Slide môn lý thuyết trò chơi: cân bằng NASH chiến lược hỗn hợp

GAME THEORY
1
Nội dung thảo luận
1. Giới thiệu chung
2. Sự tồn tại chiến lược cân bằng Nash
3. Bài toán 2.6
2
1.Giới thiệu chung
1. Nhà toán học Nash.
•.
Người Mỹ (1928)
•.
Chuyên ngành LTTC và hình học vi phân.
•.
Năm 1944 đạt giải nobel về kinh tế.
2. Cân bằng Nash (NE).
•.
Trò chơi dạng chuẩn: G={S,u}.
•.
Vectơ chiến lược (s*1,…,s*n) là 1 cân
bằng Nash nêu :
ui(s*i, s*-i) ≥ (si, s*-i)
•.
Hay s*i là nghiệm của bài toán:

(s*i…s*i-1,si,s*i+1…sn)
3
ax
si Si
M
¢

2.Sự Tồn Tại Cân Bằng Nash
•
Nội Dung
A. Sự tồn tại cân bằng Nash chiến lược hỗn
hợp
B. Trình bày ví dụ 2.6
A-Sự tồn tại cân bằng nash chiến lược hỗn hợp
•
Ví dụ về thiết lập bài toán để tìm chiến
lược cân bằng
• Bài toán tổng quát
•
Định nghĩa

5
+Giả sử có 2 đấu thủ:
Thu hoạch của mỗi đối thủ được cho ở bảng:
+ Giả sử (pt,pb) là xác suất để đối thủ hàng
chơi chiến lược (T,B);(pl,pr) là xác suất để
đối thủ cột chơi chiến lược (L,R).
=> Lợi ích kỳ vọng của đấu thủ hàng là: pt*[pl*2+pr*0]+pb*[pl*0+pr*1]
Lợi ích kỳ vọng của đấu thủ cột là : pl*[pt*1+pb*0]+pr*[pt*0+pb*2]
=>Bài toán tìm lợi ích cực đại lợi ích kỳ vọng của đấu thủ hàng:
Max pt{pl*2+pr*0}+pb{pl*0+pr*1}
pt,pb
với ràng buộc: pt+pb=1; pt>=0,pb>=0
Với đấu thủ cột: Max(pl,pr) pt*{pt*1+pb*0)+pr*{pt*0+pb*2)
với ràng buộc pl+pr=1; pl.pr>=0
Giải ra ta được pl=1/3, pr=2/3 và pb=1/3 pt=2/3


Ví dụ: Trò chơi 2 đấu thủ
Đấu thủ cột
Đấu
thủ
hàng
L R
T 2,1 0,0
B 0,0 1,2
6

Bài toán tổng quát
•
Kí hiệu J là số chiến lược thuần túy trong và K là số chiến lược thuần túy trong
•
Ta viết ; và sd , để kí hiệu
các chiến lược thuần túy tùy ý trong và
•
Nếu đấu thủ 1 tin rằng đấu thủ 2 sẽ chơi các chiến lược với các xác
suất => thu hoạch kỳ vọng của đấu thủ 1 với chiến lược thuần túy
là:

và thu hoạch kỳ vọng của đấu thủ 1 chơi chiến lược hỗn hợp là :
•
Để chiến lược hỗn hợp là phàn ứng tốt nhất của đấu thủ 1 đối với
chiến lược hỗn hợp của đấu thủ 2 thì phải có
>0 chỉ nếu
với mọi trong

≥
7

Bài toán tổng quát (tiếp)
•
Làm tương tự đấu thủ 2 như đấu thủ 1
•
là cân bằng Nash chiến lược
hỗn hợp nếu chúng là nghiệm của bài toán :

hay


0≤




8

Định nghĩa :
Cân bằng nash chiến lược hỗn hợp
•
Trong trò chơi dạng chuẩn của hai đấu thủ
G={ S1,S2;u1,u2},các chiến lược hỗn hợp
(p*1,p*2) là một cân bàng Nash nếu chiến lược
hỗn hợp của mỗi đấu thủ là một phàn ứng tốt
nhất đối với chiến lược của đối thủ kia.
9
3-Ví dụ 2.6
•
Xét bài toán 2 người chơi, mỗi người 2
chiến lược thuần túy

