sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC





TRẦN THỊ LUYÊN


SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC





SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TRẦN THỊ LUYÊN


SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ


CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh



SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng Ngọc
Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa luận
này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán –
Lý – Tin, phòng Đào tạo, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên
trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi

thực hiện và hoàn thành khóa luận.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện khóa luận
Trần Thị Luyên










MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khoá luận 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Giả thiết khoa học 1
5. Đối tượng nghiên cứu 1
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khoá luận 2
8. Cấu trúc của khoá luận 2
PHẦN NỘI DUNG 3
Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC 3

1.1. Định nghĩa số phức 3
1.1. Dạng đại số của số phức 4
1.1.1. Xây dựng số
i
4
1.2.2. Các phép toán trên dạng đại số 4
1.1.2. Số phức liên hợp và môđun của số phức 5
1.2. Dạng lượng giác của số phức 8
1.2.1. Biểu diễn lượng giác của số phức 8
1.2.2. Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức 8
1.3. Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức 9
1.3.1. Căn bậc n của số phức 9
1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức 10
Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 11
2.1. Ứng dụng trong phương trình 11
2.1.1. Phương trình bậc hai 11
2.1.1.1. Giải phương trình bậc hai 11
2.1.1.2. Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai 13
2.1.2. Phương trình bậc ba 15

2.1.3. Phương trình bậc bốn 21
2.1.3.1. Phương trình bậc bốn dạng
42
z az bz c 0   
21
2.1.3.2. Phương trình bậc bốn dạng
4 3 2
z az bz cz d 0.    
25
2.1.3.3. Phương trình hồi quy 27

2.2. Ứng dụng trong việc giải hệ phương trình 30
2.3. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức 38
2.4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa
k
n
C
42
2.4.1. Khai triển
n
(1 x)
, cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển
trực tiếp các số phức 42
2.4.2. Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là
những số phức thích hợp 46
2.4.3. Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị 49
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53


1
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khoá luận
Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương
trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học phát triển mạnh mẽ và
giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc

Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng
không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số
phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử
dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Đại số là một vấn đề
khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến
thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài
liệu ứng dụng số phức trong Đại số thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một
vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.
Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và trên cơ
sở đó tìm hiểu sâu hơn một số ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán
Đại số, do đó chúng tôi đã chọn khoá luận: “Sử dụng số phức vào giải một số
bài toán trong Đại số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cách xây dựng trường số phức, một số khái niệm, tính chất cơ
bản của số phức. Từ đó nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số bài
toán trong Đại số nhằm giúp chúng ta thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức
trong Toán học nói chung và trong Đại số nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một
số bài toán trong Đại số, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải
cho từng dạng cụ thể, sử dụng các kết quả của chúng vào giải một số bài toán
Đại số ở phổ thông bằng nhiều phương pháp khác nhau.
4. Giả thiết khoa học
Nếu biết cách phân loại các bài toán trong Đại số và sử dụng số phức hợp
lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán Đại số một cách đơn giản và dễ dàng hơn.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến số phức, xây dựng trường số
phức, khái niệm, tính chất, các dạng biểu diễn của số phức.

2

- Nghiên cứu các bài toán Đại số có thể sử dụng số phức để giải được.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
7. Đóng góp của khoá luận
Khoá luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên
chuyên ngành Toán và Giáo viên phổ thông.
8. Cấu trúc của khoá luận
Khoá luận gồm phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần nội dung bao gồm các chương sau:
Chương 1: Xây dựng trường số phức.
Chương 2: Sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số.















3
PHẦN NỘI DUNG

Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC
1.1. Định nghĩa số phức
Xét tập
2
x {(x,y)| x, y }.  

Hai phần tử
2
1 1 2 2
(x ;y );(x ;y )
được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu
1 2 1 2
x x ;y y
. Ta xây dựng phép toán trong
2
như sau:

2
x {(x,y)| x, y }.  

