Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong phần :" Câu hỏi và bài tập" sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11
trang 103 có bài tập 17
c
như sau:
" Cho hình tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, gọi H là
hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
"
Ta có thể chứng minh như sau:
Theo giả thiết thì
( )OA OBC⊥
. Trong mp(OBC) từ O kẻ đường
thẳng vuông góc với BC và cắt
BC tại I. Trong mp(OAI) từ O kẻ
đường thẳng vuông góc với AI và
cắt AI tại H . Khi đó ta có
BC OI
⊥
(theo cách kẻ) và
BC OA⊥

( vì
( )OA OBC⊥
) và
OI OA O∩ =
nên
( ) ( )ABC OAI⊥

,
Từ đó suy ra OH vuông góc với
mặt phẳng (ABC) nên H là hình
chiếu vuông góc của O trên mặt
phẳng (ABC).Áp dụng hệ thức lượng
trong các tam giác vuông OAI và
OBC ta có:
2 2 2
1 1 1
OH OA OI
= +
,
2 2 2
1 1 1
OI OB OC
= +
từ đó suy ra:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
.
Sau khi giải xong bài toán ta nhận thấy rằng: đoạn OH chính là khoảng cách từ
điểm O tới mặt phẳng (ABC). Vì vậy ta nghĩ tới việc có thể sử dụng kết quả bài
toán này trong việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cũng như khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
*Cơ sở lý luận:
Xét bài toán tổng quát:

" Cho điểm O và mặt phẳng (P), O không nằm trên (P). Hãy tính khoảng cách
từ điểm O tới mặt phẳng (P)."
Để giải quyết bài toán tổng quát trên ta cần sử dụng tới những kiến thức cơ bản
sau:
+ Khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P) chính là khoảng cách từ điểm O tới
hình chiếu H của O trên (P)
1
A
B
O
C
H
I
+ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với nhau là khoảng
cách từ một điểm O bất kỳ thuộc a tới mp(P).
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách giữa
đường thẳng a và mp(P) chứa b song song với a.
+ Nếu OO
'
// (P) thì d(O; (P)) = d(O
'
; (P))
+ Nếu
'
OO ( )P I∩ =
thì
( ;( ))
' '
( ;( ))
d O P IO

d O P IO
=
+ Ta gọi tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi
một là tứ diện vuông tại O.
* Thực trạng của vấn đề
Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là bài toán cơ bản
trong hình học không gian. Hầu hết các đề thi đại học những năm gần đây đều
có trực tiếp hay gián tiếp bài toán này. Theo định nghĩa: khoảng cách từ một
điểm O tới mp(P) là khoảng cách từ điểm O tới hình chiếu H của O trên (P). Vì
vậy điều cốt yếu của bài toán tính khoảng cách là phải xác định được hình chiếu
vuông góc của điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, điều này gây ra nhiều
lúng túng cho giáo viên cũng như học sinh.
Nếu sử dụng kết quả bài 17
c
SGK hình học nâng cao lớp 11 ta không cần phải
xác định hình chiếu H nữa mà vẫn tính được khoảng cách. Vì vậy có thể xem
kết quả bài 17
c
là cách gián tiếp để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt
phẳng.
* Giải pháp và tổ chức thực hiện
Qua thực tế giảng dạy tôi đã rút ra được các trường hợp sau đây :
Trường hợp 1.
Trên mặt phẳng (P) có sẵn 3 điểm A, B, C sao tứ diện OABC vuông tại O và
độ dài 3 đoạn OA, OB, OC đã biết.
Cách giải: Khi đó ta áp dụng trực
tiếp công thức trong bài 17
c
suy ra kết
quả cần tìm.

Thí dụ 1. (Đề thi đại học khối D năm 2002 câu IV
2
)
2
A
B
C
h
O
P
Cho tứ diện ABCD có
( )AD ABC⊥
. AC =AD = 4 (cm), AB = 3(cm); BC = 5
(cm). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Giải:
Từ giả thiết ta có BC
2
= 5
2
= 3
2
+4
2

= AB
2
+ AC
2
suy ra tam giác ABC
vuông tại A suy ra tứ diện ABCD có

3 cạnh AB, AC, AD vuông góc với
nhau từng đôi một và có độ dài lần
lượt là: 3(cm); 4(cm); 4(cm). Nếu gọi
khoảng cách từ A tới mp(BCD) là h
thì áp dụng bài 17
c
ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
h AB AC AD
= + +
=
2 2 2
1 1 1
3 4 4
+ +
=
17
72
suy ra
6 34
( )
17
h cm=
. Vậy d(A; (BCD)) =
6 34
( )
17
cm
Trường hợp 2.

