skkn dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức véc-tơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. thpt vĩnh lộc

SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh. Phần nhiều
các em học sinh chỉ tìm ra lời giải của bài toán, rồi sau đó quên ngay, không suy
nghĩ thêm về bài toán mình vừa làm, không để lại ấn tượng sâu sắc gì về bài toán
đó. Có một số khá đông các em lại không để ý đến bài tập thầy cô ra về nhà. Chính
vì vậy mà kiến thức của các em đơn điệu, rời rạc và thậm chí hổng rất nhiều, không
có sự bao quát, thiếu chiều sâu. Bài toán chứng minh bất đẳng thức là bài toán khó,
nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao
đẳng, thi học sinh giỏi. Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngại
tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài toán. Bằng kinh nghiệm
giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có
tâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức:
- Học sinh chưa được trang bị một cách có hệ thống và bài bản về các phương pháp
cơ bản dùng để chứng minh bất đẳng thức.
- Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chưa
phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống.
- Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu
của mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
- Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, các thầy cô giáo
chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát huy được tính tự
giác, năng lực sáng tạo của học sinh.
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường
phổ thông trung học chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh,
cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá việc hoạt động học tập của học sinh. Một
trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạt
động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi suy
nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương
pháp, các thuật toán.
Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử
dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh các hoạt động nói

trên, đặc biệt là phát triển năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán chứng
minh bất đẳng thức bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng
kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung
để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu
có sẵn.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm
như sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng
minh bất đẳng thức.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
1. Bất đẳng thức vectơ và các hệ quả của nó
a) Bất đẳng thức vectơ
Với
a,b
r r
là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
a b a b (I.1)+ +£
r r r r
a b a b (I.2)- +£
r r r r

a.b a . b (II)£
r r r r
•
Dấu “=” trong (I.1) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r

cùng hướng
b 0
Cã sè k 0 ®Ó a kb (b 0)
é
=
ê
Û
ê
ê
=³ ¹
ë
r r
r r r r
(1)
Nếu
a (x; y)
b (x';y')
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
r
r

thì (1) (
Û
xy' x'y 0
x y
k 0)
x y
0 (hay 0)
x' y'
x' y'
ì
- =
ï
ï
ï
ï
= = ³Û
í
ï
³ ³
ï
ï
ï
î
•
Dấu “=” trong (I.2) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
ngược hướng
b 0
Cã sè k 0 ®Ó a kb (b 0)

é
=
ê
Û
ê
ê
=£ ¹
ë
r r
r r r r
(2)
Nếu
a (x; y)
b (x';y')
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
r
r
thì (2) (
Û
xy' x'y 0

x y
k 0)
x y
0 (hay 0)
x' y'
x' y'
ì
- =
ï
ï
ï
ï
= = £Û
í
ï
£ £
ï
ï
ï
î
•
Dấu “=” trong (II) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
cùng phương
b 0
Cã sè k ®Ó a kb (b 0)
é
=
ê

Û
ê
ê
= ¹
ë
r r
r r r r
(3)
Nếu
a (x; y)
b (x';y')
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
r
r
thì (3)
Û
xy' x'y 0- =Û

(Ta quy ước rằng trong hai tỉ số trên, nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0. Trong hai
tỉ số đó, chắc chắn có một tỉ số có mẫu khác 0 vì

b 0¹
r r
)
Chú ý. Hai bất đẳng thức (I.1) và (II.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép
như sau
a b a b a b (I)- + +£ £
r r r r r r
Các bất đẳng thức (I) và (II) được gọi là bất đẳng thức vectơ.

2
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
b) Hệ quả
1) Với
a,b
r r
là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
a b a b (III.1)- +£
r r r r
a b a b (III.2)- -£
r r r r
Hai bất đẳng thức (III.1) và (III.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như
sau
a b a b a b (III)- - +£ £
r r r r r r
•
Dấu “=” trong (III.1) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
ngược hướng
•

