Phương pháp dạy học sinh chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện

Các quy ớc viết tắt
1-ĐPCM : điều phải chứng minh
2-BĐT : Bất đẳng thức
3-CMR : Chứng minh rằng
4-GTNN : Giá trị nhỏ nhất
5-GTLN : Giá trị lớn nhất
6-THCS : Trung học cơ sở
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng
minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì
không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã
nghiên cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức
có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và
qua thử nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy
học sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành
kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh
sau:
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b

4
>
8
1

Kết quả cụ thể :
Điểm dới 5
5 6
7
810 510
SL % SL % SL % SL % SL %
10 50 7 35 2 10 1 5 10 50
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2. Qua kết quả có thể thấy
học sinh không có biện pháp giải dạng toán kiểu chứngminh BĐT có điều kiện
Từ thực tế trên , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu phơng pháp dạy học sinh chứng minh BĐT
có điều kiện , nhằm giúp học sinh có phơng pháp t duy trong việc tìm lời giải của bài
toán chứng minh BĐT
III) Cơ sở ph ơng pháp
4
- Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các
điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức đợc học trong sách giáo
khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn
gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu
thức đại số
IV) Phạm vi áp dụng của đề tài .
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề
trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển
học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng
thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ theo từng bài cụ thể .

( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn
đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
5
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b

2
) = a
3
+ b
3

( a - b ) (a
2
+ ab +b
2
) = a
3
- b
3
(a b)
4
=a4a
3
+ 6a
3
b
3


4ab
3
+b
4
II) Các bất đẳng thức :
(a b)

2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)

4
+ (3 - m)
4
=

432234432234
34363433436343 mm.m.m.mm.m.m
.
+++++++=

=
1622108162
42
++ mm
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a
4
+ b
4
32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma

2
2
với m tuỳ ý
6
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với








=
+=
m

c
b
m
c
a
2
2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt





=
+=
+=
baz
by
ax
1
1

1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2


6
4
3
2
6
2
2
+

++
bb
a
Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
Nhận xét 2 : Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:









=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y
m

k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3
3

với a +b +c = 0
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd
2
1
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
7
zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++=
4
1
4
1
4
1
4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =

++






+






+++

++= zyzxzyzxyxyx
4
1
4
1
2
4
1
4
1
2
2
1
2
1
( )
2
1
4
2
1
2
2
= zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :

=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a
4
4
4
4

Hoặc













+=
+=
+=
+=
q
k
d
p
k
c
n
k
b
m
k
a

4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd
xac
Với x tuỳ ý
Ta có
( ) ( ) ( )( )

=++++=++ xbxaxbxacddc
22
22
abab
xx
ba 33
4
3
2
2
2
++






+=
a,b,x
Dấu = xảy ra khi x = a - b +
2
x
= 0 hay a = b = c = d
8
Với c
2
+ d
2
+cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d

Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa
+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2
1

Với : x + y + z + t = 0
Ta có:
=+++
2222
dcba
2222
4

2
4
2
4
2
4
2






++






++






++

+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++






+++=
2222
4
1
4
1

4
1
4
1
01
2222
++++= tzyx
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
2
1
Nhận xét 4 :
Nếu cho điều kiện là
ka aaaa
n
=+++++
4321
CMR:
n
k
a aaaa
n
2
22
4
2
3
2
2
2
1

+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a
11
+=
,x
n
k
a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

,x
n
k
a
nn
+=
9
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức .

Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng:
a) x
3
+ y
3
9
b) 2x
4
+ y
4
18
Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0
Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 -
t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
x
3
+ y
3
= (1 -t )
3
+ ( t + 2)
3
= 9 +9 t +9t
2
9 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x
4
+ y
4

=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t
4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt
y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx
Hay



=
=
mnky
mnx
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x
2
+ 2y
2
+ 8y > 62
Giải
Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt



+=+
=
kyx
tx
5
2
Với t ,k > 0
Suy ra



++=
=
kty
tx
3
2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x
2

+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2
+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2
+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
10
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt



+=+
+=
kba
tb
8
3

Với k,t > 0




+=
+=
tb
tka
3
5

Thay vào vế trái của BĐT ta có:
27a
2
+ 10b
3
=
( ) ( )
=+++=
32
310527 ttk
( )
945109027027945
32
2
++++= ttktk
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:

+
vx
uyx
Ta nên đặt



=
+=+
mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx
nuvmy
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:




+
lb

kba
Thì ta đặt



+=
+=+
nlb
mkba
với n,m > 0



+=
+=
nlb
nlmka
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a
4
+b
4
+c
4
a
3
+ b
3
+ c
3

Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :
11






+=
+=
+=
zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++
333444
cbacba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++++++++=
333444
111111 zyxzyx
( )
0

