẽ là N
gen
= N
ν
= Γ
inv
/Γ
ν
. Các thực nghiệm gần đây cho một
giá trị xấp xỉ 3: N
gen
= 2.99 ± 0.03. Tuy vậy, chúng ta không hiểu tại
sao số thế hệ fermion trong mô hình chuẩn bằng 3.
Một cách rất thú vị để giải quyết vấn đề thế hệ là thông qua việc khử
11
các dị thường chiral trong một lý thuyết đối xứng chuẩn dưới yêu cầu
của tính tái chuẩn hóa [3]. Khử dị thường sẽ cho dàng buộc lên nội dung
biểu diễn fermion. Điều kiện khử dị thường tổng quát là:
A
ijk
= T r[{T
i
, T
j
}T
k
]
=


representations
T r[{T
i
L
, T
j
L
}T
k
L
− {T
i
R
, T
j
R
}T
k
R
] = 0. (1.9)
Ta ký hiệu T
i
là biểu diễn của đại số đối xứng chuẩn trong cơ sở ψ
bao gồm tất cả các trường fermion và anti-fermion phân cực trái. "Tr"
là tổng theo các fermion và các anti-fermion thành phần. T
i
L,R
là các
ma trận biểu diễn với các đa tuyến fermion trong dòng vector J

i
µ
=
¯
ψ
L
γ
µ
T
i
L
ψ
L
+
¯
ψ
R
γ
µ
T
i
L
ψ
R
. Chỉ số i chạy trên các giá trị i = 1, 2, , n
2
− 1
với n là chiều của nhóm đơn SU(n) hạng n − 1; i = 0 cho trường hợp
với nhóm Abelian [4]. Chúng ta đã biết các dị thường trong mô hình
chuẩn được khử trong mỗi thế hệ fermion riêng biệt, không cần đến hai

hay nhiều thế hệ. Vấn đề thế hệ và các điều kiện khử dị thường không
có bất cứ mối liên hệ nào trong mô hình chuẩn.
Để giải quyết những khó khăn của mô hình chuẩn trong việc giải
quyết bài toán thế hệ chúng ta hãy nhúng đối xứng mô hình chuẩn vào
nhóm SU(3)
C
⊗ SU(3)
L
⊗ U(1)
X
(331) [5, 6, 7] với sự mở rộng tương
ứng của các biểu diễn quark và lepton. Ta có thể chứng tỏ rằng để khử
các dị thường thì số thế hệ phải bằng bội nguyên lần số mầu. Mặt khác
nguyên lý tiệm cận tự do yêu cầu rằng số thế hệ quark phải nhỏ hơn
hoặc bằng 5. Chúng ta suy ra số thế hệ fermion bằng 3. Các mô hình
331 như vậy cung cấp một bước cơ sở trong việc đi tìm lời giải cho bài
toán thế hệ fermion. Đặt một thế hệ quark biến đổi khác so với các thế
hệ còn lại phá vỡ cấu trúc lặp trong mô hình chuẩn. Điều này có thể giải
thích tại sao top quark rất nặng so với dự đoán của mô hình chuẩn.
12
1.4 Các mô hình 331
Mô hình ba thế hệ đầu tiên được đề xuất bởi F.Pisano, V.Pleitez và
P.H.Framton. Ý tưởng là thống nhất lưỡng tuyến (ν
a
, l
a
)
T
L
và đơn tuyến

lepton l
c
aL
của mô hình chuẩn thành tam tuyến (ν
a
, l
a
, l
c
a
)
T
L
của SU(3)
L
trong mô hình mở rộng. Trong đó C, T và L tương ứng là ma trận liên
hợp điện tích, lấy chuyển vị và ký hiệu thành phần phân cực trái. Điều
kiện khử dị thường yêu cầu các quark phân cực trái trong một thế hệ
biến đổi như tam tuyến Q
3
= (u
3
, d
3
, T )
T
L
còn trong hai thế hệ còn lại
như các phản tam tuyến Q
α