2
1 1 1 2 2 2
z (x ;y );z (x ;y )   
.
Phép cộng:
1 2 1 2 1 2
z z (x x ;y y )   

Phép nhân:
1 2 1 2 1 2

z z (x x ;y y )   

Định nghĩa 1.1.1. Tập
2
cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa
như trên gọi là tập số phức , phần tử
(x;y)
gọi là một số phức.
Định nghĩa 1.1.2.
( , ,.)
là một trường.
Chứng minh
1 1 1 2 2 2 3 3 3
z (x ;y ); z (x ;y ); z (x ;y );z (x;y)     
, ta có:
(i)

1 2 2 1
z z z z  
.
(2i)
1 2 3 1 2 3
(z z ) z z (z z )    

(3i) (0;0) :z z z      
.
(4i) z ( x; y) :z ( z) ( z) z            
.
(5i)

1 2 2 1
z z z z
.
(6i)
1 2 3 1 2 3
(z z )z z (z z )

(7i)

1 phần tử
1 (1;0) :1.z z.1 z   

(8i)
11
2 2 2 2
xy
z 0; z ; :z.z 1
x y x y


      



.
(9i)
1 2 3 1 2 1 3
z (z z ) z z z z  
.
Vậy

( , ,.)
là một trường.


4
1.1. Dạng đại số của số phức
1.1.1. Xây dựng số
i

Xét tương ứng
 
f : x 0


x f(x) (x;0)

Ta thấy
f
là một ánh xạ và là một song ánh.
Mặt khác, ta có:
(x;0) (y;0) (x y;0)  


(x;0)(y;0) (x;y) 0
.
Vì
f
là một song ánh nên ta có thể đồng nhất
(x;0) x
.

Đặt
i (0;1)
khi đó ta có

z (x;y) (x;0) (0;y) (x;0) (0;y)(0;1) x yi
(x;0) (0;1)(0;y) x iy
      
   

Mỗi số phức
z
tuỳ ý thì
z (x;y)
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
z x yi ( x;y )   
và trong đó
2
i1
.
Biểu thức
x yi
gọi là dạng đại số của số phức
z (x;y)
.
Vì vậy ta có thể viết
 
2
x yi | x,y ,i 1   
.
Kí hiệu số phức

z x yi ( x;y )   
.
Trong đó:
x Rez
gọi là phần thực của số phức
z
.

y Imz
gọi là phần ảo của số phức
z
.

i
gọi là đơn vị ảo.
Nếu số phức có phần thực
x0
gọi là thuần ảo.
Hai số phức
12
z ,z
gọi là bằng nhau nếu
12
Rez Rez
và
12
Imz Imz
.
Số phức
z

nếu và chỉ nếu
Imz 0
.
Số phức
z\
nếu
Imz 0
.
1.2.2. Các phép toán trên dạng đại số
 
2
x yi | x,y ,i 1   

1 1 1 2 2 2
z (x y i); z (x y i)     
, ta có:

5
(i)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i,        


1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i,        

(ii)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

z z (x y i)(x y i) (x x y y ) (x y x y )i      
,
(iii)
1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
z x y i x x y y x y x y
i
z x y i x y x y
  
  
  
; trong đó
22
22
x y 0
.
1.1.2. Số phức liên hợp và môđun của số phức
Định nghĩa 1.2.2. Cho số phức
z x yi ( x;y )   
số phức có dạng
x yi

được gọi là số phức liên hợp của số phức
z
, kí hiệu
z
, nghĩa là
z x yi
.

Mệnh đề 1.2.3.
1.
z z z .  

2.
z z.

3.
z.z
là số thực không âm.
4.
1 2 1 2
z z z z  
.
5.
1 2 1 2
z .z z .z
.
6.
11
z (z)


;
*
z
.
7.
*
11

2
2
2
zz
,z
z
z

  


.
Chứng minh
1. Ta có
z z x yi x yi 2yi 0 y 0 z x z .            

Vậy
z z z .  

