SKKN Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
THÔNG QUA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI"
4
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong những yêu cầu
thường xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã phải tìm độ dài đoạn thẳng
một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các lớp trên khi học sinh được tiếp cận
ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm được ngày càng vững chắc tính chất và mối
quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm
dần. Thay vào đó việc tìm độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt
khi các em học đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tương
đối phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng hợp
kiến thức tương đối cao. Ở đó việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần tuý hình học
mà còn sử dụng tương đối nhiều kiến thức từ đại số chẳng hạn như ; tỉ lệ thức, tính chất
đẳng thức, bất đẳng thức…, qua đó ta có thể thấy rằng bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là
tương đối đa dạng.
Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn tromg tư duy khi gặp loại toán tìm độ dài
đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm được một số dạng của loại toán này. Chính vì lí
do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dưới dạng toán Sau đây tôi giới thiệu đề tài "Kinh
nghiệm giải bài toán tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai" cho
học sinh lớp 8,9. Qua sáng kiến này tôi hy vọng nhận được sự trao đổi quý báu từ các bạn
đồng nghiệp.
5
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU.
Năm học 2006 – 2007 trở về trước khi chưa phân loại và dang toán: tìm độ dài
đoạn thẳng thông qua phương trình bậc hai thì các em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này
thường đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện cụ thể ; học sinh thường mất nhiều thời gian
cho việc tìm lời giải và việc trình bầy thì chưa thật hợp lý.

II – KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG
. Phân môn đại số : tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến đổi phương
trình bậc hai , Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến các cách giải phương
trình bậc hai.
+ Phương pháp : đưa hai vế của phương trình về hai luỹ thừa cùng bậc.
+ Phương pháp : vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biền đổi phương
trình bậc hai về phương trình tích.
+ Phương pháp : nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức.
. Phân môn hình học : Mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự tổng hợp
nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong sáng kiến này quan tâm nhiều đến
quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đường tròn, đến diện tích của một số hình mà học
sinh đã học.
III – NHỮNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM.
1) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
6
Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó được bổ sung và
sử dụng tương đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em. Từ sự đồng dạng
của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng hay nói khác đi ta có thể
thiết lập được phương trình về độ dài đoạn thẳng.
* Chú ý : Tính chất đường phân giác trong tam giác, một số hệ thức trong
tam giác vuông được xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác.
*Bài tập 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài
AH?
Bài giải :

* Đặt BH = x cm ( 0 < x < 20 )
nên BC = x +9 cm
AB BC
BH AB

⇒ =
⇒
AB
2
= BH .BC
Thay số : 20
2
= (x + 9)x
⇔
x
2
+ 9x – 400 = 0
7
9
?
20
x
H
C
B
A
⇔
( x+ 25 ) ( x - 16) = 0
⇔
x = - 25 hoặc x =16
Do ( 0 < x < 20 ) nên chỉ có x =16 là thoả mãn
Vậy AH = 16
*Bài tập 2.
Cho tam giác ABC , đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC
theo thứ tự ở D và E . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ tia Dx sao cho và góc

ADx bằng góc ADB Từ A kẻ AH vuông góc với Dx( H thuộc Dx). Biết DH = 27 cm
,AD = 45 cm ,BC = 40 cm . Tính độ dài DB,DC
Bài giải :
Đặt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40)
Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC và AE là phân giác ngoài của tam giác
ABC nên góc DAE bằng 90
0
(góc hợp bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là góc
vuông )
Xét
∆
ADE và
∆
ADH có :
8

AD DH
DE AD
⇒ =

AD
2
= DE.DH

⇒
DE =
2 2
45
27
AD

DH
=
= 75
- Theo tích chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có :

75
75
DB EB x x
DC EC y y
−
= ⇒ =
+
(1)
Mặt khác x + y = 40
thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn ta có :
x
2
– 115x + 1500 = 0

⇔
(x
2
– 15x) – (100x – 1500) = 0

⇔
(x – 15)(x – 100) = 0
* Do 0 < x < 40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn.
* Vậy DB = 15cm, DC = 25cm.
*Lời giải hai bài toán trên áp dụng cho học sinh lớp 8 ,còn học sinh lớp 9 lời giải đơn
giản hơn

