Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt dần và dao động cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi đại học

Phần thứ nhất
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt dần và dao động
cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi đại học”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Nội dung đề tài được trích từ các chuyên đề mà
tôi đã dùng để giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học, học sinh các lớp chuyên lý và
học sinh các đội tuyển HSG của tỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý với
mục tiêu là giúp học sinh có cách nhìn tổng quát nhất về hệ dao động tắt dần và
dao động cưỡng bức trong cơ học dựa trên việc xây dựng hệ thống lý thuyết cơ
bản. Vận dụng giải và phân tích các bài toán trong chương trình thi đại học, các bài
toán trong chương trình thi HSG quốc gia, quốc tế tại trường THPT chuyên Lê
Hồng Phong Nam Định. Đồng thời nội dung của đề tài cũng có thể vận dụng cho
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông và học sinh ôn thi đại học môn Vật lý
tại các trường THPT nói chung.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm 2009 đến năm 2014.
4. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Đức Thọ
Năm sinh: 1974
Nơi thường trú: số 41 đường Phùng Chí Kiên- Khu ĐTM Hòa Vượng.
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ vật lý.
Chức vụ công tác: Hiệu trưởng.
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định.
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- 76 đường
Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định.
Điện thoại: Cơ quan: 03503.667788 Mobile: 0913005356
Email:
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định.
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định.
Điện thoại: 03503.640297 Fax: 03503667788
3

MỞ ĐẦU
1. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Một trong những vấn đề rất dễ nhận thấy trong các câu khó của đề thi đại học
trong những năm gần đây là yêu cầu học sinh từ những nội dung lí thuyết cơ bản
trong sách giáo khoa, sử dụng các phép suy luận, những tính toán hợp lý để đưa ra
những lời giải cho bài toán. Tuy nhiên những nội dung kiến thức trong sách giáo
khoa là rất ngắn gọn, gần như tóm tắt các kết quả cơ bản của các vấn đề lý thuyết
cũng như thực nghiệm vì vậy rất khó để học sinh cũng như giáo viên hiểu sâu sắc
các vấn đề để vận dụng trong giảng dạy và học tập. Hơn nữa trong kì thi học sinh
giỏi Quốc gia, Quốc tế bộ môn vật lý thì việc giáo viên và học sinh phải hiểu được
sâu sắc được các vấn đề lý thuyết của chương trình đại học đại cương trên cơ sở đó
vận dụng giải các bài toán là bắt buộc.
Đối với bộ môn vật lý thì việc sử dụng thí nghiệm trong quá trình dạy học là
hết sức cần thiết. Tuy nhiên đây là một nhiệm vụ đặc biệt khó khăn với nhiều
nguyên nhân: thiết bị thí nghiệm còn thiếu thốn và chưa đồng bộ; việc lắp ráp và
tiến hành các thí nghiệm đòi hỏi nhiều thời gian trong khi thời gian nghỉ chuyển
giữa hai tiết là không đủ, rất nhiều thí nghiệm cần phải có thời gian thực hiện, chưa
kể không đảm bảo thành công ngay… Bên cạnh đó, một nguyên nhân rất quan
trọng là năng lực thí nghiệm của giáo viên trên thực tế cũng còn nhiều hạn chế. Sự
hạn chế đó thể hiện cả ở mặt kĩ thuật lắp ráp và tiến hành các thí nghiệm lẫn
phương pháp sử dụng các thí nghiệm đó trong giờ học sao cho tăng cường được
hoạt động nhận thức tự chủ, sáng tạo của học sinh. Để khắc phục những khó khăn
đó, việc xây dựng các nội dung lý thuyết vật lý bằng những giả thuyết và công cụ
toán học. Phân tích các kết quả tìm được cũng là một giải pháp tốt để giúp học sinh
nắm bắt các quá trình diễn biến của hiện tượng. Làm cho các em hiểu và nhớ được
nội dung, kiến thức một cách sâu sắc hơn…
Dao động tắt dần và dao động cưỡng bức là nội dung khó trong chương trình
vật lý lớp 12, hơn nữa sách giáo khoa lại nêu rất tóm tắt vì vậy nếu chỉ đọc sách
giáo khoa thì cả học sinh và giáo viên đều không hiểu rõ vấn đề. Khi vận dụng để
giải các bài toán thi đại học học, đặc biệt là những bài toán thi học sinh giỏi quốc

gia và quốc tế là hết sức khó khăn. Chưa kể đến việc mở rộng vận dụng trong các
bài toán dao động điện và quang học sóng thì học sinh gần như không thể. Vì vậy
4
làm rõ các vấn đề về dao động tắt dần và dao động cưỡng bức là hết sức cần thiết.
Vì những lí do đó tôi chọn đề tài “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt
dần và dao động cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi
đại học”.
2. Cấu trúc đề tài bao gồm:
Phần mở đầu
Nội dung đề tài
Chương I: Cơ sở lý thuyết của dao động tắt dần và dao động cưỡng bức.
Chương II: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần giải một số bài toán
thuộc chương trình thi đại học.
Chương III: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động cưỡng bức giải một số bài
toán.
Chương IV: Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Chương V: Các bài tập vận dụng.
Kết luận
5
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
VÀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
I. DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1.1. Khái niệm
- Khi cho con lắc dao động trong môi trường có ma sát (hoặc lực cản) thì cơ
năng của hệ sẽ mất dần, chuyển thành các dạng năng lượng khác, do đó biên độ
dao động (tỉ lệ với căn bậc hai của năng lượng) cũng sẽ giảm dần theo thời gian.
Dao động của con lắc sẽ tắt dần.
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian

Sự giảm dần của biên độ dao động theo thời gian, gây ra do mất mát năng
lượng của hệ dao động gọi là sự tắt dần của dao động
1.2. Phương trình của dao động tắt dần
Xét vật dao động (ví dụ như con lắc lò xo) trong môi trường có lực
cản. Thông thường, lực cản của môi trường tác dụng vật tỉ lệ với tốc độ
và ngược chiều chuyển động
c
F v
α
=−
ur r
. Trong đó
0
α
>
là hệ số cản,
phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật và độ nhớt của môi trường.
Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật
chiếu theo phương Ox là
x ' x"k x m
α
− − =
hay
x" ' 0
k
x x
m m
α
+ + =
(1.1)