= (d
α
, −u
α
, D
α
)
T
L
của nhóm SU(3)
L
. Các
quark phân cực phải của cả ba thế hệ là các đơn nhóm này. U, D
α
là
các quark ngoại lai. Mô hình được gọi là mô hình 331 tối thiểu.
Mô hình ba thế hệ thứ hai được khám phá bởi R.Foot, H.N.Long và
Tuan A.Tran. Ý tưởng là thay đơn tuyến SU(2)
L
trong tam tuyến lepton
của mô hình 331 tối thiểu bởi neutrino phân cực phải ν
aR
. Tam tuyến
lepton thu được là (ν
a
, l
a
, ν
c
a

)
T
L
. Trong trường hợp này, l
c
aL
biến đổi như
đơn tuyến của SU(3)
L
. Khử dị thường yêu cầu các biểu diễn quark giống
như trong mô hình tối thiểu. Tuy nhiên mô hình thu được là hoàn toàn
khác vì: Các quark ngoại lai U và D
α
nhận các điện tích giống các quark
thông thường q
U
= 2/3 và q
D
α
= −1/3; Mô hình chỉ yêu cầu ba tam
tuyến Higgs để phá vỡ đối xứng nhóm SU(3)
L
⊗U(1)
X
về nhóm U(1)
Q
trong khi đó mô hình tối thiểu cần thêm một lục tuyến Higgs. Mô hình
mới này gọi là mô hình 331 với neutrino phân cực phải.
Mở rộng SU(2)
L

thành SU(3)
L
như vậy chúng ta đã mô tả một sự mở
rộng đơn giản nhất của đối xứng mô hình chuẩn khi giải quyết vấn đề
thế hệ. Biểu diễn chính quy của SU(3)
L
có thể được tách thành 8=3+ (2
+ 2) +1 theo nhóm SU(2)
L
. Mô hình 331 có thêm 5 boson chuẩn so với
mô hình chuẩn: một hạt Z

và hai lưỡng tuyến(X, Y )
T
và (X
†
, Y
†
) là các
boson chuẩn mới. Theo các tam tuyến lepton thì số lepton không giao
13
hoán với đối xứng chuẩn, vậy các quark ngoại lai U, D
α
và các boson
chuẩn non-Hermitian X, Y mang số lepton 2. Số baryon được bảo toàn.
Đây là các mô hình vật lý đầu tiên cho phát sinh tự nhiên các tương tác
vi phạm số lepton. Dưới áp lực mạnh mẽ của lý thuyết và thực nghiệm
(dao động neutrino, vật chất tối, ), đã xuất hiện thêm nhiều mô hình
331 được sửa đổi từ hai mô hình trên. Tuy nhiên, có một sự mở rộng
hoàn toàn khác là siêu đối xứng hóa mô hình 331.

Nhiều đặc tính lý thú của các mô hình 331 đang được nghiên cứu,
như sự lượng tử hóa, sự dao động neutrino, Ngoài ra, các mô hình 331
còn cho ta câu trả lời về sự khác biệt của thế hệ quark thứ ba và vật lý
mới ở thang năng lượng không quá cao cỡ TeV. Vì vậy các tiên đoán của
chúng sẽ được kiểm chứng trong các máy gia tốc thế hệ mới sắp hoạt
động.
Trong luận văn này chúng tôi xem xét vấn đề khối lượng neutrino và
nguồn gốc của vi phạm số lepton trong mô hình 331 với neutrino phân
cực phải. Để thu được các khối lượng neutrino nhỏ chúng tôi đưa một
lục tuyến vô hướng vào mô hình. Để giải thích tại sao cơ chế seesaw làm
việc tốt chúng tôi xét thế Higgs. Từ điều kiện cực tiểu thế chúng tôi thu
được các tham số vi phạm số lepton nhỏ tự nhiên.
Ngoài lời cảm ơn và phần mở đầu, các nội dung còn lại của luận
văn được sắp xếp như sau : Chương 2 giới thiệu về mô hình 331 với
neutrino phân cựu phải, xác định số lepton và giải thích về sự vi phạm
số lepton, tại sao neutrino không thể nhận khối lượng phù hợp. Chương
3 giải thích cơ chế seesaw, đưa lục tuyến Higgs vào mô hình xác định
khối lượng neutrino. Chương 4 viết thế Higgs và giải thích tính tự nhiên
nhỏ của tham số vi phạm số lepton. Tiếp theo là kết luận của luận văn
và danh mục các tài liệu tham khảo.
14
Chương 2
Mô hình 331 với neutrino phân cực
phải
2.1 Sắp xếp các hạt
Mô hình dựa tên nhóm đối xứng chuẩn: SU(3)
C
⊗ SU(3)
L
⊗ U(1)