*Bài tập 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, M, H
sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC =
15cm
, hình vuông cạnh đó có độ dài 1cm.Tính
độ dài đoạn thẳng AB ?
Bài giải :
9

*Đặt AB = x , AC = y , (1 < x <
15
, 1 < y <
15
)
* Xét tam giác vuông ABC ta có :
x
2
+ y
2
= 15
*Do AHMK là hình vuông MK / / CH suy ra tam giác KBM đồng dạng với tam
giác HMC , do dó

1 1
1 1
BK MK x
MH CH y
−
= ⇒ =
−

⇒
xy = x +y (1)
Đặt x + y = m ( m > 2 ) , ta có :
x
2
+ y
2
= 15
⇔
x
2
+ y
2
+2xy – 2xy = 15
⇔
(x + y )
2
- 2 ( x+y) =15
⇔
m
2
– 2m +1 = 16
⇔
( m - 1)
2
= (
±
4)
2

10
M
K
H
C
B
A
Trường hợp 1 : m – 1 = 4

⇔
m = 5
Trường hợp 2: m - 1 = - 4

⇔
m = - 3
Do m > 2 nên chỉ có m =5 là thỏa mãn
* Với m = 5
⇒
x + y = 5

⇒
y = 5 – x , thay vào phương trình (1) ta có
x( 5 –x ) = x + 5 - x

⇔
x
2
– 5 x + 5 = 0

⇔

( x -
5
2
)
2
=
5
4


⇔
( x -
5
2
)
2
=
2
5
( )
2
±
Trường hợp 1 : x -
5
2
=
5
2
;
1

5 5
2
x
+
=
Hoặc
2
5 5
2
x
−
=
Đều thoả mãn điều kiện
Vậy AB =
5 5
2
+
cm hoặc AB =
5 5
2
−
cm
2) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Đến lớp 9 học sinh được tìm hiểu về đường tròn một cách hệ thống hơn . Trong đó
tính chất tiếp tuyến , quan hệ giữa đường kính và dây cung , quan hệ giữa góc và đường
11
…, được đề cập một cách thường xuyên hơn . Chính từ những vấn đề đó làm nảy sinh sự
đồng dạng , sự vuông góc và như vậy quan hệ bậc hai về độ dài xuất hiện ngày càng
nhiều hơn .
• Bài tập 1 .

Cho nửa đường tròn tâm 0 đường kính AD .Các điểm B,C,thuộc nửa đường tròn sao
cho AB = BC = 2
5
cm , CD = 6 cm . Tính bán kính của đường tròn
Bài giải

* Gọi giao điểm của AC và OB là H .
* Do AB = BC , OA = OC nên OB là đường trung trực của AC suyra OB
⊥
AC
và AH = HC mặt khác ta có OH là đường trung bình của tam giác ACD Do đó OH =
1
2
CD = 3 ( cm ) và HC =
1
2
AC
* Gọi bán kính của đường tròn có độ dài là x (cm) ( x> 3 )
* Tam giác ADC vuông ở C nên ta có :
AC
2
= AD
2
– DC
2
( Định lý Pitago )
12

⇒
2 2 2

1 1 1
(2 ) .6
4 4 4
AC x
= −

2 2
1
9
4
AC x
⇒ = −

⇒
HC
2
= x
2
– 9 (1)
* Tam giác BCH vuông ở H nên ta có :
HC
2
= BC
2
– BH
2

⇒
HC
2

= (2
5
)
2
– (OB – HO)
2

⇒
HC
2
= 20 – (x – 3)
2
(2)
* Từ (1) và (2) ta có phương ttrình :
x
2
– 9 = 20 – (x – 3)
2
⇔
x
2
– 3x – 10 = 0

⇔
(x – 5)x + (x – 5)2 = 0
⇔
(x – 5)(x + 2) = 0
* Do x > 3 nên chỉ có x = 5 là thoả mãn điều kiện.
* Vậy bán kính có độ dài là 5cm.
• Bài tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD
nội tiếp trong đường tròn đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác. Tính độ dài đoạn
thẳng CD ?
Bài giải
13

x
y
D
E
F
I
O
C
A
B
* Đặt DC = x, BC = y ( 0 < x, y < 2.R )
* Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD , suy ra các cạnh của hình
thang đều là các tiếp tuyến của đường tròn (I ) từ đó dễ dàng chứng minh được
DC + AB = AD + BC
⇒
x + 2R = 2y