Ở đây chúng ta cần chú ý thành phần F = -kx chính là lực kéo về tác dụng lên
vật và gây dao động.
Đặt :
2
0
2 ; .
k
m m
α
β ω
= =
thì phương trình (2.1) có thể viết:
2
0
x" 2 ' 0x x
β ω
+ + =
(1.2)
Phương trình này gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần, β gọi là hệ
số tắt dần, ω
0
là tần số góc riêng của vật.
Ta sẽ tìm nghiệm của (1.2) dưới dạng :
( )
rt
x t e=
6
Hình vẽ 1
trong đó r là một đại lượng không đổi. Thay biểu thức x(t) vào (1.2) và thực
hiện việc lấy đạo hàm theo thời gian t và giản ước một thừa số khác không, ta đi

đến một phương trình đại số ( gọi là phương trình đặc trưng) :
2 2
0
r 2 0r r
β ω
+ + =
(1.3)
Hai nghiệm của phương trình đặc trưng là :
2 2
1,2 0
r
β β ω
=− ± −
Bây giờ ta sẽ xét các trường hợp xảy ra:
1.3. Dao động tắt dần khi ma sát nhỏ (
0
β ω
<
).
Ta biến đổi:
( )
( )
2
2 2 2 2 2
0 0
i i
β ω ω β ω
− = − =
, trong đó
i là số phức, được định nghĩa

2
1i =−
. ω là một
đại lượng thực, dương:
2 2
0
ω ω β
= −
.
Khi đó :
1,2
r i
β ω
=− ±
Hai nghiệm của phương trình (1.2.2) là :
( )
1 1
i t
x C e
β ω
− +
=
và
( )
2 2
i t
x C e
β ω
− −
=

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là :
( )
( )
1 2 1 2
t i t i t
x t x x e C e C e
β ω ω
− −
= + = +
(1.4)
Áp dung công thức Ơle:
os isin
i
e c
ϕ
ϕ ϕ
= +
cho biểu thức trong dấu ngoặc của
phương trình (2.3):
( )
1 2 0
os
i t i t
C e C e A c t
ω ω
ω ϕ
−
+ = +
, trong đó A
0

và ϕ là hai hằng
số được xác định từ điều kiện ban đầu.
Tóm lại, với điều kiện lực cản không quá lớn thì dao động tắt dần có dạng :
( ) ( )
0
os
t
x t A e c t
β
ω ϕ
−
= +
(1.5)
Đồ thị ở hình vẽ 2 biểu diễn dao động tắt dần, các giới hạn trên và dưới của x
được vẽ bằng các đường chấm chấm (đây chính là đồ thị hình 10.2a trang 48 SGK
ban KHTN)
*Nhận xét: Từ (1.5) ta có thể xem li độ biến đổi theo thời gian theo quy luật
dạng cosin với tần số là ω và biên độ giảm dần theo qui luật :
( )
0
t
A t A e
β
−
=
với A
0
là biên độ cực đại tại thời điểm ban đầu.
7
Hình vẽ 2

“Chu kỳ” của dao động tắt dần :
2 2
0
2 2
T
π π
ω
ω β
= =
−
(1.6)
So sánh với chu kỳ dao động riêng T
0
(chu kỳ dao động khi không có lực cản)
0
0
2
T
π
ω
=
Ta thấy T > T
0
, điều này hoàn toàn phù hợp với thực tế vì khi có lực cản
thì dao động diễn ra chậm hơn.
1.3.1. Các đại lượng đặc trưng cho hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ
a. Thời gian lũy giảm: là khoảng thời gian mà sau đó biên độ của dao động tắt
dần giảm e lần.
0
0

1A
A e
e
βτ
τ
β
−
= ⇒ =
(1.7)
b. Giảm lượng lôgarit tắt dần ( decrement logarit tắt dần): là đại lượng đo
bằng logarit tự nhiên của tỷ số giữa các giá trị biên độ tại các thời điểm khác nhau
một chu kỳ :
( )
( )
ln
A t
T
A t T
δ β
= =
+
(1.8)
c. Hệ số phẩm chất của hệ dao động: được xác định bằng tích 2π với tỉ số
của năng lượng E(t) của hệ dao động ở thời điểm t và độ lớn của độ giảm năng
lượng này sau một chu kỳ
( )
2
( ) ( )
E t
Q

E t E t T
π
=
− +
(1.9)
Vì năng lượng tỉ lệ với bình phương biên độ nên

2
2 2 2
( ) 2
2
( ) ( ) 1
A t
Q
A t A t T e
δ
π
π
−
= =
− + −
(1.10)
Chú ý: khi ma sát là rất nhỏ
( )
0
β ω
<<
, dao động tắt dần rất chậm thì
2
1 2e

δ
δ
−
− ≈
. Khi đó
Q
π
δ
≈
(1.11)
Vì
2 2
0 0 0
T T
ω ω β ω
= − ≈ ⇒ ≈
nên
0
0
2
Q
T
ωπ
β β
≈ ≈
(1.12)
1.3.2. Các đặc điểm của hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ
a. Dao động tắt dần không có tính tuần hoàn vì chuyển động lần sau không lặp
lại hoàn toàn giống như chuyển động lần trước.
8

b. Li độ biến đổi theo quy luật dạng cosin với biên độ giảm dần theo thời
gian, ta nói đó là quá trình giả tuần hoàn hay quá trình tắt yếu.
1.4. Quá trình biến đổi khi ma sát lớn (
0
β ω
>
).
1.4.1. Phương trình chuyển động.
Ta đặt
2 2
0
q
β ω
= −
(1.13)
Khi đó :
1,2
r q
β
=− ±
(1.14)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là :
( )
1 2
1 2 1 2
x( )
rt r t
t qt qt
t C e C e e C e C e
β

− −
= + = +
Trong đó C
1
, C
2
là các hằng số xác định từ
điều kiện ban đầu, q là một số thực.
1.4.2. Các đặc điểm của dao động tắt dần khi ma sát lớn
- Đồ thị li độ theo thời gian có dạng như hình vẽ (đây chính là đồ thị hình
10.2c, 10.2d trang 48 SGK ban KHTN)
- Khi ma sát lớn, chuyển động của vật gọi là phi tuần hoàn hay quá trình tắt
mạnh.
1.5. Quá trình tới hạn (
0
β ω
=
).
- Khi
0
β ω
=
thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.2)
có dạng:
( )
1 2
x( )
t
t C C t e
β