Dấu “=” trong (III.2) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
cùng hướng
2) Với
a,b,c
r r r
là ba vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
a b c a b c (IV)+ + + +£
r r r r r r
Dấu “=” trong (IV) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ
a,b,c
r r r
cùng hướng
c 0
Cã sè k 0 ®Ó a kc (c 0) (4)
Cã sè l 0 ®Ó b lc (c 0)
é
=
ê
ê
ê
=Û ³ ¹
ê
ê
=³ ¹
ê
ë
r r
r r r r

r r r r
Nếu
a (x; y)
b (x';y')
b (x'';y'')
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
r
r
r
thì (4) (
Û
xy'' x''y 0
x y x'y'' x''y' 0
k 0
x'' y''

x y
)
0 (hay 0)
x' y' x'' y''
l 0
x'' y''
x' y'
0 (hay 0)
x'' y''
ì
- =
ï
ï
ï
ï
ì
- =
ï
ï
ï
= = ³
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
Û
³ ³
í í

ï ï
ï ï
= = ³
ï ï
ï ï
ï ï
î
ï
³ ³
ï
ï
ï
î
3) Với
1 2 n
a ,a , ,a
ur ur ur
là n vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
1 2 n 1 2 n
a a a a a a (V)+ + + + + +£
ur ur ur ur ur ur
Dấu “=” trong (V) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ
1 2 n
a ,a , , a
ur ur ur
đôi một cùng hướng
4) Với
a,b
r r
là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau

a.b a . b (VI.1)£
r r r r
;
a . b a.b (VI.2)- £
r r r r
;

3
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
•
Dấu “=” trong (VI.1) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
cùng hướng
•
Dấu “=” trong (VI.2) xảy ra khi và chỉ khi
a,b
r r
ngược hướng
Chú ý. Việc áp dụng các bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) là tương đương nhau. Cũng
như vậy, việc áp dụng các bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) là tương đương nhau. Do
đó trong thực hành, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức (I.1) và (I.2)
2. Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để
chứng minh bất đẳng thức. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng
được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳng thức đó tiềm ẩn các dữ kiện
của hình học giải tích. Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức
vectơ:
- Các vế của bất đẳng thức có chứa căn bậc hai hoặc các biểu thức trong căn bậc hai
là tổng của các bình phương. Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ sẽ giúp ta khử

bớt căn hoặc khử bớt ẩn.
- Các vế của bất đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và tích độ
dài của hai vectơ đó.
Để dùng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo
chọn tọa độ các vectơ để sau khi sử dụng bất đẳng thức vectơ thì các vế của bất
đẳng thức cần chứng minh xuất hiện. Cần chú ý đến trường hợp xảy ra dấu bằng
trong bất đẳng thức để chọn tọa độ của các vectơ cho phù hợp.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết với bài
tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng bất
đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức hầu như không có. Vì thế các em học
sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này, dẫn đến việc bỏ qua bài
toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và
Cao đẳng, thi học sinh giỏi.
Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để
chứng minh bất đẳng thức, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải
của bài toán. Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh
nghiệm trong việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán nói chung và giải các
bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng.
Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:
- Đứng trước những bất đẳng thức nào có thể lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ
để giải và nếu dùng được bất đẳng thức vectơ thì chọn tọa độ của các vectơ như thế
nào. Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa
dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong
chứng minh bất đẳng thức

4
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
- Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng

phương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh.
Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử
dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi suy
nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững
từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói
chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khồng phụ thuộc vào
khuôn mẫu có sẵn.
Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều,
chưa đi sâu nghiên cứu các bài bài toán chứng minh bất đẳng thức giải được bằng
phương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong
việc dạy và học về bất đảng thức, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa
dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để học
sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình
huống học tập.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành
những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết
sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toán
phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh
nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ra
sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán.
Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp
12A
3,
12A
1
trong hai năm học 2011-1012, 2012-2013. Khi được tiếp cận với
chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra,
đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán cho
các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng phương pháp vectơ.

Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ vận dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với
x
là số thực bất kì, ta luôn có
2 2
x 4x 5 x 10x 34 5 (1)- + + - + ³
Tìm
x
để dấu “=” xảy ra.
Hướng dẫn giải. Ta có
2 2 2 2 2 2
x 4x 5 x 10x 34 (x 2) 1 ( x 5) 3- + + - + = - + + - + +
Xét hai vectơ
u (x 2; 1); v ( x 5; 3)= - = - +
r r
Khi đó:
u v (3; 4); u v 5+ = + =
r r r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức (1).