⇒
y =
2
x
+ R (1)
* Do tam giác ABC vuông ở C nên ta có :
AC

2
= AB
2
– BC
2
( Định lý Pitago )

⇒
AC
2
= 4R
2
– y
2
(2)
* Kẻ DE, CF vuông góc với AB ( E ,F thuộc AB ), từ đó ta suy ra được OE
= OF =
2
x
14
* Tam giác ABC vuông ở C đường cao CF nên :
AC
2
= AF .AB
⇒
AC
2
= (R +
2
x

).2R
⇒
AC
2
= 2R
2
+ Rx (3)
* Từ (1), (2), (3) ta có ;
2R
2
+ Rx = 4R
2
– (
2
x
+ R)
2
⇔
2
4
x
+ 2 Rx - R
2
= 0
⇔
x
2
+ 8Rx – 4R
2
= 0

∆
’ = 16R
2
+ 4R
2
= 20R
2
x
1
= - 4R + 2
5
R ( thoả mãn).
x
2
= - 4R - 2
5
R ( loại).
* Vậy CD = 2R(
5
- 2) ( đơn vị độ dài)
• Bài tập 3. (Bộ đề ôn thi TNTHCS và thi vào THPT năm 2001 – 2002 )
Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, M là một điểm thuộc đường tròn sao
cho MA < MB. Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến tai M cắt d ở N
và cắt AB tại K. Đường thẳng d cắt đường thẳng MO tại H. Đường thẳng AM cắt HK ở
C. Biết MNOC là bình hành. Tính OH theo R.
Bài giải
15

Đặt OH = x ( x > 0 )
Ta có tam giác OBH đồng dạng với tam giác NMH

⇒

BH OH
MH NH
= ⇒
BH.NH = OH.MH

⇒
BH (BN + BH ) = OH ( R + OH )

⇒
BH . BN + BH
2
= OH .R + OH
2
BH . BN + x
2
– R
2
= R x + x
2
BH . BN = R ( R + x) (1 )
* Do N giao của hai tiếp tuyến NB , NM suy ra BN = MN , mặt khác tứ giác
MNOC là hình bình hành nên MN = OC , từ đó ta có : BN = OC ( 2 )
16
O
M
N
K

d
H
C
B
A
* Từ ( 1 ) , ( 2) ta có
BH . OC = R ( R + x )

⇒
BH
2
. OC
2
= R
2
( R + x )
2
( 3 )
Do tứ giác MNOC là hình bình hành nên MN // OC mà MN
⊥
MH
nên OC
⊥
MH
Do BK
⊥
NH , MH
⊥
KN
⇒

O là trực tâm của tam giác KNH

⇒
ON
⊥
HK
Mặt khác MC // ON ( do tứ giác MNOC là hình bình hành )
suy ra MC
⊥
HK.
Tam giác MHC vuông ở C đường cao OC nên :
OC
2
= OM. OH ( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta suy ra :
BH
2
. MO . OH = R
2
( R + x)
2


⇒
(x
2
– R
2
) R .x = R
2

( R + x)
2


⇔
( x – R ) x = R ( R + x )

⇔
x
2
– 2R x - R
2
= 0

'
∆
= R
2
+

R
2
= 2R
2
x
1
= R – R
2
( loại )
x

2
= R + R
2
(thoả mãn )
Vậy OH = R ( 1 +
2
) đơn vị độ dài
17

3) DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Riêng về các công thức tính diện tích , xét về phương diện đại số: chúng là các hàm
số bậc hai về độ dài. Do đó nếu cho quan hệ diện tích giữa các hình thì có thể làm xuất
hiện phương trình bậc hai .
Bài tập 1 ( Phát triển từ bài tập 83 – 84 hình học SGK toán 9)
Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C . Vễ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng
AB hai nửa đường tròn có đường kính lần lượt là AB, AC còn trên nửa mặt phẳng đối vẽ
nửa đường tròn đường kính BC . AB = 8 cm
đặt S là diện tích của hình được giới hạn bởi ba đường tròn nói trên và AC = x . Tìm x để
S bằng diện tích của nửa dường tròn đường kính AC
∆
’ = 64 + 128 = 192
x
1
= - 8 - 8
3
< 0 ( loại )
x
2
= - 8 + 8

