SKKN Khai thác một bài toán trong sách giáo khoa toán 8

Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
I. Đặt vấn đề
1. Lý do chọn SK và giải pháp thực hiện.
a. Cơ sở lý luận:
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt
động học tập của học sinh nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc
lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở
những kiến thức Toán học đợc tích luỹ có tính hệ thống .
Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc thống nhất theo t tởng
tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dới sự tổ chức hớng dẫn của
giáo viên: Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện và có ý thức vận dụng
linh hoạt sáng tạo các kiến thức đã thu nhận đợc.
Trong học toán và giải toán việc tìm thêm những lời giải khác của một
bài toán nhiều khi đi đến những điều rất thú vị. Ngay khi lời giải mà ta đã
tìm đợc là đã tốt rồi thì tìm đợc lời giải khác vẫn có lợi.
Để đạt đợc điều đó thì việc gây hứng thú học tập cho học sinh cũng góp
một phần quan trọng.
Việc giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau không những giúp
học sinh củng cố các kiến thức liên quan mà còn kích thích sự hứng thú của
các em trong quá trình tìm tòi sáng tạo.
b. Cơ sở thực tiễn:
Trong giảng dạy hiện nay đại đa số giáo viên và học sinh khi giải toán
thờng là chỉ có kết quả đúng là đủ ít khi quan tâm đến bài tập này có bao
nhiêu cách giải khác nhau, cách giải nào ngắn gọn nhất? Hay nhất? Sáng tạo
nhất?
Các em học sinh không chịu tìm tòi các cách giải khác nhau cho cùng
một bài toán, không chịu suy nghĩ học hỏi thêm, hay bắt trớc dập khuôn một
cách máy móc. Không phát huy đợc khả năng t duy toán học, kết quả học tập
không cao.
Nhận thấy đợc điều đó bản thân tôi trong những năm gần đây khi giảng
dạy cho học sinh tôi thờng xuyên hớng dẫn cho các em tìm nhiều lời giải cho

một bài toán, mỗi khi giải xong bài, tôi lại hỏi: Em nào còn cách giải khác
không? . Chính vì vậy mà tôi chọn vấn đề: Khai thác một bài toán trong
sách giáo khoa toán 8 để nghiên cứu.
2. Phạm vi và đối t ợng nghiên cứu.
2
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
Trong sách giáo khoa toán 8 tập 1 giới thiệu 3 phơng pháp thờng dùng
để phân tích đa thức thành nhân tử. Đó là phơng pháp đặt nhân tử chung, ph-
ơng pháp dùng hằng đẳng thức và phơng pháp nhóm hạng tử.
Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay
ba phơng pháp trên để giải mà phải Tách hạng tử.
3. Ph ơng pháp nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện tôi đã vận dụng một số phơng pháp sau:
- Phơng pháp thực nghiệm: Khảo sát đối tợng, tham khảo tài liệu.
- Vận dụng kinh nghiệm đã đúc rút.
- Tổng hợp theo dõi, đối chiếu kết quả
4. Mục tiêu của SK và giải pháp thực hiện.
a. Qua quá trình thực hiện giúp học sinh vận dụng một số kiến thức
đã học vào bài tập.
- Phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phơng pháp nhóm các hạng tử.
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phép nhân và phép chia đa thức
b. Rèn cho học sinh các kỹ năng sau:
- Kỹ năng tìm ra các nhân tử chung.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa
thức thành nhân tử.
- Kỹ năng biến đổi đa thức để xuất hiện nhân tử chung.
- Kỹ năng phân tích hạng tử thành tích.