2. Ta có
z x yi z x yi z     
. Vậy
z z.

3. Ta có
2 2 *
z.z (x yi)(x yi) x y     
.
Vậy
z.z

là số thực không âm.
4. Ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z (x x ) (y y )i (x x ) (y y )i        


1 1 2 2 1 2
(x y i) (x y i) z z     


6
Vậy
1 2 1 2
z z z z  
.
5. Ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
z .z (x x y y ) i(x y x y ) (x x y y ) i(x y x y )       


1 1 2 2 1 2
(x y i)(x y i) z .z   
.
Vậy
1 2 1 2
z .z z .z
.
6. Ta có
*
z

,
 
1
1
1 1 1
z. 1 z. 1 1 z. 1 z z .
z z z



       



Vậy
11
z (z)


,
*
z
.
7. Ta có
*
2
z

11
1 1 1

2 2 2
22
z 1 1 1 z
z . z . z .
z z z
zz
   
   
   
   
.
Vậy
*
11
2
2
2
zz
,z
z
z

  


.
Định nghĩa 1.2.4. Cho số phức
z x yi ( x;y )   
, khi đó
22

xy
gọi là
môđun của số phức
z
, kí hiệu
22
z x y
.
Mệnh đề 1.2.5.
1.
z Rez z ; z Imz z .     

2.
z 0; z 0 z 0.   

3.
z z z  
.
4.
2
z.z z
.
5.
1 2 1 2
z .z z . z

6.
1 2 1 2 1 2
z z z z z z    
.

7.
1
1*
z z , z


  

8.
*
1
1
2
22
z
z
,z
zz
  
.
9.
1 2 1 2 1 2
z z z z z z    
.
10.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
z z z z 2(z z )    
.

7
Chứng minh
1. Ta có
2 2 2 2
x y x x y    
(luôn đúng).

2 2 2 2
x y y x y    
(luôn đúng).
Vậy
z Rez z ; z Imz z .     

2. Ta luôn có
22
x y 0 z 0.   

22
z 0 x y 0 x y 0 z 0.        

Vậy
z 0; z 0 z 0.   

3. Ta luôn có
z z z  
(theo định nghĩa).
4. Ta có
2 2 2 2 2 2 2
z.z x y . x ( y) x y z      
. Vậy

2
z.z z
.
5. Ta có
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
z .z (z .z )(z .z ) (z .z )(z .z ) z . z  

Vậy
1 2 1 2
z .z z . z

6.
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
z z (z z ).(z z ) (z z ).(z z ) z z z z z z          

Mặt khác:
1 2 1 2 1 2
z .z z .z z .z


2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z .z z .z 2Re(z z ) z .z 2 z . z .    


 
2
2

1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z       
.
Mặt khác
1 1 2 2 1 2 2
z z z z z z z     

1 2 1 2
z z z z   
.
Vậy
1 2 1 2 1 2
z z z z z z    
.
7. Ta có
*
z
,
1
1
1 1 1 1
z. 1 z . 1 z z
z z z z


      
.
Vậy
1
1*

z z , z


  

8. Ta có
*
2
z
,
1
1
1
1
1 1 2 1 2
2 2 2
z
z1
z . z .z z . z .
z z z


   

Vậy
*
1
1
2
22

z
z
,z
zz
  


8
9. Ta có
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
z z z z z z z z z z z .         

Mặt khác, ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z z ( z ) z z z z z z z z .            

Vậy
1 2 1 2 1 2
z z z z z z    
.
10. Ta có
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z (z z )(z z ) (z z )(z z )        


2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
z z .z z .z z z z .z z .z z       

 
22
12
2 z z .

Vậy
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
z z z z 2(z z )    
.
1.2. Dạng lượng giác của số phức
1.2.1. Biểu diễn lượng giác của số phức
Trên mặt phẳng phức ta có hệ thức:
z x yi r(cos isin )    
(1)
Trong đó:
Rez x rcos  
,
Imz y rsin  
.

r
là độ dài bán kính véctơ
22
r z zz x y   
,


là góc cực được gọi là argument của

z
,
argz
.
Biểu thức (1) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức
z x yi
.
1.2.2. Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức
Cho hai số phức
12
z ;z 0
có biểu thức lượng giác
1 1 1 1
z r (cos isin )   
và
2 2 2 2
z r (cos isin )   
, khi đó:
Hai số phức
12
z ;z
gọi là bằng nhau nếu
12
21
rr
k2 (k )



     


.
Tích hai số phức
12
z ;z
là một số phức được xác định bởi
1 2 1 2 1 2 1 2
z z rr [cos( ) isin( )]       
.
Thương hai số phức
12
z ;z
là một số phức được xác định bởi
11
1 2 1 2
22
zr
[cos( ) isin( )]
zr
       
.