Xét các thu hoạch của đấu thủ 1 ở bảng:
•
Chiến lược hỗn hợp
của 1 với (L,X) là (r,1-r)
của 2 với (T,P) là (q, 1-q)
•
Xét 4 trường hợp
I. x>z và y>w
II. x<z và y<w
III. x>z và y<w
IV. x<z và y>w
Thuần Túy (2)
T P

(1)
L x,? y,?
X z,? w ,?
Hỗn Hợp (2)
T(q) P(1-q)
(1) L(r) x,? y,?
X(1-r) z,? w,?
10
I. TH1 x>z và y> w
+Rõ ràng L phản ứng tốt nhất với mọi q, tức là lên trội ngặt so với
xuống.
+Ta có thể biểu diễn các hàm phản ứng tốt nhất của (i) bằng đồ thị:
r
q
L
X

(i)
r*(q)
T P
11
II- TH2: x<z và y<w
q
•
TH này X phản ứng tốt nhất với mọi q
•
Đồ thị miêu tả :
L
X
PT
(ii)
r
q
r*(q)
12
Ta có thu hoạch kì vọng của (1).
Thu hoạch kì vọng khi chọn L: q.x + (1 - q).y
Thu hoạch kì vọng khi chọn X: q.z + (1 - q).w
•
Gọi A là chênh lệch của thu hoạch kì vọng của (1).
A = q.x + (1 - q).y – q.z – (1 - q).w
= q.[(x - z) + (w - y)] + (y - w)

Đặt
Vậy
13
w

( ) (w y) ( ) ( )
A y
q
x z x z w y
-
= +
- + - - + -
w
'
( ) ( )
y
q
x z w y
-
=
- + -
'
( ) (w )
A
q q
x z y
= +
- + -
• Trong trường hợp này Lên và Xuống đều không bị trội ngặt.
Như vậy lên phải tối ưu với một số giá trị của q và Xuống
tối ưu với một số giá trị khác của q
•
Mức q’=(w-y)/((x-z)+(w-y))
là mức làm thay đổi giá trị tối ưu.
Với q>q’ thì L là tốt nhất; q<q’ thì xuống là tốt nhất;q=q’thì

bàng quan.
• Đồ thị miêu tả:
TH3: x>z và y<w
L
X
T P
(iii)
q’
r**(q)
14
TH4:x<z và y>w
•
Trường hợp này tương tự th3, xét mức
q’=(w-y)/((x-z)+(w-y))
Với q<q’ thì L phản ứng tốt nhất, q>q’ thì X phản ứng tốt
nhất; q=q’ thì bàng quan.
•
Đồ thị miêu tả:
L
X
T P
r
q
q’
r*(q)
(iv)
15
Th đặc biệt :w=y thì q’=0; x=z thì q’=1
•
Đồ thị:

q’=0
q’=1
y=w
x=z
L
X
T
P
r
q
L
X
T
P
16
•
Tương tự, Xét thu hoach của người chơi thứ 2
•
Cũng như trên mỗi người chơi
đều có 2 chiến lược thuần túy
và chiến lược hỗn hợp của:
(1) với (L,X) là (r,1-r)
(2) với (T,P) là (q,1-q)
•
Tương tự trên, ta cũng xét 4
trường hợp:

x’>y’ và z’>w’

x’<y’ và z’<w’


x’>y’ và z’<w’

x’< y’ và z’>w’
Thuần túy (2)
T P
(1) L ?,x’ ?,y’
X ?,z’ ?,w’
Hỗn hợp (2)
T(q) P(1-q)
(1) L(r) ?,x’ ?,y’
X(1-r) ?,z’ ?,w’
17
Ta có các đồ thị biểu diễn các TH trên như sau:
r
q
r
q
r
q
r
q
L
X
L
X
L
X
L
X

T P T P
T
P T P
q*(r )
i (ii)
(iii)
(iv)
18
Biện luận điểm cân bằng Nash
•
Ta cho bất kỳ 1 trong 4 hàm phản ứng tốt nhất của đấu
thủ 1( r*(q)) kết hợp với bất kỳ 1 trong 4 hàm phản ứng
tốt
nhất của đấu thủ 2 ( q*(r)).
•
Ta thấy cặp phản ứng tốt nhất này cho ít nhất 1 giao
điểm, do đó trò chơi có ít nhất 1 cân bằng Nash.
•
Kiểm tra 16 cặp phản ứng có thể có ,ta có thể phân ra
làm các TH để xét cân bằng Nash:
1. Một cân bằng Nash thuần túy:
Điểm NE
19
2. Một cân bằng Nash hỗn hợp (NE)
3. Hai NE thuần, một NE hỗn hợp
1 điểm NE hỗn hợp
20
4. Một NE thuần, một tập NE hỗn hợp:
5.Hai NE thuần, một tập NE hỗn hợp:
1 tập NE hỗn