−
= +
- Đồ thị li độ theo thời gian có dạng như hình vẽ.
Như vậy li độ x trở về giá trị 0 nhanh hơn so với trường
hợp tắt mạnh.
9
II. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
2.1- Khái niệm
Do lực cản của môi trường dao động sẽ tắt dần và sẽ mất hẳn. Để có thể duy
trì dao động ta phải bù trừ sự tổn hao năng lượng của hệ dao động, tuy nhiên cần
lưu ý là sự bù trừ này phải được thực hiện đúng nhịp với các dao động của hệ. Do
vậy, ta phải tác động vào hệ một ngoại lực biến đổi theo thời gian theo qui luật
điều hòa. Dao động như vậy gọi là dao động cưỡng bức.
Vậy: dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của lực cưỡng bức
tuần hoàn
0
f = osF c tΩ
. Trong đó F
0
,
Ω
là biên độ và tần số của ngoại lực cưỡng
bức.
2.2- Phương trình của dao động cưỡng bức
Xét vật dao động (ví dụ như con lắc lò xo) trong môi trường có lực cản nhỏ
với hệ số cản là
0
α
>
. Ta tác dụng thêm vào vật một lực cưỡng bức tuần hoàn

0
f = osF c tΩ
.
Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật
chiếu theo phương Ox là
0
x ' os x"k x F c t m
α
− − + Ω =

hay
0
x" ' os
F
k
x x c t
m m m
α
+ + = Ω
(2.1)
Đặt :
2
0
2 ; .
k
m m
α
β ω
= =
thì phương trình (2.1) có thể viết:

2
0
0
x" 2 ' os
F
x x c t
m
β ω
+ + = Ω
(2.2)
Phương trình này gọi là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức. Đó
là một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (có vế phải). Nghiệm
tổng quát của nó bằng tổng của hai nghiệm :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( không có vế phải ) tương
ứng khi lực cản nhỏ là
( )
1 0 1
os
t
x A e c t
β
ω ϕ
−
= +
(2.3). Trong đó
2 2
0
ω ω β
= −
còn A

0
và ϕ là hai hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu.
+ Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.2). Ta sẽ tìm nghiệm
riêng dưới dạng :
( )
osx Ac t
ϕ
= Ω +
, trong đó A và
ϕ
là các giá trị mà ta phải tìm.
Ta có:
( ) ( )
2
' sin ; '' osx A t x A c t
ϕ ϕ
=− Ω Ω + =− Ω Ω +
. Thay vào (2.2) được:
10
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
0
0
2 2
0
0
os 2 sin os os
os 2 os os 2.4

2
F
A c t A t Ac t c t
m
F
A c t A c t c t
m
ϕ β ϕ ω ϕ
π
ω ϕ β ϕ
− Ω Ω + − Ω Ω + + Ω + = Ω
 
⇔ − Ω Ω + + Ω Ω + + = Ω
 ÷
 
Vế trái của phương trình (2.4) là tổng của hai dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số cũn là một dao động điều hòa
( )
2 2 2
osx A c t
ϕ
= Ω +
. Với
( )
2
2 2 2 2
2 0
4A A
ω β
= −Ω + Ω

Và
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
0
0
2
2 2
2 2
0
0
sin 2 sin
sin 2 os
2
tan
os 2 sin
os 2 os
2
A A
c
c
A c A c
π
ω ϕ β ϕ
ω ϕ β ϕ
ϕ
π

ω ϕ β ϕ
ω ϕ β ϕ
 
− Ω + Ω +
 ÷
− Ω + Ω
 
= =
 
− Ω − Ω
− Ω + Ω +
 ÷
 
VT= VP
⇔
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2 2
0
2
2 0
2 2 2 2
0
2 2

0
2
2 2
2
2 2
0
0
4
4
2.5
sin 2 os
2
tan tan 0 0
tan
os 2 sin
F
F
A
A A
m
m
c
c
ω β
ω β
ω ϕ β ϕ
β
ϕ
ϕ
ω ϕ β ϕ

ω


=
= −Ω + Ω =


− Ω + Ω


⇒
 
− Ω + Ω
Ω
 
= = =
=−
 
− Ω − Ω
− Ω


Thay (2.5) vào (2.3) ta được nghiệm riêng của phương trình thuần nhất là :
( )
( )
( )
( )
0
2
2 2

2
2 2 2 2
0
0
2
os arctan 2.6
4
F
x t c t
m
β
ω
ω β
 
 
Ω
 
 ÷
= Ω −
 ÷
− Ω
 
− Ω + Ω
 
 


Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là :
( )
( )

( )
( )
2 0 1
0
2 2
2
2 2 2 2
0
0
os
2
os arctan 2.7
4
t
x A e c t
F
c t
m
β
ω ϕ
β
ω
ω β
−
= + +
 
 
Ω
 
 ÷

+ Ω −
 ÷
− Ω
 
− Ω + Ω
 
 
Số hạng thứ nhất ở vế phải của nghiệm do có chứa exp(-βt) nên mô tả dao
động tắt dần và giảm rất nhanh theo thời gian, do đó sau giai đoạn quá độ ta có thể
bỏ qua nó và chỉ giữ lại số hạng thứ hai của (2.7). Vậy ta có thể nói dao động
cưỡng bức cũng là một dao động điều hòa với tần số Ω của ngoại lực. Biên độ cực
11
đại của dao động cưỡng bức tỷ lệ với biên độ của ngoại lực.
2.3. Các đặc điểm của dao động cưỡng bức :
- Dao động cưỡng bức gồm hai giai đoạn :
+ Giai đoạn chuyển tiếp : xảy ra trong khoảng thời gian rất ngắn, khi đó dao
động của hệ là tổng hợp của hai dao động : dao động tự do tắt dần của hệ và dao
động cưỡng bức. Sau khoảng thời gian này thì dao động tự do tắt hẳn.
+ Giai đoạn ổn định : Vật thực hiện dao động điều hòa cưỡng bức theo
phương trình
( )
osx Ac t
ϕ
= Ω +
. Trong đó
,A
ϕ
được xác định từ (2.5).
- Tần số góc của dao động cưỡng bức bằng tần số góc
Ω

của ngoại lực cưỡng bức.
- Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ
0
F
của ngoại lực cưỡng bức,
phụ thuộc vào tần số ngoại lực, vào lực cản môi trường và phụ thuộc vào độ chênh lệnh
giữa tần số
Ω
của ngoại lực và tần số riêng
0
ω
của hệ.
- Nếu
0
ω ω
∆ = Ω −
lớn , tức là
Ω
càng khác
0
ω
thì biên độ dao động nhỏ.
- Nếu
Ω
=
0
ω
thì biên độ dao động đạt cực đại ⇒ cộng hưởng dao động.
- Pha ban đầu của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào đặc
tính của hệ và tần số của ngoại lực cưỡng bức.