9
Cho
z r(cos isin )  
;
n
, khi đó ta có

nn

z r (cos n isinn )  
. (*)
Khi
r1
, ta có
z cos isin   
. (**)
Công thức (*) và (**) được gọi là công thức Moivre.
Ngoài ra,
z r(cos isin )  
,
z0
có thể được biểu diễn dưới dạng
i
z re


gọi là biểu diễn số phức dưới dạng mũ.
Nếu
1
i
11
z re


và
2
i
22
z r e



thì ta có:

11
i( )
1 2 1 2
z z rr e
 

.

11
22
zr
zr

11
i( )
e
 
,
2
r0
.
1.3. Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức
1.3.1. Căn bậc n của số phức
Định nghĩa 1.4.1. Cho số phức
w 0; n ;n 2  
. Khi đó nghiệm

z
của
phương trình
n
z w 0
là căn bậc n của số phức
w
.
Mệnh đề 1.4.2. Cho số phức
w R(cos isin ); R 0.     
Khi đó căn bậc n
của số phức
w
gồm n số phân biệt xác định bởi

n
k
k2 k2
z R cos isin , k 0,1, ,n 1.
nn
     

   



Chứng minh
Xét dạng lượng giác của số phức
z r(cos isin )  
.

Theo công thức Moivre,
n
zw
, nghĩa là

n
r (cos n isinn ) R(cos isin )    


n
n
rR
rR
k2
n k2 ,k
,k
n







  
     
  




Khi đó, ta có
n
k2 k2
z R cos isin , k
nn
     

  


.
Lấy
k 0,1, ,n 1
, ta được n căn bậc n phân biệt của
w
, nên nghiệm của
phương trình
n
z w 0
có dạng

10

n
k
k2 k2
z R cos isin , k 0,1, ,n 1.
nn
     


   



Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm của phương trình
n
z 1 0
gọi là căn bậc n của đơn vị.
Ta có căn bậc n của đơn vị là
k
2k 2k
w cos isin , k 0,1, ,n 1.
nn

   

Kí hiệu tập các căn bậc n của đơn vị là
2 n 1
n
U {1,w,w , , w }.



1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức
Định nghĩa 1.4.4. Điểm
M(x;y)
trong mặt phẳng
Oxy
được gọi là điểm biểu

diễn hình học của số phức
z x yi
. Số phức
z x yi
gọi là toạ độ phức của
điển
M(x;y)
.
Kí hiệu
M(z)
để chỉ toạ độ phức của điểm
M
là
z
.
Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ gọi là mặt phẳng phức.
Ngoài ra, trên mặt phẳng phức ta đồng nhất số phức
z x yi
với
v OM, M(x;y)
.
Định nghĩa 1.4.5. Cho số phức
z x yi
có biểu diễn hình học là
M(z)
khi đó
khoảng cách từ
M(z)
đến
O

là môđun của số phức
z
.
Xét hai số phức
1 1 1 2 2 2
z x y i; z x y i   
và các véc tơ tương ứng
1 1 1
v x .i y .j
;
2 2 2
v x .i y .j
, khi đó ta có

1 2 1 2 1 2
z z (x x ) (y y )i    


1 2 1 2 1 2
v v (x x )i (y y )j.    


1 2 1 2 1 2
z z (x x ) (y y )i    
.

1 2 1 2 1 2
v v (x x )i (y y )j.    

Khoảng cách giữa hai điểm

1 1 1 2 2 2
M (x ;y ); M (x ;y )
bằng môđun của số
phức
12
zz
bằng độ dài của hai véctơ
12
vv
, nghĩa là
22
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
M M z z v v (x x ) (y y )       
.
Nếu

, thì
z x yi    
tương ứng với véctơ
v xi yj    
.