3
> 0 ( thoả mãn )
* Khi x = 8
3
- 8 cm thì S bằng diện tích của nửa hình tròn đường kính AC.
* Bài tập 2 ( Phát triển từ bài tập hình học trong SGK – SBT toán 8 )
Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di động trên
các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF. Tính độ dài đoạn thẳng MF để
diện tích của tứ giác MNEF bằng
5
8
diện tích hình vuông ABCD.
Bài giải
18
* Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA
mà AM = BN = CE = DF
⇒
AB – AM = BC – BN = CD – CE = DA – DF
⇒
MB = NC = DE = AF từ đó suy ra ;
∆
AMF =
∆
BMN =
∆
CEN =
∆
DFE
⇒
MF = NM = EN = EF (1)

và
·
·
·
·
·
·
·
0
0
90
90
AMF BNM
AMF BMN BNM BMN
NMF
=
⇒ + = + =
⇒ =
* Từ (1) và (2) suy ra MNEF là hình vuông.
* Đặt AM = y ( 0 < y < 4 ). Ta có ;
S
AMF
∆
= S
BNM
∆
= S

CEN
∆

= S

DFE
∆
=
1
2
y(4 – y)
S

MNEF
= S

ABCD
- 4S

AMF∆
= 4
2
– 2y(4 – y)
19
N
M
E
F
D
C
B
A
(2)

* Theo giả thiết diện tích của tứ giác MNEF bằng
5
8
diện tích hình vuông ABCD
nên :
4
2
– 2y(4 – y) =
5
8
.4
2
⇔
y
2
– 4y +3 = 0
Ta có a + b + c = 0
y
1
= 1 (thoả mãn)
y
2
= 3 (thoả mãn)
- Với AM = 1
⇒
AF = 4 – 1 = 3 khi đó MF =
2 2
3 1 10+ =

- Với AM = 3

⇒
AF = 4 – 3 = 1 khi đó MF =
2 2
3 1 10+ =
- Vậy MF =
10
cm
* Bài tập 3 ( Phát triển từ bài tập trong SGK toàn 8).
Cho các điểm A, B thuộc cạnh MP, các điểm C, D lần lượt thuộc các cạnh NP, MN
của tam giác NMP sao cho ABCD là hình chữ nhật. Biết MP = 30cm, chiều cao NH =
10cm (H thuộc MP), hình chữ nhật có diện tích 63cm
2
.Tính các kích thước của hình chữ
nhật.
Bài giải
20

p
h
i
n
m
d
c
b
a
* Đặt BC = x ( 0 < x < 10 ), CD = y ( 0 < y < 30 ). Gọi I là giao điểm NH và DC.
* Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên DC // MP suy ra tam giác NDC đồng
dạng tam giác NMP
⇒

NI DC
NH MP
=

⇒

10
10 30
NH HI DC x y
NH MP
− −
= ⇒ =

⇒
3(10 – x) = y
* Vì hình chữ nhật ABCD có diện tích là 63cm
2
nên ;
xy = 63
⇒
3x(10 – x) = 63
⇒
x
2
– 10x + 21 = 0
∆
’ = 25 – 21 = 4
x
1

= 5 – 2 = 3 (thoả mãn).
x
2
= 5 + 2 = 7 (thoả mãn).
- Với x = 3
⇒
y = 21
- Với x = 7
⇒
y = 9
21
Vậy hình chữ nhật có kính thước là 3cm ,21 cm hoặc 7 cm ,9cm .
4) MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.
Bài tập 1
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Tia phân giác góc HAC cắt HC ở D.
Gọi K là hình chiếu của D trên AC……….? DK = 6cm. Tính độ dài AB
Bài tập 2
Cho hình vuông ABCD có cạnh 5cm. Tính cạnh của tam giác đều AEF có E thuộc cạnh
CD và F thuộc cạnh BC ?
Bài tập 3
Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD
tại I. Biết BI = 10
5
cm, ID = 5
5
cm. Tính độ dài đoạn thẳng DC ?
Bài tập 4
Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao diểm của đường phân giác.
Biết AB = 5cm, IC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC ?
Bài tập 5