2.4. Hiện tượng cộng hưởng.
Một điều rất quan trọng là biên độ của dao động
cưỡng bức phụ thuộc vào tần số Ω của ngoại lực. Đồ thị
sự phụ thuộc của
( )
A Ω
như hình vẽ.
Từ đồ thị ta thấy với một tần số nào đó của ngoại lực thì biên độ của dao
động cưỡng bức sẽ đạt giá trị cực đại. Hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng
hưởng, còn tần số tương ứng gọi là tần số cộng hưởng. Tần số cộng hưởng được
xác định từ điều kiện cực tiểu của biểu thức dưới dấu căn của (2.5) :
( )
2
2 2 2 2
0
4 miny
ω β
= − Ω + Ω
Lấy đạo hàm theo Ω và cho bằng không, ta có :
( )
2 2 2
0
4 8 0
ω β
− Ω −Ω + Ω =
Phương trình bậc ba này có nghiệm :
0Ω =
và
2 2
0

2
ω β
Ω = −
Nghiệm Ω = 0 ứng với cực đại của mẫu số, tức là cực tiểu của biên độ dao
động cưỡng bức nên ta bỏ qua không xét đến. Chỉ giữ lại nghiệm duy nhất: đó là
tần số cộng hưởng
12
( )
2 2
0
2 2.8
ch
ω β
Ω = −
Thay giá trị vào tần số Ω của (2.5) ta tìm được biên độ dao động cực đại của dao
động cưỡng bức là :
( )
0 0
ax 0 ax
2 2
0
0
2.9
2
2
m m
F F
A Khi A
m
m

β ω
βω
β ω β
= << → ≈
−
Từ (2.9) ta thấy lực cản của môi trường càng yếu (β càng nhỏ) thì biên độ cộng
hưởng Amax càng lớn, khi không có lực cản (β = 0) thì Amax trở thành lớn vô
cùng Hình vẽ trình bày đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng
bức vào tần số của ngoại lực. Trong hình là ba đường cong cộng hưởng ứng với ba
giá trị khác nhau của lực cản của môi trường. Ta thấy lực cản càng yếu thì đường
cong cộng hưởng càng nhọn và tần số cộng hưởng càng gần giá trị ω
0
là tần số dao
động riêng của hệ.
13
CHƯƠNG II
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC
1. Bài toán 2.1: Nghiên cứu dao động của con lắc lò xo nằm ngang, chịu tác dụng
của lực ma sát trượt có hệ số ma sát là
µ
.
1. Chứng minh thời gian thực hiện một dao động toàn phần là không đổi.
2. Xác định độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ và xác định xem sau bao
nhiêu chu kỳ vật sẽ dừng lại.
3. Xác định quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại.
Lời giải:
1. Chọn gốc O tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên, chiều dương từ trái qua phải
(hình vẽ)
1.1. Trường hợp vật chuyển động từ trái qua phải:

Khi vật có li độ x, phương trình động lực học được viết:
x " " 0
k
k mg mx x x g
m
µ µ
− − = ⇒ + + =
" ( ) 0
k mg
x x
m k
µ
⇔ + + =
Đặt
" "
mg
X x X x
k
µ
= + → =
. Ta đưa phương trình về dạng:
" 0
k
X X
m
+ =
.
Nghiệm phương trình:
os( )X Ac t t
ω

= +

os( )
mg
x Ac t t
k
µ
ω
⇒ = + −
Với
k
m
ω
=
1.2. Trường hợp vật chuyển động từ phải qua trái. Khi đó lực ma sát đổi chiều
Khi vật có li độ x, phương trình động lực học được viết:
x " " 0
k
k mg mx x x g
m
µ µ
− + = ⇒ + − =

" ( ) 0
k mg
x x
m k
µ
⇔ + − =
Đặt

" "
mg
X x X x
k
µ
= − → =
. Ta đưa phương trình về dạng:
" 0
k
X X
m
+ =
.
Nghiệm phương trình:
os( )X Ac t t
ω
= +

os( )
mg
x Ac t t
k
µ
ω
⇒ = + +
Với
k
m
ω
=

Như vậy thời gian thực hiện một dao động toàn phần là
2
2
m
T
k
π
π
ω
= =

14
không đổi.
2. Gọi A
0
là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A
1

• Áp dụng định lý động năng ta có
( )
2 2 2 2
1 0 1 0
1 1
2 2
m A m A F A A
ω ω
− =− +
( )
( )
2 2 2

1 0 1 0
1
2
m A A F A A
ω
⇔ − =− +
0 1
2
2 2F F
A A A
k
m
ω
→ ∆ = − = =
Vì
,F
ω
là không đổi. Như vậy độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ sẽ không đổi.
Biên độ dao động giảm theo cấp số cộng. Sau n nửa chu kỳ, biên độ dao động là

0 0
2
n
F
A A n A A n
k
= − ∆ = −
.
Khi vật dừng lại thì
0 0

A A
0
2 2
n
k k
A n
F mg
µ
= ⇒ = =
c- Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại, ta áp dụng định lý
biến thiên động năng.
2 2 2 2
0
1 1
.
2 2
n
m A m A F s
ω ω
− =−
Khi vật dừng lại thì
2 2 2
0 0
0
2 2
n
m A kA
A s
F mg
ω

