Bài giảng môn lý thuyết xác suất và thống kê toán (ĐH Kinh tế quốc dân): Chương 6

Chng5.Mtsnhlýhit
Chơng 5
Một số định lý hội tụ


Giả sử trên không gian xác suất (, A, P) ta có dãy các biến ngẫu nhiên
và biến ngẫu nhiên Y.
{}
),n(X
n
21=

A. Sự hội tụ theo xác suất
I. định nghĩa v một số đặc điểm
1. Định nghĩa
Dẫy
{}
đợc gọi là hội tụ theo xác suất về X nếu với mọi
nhỏ tuỳ ý ta đều có:
(
,nX
n
21=
)
0>

(
)
1
=

<

XXPlim
n
n

Lúc đó ta ký hiệu
)n(XX
)P(
n






ý nghĩa: Nh vậy nếu
)n(XX
)P(
n





thì

{
}
(

)



<

n)(X)(X:P
n
1
hoặc cũng có nghĩa là
{
}
(
)







n)(X)(X:P
n
0

2. Một số đặc điểm
Định lý 1:
Nếu
()

nXX
)P(
n
và
)n(YY
)P(
n





thì
)n(YXYX
)P(
nn

+



+
.
Chứng minh.
Với mọi ta có 0>
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

213
Chng5.Mtsnhlýhit

()()
[]















++
22
YYXXYXYX
nnnn

Vậy

()()
[]

+







++
22
0 YYPXXPYXYXP
nnnn

Do giả thiết về sự hội tụ theo xác suất của về X và của về Y nên giới
hạn ở vế bên phải bằng 0.
n
X
n
Y
Từ đó ta suy ra

()()
[
]

0
=


+
+

YXYXPlim
nn
n

Do đó
)n(YXYX
)P(
nn

+



+

Định lý 2: Nếu g là hàm liên tục trên R và
)n(XX
)P(
n

thì:

()
)n()X(gXg
)P(
n






Chứng minh
Vì g là hàm liên tục nên tại với mọi
0
x
0>

sẽ có 0>


sao cho với mọi
x thì khi
<
0
xx ta sẽ có

<

)x(g)x(g

0
áp dụng cho biến ngẫu nhiên ta
có thể viết: sao cho:
00 >> ,

(
)
[
]

<

< )X(g)X(gXX
nn

Lấy xác suất hai vế ta đợc
(
)
[
]

<

< )X(g)X(gPXXP
nn

Suy ra

(
)

[
]

<


<

)X(g)X(gPlimXXPlim
n
n
n
n

Do
)n(XX
)P(
n




nên giới hạn ở vế trái bằng 1.
Vậy

[
]
1
<

)X(g)X(gPlim
n
n

Do xác suất không thể vợt quá một nên ta suy ra
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
214
Chng5.Mtsnhlýhit

[
]
1
=
<



)X(g)X(gPlim
n
n

Điều này chứng tỏ
)n()X(g)X(g
)P(
n

.

II. Một số quy luật số lớn
Ta đã biết rằng một biến cố có xác suất bằng 0 có thể coi là hầu nh không
thể có. Tơng tự một biến cố có xác suất bằng 1 có thể coi là hầu nh chắc
chắn xẩy ra.
Mặt khác một biến cố ngẫu nhiên thờng do rất nhiều nguyên nhân ngẫu
nhiên gây ra. Các nguyên nhân ngẫu nhiên này có thể biểu thị bằng các biến
ngẫu nhiên. Vì vậy ta phải xem xét các biến ngẫu nhiên này phải thoả mãn
những điều kiện gì để tác động tổng cộng của chúng có thể dẫn đến các biến
cố có xác suất bằng 0 (hoặc bằng 1). Việc tìm ra các điều kiện này chính là nội
dung của các quy luật số lớn.

1. Bất đẳng thức Trê-b-sép
Bất đẳng thức này là cơ sở để chứng minh một số định lý về luật số lớn và
đợc phát biểu nh sau:
Với mọi biến ngẫu nhiên X mà có
(
)
+<
r
XE
trong đó
0>
r
thì với
mọi số
0>

ta đều có:

()
(
)
r
r
XEXP


1

Chứng minh
Ta chứng minh cho trờng hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ
xác suất f(x) xác định trên R.
Ta có

()



=
x
r
r
x
dx)x(fxdx)x(fXP
1

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
215
Chng5.Mtsnhlýhit

(
)
r
r
r
r
XEdx)x(fx

=



+

11

Ghi chú: Nếu thay X bởi X- E(X) và r = 2
Ta có

()
[]
2
2
1
)X(EXE)X(EXP

Tức là

()
2


)X(V
)X(EXP
(1)
Hoặc viêt dới dạng tơng đơng

()
2
1

<
)X(V
)X(EXP (2)
Các dạng (1) và (2) là các dạng thờng dùng của bất đẳng thức Trê_b_sép.