11
Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ
2.1. Ứng dụng trong phương trình
2.1.1. Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai dạng
2
az bz c 0( a,b,c ,a 0)     

. (1)
Phương pháp giải
Ta có
2
b 4ac  


0
thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt
1,2
bi
z
2a
  



0
thì phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
b
z
2a
  



0
thì phương trình (1) có nghiệm kép
12

b
zz
2a



2.1.1.1. Giải phương trình bậc hai
a) Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
z (1 i)z 6 3i 0    
.
Lời giải
Ta có
24 10.i   
, nên

có hai căn bậc hai.
Giả sử
x yi; x,y    
là căn bậc hai của

.
Ta có
2 2 2
x y 2xyi 24 10i        


2
42

2
22
2
25
y 24
y 24y 25 0
y
x y 24
5
x
5
xy 5
x
y
y
x1
y 25
y5
3
x1
y
x
y5

  
   


  



  
  


































Suy ra,

có hai căn bậc hai là
1 5i; 1 5i  
1
2
z 3i
z 1 2i






(thỏa mãn điều kiện).

12
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
12
z 3i; z 1 2i  
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
4z 3 7i
z 2i

zi



. (1)
Lời giải
Phương trình (1)
2
4z 3 7i (z i)(z 2i)
z (4 3i)z 1 7i 0
z i 0
zi
    
    









Giải phương trình
2
z (4 3i)z 1 7i 0    
. Ta có
3 4i  
, nên


có hai
căn bậc hai, giả sử
x yi; x,y    
là căn bậc hai của

.
Ta có
2 2 2
x y 2xyi 3 4i       


2
42
2
22
2
4
y3
y 3y 4 0
y
x y 3
2
x
2
xy 2
x
y
y
x2
y1

y1
2
x2
y
x
y1


  





  
  




































có hai căn bậc hai là
2 i; 2 i  
1
2
z 3 i
z 1 2i








Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
12
z 3 i; z 1 2i   
.
b) Một số bài tập có hướng dẫn
Bài 1. Giải phương trình
2
z (1 3i)z 2(1 i) 0    
.
Hướng dẫn
Ta có
2i
, nên

có hai căn bậc hai là
1 i; 1 i  


1
2
z 2i
z 1 i





  


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
12
z 2i; z 1 i   
.
Bài 2. Giải phương trình
2
z 2z 1 2i 0   
.


13
Hướng dẫn
Ta có
2i  
, nên

có hai căn bậc hai là
1 i; 1 i  


1
2
z 2 i
zi








Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
12
z 2 i; z i  
.
2.1.1.2. Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai
a) Một số ví dụ
Ví dụ 1. Gọi
12
z ;z
là các nghiệm của phương trình
2
z 2 3iz 4 0  
(1).
Tính
22
12
A z z
.
Lời giải
Phương trình (1) có
1
, nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt
12
z 1 3i; z 1 3i    
.

Ta có
22
1 1 1
z 1 3i z 2 2 3i z 16       


22
2 2 2
z 1 3i z 2 2 3i z 16       


22
12
A z z 32   
.
Vậy
A 32
.
Ví dụ 2. Gọi
12
z ;z
là các nghiệm của phương trình
2
z (3 i)z 8 i 0    
(1)
Tính
44
12
A z z
.

Lời giải
Phương trình (1) có
24 10i   
, nên

có hai căn bậc hai.
Giả sử
x yi; x,y    
là căn bậc hai của

.
Ta có
2 2 2
x y 2xyi 24 10i        


2
42
2
22
25
y 24
y 24y 25 0
y
x y 24
5
x
5
xy 5
x

y
y

  
   


  


  
  










14

2
x1
y 25
y5
3
x1

y
x
y5

























Suy ra,


có hai căn bậc hai là
1 5i; 1 5i  
1
2
z 2 3i
z 1 2i







Ta có
11
z 2 3i z 13   


22
z 1 2i z 5   

44
44
12
A z z ( 13) ( 5) 194     
.
Vậy
A 194
.
b) Một số bài tập có hướng dẫn

Bài 1. Gọi
12
z ;z
là các nghiệm của phương trình
2
z 2z 10 0  
(1). Tính
a)
22
12
A z z
b)
22
12
B z z