5
SKKN: Dy hc sinh s dng bt ng thc vect gii cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc
Du = xy ra khi v ch khi
x 2 1 11
x
x 5 3 4
-

= =
- +
Chú ý. Ngoài cách chọn hai vectơ
u,v
r r
nh trên, ta còn có thể chọn chúng theo các
cách sau
u ( x 2; 1)
v ( x 5; 3)
u v (3; 4)
ỹ
ù
= - -
ù
ù
ý
ù
= - + -
ù
ù
ỵ
+ = -ị
r
r
r r
hoc
u ( x 2; 1)
v ( x 5; 3)
u v ( 3; 4)
ỹ

ù
= - +
ù
ù
ý
ù
= -
ù
ù
ỵ
+ = -ị
r
r
r r
hoc
u ( x 2; 1)
v ( x 5; 3)
u v ( 3; 4)
ỹ
ù
= - + -
ù
ù
ý
ù
= - -
ù
ù
ỵ
+ = - -ị

r
r
r r
Vớ d 2. Chng minh rng vi
x
l s thc bt kỡ, ta luụn cú
a)
2 2 2 2 2 2
x 2px 2p x 2qx 2q (p q) ( p q )- + + - + - + +
(1)
(p v q l cỏc hng s khụng ng thi bng 0)
Tỡm
x
ng thc xy ra.
b)
2 2 2 2 2 2 2 2
x 2ax a p x 2bx b q (a b) ( p q )- + + + - + + - + +
(2)
(a v b l cỏc hng s; p v q l cỏc hng s khụng ng thi bng 0)
Tỡm
x
ng thc xy ra.
Hng dn gii.
a) Ta cú
2 2
2 2 2 2 2 2
x 2px 2p x 2qx 2q (x p) p ( x q) q- + + - + = - + + - + +
Xột hai vect
u ( x p; p ); v ( x q; q )= - = - +
r r

Khi ú:
u v ( p q; p q )+ = - + +
r r

p dng bt ng thc
u v u v+ +Ê
r r r r
, ta c bt ng thc (1).
Du = xy ra khi v ch khi
p p q q p
x p
x
x q q p q
+
-
= =
- + +
b) Ta cú
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x 2ax a p x 2bx b q (x a) p ( x b) q- + + + - + + = - + + - + +
Xột hai vect
u ( x a; p ); v ( x b; q= - = - +
r r
Khi ú:
u v ( a b; p q )+ = - + +
r r

p dng bt ng thc
u v u v+ +Ê

r r r r
, ta c bt ng thc (2).

6
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
p p b q a
x a
x
x b q p q
+
-
= =Û
- + +
Ví dụ 3. Cho a và b là hai số thỏa mãn a – 2b + 2 = 0. Chứng minh rằng
2 2 2 2
a b 6a 10b 34 a b 10a 14b 74 6+ - - + + + - - + ³
(1)
Tìm a và b để đẳng thức xảy ra.
Hướng dẫn giải.
Từ điều kiện đã cho rút ra a = 2b – 2, thế vào vế trái của (1), ta có
2 2 2 2 2 2
21 7
VT(1) 5(b 6b 10) 5b 42b 98 5[(b 3) 1 ] 5[( b ) ( ) ]
2 5
= - + + - + = - + + - + +
Xét hai vectơ
u ( b 3 ; 1)
21 7
v ( b ; )

5 5
6 12
u v ( ; )
5 5
ü
ï
= -
ï
ï
ï
ý
ï
= - +
ï
ï
ï
þ
+ =Þ
r
r
r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức (1).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a 2b 2
a 5
b 3 1
7

b
21 7
b
2
5 5
ì
= -
ï
ï ì
=
ï
ï
ï
ï
-
ï ï
Û
í í
=
ï ï
=
ï ï
- +
ï ï
î
ï
ï
î
Nhận xét. Bài toán trên có thể phát biểu cách khác như sau:
Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0.

Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB.
Ta có thể giải bài toán theo cách khác: Dễ kiểm tra được rằng A và B nằm cùng
phía đối với (d).Từ đó ta có thể dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối
xứng trục) để giải bài toán như sau
- Xác định toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1).
- Xác định toạ độ điểm M
0
là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng A’B:
M
0
7
(5; )
2
.

- Với M là điểm bất kì trên (d), ta có
MA + MB = MA’ + MB
≥
M
0
A’+M
0
B = A’B = 6.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M
0
.

7
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB là 6 khi M

7
(5; )
2
.