X
.
Trong mô hình các lepton được sắp xếp vào các tam tuyến, thành phần
thứ 3 là các neutrino phân cực phải.
f
a
L
=




ν
a
L
l
a
L
(ν
c
R
)
a




∼

1, 3,

−1
3

, (2.1)
l
a
R
∼ (1, 1, −1) ,
trong đó a= 1, 2, 3 là các chỉ số thế hệ. Hai thế hệ đầu của quark được
sắp xếp trong các phản tam tuyến, còn thế hệ thứ 3 là tam tuyến (đây
là hệ quả từ việc khử dị thường):
Q
αL
=




d
αL
−u
αL
D
αL




∼ (3, 3
∗

, 0) , (2.2)
u
αR
∼ (3, 1, 2/3) ,
d
αR
∼ (3, 1, −1/3) ,
15
D
αR
∼ (3, 1, −1/3) , α = 1, 2,
Q
3L
=




u
3L
d
3L
U
L




∼


3, 3,
1
3

, (2.3)
u
3R
∼ (3, 1, 2/3) ,
d
3R
∼ (3, 1, −1/3) ,
U
R
∼ (3, 1, 2/3) ,
trong đó U và D là các quark ngoại lai có điện tích tương ứng là
2
3
và
−1
3
.
Vì bảo toàn điện tích, toán tử điện tích phải có dạng chéo. Nghĩa là
Q = αλ
3
+ βλ
8
+ X. (2.4)
Phương trình trị riêng của toán tử điện tích:
Qf
a

L
= q
a
L
f
a
L
. (2.5)
Với tam tuyến f
a
L
, ta thu được
Qf
a
L
=




0 0 0
0 −1 0
0 0 0




f
a
L

. (2.6)
Ta có











α +
β
√
3
+ X = 0
−α +
β
√
3
+ X = −1
−2
β
√
3
+ X = 0
16
⇔












α =
1
2
β = −
1
2
√
3
X =
T rQ
3
Công thức toán tử điện tích có dạng:
Q =
λ
3
2
−
λ
8

2
√
3
+ X
= T
3
−
T
8
√
3
+ X. (2.7)
Trong đó X là tích của U(1)
X
, T
3
và T
8
là tích của nhóm SU(3)
L
.
Sự phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3)
C
⊗SU(3)
L
⊗U(1)
X
qua hai giai
đoạn: Giai đoạn thứ nhất, được thực hiện bởi tam tuyến Higgs vô hướng
χ, có dạng

χ =




χ
0
χ
−
χ
0




∼

1, 3,
−1
3

. (2.8)
với giá trị kỳ vọng chân không được chọn là
< χ >=
1
√
2





0
0
ω




. (2.9)
Giai đoạn thứ hai, được thực hiện bởi tam tuyến Higgs vô hướng ρ, η,
có dạng:
ρ =




ρ
+
ρ
0
ρ
+




∼

1, 3,
2

3

, (2.10)
η =




η
0
η
−
η
0




∼

1, 3,
−1
3

, (2.11)
17
với các kỳ vọng chân không được chọn
< ρ >=
1
√

2




0
u
0




,
< η >=
1
√
2




v
0
0




. (2.12)
Sơ đồ phá vỡ đối xứng như sau

SU(3)
C
⊗ SU(3)
L
⊗ U(1)
X



<χ>
SU(3)
C
⊗ SU(2)
L
⊗ U(1)
Y



<ρ>,<η>
SU(3)
C
⊗ U(1)
Q
(2.13)
Chúng ta biết rằng các quark U, D và các trường chuẩn mới phải rất
nặng so với hạt truyền tương tác trong mô hình chuẩn. Nghĩa là
ω  v, u. (2.14)
2.2 Các boson chuẩn
Trong mô hình chuẩn tất cả tương tác chuẩn đều truyền bằng các hạt

