bài tập cơ bản toán lớp 9

Chủ đề 1: Một số bài toán về hệ ph ơng trình
Bài 1- Cho hệ phơng trình:
3 4 5
4 6
x y
x y
=


+ =

.
Hãy lập 3 hệ phơng trình tơng đơng với hệ đã cho bằng 3 cách.
(Gợi ý: - áp dụng quy tắc nhân.
- áp dụng quy tắc thế.
- áp dụng quy tắc cộng đại số).
Bài 2- Giải hệ phơng trình:
1)
3 4 5
4 6
x y
x y
=


+ =

2)
5 3 8
3 2 5
x y

x y
+ =


+ =

3)
9x - 8y = 85
13x - 12y = 117



4)
2x - 3y = -2
x - 2y = -3



5)
4x + y = 2
8x + 3y = 5



6)
3x + 2y = 5
15
x - y =
2

Bài 3- Giải hệ phơng trình:
1)
1 1
- = 1
x y
3 4
+ = 5
x y







2)
1 1
+ = 10
x y
2 3
- = -25
x y

3)
3 1 1
+ =
5x y 10
3 3 1
+ =
4x 4y 12







4)
1 1
+ = 1
x-2 y-1
2 3
- = 1
x-2 y-1

5)
8 15
+ = 1
x-1 y+2
1 1 1
+ =
x-1 y+2 12







6)







=



=
+
+

4
1
2
1
5
7
1
1
1
2
yx
yx

7)







=



=

+

1
1
3
2
2
2
2
1
1
1
xy
yx
8)
1 1
+ = 3
x+y x-y
2 3
- = 1
x+y x-y








Bài 4- Giải hệ phơng trình:
1)
5 3 8

3 2 5
x y xy
x y xy
+ =


+ =

2)
y - x = xy
4x + 3y = 5xy



3)
(x+5)(y-2) = (x-2)(y-1)
(x-4)(y+7) = (x-3)(y+4)




Bài 5- Cho hệ phơng trình



=+
=
nyx
nymx
2

5
a) Giải hệ khi m = n = 1 b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm



+=
=
13
3
y
x
Bài 6- Cho hệ phơng trình :



=+
=
2
2
2
yx
mmyx
a) Giải hệ khi m = 1 b) Giải và biện luận hệ phơng trình .
Bài 7- Cho hệ phơng trình :



=+
=+
13

52
ymx
ymx
a) Giải hệ phơng trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x
2
+ y
2
= 1 .
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 1 -
Bài 8- Cho hệ phơng trình



=+
=
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để
x + y = 2 .
Bài 9- Cho hệ phơng trình :



=+

=+
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
c) Tìm m để x -y = 2 .
Bài 10- Cho hệ phơng trình



=
=+
2
532
yx
ayx
. Gọi nghiệm của hệ là ( x ; y ) . Tìm giá
trị của a để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài11- Cho hệ phơng trình:
3
4 6
x my
mx y
+ =

+ =


a) Giải hệ phơng trình khi m = 3.
b) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x > 1; y > 0.
Bài12- Cho hệ phơng trình
2 4
2 3( 1)
x y m
x y m
=


+ = +

1- Giải hệ pơng trình khi m = 2.
2- Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y). Tìm m để :
a) x
2
+ y
2
= 9
b) x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13- Cho hệ phơng trình

( 1) 1
4 2
x m y
x y
+ + =


=

a) Giải hệ phơng trình theo m.
b) Tìm các số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên.
c) Tìm m để nghiệm của hệ phơng trình thỏa mãn x
2
+ y
2
=
1
4
.
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức
2 5x y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
Bài 14- Cho hệ phơng trình
2
1
mx y
x my

=


+ =

a) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x; y). Tìm các giá trị của m để
x + y = -1.
Bài 15- Cho hệ phơng trình :
mx - y = 2m (1)

x - my = 1+m (2)



a) Giải hệ phơng trình khi m = 2.
c) Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
Bài 16- Cho hệ phơng trình :
x + y = 3m - 5

x - y = 2



Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 2 -
1) Giải hệ phơng trình khi m = 2.
2) Tìm giá trị của m để hệ hệ phơng trình có nghiệm (x; y = (8; 6).
3) Gọi nghiệm duy nhất của hệ phơng trình là (x; y).
a) Tính x
2

+ y
2
theo m.
b) Tìm giá trị của m để x
2
+ y
2
= 10.
c) Tìm giá trị của m để x
2
+ y
2
để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 17- Cho hệ phơng trình :
mx + 2y = n

x + 5y = 7



b) Với n = 2. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x > 0,
y < 0.
c) Với n = 3. Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số
nguyên.
Chủ đề 2: Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình-
hệ ph ơng trình
I: Dạng toán làm chung làm riêng công việc
Lu ý: - Coi toàn bộ công việc phải làm là 1.
- Sau khi gọi ẩn ta phải tính xem trong một đơn vị thời gian ( 1 giờ, 1 ngày, )
làm đợc bao nhiêu phần của công việc.

Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm
3 giờ, và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành đợc 25% công việc. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi ngời hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Bài 2: Hai ngời làm chung trong 8 giờ thì xong công việc. Nếu ngời thứ nhất làm 1 giờ 30
phút và ngới thứ hai làm tiếp 3 giờ thì mới đợc 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi
ngời hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Bài 3: Hai ngời thợ cùng xây một bức tờng trong 7giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời thứ nhất
làm trong 5 giờ và ngới thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây đợc
3
4
bức tờng. Hỏi nếu mỗi
ngời làm một mình thì bao lâu xong bức tờng.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 3 -
Bài 4: Hai ngời làm chung công việc mất 4 giờ. Ngời thứ nhất làm đợc nửa công việc và
ngời thứ hai làm nốt cho đến khi hoàn thành cả thảy hết 9 giờ. Hỏi nêú làm riêng 1 ngời
làm hết bao lâu?
Bài 5: Hai ngời làm chung trong 4 giờ đợc
2
3
công việc. Nếu làm riêng một mình cho
xong thì ngời thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng một ngời
làm trong thời gian bao lâu?
Bài 6: Hai công nhân cùng sơn sửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu
ngời thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm tiếp trong một
ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc
Bài 7 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở
riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì đợc
2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một

mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 8 : Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu ngời
thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn
thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm riêng thì sẽ hoàn thành công
việc trong mấy ngày.
Bài 9 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ. Hai
đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I đợc điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong
10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu?
Bài 10: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể nớc thì bể đầy sau 5 giờ . Nếu vòi thứ nhất
chảy một mình trong 2 giờ và thì đợc 1/15 bể . Hỏi vòi 2 chảy một mình trong bao lâu thì
đầy bể ?
Đáp số : 15 giờ
Bài 10- Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10
ngày xong công việc nhng thực tế hai máy chỉ cùng cày trong 7 ngày đầu, sau đó
máy thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi
máy làm một mình thì trong bao lâu cày xong cả cánh đồng.
Bài 11: Hai ngời làm chung một công việc thì trong 20 ngày sẽ hoàn thành . Sau khi làm
chung đợc 12 ngày thì một ngời đi làm việc khác trong khi ngời kia vẫn tiếp tục làm . Đi đ-
ợc 12 ngày thì ngời thứ nhất lại trở về làm tiếp 6 ngày nữa ( trong 6 ngày đó thì thứ hai
nghỉ ) và công việc hoàn thành .Hỏi làm riêng thì mỗi ngời phải mất bao nhiêu ngày mới
xong việc ?
Bài 12: Để chở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn chở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ
chở 15 chuyến . Ô tô lớn chở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác ,ô tô nhỏ chở
tiếp cho xong . nh vậy hai xe tổng cộng chở 14 chuyến .Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến ?
Bài 13: Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng . Nếu cả hai đội cùng làm
chung thì sau 4 giờ là hoàn thành công việc . Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ ,sau đó
đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc 7/12 công việc . Hỏi mỗi
đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc sau bao lâu ?
Bài 14: Một xí nghiệp may xuất khẩu nhận kế hoạch may 150 bộ quần áo . Do áp dụng cải
tiến kĩ thuật nên xí nghiệp mỗi ngày may thêm đợc 5 bộ quần áo so với mức dự định ban

Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 4 -
đầu, vì vậy đã hoàn thành trớc một ngày. Hỏi lúc đầu xí nghiệp dự định mỗi ngày may bao
nhiêu bộ quần áo
II: dạng toán chuyển động
Lu ý
- Dùng công thức S = v.t từ đó tìm mối quan hệ giữa S , v và t .
+ Toán đi gặp nhau cần chú ý đến tổng quãng đờng và thời gian bắt đầu khởi hành .
+ Toán đuổi kịp nhau chú ý đến vận tốc hơn kém và quãng đờng đi đợc cho đến khi
đuổi kịp nhau .
Bài 15: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận
tốc 35Km/h thì đến muộn 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính
quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Giải:
Gọi quãng đờng AB là x (Km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2.
Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì hết thời gian x/35 giờ và đến muộn 2 giờ nên ta có ph-
ơng trình : x/35 y = 2.
Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên ta có ph-
ơng trình : x/50 y = -1.
Kết hợp 2 phơng trình ta có hệ phơng trình







=
=
1y
50

x
2y
35
x
Giải hệ đợc x=350, y=8 (thoả mãn).
Vậy quãng đờng AB dài 350Km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.
Bài16: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc ngời thứ nhất nhanh
hơn vận tốc ngời thứ hai là 3 km/h nên đến B sớm hơn ngời thứ hai là 15 phút. Tính vận tốc
mỗi ngời? Biết quãng đờng AB là 15 km.
Bài 17: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B dài 45 km. Vận tốc ngời thứ
nhất ít hơn vận tốc ngời thứ hai là 3 km/h nên đến B muộn hơn ngời thứ hai là 45 phút.
Tính vận tốc mỗi ngời? Biết quãng đờng AB là 15 km.
Bài 18: Một ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngợc dòng 40 km. Vận tốc khi ngợc dòng nhỏ hơn
vận tốc khi xuôi dòng là 4km. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng biết rằng thời gian khi
xuôi nhanh hơn thời gian khi ngợc là 1 giờ.
Bài 19: Một ca nô xuôi dòng 30 km rồi ngợc dòng 36 km. Vận tốc khi xuôi dòng lớn hơn
vận tốc khi ngựơc dòng là 3km. Tính vận tốc ca nô khi ngợc dòng biết rằng thời gian khi
ngợc lâu hơn thời gian khi xuôi dòng là 1 giờ.
Bài 20: Một ca nô đi từ bến A đến bến B cách nhau 60Km, cả đi và về hết 12,5 giờ. Biết
vận tốc dòng nớc là 2Km/h , tính vận tốc thực của ca nô?
Giải :
Gọi vận tốc thực của ca nô là x(km/h), x>2.
Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (Km/h), lúc về là x-2(Km/h).
Thời gian ca nô đi là 60/x+2 giờ; thời gian ca nô về là 60/x-2giờ.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 5 -
Theo bài ra ta có phơng trình:
04x6,9x5,12
2x
60
2x

60
2
==

+
+

Giải ra đợc x=10(Tm),x=-0,4<0(loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 10Km/h.
Bài 21: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút.
Tính vận tốc tàu thủy khi nớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc là 4km.
Bài 22:

Một ôtô đi từ Hà Nội xuống Hải Phòng với vận tốc 50 km/h , lúc về xe chạy với
vận tốc nhanh hơn lúc đi 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 12 phút . Tính quãng
đờng mà xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Đáp số : 110 km
Bài 19: Hai bến A, B cách nhau 120 km . Lúc 7 giờ một ca nô đi xuôi dòng từ bến A với
vận tốc 12 km/h , cùng lúc đó một chiếc ca nô khác ngợc dòng từ bến B . Chúng gặp nhau
lúc mấy giờ , biết vận tốc của ca nô đi từ bến B là 14 km/h và vận tốc dòng nớc là 2 km/h.
Đáp số : 11giờ.
Bài 23: Một ngời đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một ngời đi xe máy cũng đi từ A và
đuổi theo trên cùng một con đờng và gặp ngời đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của
mỗi ngời biết vận tốc của ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 20 km/h.
Bài 24: Hai bến tàu A và B cách nhau 48 km.Một tàu thuỷ đi từ bến A đến bến B rồi trở lại,
cả đi lẫn về hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nớc không đổi và vận
tốc riêng của tàu cả đi lẫn về là không đổi.
Bài 25: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau
khi đi đợc một giờ với vận tốc dự định, ngời đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đờng
còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của ngời đi xe