hợp
NE
thuần
21
4- Vài mẩu truyện vui-thảo luận
•
1-Đi thẳng vào tù (Câu chuyện 2 người tù)
Người nhạc trưởng dàn giao hưởng ở Liên Xô (vào thời kỳ Stalin)
đang trên tàu đến nơi biểu diễn tiếp theo của mình và ông ta chăm chú
nhìn vào bản nhạc mà ông ta sẽ chỉ huy dàn nhạc biểu diễn vào tối
hôm đó. Hai sĩ quan KGB nhìn thấy ông ta đang đọc và họ cho rằng
các nốt nhạc mang một mật mã bí mật nào đó nên đã bắt ông ta như
một gián điệp. Ông ta cố phản đối, nói rằng bản nhạc đó là bản
concerto dành cho violon của Traicôpxki, nhưng vô ích. Vào ngày thứ
hai trong tù, người thẩm vấn với một vẻ tự mãn bước vào và nói với
ông ta: “Tốt nhất là hãy khai tất cả đi. Chúng ta đã bắt được bạn của
mày, Traicôpxki, và hắn ta đã khai rồi đó”
•
2- Thảo luận tình huống : Đỏ tôi thắng, đen anh thua
22
+
Vào cuối khóa học, Barry đã kỷ niệm ngày ra trường tại một trong các dạ tiệc khiêu vũ
của trường tổng hợp Cambridge. Một phần của buổi dạ tiệc là casinô. Mỗi người chơi
được tặng cho một số thẻ chơi tương đương 20 đôla và cuối buổi người nào tích lũy
được một số lượng thẻ có giá trị lớn nhất sẽ được tặng vé miễn phí dạ tiệc năm sau. Khi
đến vòng quay cuối cùng của bàn rulô, một sự may mắn tình cờ đã khiến Barry dẫn đầu
với số thẻ có tổng trị giá 700 đôla, người tiếp theo là một phụ nữ Anh với 300 đôla. Số
còn lại gần như đã bỏ cuộc. Ngay trước khi vòng quay cuối bắt đầu, người phụ nữ Anh
nọ đề nghị chia đôi chiếc vé dạ tiệc năm sau nhưng Barry đã từ chối. Với việc đang dẫn
đầu vói khoảng cách bỏ xa như vậy, chẳng có lý do gì để phải chia đôi giải thưởng

Để hiểu rõ hơn về bước chiến lược tiếp theo, chúng tôi sẽ giải thích qua về quy tắc
chơi trò quay rulô. Chiến thắng trong trò chơi này phụ thuộc vào vị trí quả bóng sẽ lăn
vào khi vòng bánh xe tròn dừng lại. Thường sẽ có các số từ 0 đến 36 trên vòng tròn
quay. Khi quả bóng lăn vào số (0), nhà cái sẽ thắng. Cách đặt cược an toàn nhất trong
trò rulô là đánh cược vào số chẵn hoặc lẻ (được biểu thị bằng màu đen hoặc đỏ). Đánh
cược kiểu này sẽ thu về một số tiến chẵn: cứ 1 đôla đánh cược thắng sẽ thu về 2 đô la
trong khi cơ hội để thắng là 18/37. Ngay cả khi đánh cược toàn bộ số tiền mình có thì
người phụ nữ cũng vẫn không thể thắng theo cách này; do vậy cô ta buộc phải chơi một
trò chơi rủi ro hơn là đặt cược toàn bộ bộ số tiền của mình vào các bội số của 3. Chơi
theo cách này, người phụ nữ sẽ nhận được tiền gấp ba nếu thắng (số tiền 300 đô la sẽ
trở thành 900 đô la). Tuy nhiên cơ hội thắng chỉ còn 12/37. Người phụ nữ đã đặt tiền của
mình lên bàn như vậy, vào thời điểm này không còn cơ hội để rút lại nữa. Barry sẽ phải
làm gì lúc này?
23
Bài thuyết trình của nhóm đến
đây là kết thúc!
Cám ơn mọi người đã lắng nghe!
24