có spin s=1. Có tám hạt gluon g
α
không có khối lượng, không có điện
tích, nhưng lại có mầu tích nên tự tương tác mạnh. Hai hạt tích điện
W
+
, W
−
và 1 hạt trung hòa điện Z
0
có khối lượng truyền tương tác yếu;
và photon không có khối lượng, trung hòa điện truyền tương tác điện
từ. Các boson truyền tương yếu phải có khối lượng, bởi vì bán kính tác
dụng của lực yếu rất ngắn. Như vậy trong đa tuyến của các boson truyền
tương tác, các thành phần sẽ có khối lượng khác nhau; đối xứng chuẩn
bị vi phạm tự phát.
18
Ngoài các boson chuẩn trong mô hình chuẩn, trong mô hình 331 còn
tồn tại 5 boson chuẩn mới. Gọi W
a
µ
, B
µ
lần lượt là các trường chuẩn
của nhóm SU(3)
L
, U(1)
X
, g và g
X

là các hằng số tương tác chuẩn tương
ứng. Ta có W của các mẫu chuẩn và X, Y là các boson chuẩn mới:
√
2W
+
µ
= W
1
µ
− iW
2
µ
,
√
2Y
−
µ
= W
6
µ
− iW
7
µ
,
√
2X
0
µ
= W
4

µ
− iW
5
µ
,
(2.15)
với các khối lượng tương ứng:
M
2
W
=
g
2
2
(u
2
+ v
2
),
M
2
X
=
g
2
2
(v
2
+ ω
2

),
M
2
Y
=
g
2
2
(u
2
+ ω
2
).
(2.16)
Trường photon A
µ
là tổ hợp của:
A
µ
= s
W
W
3
8
+ c
W

−
t
W

√
3
W
8
µ
+

1 −
t
2
W
3
B
µ

, (2.17)
với
t ≡
g
X
g
=
3
√
2t
W

3 − t
2
W

. (2.18)
Boson chuẩn Z
µ
của mẫu chuẩn và boson chuẩn mới Z

µ
trực giao với
A
µ
nên có dạng:
Z
µ
= c
W
W
3
µ
− s
W

−
t
W
√
3
W
8
µ
+


1 −
t
2
W
3
B
µ

, (2.19)
Z

µ
=

1 −
t
2
W
3
W
8
µ
+
t
W
√
3
B
µ
. (2.20)

Z và Z

chỉ tách khi w  v, u. Ngược lại, chúng trộn lẫn theo ma trận
khối lượng
M
2
=
g
2
4

M
2
Z
M
2
ZZ

M
ZZ

M

Z

, (2.21)
19
trong đó
M
2

Z
=
g
2
4c
2
W
(u
2
+ v
2
),
M
2
ZZ

=
g
2
4c
2
W

3 − 4s
2
W
[u
2
− v
2

(1 − 2s
2
W
)],
M
2
Z

=
g
2
4(3 − 4s
2
W
)
[4ω
2
+
u
2
c
2
W
+
v
2
(1 − 2s
2
W
)

2
c
2
W
].
(2.22)
Bằng cách quay một góc φ trong mặt phẳng(Z
µ
, Z
µ

) ta thu được các
trường vật lý (Z
1
µ
, Z
2
µ
)
Z
1
µ
= Z
µ
cos φ −Z
µ

sin φ,
Z
2

µ
= Z
µ
sin φ −Z
µ

cos φ.
(2.23)
Ở đây góc trộn φ:
tan
2
φ =
M
2
Z
− M
2
Z
1
M
2
Z
2
− M
2
Z

. (2.24)
Các trường có khối lượng như nhau:
M

2
Z
1
=
1
2
[M
2
Z
+ M
2
Z

−

(M
2
Z
− M
2
Z

)
2
+ 4(M
2
ZZ

)
2

],
M
2
Z
2
=
1
2
[M
2
Z
+ M
2
Z

+

(M
2
Z
− M
2
Z

)
2
+ 4(M
2
ZZ


)
2
].
(2.25)
2.3 Tương tác Yukawa
Để cho các fermions có khối lượng, ta xây dựng tương tác Yukawa và
xây dựng tương tác này bằng tay (by hand). Tuy nhiên tương tác này
phải bất biến với từng nhóm con SU(3)
L
, U(1)
X
. Hay nói cách khác là
số hạng này phải biến đổi như (0, 1). Với những hạt như trên, ta có các
20
khả năng:
L
χ
Y ukawa
= (h
3
¯
Q
3L
χU
R
+ h
D
αβ
¯
Q