Trên mặt phẳng (P) mới có sẵn 2 điểm A, B sao cho
OA OB⊥
. Khi đó để tính
khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) ta cần xác định thêm điểm C sao cho OC
vuông góc với cả OA và OB đồng thời 3 đoạn OA, OB, OC đều tính được độ
dài của chúng.
Thí dụ 2 (Đề dự bị 1 – Khối B năm 2004 Câu III
3
)
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và
( )SA ABC⊥
. Tam giác ABC có AB = BC
= 2a, góc
0
120ABC∠ =
. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
Giải:
Trong nửa mặt phẳng (ABC) bờ là
đường thẳng AC chứa điểm B kẻ
tia Ax vuông góc với AC và tia Ax
cắt BC tại K. Khi đó d(A; (SBC)) =
d(A; (SCK)) = h.
Ta có tứ diện A.KCS vuông tại A
nên ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
h AK AC AS
= + +
. (*)
Tính AC

2
Trong tam giác ABC áp dụng định lý
cosin ta có:
2 2 2
2 2 0 2
2 . cos
(2 ) (2 ) 2.2 .2 cos120 12
AC AB BC AB BC ABC
a a a a a
= + −
= + − =
Tính AK
2
.
Ta có góc
0
90KAC∠ =
; góc
0
30BAC∠ =
suy ra: góc
0
60KAB∠ =
3
D
A
C
B
S
A

B
C
x
120
0
30
0
K
Mà
0 0 0
180 120 60ABK∠ = − =
. Suy ra tam giác ABK là tam giác đều, suy ra AK
= AB = 2a. Suy ra: AK
2
= 4a
2
. Theo giả thiết SA = 3a , thay vào (*) ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
4 12 9h a a a
= + +
, từ đó tính được
9
4
h a=
. Vậy d(A; (SBC)) =
9
4
a
Trường hợp 3.

Trên hình vẽ có điểm O
'
sao cho
OO
'
//(P) hoặc có điểm O
1
sao cho
O
1
đối xứng với điểm O qua điểm
I ( với I là giao điểm của OO
1
với
mp(P)). Khi đó khoảng cách từ điểm
O tới mp(P) bằng khoảng cách từ
điểm O
'
tới (P) hoặc bằng khoảng
cách từ O
1
tới (P). Từ đó ta xác định
3 điểm A, B, C trên mp(P) sao cho
tứ diện O
'
ABC vuông tại O
'
hoặc
tứ diện O
1

ABC vuông tại tại O
1
đồng
thời độ dài các cạnh O
'
A, O
'
B, O
'
C
hoặc O
1
A, O
1
B, O
1
C đã tính được.
Thí dụ 3. Cho hình lập phương ABCDA
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Tính khoảng
cách từ điểm A tới mp(DA
'
C
'

)
Giải: Gọi I = A
'
D
∩
AD
'
, suy ra AD
'
∩
(DA
'
C
'
) = I và IA = ID
'
, suy ra:
' '
( ;( ))
1
' ' ' '
( ;( ))
d A DAC IA
d D DAC ID
= =
' ' ' ' '
( ;( )) ( ;( ))d A DAC d D DAC h⇒ = =
Lại có ABCDA
'
B

'
C
'
D
'
là hình lập
phương nên tứ diện D
'
A
'
DC
'
có các
cạnh D
'
A
'
, D
'
D, và D
'
C
'
vuông góc
với nhau từng đôi một và D
'
A
'
= D
'

D
= D
'
C
'
= a.Vậy áp dụng kết quả bài
17
c
ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1 1
' ' ' ' '
3
h a a a
D A D D D C
a
= + + = + +
=
3 3
' '
( ,( ))
3 3
a a
h d A DAC= ⇒ =
Thí dụ 4.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
'

