Tiểu luận DẠY HỌC TƯƠNG TÁC VÀ PHẦN MỀM MAPLE

Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
LỜI CẢM ƠN 2
LỜI NÓI ĐẦU 3
PHẦN I: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM GIẢI TOÁN MAPLE 4
1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ DẠY HỌC TƯƠNG TÁC VÀ PHẦN MỀM MAPLE 4
PHẦN II: TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTOR VÀ CÁC BÀI TOÁN 5
1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
2. CÁC HÀM CƠ BẢN 5
PHẦN III: ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN 10
1. ĐỊNH NGHĨA 10
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT PHẲNG 13
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG 17
PHẦN IV: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 21
1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 21
2. HƯỚNG PHÁT TRIỂN 21
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO 22
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 1
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, người
đã dạy chúng em môn học “Lập trình symbolic”. Những kiến thức Thầy truyền
đạt đã giúp em lần đầu tiên được tiếp cận một cách đầy đủ về các kiến thức về
phương pháp lập trình symbolic trong trí tuệ nhân tạo và hiểu được các vấn đề ứng
dụng của nó, đặc biệt đã giúp cho em biết được phương pháp xử lí các bài toán
bằng phần mềm maple có ứng dụng rất cao trong ngành toán học.
Vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên tiểu luận không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy đề tiểu luận
được hoàn thiện.

Xin chúc Thầy cùng các Thầy cô trong Trường Đại học Công nghệ Thông
tin - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh lời chúc sức khoẻ, hạnh phúc và
đạt được nhiều thành công trong sự nghiệp nghiên cứu và đào tạo nguồn nhân lực
CNTT cho đất nước Việt Nam.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 2
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
LỜI NÓI ĐẦU
Toán đã trở nên rất cần thiết và trở thành môn bắt buộc cho giáo dục từ mầm
non cho đến đại học. Một số trường, một số ngành môn toán còn là môn bắt buộc
cho cao học. Ngành toán hiện nay rất phát triển với rất nhiều môn, tuy nhiên để có
thể hiểu sâu sắc hoặc phát triển thêm thì đòi hỏi chúng ta phải rất vững vàng những
kiến thức toán nền tảng.
Toán phổ thông là một trong những nền tảng quan trọng nhất. Trong lĩnh
vực toán phổ thông lại được chia nhỏ thành nhiều 3 lớp. Năm đầu tiên lớp 10,
chúng ta sẽ học những kiến thức căn bản mà đa phần là chúng ta cảm thấy không
dùng gì, ở đâu… Năm thứ hai lớp 11, chúng ta tiếp cận với môn học mới và học
cao hơn những môn lớp 10, tuy nhiên tới đây hầu như các bạn không còn nhớ
nhiều kiến thức lớp 10. Năm cuối cùng lớp 12, năm này rất là quan trọng vì các
bạn sẽ được học những môn đòi kiến thức của nhiều môn của năm 10 và 11 rất
vững vàng. Và có nhiều môn như vậy chẳng hạn như đại số, giải tích, hình học
không gian, hình học giải tích,…
Môn hình học không gian không như những môn học khác vì môn này đòi
hỏi ta phải biết tưởng tượng, nắm bắt hình tính ca và tư duy logic thì mới giải
quyết được vấn đề. Chính vì vậy mà môn này trở nên khó với đa phần các bạn.
Nhưng hiện nay với sự phát triển mạnh mẽ của ngành công nghệ thông tin, các kỹ
sư phần mềm đã sáng tạo ra một phần mềm có để giải quyết được các bài toàn
phức tạp. Đó là phần mềm “Maple”. Và sau khi học xong môn học Symbolic do
thầy Đỗ Văn Nhơn giảng dạy, em đã mạnh dạn làm bài báo cáo tìm hiểu về phần
mềm giải toán maple và giới thiệu một số bài toán hình học không gian giải tích

minh họa được giải trên phần mềm maple.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 3
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
PHẦN I: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM GIẢI TOÁN MAPLE
1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ DẠY HỌC TƯƠNG TÁC VÀ PHẦN MỀM
MAPLE
- Dạy học tương tác là xu hướng mới của giáo dục hiện nay. Hình thức dạy học
này mang đến cho người học một môi trường lý tưởng để kiến tạo và tự chiếm lĩnh kiến
thức thông qua các họat động được thiết kế bởi người dạy. Người học có điều kiện phát
triển mạnh mẽ tính chủ động, tư duy sáng tạo và các kỹ năng sử dụng những công cụ hiện
đại của khoa học công nghệ, đáp ứng nhu cầu của thực tiễn đối với sản phẩm đào tạo.
- Trong các hình thức dạy học tương tác, sử dụng phần mềm và các phòng học đa
chức năng có nối mạng internet hoặc mạng nội bộ tỏ ra có nhiều ưu điểm và được nhiều
nước trên thế giới quan tâm theo đuổi. Kết hợp với các hình thức seminar và thực hiện
các tiểu luận theo nhóm, dạy học tương tác tạo ra sự phát triển toàn diện và nâng cao chất
lượng giảng dạy.
- Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa hình học
mạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc. (), ra đời năm
1991, đã phát triển đến phiên bản 11 (đến 4/2007). Maple chạy trên tất cả các hệ điều
hành, có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng. Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng
nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán
phổ thông và đại học. Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều nước trên thế giới lựa chọn
sử dụng Maple trong dạy-học toán tương tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển
của giáo dục.
- Các tính năng cơ bản của Maple:
Có thể nêu vắn tắt các chức năng cơ bản của Maple như sau:
- Là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số;
- Có thể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại
học và sau đại học;

- Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động
của các đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác nhau;
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 4
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
- Một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các
ngôn ngữ lập trình khác;
PHẦN II: TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTOR VÀ CÁC BÀI TOÁN.
1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vector
Được tạo từ 2 điểm bất kỳ không trùng nhau.
Cho
( )
1 2 3
A a ,a ,a
và
( )
1 2 3
B b ,b ,b
thì
( )
1 1 2 2 3 3
AB b a ,b a , b a
= − − −
uuur
Ví dụ Cho
( )
A 1,1,1
và
( )

B 2,1, 4
thì
( )
AB 1,0,3
=
uuur
.
Hàm thiết lập: TaoVector(điểm, điểm).
1.2. Modul vectorp
Độ là hình học của vector đó.
Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a
=
r
thì
2 2 2
1 2 3
a a a a
= + +
r
.
Hàm thiết lập: Modul(vector).
1.3. Tổng 2 vector
Tổng theo từng thành phần.
Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a

=
r
và
( )
1 2 3
b b ,b ,b
=
r
thì
( )
1 1 2 2 3 3
a b a b ,a b ,a b
+ = + + +
r r
.
Hàm thiết lập: TongVector(vector, vector).
2. CÁC HÀM CƠ BẢN
2.1. Tích vô hướng 2 vector
Tổng của tích từng thành phần.
Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a
=
r
và
( )
1 2 3
b b ,b ,b
=

r
thì
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b
= + +
r r
.
Hàm thiết lập: TichVoHuong(vector, vector ).
2.2. Tích hữu hướng 2 vector
Là một vector vuông góc với từng vector thành phần, có phương được xác định
theo nguyên tắc mở nút chai.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 5
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>

Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b ,b ,b
= =
r r

và
( )
1 2 3
c c ,c ,c
=
r
thì
( )

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
a,b a b a b ,a b a b ,a b a b
 
= − − −
 
r r
Hàm thiết lập: TichHuuHuong(vector, vector).
2.2. Cos góc tạo bởi 2 vector
Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a
=
r
và
( )
1 2 3
b b ,b ,b
=
r
thì
( )
a.b
cos a, b
a . b
=
r r
r r
r r
Chú ý : cos âm, dương tùy ý.

Hàm thiết lập: CosGoc(vector, vector).
2.3. Sin góc tạo bởi 2 vector
Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a
=
r
và
( )
1 2 3
b b ,b ,b
=
r
thì
( )
a, b
sin a,b
a . b
 
 
=
r r
r r
r r
Chú ý: sin luôn dương.
Hàm thiết lập: SinGoc(vector, vector).
2.4. Hai vector cùng phương
Hai vector cùng phương khi tỉ lệ từng thành phần bằng nhau.
Cho

( )
1 2 3
a a ,a ,a
=
r
và
( )
1 2 3
b b ,b ,b
=
r
.
a, b
r r
được gọi là cùng phương nếu và chỉ nếu
3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
= =
.
Suy ra 2 vector không cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một thành phần có tỉ lệ
không bằng các thành phần khác.
Hàm thiết lập: KiemTra2VectorCungPhuong(vector, vector).
2.5. Ba vector đồng phẳng
3 vector được gọi là đồng phẳng nếu tích vô hướng của vector thứ 3 với vector
hữu hướng của vector thứ 1 và thứ 2.
Cho

a,b
r r
và
c
r
đồng phẳng khi và chỉ khi
a. b,c 0
 
=
 
r r r
.
Chú ý: đúng với 3 vector bất kỳ.
Hàm thiết lập: KiemTra3VectorDongPhang(vector, vector, vector).
2.6. Ba điểm thẳng hàng
3 điểm thẳng hàng khi và chỉ khi 2 vector chung gốc cùng phương.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 6
A I B
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Cho A, B, C thẳng hàng khi vào chỉ khi
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
.
Chú ý: đúng với 2 vector bất kỳ cùng gốc.
Hàm thiết lập: KiemTra3DiemThangHang(điểm, điểm, điểm).
3. CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