Ví dụ 4. Cho
, ,x y z
là ba số tuỳ ý. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z+ + + + + ≥ + +
Hướng dẫn giải. Ta có
2 2
2 2
2 2 2 2
3 3
;
2 2 2 2
y z
x xy y x y x xz z x z
   
   
+ + = + + + + = + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ:

3 3
; ; ;
2 2 2 2
y z
a x y b x z
   
= + = − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
r r
Khi đó:
2 2 2 2 2 2
3( )
; ; ;
2 2
y z y z
a b x xy y x xz z a b a b y yz z
 
− +
+ = + + + + + + = + = + +
 ÷
 ÷
 
r r r r r r
.Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ ≤ +
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực

x
, ta có:
2 2
1 1 1x x x x+ + − − + <
Hướng dẫn giải. Ta có

2 2
2 2
2 2
1 3 1 3
1 ; 1
2 2 2 2
x x x x x x
   
   
+ + = + + − + = − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
1 3 1 3
; ; ;
2 2 2 2
u x v x
   
= + = − + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
r r
Khi đó:
2 2
1 1 ; (1; 0); 1u v x x x x u v u v− = + + − − + + = + =
r r r r r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v- +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
(Chú ý dấu bằng không xảy ra)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với
, ,a b c
là các số thực bất kì ta có
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2a c b a c b a b+ + + − + ≥ +
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( ; ); ( ; )u a c b v a c b= + = −
r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 7. Cho
,x y
là các số thực bất kì, chứng minh rằng:

8
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5A x y x x y x y= + + + + + − − + ≥
Hướng dẫn giải. Ta có
2 2 2 2
( 3) (2 ) (1 ) (3 2 )A x y x y= + + + − + −

Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( 3; 2 ); (1 ; 3 2 )u x y v x y= + = − −
r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 8. Cho bốn số thực
, , ,a b c d
tuỳ ý. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a c b d a b c d± + ± ≤ + + +
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( ; ); ( ; )u a b v c d= = ± ±
r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£

r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 9. Cho bốn số thực
, , ,a b c d
tuỳ ý. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c b d c d a+ + − + ≥ + −
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( ; ); ( ; )u b a v c b d= − = − ±
r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
x
và
y
, ta đều có
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y+ − + + − ≥
.
Tìm
x
và
y
để đẳng thức xảy ra ?
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy
, xét các vectơ
(2cos cos ; sin( )); (2sin sin ; sin( ))u x y x y v x y x y= − = −
r r
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
4cos cos sin ( ); 4sin sin sin ( ); 4cos ( ) 4sin ( ) 2u x y x y v x y x y u v x y x y
= + − = + − + = − + − =
r r r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ ≤ +
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi
2
x y
π
+ =
.
Ví dụ 11. Cho
,x y
là các số thực thay đổi.
a) Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 2 1 2P x y x y y y y= − + + + + + − ≥ + + −
.
b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
P
.
Hướng dẫn giải.

a) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( 1; ); ( 1; )u x y v x y= − + = +
r r

9
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Ta có:
2 2 2 2 2
(2; 2 ); ( 1) ; ( 1) ; 2 1u v y u x y v x y u v y+ = = − + = + + + = +
r r r r r r
Áp dụng bất đẳng thức
u v u v+ +£
r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
,u v
r r
cùng hướng, tức là
1 1 0x x x− + = + ⇔ =
.
b) Ta có
2 2
2 1 2 2 1 2 (1)P y y y y≥ + + − ≥ + + −
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có

2 2
3 3.1 1. 3 1. 1 2 1 (2)y y y y+ ≤ + ≤ + + = +
Từ (1) và (2) suy ra

3 2 3 2 (3)P y y≥ + + − = +
Dấu “=” trong (3) xảy ra khi dấu “=” trong (1) và trong (2) cùng xảy ra, tức là
2 0, 3 0
3
1
3
1
3
y y
y
y

− ≤ + ≥

⇔ =

=


.
Vậy
min 3 2P = +
khi
1
0,
3
x y= =
.
Chú ý. Đối với học sinh lớp 12, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của
P

đơn giản hơn
bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:
•
Đặt
2
( ) 2 1 2f y y y= + + −
Với
2y ≤
thì
2
( ) 2 1 2f y y y= + + −
. Lập bảng biến thiên ta suy ra ngay
1
( ) 2 3
3
f y f
 
