SKKN Kinh nghiệm dạy Phương trình lượng giác ở THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”
PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
I, Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thường xuyên của ngành giáo
dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập
bộ môn Đại số và giải tích.
II, Cơ sở lý luận:
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
III, Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích và
nhất là phần phương trình lượng giác
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I, Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác:
- Phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình: sinx = a
+ Phương trình: cosx = a
+ Phương trình: tanx = a
+ Phương trình: cotx = a
- Một só phương trình lượng giác thường gặp:
+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Áp dụng để giải các hệ phương trình.
2

II, Yêu cầu:
- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lượng giác ở lớp 10 đã học.
+ Công thức cộng.
+ Công thức nhân đôi.
+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích.
- Nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
- Biết phân biệt các dạng phương trình lượng giác.
- Nắm phương pháp chung để giải các phương trình.
- Biết kết hợp nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Tham khảo các tài liệu.
- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt tổ,
nhóm chuyên môn.
6. Thời gian nghiên cứu:
- Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học.
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
A, Kiến thức có liên quan:
Công thức cộng:
cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb
sin(a − b) = sina cosb − cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
3
tan(a − b) =
tan tan
1 tan tan
a b
b

−
+

tan(a + b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
+
−

Công thức nhân đôi:
cos2a = cos
2
a − sin
2
a = 2cos
2
a − 1 = 1 − 2sin
2
a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =
atg1
tga2
2
−

Công thức hạ bậc:
cos

2
a =
2
2cos1 a+

sin
2
a =
2
2cos1 a−

Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb =
2
1
[cos(a − b) − cos(a + b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Cosa + cosb = 2cos
2
ba +
cos
2

ba −

Cosa − cosb = −2sin
2
ba +
sin
2
ba −

Sina + sinb = 2sin
2
ba +
cos
2
ba −

Sina + sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba −

B, Nội dung:
I, Phương trình lượng giác cơ bản:
4
Lý thuyết:
Phương trình: sinx = a ⇔ x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π − α + k2π, k ∈ Z
Hay: sinx = a ⇔ x = arcsinα + k2π, k ∈ Z

và x = π − arcsinα + k2π, k ∈ Z
Đặc biệt:
sinx = -1 ⇔ x =
2
π
+ k2π, k ∈ Z
sinx = 1 ⇔ x = −
2
π
+ k2π, k ∈ Z
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
Phương trình: cosx = a ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ Z
Hay: cosx = a ⇔ x = ± arccosα + k2π, k ∈ Z
Đặc biệt:
cosx = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ Z
cosx = −1⇔ x = π + k2π, k ∈ Z
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ, k ∈ Z
Phương trình: tanx = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Hay tanx = a ⇔ x = arctanα + kπ, k ∈ Z
Phương trình: cotx = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Hay cotx = a ⇔ x = arccotα + kπ, k ∈ Z
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phương trình sau:
3
) sin 2
2
a x

=

( )
0
2
) cos 2 25
2
b x
+ = −

5
( )
) 4 2 3+ = −c cot x

( )
0
3
) tan 15
3
+ =d x
Kết quả:
6
) ( )
3
x k
a k Z
x k
π
π
π

π

= +

∈


= +



0 0
0 0
80 180
) ( )
55 180
x k
b k Z
x k

= − +
∈

= +

1
) ( )
2 24 4
c x k k Z
π π

= − − + ∈

0 0
) 15 180 ( )d x k k Z
= + ∈
Chú ý: Khi giải cần lưu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ, không
được dùng cả hai đơn vị đó trong một câu.
Bài tập2: Gải các phương trình sau:
( )
0
2
) sin 2 15
2
a x
− =
với
0 0
120 120x− < <
( )
1
) cos 2 1
2
b x
+ =
với
x
π π
− < <
( )
) tan 3 2 3+ =c x

với
2 2
x
π π
− < <

Kết quả:
0 0 0
) 30 ; 105 ; 75 .a x = −
1 1 5 1 1 5
) ; ; ;
2 6 2 6 2 6 2 6
b x
π π π π
= − + − − − − − +
2 2 4 2 2
) ; ;
3 9 3 9 3 9
c x
π π π
= − + − + − −
Chú ý: Với dạng bài 2 sau khi giải phương trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với
yêu cầu của bài toán
Bài tập3: Giải các phương trình sau:
( ) ( )
) sin 2 1 sin 3a x x
− = +

6
) sin3 cos2b x x

=
( )
) tan 3 2 2 0+ − =c x cot x
) sin 4 cos5 0d x x
+ =
Kết quả:
4 2
) ( )
2 2
3 3 3
10 5
) ( )
2
π
π π
π π
π
π
= +


∈

= − +


= +

∈



= +


x k
a k Z
x k
x k
b k Z
x k

( )k Z∈
Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi về cùng hàm số lượng giác ( dùng công thức 2
góc phụ nhau)
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
) 2sin 2 sin 2 0a x x
+ =

2 2
) sin 2 cos 3 1b x x
+ =

) tan 5 .tan 1=c x x

2 2
2
) sin 5 cos
5 4
x
d x

π
π
   
+ = +
   
   

Kết quả:

) ( )
3
2
4
) ( )
5
π
π
π
π
π
=


∈

= ± +


=


∈

= −

x k
a k Z
x k
x k
b k Z
x k

) ( )
12 6
2 4
105 21
) ( )
18 4
95 19
π π
π π
π π
= + ∈

= +

∈


= − +



c x k k Z
x k
d k Z
x k
Chú ý: Cần chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình một cách nhanh nhất
Cụ thể câu a: đưa về phương trình tích
Câu d: có thể dùng công thức hạ bậc
II, Một số phương trình lượng giác thường gặp:
Lý thuyết:
7
) 2
2
2
2
)
2
6 9
= − + +

= +



= +


c x k
x k
d

x k
π
π
π
π
π π
1, Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: at + b = 0 (1)
Trong đó a, b là các hằng số (a
≠
0), t là một trong các hàm số lượng giác
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình
về dạng cơ bản.
2, Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: at
2
+ bt + c = 0
Trong đó a, b, c, là các hằng số (a
≠
0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
3, Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx + bcosx = c (1)
Với a, b, c ∈ R; (a
2
+ b
2
≠ 0)
Cách giải:
( )
2 2 2 2 2 2

1 sin cos
a b c
x x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α

=

+



=

+

ta được phương trình:

( )
( )
2 2
2 2
1 cos sin sin cos
sin (*)
c
x x
a b
c
x
a b
α α
α
⇔ + =
+
⇔ + =
+
Phương trình trên là phương trình lượng giác cơ bản.
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phương trình sau:
) 2cos 2 0a x − =

) 3 tan 2 3 0− =b x

2
) 2cos 3cos 1 0c x x− + =

2
) cos sin 1 0d x x+ + =

8
Kết quả:
) 2 ,( )
4
π
π
= ± + ∈a x k k Z

2
) ( )
2
3
π
π
π
=


∈

= ± +

x k
c k Z
x k
6
) ,( )
4
6
π

π
π
π

= +

∈


= +


x k
b k Z
x k

) 2 ,( )
2
π
π
= + ∈d x k k Z
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
) 3sin 4cos 5a x x+ =
) 2sin 2cos 2b x x− =
2
1
) sin 2 sin
2
c x x+ =
) 5cos2 12sin 2 13d x x− =

Kết quả:
3 4
) 2 sin ; cos
5 5
 
= + = =
 ÷
 
a x k
α π α α
, (k∈Z)
5
2
12
)
13
2
12
π
π
π
π

= +



= +



x k
b
x k
, (k∈Z)
1 2
) sin ; cos
2 2
5 5
α π
α α
 
= + = =
 ÷
 
c x k
,(k∈Z)
12 5
) sin ; cos
2 13 13
 
= + = − =
 ÷
 
d x k
α
π α α
,(k∈Z)
Chú ý: tuỳ từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập
khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể như câu b,
c).