3.1. Điểm chia vector theo tỉ số k
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x ,y , z
và
k
∈
¡
. Xác định điểm M sao cho
MA
k
MB
=
uuuur
uuur
.
Gọi
( )
M M M
M x ,y ,z
là điểm cần tìm.
Ta có
MA kMB
=
uuuur uuur

( ) ( )
A M A M A M B M B M B M
x x , y y ,z z k x x , y y ,z z⇔ − − − = − − −
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
1 k
y ky
y
1 k
z kz
z
1 k
−

=

−

−

⇔ =

−


−

=

−

Hàm thiết lập: DiemTheoTiVector(điểm, điểm, số).
3.2. Trung điểm của đoạn thẳng
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
và
( )
B B B
B x ,y , z
. Xác định trung điểm AB.
Ta có
( )
I I I
I x , y ,z
là trung điểm AB
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x

2
y y
y
2
z z
z
2
+

=


+

⇔ =


+

=



Hàm thiết lập: TrungDiem(điểm, điểm).
3.3. Trọng tâm tam giác
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,

( )
B B B
B x ,y , z
và
( )
C C C
C x ,y , z
. Xác định trọng tâm của
ABC
∆
.
Ta có
( )
G G G
G x , y ,z
là trọng tâm
ABC
∆
GA GB GC 0
⇔ + + =
uuur uuur uuur r
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 7
A
B C
A
Báo cáo chun đề <Lập trình Symbolic>
A B C
G
A B C

G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3

+ +
=


+ +

⇔ =


+ +

=


Hàm thiết lập TrongTamTamGiac(điểm, điểm, điểm)
.
3.4. Trực tâm tam giác

Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x , y , z
và
( )
C C C
C x , y ,z
. Xác định trực tâm của
ABC
∆
.
Gọi
( )
H H H
H x , y ,z
là điểm cần tìm.
Ta có

⊥

⊥



AH BC

BH AC
A,B,C,H đồng phẳng
AH.BC 0
BH.AC 0
AH. BC,AC 0

=


⇔ =


 
=

 

uuur uuur r
uuur uuur r
uuur uuur uuur r
Hệ phương trình gồm 3 ẩn
H H H
x ,y ,z
Giải hệ tìm được H.
Hàm thiết lập: TrucTamTamGiac(điểm, điểm, điểm).
3.5. Chân đường phân giác trong
Cho
( )
A A A
A x , y ,z

,
( )
B B B
B x ,y , z
và
( )
C C C
C x ,y , z
. Xác định chân đường phân giác
hạ từ A của
ABC
∆
.
Gọi
( )
D D D
D x , y , z
là chân đường phân giác cần tìm.
Ta có
DB AB
AC
DC
= −
uuur
uuur
AB
DB .DC
AC
⇔ = −
uuur uuur

* Ta tính AB, AC suy ra
AB
k
AC
= −
.
* Ta đưa về bài tốn (3.1) xác định điểm theo tỉ số k.
HVTH: Lê Xn Tùng
Trang: 8
H
B D C
I
I
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập: ChanDuongPhanGiac(điểm, điểm, điểm).
3.6 . Tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x ,y , z
và
( )
C C C
C x ,y , z
. Xác định tâm đường tròn nội
tiếp

ABC
∆
.
Gọi
( )
I I I
I x ,y ,z
là điểm cần tìm.
* Tìm D là chân đường phân giác trong hạ từ A (bài toán 3.5).
* Trong
ABD
∆
, tìm I là chân đường phân giác hạ từ B (bài toán 3.5).
Ta có I là giao điểm 2 đường phân giác
Suy ra I là tâm nội cần tìm.
Hàm thiết lập: TamNoiTamGiac(điểm, điểm, điểm).
3.7. Diện tích tam giác
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x , y , z
và
( )
C C C
C x , y ,z
. Tính diện tích của

ABC
∆
.
Ta có
1
S AB,AC
2
 
=
 
uuur uuur
Chú ý: đúng với 2 vector bất kỳ.
Hàm thiết lập: DienTich(điểm, điểm, điểm).
4. CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ DIỆN
4.1. Thể tích tứ diện
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x ,y , z
,
( )
C C C
C x ,y ,z
và
( )
D D D

D x ,y ,z
. Tính thể tích tứ
diện ABCD.
Ta có
1
V AB AC,AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
Chú ý: đúng với 3 vector bất kỳ.
Hàm thiết lập: TheTichTuDien(điểm, điểm, điểm).
4.2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện
Cho
( )
A A A
A x , y ,z
,
( )
B B B
B x ,y , z
,
( )
C C C
C x ,y ,z
và
( )
D D D
D x ,y ,z