≥ = +
 ÷
 
.
Với
2y >
thì
2 2
( ) 2 1 2 2 1 2 5 2 3f y y y y= + + − > + > > +
.
Từ hai trường hợp trên ta có giá trị nhỏ nhất của
P
bằng

2 3+
.
•
Cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số
( )f y
, với
y ∈¡
để thu được kết quả
như trên.
Ví dụ 12. Cho
, ,x y z
là các số thực dương thoả mãn
1x y z+ + ≤
.
a) Chứng minh rằng:
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) (1)x y z x y z
x y z x y z
 
+ + + + + ≥ + + + + +
 ÷
 
.
b) Áp dụng bất đẳng thức
1 1 1
( ) 9x y z
x y z

 
+ + + + ≥
 ÷
 
, hãy chứng minh

10
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82P x y z
x y z
= + + + + + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải.
a) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
1 1 1
( ; ); ( ; ), ( ; )a x b y c z
x y z
= = =
r r r
Khi đó:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
; ; , , ;a b c x y z a x b y c z
x y z x y z

 
+ + = + + + + = + = + = +
 ÷
 
r r r r r r

2
2
1 1 1
( )a b c x y z
x y z
 
+ + = + + + + +
 ÷
 
r r r
Áp dụng bất đẳng thức
a b c a b c+ + + +£
r r r r r r
, ta có bất đẳng thức (1).
Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi
, ,a b c
r r r
cùng hướng, hay:
1 1
; 0 0
1 1
x x
x x
x y z

y z
y z
= = > ⇔ = = >
b) Ta có
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) 81( ) 80( ) (2)x y z x y z x y z
x y z x y z
   
+ + + + + = + + + + + − + +
 ÷  ÷
   
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
2
2
1 1 1 1 1 1
81( ) 2.9( ) 18.9 162 (3)x y z x y z
x y z x y z
   
+ + + + + ≥ + + + + ≥ =
 ÷  ÷
   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1 1
9( )
1
3
x y z
x y z

x y z
x y z

+ + = + +

⇔ = = =


= =

Từ giả thiết
0 1x y z< + + ≤
suy ra:

2 2
80( ) 80 80( ) 80 (4)x y z x y z+ + ≤ ⇔ − + + ≥ −
.
Dấu “=” trong (4) xảy ra khi và chỉ khi
1x y z+ + =
.
Từ (1), (3), (4), ta có:
82P ≥
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
3
x y z= = =
.

11

SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Nhận xét:
•
Ta có cách khác để chứng minh:
2
2
1 1 1
( ) 82S x y z
x y z
 
= + + + + + ≥
 ÷
 

như sau
Ta có
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
2
2
81 81
( )
( )
S x y z t
x y z t
⇒ ≥ + + + = +
+ +
, với

2
( )t x y z= + +
Theo giả thiết thì
0 1t< ≤
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
81
( )f t t
t
= +
, với
0 1t< ≤
, ta suy ra
( ) 82f t ≥
, với
mọi
0 1t< ≤
.
( ) 82 1f t t= ⇔ =
.
Vậy
82S ≥
, hay
82P ≥
.
•
Cũng có thể chứng minh
82S ≥
theo cách sau:
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

1
2t
t
+ ≥
.
Từ
0 1t< ≤
, suy ra
1
1
t
≥
Từ đó
81 1 80
( ) 2 80 82f t t t
t t t
 
= + = + + ≥ + =
 ÷
 
.
•
Hoặc: Ta có
( )
2
2
2
2
3
3

1 1 1 1 9
( ) 3. 3. 9S x y z xyz u
x y z xyz u
 
 
= + + + + + ≥ + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
,
với
( )
2
3
u xyz=
.
Ta có:
2
1
0
3 9
x y z
u
+ +
 
< ≤ ≤
 ÷
 

.
Đến đây, ta có thể chứng minh
9
( ) 9 82g u u
u
= + ≥
tương tự như việc chứng minh
( ) 82f t ≥
.
Ví dụ 13. Cho
, ,x y z
là các số thực dương. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
3( )x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + +

12
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Hướng dẫn giải. Ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
; ;
2 2 2 2 2 2
y z x
x xy y x y y yz z y z z zx x z x
     
     
+ + = + + + + = + + + + = + +
 ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
     
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
3 3 3
; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
y z x
a x y b y z c z x
     
= + = + = +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
r r r
Khi đó
3 3
( ); ( ) , 3( )
2 2
a b c x y z x y z a b c x y z
 
+ + = + + + + + + = + +
 ÷
 ÷
 
r r r r r r
.