αL
χ
∗
D
βR
+ h.c)
∼ (3
∗
, −
1
3
)(3, −
1
3
)(1,
2
3
) + (3, 0)(3
∗
,
1
3
)(1, −
1
3
) ∼ (1, 0)
= h
3
(¯u
3L

χ
0
+
¯
d
3L
χ
−
+
¯
U
L
χ
0
3
)U
R
+ h
D
αβ
(
¯
d
αL
χ
0
∗
1
− u
αL

χ
+
+
¯
D
αL
χ
0
∗
3
)D
βR
+ H.c
= h
3
¯
U
L
U
R
χ
0
3
+ h
D
αβ
¯
D
αL
D

βR
χ
0
∗
3
+ ···+ h.c.,
= h
3
ω
¯
U
L
U
R
+ h
D
αβ
ω
¯
D
αL
D
βR
+ ···+ h.c.
L
η
Y ukawa
= h
u
3a

¯
Q
3L
u
aR
η + h
d
αa
¯
Q
αL
d
aR
η
∗
+ h.c. ∼ (0, 1)
= h
u
3a
(¯u
3L
η
0
1
+
¯
d
3L
η
−

2
+
¯
U
L
η
0
3
)u
aR
+ h
d
αa
(
¯
d
αL
η
0
∗
1
− ¯u
αL
η
+
2
+
¯
D
αL

η
0
∗
3
)d
aR
+ h.c
= h
u
3a
¯u
3L
η
0
1
u
aR
+ h
d
αa
¯
d
αR
η
0
∗
3
d
aR
+ ···+ h.c

= h
u
3a
v¯u
3L
u
aR
+ h
d
αa
v
¯
d
αL
d
aR
+ ···+ h.c.
L
ρ
Y ukawa
=h
d
3a
¯
Q
3L
d
aR
ρ + h
u

αa
¯
Q
αR
u
aR
ρ
∗
+ G
ab
¯
f
a
L
e
b
R
ρ + F
ab
ε
mnp
(
¯
f
L
)
am
(f
c
L

)
bn
(ρ
∗
)
p
+ h.c
=h
d
3a
(¯u
3L
ρ
+
1
+
¯
d
3L
ρ
0
2
+
¯
U
L
ρ
+
3
)d

aR
+ h
d
αa
(
¯
d
αR
ρ
−
1
− ¯u
αR
ρ
0
∗
2
+
¯
D
αL
ρ
−
3
)u
aR
+ G
ab
(¯ν
a

L
ρ
+
1
+
¯
l
a
L
ρ
0
2
+
¯
N
a
L
ρ
+
3
)l
b
R
+ ···+ h.c
=h
d
3a
¯
d
3L

ρ
0
2
d
aR
+ h
u
αa
¯u
αL
ρ
0
∗
2
u
aR
+ G
ab
¯
l
a
L
ρ
0
2
l
b
R
+ ···+ h.c
=h

d
3a
u
¯
d
3L
d
aR
+ h
u
αa
u¯u
αL
u
aR
+ G
ab
u
¯
l
L
l
R
+ ···+ h.c.
Các công thức khối lượng của các fermions cho thấy hằng số tương tác
Yukawa h
f
của các fermions tỷ lệ thuận với khối lượng của chúng.
21
2.4 Sự vi phạm số lepton

Trong luận văn này, ta phá vỡ đối xứng sử dụng ba tam tuyến Higgs
đã cho với các giá trị trung bình chân không tổng quát :
χ =