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
Biết IA = 2
5
cm, IB = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Bài tập 6
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, H là trực tâm. Tính độ dài đoạn thẳng
AD ? Biết AH = 14cm, BH = HC = 30cm.
Bài tập 7
22
Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính 5cm, đường kính AB, M là điểm thuộc cung
AB, H là một điểm chính giữa cung AM, tia BH cắt tiếp tuyến Ax tại K. Tìm vị trí của M
để MK vuông góc với Ax ?
Bài tập 8
Tam giác vuông có một cạnh góc vuông là 12cm. Tỉ số giữa bán kính đường tròn
nội tiếp và ngoại tiếp tam giác vuông đó là 2 : 5. Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp
?
Bài tập 9
Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
Ax, điểm M tuỳ ý trên Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B là tiếp điểm ). I là
trung điểm của MA, BI cắt đường tròn tâm O ở K, tia MK cắt đường tròn (O) ở C.
a) Chứng minh tam giác MIK đồng dạng tam giác BIM và BC // MA.
b) Tìm vị trí của M trên tia Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành ?
5) Chú ý.
Trong ba phần ; tam giác đồng dạng, đường tròn, diện tích, mỗi phần chuyên đề xét
ba bài tập.
Bài 1; Mức độ kiến thức vừa phải, học sinh có lực học trung bình trở lên đều có thể
làm được.
Bài 2, 3; đòi hỏi sự vận dụng nhiều đơn vị kiến thức hơn, sự vân dụng linh hoạt
hơn, sáng tạo hơn, các phần này học sinh có lực học khá và giỏi có thể làm được.
23

TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG THÔNG QUA PHƠNG TRÌNH BẬC 2
A. MỤC TIÊU.
- Hs biết tính độ dài đoạn thẳng thông qua p ,trình bậc 2 một cách thành thạo.
- Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bầy tính toán.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
- Hs học kỹ cách tính độ dài đoạn thẳng thông qua phương trình bậc 2 ,
- Gv soạn bài, đọc bài, phấn màu.
C. HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY VÀ TRÒ.
1- Kiểm tra bài cũ.
- Cho
∆
ABC vuông tại A, đờng cao
AH, AC = 15cm, HB = 16cm
. Tính độ dài AH.
Bài giải.
- Đặt HC = x ( 0 < x < 15 )
Xét
∆
HAC
:

∆
ABC (gg)

⇒

AC HC
BC AC
=

⇔
AC
2
= BC.HC

⇔
15
2
= (x + 16)x

⇔
x
2
+ 16x – 225 = 0

⇔
(x – 9)(x + 15) = 0 Vì 0 < x < 20 nên x = 9 nhận
24
h
c
B
A
2- Bài giảng.
* Bài tập 1; Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Diện tích 100cm
2
và
có khoảng cách đến 2cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông.
Bài giải.
Gv giới thiệu nội dung bài học.

- Gv :Ta không thể dùng các
phương pháp tính thông
thường vào để tính được các
cạnh AB, AC.
Hỏi : Em nào tìm được cách
tính. HS suy nghĩ trả lời.
- Gv: nói và ghi lên bảng. Đặt
BH = x, KC = y.
- Gọi
∆
MKC đồng dạng với
tam giác nào ?
- GV : cho Hs lên bảng làm.
Tìm ra xem xy = ? (1)
- Gv theo đề bài diện tích
∆
ABC vuông ở A bằng
100cm
2
nên ta có PT nào.
25
- Vẽ MH
⊥
AC, MK
⊥
AB. Đặt BH = x, KC = y,
x > 0, y > 0. Vì
∆
BHM
:

∆
MKC (gg).
Nên
BH HM
MK KC
=
hay
4
8
x
y
=

⇔
xy = 32 (1)
Ta có tứ giác AHMK l hình chà ữ nhật nên
MH = AK = 4cm, MK = AH = 8cm
M AB.AC = 2à

