tóm tắt luận án tiến sĩ ĐIỀU KHIỂN H CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ C TỰ NHIÊN
Nguyễn Trường Thanh
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI P HÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán
- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh
Phản biện:
Phản biện:
Phản biện:
Luận án sẽ được bảo vệ trướ c Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp
Đại học Quốc gia họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU
Lý thuyết không gian H
∞
có nguồn gốc từ công trình của G. H.

Hardy năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames áp dụng thành
công lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết
kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài
toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H
∞
tối ưu có thể hiểu như
sau: Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu
và k hi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng củ a nhiễu
là nhỏ nhất. Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều
khiển H
∞
có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phương
pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn.
Điều này làm cho bài toán điều khiển H
∞
phát triển mạnh m ẽ
từ thập kỉ 80 cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều
lĩnh vực, các quá trình công nghiệp, và kĩ thuật. Trong thập kỉ
80, nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều
khiển H
∞
, như phương pháp hàm giải tích Nevalina-Pick hoặc
phương pháp lí thuyết toán tử. Cũng trong giai đoạn này, năm
1984, Doyle lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H
∞
cho
hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếp
bởi Glover và Francis. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên
cứu này là chúng liên quan tới việc giải phương trình Riccati có
kích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức

tạp. Năm 1989, Doyle đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều
khiển H
∞
từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ
biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, và
cũng thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 cho
tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các
định lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-
1
Razumikhin, phương pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyến
tính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu
bài toán điều khiển H
∞
trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả
đáng quan tâm.
Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H
∞
cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúc
khá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và
một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại
điều khiển H
∞
đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toán
điều khiển H
∞
là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụng
hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điều

kiện đủ cho bài toán điều khiển H
∞
được thiết lập thông qua
LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua
Matlab. Cách tiếp cận này cho phép áp dụng nghiên cứu bài toán
này cho một lớp hệ không chắc chắn có trễ tương ứng.
Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp
hệ Large-Scale phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng,
không đòi hỏi khả vi, được tạo thành từ nhiều hệ con có liên
kết trong giữa các hệ con, được mô tả bởi phương trình vi phân
(2.21). Kết quả chính thu được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại
điều khiển H
∞
và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tương
ứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H
∞
cho lớp
hệ (2.21).
Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn
định của một lớp hệ chuyển mạch Large-Scale được mô tả bởi
2
phương trình vi phân (3.1) với các quy tắc bật nhận giá trị trong
tập hữu hạn cho trước. So s ánh với các kết quả đã có, kết quả
của chúng tôi có các ưu điểm sau: (i) hàm trễ liên tục biến thiên
dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ, và cận dưới
của trễ có thể khác không; (ii) các điều kiện được thể hiện thông
qua LMI có thể giải số một cách hiệu quả thông qua Matlab; (iii)
một thiết kế hình học đơn giản được s ử dụng để tìm các luật
chuyển đổi và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống.
Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn

định cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiển
H
∞
cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạt
được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H
∞
và là kết
quả đầu tiên về điều khiển H
∞
cho hệ Large-Scale chuyển mạch
có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh
mục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận
án gồm 3 chương như sau:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chương 3. ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN
MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0. (1.1)

Định nghĩa 1.1.2. Giả s ử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm
x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số
M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t
0
) = x
0
thỏa mãn
||x(t)|| ≤ Me
−δ(t−t
0
)
||x
0
||, ∀t ≥ t
0
.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm V : R
+
×
D → R khả vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀ t ≥ 0, với
D ⊂ R
n
là lân cận mở tùy ý của 0, được gọi là hàm Lyapunov
của hệ (1.1) nếu
i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× D
với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R
+

→ R
+
,
a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0.
ii)
˙
V (t, x) :=
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều
kiện
iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× D;
4
iv) ∃c ∈ K sao cho
˙
V (t, x(t)) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R
+
, ∀x ∈
D \ {0},
thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lí 1.1.4. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1)
có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa,

nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định
tiệm cận đều.
1.1.2 Bài toán ổn định hóa
Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.2)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu
tồn tại hàm h : R
n
→ R
m
, h(0) = 0, sao cho với điều khiển
u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ ˙x(t) = f(t, x(t), h(x(t))) là ổn
định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là
hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống.
1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ
Xét hệ phương trình vi phân hàm
˙x(t) = f (t, x
t
), t ≥ t
0
≥ 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [t
0
−τ,t
0
]. (1.3)
Định lí 1.2.3. Cho hàm số f : [0, +∞) ×P C([−r, 0], R
n
) → R
n
thỏa mãn các điều kiện sau.

i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho
||f(t, ϕ)|| ≤ M(H), (t, ϕ) ∈ [0, +∞)×P C([−r, 0], R
n
), ||ϕ||
C
≤ H;
ii) Hàm f(t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0, +∞)×P C([−r, 0], R
n
)
với cả hai biến;
5
iii) Hàm f (t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai,
tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
||f(t, ϕ
1
) −f(t, ϕ
2
)|| ≤ L(H)||ϕ
1
− ϕ
2
||
C
,
với mọi t ≥ 0, ϕ
i
∈ PC([−r, 0], R
n
), ||ϕ
i

||
C
≤ H, i = 1, 2.
iv)
||f(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||
C
), t ≥ 0, ϕ ∈ P C([−r, 0], R
n
),
trong đó η : [0, ∞) → R liên tục, không giảm và sao cho
với r
0
≥ 0 bất kì điều kiện sau thỏa mãn lim
R→∞
R

r
0
dr
η(r)
= +∞.
Khi đó, với t
0
≥ 0 và hàm ϕ ∈ PC([−r, 0], R
n
) cho trước, hệ
(1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên [t
0
− r, ∞) với điều
kiện ban đầu x

t
0
= ϕ.
1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R và β > 0 cho trước.
Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β− ổn định mũ nếu
tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t
0
, ϕ) của hệ (1.3)
thỏa mãn ||x(t
0
, ϕ)(t)|| ≤ Me
−β(t−t
0
)
||ϕ||
C
, ∀t ≥ t
0
.
Định nghĩa 1.3.3. Đặt Q
H
:= {ϕ ∈ C([−r, 0], R
n
)| ||ϕ||
C
≤ H}.
Nếu V : R × Q
H

→ R liên tục và x (·) là nghiệm của phương
trình (1.3), chúng ta định nghĩa
˙
V (t, ϕ) = lim sup
h→0
+
1
h
[V (t + h, x
t+h
(t, ϕ)) −V (t, ϕ)] .
Định nghĩa 1.3.4. Hàm V : R ×Q
H
→ R liên tục và thỏa mãn
V (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii của
hệ (1.3) nếu
6
i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là
∃u ∈ K : u(||ϕ(0)||) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ Q
H
, t ∈ R,
ii)
˙
V (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ Q
H
.
Định lí 1.3.7. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R
+
× C → R thỏa
mãn

i) Tồn tại λ
1
, λ
2
> 0 sao cho λ
1
||ϕ(0)||
2
≤ V (t, ϕ) ≤ λ
2
||ϕ||
2
C
ii)
˙
V (t, ϕ) ≤ 0,
thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0
sao cho ||x(t
0
, ϕ)(t)|| ≤ M||ϕ||
C
, ∀(t
0
, ϕ) ∈ R
+
×C, t ≥ t
0
. Nếu
thay điều kiện (ii) bằng điều kiện
iii) Tồn tại λ

0
> 0 sao cho
˙
V (t, ϕ) ≤ −2λ
0
V (t, ϕ) với mọi
(t, ϕ) ∈ R
+
× C,
thì hệ (1.3) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t
0
, ϕ)(t)|| ≤

λ
2
λ
1
e
−λ
0
(t−t
0
)
||ϕ||
C
, ∀t ≥ t
0
.
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x
t
, u(t)), t ≥ 0, x
0
= ϕ. (1.4)
Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa được
dạng mũ nếu tồn tại hàm g : R
n
→ R
m
, g(0) = 0, sao cho x = 0
của hệ ˙x(t) = f(t, x
t
, g(x(t))) là β− ổn định mũ.
1.4 Phương pháp H
∞
trong lí thuyết điều khiển
7
1.4.1 Không gian H
∞
Định nghĩa 1.4.1. H
∞
là không gian các hàm có giá trị ma
trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên
trục ảo. Chuẩn H
∞
được định nghĩa
||F ||
∞

:= sup
Re(s)>0

λ
max
(F
∗
(s)F (s )).
Định nghĩa 1.4.2. Cho ω ∈ L
2
([0, ∞), R
n
) và z ∈ L
2
([0, ∞), R
m
) .
Ma trận chuyển T
zω
từ ω tới z được định nghĩa Z(s) = T
zω
(s)Ω(s),
trong đó Z(s), Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t).
1.4.2 Bài toán điều khiển H
∞
Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu
vào: đầu vào ngoại sinh ω và các biến điều khiển u. Các kết quả
đầu r a, các tín hiệu lỗi z và các biến đo x được sử dụng trong
K để thiết kế biến điều khiển u. Trước hết, chúng ta nhận định
một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ

thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0).
Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H
∞
H1. Điều khiển H
∞
tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấp
nhận được được K sao cho ||T
zω
||
∞
là nhỏ nhất.
H2. Điều khiển H
∞
tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0.
Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||T
zω
||
∞
≤ γ.
8
CHƯƠNG 2
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H
∞
cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, và không khả vi. Nội dung được trình bày trong
chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công

trình khoa học của tác giả.
2.1. Điều khiển H
∞
cho một lớp hệ phi tuyến
Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên




























˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + Cω(t)
+f(t, x(t), x(t −h(t)), u(t), ω (t)),
z(t) = Ex(t) + Gx(t − h(t)) + F u(t)
+g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), t ≥ 0,
x
0
= ϕ,
(2.1)
trong đó hàm trễ h : R
+
→ R
+
thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h(t) ≤ h
2
,
F
T
[E, G] = 0, F
T
F ≤ I, hàm f và hàm liên tục g thỏa mãn
||f(t, x
0
, x
1
, x
2

, x
3
)|| ≤ a||x
0
|| + b||x
1
|| + c||x
2
|| + d||x
3
||,
||g(t, x
0
, x
1
, x
2
)||
2
≤ a
1
||x
0
||
2
+ b
1
||x
1
||

2
+ c
1
||x
2
||
2
.
Ngoài ra, hàm f(t, x
0
, x
1
, x
2
, 0) : R
+
×R
n
×R
n
× R
m
→ R
n
liên
tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
0
, x
1
, x

2
).
Định nghĩa 2.1.2. Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H
∞
cho hệ (2.1) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại
ma trận hằng K thỏa mãn các điều kiện sau:
9
i) Nghiệm x = 0 của hệ (2.1) khi u ≡ 0, ω ≡ 0, là β−ổn định.
ii) Tồn tại c
0
> 0 sao cho
∞

0
||z(t)||
2
dt
c
0
||ϕ||
2
C
1
+
∞

0
||ω(t)||
2
dt

≤ γ, với mọi ϕ ∈
C
1

[−h
2
, 0], R
n

, ω ∈ L
2
([0, ∞), R
r
) , ω = 0.
Định lí 2.1.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác
định dương P, Q, R , U, Λ và các ma trận S, Y sao cho có bất đẳng
thức ma trận tuyến tính


Ω
11
Ω
12
∗ Ω
22


< 0.
Khi đó, bài toán điều khiển H

∞
ứng với các hệ số β, γ cho hệ
(2.1) giải được với điều khiển ngược hệ thống u(t) = Y P
−1
x(t),
và nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt
||ϕ||
C
1
, t ≥ 0,
trong đó
P
1
= P
−1
, Q
1
= P
−1
QP
−1
, R

1
= P
−1
RP
−1
, U
1
= P
−1
UP
−1
,
Λ
1
= P
−1
ΛP
−1
, S
1
= P
−1
SP
−1
, ε = a + b + c + 4d
2
/γ,
T
11
= AP + P A

T
+ 2βP −

e
−2βh
1
+ e
−2βh
2

R + 4CC
T
/γ
+εI −
2e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ +

BY + Y
T

B
T

+ 2Q,
T
12
= DP, T
13
= e
−2βh
1
R, T
14
= e
−2βh
2
R, T
15
=
2e
−4βh
2
h
2
+h
1
Λ,
T
16
= PA

T
+ Y
T
B
T
, T
22
= e
−2βh
2

− 2U + S + S
T

,
T
23
= e
−2βh
2
(U −S) , T
24
= e
−2βh
2

U −S
T

, T

25
= 0,
T
26
= PD
T
, T
33
= −e
−2βh
1
Q − e
−2βh
1
R −e
−2βh
2
U,
T
34
= e
−2βh
2
S
T
, T
35
= 0, T
36
= 0,

10
T
44
= −e
−2βh
2
Q − e
−2βh
2
R −e
−2βh
2
U, T
45
= 0, T
46
= 0,
T
55
= −
2e
−4βh
2
h
2
2
−h
2
1
Λ, T

56
= 0,
T
66
=

h
2
1
+ h
2
2

R + (h
2
− h
1
)
2
U + h
2
(h
2
− h
1
)Λ
−2P + 4CC
T
/γ + εI, α
1

= λ
min
(P
1
),
α
2
= λ
max
(P
1
) + β
−1
λ
max
(Q
1
) +

h
3
1
+ h
3
2

λ
max
(R
1

)
+(h
2
− h
1
)
3
λ
max
(U
1
) + (h
2
− h
1
)h
2
2
λ
max
(Λ
1
),
Ω
22
= diag(−
I
3
, −
I

3
, −I, −I, −I).
Ω
11
=





















T
11
T
12

T
13
T
14
T
15
T
17
0 0
∗ T
22
T
23
T
24
T
25
T
26
0 0
∗ ∗ T
33
T
34
T
35
T
36
0 0
∗ ∗ ∗ T

44
T
45
T
46
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ T
55
T
56
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T
66
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U −S
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U






















,
Ω
12
=






















P E
T
0 P
√
4a
1
+ 2a 0 Y
T
√
2 + 4c
1
+ 2c
0 P G
T
0 P
√
4b
1
+ 2b 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0






















.
11
2.2. Điều khiển H
∞
cho một lớp hệ Large-Scale
Xét một lớp hệ Large-Scale có trễ được tạo nên từ N hệ con
