χ
0
1
χ
−
2
χ
0
3




∼

1, 3,
−1
3

, (2.26)
ρ =





ρ
+
1
ρ
0
2
ρ
+
3




∼

1, 3,
2
3

, (2.27)
η =




η
0
1

η
−
2
η
0
3




∼

1, 3,
−1
3

, (2.28)
< χ >=
1
√
2




u

0
ω





, (2.29)
< ρ >=
1
√
2




u
0
ω





,
< η >=
1
√
2




0

v
0




.
Các tương tác Yukawa:
L
Y
= L
LNC
+ L
LNV
, (2.30)
22
trong đó
L
LNC
=h
U
¯
Q
3L
χU
R
+ h
D
αβ
¯

Q
αL
χ
∗
D
αβ
+ h
u
a
¯
Q
3L
η
aR
+ h
d
αa
¯
Q
αL
η
∗
d
aR
+ h
d
a
¯
Q
3L

ρd
aR
+ h
d
αa
¯
Q
αa
ρ
∗
u
aR
+ h
l
ab
¯
f
aL
ρl
bR
+ h
ν
ab
¯
f
c
aL
f
bL
ρ + h.c.,

(2.31)
L
LNV
=s
u
a
¯
Q
3L
χu
aR
+ s
d
αa
¯
Q
αL
χ
∗
d
aR
+ s
U
¯
Q
3L
ηU
R
+ s
D

αβ
¯
Q
αL
η
∗
D
βR
+ s
D
α
¯
Q
3L
ρD
αR
+ s
U
α
¯
Q
αL
ρ
∗
U
R
+ h.c.
(2.32)
Chỉ số LNC, LNV tương ứng kí hiệu sự bảo toàn và vi phạm số lepton.
Các tương tác Yukawa trong LNC sở hữu một đối xứng toàn cục

không bị phá vỡ bởi u, v, ω nhưng lại bị phá vỡ bởi u

, ω

. Từ những
tương tác này ta tìm được đối xứng số lepton L như được liệt kê trong
bảng 2.1. Các trường không liệt kê trong bảng có số lepton triệt tiêu.
Field ν
aL
l
a
L,R
ν
aR
χ
0
∗
1
χ
+
2
ρ
+
3
η
0
3
U
L,R
D

∗
iL,R
L 1 1 1 -2 -2 -2 -2 -2 -2
Bảng 2.1: Các số lepton L khác không của các hạt trong mô hình
Ta thấy rằng số lepton bị phá vỡ bởi u

, w

là do L(χ
0
1
, η
0
3
) = 0. Các
quark ngoại lai cũng mang số lepton. Do vậy tích L không đối xứng với
đối xứng chuẩn. Khi này ta có thể xây dựng một tích bảo toàn mới L
thông qua L với tổ hợp:
L = xT
3
+ yT
8
+ L. (2.33)
Tác dụng L vào một tam tuyến lepton ta xác định được các hệ số:
Lf
a
L
=





1 0 0
0 1 0
0 0 −1




f
a
L
. (2.34)
23
Do đó




1 0 0
0 1 0
0 0 −1




f
a
L
=





x +
y
√
3
+ L 0 0
0 −x +
y
√
3
+ L 0
0 0 −
2y
√
3
+ L




f
a
L
⇔












x +
y
√
3
+ L = 1
−x +
y
√
3
+ L = 1
−
2y
√
3
+ L = −1
⇔












x = 0
y =
4
√
3
L =
T rL
3
.
Kết quả ta thu được
L =
4
√
3
T
8
+ LI. (2.35)
Một tích bảo toàn khác không bị phá vỡ bởi các trung bình chân
không là các số baryon thông thường B : B = B. Các tích L và B của
biểu diễn fermion và vô hướng được liệt kê ở bảng 2.2. Ta lưu ý rằng các
L χ η ρ Q
3L
Q
iL
u

aR
d
aR
U
R
D
∗
iR
f
a
L
l
a
R
B 0 0 0
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
0 0
L
4

3
−
2
3
−
2
3
−
2
3
−
2
3
0 0 -2 -2
1
3
1
Bảng 2.2: Tích B và L của các biểu diễn hạt trong mô hình.
tương tác Yukawa LNV bảo toàn B và vi phạm L với ±2 đơn vị. Những
tương tác trong LNV là rất nhỏ: s  h. Vì vậy số lepton bị phá vỡ bởi
các trung bình chân không u

 u và w

 w.
24