µ
= ⇒ = =
Bài toán 2.2: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ
cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo.
Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị
nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s
2
. Tốc độ lớn
nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu?
(Trích đề thi đại học Khối A năm 2010).
Lời giải:
1. Cách giải thứ nhất:
- Chọn gốc O tại vị lò xo có chiều dài tự nhiên,
chiều dương từ trái qua phải (hình vẽ).
Khi vật có li độ x, phương trình bảo toàn năng lượng được viết:
( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
kA mv kx mg A x
µ
= + + −
(Chú ý rằng đại lượng
( )
mg A x
µ
−
là công sinh ra để thắng công của lực ma
15
sát, nó bằng và ngược dấu với công của lực ma sát)

Vận tốc của vật cực đại khi
2
1
W =
2
d
mv
cực đại
Xét hàm số
( )
2 2 2
1 1 1
W
2 2 2
d
mv kA kx mg A x
µ
= = − − −
2 2
1 1
W 0
2 2
d
kx mgx kA mg A
µ µ
 
⇔ − − − − =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm khi:

( )
2
2
1
2 W 0
2
d
mg k kA mg A
µ µ
 
∆ = + − − ≥
 ÷
 
( )
( )
2
2
2
2 2
ax
1
W
2 2
1 1
W ax
2 2 2
d
d m
mg
kA mg A

k
mg
m kA mg A mv
k
µ
µ
µ
µ
 
⇒ ≤ + −
 ÷
 
 
→ = + − =
 ÷
 
( )
2
2
max
2
m g
kA
v g A
k m
µ
µ
 
→ = + −
 ÷

 
Thay số ta được
ax
40 2 /
m
v cm s=
2. Cách giải thứ hai:
Trước hết ta có nhận xét rằng vận tốc cực đại thì gia tốc
0
dv
a
dt
= =
.
Khi đó
0dh ms
mg
F F kx mg x x
k
µ
µ
= ⇒ = ⇒ = =
- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai vị trí: vị trí biên và vị trí
0
x
( )
2 2 2
ax 0 0
1 1 1
2 2 2

m
kA mv kx mg A x
µ
= + + −
( ) ( )
2
2 2 2
ax 0 0 0 0
1 1 1
2
2 2 2
m
mv k A x x A x k A x
 
⇒ = − − − = −
 
( )
ax 0m
k
v A x
m
⇒ = −
. Thay số ta được
ax
40 2 /
m
v cm s=
3. Cách giải thứ ba:
- Do trong quá trình chuyển động cơ năng của con lắc giảm dần chuyển thành
công sinh ra để thắng công của lực ma sát nên vận tốc con lắc lớn nhất (tương ứng

với độngn năng cực đại) trong quá trình chuyển động sẽ xảy ra ở nửa chu kì đầu
tiên.
16
- Gọi
l∆
: độ biến dạng của xo khi con lắc ở vị trí cân bằng động. Ta có
mg
k l mg l
k
µ
µ
∆ = ⇒ ∆ =
- Trong nửa chu kỳ đầu tiên con lắc chịu tác dụng của lực ma sát có phương,
chiều và độ lớn
ms
F mg
µ
=
không đổi. Như vậy nếu so sánh với con lắc lò xo
thẳng đứng ta thấy trong nửa chu kỳ này chuyển động của con lắc giống như chịu
tác dụng của “trọng lực hiệu dụng”
F mg
µ
=
. Như vậy con lắc sẽ “dao động điều
hoà” xung quang vị trí cân bằng động với biên độ
0
A =
A l−∆
, tần số góc

k
m
ω
=
.
Vận tốc lớn nhất khi con lắc qua vị trí cân bằng:
( )
ax 0
40 2 /
m
k
v A A l cm s
m
ω
= = − ∆ =
Bài toán 2.3: Vật nặng có khối lượng m nằm trên một
mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có
độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A như hình vẽ. Vật m
đang đứng yên và lò xo không biến dạng thì vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của
một lực không đổi F hướng theo trục lò xo như hình vẽ. Hãy tìm quãng đường mà
vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng
lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất.
(Trích đề thi HSG phổ thông Tỉnh Nam Định năm 2012).
Lời giải:
1. Cách giải thứ nhất:
Gọi
l∆
là độ biến dạng của lò xo khi vật nằm ở vị trí cân bằng. Ta có:
( )
1

F
F k l l
k
= ∆ ⇒ ∆ =
Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng vào vị trí cân
bằng của vật sau khi đã có lực F tác dụng (hình vẽ).
Khi vật có li độ x . Phương trình động lực học chiếu lên Ox được viết:
( ) ( )
'' 2k l x F mx− ∆ + + =

Từ (1) và (2) ta có :
2
" " 0kx mx x x
ω
− = ⇔ + =
trong đó
/k m
ω
=
Nghiệm của phương trình
os( ).x Ac t
ω ϕ
= +
17
Điều kiện ban đầu :
sin
cos 0
2
F
F

A
x A l
k
k
v A
ϕ
π
ω ϕ
ϕ

=


= =− ∆ =−
 
⇔
 
 
= =
= −



os( )
2
F m
x c t
k k
π
⇒ = +

- Vật dao động điều hòa với chu kỳ
2
m
T
k
π
=
. Thời gian kể từ khi tác dụng
lực F lên vật đến khi vật dừng lại lần thứ nhất (tại ly độ cực đại phía bên phải) rõ
ràng là bằng 1/2 chu kỳ dao động, vật thời gian đó là:

.
2
T m
t
k
π
= =
- Vật dao động với biên độ F/k, thời gian từ khi vật chịu tác dụng của lực F
đến khi vật dừng lại lần thứ nhất là T/2 và nó đi được quãng đường bằng 2 lần biên
độ dao động. Do đó, quãng đường vật đi được trong thời gian này là:
2
2 .
F
S A
k
= =
2. Cách giải thứ hai:
- Để giải bài toán này ta có nhận xét rằng, trong chuyển động
của con lắc lò xo thẳng đứng, vật nặng luôn chịu tác dụng của trọng

lực
P
uur
không đổi. Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị
trí cân bằng xác định bởi
mg
l
k
∆ =
.
- Chuyển động của vật nhỏ trong bài toán hoàn
toàn tương tự như con lắc lò xo thẳng đứng và chịu
tác dụng của “trọng lực hiệu dụng”
'P F=
uur uur
.
Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi
/l F k∆ =
(nói cách khác ta có thể hình dung như quay mặt phẳng dao động của
con lắc đi 90
0
, tính chất chuyển động của con lắc hoàn toàn không thay đổi).
- Bây giờ bài toán sẽ được hiểu đơn giản là từ vị trí cân bằng, đưa con lắc về
vị trí mà lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả ra. Kết quả là con lắc sẽ dao động điều
18
hoà xung quanh vị trí cân bằng O với biên độ
F
A l
k
=∆ =