B
'
C
'
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC =
2a, cạnh bên AA
'
=
2 2a
, gọi M, E lần lượt là trung điểm của BC và BB
'
. Hãy
tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AME).
4
.
.
O
O
'
A
B
C
O
1
I
P
A B
C
D
A

'
B
'
C
'
D
'
I
Giải:
Vì CB
'
//ME và CB
'
không nằm
trên mp(AME) nên CB
'
song song
với mặt phẳng (AME) suy ra
d(C; (AME)) = d(B
'
; (AME)).
Mặt khác BB
'
∩
(AME) = E, và
1
'
EB
EB
=

, nên
( ;( ))
1
' '
( ;( ))
d B AME IB
d B AME IB
= =
Suy ra:
'
( ;( )) ( ;( ))d B AME d B AME h= =
.
Mặt khác tứ diện BMEA có 3 cạnh
BA, BE, BA đôi một vuông góc với
nhau và có độ dài lần lượt là:
BA = 2a, BM = a, BE =
2a
.
Vì vậy áp dụng kết quả bài 17
c
ta có:
1 1 1 1 1 1 1 7
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 ) ( 2) 4h BA BE BM a a a a
= + + = + + =
2
7
a
h⇒ =
.

Vậy : d(C; (AME)) =
2
7
a
.
Trường hợp 4.
Trên hình vẽ có điểm O
'
sao cho
1
'
IO
k
IO
= ≠
( với
'
OO ( )I P= ∩
)
Khi đó
( ;( ))
' '
( ;( ))
d O P IO
k
d O P IO
= =
'
( ,( )) . ( ,( ))d O P k d O P⇒ =
. Tương tự ta xác định

các điểm A, B, C trên (P) sao cho tứ diện O
'
. ABC có 3 cạnh O
'
A, O
'
B, O
'
C đôi
một vuông góc với nhau và độ dài của chúng tính được. Từ đó ta tính được
khoảng cách từ O
'
tới mặt phẳng (P)
từ đó suy ra khoảng từ O tới mp(P).

Thí dụ 5(Đề thi đại học khối D năm 2012)
5
A
B
C
M
E
A
'
B
'
C
'
A
B

C
O
O
'
I
P
.
.
Cho hình hộp đứng ABCDA
'
B
'
C
'
D
'
có đáy là hình vuông, tam giác A
'
AC vuông
cân, A
'
C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB
'
C
'
và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng(BCD
'
) theo a.
Ở đây ta chỉ áp dụng kết quả bài 17c

trong ý sau của yêu cầu bài toán nghĩa
là áp dụng trong tính khoảng cách từ
điểm điểm A đến mặt phẳng(BCD
'
)
theo a. Cụ thể lời giải như sau:
Giải: Dễ thấy AO
∩
(BCD
'
) = C
và
2
CA
CO
=
'
( ;( ))
2
'
( ;( ))
' '
( ;( )) 2 ( ;( )
d A BCD CA
CO
d O BCD
d A BCD d O BCD
= =
⇒ =
Gọi

' ' ' ' '
( ;( )) ( ;( ))O AC BD d O BCD d O BCO= ∩ ⇒ =
(vì mp(BCD
'
) cũng chính là mp(BCO
'
)).
Mặt khác từ giả thiết suy ra tứ diện OO
'
CB vuông tại O nên nếu đặt
d(O; (BCO
'
)) = h thì:
2 2 2
2
1 1 1 1
(*)
'
OO
h OB OC
= + +
Trong đó:
2 2 2 2
1 1 1
' '
OO DD . ; ;
2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( )
2

2 2 2 2
a a a
OC AC
a a a
OB AB AO
= = = = =
= − = − =
Thay các giá trị trên vào (*) suy ra:
2 2
2 2 2
1 1 1 1 144 6
6 12
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a
h
a a a
h a
= + + = ⇒ =
Vậy suy ra:
6 6
'
( ;( )) 2 2.
12 6
a a
d A BCD h= = =
Thí dụ 6 : (Đề dự bị 2 – khối B – năm 2003)
Cho hình chóp đều S.ABC đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một
góc bằng
ϕ