Áp dụng bất đẳng thức
a b c a b c+ + ≥ + +
r r r r r r
, ta được bất đẳng thức phải chứng
minh.
Ví dụ 14. Cho các số thực
, ,x y z
thoả mãn
2 3 40x y z+ + =
. Tìm gia strị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2 2
2 1 3 16 36S x y z= + + + + +
.
Hướng dẫn giải. Ta có
2 2 2 2 2 2
(2 ) 2 (3 ) 12 6S x y z= + + + + +
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ:
(2 ; 2), (3 ; 12), (4 ; 6)a x b y c z= = =
r r r
, th×
2 2 2 2 2 2
(2 ) 2 , (3 ) 12 , 6a x b y c z= + = + = +
r r r
; (2 3 ; 2 12 6) (40;20)
20 5
S a b c a b c x y z
a b c

⇒ = + + + + = + + + + =
⇒ + + =
r r r r r r
r r r
Áp dụng bất đẳng thức
a b c a b c+ + ≥ + +
r r r r r r
, ta được
20 5S ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ
, ,a b c
r r r
cùng hướng, tức là
2 3 2 3 2 3 40
2 2, 8, 12
2 12 6 2 12 6 2 12 6 20
x y z x y z x y z
x y z
+ +
= = ⇒ = = = = = ⇒ = = =
+ +
.
Với
2, 8, 12x y z= = =
thì
20 5S =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng
20 5
khi

2, 8, 12x y z= = =
.
Ví dụ 15. Cho
, ,a b c
là các số thực dương thoả mãn
4
3
ab bc ca+ + ≥
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
P a b c
b c a
= + + + + +
+ + +
.
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ

13
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
1 1 1
; ; ; ; w ;
1 1 1
u a v b c
b c a

     
= = =
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
r r ur
Áp dụng bất đẳng thức
w wu v u v+ + ≥ + +
r r ur r r ur
, ta có
2
2 2
2
1 1 1 81
( ) ( )
1 1 1 ( 3)
P a b c a b c
b c a a b c
 
≥ + + + + + ≥ + + +
 ÷
+ + + + + +
 
Đặt
t a b c= + +
, suy ra
3( ) 2t ab bc ca≥ + + ≥
.
Xét hàm số
2

2
81
( ) , 2
( 3)
f t t t
t
= + ≥
+
.
Ta có:
3 3
162 2[ ( ) 169]
'( ) 2
( 3) ( 3)
g t
f t t
t t
+
= − =
+ +
, trong đó
( ) ( 2)( 11 49 125) ( ) 0, 2g t t t t t g t t= − + + + ⇒ ≥ ∀ ≥
Từ đó
181
'( ) 0, 2 ( ) (2) , 2
25
f t t f t f t> ∀ ≥ ⇒ ≥ = ∀ ≥
.
Suy ra
181

5
P ≥
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4
9
a b c= = =
.
Vậy
181
min
5
P =
.
Ví dụ 16. Cho
, ,a b c
là các số thực dương và thỏa mãn
a b c abc+ + =
. Chứng
minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải. Hệ thức trong giả thiết tương đương với:
1 1 1
1

a b c
+ + =
(chia hai
vế cho
abc
)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
3
a b b c c a
+ + + + + ≥
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
1 2 1 2 1 2
; ; ; ; w ;u v
a b b c c a
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
r r ur
Áp dụng bất đẳng thức
w wu v u v+ + ≥ + +
r r ur r r ur
, ta được bất đẳng thức phải chứng
minh.

14
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi
3a b c= = =
.
Ví dụ 17. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
α
và
β
, ta đều có
4 4 2 2
cos cos sin sin 2
α β α β
+ + + ≥
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
2 2 2 2
(cos ; cos ); (sin ;0); w (0;sin )u v
α β α β
= = =
r r ur
Khi đó:
4 4 2 2
w (1;1), w 2; w cos cos sin sinu v u v u v
α β α β
+ + = + + = + + = + + +
r r ur r r ur r r ur
Áp dụng bất đẳng thức
w wu v u v+ + ≥ + +

r r ur r r ur
, ta được bất đẳng thức phải chứng
minh.
Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số
a
và
b
, ta đều có
2 2
1 ( )(1 ) 1
2 (1 )(1 ) 2
a b ab
a b
+ −
− ≤ ≤
+ +
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải.
Cách 1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
2 2
2 2 2 2
2 1 1 2
; ; ;
1 1 1 1
a a b b
u v
a a b b