- Kỹ năng t duy sáng tạo, độc lập suy nghĩ.
- Kỹ năng tìm nhiều lời giải hay
3
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
II. Nội dung.
A. Bài toán: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
Ví dụ 1: x
2
3x + 2
* Hớng dẫn học sinh tìm các cách giải bài toán trên.
ở bài toán này học sinh sẽ thấy là không có nhân tử chung. Không có
dạng hằng đẳng thức hoặc không nhóm các hạng tử đợc.
Vậy thì làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
Chúng ta có thể Tách hạng tử bằng cách có thể nh sau:
- Để chia nhóm ta có thể tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử để thành 4 hạng
tử và nh vậy ta sẽ chia thành 2 nhóm sẽ xuất hiện nhân tử chung.
- Có thể hớng dẫn học sinh giải theo cách sau:
a. Tách một hạng tử:
* Cách 1: x
2
3x + 2 = x
2
x 2x +2
4
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
= (x
2
x) (2x 2)
= x (x 1) 2 (x 1)
= (x 1) (x 2)

* Cách 2: x
2
3x + 2 = x
2
3x +
4
1
4
9

= (x
2
3x +
4
9
) -
4
1
= (x -
2
3
)
2
(
2
1
)
2
= (x -
2

3
+
2
1
) (x -
2
3
-
2
1
)
= (x 1) (x 2)
* Cách 3: x
2
3x + 2 = x
2
3x +3 1
= (x
2
1) (3x 3)
= (x + 1) (x 1) 3(x 1)
= (x 1) (x + 1 3)
= (x 1) (x 2)
* Cách 4: x
2
3x + 2= x
2
3x + 6 4
= (x
2

4) (3x 6)
= (x 2) (x + 2) 3(x 2)
= (x 2) (x + 2 3)
= (x 2) (x 1)
* Cách 5: x
2
3x + 2= 3x
2
2x
2
3x + 2
= (3x
2
3x) (2x
2
2)
= 3x(x 1) 2(x
2
1)
= 3x(x 1) 2(x 1) (x + 1)
= (x 1) (3x 2x 2)
= (x 1) (x 2)
b. Tách hai hạng tử: Có thể hớng dẫn học sinh giải theo cách tách 2
hạng tử để chia thành 2 nhóm trong đó có 1 nhóm đợc viết dới dạng hằng
đẳng thức và 1 nhóm thì sẽ xuất hiện nhân tử chung, theo các cách sau:
* Cách 6: x
2
3x + 2= x
2
2x x + 1 + 1

= (x
2
2x + 1) (x 1)
5
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
= (x 1)
2
(x 1)
= (x 1) (x 1 1)
= (x 1) (x 2)
* Cách 7: x
2
3x + 2= x
2
4x + x + 4 2
= (x
2
4x + 4) + (x 2)
= (x 2)
2
+ (x 2)
= (x 2) (x 2 + 1)
= (x 2) (x 1)
c. Tách ba hạng tử. Có thể tách cả 3 hạng tử để chia thành 3 nhóm mà
mỗi nhóm đều có nhân tử chung nh cách sau:
* Cách 8: x
2
3x + 2= 3x
2
2x

2
6x + 3x + 8 6
= (3x
2
6x) (2x
2
8) + (3x 6)
= 3x(x 2) 2(x
2
4) + 3(x 2)
= 3x(x 2) 2(x 2) (x + 2) + 3(x 2)
= (x 2) (3x 2x 4 + 3)
= (x 2) (x 1)
Ví dụ 2: x
2
+ x 6
Tơng tự nh vậy ở ví dụ 2 giáo viên cũng có thể hớng dẫn giải theo các
cách tách 1 hạng, tách 2 hạng tử hoặc tách 3 hạng tử, theo các cách sau:
* Cách 1: x
2
+ x 6 = x
2
+ 3x 2x 6
= (x
2
+3x) (2x + 6)
= x(x + 3) 2(x + 3)
= (x + 3) (x 2)
* Cách 2: x
2

+ x 6 = x
2
+ x +
4
25
4
1

= (x
2
+x +
4
1
) -
4
25
= (x +
2
1
)
2
(
2
5
)
2
= (x +
2
1
-

2
5
) (x +
2
1
+
2
5
)
= (x 2) (x + 3)
* Cách 3: x
2
+ x 6 = x
2
+ x 2 4
6
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
= (x
2
4) + (x 2)
= (x 2) (x + 2) + (x 2)
= (x 2) (x + 2 + 1)
= (x 2) (x + 3)
* Cách 4: x
2
+ x 6 = x
2
+ x 9 + 3
= (x
2

