MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PHẦN I
MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã
hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ
một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học
khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh
những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu
cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy
học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các
kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành
cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực
hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ
việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc
biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của
việc học toán
Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong
những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm
x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở
cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9.
Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và
có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo
Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không
nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương
trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học
sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng

mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua
Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà trường trực
tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp
Huyện và Tỉnh, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể
giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp bất cứ một
dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt
nhất?
Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp
giải phương trình vô tỉ” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS
II. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra
những phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất
III. Phạm vi nghiên cứu
Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông
Trang 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường
THCS Bu PRăng. Cụ thể là những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của
trường và của Huyện
IV. Cơ sở nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức mà tôi đã tự tìm tòi nghiên
qua các tài liệu toán bậc THCS trên mạng, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các
tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ
môn Toán bậc trung học cơ sở
V. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nâng lên lũy thừa
– Phương pháp trị tuyệt đối hóa
– Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
– Phương pháp đưa về phương trình tích

– Phương pháp đặt ẩn phụ
– Giải và biện luận phương trình vô tỉ
VI. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện trong năm học 2010 - 2011
VII. Giới hạn của đề tài
Đề tài được sử dụng trong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối
tượng là những học sinh giỏi bộ môn Toán bậc THCS
PHẦN II
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Khảo sát tình hình thực tế
Năm học 2010 - 2011, tôi được trường THCS Bu PRăng giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi hai môn Toán và giải toán trên máy tính cầm tay. Đây là một cơ hội rất
tốt để tôi thực hiện đề tài này, phương trình vô tỉ là một trong những dạng phương
trình khó. Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh
tham gia trong hai đội tuyển thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán
mới. Trước khi bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn toán trên
43 học sinh của lớp 9. Kết quả thu được như sau:
Giỏi: 5 em
Khá:15 em
Trung bình: 18 em
Yếu: 5 em
Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán do tôi phụ trách đầu tháng 09 gồm 05 học sinh,
qua quá trình bồi dưỡng, chọn lọc trực tiếp. Tôi đã chọn ra được 02 em đi tham dự kỳ
thi học sinh giỏi cấp Huyện
Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông
Trang 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
II. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa
a) Dạng 1:

f (x) g(x)=
⇔
2
g(x) 0
f (x) [g(x)]
≥


=

Ví dụ. Giải phương trình:
x 1 x 1+ = −
(1)
Giải: (1) ⇔
2
x 1
x 1
x 1
x 3
x 3x 0
x 1 x 1
≥
≥

≥



⇔ ⇔
  

=
− =
+ = −




Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
b) Dạng 2:
f (x) g(x) h(x)+ =
Ví dụ. Giải phương trình:
x 3 5 x 2+ = − −
(2)
Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) ⇔
x 3 x 2 5+ + − =
⇔
2x 1 2 (x 3)(x 2) 25+ + + − =
⇔
(x 3)(x 2) 12 x+ − = −
⇔
2 2
2 x 12
2 x 12
x 6
25x 150
x x 6 144 x 24x
≤ ≤
≤ ≤



⇔ ⇔ =
 
=
+ − = + −


Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3:
f (x) g(x) h(x)+ =
Ví dụ. Giải phương trình:
x 1 x 7 12 x+ − − = −
(3)
Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
(3) ⇔
x 1 12 x x 7+ = − + −
⇔
x 1 5 2 (12 x)(x 7)+ = + − −
⇔
2
2 19x x 84 x 4− − = −
⇔ 4(19x – x
2
– 84) = x
2
– 8x + 16
⇔ 76x – 4x
2
– 336 – x
2

+ 8x – 16 = 0
⇔ 5x
2
– 84x + 352 = 0

( ) ( )
2 2
2
84 352 42 1764 1764 352
5 x x 5 x 2 x
5 5 5 25 25 5
42 4 44
5 x 5 5 x 8 x (x 8) 5x 44
5 25 5
   
− + = − × + − +
 ÷  ÷
   
   
= − − × = − − = − −
 ÷  ÷
   
⇔ x
1
=
44
5
; x
2
= 8

Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
=
44
5
; x
2
= 8
d) Dạng 4:
f (x) g(x) h(x) k(x)+ = +
Ví dụ. Giải phương trình: x x 1 x 4 x 9 0− − − − + + = (4)
Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
(4) ⇔
x 9 x x 1 x 4+ + = − + −
⇔
2x 9 2 x(x 9) 2x 5 2 (x 4)(x 1)+ + + = − + − −
⇔
7 x(x 9) (x 1)(x 4)+ + = − −
Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông
Trang 3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
⇔
2 2
49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 4+ + + + = − +
⇔ 45 + 14x + 14
x(x 9)+
= 0
Với x ≥ 4 ⇒ vế trái của phương trình luôn là một số dương ⇒ phương trình vô
nghiệm
2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa

Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
x 4x 4 x 8− + + =
(1)
Giải: (1) ⇔
2
(x 2) 8 x− = −
Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1) ⇔ |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5
HD: Đáp số: x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình
x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − +
(2)
Giải: (2) ⇔
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1+ + + + + + − + + = + − + +
⇔
x 1 1 | x 1 3| 2.| x 1 1|+ + + + − = + −
Đặt y =
x 1+
(y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành:
y 1 | y 3| 2 | y 1|+ + − = −
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1 . Giải phương trình
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 5x 1− < − ⇒ vế trái luôn âm
Vế phải:
3x 2−
≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x 1 5x 1 3x 2− = − + −
⇔
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)− = − + − −
⇔
2 7x 2 (5x 1)(3x 2)− = − −
Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô
nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
(1)
Giải: Ta có (1) ⇔
2 2 2
4 9
3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5
3 5
   
+ + + + + + + = − + + +
 ÷  ÷
   

Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông
Trang 4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
⇔
2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)+ + + + + = − +
Ta có: Vế trái ≥ 4 9 2 3 5+ = + = . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy
nhất)
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
x 7
8 2x 2x 1
x 1
+
+ = + −
+
Giải: điều kiện x ≥
1
2

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– Nếu
1
x 2
2
≤ <
: VT =

6
1 8 8 3
x 1
+ + < +
+
. Mà: VP >
8 3+
– Nếu x > 2: VP = 2x
2
+
2x 1−
> 2.2
2
+
3
=
8 3+
. VT <
8 3+
x 2 x 1 2 1
6 6
1 1 3
x 1 2 1
> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 2 2
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − + − − −

Giải: Thử với x = 2. Ta có:
2 2 2
3.4 7.2 3 2 2 3.2 5.2 1 2 3.2 4
1 2 3 6
− + − − = − + − − −
⇔ − = −
(1) ⇔
2 2 2 2
(3x 5x 1) 2(x 2) (x 2) 3(x 2) 3x 5x 1 x 2− − − − + − − − = − − − −
Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x < 2: VT > VP
Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3. Giải phương trình:
6 8
6
3 x 2 x
+ =
− −
Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x =
3
2
là nghiệm của phương trình. Ta cần
chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x <
3
2
:
6
2
3 x
<

−
và
8
4
2 x
<
−

⇒
6 8
6
3 x 2 x
+ <
− −
.
Tương tự với
3
2
< x < 2:
6 8
6
3 x 2 x
+ >
− −
Ví dụ 4. Giải phương trình:
2 2
3x(2 9x 3) (4x 2)(1 1 x x ) 0+ + + + + + + =
(1)
Giải : (1)
(

)
(
)
2 2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0⇔ + + + + + + + =
(
)
(
)
2 2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3⇔ + + = − + + + +
Bạch Xuân Lương – Trường Bu PRăng - Huyện Tuy Đức - Tỉnh đắk Nông
Trang 5