. Tính tâm vòng
tròn ngoại tiếp tứ diện.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 9
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Gọi
( )
w W W
W x ,y ,z
là điểm cần tìm.
Ta có
WA=WB
WA=WC
WA WD




=

Hệ trên gồm 3 ẩn
W W W
x ,y ,z
. Giải hệ tìm được W.
Hàm thiết lập: TamNgoaiTuDien(điểm, điểm, điểm).
PHẦN III: ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN
1. ĐỊNH NGHĨA
1.1 Mặt phẳng
Mặt phẳng có dạng phương trình chính tắc là
Ax By Cz D 0

+ + + =
1.2. Vector pháp tuyến của mặt phẳng và các vấn đề liên quan
Là vector có giá vuông góc với mặt phẳng.
Cho mặt phẳng có phương trình là
Ax By Cz D 0
+ + + =
thì vector pháp tuyến là
( )
n A,B,C
=
r
.
Hàm thiết lập: LayPhapMP(phương trình mặt phẳng ).
1.2.1. Xác định mặt phẳng
Mặt phẳng được xác định qua 3 dạng cơ bản sau. Mặt phẳng xác định duy nhất từ
1.2.2. Viết phương trình mặt phẳng
* 1 điểm, 1 vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMP1Diem1Phap(điểm, vector).
* 3 điểm.
Hàm thiết lập: PTMP3Diem(điểm, điểm, điểm).
* 2 điểm và 1 vector chỉ phương.
Hàm thiết lập: PTMP2Diem1Chi(điểm, điểm, vector).
* 1 điểm và 2 vector chỉ phương.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 10
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập: PTMP1Diem2Chi(điểm, vector, vector).
1.2.3. Cở sở lý thuyết và hướng giải quyết
Nếu có phương trình mặt phẳng thì ta luôn lấy được 1 vector pháp tuyến và 1
điểm.

Nếu có 1 vector pháp tuyến và 1 điểm thì ta luôn viết được phương trình mặt
phẳng.
Như vậy, mọi bài toán viết phương trình mặt phẳng ta đều có thể đưa về dạng bài
toán trên (1 điểm và 1 vector pháp tuyến ).
Chứng minh
a. Đưa bài toán 3 điểm về bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
Từ 3 điểm, ta lập được 2 vector chỉ phương của mặt phẳng. Từ 2 vector chỉ
phương đó ta được vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Lấy 1 điểm tùy ý trong 3 điểm kết hợp với vector pháp tuyến mới tìm được, ta có
bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
b. Đưa bài toán 2 điểm và 1 vector chỉ phương về bài toán 1 điểm và 1 vector pháp
tuyến.
Từ 2 điểm, ta lập được 1 vector chỉ phương . Kết hợp với vector chỉ phương đề
bài, ta được vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Lấy tùy ý 1 trong 2 điểm kết hợp với vector pháp tuyến mới tìm được, ta được bài
toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
c. Đưa bài toán 1 điểm và 2 chỉ về bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
Từ 2 vector chỉ phương ta tìm được vector pháp tuyến của mặt phẳng. Kết hợ p
với điểm đề bài ta có bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
1.3. Đường thẳng
1.3.1. Xác định đường thẳng
Cho điểm
( )
0 0 0
A x ,y ,z
và vector chỉ phương
( )
1 2 3
a a ,a ,a
=

r
thì
* Phương trình dạng tham số là
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 11
Bỏo cỏo chuyờn <Lp trỡnh Symbolic>
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t

= +

= +


= +


Ăvụựi t
Chỳ ý: phng trỡnh ng thng dng ny luụn c biu din bi 3 phng trỡnh.
* Phng trỡnh dng chớnh tc l
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

= =

* Phng trỡnh ng thng l giao ca 2 mt phng.
Phửụng trinh maởt phaỳng thửự 1
d=
Phửụng trinh maởt phaỳng thửự 2



Ta luụn biu din c ng thng di dng 3 phng trỡnh trờn.
1.3.2. Vit phng trỡnh ng thng
Cú 2 cỏch c bn (chớnh yu). ng thng xỏc nh duy nht t
* 1 im v 1 vector ch phng.
Hm thit lp: PTDTTS1Diem1Chi(im, vector ch phng).
* 2 im.
Hm thit lp: PTDTTS2Diem(im, im).
Chng minh
a bi toỏn 2 im v bi toỏn 1 im v 1 vector ch phng.
T 2 im ó cho ta lp c vector ch phng ca ng thng v s dng 1
im tựy ý trong 2 im ú õy chớnh l bi toỏn 1 im v 1 vector ch phng .
Nh vy nu ta cú ng thng thỡ ta hin nhiờn ly c 1 im v 1 vector ch
phng ca ng thng ú.
1.3.3. C s lý thuyt v phng hng gii quyt.
Nu cú phng trỡnh ng thng thỡ ta luụn ly c 1 im v 1 vector ch
phng.
Nu cú 1 im v 1 vector ch phng ta luụn vit c phng trỡnh ng
thng.
HVTH: Lờ Xuõn Tựng
Trang: 12
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
hoặc nếu có 2 điểm thì ta cũng viết được phương trình đường thẳng bằng 2 cách.
Giải quyết bài toán phương trình đường thẳng có rất nhiều cách. Tuy nhiên ta sẽ