9) + (x + 3)
= (x 3) (x + 3) + (x + 3)
= (x + 3) (x 3 + 1)
= (x 2) (x + 3)
* Cách 5: x
2
+ x 6 = x
2
- 4x + 4 + 5x 10
= (x
2
- 4x + 4) + (5x 10)
= (x 2)
2
+ 5(x 2)
= (x 2) (x 2 + 5)
= (x 2) (x + 3)
Ví dụ 3: x
2
+ 5x + 6
- ở bài tập này giáo viên cũng có thể hớng cho học sinh giải theo
nhiều cách nh sau:
* Cách 1: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 3x + 2x + 6
= (x
2
+ 3x) + (2x + 6)

= x (x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3) (x + 2)
* Cách 2: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 5x + 10 4
= (x
2
4) + (5x + 10)
= (x + 2) (x 2) + 5(x + 2)
= (x + 2) (x 2 + 5)
= (x + 2) (x + 3)
* Cách 3: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 5x 9 + 15
= (x
2
- 9) + (5x + 15)
= (x 3) (x + 3) + 5(x + 3)
= (x + 3) (x 3 + 5)
= (x + 3) (x + 2)
* Cách 4: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 5x +
4

1
4
25

7
Khai th¸c mét bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa To¸n 8
= (x
2
+ 5x +
4
25
) -
4
1
= (x +
2
5
)
2
– (
2
1
)
2
= (x +
2
5
-
2
1

) (x +
2
5
+
2
1
)
= (x + 2) (x + 3)
* C¸ch 5: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 4x + x + 4 + 2
= (x
2
+ 4x + 4) + (x + 2)
= (x + 2)
2
+ (x + 2)
= (x + 2) (x + 2 + 1)
= (x + 2) (x + 3)
* C¸ch 6: x
2
+ 5x + 6= x
2
+ 6x – x + 9 – 3
= (x
2
+ 6x + 9) – (x + 3)
= (x + 3)

2
– (x + 3)
= (x + 3) (x + 3 – 1)
= (x + 3) (x + 2)
VÝ dô 4: x
2
- 4x + 3
* C¸ch 1: x
2
- 4x + 3 = x
2
- 3x – x + 3
= x(x – 3) – (x –3)
= (x – 3) (x – 1)
* C¸ch 2: x
2
- 4x + 3 = x
2
– 4x + 4 – 1
= (x
2
– 1) – (4x – 4)
= (x
2
– 1) – 4(x – 1)
= (x – 1) (x + 1) – 4(x – 1)
= (x – 1) (x + 1- 4)
= (x – 1) (x – 3)
* C¸ch 3: x
2

- 4x + 3 = x
2
– 4x + 4 – 1
= (x – 2)
2
- 1
2
= (x – 2 – 1) (x – 2 + 1)
= (x – 3) (x – 1)
* C¸ch 4: x
2
- 4x + 3 = 4x
2
– 3x
2
– 4x + 3
= 4x(x – 1) –3(x – 1) (x + 1)
8
Khai th¸c mét bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa To¸n 8
= (x – 1) (4x – 3x – 3)
= (x – 1) (x – 3)
* C¸ch 5: x
2
- 4x + 3 = x
2
- 4x + 9
= x
2
– 2x + 1 – 2x + 2
= (x – 1)

2
– 2(x – 1)
= (x – 1) (x – 1 – 2)
= (x – 1) (x – 3)
* C¸ch 6: x
2
- 4x + 3 = x
2
– 6x + 9 + 2x – 6
= (x – 3)
2
+ 2(x – 3)
= (x – 3) (x – 3 + 2)
= (x – 3) (x – 1)
VÝ dô 5: x
2
+ 5x + 4
* C¸ch 1: x
2
+ 5x + 4 = x
2
+ 4x + x + 4
= x(x + 4) + (x + 4)
= (x + 4) (x + 1)
* C¸ch 2: x
2
+ 5x + 4 = x
2
+ 5x + 5 – 1
= (x