, chu kì
2
m
T
k
π
=
.
- Quãng đường mà vật nặng đi được cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất
đúng bằng khoảng cách giữa hai vị trí biên
2 2
F
s A
k
= =
- Thời gian vật đi hết quãng đường s kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến
khi vật dừng lại lần thứ nhất bằng khoảng thời gian giữa hai lần vật qua vị trí biên
2
T m
t
k
π
∆ = =
.
Cách giải này không những đúng cho trường hợp
F
uur
không đổi trong suốt
quá trình dao động mà còn áp dụng trong một giai đoạn nhỏ, miễn là trong giai
đoạn đó, hiện tượng vật lý xảy ra tương tự.

Bài toán 2.4: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn
quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng
ngang trùng với trục lò xo và xuyên qua tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí
cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần
chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s
2
. Hãy xác định hệ số
ma sát μ.
Lời giải:
Gọi A
0
là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A
1
• Áp dụng định lý động năng ta có
( )
2 2 2 2
1 0 1 0
1 1
2 2
m A m A F A A
ω ω
− =− +

( )
( )
2 2 2
1 0 1 0
1
2
m A A mg A A

ω µ
⇔ − =− +
0 1
2
2 2F mg
A A A
k
m
µ
ω
→ ∆ = − = =
Vì
,F
ω
là không đổi. Như vậy độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ sẽ không đổi.
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ dao động
( )
4 mg
A T
k
µ
∆ =
Biên độ dao động giảm theo cấp số cộng. Sau N chu kỳ, biên độ dao động là

0 0
4
n
mg
A A N A A N
k

µ
= − ∆ = −
.
19
Khi vật dừng lại thì
0
A
0
4
n
k
A
Nmg
µ
= ⇒ =
Thay số với N = 200 ta tìm được
3
5.10
µ
−
=
Bài toán 2.5: Một con lắc đơn dao động tắt dần dưới tác dụng của lực cản có độ
lớn không đổi F
c
và luôn ngược hướng chuyển động. Biết biên độ góc ban đầu là
α
0
. Hãy xác định :
1. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì.
2. Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại

3. Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại.
Lời giải:
1. Gọi biên độ sau một nửa chu kỳ đầu tiên là α
1
.
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:
2 2
1 0 c
1 1
mgα - mg α = - F .s
2 2
l l
.
Trong đó F
c
là lực cản tác dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt
dần và s là quãng đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiên. Ta có s =
ℓ(α
0
+ α
1
).
Khi đó
2 2
1 0 1 0
1 1
mgα - mg α = - F (α +α )
2 2
l l l
, hay

c
1
2F
Δ =
mg
α
(2.5.1).
Gọi α
2
là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ
đầu tiên).
Ta có:
2 2
2 1 1 2
1 1
mgα - mg α = - F (α +α )
2 2
l l l
, hay
c
2
2F
Δ =
mg
α
(2.5.2).
Từ (2.5.1) và (2.5.2) ta có
c
0 2
4F

- =
mg
α α
.
Vậy độ giảm biên độ góc dao động của con lắc sau một chu kì là:

c
0 2
4F
Δ = - =
mg
α α α
.
Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là:
c
0 2N
4NF
- =
mg
α α
.
Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì α
2N
= 0 hay số chu kì vật dao động được
là: N =
0
c
mgα
4F
.

20
Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến
lúc dừng lại là:
n = 2N =
0
c
mgα
4F
.
Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:
Δt = NT
(Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ
2π
T =
ω
=
2
g
π
l
).
Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại: ta có thể áp dụng định
luật bảo toàn năng lượng:
2
2
0
0 c
c
mg1
mg = F .s s =

2 2F
α
α
⇒
l
l
.
Bài toán 2.6: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm
2%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao
nhiêu?
Lời giải:
Gọi A là biên độ dao động của vật ở thừoi điểm t. Biên độ còn lại sau một chu
kỳ là A’ = 0,98A. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là:
( )
( )
2
2 2 2
1 1 1
W A 0,98A A 1 0,98
2 2 2
k k k∆ = − = −
Tỉ lệ phần năng lượng bị mất sau một chu kỳ là:

2
2
W
1 0,98 0,0396 3,96%
1
A
2

k
∆
= − = =
21
CHƯƠNG III
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài 3.1: Một quả cầu có khối lượng m, có thể thực hiện một dao động điều hòa
không tắt xung quanh điểm x = 0, với tần số riêng
0
ω
. Tại thời điểm t = 0, khi quả
cầu nằm ở trạng thái cân bằng, người ta đặt vào nó một ngoại lực cưỡng bức
0
cosF F t
ω
=
, trùng phương trục x. Tìm phương trình dao động cưỡng bức của quả
cầu.
Lời giải:
Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật
chiếu theo phương Ox là
0
x os x"k F c t m
ω
− + =
hay
0
x" os
F

k
x c t
m m
ω
+ =
Đặt :
2
0
.
k
m
ω
=
thì phương trình có thể viết:
2
0
0
x" os
F
x c t
m
ω ω
+ =
(1)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (có vế phải).
Nghiệm tổng quát của nó bằng tổng của hai nghiệm :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( không có vế phải ) tương
ứng là
( )
1 1 0 1

osx Ac t
ω ϕ
= +
(2).
+ Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1). Ta sẽ tìm nghiệm
riêng dưới dạng :
( )
2 2 2
osx A c t
ω ϕ
= +
, trong đó
2
A
và
2
ϕ
là các giá trị mà ta phải
tìm.
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 2 2
' sin ; '' osx A t x A c t
ω ω ϕ ω ω ϕ
=− + =− +
. Thay vào (1) được:
( ) ( )
( )
( )

2 2
0
2 2 0 2 2
2 2
0
2 0
os os os
os os
F
A c t A c t c t
m
F
A c t c t
m
ω ω ϕ ω ω ϕ ω
ω ω ω ϕ ω
− + + + =
⇔ − + =
Dùng phương pháp đồng nhất hệ thức được :
( )
0
2 2
2 2
0
; 0.
F
A
m
ϕ
ω ω