(
0
0 90
ϕ
< <
). Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).
Giải:
Gọi H là tâm của đáy ABC vì S.ABC là hình chóp đều
6
A
B
C
D
A
'
B
'
C
'
D
'
O
O
'
nên suy ra
( )SH ABC⊥
, H đồng thời
là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có
( )AH SBC M⊥ =

Và
3
MA
MH
=
, suy ra:

( ;( ))
3
( ;( ))
( ;( )) 3 ( ;( )) 3
d A SBC MA
d H SBC MH
d A SBC d H SBC h
= =
⇒ = =
Với
( ;( ))d H SBC h=
.
Ta sẽ tính h bằng cách: trong nửa
mp((BHC) bờ là đường thẳng HC chứa điểm M kẻ tia Hx vuông góc
với HC và
Hx BC E∩ =
.Tứ diện HECS là tứ diện vuông tại H, ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)
h HE HC
HS

= + +
Theo giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
ϕ
nên
SMA
ϕ
∠ =
;
3 3
tan tan
6 6
a a
HM SH HM
ϕ ϕ
= ⇒ = =
.
Lại có
3
3
a
HC =
, tam giác HCE vuông tại H và có góc
0
30HCE∠ =
suy ra:
0
3 1
.tan30 .
3 3
3

a a
HE HC= = =
, thay tất cả vào (*) suy ra:
2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 12 1 12
(1 )
tan sin
3 3
( )
( ) ( tan )
3
3 6
a
h a a
a a
ϕ ϕ
ϕ
= + + = + =
asin asin a 3sin
( ;( )) 3.
2
2 3 2 3
h d A SBC
ϕ ϕ ϕ
⇒ = ⇒ = =
Vậy khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) là
a 3sin
2

ϕ
Thí dụ 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA =
BC = a; AD = 2a,
( ).SA ABCD⊥
và
2SA a⊥
. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB. Tính khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng (SCD).
Giải : Ta có:
7
S
A
B
C
ϕ
H
E
M
2 2
2 2 2
( )
( ;( ))
( ;( ))
. 2 2
3 3
BH SCD S
d H SCD SH
d B SCD SB
SH SB SA a

SB SB a
∩ =
⇒ = =
= = =

2
( ;( )) ( ;( )) (*)
3
d H SCD d B SCD⇒ =
Kéo dài AB cắt CD tại I
( )
( ;( )) 1
( ;( )) 2
AB SCD I
d B SCD IB BC
d A SCD IA AD
⇒ ∩ =
⇒ = = =
1
( ;( )) ( ;( )) (**)
2
d B SCD d A SCD⇒ =
.
Từ (*) và (**) suy ra:
1
( ;( )) ( ;( ))
3
d H SCD d A SCD⇒ =
Mà tứ diện A.SDC vuông tại A nên đặt
( ;( ))d A SCD h=

thì:
2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 5 2
(2 ) 4
5
( 2) ( 2)
a
h
h AC AD a a
AS
a a
= + + = + + = ⇒ =
Vậy khoảng cách từ H tới mp(SCD) bằng:
2
3 5
a
Mặt khác ta thấy rằng: khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song
song với nhau chính là khoảng cách từ một điểm O bất kỳ thuộc a tới mp(P).Vì
vậy ta có thể áp dụng bài 17
c
trong việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song.
Thí dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a ;
.( )SA ABCD⊥
và
6SA a⊥
. Hãy tính

khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC).
Giải: Vì AD//BC và AD không nằm
trong mặt phẳng (SBC) nên AD
song song với mp(SBC). Suy ra:
d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC)).
Trong nửa mp(ABC) bờ là đường
thẳng AC chứa điểm B, từ A
kẻ tia Ax vuông góc với AC;
tia Ax cắt BC tại điểm I. Khi đó
d(A; (SBC)) = d(A; (SIC)) = h.
Mà tứ diện ASCI vuông tại A
nên ta có:
8
S
B
C
D
I
H
A
S
A
B C
D
I
x
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)

