skkn một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 5

Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

Khai thác và phát triển
một số bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích
các hình tam giác
góp phần bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 5
I - Đặt vấn đề
Những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan đến
diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinh Tiểu
học nhng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học. Đây
chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản về
hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên.
Bên cạnh đó, tôi thấy một số giáo viên cha khai thác hết phơng pháp
dạy học "lấy học sinh làm trung tâm". Thực tế, nhiều giáo viên cũng đà chú ý
đến mảng kiến thức nay song cha "bài bản", giải nhiều bài tập nhng cha có
tính hệ thống. Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của đề bài nêu
ra là xong. Để phát triển khả năng t duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh
thì phơng pháp dạy học đó cha đạt hiệu quả cao. Với thực trạng nh thế, theo
tôi vai trò của ngời thầy giáo là hết sức quan trọng. Làm thế nào để học sinh
tiếp thu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy mình đợc "lớn lên" qua
các bài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề đặt ra của mỗi thầy cô giáo.
Trong phạm vi bài viết của mình, với vốn kiến thức còn ít ỏi, tôi muốn đa ra
một số vấn đề xây dựng một chuỗi bài tập về diện tích và các yếu tố có liên
quan đến diện tích của hình tam giác trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó
nhằm khai thác và phát triển tối đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó giúp học sinh tích cực suy nghĩ, tìm
tòi phát triển năng lực trí tuệ.
II - Nội dung

Để học sinh giải một số bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác
thì trớc hết giáo viên phải hớng dẫn học sinh biết áp dụng một số phơng pháp
sau:
1. Vận dụng công thức để tính diện tích.
- áp dụng trực tiếp công thức:
- áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài đoạn thẳng (cạnh đáy,
chiều cao)
Trang 1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

2. Dïng tû sè (tû sè vỊ số đo các đoạn thẳng, tỷ số về số đo diện tích).
Điều này đợc thể hiện dới những hình thức sau:
- Nếu hai tam giác có cùng diện tích thì đáy của chúng tỷ lệ nghịch với
chiều cao (tơng ứng).
- Nếu hai tam giác có chung chiều cao thì diện tích của chúng tỷ lệ
thuận với đáy (tơng ứng).
- Nếu hai tam giác có chung đáy thì diện tích của chóng tû lƯ thn víi
chiỊu cao (t¬ng øng).
3. Thùc hiƯn phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích,
tổng hợp trên hình. Điều này đợc thể hiện nh sau:
- Một hình đợc chia ra nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng
tổng diện tích các hình nhỏ.

- Hai hình có diện tích bằng nhau mà cùng có phần chung hoặc có phần
bằng nhau thì phần còn lại tơng ứng cũng bằng nhau.
ở hệ thống các bài tập sau đây, tôi đa ra 2 ví dụ cơ bản từ đó phát triển
thành các mẫu bài tập:
+ Tính và so sánh diện tích các hình tam giác.
+ Tính và so sánh độ dài các cạnh đáy.
+ Tính và so sánh độ dài các đờng cao.
+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).
Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản đợc đa ra trong sách giáo
khoa nh sau:
Ví dụ 1:
Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của cạnh
BC. HÃy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC.
Giải:
A
Ta có hình vẽ bên.
Kí hiệu S là diện tích.
Hai tam giác ABM và AMC
có chung chiều cao hạ từ A và có
đáy BM = MC nên: SABM = SAMC.
C
B
M
Từ ví dụ trên ta có thể phát triển bằng c¸ch
Trang 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~

Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

kẻ thêm 2 đờng cao của hai tam giác AMB và AMC và yêu cầu so sánh 2 đờng
cao đó, ta sẽ đợc bài tập 1 nh sau:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. HB
và CK tơng ứng là hai đờng cao của 2 tam giác ABM và ACM.
Chứng tỏ rằng BH = CK.
Giải:
B
Ta có hình vẽ bên.
Theo ví dụ 1 ta có SABM = SAMC (1)
K
Mà

SBMA =

BH ì AM
2

M

(2)

CK ì AM
SCAM =
2

Từ (1) và (2) suy ra:
Hay

H
A

C

BH ì AM CK ì AM
=
2
2

BH CK
. Vậy BH = CK. (đ.p.c.m)
=
2
2

Từ bài tập 1 ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới và
yêu cầu tính và so sánh diện tích các hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:
Bài tập 2: Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC
và N là điểm chính giữa của AC. Tính diện tích tam giác ABC. Biết diện tích
tam giác MNC là 2 cm2.
Giải:
B
Ta có hình vẽ bên.
Theo ví dụ 1 ta có:
M

1
SABM = SAMC = SABC.
2

Lại có: SMNC =

1
SMAC (chung
2

A

N
1
1
đờng cao hạ từ M và NC = AC). Do đó SMNC = SABC
2
4

C

hay SABC = 4 SMNC = 4 × 2 = 8 (cm2)
Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC
Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC tại N. Tính S MNC. BiÕt
S ABC = 24 cm2.
Trang 3

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~

Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Giải:
B
Ta có hình vẽ bên.
Vì MN // AB (gt) nên ABMN
là hình thang. Suy ra các đờng
M
cao hạ từ đỉnh A và B xuống
MN của 2 tam giác AMN và
BMN bằng nhau.
A
C
Mặt khác:
N
Hai tam giác AMN và BMN chung đáy MN nên S AMN = S BMN (1)
Lại có:S AMN = SBMN (chung đờng cao hạ từ ®Ønh N, BM = MC) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: S MNC = S MNA =

1
S MAC.
2

1
2

Mµ theo vÝ dụ 1 thì SAMC = S ABC

Nên S MNC =

1
S ABC
4

Hay S MNC = 24 : 4 = 6 (cm2)

Tõ bài tập này ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới
và yêu cầu tính và so sánh độ dài các đờng cao; tính và so sánh độ dài các
cạnh đáy của hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = 4cm. Điểm M và N lần lợt là
điểm chính giữa của BC và AC. Tính đờng cao MK của tam giác MAB. Biết
SANC = 4cm2.
Giải:
B
Ta có hình vẽ bên.
K
Ta có: SAMB = SAMC (chung đờng
cao hạ từ đỉnh A; MB = MC);
M
S MAN = S MNC (chung đờng cao
hạ từ đỉnh M và MB = MC).
Mà S MAC = 2S MNC = 2 ì 4 = 8 (cm2)
C

A

2ì8 N
= 4(c.m)

Vậy độ dài đờng giao MK của MAN là:
4

Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC.
Nối AM, trên AM lÊy ®iĨm N sao cho AN = NM. TÝnh ®êng cao NQ
Trang 4

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
của tam giác NAC. Biết đờng cao BK của tam giác BAC là 8 cm .
B

Giải:

M

Ta có hình vẽ bên.
Ta thấy: S CNA =

1
S CMA (chung
2

đờng cao hạ từ đỉnh C và AN =

S AMC =

N
1
AM)A
2

1
S ABC (theo vÝ dô 1)
2

C

K Q

Ta suy ra S CNA =

1
S ABC (1)
4

Mà NAC và BAC có chung cạnh đáy AC nên theo
Thì NQ =

(1)

1
1
BK. Vậy NQ = x 8 = 2 (cm)
4

4

Bài tập 6: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên
AM lấy điểm I sao cho IM =

1
AI. Kéo dài CI cắt AB tại N.
2

Tính S ABC biết S BMN = 24cm2.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Từ A ta kẻ đờng cao AH của
ANC. Từ M ta kẻ đờng cao

B

H

N

MK của MIC. Ta thấy:

M
I

K
1
1
S CMI = S CIA *(chung ®êng cao A tõ C, MI = IA).

hạ
2
2

Lại có, AIC và MIC chung đáy IC nên theo (*) thì MK =
ra: S MNC =

C
1
AH. Từ đó suy
2

1
1
S ANC (chung đáy NC và đờng cao MK = AH). Mà S MNB = S NMC
2
2

(chung đờng cao hạ từ N và đờng cao BM = MC (gt))
Do đó S BMN =

1
S ABC
4

Hay S ABC = 4S BMN
Trang 5

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~

Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Vậy S ABC = 4 ì 24 = 96 (cm2).

Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên
MA lấy điểm I sao cho IM =

1
AI. Kéo dài CI cắt AB tại N.
2

a/ Chứng tỏ N là điểm chính giữa của cạnh AB.
b/ Tính S ABC. Biết S AIN = 4cm2.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
B
a/ Kẻ đờng cao AP của ANC
và ®êng cao BH cña ∆BNC.

P

Ta thÊy: S IBM = S IMC (chung
đờng cao hạ từ I và BM = MC)
Suy ra: S IMC =
Mµ S CIM =

1
S IBC (1).
2

N

M
H
I
C

A

1
1
S CIA (chung đờng cao hạ từ C và MI = IA).
2
2

Nên theo (1) thì S BIC = S AIC

(2)

Mặt khác BIC và AIC có chung đáy IC nên theo (2)
Ta có: AP = BH.
Do ®ã S ANC = S BNC (chung đáy NC và AP = BH)

(3)

Lại có, ANC và BNC có chung đờng cao hạ từ C nên theo (3) thì

AN = BN. Hay N là điểm chính giữa của cạnh của cạnh AB (đ.p.c.m)
b/ Ta thấy: S IAN = S IBN (chung đờng cao hạ từ I và AM = BN).
Hay S IAH =
Mµ S BIM =

1
S IAB
2
1
1
S BAI (chung đờng cao hạ từ B và IM = AI(gt)).
2
2

Nên S IAN = S IBM.
Mà S BIM =

1
S BAM
3

(4)(chung đờng cao h¹ tõ B, IM =

1
AM).
3

Trang 6

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Và S ABM =

1
S ABC (theo ví dơ 1)
2

Nªn theo (4) ta cã: S IAN =

1
S ABC. Hay S ABC = 6S IAN
6

VËy S ABC = 6 ì 4 = 24 (cm2)
Bài tập 8: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên
AC lấy điểm N sao cho AN =

1
AC. Nối MN cắt BA kéo dài tại K.
4

a/ Tính S ABC biết S AKN = 50 cm2
b/ So sánh KN và KM.
Giải:

K
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta có: S NBM = S NMC (1) (chung
đờng cao hạ từ N và BM = MC).
A
S KBM = S KMC (1) (chung
N
đờng cao hạ từ K vµ BM = MC).
Mµ S KBM = S KNB + S NBM
S KMC = S KNC + S NMC
Ta suy ra S KNB + S NBM = S KNC + S NMC
C
B
M
Nªn theo (1) ta cã: S KNB = S KNC.
Mà S KAN =

1
1
S KNC (chung đờng cao hạ từ A vµ AN = NC).
3
3

Hay S KNC = 3S KAN = 3 × 5 = 150(cm2)
S ANB = S KNB - S AKN = 150 - 50 = 100(cm2)
Mµ S BAN =

1
1
S BAC (chung đờng cao hạ từ B và AN = AC).

4
4

S ABC = 4S BAN.
VËy S ABC = 4 × 100 = 400(cm2)
b/ Theo a/ ta cã: S NBC = S ABC - S ANB = 400 - 100 = 300(cm2).
Suy ra: S NMC = 300 : 2 = 150(cm2)
(1).
Mà S KNC = 3S KNA = 3 ì 50 = 150(cm2) (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra: S CNK = S CMN

(3).
Trang 7

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
2 CNK và CMN lại có chung đờng cao hạ từ C nên theo (3) ta có:
KN = NM. Hay KN =
VËy KN =

1
KM
2

1
KM
2

Bµi tËp 9:
Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm K sao cho KB
= KC. Trên AK lấy điểm H sao cho HA = HK. Nối BH kéo dài cắt AC tại Q.
Nối H víi C.
a/ TÝnh S ABC . BiÕt S BHK = 100cm2
b/ H·y so s¸nh AQ víi QC.
B
c/ H·y so s¸nh S AHQ với S ABC ?
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta thấy S BHK

K

1
= S BAK (chung
2

H

đờng cao hạ từ B vµ HK = AK (gt)).
Mµ S ABK =

I

A

C

Q
1
1
S ABC (chung đờng cao hạ từ A và BK = BC).
2
2 E

Suy ra: S BHK =

1
S ABC ;
4

Hay S ABC = 4 S BHK.

VËy S ABC = 4 × 100 = 400(cm2)
b/ Tõ A kỴ dêng cao AI cđa ∆ABQ ; Tõ C kỴ dêng cao CE cđa ∆CBE
XÐt 2 tam giác: BHA và BHC:
Ta thấy:
S BHA = S BHK
S HBK = S HKC suy ra S AHB =

1
S CHB (1)
2

Mµ AHB và CHB có chung đáy HB nên từ (1) ta có: AI =

1
CE.
2

Mặt khác AI và CE lần lợt là 2 đờng cao của 2 AHQ và CHQ nên suy
ra: SAHQ =

1
SCHQ (chung HQ)
2

(2)
Trang 8

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

Mà HAQ và HQC lại có lại có chung đờng cao hạ từ H nên từ (2) ta cã

AQ =

1
QC.

2

c/ Ta cã SAHQ =

1
1
SCHQ (theo b/) Hay SHAQ = SHAC (3)
2
3

SCHA =

1
SCKA
2

SAKC =

1
SABC
2

SAHQ =

Mµ

1
SABC
12

suy ra SCHA =

1
4

SABC nên từ (3) ta có

Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trên BC sao cho
AM = AC. Tính SABC. Biết SAMB = 2cm2.
Giải:
B
Ta có hình vẽ bên
Ta có: SBAM =

1
SBAC (chung đờng
3

cao hạ từ B và AM =

1
AC).
3

Suy ra: SABC = 3SAMB = 3 × 2 = 6(cm2.)

A

C

M

Tõ vÝ dơ 2 ta ph¸t triĨn b»ng c¸ch thêm một vài yếu tố mới ta sẽ đợc các
bài tập sau:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC và BC = 3cm. Trªn AC lÊy M sao cho AM
=

1
AC. TÝnh đờng cao AH của ABC. Biết SAMB là 2cm2.
3

Giải:
Ta có hình vẽ bên
Ta có: SABC = 3SAMB (theo ví dụ 2).
áp dụng công thức tính diện tích
hình tam giác SABC =

B
H

AH × BC
;
2

Trang 9

A
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
M

~~

C


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
mà BC = 3cm (gt). AH =
Bài tập 2:
=

2S ABC 2 ì 3S AMB 2 ì 3 ì 2
=
=
= 4(cm) .
3
3
3

Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm F sao cho BF

1
1
BC. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = AB. Nèi A víi F và C với E cắt
3
3

nhau tại H. Biết SAEH = 3cm2.

Tính:
a/ SACH
b/ SABC ?
Giải:
Ta có hình vẽ bên

B

K

Từ B kẻ ®êng cao BI cđa ∆BAF.

F

Tõ C kỴ ®êng cao CK của CAF.

cao hạ từ H và BF =

1
2

CF).

(1).

I

E

1

a/ Ta có: SBHF = SCHF (chung đờng
2

H
A

C

Mặt khác 2 BHF và CHF có chung HF nên từ (1) ta có: BI =

1
2

CK.

Lại có BI và CK lần lợt là đờng cao của các tam giác BAH và CAH (2)
Mà BAH và CAH chung đáy nên từ (2) ta có: SBAH =

1
SCAH.
2

Hay SCAH = 2SBAH.
Mặt khác, SHAB = 3SHAE (chung đờng cao hạ tõ H vµ AB = 3AE (gt)).
Suy ra:

SHAB = 3 × 3 = 9(cm2)

VËy:

SAHC = 2 × 9 = 18(cm2)

b/ Ta cã: SCAE = SCHA + SEAH = 18 + 3 = 21(cm2).
Mà SCAE =

1
1
SCAB (chung đờng cao hạ từ C vµ AE = AB).
3
3

Suy ra: SABC = 3SCAE = 3 × 21 = 63(cm2)
Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Bài tập 3:

Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho

1
1
AC. Trên BC lấy điểm N sao cho BN = BC. Nèi AN vµ BN cắt nhau

3
3

AM =
tại E.

a/ Chứng tỏ rằng SAEM = SBEN
b/ Kẻ đờng cao MK của
MEC và đờng cao NH của NEC. Chứng tỏ rằng NH = MK.
Giải:
Ta có hình vẽ bên

B

a/ Xét 2 ABM và ABN. Ta có:
SBAM =

N

1
SBAC (chung đờng cao
3

hạ từ B và AM =

E

K
H

1
AC).
3

A
M
1
1
SABN = SABC (chung đờng cao hạ từ A và BN = BC).
3
3

C

Từ đó suy ra: SABM = SABN. Cïng bít SABE ta cã: SAEM = SBEN (®.p.c.m).
b/ Theo a/ ta cã: SAEM = SBEN.
SEAM =

1
1
SEMC (chung đờng cao hạ từ E và AM = MC).
2
2

SEBN =

Mà

1
1

SBNC (chung đờng cao hạ từ E và BN = NC).
2
2

Suy ra SMEC = SNEC. (1)
Mặt khác 2 tam giác MEC và NEC có chung đáy EC nên từ (1)
ta có: NH = MK (đ.p.c.m).
Bài tập 4:
Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm H sao cho AH
=

1
1
AC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = BC. Nối AM và BH cắt nhau tại
3
3