˙x
i
(t) = A
i
x

i
(t) + B
i
u
i
(t) + D
i
ω
i
(t) +
N

j=1,j=i
A
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+f
i
(t, x
i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N

j=1,j=i
, u
i
(t), ω
i
(t))
z
i
(t) = C
i
x
i
(t) + F
i
u
i
(t) +
N

j=1,j=i
G
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+g
i
(t, x

i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N
j=1,j=i
, u
i
(t)),
x
i
(θ) = ϕ
i
(θ), θ ∈ [−h
2
, 0],
(2.21)
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h
ij
(t) ≤ h
2
, F
T
i
F
i

≤ I
i
,
các hàm f
i
(·) và các hàm liên tục g
i
(·) thỏa mãn
||f
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i
, ω
i
)|| ≤a
i
||x
i
|| +
N

j=1,j=i
a

ij
||x
j
|| + b
i
||u
i
|| + d
i
||ω
i
||,
||g
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i
)||
2
≤ c
i
||x
i
||

2
+ e
i
||u
i
||
2
+
N

j=1,j=i
g
ij
||x
j
||
2
.
Ngoài ra, các hàm
f
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i

, 0) : R
+
×R
n
i
×

N

j=1,j=i
R
n
j

×R
m
i
→ R
n
i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i
).

Định lí 2.2.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (2.21) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác
định dương P
i
, Q
i
, R
i
, U
i
, Λ
i
và các ma trận S
i
, Y
i
i = 1, , N,
12
sao cho có các bất đẳng thức ma trận tuyến tính






















H
i
11
H
i
12
. . . H
i
1(3N+5)
0 0
∗ H
i
22
∗ ∗ ∗ H
i
2(3N+5)
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H
i
(3N+5)(3N+5)
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i
−S
i
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i






















< 0.
Khi đó, bài toán điều khiển H
∞
ứng với các hệ số β, γ cho hệ
(2.21) giải được với điều khiển ngược u
i
(t) = Y
i
P
−1
i
x
i
(t), và
nghiệm của hệ, khi các nhiễu ω
i
≡ 0, thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt
||ϕ||
C
1
, t ≥ 0,

trong đó
P
i1
= P
−1
i
, Q
i1
= P
−1
i
Q
i
P
−1
i
, R
i1
= P
−1
i
R
i
P
−1
i
,
U
i1
= P

−1
i
U
i
P
−1
i
, Λ
i1
= P
−1
i
Λ
i
P
−1
i
, S
i1
= P
−1
i
S
i
P
−1
i
,
H
i

11
= P
i
A
T
i
+ A
i
P
i
+ B
i
Y
i
+ Y
T
i
B
T
i
+ 2βP
i
+ 2Q
i
−

e
−2βh
1
+

e
−2βh
2

R
i
− 2
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
ij
A
T
ij

+
4
γ
D
i
D
T
i
+ ε
i
I
i
H
i
1k
= 0, k = 2, , N, H
i
1(N+1)
= e
−2βh
1
R
i
,
H
i
1(N+2)
= e
−2βh
2

R
i
, H
i
1(N+3)
= P
i
A
T
i
+ Y
T
i
B
T
i
,
H
i
1(N+4)
=
2e
−4βh
2
h
2
+h
1
Λ
i

, H
i
kj
= 0, ∀k = j, k, j = 2, , N,
H
i
kk
=
e
−2βh
2
N−1

−2U
i
+ S
i
+ S
T
i

, H
i
k(N+1)
=
e
−2βh
2
N−1


U
i
−S
i

,
13
H
i
k(N+2)
=
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
T
i

,
H
i
k(N+3)
= H
i
k(N+4)
= 0, k = 2, N, H

i
(N+1)(N+2)
= e
−2βh
2
S
T
i
,
H
i
(N+1)(N+1)
= −e
−2βh
1
Q
i
− e
−2βh
1
R
i
− e
−2βh
2
U
i
,
H
i

(N+2)(N+2)
= −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i
− e
−2βh
2
U
i
,
H
i
(N+3)(N+3)
= (h
2
−h
1
)h
2
Λ
i
+


h
2
1
+h
2
2

R
i
−2P
i
+(h
2
−h
1
)
2
U
i
+
4
γ
D
i
D
T
i
+
N


j=1,j=i
A
ij
A
T
ij
+ ε
i
I
i
,
H
i
(N+3)(N+4)
= 0, H
i
(N+4)(N+4)
= −2
e
−4βh
2
h
2
2
−h
2
1
Λ
i
,