AS
h AI AC
= + +
Theo giả thiết : SA =
6a
; Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có
2 2 2 2 2 0 2
32 . cos 2 . cos120 3 aAC AB BC AB BC ABC a a a a a AC == + − = + − = ⇔
,
Tam giác AIC vuông tại A có góc
0 0
.
1
30 tan30 3.
3
ACI AI AC a a∠ = ⇒ = = =
Thay vào (*) suy ra:
2
2 2 2
2
1 1 1 1 9 6
6 3
( 6) ( 3)
h a
h a a
a a
= + + = ⇒ =
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC) bằng
6
3

a
Thí dụ 9.
Cho hình lập phương ABCD A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của
DD
'
, M là trung điểm của BB
'
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CK và
mp(A
'
DM).
Giải: Dễ dàng chứng minh được tứ giác A
'
MCK là hình bình hành suy ra: CK//
(A
'
MD) suy ra: d(CK, (A
'
MD)) = d(K, (A
'
MD)). Gọi N là giao điểm của A
'

D và
AK; P là giao điểm của A
'
M và AB. Dễ thấy N là trọng tâm của tam
giác ADD
'
suy ra:
1
2
NK
NA
=
;
'
( ;( )) 1
'
2
( ;( ))
d K A MD NK
NA
d A A MD
⇒ = =
1 1
' ' '
( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
2 2
d K A MD d A A MD d A A DP⇒ = =


Mà tứ diện A.A

'
DP vuông tại A
nên
đặt d(A,(A
'
DP)) = h thì:
2
2 2 2 2
1 1 1 1 9
(2 ) 4
2
'
( ;( ))
3 3
h a a a
a
a a
h d K AMD
= + + =
⇒ = ⇒ =
Suy ra: khoảng cách giữa
đường thẳng CK và mp(A
'
MD)
bằng
3
a
9
A
B

C
D
P
A
'
B
'
C
'
D
'
M
K
N
'
Ta lại có: khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau a và b
chính là khoảng cách từ đường
thẳng a tới mp(P) chứa b và
song song với a, do vậy ta có
thể áp dụng kết quả bài 17
c

trong việc tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Thí dụ 10.
Cho lăng trụ đều ABC.A
'
B
'
C

'
có tất cả các cạnh bằng a, gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AA
'
và BB
'
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
'
M và CN ?
Giải:
Dễ thấy B
'
M //AN và B
'
M
không nằm trong mặt phẳng
(ACN) nên B
'
M song song với mặt
phẳng (ACN) suy ra:
d(B
'
M; CN) = d(B
'
M; (ACN)) =
= d(B
'
; (ACN))
Mà
'

( )BB ACN N∩ =
và NB
'
= NB
nên d(B
'
; (ACN)) = d(B; (ACN))
= 2d(I; (ACN)) = 2d(I; (ACK))
(Vì mp (ACN)
≡
mp(ACK))
Lại có tứ diện IACK vuông tại I
nên nếu đặt d(I, (ACK)) = h thì:
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)
h IK IA
IC
= + +
Với
1 1 3 1 1
; ;
2 2 2 2 2 4
a IK CI a
IC BC a IA IK BN
BN CB
= = = = = ⇒ = =
Thay các giá trị trên vào (*) ta có
2

2 2
2
2
1 1 1 1 64 3
3 8
3
( ) ( )
( )
2 4
2
a
h
a a
h a
a
= + + = ⇒ =
Suy ra: d(B
'
M; CN) = 2h =
3
4
a
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
'
M và CN bằng
3
4
a
Thí dụ 11.
(Đề thi đại học khối A và A

1
năm 2012)
10
a
P
b
O
C
'
A
'
B
''
A
B
C
M
N
'
I
K
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB. Góc giữa
đường thẳng SC và mp(ABC) bằng 60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.
Ở đây ta ta chỉ áp dụng bài 17
c
trong ý sau của yêu cầu bài toán tức là tính

khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC. Cụ thể như sau:
Giải:
Trong nửa mp(ABC) bờ là
đường thẳng BC chứa điểm
A kẻ đường thẳng d đi qua
A và song song với đường
thẳng BC Khi đó BC//mp(d,SA)
suy ra: Khoảng cách giữa
đường thẳng BC và đường
thẳng SA chính bằng khoảng
cách giữa đường thẳng BC
và mp(d, SA).
Mà d(BC; mp(d; SA)) =
d(B; mp(d, SA)) vậy suy ra:
d(BC; SA) = d(B; mp(d, SA)) .
Lại có:
3 ( ; ( , )) 3
( ; ) ;
2 ( ; ( , )) 2
AB d B mp SA d AB
BH mp d SA A
AH d H mp SA d AH
∩ = = ⇒ = =
3
( ; ( , )) ( ; ( , ))
2
d B mp SA d d H mp SA d=
.
Trong mặt phẳng (ABC) qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt
đường thẳng d tại I. Khi đó tứ diện HIAS vuông tại H.