O. Từ C kẻ đờng cao CE của tam giác COM, CF là đờng cao của tam giác
COH.
B
OM 3
Tính CE và CF biết
= và CE + CF = 14cm.
OH 4

H

F

Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
11
O
~~
E
A

M

C


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Theo bài tập 3 ta cã: SCHO = SCMO
Mµ theo bµi ra

OM 3
= . Khi diện
OH 4

tích không đổi thì đờng cao và đáy
là 2 đại lợng tỷ lệ nghịch với nhau thành ra:

CE 4

= .
CE 3

Mµ CE + CF = 14cm (gt). Nên áp dụng bài toán tìm hai số khi biết tỉng vµ tû
sè cđa chóng ta cã:
CE = 14 : (4 + 3) × 4 = 8(cm)
CF = 14 - 8 = 6(cm)
VËy CE = 8cm.
CF = 6cm.
Bµi tËp 5:
Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm P sao cho AP
=

1
AC. Trên BC lấy điểm N sao cho NB = NC. Nối BP và AN cắt nhau tại O.
3

Tính SABC. Biết SAOP là a.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Kẻ đờng cao BD của tam giác BAN
và đờng cao CE của tam giác CAN.
Ta có: SABN = SACN (chung đờng cao
hạ từ A vµ BN = NC(gt)). (1)

B
E

N
O

D

Hai ∆BAN vµ CAN cã chung đáyAN nênA (1) ta có: BD = CE. (2).
từ

C

M

Xét hai tam giác ABO và ACO ta có:
AO chung.
BD và CE lần lợt là hai đờng cao của tam giác BOA vµ COA (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra SBOA = SCOA.
Mà SOAC = 3SOAP (chung đờng cao hạ từ O và CA = 3AP).
Nên SOAC = 3 ì a và SOBA = 3a.
Lại có SABP = SABO + SAOP = 3a + a = 4a.
Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
12
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Mà SBAP =

1
1
SBAC (chung đờng cao hạ tõ B vµ AP = AC).
3
3

VËy SABC = 3SABP = 3 ì 4a = 12a.
Bài tập 6:
=

Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AP

1
1
AB. Trên AC lÊy ®iĨm E sao cho EC = AC. Nèi AN, BE và CM cắt nhau
3
3

lần lợt tại các điểm K, F, H (h×nh vÏ).
a/ Chøng tá r»ng SMAH = SNBC = SECF.
b/ BiÕt SAMH = 3cm2. TÝnh SHKF ?
Gi¶i:
a/ Ta có: S HAM =

đờng cao hạ từ H và AM =
Ta có: S ABN =

B

1

SHAB (chung
3
1
AB).
3

N
K

1
S ANC (chung đờng
2

M

1
cao hạ tõ A vµ BN = NC).
2

2∆ ABN vµ ACN cã chung đáy AN

H

F

A

E
1
nên đờng cao hạ từ B xuống AN bằng đờng cao hạ từ C xuống AN.

2

Lại có SBAH =

1
SCAH (chung đáy AH và đờng cao hạ từ B xuống AH
2

bằng đờng cao hạ từ C xuống AH).
Suy ra SCHA = 2SBHA = 2 × 3SAMH = 6SAMH.
Suy ra SCMA = 7SAMH
Mặt khác SCMA = SCAB (chung đờng cao hạ từ C và AM =

1
AB).
3

Nên SABC = 3SAMC = 3 × 7SAMH = 21SAMH
Tøc SAMH =

1
SABC
21

(1)
Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
13
~~

C


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Lý luận tơng tự ta có: SBNK =

1
SABC
21

SCEF =

(2)

1
SABC (3)
2

Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra: SMAH = SNBK = SECF (đ.p.c.m)
b/ Theo a/ thì SMAC = 7SMAH = 7 × 3 = 21(cm2)
Suy ra SABC = 21 ì 3 = 63(cm2)
Mà SHKF = SABC - (SABK + SBCF + SCAH)
SAHC = 6SAMH (theo a/)
Nªn SHKF = 63 - (3 × 6 + 3 × 6 +3 ì 6 )
Bài tập 7:
AM =

= 9(cm2)
Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho

1
AC. Nối AN, BM cắt nhau tại O.
3

a/ Chứng tỏ rằng SAOC = SBOC
b/ Kẻ đờng cao OH của AOM và đờng cao OK cđa ∆BON. TÝnh AC
vµ BC biÕt AC - BC = 3. Biết OK = 4; OH = 3.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
B
a/ Theo bài tập 3 ta có:
K
SBON = SAOM ; SONC = SOMC
N
Mµ SAOC = SAOM + SOMC
SBOC = SBOM + SONC
O
Nªn suy ra: SAOC = SBOC
b/ Theo kÕt quả câu a/ thì SAOC = SA
BOC
C
H M
Theo bài ra OK = 4 và OH = 3 nên tỷ số giữa hai đờng cao OH và OK
là

3

.
4

Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
14
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

Mà hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đáy và chiều cao là hai đại l-

ợng tỷ lệ nghịch với nhau nên:

AC 4
= ; AC - BC = 3 nên dựa vào dạng toán
BC 3

tìm hai sè khi biÕt hiƯu vµ tû sè cđa hai số đó ta có:
AC = 3 ì 4 = 12
BC = 3 ì 3 = 9
Bài tập 8:
AM =

Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho

1
AC. Trên phần kéo dài BA (về phía A) lấy điểm D sao cho AD = AB.
3

Nèi D víi M kÐo dµi cắt BC tại E.
a/ Tính SABC biết SADM = 60cm2
b/ Chứng tỏ EB = EC.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta có: SMDA = SMAB (chung đờng
cao hạ từ M và DA = AB (gt))
Mà SBAM =

1
SBAC (chung đờng
3

cao hạ từ B vµ AM =

1
AC (gt))
3

D

A
M

Suy ra SABC = 3SADM = 3 × 60 = 180(cm2)

b/ Ta cã: SDAM =

B
1
1
SDMC (1) (chung đờng cao hạ từ D và AM E= MC)
2
2

C

SMAD = SMAB (theo a/)
(2)
Mµ SMDA + SMAB = SBDM (3)
Tõ (1); (2) vµ (3)vµ suy ra SBDM = S CDM (4)
Mặt khác 2 BDM và CDM có chung đáy DM nên từ (4) ta có đờng
cao hạ từ B của BDM và đờng cao hạ từ C của CDM phải bằng nhau. Hai
đờng cao này đồng thời cũng là hai ®êng cao cđa 2∆ BME vµ CME (5).
Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
15
~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~
Mà BME và CME có chung ME nên từ (5) ta có SBME = SCME (6)

Lại có BME và CME có chung đờng cao hạ từ M nên theo (6) thì 2
cạnh đáy BE = CE (đ.p.c.m)
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho
AM =

1
1
AC. Nối BM, trên BM lấy điểm E sao cho BE = BM. Nối EC, trên
3
3

EC lấy điểm F sao cho FC =

1
EC.
3

Tính SEFM. Biết SABC là a?
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ta có: SBMC =

B

2
SBAC (chung
3
E

2
đờng cao hạ tõ B vµ MC = AC)
3

suy ra SBMC =

2
a
3

Mµ SCME =

F
A

M

C

2
2
SCMB (chung đờng cao hạ từ C và ME = MB)
3
3
2
3

2
3

4
9

Hay SCME = ì a = a
Lại có SMEF =

2
2
SMEC (chung đờng cao hạ từ M và EF = EC)
3
3

Vậy SMEF =

2 4
8
ì a=
a
3 9
27

Nh vậy, từ một bài toán hình học đơn giản ở trong sách giáo khoa chúng
ta cố gắng khám khá, tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và thêm một số yếu tố thì ta
có thể phát triển thành một chuỗi bài tập đi từ đơn giản đến phức tạp. Với phơng pháp dạy học này làm cho học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi để phát triển
năng lực trí tuệ.
III - Kết luận
Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
16

~~


Sáng kiến kinh nghiệm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~

Qua đề tài này tôi hy vọng rằng nó sẽ là cơ sở, là động lực giúp cho bản
thân có thêm hiểu biết mới. Đồng thời góp phần giúp cho đồng nghiệp cũng
nh học sinh khá, giỏi lớp 5 có thêm tự tin khi gặp các bài tập liên quan đến
diện tích hình tam giác.
Tuy nhiên, trên đây chỉ là một ý tởng nhỏ bé của bản thân. Trong quá
trình thực hiện mặc dù tôi đà cố gắng nhiều nhng chắc chắn là không tránh
khỏi thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp cũng nh hội
đồng chuyên môn giúp tôi hoàn thành tốt hơn đề tài:
"Khai thác và phát
triển một số bài toán cơ bản từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam
giác góp phần bồi dỡng học sinh khá - giỏi lớp 5".
Tôi xin chân thành cảm ¬n!

Trang

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
17
~~