9
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
( )
) 3 sin cos 2sin 2 3 0a x x x+ + + =
) sin cos 4sin cos 1 0b x x x x− + + =
( )
) sin 2 12 sin cos 12 0c x x x− − + =
3 3
) sin cos 1d x x+ =
Kết quả:
2
) 2 ,( )
2
1
2 cos
4
2 2
π π
π
π
π
α π α


= +


= − + ∈



 

= ± + = −
 ÷

 

x k
a x k k Z
x k

2
) ,( )
3
2
2
π
π
π
=


∈

= +

x k
b k Z
x k
2

) ,( )
2
2
π
π
π π

= +

∈

= +

x k
c k Z
x k

2
) ,( )
2
2
π
π
π
=


∈

= +


x k
d k Z
x k
Chú ý: Khi giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ
đặt: t = sinx + cosx, với
2t ≤
hay: t = sinx - cosx, với
2t ≤
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
( )
2 2
) 3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0a x x x x+ + − =
2 2
) 4sin 3 3sin 2 2cos 4b x x x+ − =
2 2
1
) sin sin 2 2cos
2
c x x x+ − =
( ) ( )
2 2
) 2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1d x x x x
+ + + − = −
Cách giải: Để giải được phương trình có 2 bước:
Bước 1: kiểm tra điều kiện: cosx
≠
0 (hay sinx
≠
0)

10
Bước 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx
( hay cotx)
Kết quả:
a,
3 3 8
arctan
3
,( )
3
π
π
π

−
= +


∈

= − +


x k
k Z
x k
b,
2
1
arcsin 2 ,( )

3
1
arcsin 2
3
π
π
π
π π

= +



= + ∈



= − +


x k
x k k Z
x k
c,
arctan( 5) ,( )
π
π
=



= − + ∈

x k
x k k Z
d,
6
,( )
4
π
π
π
π

= − +

∈


= − +


x k
k Z
x k
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
1) cos2 5sin 3 0− − =x x
(1)
4 2
2) 2 tan 3tan 1 0− + =x x
(2)

3
3) 2sin cos2 sin 0− − =x x x
(3)
4) tan .tan 2 tan tan 2= +x x x x
(4)
3 2 2 3
5) 2sin 2cos sin sin cos cos 0+ − − =x x x x x x
(5)
6) sin 2 2 3+ =x cotx
(6)
Giải:
1,
11
(1)
2
sin 2 ( )
2
6
2sin 5sin 2 0 ,( )
1
7
sin
2
2
6
π
π
π
π


= −
= − +



⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈


= −

= +



x VN
x k
x x k Z
x
x k
2,
(2)
tan 1
,( )
1
tan
2
= ±


⇔ ⇔ ∈


= ±


x
k Z
x
4 2
1
arctan ,( )
2
π π
π

= +

⇔


= ± + ∈


x k
x k k Z
3,
(3)
3 2
3
sin 1
2

2
2sin 2sin sin 1 0 ,( )
1
sin
2
2
4
π
π
π
π

= −

= +


⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈


= ±

= +




x
x k
x x x k Z

x
x k
4,
(4)
( )
2 2
2 tan 2 tan
tan . tan tan 1
1 tan 1 tan
x x
x x x
x x
⇔ = + ≠ ±
− −

3 2
tan 2tan 3tan 0⇔ + − =x x x
tan 0
tan 1( ¹i)
arctan( 3) ,( )
tan 3
x
x k
x lo
x k k Z
x
π
π
=



=


⇔ = ⇔


= − + ∈


= −

5,
(5)
3 2
2 tan 2tan tan 1⇔ + − −x x x
tan 1
4
,( )
1
1
tan
arctan
2
2
π
π
π

=

= +



⇔ ⇔ ∈


= ±

= ± +




x
x k
k Z
x
x k
6,
12
(6)
( )
2
2 tan 1
2 3 tan 0
1 tan tan
⇔ + = ≠
+
x

x
x x
3 2
2
3tan 4tan 3tan 2 0
tan 1
,( )
4
3tan tan 2 0 ( )
π
π
⇔ − + − =
=

⇔ ⇔ = + ∈

− + =

x x x
x
x k k Z
x x VN
Chú ý: Với bài tập 6 cần biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàmn số lượng giác
III, Một số phương trình lượng giác khác:
Cách giải:
+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
+ Dùng công thức biến đổi tổng thành tích.
+ Dùng công thức hạ bậc.
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng tính chất:

2 2
0
0
0
A
A B
B
=

+ = ⇔

=

+ Áp dụng tính chất:
( )
( )
A M hay A M
A M
B N hay B N
B N
A B M N
≥ ≤
=


≥ ≤ ⇔
 
=



+ = +

Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phương trình:
1, cosxcos7x = cos3xcos5x (1)
2, sin2x + sin4x = sin6x (2)
3,
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 sinx x x x
+ = +
(3)
13
4,
3 3
sin cos cos 2x x x
+ =
(4)
Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,
công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải:
1,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 cos8 cos6 cos8 cos 2
2 2
cos6 cos 2
2
4
4

x x x x
x x
x k
k Z x k k Z
x k
π
π
π
⇔ + = +
⇔ =

=

⇔ ∈ ⇔ = ∈


=


2,
( )
( )
( ) ( )
2 2sin3 cos 2sin 3 cos3
sin 3 cos3 cos 0
sin 3 0
cos3 cos
3
3
2

2
x x x x
x x x
x
x x
x k
x k
x k k Z k Z
x k
x k
π
π
π
π
π
⇔ =
⇔ − =
=

⇔

=


=


=



⇔ = ∈ ⇔ ∈




=

=
 

3,
( )
1 cos8 1 cos6 1 cos 4 1 cos2
3
2 2 2 2
− − − −
⇔ + = +
x x x x
cos8 cos6 cos4 cos2
2cos7 cos 2cos3 cos
⇔ + = +
⇔ =
x x x x
x x x x
cos 0
cos7 cos3
=

⇔


=

x
x x
14
( ) ( )
2
5
5
2
2
π
π
π
π
π
π

= +



=


⇔ = ∈ ⇔ ∈



=





=


x k
x k
x k k Z k Z
x k
x k
4,
( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 sin cos sin sin cos cos
cos sin
⇔ + − +
= −
x x x x x x
x x
( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1 sin cos sin cos cos sin⇔ + − = + −x x x x x x x x
sin cos 0 ( )
sin cos sin cos 1 0 ( )
+ =

⇔


− − + =

x x a
x x x x b
( ) ( )
3
* 2 cos 0
4 4
π π
 
⇔ − = ⇔ = + ∈
 ÷
 
a x x k k Z
( )
( )
2
* 2 1 0, sin cos 2⇔ + + = = + ≤b t t t x x t
1⇔ = −t
sin cos 1⇔ − = −x x
1
cos
4
2
π
 
⇔ − =
 ÷
 

x
( )
2
2
2
π
π
π
=


⇔ ∈

= − +

x k
k Z
x k
Vậy phương trình (4) có nghiệm:
( )
3
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k Z
π π
π π π
= + = = − + ∈
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
) cos5 cos 4 cos3 cos2a x x x x=
) sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3b x x x x x x+ + = + +

) sin3 sin 5 sin 7 0c x x x+ + =
) tan tan 2 tan3+ =d x x x
Giải tương tự như bài tập 1
15
Kết quả:
7
) ,( )
2
π
π

=

∈


=


x k
a k Z
x k

2
2
3
) ,( )
8 2
π
π

π π

= ± +

∈


= +


x k
b k Z
x k
5
) ,( )
3
π
π
π

=

∈


= ± +


x k
c k Z

x k
d) Đk:
2
4 2
6 3
x k
x k
x k
π
π
π π
π π

≠ +



≠ +



≠ +


⇒ Nghiệm:
3
x k
π
=
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

2 2 2 2
) sin sin 2 sin 3 sin 4 2a x x x x+ + + =
4 4
3 cos6
) sin cos
4
x
b x x
−
+ =
2
) 2cos 4 sin10 1c x x+ =
Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Kết quả:
2
) ,( )
4 2
10 5
π
π
π π
π π

= +



= + ∈




= +


x k
a x k k Z
x k

10 5
) ,( )
2
π π
π
π

= +

∈


= +


x k
b k Z
x k
4
) ,( )
12 9
π

π
π π

= − +

∈


= +


x k
c k Z
x k
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:
( ) ( )
) 1 sin 2 tan 1 tan+ − = +a x x x
) tan tan 2 sin 3 cos+ =b x x x x
16
) tan 2 2 4+ =c x cot x cot x
Kết quả:
a) Đk:
2
x k
π
π
≠ +
. Nghiệm:
3
4

x k
x k
π
π
π

= +


=

.
( )k Z∈
b) Đk:
2
4 2
x k
x k
π
π
π π

≠ +



≠ +


. Nghiệm:

3
x k
π
=
.
( )k Z∈
c) Đk:
4
x k
π
≠
⇒ Nghiệm:
3
x k
π
π
= ± +
.
( )k Z∈
Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập5: Giải các phương trình sau:
) sin 2 sin 5 cosa x x x= −
) 3 2sin sin 3 3cos 2b x x x+ =
) 2sin cos2 1 2cos2 sin 0c x x x x− + − =
Kết quả:
8 3
) ,( )
16 2
π π
π π


= +

∈


= −


x k
a k Z
x k

) ,( )
π
= ∈b x k k Z

3
2
2
) ,( )
6
π
π
π
π

= +

∈



= ± +


x k
c k Z
x k
IV, Áp dụng giải hệ phương trình lượng giác:
Cách giải:
* Cách 1: Giải từng phương trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phương
trình đó.
* Cách 2: Giải một phương trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm được vào
các phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ:
17
Bài tập 1: Giải các phương hệ trình sau:
1,
2sin 2 (1)
tan 1 (2)

=


=


x
x
2,

cos 1
sin 2 0
=


=

x
x
3,
3 2
cos cos 2 2
cos cos 2
2
+ =



=


x x
x
x
4,
2 2
cos6 cos 4 0
sin 2 3cos 3
+ =



=

x x
x x
Giải:
1,
* Cách 1:
- Giải (1) ta được:
( )
2 ( )
4
3
2 ( )
4
x k a
k Z
x k b
π
π
π
π

= +

∈


= +



- Giải (2) ta được:
( )
( )
4
x l l Z c
π
π
= + ∈
.
Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k.
còn
1
( ) 2
4 2
b x k
π
π
 
⇔ = + +
 
 
không có giá trị nào chung với (c).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
4
x l l Z
π
π
= + ∈

* Cách 2:
18
- Giải (1) ta được:
( )
2 ( )
4
3
2 ( )
4
x k a
k Z
x k b
π
π
π
π

= +

∈


= +


- Thay vào (2) ta thấy (a) luôn thoả mãn (2) còn (b) không thoả mãn (2), (∀k ∈ Z).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
4
x l l Z

π
π
= + ∈
Tương tự:
2,
2
π
=x k
,
( )k Z∈
3,
4
π
=
x k
,
( )k Z∈
4,
2
π
π
= +x k
,
( )k Z∈
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1,
2 2
2cos 3sin 5 2x x= +
(*)
2,

2 2 5
tan 2sin
4
π
 
+ = +
 ÷
 
x cot x x
3,
( )
2
2
cos4 cos2 4 cos 3− = +x x x
4,
( )
2
2
cos4 cos2 4 cos 3− = +x x x
5,
5 8
2sin 3cos 5+ =x x

Giải:
1, Đánh giá hai vế dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác, đưa về giải hệ phương
trình.
19
Vì cos
2
x

≤
1 nên 2cos
2
x
≤
2.
Vì sin
2
x
≤
0 nên 3sin
2
5x + 2
≤
2.
Do đó (*)
2
2
cos 1 (*. )
sin 5 0 (*. )
x a
x b

=

⇔

=



Phương trình (*.a) có nghiệm x = kπ (k∈ Z)
Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn.
Vậy nghiệm của (*) là: x = kπ (k ∈ Z)
Tương tự:
2,
2
4
π
π
= +x k
, (k∈ Z)
3,
2
π
π
= +x k
, (k∈ Z)
4,
2
π
π
= +x k
, (k∈ Z)
5, Vô nghiệm
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN
Đối với các bài toán có liên quan đến phương trình lượng giác trong khi giảng dạy
giáo viên cần:
+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10.
+ Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
+ Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập.

+ Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của
phương trình.
C. KIẾN NGHỊ:
* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh
20
* Cần bổ sung bài tập về hệ phương trình.
* Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy.
21