= =
−
Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là :
( )
( )
0
1 0 1
2 2
0
os os
F
x A c t c t
m
ω ϕ ω
ω ω
= + +
−
(3)
- Điều kiện ban đầu:
22
( )
( )
( )
( )
0 1
1 1
2 2
0
0
1

2 2
0
0 1 1
os 0
0 0
0 0
sin 0
F
Ac
x
m
F
A
v
m
A
ϕ π
ϕ
ω ω
ω ω
ω ϕ
=


+ =
 =
  
−
⇔ ⇔
  

=
=

 

−
− =


Vậy :
( )
( )
0
0
2 2
0
os os
F
x c t c t
m
ω ω
ω ω
= −
−
Bài 3.2: Con lắc lò xo thẳng đứng thực hiện một dao động tắt dần với hệ số tắt dần
là
β
, tần số dao động riêng là
0
ω

. Khi chịu tác dụng thêm của ngoại lực cưỡng bức
0
cosF F t
ω
=
theo phương thẳng đứng, quả cầu thực hiện một dao dộng điều hòa.
Hãy tìm:
1. Công suất trung bình
tb
P
sau một chu kỳ dao động.
2. Tần số
ω
của ngoại lực khi
tb
P
là cực đại.
tb
P
max bằng bao nhiêu.
3. Gọi
ch
P
là công suất trung bình sau một chu kỳ khi hệ thực hiện dao động
trong điều kiện cộng hưởng. Tính
/ max
ch tb
P P

Lời giải:

- Phương trình dao động
( )
cosx A t
ω ϕ
= +
với
( )
( )
0
2
2 2 2 2
0
2 2
0
4
2
tan
F
A
m
ω ω β ω
βω
ϕ
ω ω

=

− +




=−

−

- Vận tốc của vật:
( ) ( )
' sinv x t A t
ω ω ϕ
= =− +
- Công suất tức thời:
( ) ( )
0
cos sinP Fv F A t t
ω ω ω ϕ
= =− +
1- Công suất trung bình trong một chu kỳ:
( ) ( ) ( )
0
0
0 0
1
cos sin sin 2 sin
2
T T
tb
F A
P F A t t dt t dt
T T
ω

ω ω ω ϕ ω ϕ ϕ
= − + = − + +   
   
∫ ∫
( )
2 2
0 0
2
2 2 2 2
0
sin
2
4
tb
F A F
P
m
ω ω β
ϕ
ω ω β ω
⇒ = =
 
− +
 
2- Ta viết lại :
2 2
0 0
0
2
2

2
0
ax 0
4
tb tb
F
P P m
m
β ω
ω ω ω
ω
ω
ω β
ω
 
= → ⇔ − = ⇒ =
 ÷
 
 
 
− +
 
 ÷
 
 
 
Và
2
0
ax

4
tb
F
P m
m
β
=
23
3. Khi có cộng hưởng thì
2 2
0
2
ω ω β
= −
. Khi đó
( )
( )
2 2 2
0 0
2 2
0
2
4
ch
F
P
m
ω β
β ω β
−

=
−
( ) ( )
2
2 2 2
0
1
ax 1 ax 1
1
ch tb tb
P P m P m
β
ω β η
   
⇒ = − = −
   
− −
   
   
Từ đó:
( )
2
max 1
max
1
tb ch
tb
P P
P
η

−
=
−
Bài 3.3: Dưới tác dụng của ngoại lực thẳng đứng
0
cosF F t
ω
=
, một con lắc lò xo
thẳng đứng thực hiện một dao động cưỡng bức theo quy luật
( )
osx ac t
ω ϕ
= −
. Tìm
công của lực F sau một chu kỳ dao động. Chứng minh rằng công này đúng bằng
công sinh ra để thắng lực ma sát.
Lời giải:
- Vận tốc của vật:
( ) ( )
' sinv x t a t
ω ω ϕ
= =− −
- Công suất tức thời:
( ) ( )
0
cos sinP Fv F a t t
ω ω ω ϕ
= =− −
1- Công suất trung bình trong một chu kỳ:

( ) ( ) ( )
0
0
0 0
1
cos sin sin 2 sin
2
T T
tb
F a
P F a t t dt t dt
T T
ω
ω ω ω ϕ ω ϕ ϕ
= − − = − − −   
   
∫ ∫
0
sin
2
tb
F a
P
ω
ϕ
⇒ =
Công của lực F trong một chu kỳ:
0
0
2

sin sin
2
tb
F a
A P T F a
ω π
ϕ π ϕ
ω
= = × =
2- Công lực cản trong 1 chu kỳ
- Công suất trung bình của lực cản trong một chu kỳ:
2
0 0
1
T T
ctb c
P F vdt v dt
T T
α
= = −
∫ ∫
uurr

( )
2
2 2
0
sin
T
ctb

a
P t dt
T
α ω
ω ϕ
⇔ = − − 
 
∫
( )
2 2
0
1 os 2
2
T
a
c t dt
T
α ω
ω ϕ
= − − − 
 
∫

2 2
2
ctb
a
P
α ω
⇒ = −

Công của lực cản trong một chu kỳ:

( )
2 2
2 2
2
2 1
2
c ctb
a
A P T a m a
α ω π
πα ω π β ω
ω
= = − × = − = −
Ta biến đổi công của lực F: Vì
( )
0
2
2 2 2 2
0
4
F
a
m
ω ω β ω
=
− +
24
( )

( )
2 2
2
2 2 2 2
0
0
0
2 2 2
tan sin
4
m a
F
βω βω βω
ϕ ϕ
ω ω
ω ω β ω
=− ⇒ = =
−
− +
Vậy:
( )
2
0 0
0
2
sin 2 2
m a
A F a F a m a
F
βω

π ϕ π π β ω
= = × =
Từ (1) và (2)
c
A A⇒ = −
Bài 3.4: Khi tần số của ngoại lực là
1
ω
và
2
ω
, biên độ vận tốc của hạt bằng nửa giá
trị cực đại. Hãy tìm:
1. Tần số của ngoại lực ứng với cộng hưởng vận tốc.
2. Hệ số tắt dần và tần số dao động tắt dần của hạt.
Lời giải
- Phương trình dao động
( )
cosx A t
ω ϕ
= +

với
( )
( )
0
2 2
2
2 2 2 2
0

0
2
;tan
4
F
A
m
βω
ϕ
ω ω
ω ω β ω
= =−
−
− +
- Vận tốc của vật:
( ) ( )
' sinv x t A t
ω ω ϕ
= =− +
- Biên độ của vận tốc:
( )
( )
0 0
0
2 2
2
2 2 2 2
2
00
1