2. Định lý Trê-b-sép (luật số lớn của Trê-b-sép)
Phát biểu:
Nếu
{}
là dẫy các biến ngẫu nhiên:
),n(X
n
21=

a. Độc lập từng đôi.
b. Có phơng sai bị chặn đều, tức là tồn tại hằng số C sao cho
với mọi , thì với mọi số
C)X(V
i

1i 0>

nhỏ tuỳ ý ta đều có:

()
1
11
11
=






<

==

n
i
i
n
i

i
n
XE
n
X
n
Plim

Chứng minh
Ta ký hiệu

=
=
n
i
in
X
n
X
1
1

áp dụng bất đẳng thức (2) cho biến ngẫu nhiên
n
X
ta đợc

()
()
(

)
)(
XV
XEXP
n
nn


<
2
1

Theo tính chất của kỳ vọng toán ta có
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
216
Chng5.Mtsnhlýhit

()
)()X(E
n
X
n
EXE
n
i
i
n
i
in
=

=

== 11
11

Do giả thiêt (a) nên:

()
()

==
=






=
n
i
i
n
i

in
XV
n
X
n
VXV
1
2
1
11

Do giả thiết (b) nên ta suy tiếp:

()
()
=
n
C
nC
n
XV
n
2
1

Thay các kêt quả ở
()

và
()

vào bất đẳng thức ở
(
)

ta đợc:

()
2
11
1
11








<

== n
C
XE
n
X
n
P
n

i
i
n
i
i

Lấy giới hạn hai vế:

()














<

==


2
11

1
11
n
C
limXE
n
X
n
Plim
n
n
i
i
n
i
i
n


()
1
11
11

<

==

n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
Plim

Do xác suất bị chặn trên bởi 1 nên ta suy ra hệ thức phải chứng minh.
ý nghĩa: Qua định lý ta thấy biến ngẫu nhiên

=
=
n
i
in
X
n
X
1
1

hội tụ theo xác
suất về giá trị trung bình của các kỳ vọng toán của các biến ngẫu nhiên thành
phần tạo nên nó. Nói cách khác nếu ta ký hiệu

=
=
n
i
in
X
n
a
1
1
thì định lý
Trê_b_sép cho thấy tính ổn định của biến ngẫu nhiên
n
X
quanh giá trị
này.
n
a
Trờng hợp đặc biệt. Nếu các đều bằng
)X(E
i

thì hệ thức đã nêu trong định
lý trở thành:

(

)
1=<

n
n
XPlim

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
217
Chng5.Mtsnhlýhit
Một trong các trờng hợp đặc biệt này sau này ta sẽ gặp là các
là những biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng quy luật phân phối
xác suất, do đó có cùng kỳ vọng là
, ),n(X
n
21=

và cùng phơng sai là . Khi ấy, mặc
dù từng biến ngẫu nhiên có thể nhận giá trị sai khác rất nhiều so với
2

i
X

,
nhng biến ngẫu nhiên trung bình cộng
n
X
của một số rất lớn các biến ngẫu
nhiên thành phần này lại nhận giá trị rất gần với

i
X

với xác suất rất gần 1.

3. Định lý Bernoulli (luật số lớn của Bernoulli)
Phát biểu:
Nếu là số lần xuất hiện của biến cố A trong n phép thử độc lập
với mỗi phép thử chỉ có hai kêt quả là A và
và với xác suất để A xuất hiện
trong mỗi phép thử đều là P(A) = p( 0 < p < 1) thì với mọi số nhỏ tuỳ ý
ta đều có:
n
S
0>

1=








<

p
n
S

Plim
n
n

ý nghĩa: Ta thấy
n
S
n
chính là tần suất của A trong lợc đồ Bernoulli với hai
tham số n và p. vì vậy theo định lý này ta thấy
n
f
)n(pf
)P(
n




. Do đó
nếu n khá lớn ta có thể lấy giá trị của làm giá trị xấp xỉ cho p. Đây chính là
cách xác định xác suất của một biến cố A nào đó theo quan điểm thống kê.
n
f
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức Trê_b_sép cho biến ngẫu nhiên ta đợc:
n
f