2
– 1) + (5x + 5)
= (x – 1) (x + 1) + 5(x + 1)
= (x + 1) (x – 1 + 5)
= (x + 1) (x + 4)
* C¸ch 3: x
2
+ 5x + 4 = x
2
+ 5x +
4
25
-
4
9
= (x +
2
5
)
2
–(
2
3
)
2
= (x +
2
5
–
2

3
) (x +
2
5
+
2
3
)
= (x + 1) (x + 4)
* C¸ch 4: x
2
+ 5x + 4 = x
2
+ 5x + 5 – 1
= (x
2
– 1) + 5(x + 1)
= (x + 1) (x – 1 + 5)
= (x + 1) (x + 4)
* C¸ch 5: x
2
+ 5x + 4 = 5x
2
– 4x
2
+ 5x + 4
= 5x(x + 1) – 4(x
2
– 1)
9

Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
= 5x(x + 1) 4(x 1) (x 1)
= (x + 1) (5x 4x + 4)
= (x + 1) (x + 4)
* Cách 6: x
2
+ 5x + 4 = x
2
+ 2x + 1 + 3x + 3
= (x + 1)
2
+ 3(x + 1)
= (x + 1) (x + 1 + 3)
= (x + 1) (x + 4)
Ví dụ 6: x
2
8x + 12
- ở bài toán này giáo viên sẽ hớng dẫn học sinh giải theo nhiều cách:
* Cách 1: x
2
8x + 12 = x
2
2x 6x + 12
= (x
2
2x) (6x 12)
= x(x 2) 6(x 2)
= (x 2) (x 6)
* Cách 2: x
2

8x + 12 = (x
2
8x + 16) 4
= (x 4)
2
2
2

= (x 4 + 2) (x 4 2)
= (x 2) (x 6)
* Cách 3: x
2
8x + 12 = x
2
36 8x + 48
= (x + 6) (x 6) 8(x 6)
= (x 6) (x + 6 8)
= (x 6) (x 2)
* Cách 4: x
2
8x + 12 = x
2
- 4 8x + 16
= (x + 2) (x 2) 8(x 2)
= (x 2) (x + 2 8)
= (x 2) (x 6)
* Cách 5: x
2
8x + 12 = x
2

- 4x + 4 - 4x + 8
= (x 2)
2
4(x 2)
= (x 2) (x 2 4)
= (x 2) (x 6)
* Cách 6: x
2
8x + 12 = x
2
12x + 36 + 4x 24
= (x 6)
2
+ 4(x 6)
= (x 6) (x 6 + 4)
= (x 6) (x 2)
10
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
* Cách 7: x
2
8x + 12 = 4x
2
8x 3x
2
+ 12
= 4x(x 2) 3(x
2
4)
= 4x(x 2) 3(x 2) (x + 2)
= (x 2)

( )
[ ]
234
+
xx
= (x 2) (x 6)
* Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x
2
+ px + q.
Nếu ta tìm đợc 2 số a và b sao cho:
a + b = p và ab = q thì ta có thể tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng
hằng đẳng thức: x
2
+ px + q = x
2
+ (a + b)x + ab
= (x + a) (x + b)
Tóm lại: Tuỳ theo việc khai thác bài toán theo các góc độ khác nhau sẽ
dẫn đến những cách giải khác nhau. Tuỳ thuộc vào trình độ kiến thức của
từng khối lớp trong lớp học mà chúng ta vận dụng hớng dẫn học sinh giải bài
tập cho phù hợp. Để phát huy năng lực t duy sáng tạo của học sinh với những
bài toán tơng tự học sinh có thể giải bằng nhiều cách.
B. Hiệu quả của SK và giải pháp thực hiện:
Trong quá trình dạy học tôi luôn chú ý cho các em Khai thác bài tập
để tìm nhiều lời giải cho một bài toán. Nhất là giờ luyện tập và giờ ôn tập. Đã
có nhiều em học sinh tìm ra đợc những cách giải rất hay và độc đáo, các em
chịu khó học hỏi hơn, chịu khó tìm tòi, khả năng tiếp thu và vận dụng của các
em nhanh hơn, có kỹ năng trình bày toán học hơn.
Kết quả cụ thể ở lớp 8 A: 37 học sinh.
Loại

Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
Đầu năm 4 10,8 10 27 17 46 6 16,2
11
Khai thác một bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
Kỳ I 7 18,9 14 37,85 14 37,87 2 5,4
kỳ II
III. Kết luận
1. Kinh nghiệm rút ra qua SK và giải pháp thực hiện:
Qua quá trình thực nghiệm tôi nhận thấy mỗi giáo viên chúng ta ngoài
việc trang bị cho các em học sinh về mặt kiến thức cần hớng dẫn cho các em
vận dụng những kiến thức đó vào bài tập. Bên cạnh đó phải làm cách nào để
học sinh cảm thấy yêu thích và học tập bộ môn của mình hơn. Việc khai thác
bài tập để tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán đã giúp
cho các em củng cố các kiến thức lý thuyết có liên quan, gây cho các em có
hứng thú học tập say mê tìm tòi kiến thức, có tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ
và các em cảm thấy rất vui mỗi khi tìm đợc một hớng giải.
Mặt khác với mỗi giáo viên chúng ta cũng đúc rút đợc những kinh
nghiệm trong khi giải bài tập, chọn đợc phơng án 2, có kỹ năng sử lý tình
huống cho học sinh và có sự đầu t nghiên cứu trao đổi chuyên môn với đồng
nghiệp nâng cao trình độ tay nghề. Nếu giáo viên cùng học sinh chịu khó tìm
tòi suy nghĩ khai thác bài toán với nhiều góc độ khác nhau thì mỗi bài toán
không chỉ có một cách giải duy nhất.
Với những suy nghĩ và việc làm của mình, do kinh nghiệm năng lực của
bản thân còn hạn chế nên vấn đề mà tôi đa ra mong muốn đợc trao đổi rút
kinh nghiệm trong các giờ dạy trên lớp. Rất mong đợc tiếp thu thêm những ý
kiến đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có phơng pháp giảng dạy tốt hơn,
giúp các em học sinh phát triển đợc khả năng học toán của mình đóng góp
một phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học ở mỗi nhà trờng và đặc biệt là
bồi dỡng học sinh giỏi.

2. Những đề nghị của bản thân:
- Sở Giáo dục, Phòng Giáo dục - Đào tạo, Nhà trờng thờng xuyên tổ
chức các chuyên đề cho giáo viên và học sinh.
- Trờng cần có thêm sách nâng cao, các tài liệu tham khảo phục vụ cho
các bộ môn lớp 8.
- Tổ chức các buổi ngoại khoá bộ môn cho học sinh.
- Tổ chức cho giáo viên và học sinh đợc học tập kinh nghiệm của các tr-
ờng bạn.
- Trong các cuộc họp chuyên môn cần chú trọng cho giáo viên trao đổi
kinh nghiệm giải các bài tập.
Hạ Bì Ngày 16 tháng 01 năm 2009
Ngời viết
12
Khai th¸c mét bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa To¸n 8
Lª ThÞ Ph¬ng Lan
X¸c nhËn cña nhµ trêng

13
Khai th¸c mét bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa To¸n 8
C¸c tµi liÖu tham kh¶o
1. S¸ch gi¸o khoa To¸n 8.
2. S¸ch båi dìng vµ n©ng cao §¹i sè To¸n 8.
3. S¸ch gi¸o viªn To¸n 8.
4. S¸ch bµi tËp To¸n 8.
14