giải quyết bài toán gọn nhẹ dễ dàng.
Mọi bài toán viết phương trình đường thẳng ta đều đưa về được dạng cơ bản là
* điểm và vector chỉ phương
Như vậy, muốn viết được phương trình đường thẳng ta cần 1 điểm và 1 vector chỉ
phương.
* Cho phương trình đường thẳng dạng tham số, ta lấy vector chỉ phương của
đường thẳng và điểm thuộc đường thẳng
Hàm thiết lập: LayChiDTTS(phương trình 1, phương trình 2, phương trình 3).
LayDiemDTTS(phương trình 1, phương trình 2, phương trình 3).
* Cho phương trình đường thẳng dạng giao của 2 mặt phẳng.
Từ phương trình mặt phẳng thứ 1 ta có được vector pháp tuyến 1 và từ phương
trình mặt phẳng thứ 2 ta có được vector pháp tuyến 2.
Lấy tích hữu hướng 2 vector đó ta được vector chỉ phương của đường thẳng đó.
Hàm thiết lập: LayChiDTGiao2MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2).
Gọi
( )
Z Z
Z x ,y ,0
thuộc 2 mặt phẳng thì
( )
Z Z
x ,y
thỏa phương trình của 2 mặt
phẳng. Giải hệ tìm được x
Z
và y
Z
.
Hàm thiết lập: LayDiemDTGiao2MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2) hay
LayDiemThuoc2MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2).

2. CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT PHẲNG
2.1. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và song song 2 đường
thẳng dạng tham số
Ta có mặt phẳng song song 2 đường nên vector chỉ phương của 2 đường thẳng
cũng là vector chỉ phương của mặt phẳng.
Cách 1: Bài toán 1 điểm và 2 vector chỉ phương.
Cách 2: Từ 2 vector chỉ phương, lấy tích hữu hướng 2 vector chỉ phương đó, ta được
vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Đây là bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 13
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập:: PTMPQua1DiemSongSong2DTTS(điểm, phương trình 1, phương
trình 2, phương trình 3, phương trình 4, phương trình 5, phương trình 6).
2.2. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 2 điểm và song song đường thẳng
dạng tham số
Ta có mặt phẳng song song đường thẳng nên vector chỉ phương của đường thẳng
chính là vector chỉ phương thứ 1 của mặt phẳng.
Hàm thiết lập: PTMPQua2DiemSongSongDTTS(điểm, điểm, phương trình 1,
phương trình 2, phương trình 3).
2.3. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và vuông góc đường
thẳng dạng tham số.
Ta có mặt phẳng vuông góc đường thẳng suy ra vector chỉ phương của đường
thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Ta có bài toán viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có 1vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemVuong1DTTS(điểm, phương trình 1, phương trình
2, phương trình 3).
2.4. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và song song mặt
phẳng
Ta có mặt phẳng cần tìm song song mặt phẳng đề bài suy ra vector pháp tuyến của

mặt phẳng đề bài cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.
Ta có bài toán viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có 1 vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemSongSongMP(A,mặt phẳng 1
2.5. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng là giao tuyến
của 2 mặt phẳng và vuông góc 1 mặt phẳng
Ta có mặt phẳng cần tìm chứa đường thẳng đề bài suy ra vector chỉ phương của
đường thẳng cũng là vector chỉ phương 1 của mặt phẳng cần tìm.
Ta có mặt phẳng cần tìm vuông góc mặt phẳng đề bài suy ra vector pháp tuyến của
mặt phẳng đề bài là vector chỉ phương 2 của mặt phẳng cần tìm.
Cách 1: Bài toán viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và 2 vector chỉ phương.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 14
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Cách 2: Lấy tích hữu hướng 2 vector chỉ phương trên ta được vector pháp tuyến
của mặt phẳng.
Đây là bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMPChuaDTGiao2MPVuong1MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2,
mặt phẳng 3).
2.6. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và chứa đường thẳng
là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Ta có mặt phẳng cần tìm chứa đường thẳng đề bài suy ra vector chỉ phương của
đường thẳng là vector chỉ phương 1 của mặt phẳng.
Ta lấy 1 điểm thuộc đường thẳng là điểm thuộc 2 mặt phẳng (LayDiemThuoc2MP)
Cách 1: Bài toán 2 điểm và 1 vector chỉ phương.
Cách 2: Từ điểm đề bài và điểm lấy từ đường thẳng, ta tìm được vector chỉ
phương 2 của mặt phẳng.
Cách 2a: Bài toán 1 điểm và 2 vector chỉ phương.
Cách 2b: Lấy tích hữu hướng 2 vector chỉ phương ta được vector pháp tuyến của
mặt phẳng.
Đây là bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.

Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemChuaDTGiao2MP(điểm, mặt phẳng 1, mặt
phẳng2).
2.7. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và chứa đường thẳng
dạng tham số
Từ đường thẳng tham số đề bài, ta lấy được vector chỉ phương (LayChiDTTS) và
điểm thuộc đường thẳng đó (LayDiemDTTS).
Ta có mặt phẳng chứa đường thẳng nên vector chỉ phương của đường thẳng cũng
là vector chỉ phương 1 của mặt phẳng cần tìm.
Cách 1: Bài toán 2 điểm, 1 vector chỉ phương.
Cách 2: Từ điểm đề bài và điểm lấy từ đường thẳng. Ta tìm được vector chỉ
phương 2 của đường thẳng.
Lấy tích hữu hướng vector chỉ phương 1 và vector chỉ phương 2, ta có vector pháp
tuyến của mặt phẳng cần tìm.
Đây là bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 15
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemChuaDTTS(điểm, phương trình 1, phương trình
2, phương trình 3).
2.8 Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng song song 1 đường thẳng tham số
và vuông góc 1 mặt phẳng
Ta có mặt phẳng cần tìm song song đường thẳng nên vector chỉ phương của đường
thẳng cũng là vector chỉ phương 1 của mặt phẳng cần tìm.
Ta có mặt phẳng cần tìm vuông góc mặt phẳng đề bài
nên vector pháp tuyến của mặt phẳng đề bài là vector chỉ phương 2 của mặt phẳng cần
tìm.
Từ phương trình đường thẳng tham đề bài ta lấy được 1 điểm.
Cách 1: Bài toán 1 điểm và có 2 vector chỉ phương.
Cách 2: Tích hữu hướng 2 vector chỉ phương vừa tìm được là vector pháp tuyến
của mặt phẳng cần tìm.

Bài toán 1 điểm và có 1 vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMPSongSongDTTSVuong1MP(phương trình 1, phương trình 2,
phương trình 3, mặt phẳng 1).
2.9. Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và vuông góc 2 mặt
phẳng
Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng thứ 1 đề bài là vector chỉ phương 1 của
mặt phẳng cần tìm.
Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng thứ 2 đề bài là vector chỉ phương 2 của
mặt phẳng cần tìm
Ta có mặt phẳng qua 1 điểm đề bài cho.
Cách 1: Bài toán 1 điểm và có 2 vector chỉ phương.
Cách 2: Tích hữu hướng 2 vector chỉ phương vừa tìm được là vector pháp tuyến
của mặt phẳng cần tìm.
Bài toán 1 điểm và có 1 vector pháp tuyến.
Hàm thiết lập: PTMPQua1diemVuong2MP(điểm, mặt phẳng 1, mặt phẳng 2)
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 16
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Nhắc lại: Nếu có phương trình đường thẳng dạng chính tắc, ta cũng dễ dàng
chuyển về tham số được. Do đó ta chỉ xét đối với bài toán phương trình đường thẳng có
dạng phương trình tham số.
3.1. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ
phương
Đây là dạng cơ bản của bài toán viết phương trình đường thẳng.
Hàm thiết lập: PTDTQua1Diem1Chi(điểm, phương trình 1, phương trình 2,
phương trình 3)
3.2. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc 1 mặt
phẳng
Ta có đường thẳng cần tìm vuông góc mặt phẳng đề bài

nên vector pháp tuyến của mặt phẳng chính là vector chỉ phương của đường thẳng.
Bài toán viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ phương.
3.2. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm
Ta có từ 2 điểm đề bài ta tìm được vector chỉ phương của đường thẳng.
Cách 1: Bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm. (dạng cơ bản)
Cách 2: Bài toán viết phương trình đường thẳng 1 điểm và có 1 vector chỉ phương.
3.3. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng
Từ mặt phẳng thứ 1 ta có được vector pháp tuyến 1 (LayPhapMP).
Từ mặt phẳng thứ 2 ta có được vector pháp tuyến 2 (LayPhapMP).
Lấy tích hữu hướng 2 vector pháp tuyến đó ta có vector chỉ phương của đường
thẳng cần tìm.
Từ hệ 2 phương trình mặt phẳng, ta chọn điểm đặc biệt thuộc đường thẳng thì thỏa
hệ 2 phương trình đó.
Gọi
( )
Z Z
Z x ,y ,0
thuộc 2 mặt phẳng thì
( )
Z Z
x ,y
thỏa phương trình của 2 mặt
phẳng. Giải hệ tìm được x
Z
và y
Z
. (LayDiemDTGiao2MP).
Đây chính là bài toán viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ
phương.
HVTH: Lê Xuân Tùng