Hướng dẫn
Giải phương trình (1) ta được
12
z 1 3i;z 1 3i     
.
a)
22
12
A z z
22
( 1 3i) ( 1 3i)     
(*)
Biến đổi biểu thức (*) ta được
A 16

.
b) Ta có
12
z 10; z 10
thay vào
22
12
B z z
ta được
B 20
.
Bài 2. Gọi
12
z ;z
là các nghiệm của phương trình
2
z (1 4i)z 5 5i 0    
(1).
Tính giá trị của biểu thức
12
A z z
.
Hướng dẫn
Giải phương trình (1) ta được
12
z 1 3i; z 2 i    
.
Ta có
11
z 1 3i z 10    

22
z 2 i z 5   

12
A z z 10 5    

Vậy
A 10 5
.

15
2.1.2. Phương trình bậc ba
Phương trình bậc ba dạng
32
z az bz c 0   
. (1)
Phương pháp giải
Đặt
aa
y z z y
33
    
. Khi đó (1) trở thành

32
3
32
23

3
a a a
y a y b y c 0
3 3 3
1 2a ab
y a y by c 0
3 27 3
a 2a ab
y b y c 0
3 27 3
     
      
     
     
      

      




3
y py q 0   
. (2)
Trong đó
23
a 2a ab
p b ; q c
3 27 3
    

.
(Phương trình (2) là phương trình bậc ba suy biến).
Đặt
y u v
(3), khi đó phương trình (2) trở thành

3
33
(u v) p(u v) q 0
u v (u v).(3uv p) q 0.
    
      

Chọn
3uv p 0
thì
33
u v q  
, nên ta có
33
3
33
u v q
p
uv
27
  








Ta có
33
u ; v
là nghiệm của phương trình
3
2
p
t qt 0.
27
  
(4)
Phương trình (4) có
23
qp
'
4 27
  
.
Trường hợp 1.
'0
, ta có:

2 3 2 3
33
q q p q q p
u ; v

2 4 27 2 4 27
       
(5)
Khi đó ba giá trị của u và ba giá trị của v thoả mãn phương trình (5), ta có

16

23
3
1
21
31
q q p
u
2 4 27
13
u u . i
22
13
u u . i
22


   




  








  




và
23
3
1
21
31
q q p
v
2 4 27
13
v v . i
22
13
v v . i
22


   





  







  





Thay ba cặp
(u;v)
ở trên vào biểu thức (3) ta có

1 1 1
2 2 2 1 1
3 3 3 1 1
y u v
1 3 1 3
y u v u i v i
2 2 2 2
1 3 1 3
y u v u i v i

2 2 2 2





   

       
   

   


   

       
   

   


Hay

1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
y u v
13
y (u v ) i (u v )

22
13
y (u v ) i (u v )
22





    



    



Mặt khác
a
zy
3

, nên ta có

1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
a
z u v
3

1 3 a
z (u v ) i (u v )
2 2 3
1 3 a
z (u v ) i (u v )
2 2 3

  



     



     



Trường hợp 2.
'0
, ta có:

2 3 2 3
33
q q p q q p
u i ; v i
2 4 27 2 4 27
         
(6)

17
Khi đó ba giá trị của u và ba giá trị của v thoả mãn phương trình (6), ta có

23
3
1
21
31
q q p
ui
2 4 27
13
u u . i
22
13
u u . i
22


    




  








  




và
23
3
1
21
31
q q p
vi
2 4 27
13
v v . i
22
13
v v . i
22


    





  







  





Thay ba cặp
(u;v)
ở trên vào biểu thức (3) ta có

1 1 1
2 2 2 1 1
3 3 3 1 1
y u v
1 3 1 3
y u v u i v i
2 2 2 2
1 3 1 3
y u v u i v i
2 2 2 2






   

       
   

   


   

       
   

   