đạp.
Bài 26 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu
ôtô đi với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì đợc nửa quãng đờng AB do trời ma nên
ngời lái xe giảm vận tốc 10km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn
một giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 27: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô
con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đờng ấy, đi đợc 2 giờ thì gặp ô tô khách.
Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là
10km/h.
Bài 28: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một ngời
khác đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ
đuổi kịp ngời đi xe đạp tại B. Nhng sau khi đi đợc một nửa quãng đờng AB, ngời đi xe đạp
giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai ngời gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đờng AB.
Bài 29: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ng-
ợc là 1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc
là 3km/h.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 6 -
Bài 30: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian qui định và với một vận tốc xác
định. Nếu ngời đó tăng vận tốc 3km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ, nếu ngời đó giảm vận tốc
2km/h thì sẽ đến B muộn 1 giờ. Tính khoảng cách AB, vận tốc và thời gian đi của ngời đó.
Bài 31: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút,
một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp
nhau khi chúng đã đi đợc một nửa quãng đờng AB. Tính quãng đờng AB.
Bài 32 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn
vận tốc ngợc dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 1 giờ
Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngợc dòng của ca nô.
Bài 33 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng
105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54
km, ngợc dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngợc dòng của ca nô,
biết vận tốc nớc và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 34 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng
105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54
km, ngợc dòng 42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nớc, biết vận
tốc nớc là và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 35 : Hai ôtô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ôtô thứ nhất bắt đầu
xuất phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ
nhất 10km/h. Trên đờng đi ôtô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ôtô và hai ôtô
dến B lúc mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc.
Bài 36 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B dài 30 km trong một thời gian nhất định.Sau khi đi
đuợc một nửa quãng đờng ngời đó nghỉ 15 phút. Để đến B đúng dự định ngời đó tăng vận
tốc trên quãng đờng còn lại 2 km/h. Tính vận tốc xe đạp lúc ban đầu và thời gian
Bài 37- Một ô tô đi quãng đờng AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi hết quãng đờng BC
với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đờng tổng cộng là 165 km và thời gian ô tô đi trên AB ít
hơn thời gian đi trên BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đờng AB, BC.
Bài 38- Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngợc khúc sông ấy hết 4 giờ 30 phút.
Biết thời gian ca nô xuôi 5 km bằng thời gian ca nô ngợc 4 km. Tính vận tốc dòng
nớc.
Bài 39: Một ôtô và một môtô cùng chạy trên một đờng. Biết rằng vận tốc của ôtô hơn vận
tốc của môtô là 30 Km/ h, và quãng đờng ôtô chạy trong 3 giờ bằng 3/4 quãng đờng mà
môtô chạy trong 7 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 40: Hai ngời ở hai địa điểm A và B cáh nhau 3,6 km , khởi hành cùng một lúc, đi ngợc
chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả 2 cùng giữ nguyên vận tốc
nh trờng hợp trên , nhng ngời đi chậm hơn xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau
ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ngời.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 7 -
Bài 41: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 Km và đi ngợc chiều nhau,
sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trớc xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau
khi xe thứ hai đi đợc 8 giờ thì chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 42 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy
từ bến A đuổi theo và kịp thuyền tại một địa điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của

thuyền biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h.
Bài 43: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đếnB. Vận tốc của họ hơn kém
nhau 3 km/h nên đến B sốm muộn hơn nhau ) phút. Tính vận tốc của mỗi ngời biết rằng
quãng đờng AB dài 30 km.
Bài 44: Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 54
km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc của hai ngời biết rằng vận tốc
của ngời đi từ A bằng 4/5 vận tốc của ngời đi từ B.
Bài 45: Một ôtô đi quãng đờng AB với vận tốc 50 km/h , rồi đi tiếp quãng đờng BC với vận
tốc 45 km/h. Biết rằng chiều dài quãng đờng AB và BC là 165 km và thời gian ôtô đi quãng
đờng AB ít hơn thời gian ôtô đi quãng đờng BC là 30 phút. Tính thời gian ôtô đi trên quãng
đờng AB, BC.
Bài 46: Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4 km , đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời
đi xe đạp đi từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc đi và
lúc về bằng nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về cũng bằng nhau). Tính vận tốc lúc lên
dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
Bài 47: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngợc dòng quãng sông đó mất
2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngợc dòng 8 km thì
hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
Bài 48: Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 6 km/h, rồi lại từ B đến C với vận tốc 4 km/h .
Sau một thời gian nghỉ tại C ngời đó lại trở về A theo đờng cũ và dự định phải đi sao cho
thời gian từ C về A bằng thời gian từ A đến C. Muốn vậy ngời đó phải đi trên quãng đờng
CA với vận tốc 5 km/h. Nhng vì phải nghỉ ở B mất 24 phút nên muốn thực hiện dự định
trên ngời đó phải đi với vận tốc 6 km/h trên quãng đờng BA.
Bài 49: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14
km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc
dự định và thời gian dự định.
Bài 50 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5giờ 20 phút một ca nô chạy
từ bến Ađuổi theo và đuổi kịp thuyền tại một địa điểm cách bến A 20 km . Hỏi vận tốc của
thuyền biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền
12 km /giờ.

Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 8 -
Bài 51: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B .Vận tốc của họ hơn kém
nhau 3km / h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời biết rằng
quãng đờng AB dài 30 km
Bài 52: Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 54
km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau hai giờ . Tính vận tốc của hai ngời đó biết rằng
vận tốc của ngời đi từ A bằng 4/5 vận tốc của ngời đi từ B .
III, Dạng toán năng suất , thêm - bớt, tăng giảm
Lu ý : Gồm 3 đại lợng Tổng sản phẩm
Thời gian
Số sản phẩm làm đợc trên một đ/vị thời gian (n/suất)
Bài 53: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai , tổ
I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm đợc 945 chi tiết máy. Hỏi
trong tháng đầu mỗi tổ làm đợc bao nhiêu chi tiết máy?
Giải :
Gọi số chi tiết máy mà tổ I làm đợc trong tháng đầu là x ( chi tiết)
số chi tiết máy mà tổ II làm đợc trong tháng đầu là y ( chi tiết)
ĐK: x,y nguyên,dơng,nhỏ hơn 800.
Tháng đầu , hai tổ làm đợc 800 chi tiết nên ta có phơng trình x+y=800.
tổ I vợt mức 15%x chi tiết, tổ II vợt mức 20%y chi tiết nên ta có phơng trình
15%x+20%y=145.
Kết hợp 2 phơng trình ta có hệ phơng trình



=+
=+
145y%20x%15
800yx
Giải ra đợc x= 300, y= 500 (thoả mãn)