Đặt d(H, mp(SA,d)) = d(H, (IAS)) = h ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)
h HA HI
HS
= + +
Dễ dàng tính được
0 0 0
7 21 2 2
tan60 tan60 ; ; cot30 . 3
3 3 3 3
a a a
SH HC HA a HI HA= = = = = =
Thay các giá trị trên vào (*) ta có:
2
2 2
2
2
1 1 1 1 144 42
2
42 12
21 2 3
( )
( ) ( )
3
3 3
a
h

a
h a
a
= + + = ⇒ =
Vậy
3 3 42 42
( ; ( , )) ( ; ( , )) .
2 2 12 8
a a
d B mp SA d d H mp SA d= = =
11
A
B
C
S
d
I
H
Kết luận: khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
42
8
a
*Kiểm nghiệm:
Trong một tiết học ở lớp 11A10 tuần học thứ 32 năm học 2012 - 2013 tôi đưa
ra 2 bài tập: bài 1 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối D năm 2012(thí dụ 5
trong sáng kiến ), bài 2 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối A, A
1
năm
2012 ( thí dụ 11 trong sáng kiến).Trong tuần 33 tôi tiếp tục cho các em làm 2
bài trên nhưng áp dụng kết quả của bài 17c. So sánh kết quả trước và sau khi áp

dụng sáng kiến tôi thấy các em đã bớt lúng túng hơn trong việc tính khoảng
cách, số lượng các em làm đúng cả hai bài trong lớp tăng lên rõ rệt. Cụ thể như
sau:
Trước khi áp dụng sáng kiến :
Lớp 11A10 Sỹ số số lượng các
em làm đúng
1 bài
số lượng các
em làm đúng
2 bài
số lượng các
em không
làm được bài
nào
45 37 6 2
Sau khi áp dụng sáng kiến
Lớp 11A10 Sỹ số số lượng các
em làm đúng
1 bài
số lượng các
em làm đúng
2 bài
số lượng các
em không
làm được bài
nào
45 29 15 1
Áp dụng kết quả bài 17
c
ta có thể giải quyết các bài tập tương tự sau:

Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
( )SO mp ABCD⊥

AC = 4, BD = 2, SO =
3
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng AB và SD
Bài 2.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
'
B
'
C
'
có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AA
'
=
1, BC = 2, AB =
3
. Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A
'
BC)
Bài 3.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
'
B
'
C

'
D
'
có AB = a, AD = 2a, AA
'
= a. Gọi M là
điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số:
3
MA
MD
=
. Tính khoảng cách từ điểm M tới
mp(AB
'
C)
12
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a; AC = BD = b; AB = CD = c. Tính
khoảng cách từ điểm A tới mp(BCD).
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy và SA =
2a

a) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB tính khoảng cách từ điểm G tới mp(SBD)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng SM và BN
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đường kính AD = 2a và SA vuông góc với đáy, với SA =

6a
. Tính
khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC).
Bài 7.
Cho hình lập phương ABCD. A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AA
'
, AD và CC
'
. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hãy tính
các khoảng cách d(B; (MNP)) và d(O; (MNP))
Bài 8.
Cho hình lập phương ABCD. A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi Klà trung điểm của
DD

'
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng CK và A
'
D.
III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
Có thể nói kết quả bài tập 17
c
SGK hình học nâng cao lớp 11 trang 103 là một
cách hữu hiệu để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng mà không
cần phải xác định hình chiếu từ điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, tuy
nhiên giáo viên cần lưu ý với các em : khi đi thi để sử dụng kết quả bài toán đó
thì trước hết phải chứng minh và hầu hết các bài toán tính khoảng cách từ điểm
tới mặt phẳng đều có thể áp dụng kết quả bài toán này.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Hà Sỹ Tiến
13
14