   
− −
= =
 ÷  ÷
+ + + +
   
r r
Áp dụng bất đẳng thức
. .u v u v≤
r r r r
, ta có bất đẳng thức phải chứng minh.
Cách 2. Trong không gian với hệ tọa tọa độ
Oxyz
, xét các vectơ
(1; ;0), (1; ;0)u a v b= = −
r r
Khi đó:
2 2 2 2
1
cos( , ) ; sin( , )
1 . 1 1 . 1
ab a b
u v u v
a b a b
− +
= =
+ + + +
r r r r
.
Ta có:

2 2 2 2
( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1
sin2( , ) 2sin( , )cos( , ) 1
(1 )(1 ) 2 (1 )(1 ) 2
a b ab a b ab
u v u v u v
a b a b
+ − + −
= = ≤ ⇔ − ≤ ≤
+ + + +
r r r r r r
Ví dụ 19. Giả sử hệ
2 2
2 2
3
16
x xy y
y yz z

+ + =


+ + =


có nghiệm. Chứng minh rằng
8xy yz zx+ + ≤
.
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy

, xét các vectơ
3 3
; ; ;
2 2 2 2
x z
a y x b z y
   
= + = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
r r

15
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Ta có:
2 2 2 2
3
3; 4; . ( )
2
a x xy y b y yz z a b xy yz zx= + + = = + + = = + +
r r r r
Từ bất đẳng thức
. .a b a b≤
r r r r
, suy ra:
8xy yz zx+ + ≤
(ĐPCM).
Ví dụ 20. Cho
, ,a b c

là các số dương thỏa mãn
,a c b c> >
. Chứng minh rằng
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, xét các vectơ
( ; ); ( ; )u a c c v c b c= − = −
r r
Khi đó:
. ( ) ( ); ;u v c a c c b c u a v b= − + − = =
r r r r
.
Từ bất đẳng thức
. .u v u v≤
r r r r
, suy ra:
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
(ĐPCM).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
,u v
r r
cùng hướng, tức là
2
1 1 1
( 0) ( )( ) ( )
a c k c
a c c
u kv k a c b c c ab c a b
a b c

c b c
c k b c

− =
−

= > ⇔ ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = + ⇔ + =

−
= −


r r
(Chú ý rằng
0, 0, 0c a c b c> − > − >
)
Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng với mọi
x ∈¡
, ta luôn có:
2 2
2 5 12 136 13x x x x− + + − + ≥
2. Chứng minh rằng với mọi
,x y∈ ∈¡ ¡
, ta luôn có:
2 2 2 2
4 12 9 4 4 6 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
3. Cho
1, 4 ( , , 0)a b c ax by cz a b c+ + = + + = ≠
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 9 9 5a a x b b y c c z+ + + + + ≥
4. Cho
, , 0a b c >
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3a ab b b bc c a ac c− + + − + ≥ − − +
5. Cho
,x y
thỏa mãn
2 2
1x y+ =
. Chứng minh rằng:
2 2
5 2 5 6x xy y+ − ≤
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2 2
16 32 4 8
2 4 10
2 2 5 5 2 2 5 5
x x x x x x
y x= + + − + + − + + − +
7. Cho
,x y
là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
( ) ( )A x a y x a y y b= − + + + + + −

16
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

trong đó
0,
3
a
a b≥ ≥
là các hằng số.
8. Cho
0, 0, 0a b c> > >
. Chøng minh r»ng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 2a b c
a b c
+ + + + + ≥
9. Cho ba số
, ,a b c
thỏa mãn điều kiện
2 1 0a b c− + + =
. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 6 4 14 18 8 18 178 3 26a b c a b c a b c a b c+ + + − + + + + + + − − + ≥
10. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:
2 2 2 2
2
11
x xy y y yz z
x y z

− + + − + =


+ + ≤


.
IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng
đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc sử dụng phương pháp bất đẳng
thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm
Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến hành
dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A
3
với nội dung: Sử dụng bất đẳng thức vectơ để
chứng minh bất đẳng thức.
Sau quá trình dạy học, tôi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A
3
.
Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A
4
trường THPT Vĩnh Lộc.
Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút)
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
a
và
b
, ta đều có
2 2 2 2 2 2
4sin cos cos ( ) 4 cos sin cos ( ) 2a b a b a b a b+ + + + + ≥

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
y 4x 4x 10 4x 12x 10= − + + + +
Bài 3. Cho
,x y
là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
( 2) ( 2) 3A x y x y y= − + + + + + −
Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng vận dụng bất đẳng thức vectơ
trong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
3. Kết quả thực nghiệm
Trong lớp mà tôi tiến hành dạy thực nghiệm không có học sinh giỏi, có
khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, còn lại là mức trung bình. Bởi vậy, phần
lớn các em cho rằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán
chứng minh bất đẳng thức là tương đối khó.

17
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
V b i ki m tra, tôi ch m k v thu c k t qu nh sauề à ể ấ ĩ à đượ ế ả ư
Điểm
8 7 6 5 < 5
Lớp thực nghiệm
3 15 10 9 8
Lớp đối chứng
1 8 9 12 15
Kết quả sơ bộ:
+ Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 82,2%, trong đó
có 40% loại khá, giỏi.
+ Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 66,7%, trong đó có

20% loại khá, giỏi.
4. Kết luận chung về thực nghiệm
Qua quá trình thực nghiệm, tôi rút ra một số kết quả sau
- Việc dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán
chứng minh bất đẳng thức có tác dụng rèn luyện năng lực giải bài tập toán cho học
sinh.
- Việc dạy học phương pháp đó còn giúp cho học sinh khả năng nhìn nhận bài toán
cũng như lựa chọn phương pháp và công cụ để giải toán một cách có hiệu quả hơn.
- Việc tổ chức dạy học có tác dụng tốt trong việc gây hứng thú học tập cho học
sinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực của học sinh trong việc suy nghĩ, tìm tòi
lời giải của bài toán và giải bài toán đó.
- Việc tổ chức dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài
toán chứng minh bất đẳng thức tạo cho học sinh có niềm tin, có tư duy linh hoạt,
nhạy bén, chủ động tìm hướng giải quyết bài toán theo nhiều cách và lựa chọn
được cách giải có lợi nhất.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức
vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức” đã thu được một số kết
quả sau
- Sáng kiến kinh nghiệm đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận của việc rèn luyện năng
lực giải bài tập toán.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ thống các bài toán minh hoạ cho
việc áp dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức ở nhiều tình
huống khác nhau. Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng
tạo, nhạy bén trong giải quyết các vấn đề mới.

18
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
- Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để

giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp quan trọng trong
hoạt động giải các bài tập toán.
- Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới phương
pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo, linh hoạt
của người học. Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên
của học sinh.
- Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài là chấp
nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành.
- Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo
viên và học sinh trong việc dạy học toán và mong được quý đồng nghiệp trao đổi,
góp ý.
2. Đề xuất
Qua quá trình thực hiện, tôi có kiến nghị như sau:
- Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng, phong
phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toán
chứng minh bất đẳng thức, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán.
- Các thầy cô giáo nên dành một số buổi hoạt động ngoại khoá về phương pháp sử
dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán để học sinh được trang bị tương đối
đầy đủ về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, từ đó các em có sự nhạy bén
trong việc giải các bài toán bằng phương pháp này.
Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho các
đồng nghiệp và học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề bất đẳng thức. Mặc dù
đã có nhiều cố gắng nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránh
được thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý của quý đồng nghiệp và
các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 16 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến

kinh nghiệm của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Người viết
Hoàng Văn Khanh
TÀI LIỆU THAM KHẢO

19
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
1. Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4 năm 2009, 2010,2011.
2. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài giảng
luyện thi tập 1, 2, NXB Giáo dục.
3. Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
4. Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam, Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB Giáo dục.
6. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, Phương pháp dạy học môn toán.
7. Phan Huy Khải, Toán nâng cao đại số 10, NXB ĐHQG Hà Nội.
8. Trần Văn Hạo (chủ biên), Chuyên đề luyện thi vào Đại học, Bất đẳng thức
9. G. POLYA, Sáng tạo toán học, Giải một bài toán như thế nào?, Toán học và
những suy luận có lý, NXB Giáo dục.
10. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.

20