Trang: 17
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập: PTDTTSGiao2MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2)
3.4. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song 1 đường
thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng
Từ phương trình mặt phẳng thứ 1 ta có vector pháp tuyến 1, và phương trình mặt
phẳng thứ 2 ta có vector pháp tuyến 2.
Lấy tích hữu hướng 2 vector pháp tuyến trên ta có vector chỉ phương của đường
thẳng đề bài (LayChiDTGiao2MP).
Bài toán viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ phương.
Hàm thiết lập: PTDTTSQua1DiemSongSong1DTGiao2MP(điểm, mặt phẳng 1,
mặt phẳng 2).
3.5. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc đồng
phẳng với 1 đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng
Gọi
( )
H H H
H x ,y ,z
là giao điểm của đường thẳng cần tìm với đường thẳng đề bài.
Từ phương trình mặt phẳng thứ 1 ta có vector pháp tuyến 1, và phương trình mặt
phẳng thứ 2 ta có vector pháp tuyến 2.
Lấy tích hữu hướng 2 vector pháp tuyến trên ta có vector chỉ phương của đường
thẳng đề bài (LayChiDTGiao2MP) (chẳng hạn vector chỉ phương là
a
r
)
Ta có đường thẳng cần tìm qua 1 điểm (chẳng hạn như
( )
M M M
M x ,y ,z

)
suy ra
a.MH 0
=
r uuuur
(1)
Hơn nữa H thuộc đường thẳng đề bài
do đó H thuộc 2 mặt phẳng
suy ra H thỏa phương trình mặt phẳng 1. (2)
và H thỏa phương trình mặt phẳng 2. (3)
Từ (1), (2) & (3), ta có hệ 3 phương trình 3 ẩn
M M M
x ,y ,z
.
Giải hệ tìm được điểm H.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 18
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Cách 1: Kết hợp với điểm M đề bài cho, ta có
Bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm.
Cách 2: Từ điểm đề bài và điểm ta tìm được, ta có vector chỉ phương của đường thẳng
(TaoVector)
Lấy tùy ý 1 trong 2 điểm trên, ta có
Bài toán viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ phương.
Hàm thiết lập: PTDTTSQua1DiemVuongDongPhang1DTGiao2MP(điểm, mặt
phẳng 1, mặt phẳng 2)
3.6. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm vuông 1 đường
thẳng dạng tham số và cắt 1 đường thẳng là giao tuyến 2 mặt phẳng
Đây là một bài toán khó và khá phức tạp, ta giải bài toán này theo các bước sau:
Yêu cầu bài toán suy ra đường thẳng cần tìm là giao tuyến của 2 mặt phẳng được

xác định như sau.
* Mặt phẳng thứ 1 qua 1 điểm đề bài và chứa đường thẳng là giao tuyến 2 mặt
phẳng.
Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemChuaDTGiao2MP(điểm, mặt phẳng 1, mặt phẳng
2).
* Mặt phẳng thứ 2 qua 1 điểm đề bài và vuông góc đường thẳng dạng tham số.
Hàm thiết lập: PTMPQua1DiemVuong1DTTS(điểm, phương trình 1, phương trình
2, phương trình 3).
* Chuyển phương trình đường thẳng dạng giao tuyến của 2 mặt phẳng về dạng
tham số.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 19
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Hàm thiết lập: PTDTTSGiao2MP(mặt phẳng 1, mặt phẳng 2 ).
Thử lại xem đường thẳng cần tìm có cắt đường thẳng dạng tham số hay không ?
Hàm thiết lập: KiemTra2VectorCungPhuong(vector, vector).
Cách lập mặt phẳng thứ 1
Ta có mặt phẳng cần tìm chứa đường thẳng đề bài
suy ra vector chỉ phương của đường thẳng là vector chỉ phương 1 của mặt phẳng.
Ta lấy 1 điểm thuộc đường thẳng là điểm thuộc 2 mặt phẳng (LayDiemThuoc2MP)
Cách 1: Bài toán 2 điểm và 1 vector chỉ phương.
Cách 2: Từ điểm đề bài và điểm lấy từ đường thẳng, ta tìm được vector chỉ
phương 2 của mặt phẳng.
Cách 2a: Bài toán 1 điểm và 2 vector chỉ phương.
Cách 2b: Lấy tích hữu hướng 2 vector chỉ phương ta được vector pháp tuyến của
mặt phẳng.
Đây là bài toán 1 điểm và 1 vector pháp tuyến.
Cách lập mặt phẳng thứ 2
Ta có mặt phẳng vuông góc đường thẳng
suy ra vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Ta có bài toán viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có 1vector pháp tuyến.
Như vậy ta có được phương trình đường thẳng cần tìm là giao tuyến của 2 mặt
phẳng.
Bây giờ, ta chuyển dạng phương trình trên về phương trình tham số.
Bài toán viết phương trình đường thẳng là giao tuyến 2 mặt phẳng.
Từ mặt phẳng thứ 1 ta có được vector pháp tuyến 1 (LayPhapMP).
Từ mặt phẳng thứ 2 ta có được vector pháp tuyến 2 (LayPhapMP).
Lấy tích hữu hướng 2 vector pháp tuyến đó ta có vector chỉ phương của đường
thẳng cần tìm.
Từ hệ 2 phương trình mặt phẳng, ta chọn điểm đặc biệt thuộc đường thẳng thì thỏa
hệ 2 phương trình đó.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 20
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
Gọi
( )
Z Z
Z x ,y ,0
thuộc 2 mặt phẳng thì
( )
Z Z
x ,y
thỏa phương trình của 2 mặt
phẳng. Giải hệ tìm được x
Z
và y
Z
. (LayDiemDTGiao2MP).
Đây chính là bài toán viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 vector chỉ
phương.