Vậy trong tháng đầu tổ I làm đợc 300 chi tiết máy, tổ II làm đợc 500 chi tiết máy.
Bài 54: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian
quy định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tôt
theo kế hoạch ?
Bài 55: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I đã vợt mức 15% kế hoạch của
tổ, tổ II vợt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó cả hai tổ làm đợc 102 sản phẩm. Hỏi theo kế
hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 56: Theo kế hoạch trong quý I, phân xởng A sản xuất nhiều hơn phân xởng B 200 bình
thuốc sâu. Khi thực hiện do phân xởng A tăng năng suất 20%, phân xởng B tăng năng suất
15% nên phân xởng A sản xuất nhiều hơn phân xởng B là 350 bình. Hỏi theo kế hoạch mỗi
phân xởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?
Bài 57: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha giống lúa cũ, thu hoạch đợc
tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu? Biết rằng 3ha
giống lúa mới thu hoạch ít hơn 4 ha giống lúa cũ là 1 tấn.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 9 -
Bài 58:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy. Trong tháng sau tổ I vợt mức
10%, tổ 2 vợt mức 15% nên cả hai tổ làm đợc 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 59 : Một công nhân đợc giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi
giờ ngời đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán đợc giao đã đợc ngời công
nhân hoàn thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của ngời công nhân đó.
Bài 60 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện
đúng mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vợt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn
thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản
phẩm.
Bài 61: Sau khi nhận mức khoán, một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành công việc trong 10
giờ. Lúc đầu mỗi giờ ngời đó làm đợc 12 sản phẩm. Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc
giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa.

Tính số lợng sản phẩm đợc giao.
Bài 62: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng
suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10
sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến.
Bài 63- Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã
làm vợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II đã làm vợt mức kế hoạch 12%, do đó, cả hai xí
nghiệp đã làm đợc tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế
hoạch.
IV/ Dạng toán về tỷ lệ chia phần: thêm , bớt , tăng ,
giảm.
Bài 64: Một đội xe cần phải chuyển 120 tấn hàng. Khi làm việc do hai xe cần điều đi nơi
khác nên mỗi xe phải trở thêm 16 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
Bài 65: Một đoàn xe đợc giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đợc nhận thêm hai xe
nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?
Bài 66: Một hội trờng chứa 500 chỗ ngồi . Nếu thêm vào mỗi dãy một chỗ ngồi và bớt đi
một dãy thì sẽ kê thêm đợc 4 chỗ ngồi. Hỏi hội trờng có bao nhiêu dãy ghế.
Bài 67: Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học
sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sing thì thừa 1 ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và
bao nhiêu học sinh ?
Bài 68 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhng phải xếp cho 357 ngời đến dự họp, do đó ban
tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ
chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế ?
Bài 69: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhng số ngời đến họp là 144 ngời. Do đó, ngời ta
phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có
bao nhiêu dãy ghế.
V. Dạng toán liên quan đến cấu tạo thập phân của số
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 10 -
Lu ý :
100 10
10

abc a b c
ab a b
= + +
= +
Bài 70: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của nó bằng 11. Nếu thay đổi
theo thứ tự ngợc lại đợc số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị . Tìm số đã cho.
Bài 71: Có một số có hai chữ số lớn gấp ba lần tổng các chữ số của nó. Còn bình phơng
tổng các chữ số của nó gấp 3 lần số đã cho. Tìm số ấy .
Bài 72: Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ
số là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ đợc số mới lớn hơn số
ban đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Bài 73 Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phơng các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó
cộng thêm 5.
Bài 74: Tìm một số có hai chữ số biết tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 5 và
nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì đợc số mới bé số cũ 45 đơn vị.
Bài 75: Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7 . Tìm hai
số đó?
Bài 76: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì đợc thì đợc mồt số lớn
hơn số đã cho là 63. Tổng của số mới và số đã cho là 99. Tìm số đã cho.
Bài 77: Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số
hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng là 2 và d cũng
là 2.
Bài 78: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của nó bằng 10. Tích của hai chữ số ấy
nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 79- Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 335, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ
thì đợc thơng là 9 và số d là 15.
Bài 80- Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số bằng 12, nếu đổi vị trí hai
chữ số cho nhau thì đợc số mới nhỏ hơn số đã cho 54 đơn vị.
Bài 81- Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số

hàng chục là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì
đợc số mới hơn số đã cho 540 đơn vị.
Bài 82:Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất nhiều hơn 5 lần số thứ hai là5 và hiệu các
bình phơng của chúng bằng 351.
Bài 83: tìm hai số tự nhiên , biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số lớn chia cho
số nhỏ thì đợc thơng là 3 và số d là 125.
Bài 84: Cho số tự nhiên có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số đó thì đợc một số lớn hơn
số đã cho là 36. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110. Tìm số đã cho.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 11 -
VI, Dạng toán liên quan đến hình học
Chú ý : Diện tích tam giác =
1
2
chiều cao * đáy
Diện tích hình chữ nhật = dài * rộng
2
m
Bài 85: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4m, và diện tích bằng
320 . Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh đất.
Bài 86: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m
2
. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm
chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính các kích thớc của mảnh đất.
Bài 87 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì
diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
ban đầu.
Bài 88- Một hình chữ nhật có chu vi 216 cm. Nếu giảm chiều dài đi 20%, tăng chiều

rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không thay đổi. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 8- Tính diện tích của hình chữ nhật. Biết rằng: nếu tăng chiều dài thêm 3 m và
giảm chiều rộng đi 1 m thì diện tích của nó không thay đổi; nếu giảm chiều dài đi 6 m và
tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích của nó cũng không thay đổi.
Bài 90: Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340 m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều
rộng là 20 m. Tính diện tích của sân trờng.
Bài 91: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi
cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó tăng thêm 36 cm
2
, và nếu một cạnh giảm đi 2 cm,
cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm
2
.
Bài 92: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng
thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m
2
. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2 m
thì diện tích giảm đi 68 m
2
. Tính diện tích của thửa ruộng đó?
Bài 93: Một tam giác có chiều cao bằng 2/5 cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh
đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm
2
. Tính chiều cao và cạnh đáy của
tam giác.
Bài 94: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết
rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không
thay đổi .
Bài 95: Một mảnh vờn hình chữ nhật có chu vi là 143 m . Nếu giảm mỗi kích thớc của vờn
đi 1m thì diện tích của vờn bằng diện tích của một hình vuông có cạnh bằng 28m . Tính

các kích thớc của vờn hình chữ nhật đó.
Bài 96: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 100 m . Nếu ta tăng chiều dài lên gấp hai
lần và chiều rộng lên gấp ba lần thì chu vi của khu vờn mới sẽ là 240 m . Tính diện tích của
khu vờn ban đầu .
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 12 -
Chủ đề 3: hệ thức vi ét và ứng dụng
I- Lý thuyết cơ bản.
1- Định lí Vi-ét. Nếu pt ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




ì =

Chứng minh: Do x
1
và x
2
là hai nghiệm của pt (1) nên: a(x - x
1
).(x - x
2
) = ax
2
+ bx
+ c với x ax
2
- ax
1
x - ax
2
x + ax
1
x
2
= ax
2
+ bx + c ax
2
- (ax
1
+ ax
2

)x + ax
1
x
2
= ax
2
+ bx + c

( )
1 2
1 2
ax ax b
ax x c

+ =



=



1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =





=


2- Định lí Vi- ét đảo. Nếu hai số có tổng
S
và tích
P
thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình: x
2
-Sx + P = 0 .
Điều kiện tồn tại hai số đó là: S
2
- 4P > 0.
II- Các dạng bài tập cơ bản.
Dạng I: Không giải phơng tình hãy tính giá trị của một biểu thức
giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai:
1- Cách giải:
- Chứng tỏ phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
- Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm.

- Viết hệ thức Vi - ét thay vào biểu thức tính giá trị.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 13 -
2- Các bài toán áp dụng:
VD
1
: Cho phơng trình x
2
- 27x

+ 43 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phơng trình trên (x
1
< x
2
). Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
1
1
x
+
2
1
x
e) x
1
3

+ x
2
3
b) x
1
2
+ x
2
2
f)

x
1
- x
2
c)
1
2
x
x
+
2
1
x
x
g) x
1
2
- x
2

2

d)
2
1
1
x
x +
+
1
2
1
x
x +
h) x
1
3
- x
2
3
Giải
Xét phơng trình: x
2
- 27x

+ 43 = 0
= (-27)
2
- 4.43 = 557 > 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm x

1
,x
2
( giả sử x
1
<x
2
).
Theo hệ thức viét ta có:
x
1
+ x
2
= 27 (1)
x
1
. x
2
= 43 (2)
a) A =
1
1
x
+
2
1
x
=
21
21

xx
xx +
=
43
27
b) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
. x
2
=
= 27
2
- 2.43 = 643
c)
1
2
x
x

+
2
1
x
x
=
21
2
2
2
1
xx
xx +
=
21
21
2
21
2)(
xx
xxxx +
=
43
43.227
2

=
43
643
d)

2
1
1
x
x +
+
1
2
1
x
x +
=
21
2211
)1()1(
xx
xxxx +++

=
21
2
2
21
2
1
xx
xxxx +++
=
21
2121

2
21
2)()(
xx
xxxxxx +++

=
=
+
43
43.22727
2
43
670
e) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
- 3 x
1
x
2

(x
1
+ x
2
) = 162.000
f)

F = x
1
- x
2
< 0 (do x
1
< x
2
)
F
2
= (x
1
- x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2

- 4x
1
x
2
=
= (-27)
2
- 4.43 = 557
F = -
2
F
= -
557
h) H = x
1
2
- x
2
2
= (x
1
+ x
2
) (x
1
- x
2
) =
= 27(-
557

) = - 27.
557
k) K = x
1
3
- x
2
3
= (x
1
- x
2
)( x
1
2
+x
1
x
2
+ x
2
2
)
= (x
1
- x
2
) ((x
1
+ x

2
)
2
-x
1
x
2
) =
= -
557
.[ 27
2
- 43] = - 686
557
VD
2
: Cho phơng trình: x
2
- 3x

+ 2 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phơng trình trên (x
1
<x
2
) Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a)
1
x
+
2
x
b)x
1
1
x
+x
2
2
x
c)x
1
2
x
+x
2
1
x
d)
1
x
-
2
x
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 14 -
Giải

Xét phơng trình: x
2
- 3x

+ 2 = 0
= (-3)
2
- 4.2 = 1 > 0 Phơng trình có hai nghiệm phận biệt x
1
,x
2
Theo hệ thức viét ta có:
1 2
1 2
3
. 2
x x
x x
+ =


=

1
2
0
0
x
x
>

>


a) A =
1
x
+
2
x
> 0
Xét A
2
= (
1
x
+
2
x
)
2
= x
1
+ x
2
+ 2
21
xx

=
= 3 + 2
2
= 2 + 2
2
+ 1 = (
2
+1)
2
Vậy A =
2
A
=
2
)12( +
=
12 +
b) B = x
1
1
x
+x
2
2
x
= (
1
x
+
2

x
)( x
1
+ x
2
-
21
xx
)
=(
2
+1)( 3 -
2
) = 1 + 2
2
c) x
1
2
x
+ x
2
1
x
=
21
xx
(
1
x
+

2
x
) = (
2
+1)
2
= 2 +
2
d) D =
1
x
-
2
x
> 0 do x
1
> x
2
( gt)
D
2
= (
1
x
-
2
x
)
2
= x

1
+ x
2
- 2
21
xx
=
= 3 - 2
2
= 2 - 2
2
+ 1 = (
2
-1)
2
D =
2
D
=
2
)12(
= |
12
| =
12
VD
3
: Cho phơng trình: x
2
+ 3x

+ 1 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phơng trình trên. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = x
1
(2 - x
2
) + x
2
(2 - x
1
)
b) B = 12 - 10 x
1
x
2
- ( x
2
2
+ x
1
2
)
c) C = (2x
1
- x

2
).(2x
2
- x
1
)
d) D =
2
2
1
2
21
21
2
2
2
1
44
533
xxxx
xxxx
+
++
Giải
Xét phơng trình: x
2
+ 3x

+ 1 = 0
= (3)

2
- 4.1 = 5 > 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
Theo hệ thức Vi - ét ta có:
x
1
+ x
2
= - 3 > 0
x
1
. x
2
= 1 > 0
a) A = x
1
(2 - x
2
) + x
2
(2 - x
1
)
= 2x
1
- x
1

x
2
+ 2x
2
- x
1
x
2
= 2(x
1
+ x
2
) - 2x
1
x
2

= 2.(-3) -2.1 = -8
b) B = 12 - 10 x
1
x
2
- ( x
2
2
+ x
1
2
)
= 12 - 10x

1
x
2
- (x
1
+ x
2
)
2
+ 2x
1
x
2

= 12 - 8x
1
x
2
- (x
1
+ x
2
)
2
= 12 - 8.1 -(-3)
2
= -5
c) C = (2x
1
- x

2
).(2x
2
- x
1
) = 4x
1
x
2
- 2x
1
2
- 2x
2
2
+x

= 9x
1
x
2
- 2(x
1
+ x
2
)
2
= 9.1 - 2.(-3)
2
= -9.

Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 15 -
d) D =
2
2
1
2
21
21
2
2
2
1
44
533
xxxx
xxxx
+
++
=
)(4
5)(3
2121
22
2
2
2
1
xxxx
xxxx
+

++
=
)(4
)(3
2121
22
2
2
2
1
xxxx
xxxx
+
+
=
)3(1.4
1)3(3
2


=
12
26

= -
6
13
3- Các bài toán thực hành:
Bài 1 Cho phơng trình: 3x
2

- 6x

-2 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phơng trình trên (x
1
<x
2
). Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
1
1
x
+
2
1
x
g)
2
1
1
x
x +
+
1
2
1

x
x +

b) x
1
2
+ x
2
2
k) x
1
3
- x
2
3
c)
2
1
x
x
+
1
2
x
x
f) x
1
2
- x
2

2

d) x
1
3
+ x
2
3

h)

x
1
- x
2
Bài 2. Cho phơng trình: x
2
- 5x

+ 4 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phơng trình trên. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
1
x
+
2

x
b)x
1
1
x
+x
2
2
x
c)x
1
2
x
+x
2
1
x
d)
1
x
-
2
x
(x
1
< x
2
)
Bài 3 Cho phơng trình x
2

+ 4x

+ 3 = 0 không giải phơng trình trong đó x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phơng trình trên. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)A = x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2

b)B =
1
1
x
+
2
1
x
+
21
3

xx

c)C =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++

d)

D = x
1
3
- x
2
3
-2 (x
1
2

+ x
2
2
) +3(x
1
2
x
2
+x
1
x
2
2
)
e) E = x
1
2
+ x
2
2
- (2 - x
1
)(2-x
2
)
f) F =
12
1
2xx
x

+
21
2
2xx
x

Bài 4.
Cho phơng trình : x
2
+ 2x -4 = 0. Gọi x
1
, x
2
, là nghiệm của phơng trình.
Tính giá trị của biểu thức :
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2x + 2x - 3x x
A =
x x + x x
Bài 5. Cho phơng trình : 3x
2
+ 7x + 4 = 0 . Gọi hai nghiệm của phơng
trình là x
1
, x
2

không giải phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm là :
1
2
x
x -1
và
2
1
x
x -1
.
Bài 6. Cho phơng trình bậc hai :
2
x + 3x - 5 = 0
và gọi hai nghiệm của phơng
trình là x
1
và x
2
. Không giải phơng trình , tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2
1 2
1 1
+
x x
b)
2 2
1 2
x + x

c)
3 3
1 2
1 1
+
x x
d)
1 2
x + x
Dạng II: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để ph-
ơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 16 -
* Bài toán cơ bản:
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (I)
Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trớc.
* Phơng pháp: Để phơng trình (I) có nghiệm ta phải có: 0 (*)
Khi đó theo hệ thức vi-ét ta có:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =

=



Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phơng trình:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x ;Điều kiện T
a

+ =




ì =



so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán.
Bài 7: Cho phơng trình x
2
- 2m x + 2m -1 = 0 (1)

Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
thảo mãn x
1
= 2 x
2
.
Bài 8: Cho phơng trình x
2
-mx + m + 1 = 0 (2)
Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
thảo mãn x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) - 19 = 0.
Bài 9: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 )
Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm x
1

,x
2
thoả mãn :
A = 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài 10 : Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1) x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (4 )
Tìm giá trị lớn nhất của M =
1 2 1 2
x x 2x 2x
Bài 11 : Cho phơng trình x
2
- mx + m -1 = 0 (5 )

Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với m.
Bài 12: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 )
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m.
b/ Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Chứng minh rằng biểu thức:
( ) ( )
1 2 2 1
A x 1 x x 1 x= +
không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 13: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1 ) x + m + 5 = 0 .
a/ Giải phơng trình với m = 5.
b/ Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2

không phụ thuộc vào m.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2

1 2
x x+
.
Bài 14 : Cho phơng trình x
2
+ (2m - 1 )x - m = 0 .
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với m.
b/ Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình.
Tìm giá trị của m để
2 2
1 2 1 2
A x x 6x x= +
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 15. Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình :
x
2
- (m+1)x + m
2
-2m +2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép, hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để
2 2

1 2
x + x
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất .
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 17 -
Bài 8.
1) Giải và biện luận phơng trình :
(m
2
+ m +1)x
2
-3m = ( m +2)x +3
2) Cho phơng trình x
2
-x -1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x
2
. Hãy lập phơng trình bậc
hai có hai nghiệm là :
1 2
2 2
x x
;
1-x 1-x
Bài 16. Cho phơng trình : x
2
- 4x + q = 0
a) Với giá trị nào của q thì phơng trình có nghiệm .
b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình là 16 .
Bài 17.

Tìm m để phơng trình ( x
2
+ x + m) ( x
2
+ mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 18. Cho phơng trình : x
2
-( m+2)x + m
2
-1 = 0
a) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mãn x
1
-x
2
= 2 .
b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau.
Bài 19. Cho phơng trình (m
2
+ m + 1 )x
2
- ( m
2
+ 8m + 3 )x -1 = 0
a) Chứng minh x
1
x

2
< 0 .
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu
thức: S = x
1
+ x
2
.
Bài 20. Cho phơng trình : 2x
2
+ ( 2m - 1)x + m - 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 11 .
2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m .
3) Với giá trị nào của m thì x

1
và x
2
cùng dơng .
Bài 21. Cho phơng trình : 2x
2
- ( m+ 1 )x + m -1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1 .
b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng .
Bài 22. Cho phơng trình x
2
-( 2m + 1 )x + m
2
+ m -1 =0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x
1
, x
2
, là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m sao cho :
( 2x
1
-x
2
)( 2x
2
-x
1
) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy .
c) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x

1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m .
Bài 23. Cho phơng trình : x
2
-mx + m -1 = 0 .
1) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Tính giá trị của biểu thức .
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
x + x - 1
M =
x x + x x
. Từ đó tìm m để M > 0 .
2) Tìm giá trị của m để biểu thức P =
2 2
1 2
x + x - 1
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 24. Cho phơng trình x
2
-( m+1)x + m
2
-2m + 2 = 0 (1)

a) Giải phơng trình với m = 2 .
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c) Với giá trị nào của m thì
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất .
Bài 25. Cho phơng trình : x
2
-2 ( m + n)x + 4mn = 0 .
a) Giải phơng trình khi m = 1 ; n = 3 .
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m, n .
c) Gọi x
1
, x
2
, là hai nghiệm của phơng trình . Tính
2
2
2
1
xx +
theo m, n .
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 18 -
Bài 26. Cho phơng trình x
2
-2 (m + 1 )x + m
2

- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phơng trình với m = 1 .
b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
Bài 27. Cho phơng trình x
2
- mx + m - 1 = 0.
1) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi giá trị của m.
2) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
- 8x
1
x
2
.
a) Chứng minh rằng A = m
2
- 10m +10.
b) Tìm giá trị của m để A =10; A + 6 = 0.
c) Tính giá trị của A khi m =
1
2

; m = 5 -
3
.
Bài 28. Cho phơng trình x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi giá trị
của m.
2) Tìm điều kiện của m để:
a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2
.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2

không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 29. Cho phơng trình mx
2
- 2(m + 3)x + m + 2 = 0. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của
phơng trình, tìm số nguyên m để A =
1 2
1 1
+
x x
cũng là số nguyên.
Bài 30. Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m -15 = 0.
1) Giải phơng trình khi m = 0.
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm các giá trị của m thỏa mãn
5x
1
+ x
2
= 4.
Bài 31. Cho phơng trình x
2

- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm giá trị của m để :
a) Phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
3
+ x
2
3


0.
Bài 32. Cho phơng trình x
2
- mx + m
2
- 3 = 0. Tìm giá trị của m để :
a) Phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt.
b) Phơng trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dơng.
Bài 33. Cho phơng trình : x
2
- ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1

; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+

.
Dạng III: Hệ thức Vi-ét trong sự tơng giao hàm số.
* Ph ơng pháp:
Cho hàm số: y = ax
2
( a 0) (P)
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 19 -
và : y = mx + n (d)
Hoành độ giao điểm của (d ) và (P) là nghiệm của phơng trình:
ax
2
= mx + n ax
2
- mx - n = 0. (II)
+/ Nếu phơng trình (II) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
+/ Nếu phơng trình (II) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).
+/ Nếu phơng trình (II) vô nghiệm thì (d ) không có điểm chung với cắt (P).
Bài 34 : Cho hàm số y = x
2
(P) và y = 3x + m
2
(d)
a/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân

biệt.
b/ Gọi y
1
, y
2
là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để: y
1
+ y
2
= 11y
1
y
2
.
Bài 35 : Cho hàm số
2
1
y x
2
=
(P)
a/ Gọi A và B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị có hoành độ là 1 và -2. Viết phơng
trình đờng thẳng AB.
b/ Đờng thẳng y = x + m - 2 (d).
(d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt . Gọi x
1
, x
2
là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để
2 2 2 2

1 2 1 2
x x 20 x x+ + = ì
.
Bài 36 : Cho hàm số
2
1
y x
2
=
(P) và điểm M (1; -2).
a/ Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc m.
b/ Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
c/ Gọi x
A
; x
B
là hoành độ của A và B. Tìm m để
2 2
A B A B
x x x x+
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm
giá trị này.
Bài 37 : Cho hàm số
2
1
y x
2
=
(P) và điểm M (1; -2).
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng đi qua M và có hệ số góc m luôn cắt (P) tại hai điểm

phân biệt A và B với mọi m.
b/ Gọi x
A
; x
B
là hoành độ của A và B. Tìm m để
( )
2 2
A B A B A B
x x 2x x x x+ +
đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị này.
Bài 38 : Cho hàm số
( )
2
y 2x 6x m 1 *= +
với m là tham số.
a/ Khi m = 9 tìm x để y = 0.
b/ Tìm m để đờng thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số (*) tại hai điểm phân biệt. Tìm
tung độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó.
D ạng IV: Lập phơng trình bậc hai một ẩn sử dụng định lý
vi-ét đảo.
* Phơng pháp:
Bớc 1: Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm.
Bớc 2: Sử dụng định lí Vi- ét đảo để lập đợc phơng trình .
Bài 39: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm của nó là:
a/ 1 và - 6 b/
2 1 và 3 + 2
c/ m và m -1.
Bài 40: Cho phơng trình

2
x 2x 5 0+ =
có hai nghiệm x
1
và x
2
.
Hãy lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm của nó là:
1 2
2 1
x x
và
x x
.
Bài 41. Cho phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 . Gọi hai nghiệm của phơng
trình là x
1
, x
2
. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x
1
+ 3x
2
và
3x
1
+ 2x
2

.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 20 -
Dạng V: Giải hệ phơng trình bằng định lý vi-ét đảo.
Bài 42 : Giải hệ phơng trình
2 2
x y 25
xy 12
+ =


=

Bài 43 : Giải hệ phơng trình
( )
5 x y 2xy 19
x y 3xy 35

+ + =


+ + =


Bài 44: Cho hệ phơng trình
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m
+ + = +

+ + =

a/ Giải hệ phơng trình với m = 1.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài 45 : Giải hệ phơng trình:
a/
2 2
x xy y 7
x y 5
+ =


+ =

b/
2 2
4 4
x y xy 3
x y 17
+ + =


+ =

c/
( ) ( )
2 2
x x y y 18
x y 1 y x 1 72
+ + + =

+ + + =


Chủ đề 4: Một số bài toán về: Hàm số và đồ thị
Bài 1.
a) Tìm các giá trị của a , b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai
điểm A(2 ; - 1) và B (
1
; 2)
2
.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x -7 và đồ thị
của hàm số xác định ở câu (a) đồng quy .
Bài 2. Cho hàm số y =
2
3
2
x
(P ).
a) Tính giá trị của hàm số tại x = 0 ; -1 ;
3
1

; -2 .
b) Biết f(x) =
9 2 1
; -8; ;

2 3 2
tìm x .
c) Xác định m để đờng thẳng (D) : y = x + m -1 tiếp xúc với (P) .
Bài 3. Cho Parabol (P) : y =
2
2
1
x
và đờng thẳng (D) : y = px + q .
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 21 -
Xác định p và q để đờng thẳng (D) đi qua điểm A (- 1 ; 0) và tiếp xúc với (P).
Tìm toạ độ tiếp điểm .
Bài 4. Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) :
2
4
1
xy =
và
đờng thẳng (D) :
12 = mmxy
a) Vẽ (P) .
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) .
c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 5. Cho hàm số y = ( m -2 ) x + m + 3 .
a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 .
c) Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x -1và y = (m -2 )x + m + 3 đồng
quy.
Bài 6. Cho hàm số y = x
2

có đồ thị là đờng cong Parabol (P) .
a) Chứng minh rằng điểm A( -
)2;2
nằm trên đờng cong (P) .
b) Tìm m để để đồ thị (d ) của hàm số y = ( m -1 )x + m ( m

R , m

1 ) cắt
đờng cong (P) tại một điểm .
c) Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = (m-1)x + m
luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 7. Cho Parabol (P) có phơng trình y = ax
2
. Xác định a để (P) đi qua điểm
A( -1; -2) . Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và đờng trung trực của đoạn OA.
Bài 8. Xác định giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (H) : y =
x
1
và đờng thẳng (D):
y = - x + m tiếp xúc nhau .
Bài 9. Cho hai đờng thẳng y = 2x + m -1 và y = x + 2m .
a) Tìm giao điểm của hai đờng thẳng nói trên .
b) Tìm tập hợp các giao điểm đó .
Bài 10. Cho hàm số : y = ( 2m -3)x
2
.
a) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1; -1). Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc .
Bài 11. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (-2 ; 2) và đờng thẳng (D):

y = - 2(x +1).
a. Điểm A có thuộc (D) hay không?
b. Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ nthị (P) đI qua A
c. Viết phơng trình đờng thẳng đI qua A và vuông góc với (D)
Bài 12. Cho hàm số : y =
2
2
1
x

a) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với
đồ thị hàm số trên .
Bài 13. Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x -m + 3 (1)
a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) .
b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m .
Bài 14. Cho hàm số : y = -
2
2
1
x
a) Tìm x biết f(x) = - 8 ; -
8
1
; 0 ; 2 .
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có
hoành độ lần lợt là -2 và 1 .
Bài 15. Cho biểu thức :

xxxxxx
x
A
++
+
=
2
1
:
1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 16.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 22 -
a) Vẽ đồ thị của hàm số : y =
2
x
2
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 )
c) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .
Bài 17.
a)Vẽ đồ thị hàm số
2
x
y =
2
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 )
c) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đờng thẳng x -2y = - 2 .
a) Vẽ đồ thị của đờng thẳng . Gọi giao điểm của đờng thẳng với trục tung và trục

hoành là B và E .
b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng
x -2y = -2 .
c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó . Chứng minh rằng
EO. EA = EB . EC và tính diện tích của tứ giác OACB .
Bài 20. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
a) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 .
c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 .
Bài 21.
a) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ .
b) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b .
Xác định a , b để (d) đi qua hai điểm A ( 1 ; 3 ) và B ( - 3 ; - 1)
Bài 22. Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; 0 ) và Parabol
(P) có phơng trình y = x
2
. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn
thẳng AM nhỏ nhất .
Bài 23- Cho hàm số y = (m + 1)x - m
a) Vẽ đồ thị hàm số khi m = -2.
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2; -1).
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị
của m. Tìm điểm ấy.
Bài 24- Cho hàm số y = (m - 1)x + m
a) Vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1; -1).
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị
của m. Tìm điểm ấy.
Bài 25- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) và B(0; -1).
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B.

b) Gọi C là giao điểm của đờng thẳng AB và đồ thị hàm số y = x - 2. Tìm tọa độ của
điểm C.
c) Đờng thẳng AB và đồ thị hàm số y = x - 2 cắt trục hoành lần lợt tại hai điểm
K, H. Tính diện tích tam giác CKH.
Bài 26- Cho hàm số y = (m
2
- 2)x + m + 2.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = - x + 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng x = 1 và cắt đờng thẳng
y = 3x - 1.
Bài 27- Cho hàm số y = (m - 1)x + 2m - 1.
a) Tìm giá trị của m để hàm số luôn luôn đồng biến với mọi giá trị của x.
b) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
2 1;2
.
c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có
diện tích bằng 0,5 (đơn vị diện tích).
Bài 28- Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3.
a) Tìm giá trị của m để hàm số luôn luôn nghịch biến với mọi giá trị của x.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng 3.
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 23 -
c) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số trên và đồ thị các hàm số y = -x +2;
y = 2x - 1 cắt nhau tại một điểm.
Bài 29- Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 2.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y = 2x - 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -3).
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.
d) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác

có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 30. Cho hàm số y = (m 1)x + 2m 1.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số luôn luôn đồng biến với mọi giá trị của x.
b) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua diểm (
2
- 1 ; 2).
c) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích bằng
1
2
.
Bài 31. Cho hàm số y = (m
2
2)x + m + 2.
a) Tìm giá trị của m đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -x + 1.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng x = 1 và cắt đồ thị hàm số
y = 3x 1 tại một điểm.
Bài 32- Cho hàm số y = f(x) =
2
3
x
2
.
a) Hãy tính f(2); f(-3); f
( )
3 ;
f
2
3

ữ

.
b) Các điểm A
( )
( )
3 1 3
1; ;B 2;3 ;C 2; 6 ;D ;
2 4
2



ữ
ữ


có thuộc đồ thị của hàm
số không?
Bài 33- Cho hàm số y = f(x) =
2
1
x
2

.
a) Với giá trị nào của x hàm số nhận các giá trị: 0; -2; 3;
1
16

.
b) A và B là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết
phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B.
Bài 34- Cho hàm số y =
2
1
x
2

.
a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số.
b) A và B là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lợt là 1 và - 2. Viết
phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B.
c) Đờng thẳng y = x + m - 2 cắt đồ thị (D) tại hai điểm phân biệt, gọi x
1
; x
2
là
hoành độ của hai giao điểm ấy. Tìm m để: x
1
2
+ x
2
2
+ 20 = x
1
2
x
2
2

.
Bài 35- Cho hàm số y = -2x
2
có đồ thị là (P).
a) Các điểm A
( )
( )
( )
3; 18 ,B 3; 6 ,C 2;8
có thuộc đồ thị (P) hay không?
b) Xác định các giá trị của m để điểm D(m; m - 1) thuộc đồ thị (P).
Giáo viên : NGUYễN THàNH TRUNG - 24 -
Gi¸o viªn : NGUYÔN THµNH TRUNG - 25 -