4
333
2
3
2
3
2
3
222
2
2
22
2

++
+






++






++

++++
+
zyxz
z
y
y
x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học
sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a
3
+ b
3
< 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng.
Giả sử
2

+
ba
ta đặt



+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3322
33
33
33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+
=
( )
( )
( )
( )
2332
2222
+++++++ yxyxyxyxyx
Vì

0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a
4
+ b
4
< a
3
+ b
3
Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2
+
ba
.Đặt



+=
+=
yb
xa
1
1

với
0+ yx
Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
3344
3344
1111 yxyxbaba +++++=+

( )
( ) ( )
3322
33 yxyxyx +++++=
( )
( )
( )
( )
033
2222
++++++= yxyxyxyxyx
y;x
12
hay
+ 0
3344
baba
với a + b 2 Thì: a
4
+ b
4
a

3
+ b
3
Trái với giả thiết . Vậy a
+ b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2
zyx
cba
++
=++


2

2
2
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++
=
Cho nên

( )
2
3
3222
2
1
3
2
1
111
2
1
222
=++

++






++

+=








++++++=
+
+
+
+
++
=
=
+
+
+
+
+
z
y
y
z
z
x

x
z
y
x
x
y
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
z
zyx
y
zyx
x
zyx
ba
c
ac
b
cb
a

(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dơng và u+v=1. chứng minh rằng
2
2511
22







++






+
v
v
u
u
Giải
Đặt a = u +
u
1

và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
13
Và
2
2






+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì
( )
44
222
22
2
222222
2

babababababa
=
++
=
+







+
< 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
4
25
2
41
2
1
1
2
11
2
11
11
2
1
2

2
2
22
22
22
=






+











+
=

+++
=










+++

++






+=
+
uv
vu
vu
v
v
u
u
v
v
u
u
ba
vì uv
2
1
2
2

=






+ vu
do đó
4
1

uv
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
2
1
bài toán:15
Cho a.b
0
Chứng minh rằng:
043
2
2
2
2
+

++
a
b
b
a
a
b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b
b
a
+
ta có :
2
2
2
2
2
2
++=
a
b
b

a
x

2
2
2
2
2
2
=+ x
a
b
b
a
Bất đẳng thức trở thành:

0432
2
+ xx
023
2
+ xx
( )( )
021 xx
Nếu ab< 0

Thì ta có
02
22
++ baba

abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab
ba
Vậy x
2
Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )
021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
14
c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có
điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ
mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải đợc các dạng
toán nh :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số.
-Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện .
-Sáng tao ra bất đảng thức mới.
Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng nh giáo viên có phơng
pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ
trớc tới nay cha có cách giải tổng quát
2)Kết quả cụ thể:

Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lợt nh sau
Đề 1
a)cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2

3
1

b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx
Đề 2
b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

4
9
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a
3
+ b
3
+ ab

Đề 3
Cho x + y = 3 và x 1.chứng minh rằng:
a)2x
2
+ y
2
6
b) xy 2
c) x
3
+ y
3
- 6x
2
- 3y
2
+ 9 0
Kết quả thực hiện nh sau :
Điểm Dới5
56
7
810 510
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
1 10 50 6 30 3 15 1 5 10 50
2 4 20 10 50 4 20 2 10 16 80
15
3 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100
Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự nh sau:
Đề 1:
a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x
2
+ y
2

10
1
b)Cho x + y = 3 và y
2

Chứng minh rằng2x
2
+ y
2
3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng
bdac
< 1
b)Cho a + b + c + d 2 Chứng minh rằng
1+++ dcba
Đề 3

a) Cho a
2
+ b
2
2 chứng minh rằng a + b 2
b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng
3344
baba ++
Kết quả cụ thể nh sau
Điểm
Dới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55
2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75
3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện

của tr
của tr
ờng sau khi các em đ
ờng sau khi các em đ
ợc làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến Đổi
ợc làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến Đổi
biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
Sau khi thu đ
Sau khi thu đ
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ơng pháp giải toán ử trên không khó đố với
ơng pháp giải toán ử trên không khó đố với
học sinh khá giỏi ,mà điều cần l
học sinh khá giỏi ,mà điều cần l
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì lời giải
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì lời giải
mới ngắn gọn
mới ngắn gọn
KếT LUậN Và KIếN NGHị
A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài:
Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản
là giúp cho giải toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thêm một cách
giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả
16
Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy co giáo và học sinh thấy đợc
mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp .
B.) Kiến nghị , đề xuất h ớng nghiên cứu .
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên đây cần :

- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất
cho bài toán .
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó , các bài giải
phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm theo .
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi
trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những u nhợc điểm của đề
tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần
trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng .
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
17
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phơng pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)
18