Thử lại
Từ phương trình đường thẳng mới tìm được ta lấy được vector chỉ phương.
(LayChiDTTS).
Ta cũng có vector chỉ phương của đường thẳng dạng tham số.(LayChiDTTS).
Ta kiểm tra xem 2 vector này có cùng phương không ?
(KiemTra2VectorCungPhuong).
* Nếu không cùng phương thì nhận đường thẳng mới tìm.
* Ngược lại, kết luận không có đường thẳng cần tìm.
PHẦN IV: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
- Giải quyết hầu như hết các bài toán về điểm trong tam giác.
- Giải quyết được bài toán diện tích tam giác và thể tích tứ diện.
Trong phần trình bày ở chương trước đã bao gồm hầu như là tất cả những dạng
viết phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.
Về mặt lý thuyết thì ta 2 dạng phương trình đường thẳng dạng chính tắc đều đưa
được về phương trình đường thẳng dạng tham số. Tuy nhiên, trong phần mềm này, mỗi
khi giả thuyết cho phương trình đường thẳng dạng chính tắc thì chúng ta đều phải dùng lý
thuyết đưa về dạng tham số rồi mới có thể sử dụng phần mềm này. Vì trong maple ta
chưa biết cách lấy mẫu của một phân số. Chính vì vậy mà phương trình đường thẳng ta
luôn viết là PTDTTS nghĩa là phương trình đường thẳng dạng tham số.
Mặc khác, nếu ta biết được cách lấy mẫu của phân số thì ta chỉ cần định nghĩa
thêm hàm lấy mẫu rồi cho vào chương trình thì sẽ giải quyết được vấn đề trên. Lúc đó
mọi bài toán viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng mà đề thi cho ra hầu như ta
đều thực hiện được.
2. HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Phát triển chương trình theo từng giai đoạn sau:
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 21
Báo cáo chuyên đề <Lập trình Symbolic>
2.1. Bổ sung và hoàn thiện tất cả các bài toán hình học giải tích không gian 3

chiều.
2.2. Tạo giao diện cho người dùng thể sử dụng.
2.3. Lập website cho chương trình này, đề người dùng có thể tính toán trực tiếp
trên mạng mà không cần cài đặt maple ở nhà.
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.B. monagan, K.O. Geddes, G. Labahn, S.M. Vorkoetter, J. Maccarron, P.
Demarco. Maple 9 – Introductory Programming Guide. Waterloo Maple Inc.
(2003).
[2] M.B. monagan, K.O. Geddes, G. Labahn, S.M. Vorkoetter, J. Maccarron, P.
Demarco. Maple 9 – advanced Programming Guide. Waterloo Maple Inc. (2003).
[3] Heck .A, Introduction to Maple,Springer – Verlag, New York, Inc. 1996.
[4] Hoàng Kiếm, Giáo trình Các hệ Cơ sở Tri thức, NXB ĐHQG, 2006.
[5] Stuart Russell & Peter Norvig, Artificial Intelligence – A modern approach (second
edition), Prentice Hall, 2003.
[6] Nhon Van Do, Model for Knowledge Bases of Computational Objects, IJCSI
International Journal of Computer Science Issues, Vol. 7, Issue 3, No 8, May 2010.
[7] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple,
NXB KH và KT, 2002.
[8] Putz J., Maple Animation, Charman & Hall/CRC, 2003.
[9] Waterloo Maple , Maple 9, Learning Guide, 2004.
[10] Waterloo Maple , Maple 7, Programming Guide, 2004.
HVTH: Lê Xuân Tùng
Trang: 22