()

(
)
2
1

<
n
nn
fV
)f(EfP

Nếu gọi là số lần xuất hiện của biến cố A trong phép thử thứ i
i
X
)n,i( 1=

thì các là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo quy luật A(p) với
và .
i
X
()
pXE
i
=
()
)p(pXV
i
= 1
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
218

Chng5.Mtsnhlýhit
Do đó

() ()
pXE
nn
X XX
E
n
S
EfE
n
i
i
nn
n
==






+
+
+
=

=

=1
21
1


() ()
n
)p(p
)p(np
n
XV
nn
S
VfV
n
i
i
n
n

===

=

=
1
1
11
2
1
2

Thay các kết quả này vào bất đẳng thức trên ta đợc:

()
2
1
1


<
n
)p(p
pfP
n

Lấy giới hạn hai vế ta đợc:

()

<

2
1
1
n
)p(p
limpfPlim
n
n
n

Do
4
1
1 )p(p
và hữu hạn nên giới hạn bên phải bằng 1. Do xác suất bị
chặn trên bởi 1 nên cuối cùng ta suy ra:


(
)
1=<

pfPlim
n
n


4. Định lý Markov ( luật số lớn của Markov)
Phát biểu:
Nếu dẫy các biến ngẫu nhiên
{
}
, ),n(X
n
21
=
thoả mãn điều kiện:

0
1
1
2
=

=

n
i
i
n
XV
n
lim
Thì khi đó với mọi số
0>

nhỏ tuỳ ý ta đều có:

()
1
11
11
=

<

==

n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
Plim

ý nghĩa: Nh vậy điều kiện trong định lý Markov rộng hơn các điều kiện trong
định lý Trê_b_sép ở chỗ không đòi hỏi tính độc lập của các biến ngẫu nhiên
thành phần và tính bị chặn đều của các phơng sai của chúng.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
219
Chng5.Mtsnhlýhit
Chứng minh
á
p dụng bất đẳng thức Trê_b_sép cho biến ngẫu nhiên

=
=
n

i
in
X
n
X
1
1
ta đợc

2
1
11
1
1
11

<









=
==
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
n
V
X
n
EX
n
P

Nh đã biết

()

==
=






n
i
i
n
i
i
XE
n
X
n
E
11
11

=







==
n
i
i
n
i
i
XV
n
X
n
V
1
2
1
11

Thay các kết quả này vào bất đẳng thức trên và lấy giới hạn hai vế ta đợc:

()




















<

=

==

n
i

i
n
n
i
i
n
i
i
n
XV
n
limXE
n
X
n
Plim
1
22
11
11
1
11

Do giả thiết của định lý ta suy ra vế phải bằng 1, và do xác xuất bị chặn trên
bởi 1 nên ta suy ra hệ thức phải chứng minh.

Ghi chú. Đặc biệt nếu nh các biến ngẫu nhiên X
n
(n = 1,2.) đôi một không
tơng quan (và mạnh hơn nữa đôi một độc lập) thì điều kiện trong định lý

Markov trở thành:

() (


=
nXV
n
n
i
i
0
1
1
2
)

Thí dụ 1. Hãy xác định số lợng tối thiểu các phép thử cần thực hiện trong
lợc đồ Bernoulli để dựa vào f
n
ta có xấp xỉ đợc p với độ chính xác 0,1 và độ
tin cậy tối thiểu là 95%.
Bài giải
Ta phải xác định giá trị tối thiểu của n sao cho:

(
)
95010 ,,pfP
n
<

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
220
Chng5.Mtsnhlýhit
Theo định lý Bernoulli ta chỉ biết đợc f
n
hội tụ theo xác suất về p. Tuy nhiên
dựa vào bất đẳng thức Trê_b_sép áp dụng cho f
n
đã nêu trong phần chứng
minh định lý này ta có:

()
(
)
2
10
1
110
),(n
pp
,pfP
n

<

Vậy ta phải có:
()
950
10
1

1
2
,
),(n
pp
=


do cha biết, nhng vì p(1- p)
4
1
nên ta
có thể đánh giá tiếp:

950
104
1
1
2
,
),(n


Suy ra n
500

Thí dụ 2. Cho dãy { X
n
} (n = 1,2,.) là các biến ngẫu nhiên độc lập với quy
luật phân phối xác suất nh sau:

X
i
i


0
i

p(x
i
)
i2
1

i
1
1

i2
1

Chứng tỏ rằng dẫy biến ngẫu nhiên này tuân theo quy luật số lớn.
Bài giải
Ta đễ dàng tính đợc E(X
i
) = 0, V(X
i
) =
i

Từ đó

n
n
n
i
n
)X(V
n
n
i
n
i
n
i
i
1111
1
2
1
2
1
2
=<=

===

Vậy
0
1

1
2
=

=

n
i
i
n
)X(V
n
lim
và
{
}
),n(X
n
21
=
tuân theo luật số lớn.

B. Sự hội tụ theo quy luật
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
221
Chng5.Mtsnhlýhit
I. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
Dãy các biến ngẫu nhiên {X
n

} (n = 1, 2,) đợc gọi là hội tụ theo quy
luật về X nếu: với mọi x thuộc thuộc tập hợp các điểm liên
tục của F
)x(F)x(Flim
XX
n
n
=

X
(X).
Khi đó ta ký hiệu
)n(XX
L
n





.

Ghi chú 1. Do có sự tơng ứng ( 1-1 ) giữa hàm đặc trng và hàm phân phối
nên điều kiện trên có thể thay bằng:

)t(g)t(glim
XX
n
n
=

Ghi chú 2. Ta biết quy luật chuẩn là quy luật thờng gặp và có nhiều ứng dụng.
Vì thế ta sẽ tìm các điều kiện một dãy biến ngẫu nhiên
{
}
),n(X
n
21=
sẽ hội
tụ theo quy luật về quy luật N( 0; 1). Chính xác hơn ta có khái niệm tiệm cận
chuẩn nh sau:
Nếu quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên X phụ thuộc vào tham số n và nếu
ta có thể chọn đợc hai đại lợng m
0
và
0

(phụ thuộc hoặc không phụ thuộc
vào n) sao cho khi n
thì hàm phân phối của biến ngẫu nhiên


0
0


=
mX
X
~

Sẽ tiến tới hàm phân phối của quy luật chuẩn N( 0;1), tức là

()





==<=
x
u
U
n
X
~
n
due)x(FxX
~
Plim)x(Flim
2
2
2
1

Thì ta nói rằng X tiệm cận chuẩn
(
)
00

,m
.

Thí dụ. Nếu X tuân theo quy luật
)n(
2

thì nó tiệm cận chuẩn
(
)
n,n 2.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
222
Chng5.Mtsnhlýhit
Chứng minh
Thật vậy, vì X tuân theo quy luật
)n(
2

nên
()
2
21
n
X
it)t(g

=

E (X) = n

V (X) = 2n suy ra
(
)
nX 2=
Ta xét biến ngẫu nhiên chuẩn hoá từ X:
n
nX
X
~
2

=

Khi đó hàm đặc trng của
X
~
sẽ là

[]






==

n
nX
it

X
~
it
X
~
eEeE)t(g
2







=

t
n
ge
X
n
it
2
1
2

2
2
2
2

2
1
2
1
21
n
n
it
n
n
it
n
itet
n
ie












=

=

Do đó









=
n
itln
n
n
it)t(gln
X
~
2
1
2
2
.
Khai triển Mac_laurin ta có:

n
it
n
it
n
it
n
itln +

















=

32
2
3
12
2
122
1

Suy ra







+=
n
t
)t(gln
X
~
1

0
2
2

Vậy
2
2
t
X
~
n
e)t(glim


=

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
223
Chng5.Mtsnhlýhit
Đây là hàm đặc trng của quy luật N( 0;1) từ đó ta kết luận hàm phân phối của
n
nX
X
~
2

=
tiến tới hàm phân phối của quy luật N( 0;1) khi , tức là X
tiệm cận chuẩn
n

(
)
n,n 2.

II. Định lý giới hạn trung tâm của liapounov

Phát biểu. Cho các biến ngẫu nhiên độc lập X
k
(k = 1,2) có kỳ vọng hữu hạn
E(X
k
) = a
k
và phơng sai hữu hạn
(
)
2
kk
XV

=
.
Nếu
(
0
1
1
3
3
=

=

n
k
kk
n
n
aXE
B
lim
)
(*)
Trong đó:

()

===
==






==
n
k
k
n

k
k
n
k
knn
XVXV)S(VB
1
2
11
2
Thì sẽ tiệm cận chuẩn với m

=
=
n
k
kn
XS
1
0
là E(S
n
) và
0

là
()
n
SV
, tức là

tổng chuẩn hoá:

()
()
n
nn
n
nn
n
S
)S(ES
SV
)S(ES
S
~


=

=

Sẽ thoả mãn

(
)
)x(FxS
~
Plim)x(Flim
Un
n

S
~
n
n
=<=


Trong đó là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên U tuân theo quy luật N(
0;1).
)x(F
U
Nói cách khác:

2
2
t
U
S
~
n
e)t(g)t(glim
n


==
.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
224
Chng5.Mtsnhlýhit
ý nghĩa. Điều kiện (*) đợc gọi là điều kiện Liapounov. Nếu điều kiện này

đợc thoả mãn thì với n khá lớn quy luật phân phối của tổng có thể
coi xấp xỉ là quy luật chuẩn với kỳ vọng là và với
phơng sai là .

=
=
n
k
kn
XS
1
() ( )

==
==
n
k
k
n
k
kn
aXESE
11
() ( )

==
==
n
k
k

n
k
kn
XVSV
1
2
1
Chứng minh
Để chứng minh định lý này ta sẽ chứng minh rằng hàm đặc trng của tổng
chuẩn hoá:



=
==

=

=
n
k
n
kk
n
n
k
k
n
k
k

n
B
aX
B
aX
S
~
1
11

sẽ tiến tới hàm đặc trng của quy luật N( 0;1) khi

n , tức là

2
2
t
S
~
n
e)t(glim
n


=

Theo tính chất của hàm đặc trng thì:


=

=
n
k
B
aX
S
~
)t(g)t(g
n
kk
n
1

i)
Vì vậy trớc hết ta xác định theo công thức khai triển đã
biết:
()
)t(g
kk
aX

()
1 với
1
0
<+=


=

!k
z
!r
iz
e
k
k
k
r
iz

Ta suy ra

()
(
)
(
)
(
)
1 với
3210
3210
<+++=
!
tX
!
itX
!
itX

!
itX
e
itX


1với
62
1
3
3
2
2
<++= X
t
X
t
itX
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
225
Chng5.Mtsnhlýhit
Do đó ta có thể viết khai triển của nh sau:
)t(g
X

()
)t(R)X(E
t
)X(itEeE)t(g
itX

X
++==
2
2
2
1

trong đó phần d R(t) thoả mãn bất đẳng thức

(
)
33
tXEC)t(R

Từ đó ta suy ra:

()
(
)
[
]
kk
kk
aXit
aX
eE)t(g


=

()()
)t(RaXE
t
aXitE
kkkkk
++=
2
2
2
1
Với
(
)
33
taXE.C)t(R
kkk

trong đó C là hằng số nào đó.
Vì
()
0
=

=
=
kkkkkk
aaa)X(EaXE

()
(
)
[
]
(
)
2
22
kkkkkk
XVXEXEaXE ===
Nên ta có:

()
)t(Rt)t(g
k
k
aX
kk
+

=

2
2
2
1
ii)
Theo tính chất đã biết của hàm đặc trng là nên
ta suy ra:

)at(g)t(g
XaX
=

() ()








=

n
aX
B
aX
B
t
g)t(g
kk
n
kk

+









=
n
k
n
k
B
R
B
t
1
2
1
2
2

+

=
n
k
n
k
B
Rt
B
1
2
1
2
2
2

trong đó
()
3
3

1
n
kk
n
k
B
t
aXE.C
B
R









Tức là
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
226
Chương5.Mộtsốđịnhlýhộitụ

(
)
3
3
3
1

t
B
aXE
.C
B
R
n
kk
n
k
−
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

iii)
Nh− ®· nªu

)t(g)t(g
n
k
B
aX
S

~
n
kk
n
∏
=
−
=
1

nªn
∑
=
−
=
n
k
B
aX
S
~
)t(gln)t(gln
n
kk
n
1


∑
=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
σ
−=
n
k
n
k
n
k
B
t
Rt
B
ln
1
2

2
2
2
1
V×
()
nn
ln
α
≈
α+1
nÕu
0→
α
n
nªn:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
+
σ
−≈
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
σ
−
n
k
n
k
n
k
n
k
B

t
Rt
BB
t
Rt
B
ln
2
2
2
2
2
2
22
1
Do ®ã

∑
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
+
σ
−≈
n
k
n
k
n
k
S
~
B
t
Rt
B
)t(gln
n
1
2
2
2
2


∑
∑
=

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
σ
−=
n
k
n
k
n
n
k
k
B
t
Rt
B
1
2
2
1
2
2

∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
n
k
n
k
n
n
B
Rt
B
B
1
2
2
2
1
2

∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
n
k
n
k
B
R
t
1
2
1
2

iv)
V×
(
)
3
3

3
1
t
B
aXE
.C
B
R
n
kk
n
k
−
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

Nªn
()
∑∑
==
−
Β
≤

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
k
kk
n
n
k
n
k
aXEt.C
B
R
1
3
3
3
1
11

LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD
227
Chng5.Mtsnhlýhit
Nếu điều kiện Liapounov đợc thoả mãn, tức là nếu

(
)
()



=
naXE
n
k
kk
n
0
1
1
3
3

thì

=
nkhi
B
R
n
k
n
k
0
1
1

Do đó

()
n
t
)t(gln
n
S
~
2
2

Vì thế
()


ne)t(g
t

S
~
n
2
2

Vậy định lý đợc chứng minh.

Hệ quả 1 (Định lý Lindeberg_levy).
Nếu là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng quy luật
phân phối xác suất với
{}
, ),n(X
n
21=
()
aXE
k
=
và
(
)
2
bXV
k
=
và có các mô_men cấp 3 hữu
hạn thì sẽ tiệm cận chuẩn với và

=

=
n
k
kn
XS
1

=
===
n
k
kn
na)X(E)S(Em
1
0
() ()
nbnbbSVS
n
k
knn
=====

=
2
1
2
0
.
Chứng minh
Ta xét điều kiện Liapounov đối với dãy các biến ngẫu nhiên này.

Ta có

()
()
(
)
3
2
1
3
3
3
2
3
1
3
3
2
3
1
3
3
2
3
3
11
11
bn
n
bnbn

aXE
nb
aXE
B
n
k
n
k
kkk
n

===
=


=
=

Do giả thiết mô_men trung tâm tuyệt đối cấp 3 là
3
hữu hạn nên ta suy ra
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
228
Chng5.Mtsnhlýhit

()
0
1
3
2

1
3
3
3
=

=


b
n
limaXE
B
lim
n
kk
n
n

Vậy đối với dãy các biến ngẫu nhiên đang xét ta thấy điều kiện Liapounov
đợc thoả mãn nên ta có kết quả phải chứng minh.

ý nghĩa. Nh vậy khi n khá lớn ta có thể coi quy luật phân phối của biến ngẫu
nhiên là xấp xỉ quy luật chuẩn

=
=
n
k
kn

XS
1
(
)
2
nb;naN . Từ đó có thể coi quy
luật phân phối của biến ngẫu nhiên
n
n
k
k
n
XX
nn
S
==

=1
1
là xấp xỉ quy luật chuẩn
với
()
()
aa.n
n
SE
nn
S
EXE
n

n
n
===






=
11

và
()






=
n
S
VXV
n
n

()
n
b

b.n
n
SV
n
n
2
2
22
11
===

tức là ta có thể coi xấp xỉ quy luật phân phối của
n
X
là






n
b
;aN
2
kết quả
này sẽ đợc ứng dụng ở phần thống kê toán sau này.

Hệ quả 2. (Định lý Moivre_laplace hoặc còn gọi là định lý giới hạn tích phân).
Nếu là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo

quy luật A(p) thì biến ngẫu nhiên sẽ tiêm cận chuẩn với
{}
, ),n(X
n
21=

=
=
n
k
kn
XS
1
npm
=
0

và
npq)p(np == 1
0
.
Chứng minh.
Ta có thể coi đây là một trờng hợp riêng của định lý Lindeberg_levy với
và
p)X(E
k
=
()
pq)p(pXV
k

=
= 1
.
Ghi chú.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
229
Chng5.Mtsnhlýhit
Vì các biến ngẫu nhiên X
k
độc lập cùng tuân theo quy luật A(p) nên biến
ngẫu nhiên X = , nh ta đã biết sẽ tuân theo quy luật B(n;p). Vì vậy
định lý Moivre_Laplace cũng có thể phát biểu là

=
=
n
k
kn
XS
1
Quy luật nhị thức B(n;p) tiêm cận chuẩn với
npm
=
0
và
npq=
0
. Từ
đó nếu X tuân theo quy luật B(n;p) và n khá lớn, đồng thời p không quá gần 0
và 1 thì tổng

=

=
==
2
1
2
1
x
xx
xnxx
n
x
xx
qpC)xX(P
Có thể tính xấp xỉ thông qua hàm
)u(
0

đã dùng cho quy luật chuẩn nh sau:

)xXx(P)xX(P
x
xx
21
2
1
==

=














=
npq
npx
npq
npX
npq
npx
P
21

npq
npx
npq
npx
1
0
2
0

Thí dụ: Xác suất để trong một quá trình sản xuất một sản phẩm trở thành phế
phẩm là 0,005 tính xác suất để trong số 10000 sản phẩm đợc lấy ra một cách
ngẫu nhiên để kiểm tra thì sẽ không có quá 70 phế phẩm.
Bài giải

Nếu ký hiệu X là số phế phẩm có thể gặp phải khi ta lấy ngẫu nhiên ra
10000 sản phẩm thì ta phải tính P( X
70).
ở đây ta có một lợc đồ Bernoulli với n = 10000 và p = 0,005 vì vậy:

()()
xx
x
x
x
n
,,C)x(P)X(P

==

==
10000
70
0
10000
70
0
9950005070
Nếu tính trực tiếp từng xác suất trên rồi cộng lại thì rất khó khăn. Vì vậy ta
sẽ áp dụng định lý giới hạn tích phân để tính xấp xỉ.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
230
Chng5.Mtsnhlýhit
Ta có thể viết

()
(
)
70070


= XPXP














=
npq
np
npq
npX
npq
np
P
700

Vì np = 10000.0,005 = 50

75499950005010000 ,,.,.npq ==

Nên

()













=
7549
5070
7549
50
7549
500
0
,,

X
,
PxP












=
842
7549
50
097
,
,
X
,P


),(),( 097842
00

99760,
Ghi chú 2. Nếu ký hiệu f
n
là tần suất xuất hiện của biến cố A trong lợc đồ
Bernoulli với hai tham số là n và p thì

n
n
k
k
n
n
XX
nn
S
n
X
f ====

=1
1

trong đó X
k
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo quy luật A(p).
Do X tuân theo quy luật nhị thức và nếu đợc xấp xỉ bởi quy luật chuẩn

N( np; npq ) thì ta suy ra khi đó khi đó quy luật phân phối của f
n
cũng có thể
coi là xấp xỉ quy luật chuẩn N(p ;
n
pq
).

Thí dụ: Xác định số phép thử tối thiểu phải thực hiện để cho tần suất f
n
của
biến cố A khác với xác suất p của A một lơng không quá với một xác suất
không nhỏ hơn .
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
231
Chng5.Mtsnhlýhit
Bài giải
Nh vậy ta phải xác định n sao cho

(
)



< pfP
n
với và đã ấn định.
Nếu xấp xỉ quy luật của f
n
bởi quy luật chuẩn N(p;

n
pq
) thì theo công thức đã
biết trong quy luật chuẩn, ta có

()
()










<
n
n
f
pfP
0
2

=













=
pq
n
n
pq
00
22

Do đó ta phải xác định n sao cho

=

pq
n
0
2
tức là
2
0

=










pq

n

Do đã ấn định nên ta tra bảng giá trị của hàm
)u(
0

ta sẽ tìm đợc giá trị
của U sao cho
2
0

= )u(
.
Từ đó suy ra

u
pq
n


, tức là
2
2


pqu
n

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
232

Chng5.Mtsnhlýhit
Chẳng hạn nếu
950,=

thì
4750
0
,)u(
=

. Ta tra bảng đợc u = 1,96.
Nếu = 0,1 thì
()
()
2
2
10
961
,
pq,
n
. Tuỳ trờng hợp p cha biết, ta có thể đánh giá
tiếp bằng cách thay tích pq bởi giá trị lớn nhất của nó là
4
1
và suy ra

()
()
97

104
961
2
2

,.
,
n

Cách ớc lợng này ta cũng đã thực hiện bằng cách dùng bất đẳng thức
Trê_b_sép nhng với quan niệm đại khái hơn nhiều.

Ghi chú 3. Liên quan tới việc xấp xỉ quy luật nhị thức bởi quy luật chuẩn, ta
còn có định lý giới hạn địa phơng sau đây:

Định lý
Với n khá lớn và p không quá gần 0 và 1. Thì khi X đủ lớn để cho U nằm
trong một khoảng hữu hạn thì ta sẽ có

)u(
npq
qpC)x(P
xnxx
nn
=

1

trong đó
npq

npx
u

=
, còn )u(

là hàm mật độ của quy luật chuẩn N( 0;1).
tức là
2
2
2
1
u
e)u(


=
.
Chứng minh
Thật vậy vì
npq
npx
u

=

nên
(
)
1npqunpx +=

(
)
2npqunqxn =

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
233
Chương5.Mộtsốđịnhlýhộitụ

np
q
u
np
x
+=1


nq
p
u
nq
xn
−=
−
1

Theo c«ng thøc Stirling ta cã

nn

en.n!n
−
π≈ 2
V× vËy

()()
()
()
xn
xn
xx
xnxnn
xnxx
nn
exn.xnen.n
qpen.n
qpC)x(P
−−
−
−
−−
−
−−ππ
π
≈=
22
2


)(

xn
nq
x
np
)xn(x
n
xnx
1
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra víi n kh¸ lín th× x
≈ np vµ n- x ≈ nq.

Do
®ã

)(
npq
nq.np
n
)xn(x
n
2
1
=≈
−

Ngoµi ra biÕt r»ng víi
α
n
→ 0 th×
2
2
1
1
nnn
)ln( α−α≈α+
V× vËy

⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
np
x
ln.x
np
x
ln
x
np
ln

x
x


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
np
q
uln.x
1


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−≈
np
q
u
np

q
ux
2
2
1


()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
np
q
u
np
q
unpqunp
2
2
1

LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD
234
Chương5.Mộtsốđịnhlýhộitụ
T−¬ng tù

()
(
)
xn
xn
nq
xn
ln
xn
nq
ln
−−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−=
nq
xn
lnxn


()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
nq
p

ulnxn
1


()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−−≈
nq
p
u
nq
p
uxn
2
2
1


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−−=

nq
p
u
nq
p
u)npqunq(
2
2
1

Tõ ®ã ta cã

()
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−

−
xnx
xnx
nq
xn
np
x
ln
xn
nq
x
np
ln


(
)
xnx
nq
xn
ln
np
x
ln
−−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−≈
nq
p
p
np
q

quu
32
2
1
2
1

Suy ra

(
)
2
2
1
u
xn
nq
x
np
lnlim
xnx
n
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→

Tøc lµ

()
)(e
xn
nq
x
np
lim
u
xnx
n
3
2
2

−
−
∞→
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

LêVănPhong‐TrầnTrọngNguyên,ĐHKTQD
235
Chng5.Mtsnhlýhit
Căn cứ vào (2) và (3) ta thấy khi n khá lớn thì biểu thức ở (1) có thể viết xấp
xỉ là

2
2
1
2
1
u
n
e.
npq
.)x(P





)u(
npq
e.
npq
u
=

=

1
2
11
2
2

Đó là điều phải chứng minh.

Thí dụ. Nếu tính xác suất để trong 10000 sản phẩm lấy ra đã xét ở trên có
đúng 40 phế phẩm thì ta có:
(
)
(
)
(
)
996040
40
1000010000
9950005040 ,,CP =
áp dụng định lý giới hạn địa phơng để tính xấp xỉ xác suất này ta có:

421
057
5040
057 ,
,
npq
npx
u,npq

=

=

Do đó

() ()
421
057
1
40
10000
,
,
P

Vì là hàm chẵn nên
()
u
()
(
)
421421 ,,

=
. Tra bảng ta đợc
vì thế
()
14560421 ,, =

() ()
00206014560
057
1
40

10000
,,
,
P =

Nếu dùng trực tiếp mà không dùng định lý giới hạn địa phơng ta có:

()
00197040
10000
,P

Ghi chú 4. Định lý Moivre_Laplace cho phép ta xấp xỉ quy luật nhị thức B(n;p)
bởi quy luật chuẩn N(np; npq). Sự xấp xỉ này khá tốt khi np
5 và n(1-p) 5.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
236
Chng5.Mtsnhlýhit
Tuy nhiên do B(n;p) là một quy luật rời rạc với các giá trị nguyên, còn quy luật
chuẩn là một quy luật liên tục nên để việc xấp xỉ này đợc tốt hơn công thức
xấp xỉ

()

npq
npx
npq
npx
xxxP
1
0
2
021

Đợc sửa nh sau:

()

+

npq
,npx
npq
,npx
xxxP
5050
1
0
2
021

Sự sửa đổi này cũng còn đợc áp dụng khi một phân phối rời rạc nhận giá
trị nguyên đợc xấp xỉ bởi phân phối liên tục, tức là khi ta xấp xỉ biểu thức
tính xác suất

()

=
=
2
1
21
x
xx
xpxxxP
()
bởi tích phân
()

2
1
x
x
dxxf
Trong đó p(x) là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, còn f(x) là
hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu nh X nhận những giá trị
nguyên thì để việc xấp xỉ đợc tốt hơn, ngời ta thay tích phân trên bởi tích
phân

()

+

2

1
2
1
2
1
x
x
dxxf
.
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
237