S
ABC

⇔
(x + 8)(y + 4) = 200

⇔
xy + 4x + 8y + 32 = 200
⇔
32 + 4x + 8y + 32 = 200
⇔

4x + 8y = 136 (2)
- HS: (x + y)(y + 4) 200 (2)
- GV: Kết hợp (1), (2) một Hs
lên tìm x hoặc y.
- Hs lên bảng trình bày
- Gv gọi Hs nhận xét lời giải của
bài toán.
* Bài tập 2;Tính chiều cao một hình thang cân có diện tích bằng 12 cm
2
,đờng chéo 5 cm.
Bài giải.
- GV cho Hs chép bài, ghi giả thiết,
vẽ hình, kết luận của bài toán.
- Gv : Vì hình thang ABCD cân,
đờng cao BH, AK,
26
-Từ (1), (2)
⇒
y
2
– 17y + 16 = 0
⇔
(y – 1)(y – 16) = 0
⇔

1
16
y
y
=



=

(nhận
- Với y = 1 thì x = 3. Ta cú AC = 1 + 4 = 5 cm
AB = 32 + 8 = 40 cm
- Với y = 16 thì x = 2. Ta cú AC = 20 cm
AB = 2 + 8 = 10 cm
- Vậy AC = 5 cm, AB = 40 cm, hoặc AC = 20
cm,
AB = 10 cm.
- Gọi BH l à đờng cao của hình thang cân ABCD.
Ta có
∆
ADK =
∆
BHC (cạnh huyền góc nhọn)
⇒
DK = HC
V tà ứ/g ABHK l hình chà ữ nhật nên AB = HK
⇒
2DH = 2DC – HC
⇔
DH =
2
AB DC+
M dià ện tích hình thang l 12cmà
2

nên DH.BH = 12cm
2
(1). Đặt BH = x, (0 < x < 25)
⇒
y =
2
25 x
−
(2). Từ (1) v (2) ta có :à
x
2
25 x
−
= 12
⇔
x
4
– 25x
2
+ 144 = 0
Đặt x
2
= t

(t 0)

⇔
t
2
– 25t + 144 = 0

⇔
(t – 16)(t – 9) = 0

⇔
16
9
t
t
=


=

(nhận)
K
y
x
H
C
D
B
A
- Tìm quan hệ BH với AB, DC.
- Hỏi : Hs DH =
2
AB DC+
- Gv : Đặt BH = x
⇒
DH = ?

- Hs DH=
2
25 x
−
- Gv ; Diện tích hình thang 12cm
2

ta có PT nào ?
- Hs lên bảng trình bày
- Gv cùng Hs nhận xét bài làm
của bạn.
- Gv chốt lại kết luận của bài toàn.
- Với t = 16
⇒
x = 4 (vì x > 0)
- Với t = 16
⇒
x = 4 ( vì x> 0 )
- Với t = 9
⇒
x = 3 (vì x > 0)
- Đường cao của hình thang bằng 4cm hoặc 3cm.
* Bài tập 3; Cho 2 đường tròn (O
1
), (O
2
) có cùng bán kính R cắt nhau tại M, N.
Và OD
1
= R, Hình vuông ABCD có A, D nằm trên cung nhỏ MN của (O

2
) và B, C nằm
trên cung nhỏ MN của (O
1
). Tình cạnh hình vuông theo R.
Bài giải.
27
- Gv cho Hs đọc đề, phân tích đề,
vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của bài toán
- Gv : Em nào có cách làm bài tập này.
- Gv : Gọi cạnh hình vuông là x và E, F
là giao điểm của O
1
O
2
với AD và (O
2
)
- Gv: Tại sao AD
⊥
O
1
O
2

và O
1
E.EF = EA.ED ,
O
1

E =
2
R x−
; EF =
3
2
R x
+
- Gv; ta có PT nào ?
- Gọi Hs lên bảng trình bày. Cách giải của
bài toán này.
28
- Gọi cạnh hình vuông là x, (x > 0)
AB = BC = CD = DA = x
- Gọi E, F lần lợt là giao điểm của O
1
O
2
với
AD và (O
2
).
Ta cú AD
⊥
O
1
O
2

O

1
E.EF = EA.ED (1)
O
1
E =
2
R x−
(2)
EF =
3
2
R x+
(3)
- Từ (1), (2), (3) ta cú :
2
3
.
2 2 2
x R x R x
− − +
 
=
 ÷
 


⇔
2x
2
+ 2Rx – 3R

2
= 0 (4)

∆
’ = R
2
+ 6R
2
= 7R
2

⇒
' 7R
∆ =
x
1
=
7
2
R R− +
; x
2
=
7
2
R R− −
- Vỡ x > 0 nờn chỉ x
1
thoả món
N

M