H
i
(N+5)(N+5)
= −
I
N+2
, H
i
1(N+5)
= P
i
C
T
i
,
H
i
(N+4+k)(N+4+k)
= −
I
N+2
,
H
i
j(N+4+k)
= 0, k = 2, , N, j = 1, , (N + 3 + k), j = k,
H
i
k(N+4+k)
= P

i
G
T
ki
, i = 1, k = 2, , N,
H
i
k(N+4+k)
= P
i
G
T
(k−1)i
, i = 1, k ≤ i, k = 2, , N,
H
i
k(N+4+k)
= P
i
G
T
ki
, i = 1, i < k = 2, , N,
H
i
(2N+3+k)(2N+3+k)
= −
I
i
2+2a

ki
+(N+2)g
ki
,
H
i
k(2N+3+k)
= P
i
, i = 1, k = 2, , N,
H
i
(2N+3+k)(2N+3+k)
= −
I
i
2+2a
(k−1)i
+(N+2)g
(k−1)i
,
H
i
k(2N+3+k)
= P
i
, i = 1, k ≤ i, k = 2, , N,
H
i
(2N+3+k)(2N+3+k)

= −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
,
H
i
k(2N+3+k)
= P
i
, i = 1, i < k = 2, , N,
H
i
(3N+4)(3N+4)
= −I, H
i
1(3N+4)
= P
i

2a
i
+ (N + 2)c
i
,
H
i

(3N+5)(3N+5)
= −
I
2b
i
+

N+2

(1+e
i
)
, H
i
1(3N+5)
= Y
T
i
,
ε
i
= a
i
+ b
i
+
4d
2
i
γ

+
N

j=1,j=i
a
ij
, α
1
= min
i=1, ,N
λ
min
(P
i1
),
α
2
= max
i=1, ,N

λ
max
(P
i1
)+β
−1
λ
max
(Q
i1

)+

h
3
1
+h
3
2

λ
max
(R
i1
)
+(h
2
−h
1
)
3
λ
max
(U
i1
)+(h
2
−h
1
)h
2

2
λ
max
(Λ
i1
)

14
CHƯƠNG 3
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO HỆ LARGE-SCALE
CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bài
toán điều khiển H
∞
của một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch
có trễ dạng khoảng. Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển m ạch dạng hình học
nhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch, cũng
như thiết kế các điều khiển H
∞
tương ứng. Các kết quả chính
trong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các công
trình khoa học của tác giả.
3.1 Tính ổn định của hệ Large-Scale phi tuyến chuyển
mạch
Xét hệ Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệ
con Σ
i

, i = 1, 2, , N, có dạng như sau
Σ
i
:















˙x
i
(t) = A
σ
i
i
x
i
(t) +
N


j=1,j=i
A
σ
i
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+f
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N
j=1,j=i

,
x
i
(θ) = ϕ
i

(θ), θ ∈ [−h
2
, 0],
(3.1)
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h
ij
(t) ≤ h
2
, các hàm
σ
i
: R
n
i
→ {1, 2, , s} là quy tắc bật của hệ con thứ i nhận giá
trị trong tập hữu hạn {1, 2, , s}. Quy tắc này lựa chọn cho tất
cả các i sao cho σ
i
(x
i
(t)) = l suy ra chuyển chế độ thứ l được
kích hoạt cho hệ con thứ i. Chính xác hơn,
σ(x(t)) =

σ
1
(x
1

(t)), σ
2
(x
2
(t)), , σ
N
(x
N
(t))

=

l
1
, l
2
, , l
N

,
15
tức là sự chuyển chế độ thứ l
i
được kích hoạt cho hệ con thứ i. Các
ma trận

A
σ
i
i

, {A
σ
i
ij
}
N
j=1,j=i

nhận giá trị trong tập

A
l
i
, {A
l
ij
}
N
j=1,j=i

.
Các hàm f
l
i
(·), thỏa mãn điều kiện tăng trưởng
||f
l
i
(t, x
i

, {x
j
}
N
j=i,j=1
)|| ≤ a
l
i
||x
i
|| +
N

j=1,j=i
a
l
ij
||x
j
||,
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
).
Định nghĩa 3.1.2. Hệ các ma trận vuông cấp n, {L
l

}
s
l=1
, được
gọi là đầy đủ nghiêm ngặt nếu với mỗi x ∈ R
n
\ {0}, tồn tại
l ∈ {1, 2, , s} sao cho x
T
L
l
x < 0.
Định lí 3.1.4. Cho β > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (3.1)
thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương
P
i
, Q
i
, R
i
, U
i
, Λ
i
, và các ma trận S
l
i
, i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s,
sao cho:
i) Với mọi i = 1, 2, , N, tập các ma trận {L

l
i
}
s
l=1
là đầy đủ
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn






















H
l
11
(i) H
l
12
(i) . . . H
l
1(2N+4)
(i) 0 0
∗ H
l
22
(i) ∗ ∗ ∗ H
l
2(2N+4)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H
l
(2N+4)(2N+4)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i
−S
l
i
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U

i





















< 0.
16
Khi đó, hệ (3.1) là ổn định mũ với quy tắc chuyển mạch
σ(x(t)) =

l
1
, l

2
, , l
N

nếu x(t) ∈
Ω
l
1
1
×
Ω
l
2
2
× ···×
Ω
l
N
N
.
Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt
||ϕ||

C
1
, t ≥ 0,
trong đó
a
ij
= max
l=1,2, ,s
a
l
ij
, ε
l
i
= a
l
i
+
N

j=1,j=i
a
ij
, i, j = 1, 2, , N,
P
i1
= P
−1
i
, Q

i1
= P
−1
i
Q
i
P
−1
i
, R
i1
= P
−1
i
R
i
P
−1
i
,
U
i1
= P
−1
i
U
i
P
−1
i

, Λ
i1
= P
−1
i
Λ
i
P
−1
i
, S
l
i1
= P
−1
i
S
l
i
P
−1
i
,
H
l
11
(i) = −
e
−4βh
2

(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
−

e
−2βh
1
+ e
−2βh
2

R
i
,
H
l
1(N+1)
(i) = e
−2βh
1
R

i
, H
l
1(N+2)
(i) = e
−2βh
2
R
i
,
H
l
1(N+3)
(i) = P
i

A
l
i

T
, H
l
1(N+4)
(i) = 2
e
−4βh
2
h
2

+h
1
Λ
i
,
H
l
km
(i) = 0, k, m = 2, , N, k = m,
H
l
kk
(i) =
e
−2βh
2
N−1

− 2U
i
+ S
l
i
+

S
l
i

T


,
H
l
k(N+1)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
l
i

,
H
l
k(N+2)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
−


S
l
i

T

,
H
l
k(N+3)
(i) = H
l
k(N+4)
(i) = 0, k = 2, , N,
H
l
(N+1)(N+1)
(i) = −e
−2βh
1
Q
i
− e
−2βh
1
R
i
− e
−2βh

2
U
i
,
H
l
(N+1)(N+2)
(i) = e
−2βh
2

S
l
i

T
,
H
l
(N+2)(N+2)
(i) = −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i

− e
−2βh
2
U
i
,
H
l
(N+3)(N+3)
(i) = (h
2
−h
1
)h
2
Λ
i
+

h
2
1
+ h
2
2

R
i
+ (h
2

−h
1
)
2
U
i
−2P
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ ε
l
i
I
i
,
H
l
(N+3)(N+4)

(i) = 0, H
l
(N+4)(N+4)
(i) = −2
e
−4βh
2
h
2
2
−h
2
1
Λ
i
,
17
H
l
(N+5)(N+5)
(i) = −
I
2a
l
i
, H
l
(N+5)1
(i) = P
i

,
H
l
(N+4+k)k
(i) = P
i
, k = 2, N,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
ki
, k = 2, N, i = 1,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
(k−1)i
, k = 2, N, i = 1, k ≤ i,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
ki

, k = 2, N, i = 1, k > i,
α
1
= min
i=1, ,N
λ
min
(P
i1
),
α
2
= max
i=1, ,N

λ
max
(P
i1
)+β
−1
λ
max
(Q
i1
)+

h
3
1

+h
3
2

λ
max
(R
i1
)
+(h
2
−h
1
)
3
λ
max
(U
i1
)+(h
2
−h
1
)h
2
2
λ
max
(Λ
i1

)

L
l
i
= P
i

A
l
i

T
+ A
l
i
P
i
+ 2βP
i
+ 2Q
i
−
e
−4βh
2
(h
2
−h
1

)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ ε
l
i
I
i
,
Ω
l
i
= {x ∈ R

n
i
: x
T
P
−1
i
L
l
i
P
−1
i
x < 0}, l =
1, s, i = 1, N ,
Ω
1
i
= Ω
1
i
∪ {0},
Ω
l
i
= Ω
l
i
\
j−1


k=1
Ω
k
i
, j = 2, , N, i = 1, 2, , N.
3.2 Điều khiển H
∞
cho hệ La rge-Scale phi tuyến chuyển
mạch
Xét hệ điều khiển Large-Scale chuyển mạch được hình thành
từ các hệ con Σ
i
, i = 1, 2, , N, có dạng như sau
































˙x
i
(t) = A
σ
i
i
x
i
(t) +
N

j=1,j=i
A
σ
i

ij
x
j
(t − h
ij
(t)) + B
σ
i
i
u
σ
i
i
(t) + D
σ
i
i
ω
i
(t)
+f
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t − h

ij
(t))}
N
j=1,j=i
, u
σ
i
i
(t), ω
i
(t)

,
z
i
(t) = C
σ
i
i
x
i
(t) + F
σ
i
i
u
σ
i
i
(t) +

N

j=1,j=i
G
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+g
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t −h
ij
(t))}
N
j=1,j=i
, u
σ
i
i
(t)


,
x
i
(θ) = ϕ
i
(θ), θ ∈ [−h
2
, 0],
(3.17)
18
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h
ij
(t) ≤ h
2
, các hàm
σ
i
: R
n
i
→ {1, 2, , s} là quy tắc bật của hệ con thứ i. Các ma
trận

A
σ
i
i
, {A

σ
i
ij
, }
N
j=1,j=i
, B
σ
i
i
, D
σ
i
i
, C
σ
i
i
, F
σ
i
i
, {G
ij
}
N
j=1,j=i

nhận giá trị trong tập


A
l
i
, {A
l
ij
}
N
j=1,j=i
, B
l
i
, D
l
i
, C
l
i
, F
l
i
, {G
ij
}
N
j=1,j=i

, i =
1, N, l = 1, s,


F
l
i

T
F
l
i
≤ I
i
, i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s.
Các hàm f
l
i
(·), và các hàm liên tục g
l
i
(·), thỏa mãn
||f
l
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l

i
, ω
i
)|| ≤ a
l
i
||x
i
|| +
N

j=1,j=i
a
l
ij
||x
j
|| + b
l
i
||u
l
i
|| + d
l
i
||ω
i
||,
||g

l
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l
i
)||
2
≤ c
l
i
||x
i
||
2
+
N

j=1,j=i
g
l
ij
||x
j

||
2
+ e
l
i
||u
l
i
||
2
.
Ngoài ra, giả thiết các hàm
f
l
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l
i
, 0) : R
+
×R
n
i

×

N

j=1,j=i
R
n
j

×R
m
l
i
→ R
n
i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l
i
).
Định nghĩa 3.2.1 Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H
∞
cho hệ (3.17) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại

nếu tồn tại các quy tắc chuyển mạch {σ
i
(·)}
N
i=1
và các ma trận
hằng K
l
i
, i = 1, 2, . . . , N, l = 1, , s, thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Nghiệm x = 0 của hệ (3.17) khi u
σ
i
(x
i
(t))
i
(t) = K
σ
i
(x
i
(t))
i
x
i
(t), ω
i
≡
0, với mọi i = 1, 2, . . . N, là β− ổn định.

19
ii) Tồn tại c
0
> 0 sao cho
∞

0
||z(t)||
2
dt
∞

0
||ω(t)||
2
dt + c
0
||ϕ||
2
C
1
≤ γ,
với mọi ϕ
i
∈ C
1

[−h
2
, 0], R

n
i

, ω
i
∈ L
2

[0, ∞), R
r
i

\{0}.
Trong trường hợp này, ta nói rằng các điều khiển ngược u
l
i
(t) =
K
l
i
x
i
(t), i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s, ổn định mũ hóa hệ thống.
Định lí 3.2.2. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (3.17) thỏa mãn tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương
P
i
, Q
i
, R

i
, U
i
, Λ
i
, và các ma trận S
l
i
, Y
l
i
, i =
1, N, l = 1, s, sao
cho:
i) Với mỗi i = 1, 2, , N, tập các ma trận {L
l
i
}
s
l=1
là đầy đủ
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn






















H
l
11
(i) H
l
12
(i) . . . H
l
1(3N+5)
(i) 0 0
∗ H
l
22
(i) ∗ ∗ ∗ H
l

2(3N+5)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H
l
(3N+5)(3N+5)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i
−S
l
i
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i






















< 0.
20
Khi đó, bài toán điều khiển H
∞
ứng với các hệ số β, γ, cho hệ
(3.17) giải được với các điều khiển ngược u
l
i
(t) = Y
l
i
P
−1
i
x
i
(t) và
quy tắc chuyển mạch
σ(x(t)) =

l
1
, l

2
, , l
N

nếu
x(t) ∈
Ω
l
1
1
×
Ω
l
2
2
×··· ×
Ω
l
N
N
.
Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt

||ϕ||
C
1 , t ≥ 0,
trong đó
a
ij
= max
l=1,2, ,s
a
l
ij
, g
ij
= max
l=1,2, ,s
g
l
ij
,
P
i1
= P
−1
i
, Q
i1
= P
−1
i
Q

i
P
−1
i
, R
i1
= P
−1
i
R
i
P
−1
i
,
U
i1
= P
−1
i
U
i
P
−1
i
, Λ
i1
= P
−1
i

Λ
i
P
−1
i
, S
i1
= P
−1
i
S
i
P
−1
i
,
H
l
11
(i) = −

e
−2βh
1
+ e
−2βh
2

R
i

−
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+B
l
i
Y
l
i
+

Y
l
i

T

B

l
i

T
+
4
γ
D
l
i

D
l
i

T
,
H
i
1(N+1)
= e
−2βh
1
R
i
, H
l
1(N+2)
(i) = e
−2βh

2
R
i
,
H
l
1(N+3)
(i) = P
i

A
l
i

T
+

Y
l
i

T

B
l
i

T
, H
i

1(N+4)
=
2e
−4βh
2
h
2
+h
1
Λ
i
,
H
l
kk
(i) =
e
−2βh
2
N−1

− 2U
i
+ S
l
i
+

S
l

i

T

,
H
l
k(N+1)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
l
i

,
H
l
k(N+2)
(i) =
e
−2βh
2
N−1


U
i
−

S
l
i

T

, k = 2, , N,
H
l
(N+1)(N+1)
(i) = −e
−2βh
1
Q
i
− e
−2βh
1
R
i
− e
−2βh
2
U
i
,

H
l
(N+1)(N+2)
(i) = e
−2βh
2

S
l
i

T
,
H
l
(N+2)(N+2)
(i) = −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i
− e
−2βh
2
U

i
,
H
l
(N+3)(N+3)
(i) = (h
2
− h
1
)h
2
Λ
i
+

h
2
1
+ h
2
2

R
i
− 2P
i
+(h
2
−h
1

)
2
U
i
+
4
γ
D
l
i

D
l
i

T
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ε

l
i
I
i
,
21
H
l
(N+4)(N+4)
(i) = −2
e
−4βh
2
h
2
2
−h
2
1
Λ
i
, H
l
(N+5)(N+5)
(i) = −
I
N+2
,
H
l

1(N+5)
(i) = P
i

C
l
i

T
, H
l
k(N+5)
(i) = 0, k = 2, , (N + 4),
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
N+2
,
H
l
j(N+4+k)
(i) = 0, k = 2, , N, j = 1, , (N+3+k), j = k,
H
l
k(N+4+k)
(i) = P
i
G

T
ki
, i = 1, k = 2, , N,
H
l
k(N+4+k)
(i) = P
i
G
T
(k−1)i
, i = 1, k ≤ i, k = 2, , N,
H
l
k(N+4+k)
(i) = P
i
G
T
ki
, i = 1, i < k = 2, , N,
H
l
k(2N+3+k)
(i) = P
i
,
H
l
(2N+3+k)(2N+3+k)

(i) = −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
, i = 1,
H
l
(2N+3+k)(2N+3+k)
(i) =
−I
i
2+2a
(k−1)i
+(N+2)g
(k−1)i
, i = 1, k ≤ i,
H
l
(2N+3+k)(2N+3+k)
(i) = −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
, i = 1, i < k,

H
l
j(2N+3+k)
(i) = 0, k =
2, N, j = 1, , (2N +2+k), j = k,
H
l
(3N+4)(3N+4)
(i) = −I, H
l
1(3N+4)
(i) = P
i

2a
l
i
+ (N + 2)c
l
i
,
H
l
(3N+5)(3N+5)
(i) = −
I
2b
l
i
+


N+2

(1+e
l
i
)
, H
l
1(3N+5)
(i) =

Y
l
i

T
,
ε
l
i
= a
l
i
+ b
l
i
+
(
4d

l
i
)
2
γ
+
N

j=1,j=i
a
ij
, α
1
= min
i=1, ,N
λ
min
(P
i1
),
α
2
= max
i=1, ,N

λ
max
(P
i1
)+β

−1
λ
max
(Q
i1
)+

h
3
1
+h
3
2

λ
max
(R
i1
)
+(h
2
−h
1
)
3
λ
max
(U
i1
)+(h

2
−h
1
)h
2
2
λ
max
(Λ
i1
)

L
l
i
= P
i

A
l
i

T
+ A
l
i
P
i
+ 2βP
i

+ 2Q
i
−
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T

+ ε
l
i
I
i
,
Ω
l
i
= {x ∈ R
n
i
: x
T
P
−1
i
L
l
i
P
−1
i
x < 0}, l =
1, s, i = 1, N ,
Ω
1
i
= Ω
1

i
∪ {0},
Ω
l
i
= Ω
l
i
\
j−1

k=1
Ω
k
i
, j = 2, , N, i = 1, 2, , N.
22
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H
∞
cho
một số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên
tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.
Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:
• Đưa ra một số điều đủ cho sự tồn tại điều khiển H
∞
và ổn
định hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ Large-Scale
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hiện trong cả
hàm trạng thái và quan sát (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.2.3).

Tiếp đó, áp dụng các định lí này cho các hệ không chắc
chắn tương ứng và thu được các kết quả tương tự.
• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ Large-
Scale chuyển mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính và thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học
(Định lí 3.1.4).
• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều
khiển H
∞
cho hệ Large-Scale chuyển mạch trên cơ sở phát
triển Định lí 3.1.4. Đây là kết quả đầu tiên của bài toán
điều khiển H
∞
cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biến
thiên liên tục dạng khoảng.
Điểm mới của luận án so với các kết quả đã có:
• Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi và cận dưới của trễ có
thể khác 0.
• Hầu hết các hệ được nghiên cứu trong luận án là Large-
Scale, tức là các hệ quy mô lớn có cấu trúc phức tạp được
hình thành từ rất nhiều hệ con.