4
4
F F
V A
m
m
ω
ω
ωω ω β ω
ω β
ω
= = =
 
− +
− +
 ÷
 
( )
0
0 0
ax 2
2
ch
F
V m
m
ω ω
β
→ = ⇔ =
Từ (1) và (2) ta viết lại:

0
0
2
2
2
0
2 ax
4
V m
V
β
ω
ω β
ω
=
 
− +
 ÷
 
.
Theo giả thiết
0
0
ax
2
V m
V =

2
2

2
0
4 4
ω
β ω β
ω
 
⇒ = − +
 ÷
 
( )
2
2 4 2 2 4
2 4 2 2 4
0 0 0
0 0
2
2
12 2 6 0
ω ω ω ω ω
β ω ω ω β ω
ω ω
 
− +
⇔ = − = → − + + =
 ÷
 
- Theo Định Lý Viet:
( )
2 2 4

0 1 2
1 2 0
2 2 2 2
1 2
1 2 0
3
2 6
6
ch
ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω ω β
β

= =

=


⇒
 
+
+ = +
=
 


25
CHƯƠNG IV

MỘT SỐ BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
QUỐC GIA, KHU VỰC VÀ QUỐC TẾ
Bài toán 4.1: Nghiên cứu dao động của con lắc trong môi trường có lực cản
c
F v
α
=−
ur r
. Giả thiết rằng
0
2m
α
β ω
= <<
.
1. Chứng minh rằng công thực hiện bởi lực cản trong mỗi chu kỳ chuyển
động xấp xỉ bằng
2 2
0
2 ( )f A t
π α
−
. Trong đó
0
f
là tần số dao động riêng còn A(t) là
biên độ dao động tại thời điểm t.
2. Các định phần năng lượng bị mất sau mỗi chu kỳ chuyển động.
3. Xác định số chu kì cần thiết cho năng lượng tiêu hao mất
2

535e
π
≈
lần .
Lời giải
1. Công thực hiện bởi lực cản trong mỗi chu kỳ chuyển động xác định bởi định lý
biến thiên động năng:
2 2
1 1
( ) ( )
2 2
C
kA t T kA t A+ − =
Thay
( )
0 0
A( ) ( )
t T t T T
t T A e A e e A t e
β β β β
− + − − −
+ = = =
ta được:
( )
2 2
1
( ) 1
2
T
C

A kA t e
β
−
= −
Vì
1T
β
<<
. Sử dụng công thức gần đúng
2
1 2
T
e T
β
β
−
≈ −
thay vào ta có
2
( )
C
A kA t T
β
=−
Chú ý rằng
0
0
1
,
2

T T
m f
α
β
= ≈ =
và
2 2 2
0 0
4k m f m
ω π
= ≈
. Thay vào ta được:
2 2
0
2 ( )
C
A f A t
π α
=−
Chú ý: ta cũng có thể tính công của lực cản theo công thức

2
0 0 0
A ( )
T T T
C
P t dt Fvdt v dt
α
= = = −
∫ ∫ ∫

urr
. Tuy nhiên phép biến đổi là khá dài.
2. Phần năng lượng bị mất sau mỗi chu kỳ chuyển thành công sinh ra để thắng
công của lực cản
2 2
0
W 2 ( )
C
A f A t
π α
∆ = − =
Ta viết lại:
2 2
2
0 0
4 4
1
W ( ) W( )
2
f f
kA t t
k k
π α π α
∆ = =
26
2
0
4W
W(t)
f

k
π α
∆
⇒ =
3. Năng lượng của hệ tại thời điểm t là:
2 2 2 2
0 0
1 1
W(t) = A ( ) A W
2 2
t t
k t k e e
β β
− −
= =
.
Khi
0
2
W
W( )t
e
π
=
thì
2 2t
e e t
β π
π
β

− −
= ⇒ =
.
Gọi N là số chu kỳ cần thiết thì t = NT
N
T
π
β
⇒ =
. Như vậy N = Q (hệ số
phẩm chất của hệ dao động).
Vậy hệ số phẩm chất của hệ dao động cũng là số chu kỳ cần thiết để năng
lượng của hệ giảm đi
2
535e
π
=
lần.
Bài toán 4.2: Nghiên cứu hệ số phẩm chất của một hệ dao động tắt dần
Ta quan tâm tới 1 thiết bị cơ học đặt trong hệ qui
chiếu phòng thí nghiệm được giả thiết là quán tính.
Hệ bao gồm viên bi khối lượng m có thể trượt
không ma sát trên trục nằm ngang. Bi được nối với 1 lò xo độ cứng k và chiều dài
tự nhiên là l
o
, một đầu lò xo được gắn cố định trên tường thẳng đứng. Bi còn được
gắn với 1 cái giảm sóc trên cùng bức tường, khiến bi chịu thêm 1ực theo dạng :
f v
α
=−

ur r
. Ta lưu ý vị trí O là vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên và sử dụng O như là
gốc toạ độ. Vị trí M được xác định bởi
x OM=
uuuur
.
1. Hãy chỉ ra rằng sự biến đổi cơ năng được viết dưới dạng :
2
dE v dt
α
=−
.
2. Viết phương trình vi phân trong chuyển động của viên bi.
3. Ta đặt trong chế độ giả tuần hoàn. Nghiệm của phương trình được viết dưới
dạng
( ) ( )
0
0
exp cos
2
x t A t t
Q
ω
ω ϕ
 
= − +
 ÷
 
, trong đó A; ϕ là các hằng số
3.1. Xác định

0
, ,Q
ω ω
và đưa ra điều kiện của
Q
. Vẽ dạng của x(t).
3.2. Trong trường hợp
1Q>>
. Tính
0
0 0
T TT
T T
−∆
=
theo hàm của Q. Trong đó T
là thời gian thực hiện một dao động toàn phần( “chu kỳ” của dao động tắt dần). còn
27