1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
y u v
13
y (u v ) i (u v )
22
13
y (u v ) i (u v )

22





    



    



Mặt khác
a
zy
3

, nên ta có

1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
a
z u v
3
1 3 a
z (u v ) i (u v )
2 2 3

1 3 a
z (u v ) i (u v )
2 2 3

  



     



     



Vậy phương trình đã cho luôn có ba nghiệm
1 2 3
z ;z ; z
.
a) Ví dụ. Giải phương trình sau

32
z 5z 7z 2 0   
(1)

18
Lời giải
Đặt
55

y z z y
33
    
. Khi đó (1) trở thành

32
5 5 5
y 5 y 7 y 2 0
3 3 3
     
      
     
     


3
4 11
y y 0
3 27
   
(2)
Đặt
y u v
(3), khi đó phương trình (2) trở thành

3
33
4 11
(u v) (u v) 0
3 27

4 11
u v (u v).(3uv ) 0.
3 27
    
      

Chọn
4
3uv 0
3

thì
33
11
uv
27
  
, nên ta có
33
33
11
uv
27
64
uv
729

  









Ta có
33
u ; v
là nghiệm của phương trình
2
11 64
t t 0.
27 729
  
(4)
Phương trình (4) có
2
5 5i
'
108 108

  


phương trình (4) có hai nghiệm là

33
11 5 11 5
u i ; v i

54 108 54 108
     
(5)
Khi đó ba giá trị của u và ba giá trị của v thoả mãn phương trình (5), ta có

3
1
21
31
11 5
ui
54 108
13
u u . i
22
13
u u . i
22


  




  








  




và
3
1
21
31
11 5
vi
54 108
13
v v . i
22
13
v v . i
22


  




  








  





Thay ba cặp
(u;v)
ở trên vào biểu thức (3) ta có

19

1 1 1
2 2 2 1 1
3 3 3 1 1
y u v
1 3 1 3
y u v u i v i
2 2 2 2
1 3 1 3
y u v u i v i
2 2 2 2






   

       
   

   


   

       
   

   




1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
y u v
13
y (u v ) i (u v )
22
13

y (u v ) i (u v )
22





    



    



Mặt khác
5
zy
3

, nên ta có

1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
5
z u v
3
1 3 5
z (u v ) i (u v )

2 2 3
1 3 5
z (u v ) i (u v )
2 2 3

  



     



     



Trong đó
33
11
11 5 11 5
u v i i
54 108 54 108
      
;

33
11
11 5 11 5
u v i i

54 108 54 108
      

Vậy phương trình đã cho luôn có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
z ;z ; z
.
b) Một số bài tập có hướng dẫn
Bài 1. Giải phương trình sau:

32
z 3z 2z 1 0   
(1)



20
Hướng dẫn
Đặt
y z 1 z y 1    
, thay và phương trình (1) sau đó biến đổi ta được
phương trình:
3
y y 1 0  
(2)
Đặt
y u v
, khi đó phương trình (2) trở thành:

3

(u v) (u v) 1 0    
(3)
Giải phương trình (3) ta được:
3
1
3
2
3
1
1 3 3 23
u
2
3
1 3 3 23 1 3
ui
2 2 2
3
1 3 3 23 1 3
ui
2 2 2
3










  








  




;
3
1
3
2
3
3
1 3 3 23
v
2
3
1 3 3 23 1 3
vi
2 2 2
3
1 3 3 23 1 3

vi
2 2 2
3









  








  






1 1 1
2 1 1 1 1

3 1 1 1 1
z u v 1
13
z (u v ) i (u v ) 1
22
13
z (u v ) i (u v ) 1
22

  



      



     



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là:
1 2 3
z ;z ; z
.
Bài 2. Giải phương trình sau:

32
z 3z 2z 1 0   
(1)

Hướng dẫn
Đặt
y z 1 z y 1    
, thay và phương trình (1) sau đó biến đổi ta được
phương trình:
3
y y 1 0  
(2)
Đặt
y u v
, khi đó phương trình (2) trở thành:

3
(u v) (u v) 1 0    
(3)
Giải phương trình (3) ta được: