Ứng dụng Maple giải một số bài toán trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO THẠC SĨ CNTT QUA MẠNG
________________
BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC
LẬP TRÌNH SYMBOLIC
Đề tài số 5:
Ứng dụng Maple giải một số bài toán trong
tam giác
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
Học viên thực hiện: Trịnh Thị Thanh Nhàn
MSHV: CH1101113
TP. HCM, năm 2012
Mục Lục
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
Chương 1: Giới thiệu
1.1 Giới thiệu về Maple
Maple là một phần mềm toán học do đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng và
đưa vào sử dụng năm 1985. Sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên bản khác
nhau và ngày càng được hoàn thiện. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ
giúp Help rất dễ sử dụng. Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ
trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thong và đại học. Ưu điểm đó khiến
ngày càng có nhiều nước trên thế giớ lựa chọn sử dụng Maple trong day – học toán tương
tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục.
Chức năng chính của Maple:
 Thực hiện các tính toán khối lượng lớn với thời gian nhanh và độ chính xác cao.
 Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán cụ thể như: vẽ
đồ thị, hình học giải tích, đại số tuyến tính, giải tích, phương trình vi phân, lý
thuyết số, dữ liệu rời rạc ….
 Thiết kế các đối tượng 3 chiều.
 Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các đường và các
mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tạo độ khác nhau.

 Tính toán trên các biểu thức đại số.
 Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại
học và sau đại học.
 Ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các ngôn ngữ
lập trình khác.
 Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học
tương tác trực tiếp.
 Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học.
 ………
1.2 Một số gói lệnh sử dụng trong bài
 Plots : vẽ đồ thị hàm số
Cú pháp:
Plots[display](a,b,c,…,insequence=true(false),options);
Plots[display](L,insequence=true(false),options);
Plots[display](A,options);
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 3
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
Plots[display](P,options);
Các tham số:
− a,b,c là các đồ thị riêng
− L : dãy (list) các đồ thị
− A: mảng một chiều hay mảng hai chiều các đồ thị
− P: đồ thị dưới dạng vận động
− insequence=true(false): nó cho phép hiện từng đồ thị trong dãy (list) theo trình
tự của dãy
− options: các tính chất cơ bản của lệnh vẽ như plot/option
 Plottools[translate](p,a,b) : lệnh tịnh tiến đồ thị
Lệnh này tác động lên đồ thị p cho kết quả là tịnh tiến đồ thị này đến toạ độ mới (a,b)
Cú pháp:
− Plottools[translate](p,a,b); dịch chuyển tịnh tiến trong 2D

− Plottools[translate](q,a,b,c); dịch chuyển tịnh tiến trong 3D
Các tham số:
− P,q: cấu trúc đồ thị cần tịnh tiến
− A,b,c :các số thực chính là các tọa độ mới
 Textplot: vẽ đồ thị 2D có chứa ký tự
Cú pháp:
Textplot(L,options);
Các tham số:
− L: danh sách hoặc tập hợp
− options: tham số tùy chọn
Chương 2: Ứng dụng cho một số bài toán tam giác
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 4
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
2.1 Bài toán tìm tọa độ trọng tâm của tam giác:
Chú thích: Trọng tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến trong tam giác
đó
Bài toán: cho tam giác ABC, biết tọa độ 3 đỉnh là A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
), C(x
C
, y
C
). Tìm tọa
độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Thuật toán:
− Gọi M(x
M
, y
M
), N(x
N
, y
N
) lần lượt là trung điểm của BC, AC. Tọa độ M, N thỏa mãn:
− AM là tiếp tuyến của tam giác ABC từ đỉnh A
− BN là tiếp tuyến của tam giác ABC từ đỉnh B
− Giả sử trọng tâm của tam giác ABC là G(xG, yG). G là giao điểm của AM và BN
− Khi đó tọa độ của G thỏa mãn:
− Dùng các gói lệnh plots, plottools, textplot để vẽ các đường AB, BC, AC, AM, BN và
các điểm M, N, G
Kết quả :
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(0,1), B(3.0), C(2,4) ta được :
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 5
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(3,0), B(1,1), C(5,3) ta được :
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 6
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
2.2 Bài toán tìm tọa độ trực tâm tam giác:
Chú thích: Trực tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường cao trong tam giác đó
Bài toán: Cho tam giác ABC, biết tọa độ 3 đỉnh là A(x
A
, y
A
), B(x

B
, y
B
), C(x
C
, y
C
). Tìm
tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Thuật toán:
− Lần lượt xác định các đường cao h1, h2 hạ từ A, Bcuar tam giác ABC. H là giao điểm
của h1, h2.
− Đường thẳng h1 đi qua điểm A và nhận vector BC làm vector pháp tuyến, suy ra
phương trình h1 có dạng:
(x
B
-x
C
)(x-x
A
)+(y
B
-y
C
)(y-y
A
)=0 (1)
− Đường thẳng h2 đi qua điểm B và nhận vector AC làm vector pháp tuyến, suy ra
phương trình h1 có dạng:
(x

A
-x
C
)(x-x
B
)+(y
A
-y
C
)(y-y
B
)=0 (2)
− H là trực tâm tam giác ABC, suy ra H là giao điểm của h1, h2. Khi đó tọa độ của H
thỏa mãn hệ 2 phương trình (1) và (2).
− Dùng các gói lệnh plots, plottools, textplot để vẽ các đường AB, BC, AC, h1, h2 và
các điểm M, N, H.
Kết quả :
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(0,0), B(4,0), C(2,3) ta được :
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 7
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(-2,-3), B(3,1), C(-3,5) ta được :

Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 8
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
2.3 Bài toán tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Chú thích: tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong
tam giác đó.
Bài toán: Cho tam giác ABC, biết tọa độ 3 đỉnh là A(x
A
, y

A
), B(x
B
, y
B
), C(x
C
, y
C
). Tìm
tọa độ tâm đường tròn nội tiếp G của tam giác ABC.
Thuật toán:
− Từ tọa độ 3 đỉnh A, B, C ta viết được phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.
− Gọi t1 là đường phân giác trong của góc BAC, suy ra t1 la đường phân giác của góc
tạo bởi 2 vector AB và AC.
− Nếu tích vô hướng của 2 vector AB và AC dương (tức góc BAC là góc nhọn) thì
phương trình của t1 có dạng:

− Nếu tích vô hướng của 2 vector AB và AC âm (tức góc BAC là góc tù) thì phương
trình của t1 có dạng:

− Làm tương tự ta cũng có phương trình tiếp tuyến t2 của goc ABC.
− G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi tọa độ của G thỏa mãn
phương trình của t1 và t2.
− Giải hệ 2 phương trình đường thẳng t1, t2 ta được tọa độ cần tìm của G. Giải hệ 2
phương trình t1 và BC ta thu được tọa độ điểm M là chân đường phân giác hạ từ A
xuông BC. Giải hệ 2 phương trinh t2 và AC ta được tọa độ điểm N là chân đường
phân giác hạ từ B xuống AC.
− Đường tròn nội tiếp tam giác ABC là đường tròn có tâm G, bán kính:
− Dùng các gói lệnh plots, plottools, textplot để vẽ các đường AB, BC, AC, t1, t2 và các

điểm M, N, G.
Kết quả :
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(0,0), B(5,1), C(3,5) ta được :
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 9
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
2.4 Bài toán tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Chú thích: tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của
tam giác đó.
Bài toán: Cho tam giác ABC, biết tọa độ 3 đỉnh là A(x
A
, y
A
), B(x
B
, y
B
), C(x
C
, y
C
). Tìm
tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC.
Thuật toán:
− Xác định các tọa độ trung điểm M, N của các cạnh BC, AC:
− Gọi h1, h2 lần lượt là các đường trung trực ứng với cạnh BC, AC
− H1 đi qua M và nhận vector BC làm vector pháp tuyến , suy ra phương trình của h1:
(x
B
- x
C

)(x - x
A
)+(y
B
- y
C
)(y - y
M
)=0 (1)
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 10
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
− H2 đi qua N và nhận vector AC làm vector pháp tuyến , suy ra phương trình của h2:
(x
A
- x
C
)(x - x
N
)+(y
A
- y
C
)(y - y
N
)=0 (2)
− Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn tâm H, bán kính:
− Dùng các gói lệnh plots, plottools, textplot để vẽ các đường AB, BC, AC, h1, h2 và
các điểm M, N, H
Kết quả :
 Cho tọa độ 3 đỉnh A(0,0), B(5,1), C(3,5) ta được :

 Cho tọa độ 3 đỉnh A(-5,-2), B(1,-1), C(-4,4) ta được :
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 11
GVHD: PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn

Tài liệu tham khảo:
 Bài giảng môn lập trình Symbolic – cao học khóa 6 của PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn.
 Hướng dẫn sử dụng Maple – Nguyễn Hữu Điển
 Lập trình tính toán - Nguyễn Hữu Điển
Trịnh Thị Thanh Nhàn – Cao học CNTT K6Trang 12